איך להאיץ חללית מבלי להשתמש (כמעט) בדלק באמצעות פיזיקה (כמעט) תיכונית

הפעם אני רוצה לכתוב משהו קטן על חלליות, אבל בדרך אצטרך להתעכב לא מעט על כדורי טניס. נראה אם נצליח להיפגש בסיום.

***

דמיינו מקרה שבו כדור טניס נע לכיוון קיר, פוגע בניצב אליו וחוזר חזרה באותה מהירות בה הגיע (ראו איור 1). במקרה זה יש משהו שמשתנה באופן משמעותי ומשהו שנשאר קבוע בעקבות ההתנגשות של הכדור עם הקיר. כיוון תנועתו של הכדור משתנה באופן משמעותי בעקבות המפגש, אבל גודל המהירות, כלומר מספר המטרים שעובר הכדור בכל שניה, נשאר אותו הדבר. השינוי בכיוון התנועה נובע מכך שבזמן ההתנגשות הקיר הפעיל כוח על הכדור. העובדה שגודל המהירות לא השתנה הוא מקרה פרטי מיוחד.

[הערת שוליים: התנגשות שבה נשמר גודל האנרגיה במערכת נקראת בעגה: 'התנגשות אלסטית'.]

איור 1: כדור פוגע בניצב לקיר, הופך את כיוון תנועתו אך שומר על גודל המהירות (התנגשות אלסטית).

מה יקרה לאותו כדור שנע לכיוון אותו הקיר במהירות v אם הקיר נע בכיוונו במהירות u?

כדי לגלות את הפתרון לבעיה זאת עם כמה שפחות מתמטיקה נשתמש בטריק שפיזיקאים אוהבים: 'מהירות יחסית' ומעבר מערכות ייחוס.

חישבו על שתי מכוניות במרחק 100 ק"מ אחת מהשניה שנעות אחת לכיוון השניה במהירויות 80 קמ"ש ו-20 קמ"ש. תוך כמה זמן ייפגשו? המכוניות צריכות לכסות עד למפגש מרחק של 100 ק"מ. בכל שעה מכסה מכונית אחת 80 ק"מ והשניה 20 ק"מ. כלומר ביחד מכסות 100 ק"מ בשעה. אם כך ניתן לומר שהמהירות היחסית בין שתי המכוניות היא 100 קמ"ש, ולכן הן יפגשו אחרי שעה. אם היינו מרכיבים מצלמה על גג אחת המכוניות, המכונית שעליה המצלמה היתה נראית בסרטון עומדת במקום (בהנחה שלא מתבוננים בנוף מסביב שמשתנה), והמכונית השניה מתקרבת אליה במהירות 100 קמ"ש.

כעת בואו ונשים מצלמה על הקיר.

בעיני מצלמה שיושבת על הקיר הנע (בעגה: 'מערכת הקיר'), הקיר נמצא במנוחה והכדור נע לכיוונו במהירות v+u שמאלה. את הבעיה הזאת אנחנו כבר מכירים. הכדור פוגע בקיר והופך כיוונו, כלומר נע במהירות v+u ימינה, לאחר ההתנגשות. כעת נעבור ממצלמה על הקיר למצלמה על הקרקע (בעגה: 'מערכת המעבדה'). התוצאה הפיזיקלית חייבת להישאר זהה, כלומר הכדור חייב לנוע מהר יותר מהקיר ב-v+u ימינה. עבור המצלמה על הקרקע הקיר, שלא הושפע מההתנגשות, עדיין נע במהירות u ימינה, ולכן הכדור נע לעיניי המצלמה ימינה במהירות u+(v+u), כלומר במהירות v+2u ימינה. אם כך, הכדור האיץ באופן משמעותי. הוא לא רק שמר על מהירותו וקיבל את מהירות הקיר אלא הרבה מעבר לזה (ראו איור 2).

כעת ברור מדוע בפעמים הבודדות שניסיתי לשחק טניס, הכדור ששוגר מהמחבט שלי (במקרים המעטים שהצלחתי לגרום להם להיפגש) עזב את תחומי המגרש (ואת המתחם כולו).

איור 2: כדור פוגע בניצב לקיר נע. כיוון תנועתו מתהפך וגודל מהירותו גדל (התנגשות אלסטית).

***

אסבך את הבעיה עוד קצת.

דמיינו כעת כדור שפוגע בקיר בזווית ולא במאונך.

שוב נשתמש בטריק שפיזיקאים אוהבים. נפרק את התנועה לשני צירים מאונכים ונפתור עבור כל ציר בנפרד. את זה מתיר לנו לעשות החוק שני של ניוטון שממנו ניתן להסיק שכוחות שפועלים בציר x, למשל, משפיעים רק על שינוי מהירות בציר x, וכוחות בציר y רק על שינוי מהירות בציר y.

את וקטור המהירות נוכל לפרק לפי טריגונומטריה של משולש ישר זווית לרכיב בכיוון x ורכיב בכיוון y. גם אם שכחתם את המתמטיקה הזאת מימי התיכון, אין זה חשוב למסקנה שאליה אני חותר. רכיב המהירות בציר y לא ישתנה כי הקיר אינו מפעיל כוח בכיוון זה (אין חיכוך, למשל). רכיב המהירות בציר x ישמור על גודלו אבל יהפוך כיוונו. אם כך נקבל שהכדור שומר על גודל מהירותו בזמן ההתנגשות, אבל כיוונו משתנה כך שזווית היציאה שווה לזווית הכניסה ביחס לקיר (ראו איור 3).

איור 3: כדור פוגע בזווית לקיר, הופך את כיוון תנועתו בציר x ושומר על תנועתו בציר y (התנגשות אלסטית). התוצאה היא שזווית ההחזרה שווה לזווית הפגיעה.

סיבוך אחרון: מה יקרה אם הקיר נע ימינה?

נשלב את כל הטריקים, מצלמה על הקיר ופירוק לרכיבי מהירות. במערכת הקיר התוצאה זהה לתוצאה של קיר במנוחה, רק עם מהירות v+u, במקום v. כאשר נעבור לצופה במעבדה נקבל שרכיב המהירות ב-y לא משתנה, אך הרכיב ב-x הוא v+2u, כמו שראינו בדוגמה של התנועה החד-ממדית. נוכל לחבר חזרה את רכיבי המהירות בשימוש בטריגונומטריה של משולש ישר זווית ונבחין שכיוון התנועה שונה ביחס לתוצאה של קיר במנוחה וגם שגודלה של מהירות הכדור גבוהה יותר.

[הערת שוליים: במקרה זה, דרך הפתרון שלי תלויה במספר גורמים ואינה נכונה באופן גורף, למשל בכך שהכוח יושב על ציר x בלבד. אמנם האנרגיה נשמרת אך לא ניתן לדבר על שימור ברכיבי המהירות שהרי אנרגיה אינה וקטור. בשורה התחתונה, הדרך נכונה רק עבור המקרה המתואר, אבל המסקנה הכללית נכונה תמיד.]


איור 4: כדור פוגע בזווית לקיר נע, מגדיל והופך את כיוון מהירות בציר x ושומר על תנועתו בציר y (התנגשות אלסטית). התוצאה היא שזווית ההחזרה שונה מזווית הפגיעה וגודל מהירות ההחזרה גדל. כלומר, כדור הטניס שינה את כיוונו והאיץ בעקבות ההתנגשות עם הקיר.

בעצם הצלחנו לנתב מחדש את כיוון הכדור ועל הדרך גם להאיץ אותו. נוכל לשלוט על כיווני התנועה של הכדור לאחר ההתנגשות ועל גודל מהירותו, כולל גם להאט את תנועתו, על ידי שינוי בכיוון ובגודל תנועת הקיר ביחס לכדור הטניס.

[הערת שוליים: ומה לגבי שימור אנרגיה? האם לא נוצרה אנרגיה יש מאין?! לא. למעשה כדור הטניס גנב מעט אנרגיה קינטית מהקיר וגרם להאטה שלו, אבל בקירוב שלנו, ערך זה זניח].

שחקני טניס וודאי יודעים, 'דרך הידיים', את כל מה שפיתחתי כאן, ואף יותר. במקרה שלהם יש חיכוך בין המחבט ('הקיר') לכדור ולכן נפתח עבורם עולם שלם של מורכבות דרך ספינים וסלייסים, שהופכים את המשחק למעניין יותר, ודורשים מהשחקן מיומנות גבוהה.

אבל איך כל זה קשור לחלליות?

טוב ששאלתם.

***

חישבו על חללית שנעה לכיוון כוכב לכת במהירות מספיק גבוהה כדי לא להילכד בשדה הכבידה שלו. בשלב ההתקרבות היא נופלת אל הכוכב ומאיצה, ובשלב ההתרחקות היא יוצאת מהבור כנגד כוחות הכבידה שפועלים עליה, ומאטה. צורת המסלול של החללית היא היפרבולה (לא להתבלבל עם פרבולה), אבל גם אם אינכם מכירים את הצורה, מספיק לדעת שבמרחקים מספיק גדולים מהכוכב המסלול ההיפרבולי הוא בקירוב קו ישר (ראו אנימציה 5).

אנימציה 5: המחשה באנימציה של האצה של חללית (נקודה כחולה) באמצעות מעבר ליד כוכב לכת (כדור אפור). הגרף למטה מייצג את גודל המהירות של החללית בכל רגע. המקור לאנימציה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על יד המשתמש Y tambe.

אם כן, אם נתעלם ממה שקורה כאשר הגופים קרובים אחד לשני, נבחין שהחללית נעה בקו ישר במהירות v אל הכוכב שנע במהירות u, ולבסוף החללית ממשיכה בדרכה בכיוון חדש ובמהירות חדשה בקו ישר. נוסיף את העובדה שכוכב הלכת אינו מושפע מהאינטראקציה, ונסיק שאין הבדל מהותי בתוצאות הסופיות בין הבעיה הזאת לבעיה של הכדור המתנגש בקיר (בעגה: בשני המקרים ההתנגשות אלסטית, והגוף הגדול אינו מושפע, בקירוב, מהאינטראקציה).

אם אין הבדל מהותי בתיאור הפיזיקלי של התנגשות כדור טניס בקיר נע לבין חללית שנעה בקרבת כוכב לכת נע, זה אומר שמה שלמדנו מניתוח המקרה הראשון תקף גם לשני. כלומר, נוכל להשתמש באינטראקציה בין החללית לכוכב לכת בתנועה כדי להאיץ או להאט את החללית ללא שימוש בדלק, כפי שראינו עם הכדור והקיר. והרי, דלק הוא המשאב היקר ביותר על גבי חללית ששוגרה מכדה"א לחלל, ולא בגלל מחיר הדלק. למעשה אנחנו גונבים מעט מהירות (אנרגיה קינטית) מכוכב הלכת, אבל בגלל הפרשי המסה העצומים הוא לא ירגיש את זה. שיטה זאת מצריכה, כמובן, חישוב מוקדם של המסלולים ואני מנחש שהיא מצריכה גם הפעלה מוגבלת של המנועים כדי לכוון במדויק למסלול הרצוי, אז לא לגמרי ללא דלק, אבל חיסכון מהותי.

ואכן, במספר רב של מקרים נעשה שימוש בתופעה זאת במשימות חלל בעבר. ניתן לקרוא על מקרים אלה בדף הויקיפדיה הזה. אחת הדוגמאות ניתן לראות באנימציה 6 שלקוחה מאותו הדף.

התופעה או הטריק הזה נקרא לפעמים gravity assist, ולפעמים gravitational slingshot.

אנימציה 6: המחשה באנימציה של המסלול של חללית ווייג'ר 2 בין התאריכים 20 באוגוסט 1977 ועד 31 בדצמבר 2000. החללית בסגול, כדה"א בכחול, צדק בירוק, שבתאי בתכלת, אורנוס בחרדל, נפטון באדום. המקור לאנימציה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על יד המשתמש Phoenix7777, באמצעות נתונים מנאסא.

וזהו בעצם.

מודעות פרסומת
:קטגוריותכללי תגיות: , ,

סכנה מסיכון מסוכן – ריסק אל מול הזרד

האם כריש מסוכן?

לפי ויקיפדיה ישנם ארבעה סוגי כרישים גדולים שעלולים לתקוף בני אדם, גם ללא התגרות, ושהתקיפה עלולה להסתיים במוות. לגבי מנגנון התקיפה, טוב, כולנו ראינו את הסרט "מלתעות". לא נעים.

ומה לגבי כריש באקווריום בפארק מים, האם הוא מסוכן? נראה שלא, אחרת לא היו מאשרים את פתיחת הפארק.

עמלץ לבן שצולם במימי מקסיקו. המקור לתמונה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Pterantula (Terry Goss).

האם אקונומיקה מסוכנת? אם אני משתמש בה לפי ההוראות, ולדבר שלשמו היא שווקה, אז כנראה שלא. אם אני שותה אותה, כנראה שכן.

האם מים מסוכנים? קשה לענות על זה. מים בברז, כנראה שלא. מים בריאות, כנראה שכן.

ניתן להבחין שהמילה "מסוכן" בהקשרים אלה היא בעייתית מכיוון שהיא מערבבת שתי שאלות שונות. השאלה הראשונה היא: "האם גורם A יכול לגרום נזק?", והשאלה השנייה היא: "מה הסיכוי שייגרם נזק מגורם A תחת תנאים B?"

בואו וננסה את זה על הכריש:

"האם כרישים יכולים לגרום לנזק גופני לבני אדם ואפילו למוות?" (כן)

"מה הסיכוי להיפגע גופנית על ידי כריש במהלך ביקור בפארק מים?" (נמוך)

הערת שוליים: לפי ויקיפדיה מספר חד-ספרתי של אנשים בשנה מתים מתקיפות כרישים ללא התגרות. לא קרוב אפילו להיפופוטם, למשל. מעניין מדוע אין סרט אימה על היפופוטם זועם.

שימו לב שאפילו התשובות לשאלות הן מסוג שונה.

באנגלית ישנן שתי מילים שונות שעוזרות להפריד בין שני המקרים: "Risk" ו-"Hazard".

Hazard – אתרגם כ-'גורם סיכון' – קשור לשאלה הראשונה, האם יכול לגרום נזק.

Risk – אתרגם כ-'סיכון' – קשור לשאלה השנייה, מה הסיכוי שיגרום נזק.

אני לא מתחייב על התרגומים האלה, מה גם שהם מבלבלים. עברית קשה שפה. ולכן לשם נוחות, אכתוב פשוט: 'ריסק' ו-'הזרד'. אם היבריש, אז עד הסוף.

כעת נגדיר מחדש:

'הזרד' הוא משהו שיש לו את הפוטנציאל לגרום נזק. 'ריסק' הוא הסיכוי שהזרד מסוים במצב מסוים יגרום נזק.

***

אז מדוע אני מטריח אתכם בעניין הזה? איך זה קשור למדע?

ובכן,

הבלבול בין ריסק להזרד נפוץ מאוד בדיווח על מדע, ובשיח המדעי על גורמי סיכון. הציבור מבולבל, העיתונאים המדווחים מבולבלים, ופעמים רבות, לצערי, גם החוקרים עצמם מבולבלים ומבלבלים. בעיקר את המוח.

דוגמה היפותטית:

נניח שביצעתי ניסוי במעבדה שבו הזנתי 100 חולדות בחומר כלשהו, A, בכמות גדולה, לאורך זמן. במקביל ישנן 100 חולדות ביקורת שתזונתם לא השתנתה. נניח שלאחר כחודש נבדקו כל החולדות עבור מחלה מסוימת, B. בקבוצה הראשונה פיתחו 10 חולדות את המחלה, ובקבוצת הביקורת רק 5. אני מפרסם מאמר מדעי שבו אני מדווח על התוצאות. עד כאן הכל בסדר.

מה שמגיע לציבור, בכותרות זועקות באדום, הוא: "חומר A גורם למחלה B ולכן יש להימנע ממנו בכל מחיר". לאחר מאבק ציבורי והפגנות, החברות המייצרות מוצרים מסוימים מפתחות מוצרים חדשים שאינם מכיל את חומר A. על העטיפות החדשות מתנוססות תוויות צבעוניות: "אינו מכיל A!".

כעת בואו ונחשוב לרגע. נניח שאנחנו מקבלים שצריכה מוגברת מאוד של חומר A עלולה לגרום לעלייה בתחלואה במחלה B בחולדות (וגם את זה יש לאשש בניסויים חוזרים). מה זה אומר לגבי צריכה מזערית בבני אדם? בפועל, בד"כ כלום.

אבל האם חומר A מסוכן לבריאות? אין לי מושג, יכול להיות שכן ויכול להיות שלא. זאת דוגמה היפותטית. היא מדגימה בעיקר את הבלבול בין הזרד לריסק.

חשוב להבין שהניסוי הדמיוני שאותו תיארתי עוסק בהזרד. תוצאות הניסוי מצביעות על כך שככל הנראה יש ביכולתו של חומר A לגרום נזק. לעומת זאת, ניסוי הבודק ריסק לבני אדם יראה שונה לגמרי. הוא צריך לעסוק בבני אדם, הוא צריך לבדוק את המינונים הרלוונטיים של החומר עבור שימוש של בני אדם, הוא צריך להכיל ביקורות שונות ומשונות ועוד כהנה וכהנה.

המצב כרגע הוא שבקריאת כתבה בעיתון לא ניתן, ברוב המקרים, להבין האם מדובר בריסק או בהזרד מבלי לחפש את מקור המידע הראשוני (מאמר מדעי, הודעה מקורית לציבור). אפילו פרסומים של ארגון הבריאות העולמי זורעים לא פעם בציבור, לדעתי, בעיקר בלבול, ולי לא ברור מתי צריך לקחת את האזהרות ברצינות ומתי עם מלחייה שלמה. מתי עקרון הזהירות המונעת מצדיק מעבר מהזרד ישירות לריסק?

ומי אשם בכל זה? ומה ניתן לעשות? חחח, העולם מקום מורכב, קטונתי. אבל אם יצאתם מהקריאה עם תובנה על ההבדל בין ריסק להזרד, מה טוב.

***

הערת שוליים: נושא הרשימה הוא להאיר את ההבדל בין ריסק להזרד. אין בכוונתי לעסוק בסכנות בשימוש בחומר או בקרינה כאלה או אחרים.

2 מתוך 9 – חיתוך הזהב – יומן קריאה

שני אחים זוכים בירושה מדוד רחוק באמריקה. מכיוון שאחד האחים לוקח על עצמו את הטיפול במנהלות המסובכות כדי לקבל את הירושה, שניהם מסכימים שהוא יקבל חלק גדול יותר ממנה. נותר רק להסכים על יחסי החלוקה. האחים מתלבטים בין שליש\שני-שליש לבין רבע\שלושה-רבעים, ומחליטים לפנות לבוררות אצל קרוב משפחה.

מסתבר שקרוב המשפחה ממורמר מכיוון שלא זכה בעצמו לחלק מהירושה ומציע חלוקה אחרת. הוא מציע שיחלקו את הכסף ביניהם כך שכל הסכום חלקי החלק הגדול יהיה שווה לחלק הגדול חלקי החלק הקטן.

מי האח שיצא מרוצה מחלוקה כזאת (ביחס ליחסי החלוקה ששקלו קודם)? האם החלוקה ניתנת לביצוע?

פתרון מתמטי למי שמעוניין:

כפי שניתן לראות, בחלוקה זאת האח המתאמץ מקבל בערך פי 1.5 במקום פי 2 או פי 3. גרוע מכך, יחס החלוקה הוא מספר לא רציונלי.

***

סדרת פיבונצ'י היא סדרת מספרים שמתחילה ב-0 ואז אחריו ב-1. כל מספר נוסף הוא החיבור בין שני המספרים הקודמים לו. אם כך האיברים הראשונים בסדרה הם:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377…

מהו היחס an+1/an, כלומר האיבר ה-n+1 בסדרה חלקי האיבר ה-n, שקדם לו?

בגרף הבא אני מציג את היחסים (ללא שימוש בשני האיברים הראשונים):

ניתן לראות בקלות שהיחסים משתנים ככל שהסדרה מתקדמת. הם הולכים ומתכנסים לערך כלשהו (יש תנודה של הערכים מעל ומתחת לערך שאליו הם מתכנסים). יחס זה נקרא "יחס הזהב" והוא בדיוק אותו היחס שקיבלנו בסיפור הירושה. מוזר לא? מה הקשר בין שתי הבעיות?

מבלי לתת את הפתרון המלא, ניתן לקרוא ברשימה קודמת שלי כיצד מפתחים נוסחה לאיבר ה-n בסדרת פיבונצ'י, ושם תוכלו לראות שבמהלך הפתרון אנחנו מגיעים בדיוק לאותה משוואה ריבועית כמו בסיפור הירושה.

האם יש משמעות נסתרת לאותו היחס שחוזר במקומות שונים ומפתיעים?

במהלך ההיסטוריה האנושית היו לא מעט אנשים אובססיביים ליחס הזהב, ביחוד בתחום הגיאומטריה, האמנות והארכיטקטורה. נכתבו עליו ספרים רבים מספור. "חיתוך הזהב" מאת מריו ליביו, שיצא בשנת 2002, ותורגם לעברית ב-2003, הוא אחד מהם.

***

מריו ליביו הוא פרופסור לאסטרופיזיקה, ומוכר לקורא המדע הפופולרי הישראלי מהספרים רבים שכתב. הוא גם ישראלי (לשעבר?) עם סיפור חיים מעניין, ששווה עיון בפני עצמו, ומגיע לישראל בתדירות גבוהה כדי להרצות.

לאורך הספר סוקר ליביו את ההיסטוריה של יחס הזהב. מברר מתי, ככל הנראה, הוא הופיע לראשונה על הכתב. הוא משקיע מאמץ רב להפריד בין המוץ לבר, כלומר בין יצירות היסטוריות שבהן היה שימוש ביחס הזה לבין כאלה (הרוב) שלא, גם אם רומנטיקנים ומיסטיקנים רבים רוצים להאמין שכן.

אני נהניתי בעיקר מפרקים 4 ו-5 בהם מופיע רוב החומר המתמטי והמדעי על יחס הזהב. כיצד לקבל אותו מחלוקה ומשוואה ריבועית, כיצד הוא קשור לפאונים, כיצד לרשום את היחס בדרכים שונות ומפתיעות, כיצד היחס קשור לסדרת פיבונצ'י וכיצד הוא קשור לספירלות, שאותן ניתן למצוא גם בטבע.

דבר נוסף שגיליתי במהלך קריאת הספר הוא שההיסטוריה של יחס הזהב משעממת אותי והיא טרחנית להחריד. ליביו משקיע זמן ומאמץ רב לסקור ולהפריך פייק-היסטוריה, כלומר, תקופות ויצירות שבהן אנשים מאמינים שהיה שימוש ביחס הזהב אך ככל הנראה זה לא נכון. לא הצלחתי למצוא בזה עניין, וגם לא בשאר הסקירה ההיסטורית. הדבר אולי מעיד יותר עלי מאשר על הספר, ועל מה אני מחפש בספר מדע פופולרי, ובעיקר מה אני לא מחפש בו.

הפרק האחרון בספר: "האם אלוהים הוא מתמטיקאי" מעניין אך תלוש למדי מבחינת הנושא העיקרי של הספר, ומהווה בעיקר קדימון לספר הבא שכתב ליביו באותו השם. דבר זה נכון, לדעתי, גם אם במהלך כתיבת הספר ליביו עוד לא החל לכתוב את הספר הבא.

דבר קטן נוסף שהטריד אותי במהלך הקריאה הוא האזכורים הרבים מספור של ליביו לספרים אחרים בנושא. אם הוא קרא את כל הספרים (הרבים רבים רבים), שהוא מזכיר במפורש בטקסט, במהלך התחקיר לכתיבת הספר אז אין אלא להוריד בפניו מספר רב של כובעים. דבר זה אינו משנה את העובדה שהאזכורים הרבים כל כך הופכים את הכתיבה והקריאה לטרחנית אף יותר. באופן אישי הייתי מסתפק בהחלט ברשימה מפורטת של מראי-מקום בסוף הספר (רשימה שאכן קיימת).

יש לי תחושה, אם כי לא מבוססת על קריאה חוזרת של הספרים, שהכתיבה הפופולרית של ליביו השתפרה מספר לספר, והספר הזה הוא הראשון שכתב.

***

לסיכום, הספר קריא ומכיל כמות גדולה של מידע מעניין. באופן אישי לא מצאתי עניין בפרקים רבים בספר, אבל לא מן הנמנע שאנשים אחרים שמתעניינים יותר באמנות או בהיסטוריה ייהנו מאוד גם מהם.

לא סתם פוזיציה, סופרפוזיציה! בשבחי הליניאריות

נתחיל הפעם בסלינקי.

למי שלא זוכר, סלינקי הוא הקפיץ שיודע לרדת מדרגות אם נותנים לו עזרה בהתחלה.

תמונה 1: סלינקי ממתכת. המקור לתמונה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Roger McLassus.

שני אנשים אוחזים סלינקי, אחד מכל צד, ומותחים אותו. לאחר שהוא ארוך ומתוח אחד האוחזים מזיז את הקצה שלו במהירות ימינה וחזרה למיקומו ההתחלתי. אני ממליץ לכולם לנסות זאת בבית. מה שיקרה הוא שתיווצר 'גבשושית' על גבי הסלינקי שתתקדם לאורכו, תגיע לקצה ותחזור.

דנתי בתופעה זאת באריכות ברשימה קודמת. הגבשושית היא בעצם גל (לא מחזורי) שעובר בתווך (שהוא הסלינקי, במקרה הזה). מה שעובר בתווך היא הפרעה, כלומר יציאה משיווי משקל. ההפרעה עצמה היא זאת שנעה, לא החומר. כל טבעת בסלינקי יוצאת משיווי משקל ברגע מסוים וחוזרת, אך נשארת במקומה על גבי התווך.

מה יקרה אם שני הקצוות יוסטו משיווי משקל? ייווצרו שתי גבשושיות שינועו לאורך הסלינקי. מה יקרה כאשר הן יפגשו?

מסתבר שכאשר שני גלים 'נפגשים' על פני התווך, או ליתר דיוק, נמצאים באותו מקום באותו הזמן, הם מתחברים. כלומר, אם שתי גבשושיות זהות נמצאות בדיוק באותו מקום על פני הסלינקי, מה שנראה הוא גבשושית אחת גדולה פי שתיים. אם הן חופפות באופן חלקי, בכל נקודת חפיפה נקבל חיבור.

המשמעות היא שכדי לקבל את כמות ההסטה של כל טבעת של הסלינקי ברגע מסוים משיווי משקל נוכל לחבר את ההסטה שהיית נגרמת על ידי המקור הראשון בזמן זה אילו היה היחיד, להסטה של המקור השני אילו הוא היה היחיד. הפעולה הזאת נקראת בעגה: 'לפתור לפי סופרפוזיציה של מקורות'. כלומר, נוכל לחשב את המציאות הפיזיקלית על ידי חיבור של השפעת המקורות הבודדים לו היו היחידים בעולם.

***

מטען חשמלי (חיובי או שלילי) הוא המקור של שדה חשמלי. ניתן לחשב את השדה החשמלי של מטען נקודתי, בנקודה מסוימת במרחב, על ידי חלוקה של מטען המקור בריבוע המרחק של הנקודה מהמטען והכפלה בקבוע כלשהו.

מה יהיה השדה החשמלי בנקודה מסוימת במרחב בנוכחות שני מטענים חשמליים?

ניחשתם נכון. גם במקרה זה ניתן להשתמש בחיבור מקורות בסופרפוזיציה. כלומר, נחשב את השדה בנקודה עבור מקרה שבו קיים בעולם רק מטען מספר 1, נחשב את השדה עבור מקרה שבו קיים רק מטען מספר 2, ונחבר את שתי התשובות לקבלת המציאות הפיזיקלית.

***

נניח שיש לי מעגל חשמלי שבו יש מספר של נגדים ושל מקורות מתח, וברצוני לדעת מה יהיה הזרם החשמלי דרך אחד הנגדים במעגל. ניתן לחשב את הזרמים בענפים השונים או את המתחים בצמתים לפי השיטה של קירכהוף, למי שמכיר (לא ממש חשוב אם לא). אבל יש דרך נוספת.

איור 2: סכימה של מעגל חשמלי לדוגמה. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש Svjo.

שוב ניחשתם נכון. נוכן לפתור לפי סופרפוזיציה של מקורות. נפתור את המעגל מספר פעמים, כמספר מקורות המתח. בכל סיבוב נשאיר רק מקור מתח אחד ונאפס את שאר המקורות (כלומר נחליף אותם בחוט מוליך, או במילים אחרות, נקצר אותם). במעגל שנשאר, המכיל רק מקור אחד, נחשב את הזרם דרך הנגד הרצוי. לבסוף נחבר יחדיו את כל התוצאות השונות, מהמקורות השונים, לקבלת התוצאה הסופית שהיא הזרם האמיתי על הנגד.

[הערת שוליים: אני ממליץ למי שלא בטוח שזה עובד ויודע לחבר נגדים בטור ובמקביל וגם את חוק אוהם, לנסות את השיטה על המעגל המצוי בדף הויקיפדיה של קירכהוף. המעגל כבר פתור ותוכלו לבדוק אם הגעתם לפתרון הנכון. נסו לחשב את המתח על נגד R1.]

***

בשלב זה אולי קיבלתם את הרושם הלא נכון שהטריק של פתרון לפי סופרפוזיציה של מקורות יעבוד בכל מצב ובכל מערכת, ואין דבר רחוק יותר מהאמת. למעשה ברוב המקרים וברוב הבעיות הפיזיקליות, הכימיות וההנדסיות, עיקרון הסופרפוזיציה של מקורות לא יעבוד.

אז מה מייחד את המקרים שאותם בחרתי להציג?

המערכות שבחרתי הן מערכות הנקראות בעגה 'ליניאריות'. אם ניתן לתאר את המציאות על ידי משוואה שאנחנו מכנים 'ליניארית' אז יתקיים עיקרון הסופרפוזיציה.

ומהי משוואה ליניארית?

טוב ששאלתם.

נניח מערכת פשוטה שמצדה האחד אני מכניס מספר ומצידה השני יוצא כפל של המספר בחמש. כלומר, אם נכניס 2, נקבל 10, ואם נכניס 3, נקבל 15. מה יקרה אם נכניס 2 ועוד 3? נקבל 25 שהוא בדיוק חיבור של 10 ו-15. זאת דוגמה למערכת ליניארית.

נניח מערכת פשוטה אחרת שמצדה האחד אני מכניס מספר ומצידה השני יוצא כפל של חמש במספר בריבוע. כלומר, אם נכניס 2, נקבל 20, ואם נכניס 3, נקבל 45. מה יקרה אם נכניס 2 ועוד 3? נקבל 125 שהוא ממש לא חיבור של 20 ו-45. זאת דוגמה למערכת שאינה ליניארית.

ובכתיבה יותר פורמלית, נוכל להגדיר את ה-'כפול 5' במקרה הראשון, או 'כפול 5 ובריבוע' במקרה השני כאופרטור O שפועל על הכניסה X, והמוצא מסומן ב-Y. עבור מערכות ליניאריות מתקיים השוויון הבא:

כאשר C1 ו-C2 הם קבועים כלשהם.

שתי הדוגמאות שנתתי כאן הן הפשוטות ביותר שיכולתי לחשוב עליהן, אך משוואות פיזיקליות ליניאריות יכולות להיות גם פשוטות כמו הקשר בין הזרם למתח המקור במעגל חשמלי (חוק אוהם), או מסובכות ביותר, כמו משוואת הגלים.

יותר היסטוריה ממתמטיקה – המוזיקה של המספרים הראשוניים, יומן קריאה

נתחיל הפעם בגאמא, ונסיים בזטא.

***

פונקציית גאמא מכילה בתוכה אינטגרל איום.

האינטגרל מנוסח כך שאחד הפרמטרים בו (Z בנוסחה למטה) ניתן לשינוי. פרמטר זה הוא המשתנה של הפונקציה, כלומר מה שמציבים לתוכה. תוצאת האינטגרל תחת הפרמטר שהצבנו היא ערכה של הפונקציה בערך זה.

אחת התכונות המוזרות של פונקציית גאמא היא שאם מציבים במשתנה שלה מספר טבעי (1,2,3 וכדומה), תוצאת האינטגרל היא מכפלת כל המספרים הטבעיים עד מספר אחד פחות מזה שהצבנו. כלומר הערך של פונקציית גאמא הוא (n-1)!, כאשר '!' נקרא במתמטיקה 'עצרת' ומסמן כפל של כל המספרים הטבעיים עד אותו מספר.

ברשימה קודמת הראיתי שניתן לבטא נגזרת של כל פונקציה על ידי גזירת הפיתוח שלה בטור חזקות (טור טיילור). גזירת טור חזקות מספר פעמים ברצף היא פעולה מתמטית פשוטה וניתן לקבל ביטוי כללי עבור הגזירה ה-n של הטור, ולכן עבור הנגזרת ה-n של הפונקציה. הביטוי הכללי הזה תלוי בחישוב n!. נוכל, בערמומיות, להחליף את n! בפונקציית גאמא. עבור כל מספר טבעי נקבל את אותה תוצאה. אז למה טרחנו? כי פונציית גאמא מוגדרת לא רק עבור המספרים הטבעיים, אלא עבור כל מספר. כעת קיבלנו יכולת לחשב את הנגזרת ה-0.5, או הנגזרת ה-2.849.

לנגזרת יש משמעות גיאומטרית של שיפוע המשיק בנקודת הגזירה. מה המשמעות של נגזרת מסדר לא שלם? אין לי מושג, אבל הפיזיקאים מצאו לזה שימוש, למשל בתיאור של דיפוזיה במערכות מורכבות.

***

פונקציית זטא היא סכום אינסופי, לכאורה, די פשוט להבנה. היא נתונה על ידי:

עבור משתנה s שהוא כל מספר גדול מ-1 הפונקציה היא סכום מתכנס של שברים. עבור s=-1 הפונקציה היא סכום המספרים הטבעיים ולכן הטור אינו מתכנס. לפונקציה, אם כך, אין ערך מוגדר עבור אף מספר שלילי.

ליאונרד אוילר, המתמטיקאי המפורסם, הראה שניתן לייצג את פונציית זטא על ידי סכום שמכיל את כל המספרים הראשוניים (ראו ביטוי למטה) ובכך קישר בין שני דברים שלכאורה לא היו קשורים אחד לשני, המספרים הראשוניים ופונקציית זטא. מכיוון שהמספרים הראשוניים הם אבני הבסיס של כל המספרים, פתאום פונציית זטא, פונקציה זוטרה למדי, קיבלה משמעות אדירה. וזה לא נגמר שם.

המתמטיקאי ברנארד רימן כתב מאמר מכונן בן 10 עמודים בו העלה השערה לגבי הערכים שעבורם פונקציית זטא מקבלת את הערך אפס (שערכם הממשי של כולם הוא 0.5), והראה את הקשר של עובדה זאת לערכם ומיקומם של המספרים הראשוניים. למה זה מעניין? עד היום אין דרך פשוטה או נוסחה סגורה לחישוב ערכם של כל המספרים הראשוניים. מיקומם על ציר המספרים נראה אקראי. אבל כבר פרידריך גאוס חשד שיש סדר כלשהו בבלאגן ומצא קשר פשוט (יחסית) לכמותם ופיזורם שהוא קירוב שהולך ונהיה טוב יותר ככל שהולכים למספרים גדולים יותר.

לסיכום, נוצר קשר מוזר בין הבנת פונקציית זטא והאפסים שלה, ובין הבנת מיקומם וערכם של המספרים הראשוניים. האם השערת רימן נכונה? האם היא תוביל אותנו ליצירת נוסחה או אלגוריתם פשוט לחישוב מספרים ראשוניים? יש לזכור שכל ההצפנה שבה אנחנו משתמשים ברשת האינטרנט מבוססת על תכונות של מספרים ראשוניים (חפשו RSA).

***

מרכוס דו סוטוי הוא פרופסור למתמטיקה באוקספורד, ועוסק הרבה גם בהנגשה של מתמטיקה בצורה פופולרית לציבור הרחב. בשנת 2003 הוא פרסם את הספר 'המוזיקה של המספרים הראשוניים' שתורגם לעברית ב-2006. בספר בונה דו סוטוי את הסיפור באופן כרונולוגי, ומתמקד במה שהוביל להשערת רימן ובהתקדמות לאורך השנים בניסיון להוכיח אותה. השערת רימן, אם כך, היא נקודת הציר שסביבה נעים הסיפורים המופיעים בספר. הספר גם עוסק, בצורה מעניינת, במגמות בעולם המתמטיקה שהשתנו עם השנים והשפיעו על הגישות השונות לחקר הבעיה.

תמונת העותק שלי של הספר.

המידע בספר מונגש לקורא כאשר הוא שזור בתוך סיפורים ודמויות. טכניקה זאת, שניתן למצוא גם אצל סיימון סינג, הופך את הספר לקריא מאוד. עם זאת, יש להודות שרוב השמות באים והולכים. אם זאת הפעם הראשונה שנתקלתי בשם, וקראתי עליו מספר פסקאות, רוב הסיכויים שעד סוף השבוע לא אזכור במי מדובר, קל וחומר שבועות או חודשים אח"כ. את הרעיונות הגדולים אני דווקא אזכור. ואולי זה רק אני.

דבר נוסף שהופך את הספר לקריא מאוד הוא שהספר, שנושאו הוא מתמטיקה, אינו מכיל מתמטיקה כמעט בכלל, וחבל. ברור שהמטרה כאן היא לכוון לקהל רחב ככל שאפשר. ואולי זה רק אני. אבל יש משהו אחד שבאמת הפריע לי.

כפי שציינתי, נקודת המוקד של הספר היא הקשר בין פונקציית זטא למספרים הראשוניים, דרך אוילר ועד להשערת רימן. החלקים האלה לא מתוארים לדעתי בצורה שניתן להבין, ואין ניסיון ממשי להסביר את המתמטיקה כמו שצריך. הסופר, כאמור, מכוון לקהל רחב מאוד מאוד ומסתמך כמעט לחלוטין על אנלוגיות ומטאפורות. למעשה, דה סוטוי שקוע כל כך במטאפורה של המוזיקה שהוא גרם לי להתנתק כמעט לחלוטין מהמתמטיקה שעליה הוא מספר. בשלב מסוים מטאפורות המוזיקה מופיעות בכל משפט שני, ולטעמי, נהיות מאולצות וחופרות להחריד.

עקב הכרות מוקדמת שלי עם תיאוריית פורייה ולאפלאס ועם תיאוריות של ייצוג מערכות דיפרנציאליות באמצעות מטריצות ופולינומים, אני מבין, פחות או יותר, את החשיבות של קטבים ואפסים של פונקציה ואת הקשר שלהם לתדירויות תנודה. זה נותן לי רמז, שלא בהכרח קשור באופן ישיר למקרה שמתואר בספר, למנגנון שמתוכו מפיק דו סוטוי את אנלוגיית המוזיקה שלו. למיטב הבנתי, אין סיכוי שמישהו ללא הכשרה מתמטית רצינית (תואר ראשון הנדסה-פיזיקה-מתמטיקה לפחות וזיכרון טוב) יבין את ההקשר. להגנתו יאמר שכאשר ניסיתי לחקור יותר לעומק את העניין גיליתי שיש קפיצה במידע בין המאוד פופולרי למאוד טכני בחומרים שנתקלתי בהם ברשת. ככול הנראה מדובר בתחום מאוד טכני שקשה להסביר אותו בצורה פשוטה.

למדתי לא מעט דברים שלא ידעתי מהספר: על הקשר בין זטא לראשוניים, על השערת רימן, על הקשר המפתיע לפיזיקת כאוס ולפיזיקה קוונטית ודברים נוספים. כמו כן, קריאת הספר גרמה לי ללכת ולחקור יותר על הנושא ברשת (כלומר ברמה פופולרית, איני איש מקצוע בתחום, אבל ברמה יותר מעמיקה).

***

לסיכום: הספר כתוב בצורה קריאה מאוד ומעניינת, לקהל רחב ככל שאפשר על נושא המספרים הראשוניים וחייה וזמניה של השערת רימן. מי שרוצה לקרוא על ההיסטוריה של המתמטיקה, מבלי 'להתלכלך' ביותר מידי מתמטיקה, זה הספר בשבילו.

***

למי שסיים את הספר ורוצה להבין מעט יותר ברמה הטכנית, אך עדיין פופולרית, על השערת רימן והקשר שלה למספרים הראשוניים אני ממליץ להתחיל מהסרטונים הבאים:

Riemann Hypothesis – Numberphile

Visualizing the Riemann hypothesis and analytic continuation

מי שחושב שהוא מוכן לצלול, ראש קדימה, לתיאור הטכני מוזמן לקרוא בעברית כאן:

https://gadial.net/2010/02/08/riemann_hypothesis_overview/

 

מדוע הירח הוא ירח? כמה מילים על מרכז המסה

דמיינו נדנדה פשוטה. קרש ארוך ואחיד שבמרכזו מותקנת נקודה שסביבה הקרש יכול להסתובב.

אם אנחנו לא מפעילים כוח או מניחים משקל עודף (למשל ילד) על אחד הצדדים של הנדנדה היא תישאר מאוזנת (ראו איור 1).

איור 1: נדנדה פשוטה מאוזנת.

נדמיין כעת נדנדה שחלקה השמאלי עשוי מעץ קל וחלקה הימני מעץ כבד. כעת, ללא הפעלת כוח נוסף, כוח הכבידה יגרום לצד המאסיבי יותר להימשך למטה והנדנדה לא תהיה מאוזנת (ראו איור 2). כדי לאזן את נדנדה נוכל להוסיף משקל לצד הקל, בין אם בעזרת מסה נוספת או בעזרת הארכת הקרש. במקרה זה אנחנו בעצם משחקים בגודל שמכונה בפיזיקה 'מומנט', כוח כפול אורך הזרוע.

איור 2: נדנדה לא מאוזנת.

דרך חלופית לאזן את הנדנדה היא על ידי הזזת ציר הסיבוב.

רובנו ניסינו וגילינו (ואם לא, זה הזמן) שכדי לאזן מטאטא בצורה אופקית, יש לאזן אותו על נקודה שיותר קרובה למברשת מאשר לקצה המקל (ראו איור 3). הנקודה הזאת שסביבה המטאטא מאוזן נקראת מרכז המסה של המטאטא. זאת הנקודה שסביבה המסה מפולגת באופן שווה וסביבה הגוף נמצא בשיווי משקל.

איור 3: איזון מטאטא סביב נקודת מרכז המסה.

כדי לחשב את מיקומו של מרכז המסה עבור גוף מסוים נחשב את 'הממוצע' של כל המקומות שיש בהן מסה. כל נקודה שבה יש מסה 'מושכת' את מרכז המסה לכיוונה. נקודות משני צדדים מנוגדים של הראשית 'מתחרות' ביניהן ומושכות בכיוונים שונים. ככל שיש יותר מסה בנקודה מסוימת, היא מושכת חזק יותר לכיוונה. למעשה, חישוב מיקום מרכז המסה הוא ממוצע משוקלל של וקטורי-המקום שבהן יש מסה, כאשר המשקלים הם כמות המסה בכל נקודה.

נתבונן במספר דוגמאות דו-ממדיות:

מרכז המסה של מלבן הוא במרכז שלו, כלומר במפגש האלכסונים (ראו איור 4א).

עבור צורה שמורכבת משני ריבועים צמודים שאינם זהים בגודלם, נוכל למצוא את מרכז המסה של כל אחד מהם בנפרד ואז מרכז המסה המשותף יהיה על הקו בין שני המרכזים אבל קרוב יותר לגדול מהם, כי יש לו יותר משקל בחישוב (ראו איור 4ב).

אם שני הריבועים רחוקים מספיק אחד מהשני מיקום מרכז המסה ימצא מחוץ לגופים (ראו איור 4ג). כלומר מרכז המסה לא חייב להיות בנקודה שבה ישנה מסה. חישבו למשל על צורת פרסה. די ברור, גם ללא חישוב מדויק, שמרכז המסה נמצא במרכז הצורה, שם אין כלל חומר.

איור 4: מציאת מרכז המסה של גופים מלבניים פשוטים. הנקודות השחורות הן מרכז המסה המשותף והנקודות הצבעוניות הן מרכזי המסה של כל מלבן בנפרד. ניתן לראות לפי דוגמה ג' שמרכז המסה יכול להימצא במקום שאין בו מסה.

שיטה ניסיונית למצוא את מרכז המסה היא לתלות את הגוף מנקודה מסוימת הממוקמת על הדופן שלו ואז לתלות מהנקודה אנך בנאים (בעצם חוט עם משקולת). נסמן את האנך על הגוף ונבצע מדידה נוספת מנקודה אחרת על הדופן. מרכז המסה ימצא בנקודה בה נפגשים שני האנכים. לחלופין, ניתן לחפש נקודה שכאשר תולים ממנה את הגוף הוא נשאר מאוזן, כלומר אינו נוטה להסתובב בגלל כוח הכבידה.

חישבו על מרכז המסה כעל נקודה שעליה אני יכול להפעיל את חוקי ניוטון, כפי שהם כתובים בספר, מבלי לחשוש מסיבובים שאינם מתוארים באופן ישיר על ידי חוקים אלה. אם כך, ברור מדוע גוף שנתלה מנקודה שאינה מרכז המסה נוטה להסתובב. על מרכז המסה פועל כוח הכבידה שמושך אותו כלפי מטה עד שה-'חוט' שמחבר אותו לנקודת התליה נמתח ואינו מאפשר ירידה נוספת (ראו איור 5). בעצם נוכל לחשוב על כל גוף כעל מטוטלת שכל המסה שלה מרוכזת במשקולת קטנה בקצה החוט (שהיא מרכז המסה). המשקולת תמיד תשאף לנוע כלפי מטה, בהשפעת כוח הכבידה, אם החבל מאפשר זאת. זה גם אומר שנדנדה שציר הנדנוד נמצא בדיוק במרכז המסה תישאר יציבה גם אם היא נוטה בזווית, וזה דבר מוזר שקשה לדמיין וצריך לראות כדי להאמין.

איור 5: ניתן לחזות סיבוב גופים לפי המיקום של מרכז המסה ביחס לנקודת התלייה. מרכז המסה ישאף לנוע למטה בהשפעת כוח הכבידה.

***

למה אנחנו מתכוונים באסטרונומיה כשאנחנו אומרים 'ירח'? הכוונה אינה לירח הספציפי של כדור הארץ, אלא לירח כלשהו.

במילה ירח אנחנו מתכוונים ללוויין טבעי, שלא נוצר על ידי בני אדם, ושחג סביב גוף שמימי אחר. למשל, הירח שאנו רואים בשמי הלילה הוא ירח של כדור הארץ, ותחת ההגדרה הצרה הזאת כדור הארץ הוא ירח של השמש. נשים לב שמדובר בשני גופים שנעים סביב מרכז משותף, אך אחד מהם קיבל דרגה גבוהה יותר מהשני. קיימים מצבים בהם שני גופים נעים סביב מרכז משותף, אך הם שווים בעינינו בדרגתם ואף אחד מהם לא יקרא ירח של השני. כיצד ניתן להחליט עבור צמד גופים שמימים כאלה האם אחד מהם הוא ירח של השני או שהם בדרגה שווה?

האם הגודל קובע? לא. גנימד, אחד הירחים של צדק, גדול בקוטרו מכוכב חמה. אז איזה קריטריון חלופי נוכל להציע?

יש להבין שכל טקסונומיה (שיטת סיווג, מיון או קלסיפיקציה) היא שרירותית, והשאלה היא האם היא מועילה. בנוסף, חשוב שהיא תהיה חד משמעית וקלה לאבחנה ככל שניתן.

***

שני גופים הנעים סביב נקודה משותפת למעשה נעים סביב מרכז המסה בין שניהם. באסטרונומיה נהוג לכנות את מרכז המסה של מספר גופים שמימים החגים סביבו כ-Barycenter, ויכונה כאן מרכז-ברי לשם נוחות.

בין שני גופים, השונים מאוד בגודלם, ימצא מרכז-ברי בתוך הגוף הגדול. ממבט צד יראה שהגוף הקטן מקיף את הגוף הגדול והגוף הגדול מתנודד מעט מצד לצד כשיכור (ראו אנימציה 6).

אנימציה 6: תנועה של שני גופים בעלי מסה שונה סביב מרכז המסה. שמאל: מרכז-ברי מחוץ לשני הגופים בדומה למערכת פלוטו-כארון. מרכז: מרכז-ברי בקצה אחד הגופים בדומה למערכת כדה"א-ירח. ימין: מרכז-ברי קרוב למרכז אחד הגופים בדומה למערכת כדה"א-שמש. המקור לגיפים: ויקיפדיה, ויקיפדיה וויקיפדיה, לשם הועלו על ידי המשתמש Zhatt.

בואו ונחשוב על הקריטריון הבא: אם מרכז-ברי של שני גופים נמצא בתוך אחד הגופים, הגוף שבתוכו נמצא המרכז יקרא הגוף הראשי והגוף השני יקרא הירח שלו. למשל, מרכז-ברי של המערכת כדה"א-ירח נמצא בתוך כדה"א, כשלושה רבעים ממרכזו. מרכז-ברי של מערכת שמש-כדה"א נמצאת קרוב מאוד למרכז השמש. עד פה הכול טוב.

[הערת שוליים: נהוג לומר שכדה"א נע סביב מרכז השמש, או ליתר דיוק, נע במסלול אליפטי כאשר השמש נמצאת באחד ממוקדי האליפסה. אבל לאמיתו של דבר, גם השמש וגם כדה"א נעים במסלולים אליפטיים שונים כאשר יש מוקד אליפסה משותף לשני המסלולים והוא מרכז-ברי של שניהם. מכיוון שמרכז-ברי שלהם נמצא כל כך קרוב למרכז השמש, הקירובים שאנחנו מבצעים בד"כ הם מצוינים.]

אך אליה וקוץ בה. לפי ההגדרה שהצעתי, כארון הוא לא ירח של פלוטו, וצדק הוא לא ירח של השמש. האם זה חשוב? האם זה יעיל? האם זה בסדר?

***

לסיום, אני ממליץ לכל מי שלא שבע עדיין מוויכוחים על הגדרות וסיווג באסטרונומיה, ועדיין בוערת בקרבו סוגיית סיווגו של פלוטו (כוכב לכת או סתם גוש במערכת השמש) לקרוא מאמר כתוב היטב מאת סטיבן נובלה בבלוג שלו, שם הוא מתאר בבהירות את הבעיה ואפילו מציע פתרון מקורי משלו. נובלה אינו אסטרונום, אלא ניורולוג וחובב אסטרונומיה שכותב וחושב בצורה חדה וברורה.

:קטגוריותכללי תגיות: , ,

לא העיף אותי ולא במקרה – פריקונומיקס – יומן קריאה

כרוניקה:

ב-2005 פורסם ספר בשם "פריקונומיקס" (Freakonomics) והיה לרב-מכר.

ב-2006 פורסם הספר בעברית בהוצאת כתר.

ב-2017 יצא שוב הספר בעברית בגרסה מחודשת בהוצאת כנרת-זמורה-ביתן-דביר-וכהנה-וכהנה.

ב-2018, לפני החגים, יצא לי להיות בחנות ספרים כשבידי תלושים שיש לבזבז. הבחנתי בספר על המדף והחלטתי שהגיע הזמן לקרוא אותו באיחור אופנתי, שנים לאחר דעיכת ההייפ.

ב-2018, אחרי החגים סיימתי לקרוא את הספר וכתבתי יומן קריאה במטרה לפרסמו בבלוג זה.

ב-2018, אחרי החגים + כמה ימים גיליתי שכבר ב-2005-2006 פורסמו ברשת שני מאמרים בעברית על הספר מאת יובל נוב וגלעד סרי לוי שכללו את רוב מה שחשבתי עליו.

עכשיו

***

לפני מספר ימים שמעתי פרק בפודקאסט שדן בביקורות (בד"כ לא נכונות, לדעת המתדיינים) על כלכלה וכלכלנים. המסקנה העיקרית שאני הפקתי מההאזנה היא שאני לא באמת יודע מה עושה ומה חושב חוקר כלכלה באקדמיה במהלך עבודתו. מכאן שאינני כשיר להעריך איכות מחקר בכלכלה וטיעונים בכלכלה ולכן אמנע מכך. פשוט לא התחום שלי.

***

תמונה של העותק שלי

את הספר "פריקונומיקס" כתבו במשותף העיתונאי סטיבן דבנר והכלכלן סטיבן לוויט. בכל פרק בספר נשאלת שאלה מפתיעה שמובילה לדיון מעניין ותשובה מפתיעה. למשל: למה סוחרי סמים גרים עם אמא? (כי רובם עניים). מה משותף למורים ולמתאבקי סומו? (רבים מהם מרמים). הטענה המפורסמת בספר היא שהירידה בפשיעה בבניו-יורק בשנות ה-90 לא נבעה מיד הברזל של רודולף ג'וליאני, אז ראש העיר, אלא מאישור ההפלות ב-1973 (הילדים שנועדו לפשע, לא נולדו). הכותבים מסבירים כיצד הם משתמשים במידע ובטכניקות מחקר סטטיסטיות כדי להפריך רעיונות מקובלים ולהציע הסברים חלופיים משלהם.

הספר קל לקריאה, כתוב בצורה קולחת ובאווירה מבודחת, הקוריוזים משעשעים. אבל היה דבר שהפריע לי מאוד במהלך הקריאה והוא שלא הצלחתי להבין מה נושא הספר. קריאת המבוא הבהירה לי שגם הכותבים לא יודעים. הפרקים הם רצף של אנקדוטות שהקשר ביניהם הוא הכותב וההוגה שלהן. כמו סדרה של רשימות בבלוג.

הספר עסוק בחלקים רבים שלו בביקורת על המחשבה הלקויה של כל מי שדעתו שונה מזו של החוקר. בעיקר מוזכרים ניתוחים לא נכונים של מידע ובלבול בין מתאם לסיבתיות. בכל פרק הכותבים מציעים את תיאורית הזהב החלופית שלהם ומגבים אותה בנתונים. אותי, באופן אישי, לא הצליחו הכותבים לשכנע במרבית המקרים. לדעתי, לא היטיבו צמד הסטיבנים לשכנע שהניתוחים שלהם נכונים יותר מהניתוחים שהם פוסלים. אין זה משנה אם הם צודקים או לא, אלא רק שאינם משכנעים. (במשך השנים נקטלו על ידי מבקרים. ראו למשל סקירה על עניין ההפלות בדף הויקיפדיה של הספר).

נתקלתי בספר בשתי תופעות ביזאריות למדי. האחת – ריבוי טבלאות גדולות ומיותרות לחלוטין. לדעתי אין הטבלאות תורמות דבר מלבד ניפוח מספר הדפים הנדרשים להדפסת פרק 6. התופעה המוזרה השניה היא התשבוחות הרבות והמביכות המורעפות על הכלכלן לוויט בתחילת כל פרק. אינני טוען שאינו ראוי להן, חלילה (אין לי מושג בתחום), אלא שהוא אחד הכותבים של ספר שעסוק באופן פעיל בהאדרת עצמו. קריפי.

ספר זה הזכיר לי את הסיפורים והגישה של מלקולם גלדוול, שלו חבים הכותבים הרבה, ואת ספרו המצליח של דן אריאלי "לא רציונלי ולא במקרה", גם הוא רב מכר. מה הופך ספרים אלה לרבי-מכר? מה מקשר ביניהם? הרשו לי למלא פי מים בעניין זה.

לסיכום, ספר קריא מאוד. רבים ימצאו אותו מעניין. להרגשתי, לא למדתי ממנו כלום.

:קטגוריותכללי תגיות: , ,