דִיפְרֵנְט דִיפְרֵנְט בָּאט סֵיְים – על אוסילטור הרמוני ומערכות אקוויוולנטיות

הבה נביט יחדיו במטוטלת בשעונו העתיק של סבא שנדה לה ימינה ושמאלה ללא הרף. האם אפשר למצוא עניין בפעולה כל כך מונוטונית? לדעתי כן, ואני אנסה להסביר כיצד.

מה הקשר בין אותה מטוטלת לקפיץ, ואיך שני אלה קשורים למעגל חשמלי?

[אזהרה: הרשימה מכילה הפעם מעט מתמטיקה ברמה תיכונית]

***

איור 1: גוף מחובר לקיר באמצעות קפיץ ונע על מסילה ללא חיכוך.

נניח שגוף שמחובר לקיר על ידי קפיץ יכול לנוע על מסילה ללא חיכוך (ראו איור 1). הסטה קלה של הגוף תגרום למתיחה קלה של הקפיץ ולאגירה של מה שמכונה 'אנרגיה פוטנציאלית' בתוכו. כאשר נשחרר את אחיזתנו הקפיץ יפעיל כוח על הגוף וימשוך אותו אליו, והגוף יחל להאיץ לכיוון הקיר. ככל שהגוף יתקרב לנקודה שבה הקפיץ רפוי כך יקטן הכוח שפועל עליו ותגדל המהירות. באותה נקודה כל האנרגיה שהיתה בקפיץ תהיה אגורה בגוף כ-'אנרגיה קינטית' שקשורה למהירותו. כאשר הגוף עובר את הנקודה הוא גורם לכיווץ הקפיץ שבתורו שוב מפעיל כוח על הגוף אבל בכיוון ההפוך ולכן הגוף מתחיל להאט. כלומר האנרגיה שוב מתחילה לעבור ממצב קינטי למצב פוטנציאלי, מהגוף לקפיץ. ללא חיכוך ואיבוד אנרגיה לחום התנודה הזאת של הגוף ימינה ושמאלה תמשיך לעד.

'פתרון פיזיקלי' של הבעיה מורכב מפונקציה מתמטית שתבטא את המיקום של הגוף בכל רגע נתון ונסמן אותו ב-(x(t, כך ש-t הוא הזמן ו-x הוא המיקום. את הכוח בבעיה שתיארתי ניתן לבטא על ידי הקשר F=-kx, כך ש-F הוא הכוח ו-k הוא קבוע המבטא את קשיחותו של הקפיץ, כלומר כמה כוח צריך להפעיל כדי למתוח אותו במטר אחד. סימן המינוס מבטא את העובדה שהקפיץ תמיד 'שואף' להחזיר את הגוף לנקודת שיווי-המשקל (x=0) ולכן מכונה 'כוח מחזיר'.

מהחוק השני של ניוטון אנחנו יודעים שהקשר בין כוח לתנועה נתון על ידי F=ma כך ש-a היא התאוצה. תאוצה היא קצב השינוי של המהירות בזמן ומהירות היא קצב השינוי של המיקום בזמן. הדרך המתמטית לבטא קצב שינוי הוא על ידי פעולת הנגזרת ולכן ניתן להמיר את החוק השני ל- "F=mx כך ש-m זה המסה וכל גרש מסמנת נגזרת בזמן. אם נשווה בין שני הביטויים שקיבלנו עבור הכוח נקבל: mx"+kx=0. זאת משוואה דיפרנציאלית, כלומר הנעלמת במשוואה היא הפונקציה (x(t עצמה.

מכיוון שאנחנו מתארים תנועה מחזורית, לא מפתיע שהפונקציות שמקיימות את המשוואה הן סינוס וקוסינוס (אם נגזור אותן פעמיים נקבל אותן חזרה עם סימן מינוס). עקב הימצאות הקבועים k ו-m במשוואה הפתרון הוא: (x(t)=Asin(wt+φ כך ש- w²=k/m, ו-w היא תדירות התנודה, φ מופע (פאזה) בזמן אפס ו-A היא משרעת התנודה (ראו איור 2).

[מי שמעוניין להעמיק במשוואה מוזמן לקרא בבלוג 'לא מדויק' כאן ואז כאן]

איור 2: גרף המציג את הפתרון של משוואת האוסילטור ההרמוני, כלומר המיקום כפונקציה של הזמן. הקו הכחול הוא הפתרון שהוצג ברשימה לבעיה שאינה כוללת חיכוך. ניתן לראות בשאר הצבעים כיצד החיכוך גורם להפסקת התנודות ולעצירה. שימו לב שהגדלים של הגרף נבחרו בצורה מחוכמת כך שהוא חסר יחידות, גנרי ומתאים לכל A ולכל w. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש Nuno Nogueira – Nmnogueira.

המשוואה הדיפרנציאלית שהוצגה חשובה לא רק מכיוון שהיא מתארת את בעיית הקפיץ, אלא כי היא מתארת משפחה שלמה של תופעות שנקראת אוסילטור הרמוני. בכל פעם שניסוח מתמטי של בעיה פיזיקלית יוביל למשוואה הזאת, נדע מיד שמדובר באוסילטור הרמוני שאת פתרונו אנחנו כבר מכירים. הדוגמאות המוכרות ביותר לאוסילטור הרמוני מלבד זאת שהוצגה הן גוף התלוי על קפיץ, מטוטלת (מתמטית), תנועה של כדור בתחתית קערה וגוף שצף ושוקע על גבי נוזל. בכל הדוגמאות האלה קיים כוח מחזיר השקול לקפיץ ועבור תנודות קטנות סביב נקודת שיווי-המשקל המודל של אוסילטור הרמוני מתאים. כעת בואו ונבחן מקרה מעט יותר אקזוטי.

התבוננו במעגל החשמלי באיור 3 בו מחוברים שני רכיבים בסיסיים באלקטרוניקה: קבל וסליל. אסביר עליהם בקיצור נמרץ.

ברשימה הקודמת בה הצגתי את 'המעגל הגוזר' הסברתי על הרכיב שנקרא קבל. רכיב זה אוגר בתוכו אנרגיה בשדה חשמלי והמטען החשמלי עליו תמיד נתון על ידי Q=CV, כך ש-Q זה המטען, V המתח ו-C הקיבול. מכיוון שזרם הוא שינוי מטען חשמלי בזמן אז הזרם על הקבל הוא הנגזרת של המטען ונתון על ידי 'I=CV, כך ש- C הוא הקיבול, V המתח, I הזרם והגרש מסמלת נגזרת בזמן.

הסליל (או משרן) הוא תיל מוליך מלופף בצורת גליל. כאשר מעבירים בו זרם נוצר בגליל שדה מגנטי. שינוי בזרם דרך הסליל גורר שינוי בשדה המגנטי אשר מייצר מתח שמתנגד לשינוי (חוק לנץ). המתח על הסליל נתון על ידי 'V=LI, כך ש-L היא 'ההשראות' שהיא היחס בין שטף השדה המגנטי לזרם.

איור 3: תרשים של מעגל LC פשוט. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש First Harmonic.

נניח שלפני חיבור המעגל היה אגור על לוחות הקבל מטען Q. המתח על שני הרכיבים שווה אך הפוך בסימן (כי הם מחוברים אחד לשני) ולכן לפי תכונות הקבל והסליל נוכל לרשום: 'Q/C=-LI. אם נגזור את השוויון ונחליף אגפים נקבל 0="Q'/C+LI, או בעצם I"+I/LC=0. אני מקווה שאתם כבר מזהים את המשוואה – אוסילטור הרמוני! מה שקורה הוא שהמטען על הקבל זורם דרך הסליל ומייצר שדה מגנטי שמתנגד לשינוי הזרם וטוען חזרה את הקבל בכיוון הפוך, ואז אותו דבר רק להפך עד-אינפיניטום. האנרגיה האגורה בשדה החשמלי בקבל עוברת להיות אגורה בשדה המגנטי בסליל וחוזר חלילה. תדירות השינוי נתונה על ידי: w²=1/LC.

המעגל שתיארתי מכונה מעגל LC ויש לו שימושים רבים באלקטרוניקה כאשר הידוע שבהם הוא לקליטה של שידורי רדיו (ראו רשימה בנושא רדיו). כאשר אנחנו מסובבים את החוגה אנחנו בעצם מכוונים את ה-L או ה-C במעגל LC לקבלת תדירות תנודה w כך שתהיה זהה לתדירות השידור אותה אנחנו מעוניינים לקלוט.

***

הדוגמה שהצגתי לאקוויוולנטיות בין מערכות מכאניות לחשמליות, כלומר לאלמנטים פיזיקליים שונים שמתוארים במשוואות המתמטיות באופן זהה,  אינה ייחודית. קפיץ משתקף במשוואות מכאניות בדיוק כמו שקבל משתקף במשוואות חשמליות. הסליל שקול למסה, המתח לכוח, הזרם למהירות ומטען למיקום. מה ההיגיון שעומד מאחורי כל זה?

הזמנה לפאב, חשיבה ביקורתית ומדע, הבירה עליכן\ם

עוד רגע זה הולך להפוך להודעה על הרצאה במסגרת 'ספקנים בפאב', אבל זה ייקח כמה שורות, עמכם\ן הסליחה.

למקרה שפספסתם, כך נראית כוס עם בירה כהה! המקור לתמונה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Jongleur100.

***

"איך אתה מחליט על מה לכתוב?"

נורא פשוט, אני כותב על נושאים (מדעיים) שמעניינים אותי, על רעיונות שמסתובבים לי בראש או ששמעתי עליהם וגרמו לי לחשוב. לפעמים זה קורה תוך שיחה עם אנשים, לפעמים בעקבות משהו בעבודה, לפעמים דבר מה שקראתי ולפעמים אני נזכר ברעיון שלמדתי פעם ומתחשק לי לחזור אליו. בחלק מהמקרים אני בקיא בחומר, בחלק אני זוכר משהו אבל צריך לחזור ולרענן ובחלק אני בכלל לא מתמצא וצריך לקרא ולחקור.

ישנו נושא אחד חמקמק שמתפתל לו כבר זמן רב במחשבותיי ועקב כך בצבץ במספר רשימות, אך בדרך כלל לא כשחקן ראשי. החלטתי שהגיע הזמן להביא אותו אל קדמת הבמה, ואם אפשר בפאב אל מול קהל רב חוכמה וידע אך הלום אלכוהול, מה טוב.

בהרצאה אנסה לבלבל מעט את הקהל לגבי הקשר בין פיזיקה למציאות. ננסה יחדיו להבין, דרך מספר דוגמאות מדעיות, מה פיזיקה באמת עושה, מה היא לא והאם זה צריך להטריד אותנו.

אשמח לראותכן\ם שם!

הנה הפרטים:

מפגש מרץ של ספקנים בפאב תל-אביב יתקיים ב"בלום-בר", קינג ג'ורג' 2 (פינת שינקין) בקומה השניה, ביום ד' ה-26/3 בשעה 21:00 (שימו לב לשעה!).

פייסבוק, מיטאפ

תקציר:

מיומנו של פרגמטיסט: כל האמת על הפיזיקה

האם אלקטרון באמת קיים? ואם כן, באיזה מובן ומה זה בעצם אומר?

האם הפיזיקה חותרת אל האמת? ואם כן, באיזה מובן ומה זה בעצם אומר?

בהרצאה לא אנסה לערער על כוחה הרב של הפיזיקה בתיאור הטבע, אלא לאתגר ולהרהר על התפיסה המקובלת של תפקידה בהבנת מהות העולם בו אנו חיים.

מתמטיקה בזמן אמת – על מעגל גוזר

המתמטיקה נותנת לנו כלים לחשב את הנגזרת של כל פונקציה ידועה, אך מה נעשה אם הפונקציה אינה ידועה מראש? גרוע מכך, מה נעשה אם נרצה לחשב את הנגזרת בזמן אמת? לדוגמה, נניח שיש לנו תרמומטר שפולט אות מתח חשמלי שעוצמתו פרופורציונית לטמפרטורה בחדר ואנחנו רוצים למדוד את קצב השינוי בטמפרטורה, כלומר את הנגזרת. מכיוון שלא קיימת פונקציונליות ברורה אין באפשרותנו להשתמש בכלים האנליטיים הרגילים.

[הערת שוליים: למי שלא זוכר מהי נגזרת, עסקתי בה בהרחבה ברשימה קודמת. אזכיר רק שניתן לחשוב על הנגזרת כמדד לשינוי בפונקציה בנקודה מסוימת, כך למשל קצב השינוי במיקום שלנו בין זמנים שונים הוא בעצם המהירות בה אנחנו נעים. המהירות, אם כך, נתונה על ידי נגזרת של המקום ביחס לזמן.]

דרך אחת לחשב נגזרת תוך כדי תנועה היא לדגום את האות לקבלת אות דיגיטלי ולחשב את השינוי בעוצמה בין דגימה לדגימה. את פעולת הדגימה הסברתי בהרחבה ברשימה קודמת. דרך אחרת היא הדרך האנלוגית, כלומר לבנות מעגל חשמלי שהמתח שנמדוד ביציאה שלו יהיה פרופורציוני לנגזרת של מתח הכניסה.

קל אולי לדמיין מעגל חשמלי שמחבר מתחים, אבל איך מעגל יכול לגזור את המתח הכניסה?

תמונה 1: אם במקרה אתם לא בטוחים איך נראים מספריים אז הנה. המקור לתמונה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Comet27.

כדי לבנות מעגל גוזר נזדקק אך ורק לשלושה רכיבים מאוד בסיסיים באלקטרוניקה: נגד, קבל ומגבר שרת (Operational amplifier). אסביר בקצרה על כל אחד מהם.

הנגד הוא רכיב חשמלי בעל שתי נקודות חיבור. אם נחבר אותו למקור מתח יזרום דרכו זרם חשמלי ותוך כך חלק מהאנרגיה תאבד ליצירת חום. היחס בין המתח החשמלי שעל הנגד לזרם שיעבור בו הוא ההתנגדות, כלומר: V=I·R, כך ש- V זה מתח, I זרם ו-R התנגדות.

גם הקבל הוא רכיב בעל שתי נקודות חיבור. בצורתו הפשוטה ביותר מדובר בעצם בשני לוחות מוליכים שביניהם מפריד חומר מבודד שיכול למשל להיות זכוכית, חומר קרמי או אפילו אוויר (ראו איור 2). ייחודו של הקבל בכך שהוא מסוגל לאגור אנרגיה בשדה החשמלי שבתוכו. אם נחבר את הקבל למקור מתח יצטבר מטען חשמלי חיובי על לוח אחד ומטען חשמלי שלילי, זהה בערכו, על הלוח השני, כך שסך כל המטען עליו הוא אפס. היחס בין המטען על לוחות הקבל למתח הוא הקיבול, כלומר: Q=C·V, כך ש- Q זה המטען, V המתח ו-C הקיבול. כדאי גם לציין שמכיוון שהקבל הוא למעשה נתק במעגל, לאחר שהוא נטען בעזרת מתח ישר (כלומר בעל ערך קבוע בזמן) הזרם יפסק. לעומת זאת, אם נפעיל מתח חילופין, זרם החילופין יזרום ללא בעיה.

איור 2: קבל לוחות. באפור הלוחות המוליכים ובכחול החומר המבודד. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש inductiveload.

זרם הוא למעשה קצב השינוי של המטען בזמן, כלומר נגזרת של המטען לפי הזמן. נרשום 'I=Q, כאשר הגרש מסמלת נגזרת בזמן. על הקבל, כאמור, המטען נתון על ידי המתח כפול הקיבול, ומכאן נובע שהזרם על הקבל נתון על ידי הקיבול (שהוא קבוע) כפול הנגזרת של המתח בזמן, כלומר שעל הקבל 'I=C·V. בהנחה שהפעלנו מתח חילופין סינוסואידלי, הנגזרת נתונה על ידי קוסינוס (הנגזרת של סינוס), כלומר קיבלו שינוי פאזה, או פיגור של 90 מעלות. מה שנראה הוא שאות היציאה מוזז ביחס לאות הכניסה ברבע מחזור.

מגבר שרת הוא התקן שנזקק למקור מתח חיצוני להפעלה ומורכב ממעגל חשמלי מסובך שמכיל רכיבים רבים. מה שחשוב לנו הוא שיש לו שלוש נקודות חיבור: יציאה אחת ושתי כניסות המסומנות בפלוס ומינוס (ראו איור 3). ייחודו של הרכיב בכך שהוא מגביר חזק מאוד ביציאה את ההפרש בין מתחי הכניסה. במצב רגיל, מכיוון שהמתח ביציאה מוגבל על ידי גובה אספקת המתח החיצונית, נמדוד ברגל היציאה מתח מקסימלי חיובי או שלילי, כתלות באיזה רגל כניסה היה מחובר מתח גבוה יותר.

איור 3: סכימה של הכניסות והיציאות של מגבר שרת ונוסחת ההגבר במעגל פתוח. V₊ ו- V_– הם הכניסות, V_out היציאה, V_S אספקת המתח החיצונית ו-A_ol ההגבר ללא חיבור משוב. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש Omegatron.

המצב הופך להרבה יותר מעניין אם מחברים את רגל היציאה לרגל הכניסה השלילית, לקבלת מעגל משוב שלילי. כעת המתח ביציאה לא יגיע לערך הרוויה מכיוון שככל שהוא גדל כך הוא מקטין את הכניסה ולהפך. נזכר שמתח היציאה נתון על ידי ההפרש בין מתחי הכניסה כפול מספר ענקי (ראו איור 3). מכיוון שכעת מתח היציאה 'מאולץ' להיות נמוך באופן יחסי, ההפרש בין מתחי הכניסה 'מאולץ' להיות קטן מאוד. כלומר בתצורה זאת הזרימה במעגל 'תתארגן' כך שהמתחים בכניסות ישתוו באופן מעשי. מצב זה מכונה 'קצר וירטואלי', מכיוון שישנן שתי נקודות במעגל שהמתח עליהן שווה בכל רגע (הגדרה של קצר) אך הן כלל אינן מחוברות אחת לשניה (יש ביניהן נתק).

החלק העליון של איור 4 מתאר את החיבור של שלושת הרכיבים: נגד, קבל ומגבר שרת. הוא אולי נראה מבלבל אך הוא פשוט לניתוח. מתח היציאה של המעגל פרופורציוני לנגזרת של מתח הכניסה ולכן זהו מעגל גוזר שזה מה שחיפשנו (ראו ניתוח מתמטי באיור 4). הסיבה לכך היא שעקב הקצר הוירטואלי מתח היציאה במעגל תלוי בזרם על הנגד שתלוי בזרם על הקבל שתלוי בנגזרת של מתח הכניסה.

איור 4: מעגל גוזר וניתוח מתמטי של תלות מתח היציאה במתח הכניסה. המקור לאיור: ויקיפדיה (הנוסחאות והעברית זה אני), לשם הועלה על ידי המשתמש Alessio Damato.

האם יש שימוש למעגל מעבר לגזירה עצמה? שימו לב שבעצם קיבלנו מעגל חשמלי בעל רגישות גבוהה לקצב השינוי באות הכניסה. אם למשל מתבצע תהליך תעשייתי שבו שינוי מהיר מידי בטמפרטורה יגרום להרס התוצר, נוכל להשתמש במעגל להתרעה על שינוי חד. כמו כן, סוג כזה של מעגל משמש בין היתר במעגלי שליטה ובקרה אנלוגיים.

טוב, אז סגרנו את הפינה של הנגזרת. בפעם אחרת: איך לבצע התמרת פורייה בעזרת עדשה!