ארכיון

Archive for מאי, 2016

מעשה בכלב, ג'ירפה ונחש – על גאות ושפל

אתחיל בלנסות ולהגדיר מושג חדש: 'שאלה לא סימטרית'.

שאלה לא סימטרית, תחת הגדרתי, היא מחד שאלה פשוטה, קלה להבנה, בנושא שכל אחד מכיר או חווה. מאידך, היא שאלה כזאת שהאדם הממוצע, להפתעתו, או שיתקשה לענות עליה, או שיענה באופן שגוי מבלי לדעת, או שהתשובה תסתבר, לרוב, כסבוכה להפליא.

הנה שלוש דוגמאות לשאלות לא סימטריות: 1) מדוע אסטרונאוטים מרחפים בתחנת החלל? 2) מה הסיבה לעונות השנה? 3) מה הסיבה לתופעת הגאות והשפל?

השאלה הראשונה היא הפשוטה ביותר מבין השלוש ועסקתי בה ברשימה קודמת. השאלה השניה עוסקת בנושא שאני לא אוהב אז תצטרכו לחפש תשובה במקום אחר. השאלה השלישית היא השטנית מכולן, ואיתה אני אנסה להתמודד הפעם.

***

נתחיל מכלב נקניק. בואו ונניח שכלב תחש ארוך במיוחד יושב ליד תנור ביום חורף קר. הכלב יושב כשגופו בניצב לתנור, ראשו צמוד לתנור ואחוריו רחוקים ממנו. סביר להניח שאפו חרוך מרוב חום בעוד שאחוריו הרחוקים קפואים. כלומר, החום שיוצא מהתנור מתפזר ונחלש כתלות במרחק מהמקור כך שכלב ארוך יכול להרגיש הפרש טמפרטורה משמעותי בין קצה אפו לאחוריו.

Picture1
איור 1: כלב נקניק עם אף חם ואחוריים קרים.

שדה הכבידה שקשור לגופים בעלי מסה פועל בדרך דומה. גוף בעל מסה הנמצא בשדה הכבידה של גוף אחר (אותו נכנה 'מקור') מרגיש כוח כבידה בכיוון משיכה שהולך ונחלש ככול שהמרחק מהמקור גדל.

כעת דמיינו ג'ירפה אינטרגלקטית שרגליה על פני כדור-הארץ וראשה בגובה תחנת החלל הבינלאומית. אורכה של הג'ירפה גדול מספיק כך שכוחות הכבידה שפועלים על ראשה חלשים בכ-10 אחוזים מהכוחות שפועלים על רגליה ולכן, ככל הנראה, תוכל להרגיש בהבדל.

Picture1

איור 2: ג'ירפה אינטרגלקטית. על ראשה פועל כוח כבידה חלש יותר מעל רגליה.

***

נניח נחש שנע על הקרקע בקו ישר. כל עוד חלקי הנחש (ראש, בטן, זנב וכו') נעים לאורך הקו באותה המהירות ניתן לתאר אותו כנקודה בודדת הנעה במהירות הנתונה. אם הנחש נע בתאוצה זה אומר שכל חלקיו מגדילים את מהירותם בקצב שווה ולכן ניתן להתייחס אליו כנקודה שמגדילה את מהירותה בקצב קבוע.
דמיינו כעת מקרה אחר שבו הראש של הנחש מאיץ בתאוצה גדולה, מרכז גופו של הנחש בתאוצה בינונית וקצה זנבו בתאוצה נמוכה. ברגע הראשון כל חלקי הנחש מתחילים תנועתם ממנוחה. לאחר מספר רגעים הנחש ישנה את מיקומו, אך יקרה לו דבר נוסף שהוא זה שמעניין אותנו. ראשו של הנחש ינוע במהירות גבוהה ממרכז גופו שינוע במהירות גבוהה מקצה זנבו. כל רגע נוסף שיעבור יגדיל את פער המהירויות, ולכן גם את פער המיקום בין חלקי הנחש. הראש מתרחק ממרכז הגוף, מרכז הגוף מתרחק מקצה הזנב ולכן ברור שהראש מתרחק מקצה הזנב. אם כך, צופה שרוכב על גבו של הנחש יטען שהנחש נמתח ומתארך מכיוון שפועלים עליו שני כוחות: אחד המותח את ראשו קדימה ושני שמותח את זנבו אחורה.

Picture3
איור 3: נחש שתאוצת ראשו גדולה מתאוצת קצה זנבו. לאדם הרוכב על גבו של הנחש נראה כי פועלים כוחות המותחים את הנחש משני קצותיו.

החוק השני של ניוטון פוסק שהתאוצה שבה נע גוף שווה לכוח שמופעל עליו מחולק במסתו. כאשר גוף נמצא בשדה כבידה, הקצה שקרוב למקור ירגיש כוחות גדולים יותר מהקצה הנגדי. בהנחה שהגוף חופשי לנוע, מקרה זה זהה למקרה של הנחש. הקצה הקרוב למקור נע בתאוצה גדולה יותר מהקצה הרחוק ולכן הגוף יחוש כוחות מתיחה. כוחות אלה מכונים בפיזיקה 'כוחות גאות'.

***

כדור הארץ נמצא בשדה הכבידה של הירח. קוטר כדור הארץ הוא בערך 13,000 קילומטר. הוא גדול מספיק כך שיש הבדל משמעותי בין כוח הכבידה שמורגש בקצה הקרוב לירח לבין זה שמרוחק ממנו. אם כך, כדור הארץ חש כוחות גאות שמותחים אותו על כיוון הציר שמחבר בין מרכזו למרכז הירח. כוחות אלה גורמים לכדור הארץ להימתח מעט לצורת ביצה. אם נדמיין את כדור הארץ כביצה מכוסה במים קל לדמיין את המים שאינם מחוברים לקרקע נמתחים לשני הקצוות של הביצה. באזורים אלה מתרחשת גאות ובשני הקצוות שאינם יושבים על ציר זה נצפה לשפל (ראו איור 4).

Picture4
איור 4: כוחות גאות של הירח על כדור הארץ מושכים את מימי האוקיאנוסים וגורמים לתופעת הגאות. פעמיים ביום גאות ופעמיים ביום שפל. המקור לאיור: ויקיפדיה.

אם אנחנו נמצאים כרגע בנקודת גאות, רבע יום מאוחר יותר הירח השלים רבע סיבוב סביב כדור הארץ ולכן הגאות תהפוך לשפל. רבע יום נוסף אחר כך אנחנו בנקודה המרוחקת ביותר מהירח ולכן שוב בנקודת גאות. רבע יום אחר כך שוב שפל ולבסוף, יום לאחר שהתחלנו לספור אנחנו שוב קרובים לירח וחווים גאות. אם כך, ברור מדוע בכל יום יש פעמיים שפל ופעמיים גאות.

ומה לגבי שדה הכבידה של השמש? האם היא לא מפעילה עלינו כוחות גאות? התשובה היא שהיא אכן מפעילה על כדור הארץ כוחות גאות בדיוק מאותן סיבות. בשקלול מסתה הגדולה ומרחקה הרב, כוחות הגאות מהשמש חלשים בערך פי 2 מאלה של הירח ויכולים לחזק או להחליש את הגאות והשפל של הירח כתלות במיקום הגופים. במקרה שהירח, השמש וכדור הארץ נמצאים על אותו הקו כוחות הגאות מתחברים ונקבל גאות גבוהה יותר ושפל נמוך יותר. במידה והקווים המחברים בין שמש לכדה"א ובין הירח לכדה"א ניצבים כוחות הגאות פועלים בכיוונים מנוגדים ונקבל גאות נמוכה ושפל גבוה (ראו איור 5).

Picture5
איור 5: השפעת השמש על תופעת הגאות. כאשר השמש, הירח וכדה"א על אותו הקו, הגאות מתחזקת, וכאשר הקווים המחברים בין שני הגופים לכדה"א ניצבים הגאות נחלשת. המקור לאיור: ויקיפדיה.

אז זהו? זה הכל? לא, לא…

***

למעשה זה רק חלק מההסבר, החלק הקל.

אם נשתמש במודל הזה לחישוב גובה הגאות, נקבל ערכים שגויים. הגובה מושפע באופן משמעותי מצורת היבשות ופיזור הלחצים על פני כדור הארץ. לכן, אם נרצה לדעת מה גובה הגאות בנקודה מסוימת על פני הכדור, עדיף פשוט למדוד אותה.

כמו כן, אם נשרטט את כוחות הגאות על פני כל הכדור ולא רק על הקו המחבר בין מרכזי שני הכדורים נקבל כוחות מתיחה על הקו המחבר בין מרכזי הכדורים, ואילו על הקו הניצב נקבל כוחות לחיצה או מעיכה. כלומר הכדור לא רק נמתח לאורך, אלא הוא גם נמעך לרוחב, ואני לא בטוח בדיוק איזה תופעה משמעותית יותר (ראו איור 6). מי שמעוניין בדיון הזה מוזמן לצפות ב-9 דקות הראשונות של הסרטון המעניין הזה.

Picture6
איור 6: כוחות הגאות על כדור הארץ בהשפעת הירח. ניתן לראות שעל הקו המחבר בין כדה"א לירח יש כוחות מתיחה ועל הקו הניצב לו יש כוחות לחיצה. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש Krishnavedala.

לסיכום, תופעת הגאות היא הרבה יותר מורכבת ממה שהיא נראית במבט ראשון. ככה זה.

מודעות פרסומת

לתארך את סבא – על תיארוך רדיומטרי

סבא זקן מאוד. כל כך זקן שאתם חושדים שהוא יכול להיכנס לספר השיאים כאיש הזקן בעולם. אבל יש בעיה. סבא זקן מאוד והתעודות הרשמיות שבהן רשום תאריך לידתו, אם אי פעם היו בכלל קיימות, אינן קיימות כעת.

בעבר שמעתם על תיארוך שארכיאולוגים ואפילו גיאולוגים עושים לממצאים היסטוריים ופרה-היסטוריים ואתם תוהים האם אפשר לתארך את גילו של סבא.

מהו בכלל תיארוך מסוג זה? מה המדע שעומד מאחוריו? האם סבא רדיואקטיבי? על זאת ועוד בהמשך. אך ראשית נתחיל בהתחלה.

***

כל חומר מורכב מאטומים.

כל אטום מורכב מאלקטרונים בעלי מטען חשמלי שלילי ומגרעין שמורכב מנויטרונים ללא מטען חשמלי ופרוטונים בעלי מטען חיובי. מה שקובע את סוג החומר הוא מספר הפרוטונים שבו. אטום שמספר האלקטרונים בו שונה ממספר הפרוטונים הוא בעל מטען חשמלי ומכונה יון. אם מספר הפרוטונים בגרעין ישתנה אז פשוט קיבלנו אטום אחר.

אטומים עם מספר שונה של נויטרונים נקראים איזוטופים. לדוגמה, באטמוספירה נוכל למצוא אטומי פחמן עם 6 פרוטונים ו-6 נויטרונים (מכונה פחמן 12) אך נוכל גם למצוא בכמות קטנה פחמן עם 6 פרוטונים ו-8 נויטרונים (פחמן 14), כלומר איזוטופ אחר של פחמן.

פחמן 14 הוא דוגמה לאיזוטופ לא יציב. הכוונה היא שהכוחות הגרעיניים אמנם מחזיקים את הגרעין אך אנרגטית עדיף לו להפטר מנויטרונים, ואם ימצא הזדמנות טובה יעשה זאת.

ישנן שתי דרכים רלוונטיות לעניינינו עבור גרעין לא יציב להפחית את מספר הנויטרונים שלו. בתהליך הראשון יפלט מהגרעין חלקיק עם שני פרוטונים ושני נויטרונים, שהוא בעצם גרעין הליום. החלקיק הנפלט נקרא באופן מסורתי 'חלקיק אלפא' והתהליך מכונה 'קרינת אלפא'. בתהליך השני אחד הנויטרונים יתחלף לפרוטון נוסף בגרעין ומתוך הגרעין יפלטו אלקטרון וחלקיק נוסף שנקרא נויטרינו. התהליך השני נקרא 'קרינת בטא'. נשים לב שבשני התהליכים מספר הפרוטונים בגרעין משתנה ולכן האטום משתנה לאטום אחר. החלקיקים שנפלטים בשני המקרים טעונים חשמלית, אך עבור אלפא הם כבדים (באופן יחסי) וטעונים חיובית ועבור בטא קלים וטעונים שלילית.

קרינת אלפא ובטא

איור 1: המחשה של קרינת אלפא ובטא. המקור לאיור: ויקיפדיה וויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש Inductiveload.

שני התהליכים שציינתי הם חלק מהתופעה שמכונה 'רדיואקטיביות'. התופעה התגלתה על ידי הנרי בקרל, והזוג פייר ומארי קירי. הגילוי זיכה אותם בפרס נובל בפיזיקה ב-1903. ישנה גם 'קרינת גאמא', שבה נפלטת קרינה אלקטרומגנטית, אך היא אינה חשובה לעניין הנידון כאן.

Pierre_and_Marie_Curie
תמונה 2: מארי ופייר קירי במעבדה בשנת 1904. המקור לתמונה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Kuebi.

התפרקות רדיואקטיבית היא תהליך אקראי לחלוטין ברמת הגרעין הבודד. אין ביכולתנו לדעת מתי גרעין מסוים יתפרק. עם זאת, הסטטיסטיקה של אוכלוסיה גדולה של גרעינים היא צפויה לחלוטין. נוכל למשל למדוד מה הזמן שיחלוף עד שחצי מאוכלוסיה של גרעינים רדיואקטיביים תתפרק. אם נשוב ונמדוד את גודל האוכלוסיה לאחר שיחלוף אותו הזמן נגלה שהיא שוב קטנה בדיוק פי שתיים. הזמן הזה מכונה 'זמן מחצית חיים' והוא מאפיין קבוע של כל סוג אטום רדיואקטיבי וקשור בהסתברות שלו להתפרק ביחידת זמן. ערכו יכול לנוע בין מיליארדי שנים (אורניום), אלפי שנים (פחמן 14) לבין דקות ואף שניות עבור איזוטופים אחרים. כלומר אם ידוע לנו זמן מחצית החיים של חומר רדיואקטיבי מסוים נוכל לחזות את כמות החלקיקים בכל רגע בעתיד בדיוק רב (לפי דעיכה אקספוננציאלית).

חומרים רדיואקטיביים מתפרקים והופכים לחומרים אחרים שבמקרים רבים גם הם רדיואקטיביים וכך נמשכת השרשרת בהתפרקויות אלפא ובטא עד שהיא מגיעה לחומר יציב. למרבה ההפתעה קיימות בטבע רק ארבע שרשראות כאלה ששלוש מהן מסתיימות באיזוטופים של עופרת.

***

הרעיון הכללי שעומד מאחורי תיארוך באמצעות רדיואקטיביות (בעגה: תיארוך רדיומטרי) הוא למצוא נקודת זמן בעבר שבה היחס בין הכמויות של שני חומרים בתוך פיסה כלשהי (סלע, עץ וכדומה) ידוע. בהנחה שהפיסה היא מיוחדת בכך שהיא מתהווה למערכת סגורה עבור שני חומרים אלו ואחד מהם רדיואקטיבי נוכל למדוד את היחס ביניהם כיום. על ידי השוואת יחס האטומים היום לערכו הידוע בעבר נוכל לחשב כמה זמן חלף.

היאזרו בסבלנות. זה יהיה יותר ברור דרך שתי דוגמאות.

ישנן שתי שרשראות התפרקות שמתחילות באורניום (238 או 235) ומסתיימות בעופרת (206 או 207 בהתאמה).

זירקון הוא מינרל גבישי נפוץ מאוד בקרום כדור הארץ שנמצא בסלעים מסוגים שונים. במהלך היווצרותו של הזירקון יכולה לחדור אליו כמות קטנה של אורניום ולהיטמע במבנה הגבישי. עופרת, לעומת זאת אינה יכולה להיטמע.

גביש זירקון
תמונה 3: גביש זירקון. המקור לתמונה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמשים Eurico Zimbres ו-Tom Epaminondas.

אם כך, היווצרות גביש זירקון היא נקודת זמן שבה היחס בין כמות האורניום לכמות העופרת בו ידועה (אין עופרת). לאחר סיום היווצרותו של הגביש הוא מהווה מערכת סגורה שבה אטומים של אורניום ועופרת לא נכנסים ולא יוצאים. כל אטום עופרת שנמצא בתוך הגביש הוא תוצאה של התפרקות רדיואקטיבית של אורניום. על ידי מדידת היחס בין כמות העופרת לכמות האורניום בגבישי זירקון ניתן לתארך במדויק את גילם וכך את גיל הסלעים בהם נמצאו.

השיטה הזאת נקראת, באופן לא מפתיע, 'תיארוך אורניום-עופרת' וניתן לקבוע באמצעותה את גיל היווצרותם של סלעים בני מיליון עד כ-4.5 מיליארד שנים בדיוק של אחוז בודד ואף פחות.

נשים לב שבשרשרת ההתפרקויות אורניום-עופרת זמן מחצית החיים של כל הפרטים קטן כל כך ביחס לזה של האורניום כך שבאופן מעשי נמצא אך ורק גרעינים של התחנה הראשונה, אורניום, ושל התחנה האחרונה, עופרת.

***

באטמוספרה מתרחש ללא הרף תהליך בשיווי משקל. למערכת, שהיא האטמוספרה, נכנסים כל הזמן אטומי פחמן 14 חדשים שנוצרו בתהליכים שקשורים לקרינה הקוסמית ויוצאים ממנה אטומי פחמן 14 שהתפרקו רדיואקטיבית. בכל רגע נתון נשמר יחס קבוע בין כמות האיזוטופים פחמן 12 ו-14.

מכיוון שכל היצורים החיים עשויים מחומרים אורגניים שעשויים משרשראות פחמן, ואת הפחמן הם צורכים מהאטמוספרה (או מצריכה של יצורים אחרים) סביר להניח שכל עוד הם חיים היחס בין האיזוטופים בתוכם זהה לזה שמסביבם.

מתי יופר איזון זה? כאשר היצור יפסיק להחליף חומרים עם סביבתו, כלומר לאחר מוות. אם כך, כל עוד עץ חי, היחס בין כמות אטומי פחמן 12 ו-14 בתוכו ידוע. מרגע שהוא מת הוא מהווה מערכת סגורה שבה כמות האיזוטופ פחמן 14 יורדת עקב התפרקויות רדיואקטיביות ולכן היחס בין האיזוטופים של הפחמן משתנה. על ידי מדידת היחס כיום נוכל לתארך את גילה של פיסת העץ, כלומר להעריך את הזמן שעבר מרגע שהעץ הפסיק לחיות ועד עכשיו.

השיטה הזאת נקראת 'תיארוך באמצעות פחמן 14' והיא השיטה העיקרית המשמשת ארכיאולוגים.

נשים לב שזמן מחצית החיים של האיזוטופ הרדיואקטיבי הוא זה שקובע את סקלת הזמן הרלוונטית בתיארוך. מאות מיליוני שנים עבור אורניום-עופרת ואלפי שנים עבור פחמן 14.

***

ומה עם סבא?

סבא זקן מאוד אבל גילו לא קרוב למיליון שנים ולא סביר שנוצרו בגופו גבישי זירקון. לכן תיארוך אורניום-עופרת לא רלוונטי.

סבא עדיין חי ולכן כמות הפחמן 14 בגופו נמצאת בשיווי משקל עם האטמוספרה ולכן גם תיארוך פחמן 14 לא בא בחשבון.

הלך השיא.