מותק, הילדים התכווצו והזמן התארך – מבוא למבוא למבוא לתורת היחסות הפרטית

מרבית האנשים בעולם שמעו משהו על תורת היחסות של אלברט איינשטיין, מי יותר ומי פחות. הכל יחסי לא? אבל אם נודה על האמת, לכל מי שלא למד פיזיקה, וגם ללא מעט שכן, זה לא אומר הרבה. מדובר באחד מהרעיונות המבלבלים שקיימים.

בעקבות הצלחת הסרט 'בין הכוכבים' (Interstellar), נדמה לי שנוצר עניין מחודש ברעיונות של תורת היחסות ולכן זאת הזדמנות טובה לכתוב על זה כמה דברים בצורה מסודרת.

רשימה זאת עוסקת ברעיונות שעומדים בבסיסה של תורת היחסות הפרטית, להבדיל מתורת היחסות הכללית. אינני הולך לרשום פה שום דבר חדש, ובכל זאת, אנסה לעשות סדר בדברים ולהסביר את הבסיס של הבסיס בצורה מובנית. זהו. בואו ונתחיל.

כל הצופים צודקים

וודאי קרה לכם בעבר שישבתם ברכבת בעודה בתחנה ובמסילה מקבילה עצרה רכבת נוספת. במקרים אלו קורה לא פעם שכאשר אחת הרכבות מתחילה לנוע, קשה להחליט במשך כמה רגעים מי מהרכבות נוסעת ומי עומדת והאם היא נוסעת קדימה או אחורה. בסופו של דבר פריט מידע שנבחין בו לאחר כמה שניות כמו רטט המנוע או משהו בחוץ יגלה את התשובה ומיד נשכח מכל הבלבול. הסרטון הבא ממחיש היטב את התופעה.

 

מי מהרכבות נעה?

***

נניח שאריק נמצא בתוך רכבת שנוסעת ב-50 קמ"ש. ברגע מסוים הוא מביט מהחלון ומבחין בבנץ העומד בתחנה ומנופף לו לשלום. אריק רואה את דמותו של בנץ מופיעה משמאלו וחולפת ימינה, אך מכיוון שהוא יודע שהוא נוסע ברכבת הוא מבין שזהו בנץ שעומד והוא שנע מימין לשמאל.

כעת נניח שאריק ובנץ הם הגופים היחידים שקיימים והם מבצעים את אותה התנועה (לא חשוב איך זה נעשה). במצב זה אין ביכולתו של אריק לקבוע האם הוא נע שמאלה או שזהו בנץ שנע ימינה, מכיוון שאין רכבת ואין נוף ואין רוח. שניהם צודקים באותה מידה.

מה יקרה אם אריק יזרוק כדור קדימה, לכיוון תנועת הרכבת, במהירות 5 קמ"ש (ראו איור 1)? מנקודת מבטו של אריק, הכדור מתרחק ממנו במהירות 5 קמ"ש ולכן זאת מהירות תנועתו. מנקודת מבטו של בנץ, לעומת זאת, הכדור נע במהירותה של הרכבת עוד שהיה בידיו של אריק, וכאשר הכדור נזרק הוא אמנם מתרחק מאריק במהירות 5 קמ"ש אבל נע ביחס לקרקע במהירות 55 קמ"ש. ואם זה לא מספיק, אז חייזרים שזופים במיוחד שמביטים בנו מפני השמש רואים את אריק, את בנץ ואת הרכבת נעים במעגל סביבם. וכולם צודקים באותה מידה.

איור 1: אריק משחק בכדור על רכבת נעה בעוד בנץ צופה מחוץ לרכבת. לא לצחוק על ציור הרכבת שלי!!!

מה יראו שני החברים אם אריק יזרוק כדורסל אל רצפת הרכבת ויתפוס אותו שוב? מנקודת מבטו של אריק, הכדור נע בניצב לרצפת הרכבת, פוגע בה, וחוזר אל ידיו. מנקודת מבטו של בנץ, הכדור נע בצורת האות 'וי', מכיוון שכל הרכבת נעה בכיוון אופקי (ראו איור 2). מכיוון שמנקודת מבטו של בנץ הכדור עובר דרך ארוכה יותר באותו הזמן, מהירות הכדור שהוא רואה גבוהה יותר מזו שיכריז עליה אריק.
[הערת שוליים: כפי שהעיר לי הקורא ערן ג., מסלול תנועתו של הכדור אינו בצורת 'וי' אלא בצורת פרבולה מכיוון שמהירותו בכיוון האנכי אינה קבועה. זה בדיוק הנושא שדנתי בו ברשימה הקודמת על ניסוי המישור המשופע של גלילאו ועל תנועה בתאוצה. עם זאת, הטיעון על הארכת המסלול נשאר על כנו, וכך יותר נוח להשוות בין תנועת הכדור לתנועת קרן אור. 'עד כדי קבוע', זוכרים?]

איור 2: זריקת כדור אנכית מנקודת הראות של אריק על הרכבת ושל בנץ מחוץ לרכבת. [ראו הערת שוליים למעלה לגבי תיקון לגבי מסלול תנועתו של הכדור מנקודת מבטו של בנץ].

 

 

הזמן מתארך

כעת בואו ונניח שבמקום לזרוק כדור, אריק מאיר באמצעות ציין לייזר לכיוון מטה, אל מראה המונחת על רצפת הרכבת. מנקודת מבטו של אריק, קרן הלייזר נעה במהירות האור בכיוון אנכי, פוגעת במראה על הרצפה ומוחזרת מעלה. מנקודת מבטו של בנץ, לעומת זאת, קרן הלייזר נעה בצורת האות 'וי' מכיוון שהרכבת עצמה נעה, בדיוק כמו הכדור (ראו איור 3). אם כן, מנקודת מבטו של בנץ, קרן הלייזר עוברת דרך ארוכה יותר, ולכן נעה מהר יותר.

איור 3: הארה בכיוון אנכי מנקודת הראות של אריק על הרכבת ושל בנץ מחוץ לרכבת.

אבל כאן נכנס העיקרון (השני) שעליו נסמכת תורת היחסות הפרטית והוא שכל הצופים בכל המערכות רואים את האור נע באותה המהירות, שהיא מהירות האור. מכאן שלא יתכן שאחד הצופים רואה את האור נע במהירות גבוהה ממהירות האור.
[הערת שוליים: אני לא אעסוק כאן בסיבות שהביאו את איינשטיין להבנה הזאת. ראו סרטון למטה].

אז איך זה מסתדר?

כדי לשמר את מהירות האור עבור כל הצופים נצטרך לוותר על משהו אחר. מהירות קרן האור נתונה על ידי המרחק שהיא עוברת בפרק זמן כלשהו, כלומר דרך חלקי זמן. אם אנחנו נתעקש לשמר את המהירות, אז נאלץ לוותר על אחידות הזמן והאורך בין צופים שונים.

מכיוון שבנץ רואה שקרן האור עוברת מסלול ארוך יותר, אך עדיין נעה במהירות האור, הזמן שהוא רואה לכאורה ארוך יותר. כלומר מנקודת מבטו של בנץ הזמן על הרכבת מתקדם לאט יותר.

בינתיים אריק לא מודע לכל ההתרחשות המוזרה הזאת. מבחינתו השעון שלו מראה בדיוק את הזמן שאמור לקחת לקרן אור לפגוע ברצפת הרכבת בניצב ולחזור, ללא תלות במהירות הרכבת. אם כך, כאשר אריק יביט אל מחוץ לרכבת, כל השעונים שיראה יתקתקו מהר יותר משלו  (תודה לקורא blackyossi על התיקון). מבחינת אריק, הוא נמצא במנוחה וכל העולם סביבו הוא זה שנע. לכן מנקודת מבטו של אריק, השעון שלו יתקתק כרגיל וכל השעונים מחוץ לרכבת יתקתקו לאט.

 

 

האורך מתקצר

נניח כעת שאריק מאיר עם ציין הלייזר בכיוון תנועת הרכבת. בקצה הקרון קרן האור פוגעת במראה שתלויה על הקיר וחוזרת חזרה. מנקודת מבטו של אריק הקרן עברה פעמיים את המרחק בינו ובין הקיר במהירות האור. מנקודת מבטו של בנץ, לעומת זאת, בדרך הלוך עברה הקרן דרך ארוכה יותר כי מיקום המראה בקצה הקרון נע קדימה עם הרכבת. בדרך חזור עברה הקרן דרך קצרה יותר מאותה סיבה. כמו כן, כבר אמרנו שמבחינת בנץ הזמן על הרכבת גם מתקדם לאט יותר.

הדרך היחידה כדי לשמר את נקודות המבט של אריק ושל בנץ, ואת העובדה ששניהם רואים את הקרן נעה במהירות האור, מובילה לכך שאורך הרכבת מתכווץ (תוצאה של תרגיל מתמטי). כלומר מנקודת מבטו של בנץ הרכבת קצרה יותר, בו בזמן שמנקודת מבטו של אריק הכול כרגיל בתוך הרכבת, ובחוץ הכל ארוך יותר  (כנ"ל). מבחינת אריק, הוא נמצא במנוחה וכל העולם סביבו הוא זה שנע. לכן מנקודת מבטו של אריק, הסרגל שלו ישאר באורך הרגיל בזמן שכל הסרגלים (וכל שאר הדברים למעשה) מחוץ לרכבת יהיו קצרים יותר.

סיכום

אז מה היה לנו?

כל אחד רואה משהו שונה וכולם צודקים. כולם רואים את האור נע במהירות האור בכל מערכת. הזמן נמתח והאורך מתכווץ. אתם באמת מאמינים לזה?

ראשית, יש לציין שהתיקונים של תורת היחסות באים לידי ביטוי אך ורק במהירויות גבוהות מאוד (ביחס למהירות האור) ולכן לא נצפה לראות את הזמן מתארך על רכבות מתקצרות (הכניסו כאן בדיחת רכבת-ישראל לפי ראות עיניכם). כמו כן, עד היום נעשו מספר רב של ניסויים שאיששו את התיאוריה, ואולי אספר על חלקם בעתיד. אציין רק שמערכת לוויני ה-GPS שאנחנו משתמשים בה עושה שימוש בתיקונים יחסותיים בכל רגע ורגע. אז הנה.

איך ליפול נכון – על ניסוי המישור המשופע של גלילאו

גלילאו גליליי (1564-1642) היה מתמטיקאי ואיש מדע איטלקי שבעבודתו סימן את תחילתה של המהפכה המדעית באירופה. מה שעניין את גלילאו היה תנועה. תיאורית התנועה של גופים בתקופתו לא עודכנה עוד מימיו של אריסטו, כמעט 2000 שנים קודם לכן. יש לזכור שמתקופתו של אריסטו ועד לתקופתו של גלילאו, במאה ה-17, הדרך המקובלת לגלות את חוקי הפיזיקה היה דרך מחשבה פילוסופית והיגיון. ניסוי היה נחשב לדרך לא אמינה ולא מקובלת לעשות זאת. גלילאו חידש בכך ששילב בין תובנות תיאורטיות, מתמטיות ופילוסופיות לבין ניסויים ובדיקה.

תמונה 1: צילום של פורטרט של גלילאו גליליי שצויר על ידי הצייר הפלמי Justus Sustermans. הפורטרט נמצא במוזיאון 'National Maritime Museum', בלונדון. המקור לתמונה: ויקיפדיה.

בחקירותיו גילה גלילאו שכל גוף, ללא הבדלי דת גזע או מין, נופל אל הקרקע בתאוצה קבועה, כלומר מהירותו משתנה בקצב קבוע. מכאן נובע שהפלת גוף מגובה כפול לא תגרום לזמן הנפילה להיות ארוך פי שתיים. ואם זה לא מספיק, אז מכך נובע גם שבואקום, ללא חיכוך או התנגדות של אוויר, גם נוצה וגם פטיש יפלו אל הקרקע יחדיו.

כיצד הוא הגיע למסקנות האלה?

האגדה מספרת שהוא זרק כדורים מראשו של המגדל הנוטה בפיזה. האגדה אמנם אינה נכונה, אך גלילאו אכן עשה ניסויים של זריקת כדורים. הוא פשוט בחר לעשות זאת בדרך חכמה יותר.

***

הבעיה עם זריקת כדורים היא שהם נופלים מהר מידי וקשה למדוד את מיקומם בזמנים שונים. יש לזכור שבזמנו של גלילאו לא היו צילומי וידאו בהילוך איטי ושעוני עצר מתוחכמים. גליליאו השתמש למדידת זמן בשעון מים, כלומר נתן למים לזרום דרך חריר במהלך התנועה ואז שקל את המים שהצטברו.

בניסויו המפורסם גלגל גלילאו כדור על גבי מסילה משופעת ומדד את המרחק שעבר הכדור בפרקי זמן קבועים (ראו איור 2). המישור המשופע עזר לגלילאו להפחית את הכוח שמושך את הכדור מטה ובכך להאט את תנועתו. ניתן לחשוב על כך כאילו חלק מכוח הכובד מושך את הכדור במורד המדרון וחלק ממנו לוחץ אותו אל המשטח ולכן אינו משפיע על התנועה (בהנחה שאין חיכוך). מסיבה זאת, כדור מתגלגל על מדרון יתנהג כמו כדור נופל, רק שהכוח עליו קטן יותר ותאוצתו, אם קיימת, קטנה יותר.

איור 2: כדור מתגלגל במורד מישור משופע.

אחד החסרונות בשימוש במישור המשופע היה החיכוך של הכדור עם המשטח, שגורם לאיבוד חלק מהמהירות של הכדור. מצד שני, גלילאו חיפש רק את הקשר שבין הזמן למרחק התנועה. החיכוך יפחית את הכוח שמאיץ את הכדור, אבל יעשה זאת בצורה שווה בכל רגע ולכן התאוצה תקטן אך תישאר קבועה. כלומר, החיכוך לא ישנה את הקשר הפונקציונלי בין המרחק והזמן (כפי שיוסבר בהמשך). גלילאו ניסה להקטין את החיכוך בין הכדור למשטח ולכן אינני בטוח אם הוא הבין עד הסוף את השיקולים הללו. בכל מקרה, אין ויכוח על כך שהיתה לו אינטואיציה טובה מעבר לגדר הרגיל.

***

גלילאו מדד את המרחק שעבר הכדור המתגלגל בכל יחידת זמן שנקבעה מראש באמצעות שעון המים. הוא חזר על הניסוי מספר רב של פעמים כדי לוודא שתוצאותיו אמינות ולהגביר את דיוק המדידה. כאשר הוא התבונן בתוצאותיו הוא הבחין בקשר בין המרחק והזמן. ניתן היה לחזות את המרחק שיעבור הכדור בזמן מסוים על ידי העלאת הזמן בריבוע והכפלת התוצאה בקבוע כלשהו (תמיד אותו הקבוע). כלומר, גלילאו מצא שהמרחק שעבר הכדור היה פונקציה של הזמן בריבוע.

אבל מה זה בכלל קשור לתאוצה קבועה?

ראשית, נבין מהי המשמעות של תאוצה קבועה. בכל שניה המהירות גדלה בכמות קבועה. לדוגמה, אם מפילים כדור הוא מתחיל ממהירות אפס, אחרי שניה מהירותו תהיה למשל 10 מטר לשניה, אחרי שתי שניות 20 מטר לשניה, אחרי שלוש שניות 30 מטר לשניה וכך הלאה. כלומר, בכל שניה המהירות גדלה בקצב קבוע של 10 מטר לשניה (ראו איור 3).

איור 3: המפטי-דמפטי נופל מהקיר ומהירותו גדלה בקצב של 10 מטר-לשניה בשניה, כלומר בתאוצה 10 מטר-לשניה-בריבוע.

כמה מרחק עובר הכדור באותו הזמן?

קשה לדעת מראש מכיוון שהמהירות משתנה בכל רגע ולכן פתרון 'דרך-זמן-מהירות' סטנדרטי שלמדנו בבית-הספר לא יעבוד. מצד שני, מכיוון שהמהירות משתנה בקצב קבוע, נוכל לחשב את המרחק באמצעות המהירות הממוצעת.

במה תלויה המהירות הממוצעת בקטע תנועה מסוים? בכמה זמן נסענו ובכמה לחצנו על הגז, כלומר בתאוצה. במה תלוי המרחק שעברנו? כידוע, 'דרך = זמן x מהירות (ממוצעת)', כלומר נכפיל את זמן התנועה במהירות הממוצעת. אבל המהירות הממוצעת, כאמור, תלויה גם היא בזמן הנסיעה. כלומר: 'דרך = זמן x זמן x תאוצה' [הערת שוליים: שווה בערך, חסר פה קבוע כלשהו]. מכאן שהמרחק שעובר גוף בתאוצה קבועה תלוי בזמן התנועה בריבוע. ומכיוון שזה בדיוק מה שמצא גלילאו במדידות שלו, הרי שהוא הראה שגופים נופלים בתאוצה קבועה.

***

במקום מילות סיכום, בואו ונצפה בשלושה סרטונים קצרים ומומלצים של דברים נופלים. אחד על הירח, אחד בואקום ואחד פשוט מצחיק.

הפלת פטיש ונוצה על הירח:

הפלת כדור ונוצות בואקום:

השתכנעתם? אל תהיו כל כך פזיזים, חשבו שוב:

***

אפילוג: חידה לחובבי הז'אנר

אתם עדיין כאן? אז קבלו חידה:

אחד הכדורים של גלילאו נע במורד המישור המשופע ועובר במהלך השניה הראשונה של תנועתו מרחק של סנטימטר אחד. מהו המרחק שיעבור במהלך השניה הבאה של תנועתו? מה המרחק שיעבור בשניה השלישית? הכוונה היא לא למרחק המצטבר מתחילת התנועה אלא רק המרחק שהגוף עובר במהלך אותה שניה (ראו קטעים אדום-ירוק-סגול באיור 2).

האם קיבלתם סדרת מספרים עם חוקיות ברורה? באילו מקרים החוקיות הזאת מתקיימת?

.

.

.

רמז 1 (דק): יש מספר דרכים לפתרון. אחת מהן מוזכרת פה, לקראת סוף הרשימה.

רמז 2 (עבה): צפו בסרטון הזה. כעת אתם יודעים את התשובה. מצאו הוכחה לנכונות הפתרון.