על עיקרון ההירארכיה, הליכות ונימוסים והשאלה: האם המתמטיקה שייכת למדעי הטבע?

בימי כסטודנט באוניברסיטה נתקלתי בעיקרון שאינו מועבר בהרצאות ואינו כתוב בספרים, אך בכל זאת מופנם על ידי כל הסטודנטים למדעי הטבע. הוא מועבר מאחד לשני בקריצת עין, בהינף יד, באנקדוטה המתגלגלת בחלל האוויר ולפעמים אפילו באמירה בוטה. אני אכנה אותו כאן "עקרון ההירארכיה". העיקרון מתאר את קיומה של הירארכיה בתחום מדעי הטבע. בראשית הפירמידה מתייצבת הפיזיקה העוסקת בעקרונות הכלליים ביותר המתארים את העולם. אחריה באה הכימיה שהיא סוג של פיזיקה יישומית וכך הלאה עם מדעי ההנדסה, מדעי החיים, אתם כבר מבינים את העיקרון. אך שימו לב, ישנו תחום מדעי חשוב שממנו התעלמתי – המתמטיקה. היכן ניצבת המתמטיקה בהירארכיה? xkcd סבור שהתשובה היא: רחוק למעלה. אני סבור שראשית אנו צריכים לקבוע האם המתמטיקה בכלל שייכת למדעי הטבע.

לוח אופייני להרצאה בטופולוגיה אלגברית. כך לפחות על פי מי שצילם את התמונה ושם אותה בוויקיפדיה.

הערה חשובה לפני שמתחילים: הרשימה הפעם היא יותר בסגנון טור דעה ויש להתייחס אליה בהתאם. אם דעתכם שונה משלי או שהטיעונים נראים לכם שגויים או תמוהים אני אשמח אם תסבירו בתגובות.

מדוע הפיסיקה שייכת למדעי הטבע? מכיוון שהיא שמה לה למטרה לתאר את הטבע הנגלה לעינינו, את חוקיו ואת דרך פעולתו בצורה מובנית ובכלים העומדים לרשותה. הטבע, יש לזכור, קיים שם גם אם לא נתאר אותו וגם אם התיאור שלנו ישתנה במשך הזמן. תפוחים נשרו מן העץ אל האדמה גם לפני שנוסחו חוקי הגרביטציה והמשיכו ליפול באותה צורה גם לאחר שנוסחה תיאוריית היחסות הכללית. הפיסיקה מגלה לנו משהו חדש על העולם. האלקטרון היה שם גם לפני שחשבנו עליו, אך כעת אנו יודעים על קיומו ומבינים את תכונותיו (לפחות חלק מהן). ולבסוף אציין שתיאור העולם על ידי הפיסיקה לעולם אינו מושלם. תמיד נוכל לשפר ולדייק יותר ולמצוא מודלים קרובים יותר למציאות.

האם מתמטיקה מתארת את הטבע? נבחן כמה דוגמאות. כידוע, במתמטיקה מייצגת האות היוונית פאי את היחס בין היקף המעגל לבין קוטרו. אך האם נוכל למצוא מעגל כזה? למעשה לא, מכיוון שהצורה המתוארת ע"י פאי היא האידיאל של המעגל ואינה קיימת במציאות (אם כי מהווה קירוב מצוין לרב המעגלים).

בעזרת המתמטיקה ניתן לייצר היגדים קונסיסטנטיים שאינם בעלי משמעות במציאות. לדוגמא התרגיל הבא:   i+(i+1)=2i+1, כאשר i מייצג את השורש הריבועי של 1-. האם מספרים דמיוניים (מרוכבים, המכילים את i) מתארים את הטבע? לטעמי לא. מספר מרוכב לעולם לא יהיה תוצאה של ניסוי ולכן לא ניתן לחזות בו [1].

למיטב זכרוני, המקום היחיד שבו מספר דמיוני מופיע במשוואות הבסיסיות המתארות את התופעה הפיסיקלית הוא משוואת שרדינגר המתארת את ההתנהגות של חלקיקים קוונטיים. אך גם בעולם הקוונטי ניתן למדוד רק ערכים ממשיים ולכן אנו לא מודדים את פונקציית הגל (שהיא עשויה להיות מיוצגת על ידי מספר דמיוני), אלא את הערך המוחלט שלה בריבוע.

כלומר כאשר נוסף המספר הדמיוני אל משפחת המספרים, לא למדנו מכך שום דבר חדש על העולם. רק כאשר השתמשנו במספרים אלו על מנת לנסח תופעות פיסיקליות גילינו דברים חדשים על העולם, וזאת היא כבר פיסיקה ולא מתמטיקה.

הטענות להימצאותה של המתמטיקה בטבע במקרים שאינן יישומים פיסיקליים מכילות בתוכן, לדעתי, את הנחת המבוקש (כלומר סוג של טיעון מעגלי). לדוגמא, ניתן למצוא בטבע אין ספור תופעות אשר שכיחות המופעים שלהם מתפלגת נורמלית, כלומר כמו פעמון, שכיחות מופעים גבוהה סביב הממוצע ונמוכה ככל שמתרחקים ממנו. אך בכדי לנסח את החוקיות הזאת מלכתחילה אנו הרי משתמשים במתמטיקה, ולכן חוקיות זאת אינה יכולה גם לשמש כהוכחה להמצאות המתמטיקה בטבע [2].

התפלגות נורמאלית. המקור לתמונה: וויקיפדיה.

המתמטיקה היא מדע מדויק, מדויק באופן אבסולוטי. היא נכונה במאה אחוז ללא מרווח לשגיאה. אם X פחות אחד שווה לאפס, אז X שווה לאחד. בדיוק לאחד. תמיד. מסיבה זאת, מתמטיקה היא המדע היחיד שבו ניתן להוכיח טענות באופן מוחלט וללא צורך בתצפית ואישוש. אמת מתמטית אינה מוכתבת על ידי המודל הטוב ביותר כרגע בהינתן הידע הקיים. אם משפט מתמטי הוכח כהלכה הוא איתנו לנצח.

אז מהי המתמטיקה? טוב זאת כבר שאלה ממש קשה אבל אני אנסה לשער (בקצרה). המתמטיקה, לדעתי, היא סט של חוקים קונסיסטנטיים אשר משמשים את האדם לנסח את חוקי הטבע. היא הפורמליזם [3] שבו אנו משתמשים, וללא פורמליזם לא ניתן לפתח שום רעיון מורכב. ללא הפורמליזם של המתמטיקה, הפיסיקה היא לא יותר מפילוסופיה עמומה (לדוגמא הפיסיקה של אריסטו). למעשה, המתמטיקה היא השפה בה דוברים אנשי מדעי הטבע, אך יש להיזהר עם אנלוגיה זאת. בעולמינו התפתחו שפות שונות ומשונות במקומות שונים ובהתאם לצרכים שונים (כגון מגוון שפות מדוברות, שפת הסימנים ועוד). האם יכולים אנו לנסח מתמטיקה קונסיסטנטית אחרת שתתאר את הטבע? איני יודע.

לסיכום, האם המתמטיקה היא חלק ממדעי הטבע? לדעתי לא, אך רבים וטובים ממני חולקים עלי. האם להתנשא על מתמטיקאי במסדרון הפקולטה? התשובה היא כמובן: לא. זה לא מנומס.

לקריאה נוספת: הפרק "האם המתמטיקה היא תגלית או המצאה" מהפודקאסט המומלץ של רן לוי "עושים היסטוריה" (ניתן גם לקרא את התמליל המקוצר), וכמובן גם ספרו של מריו ליביו "האם אלוהים הוא מתמטיקאי".

——————————————————————————————–
[1] ומה עם התורה האלקטרומגנטית, ומה עם מעגלי תהודה (מעגלים המכילים נגדים, קבלים וסלילים) אשר בתיאורם יש שימוש במספרים מרוכבים? יש להבחין שבמקרים אלו נעשה שימוש בתעלול מתמטי אשר מנצל את העובדה שמספר דמיוני מורכב משני איברים שאינם מתערבבים. כך ניתן לייצג בנוחות גלים אשר להם פאזה ואמפליטודה שאינם מתערבבים. שימו לב שמשוואות מקסוול אינן מכילות מספרים דמיוניים. אנו יכולים למדוד לדוגמא אמפליטודה או פאזה של שדה חשמלי אך שניהם יהיו ממשיים.
[2] הטענה המתמטית היחידה שאיני יכול להתכחש לקיומה הפיזי במציאות היא הטענה שאחד ועוד אחד הם שניים. אך האם בכוחה של טענה זאת בלבד להוליד את המתמטיקה כולה? ואם כן, אז מה בכך?
[3] ראו דיון קצר בנושא מהו פורמליזם ברשימה קודמת.

חמור קופץ בראש, או איך זה שאני עדיין משלם חשבון חשמל?

על עלייתו ונפילתו של ההיתוך הקר

ב-28 ביוני 1981, ערב הבחירות לכנסת העשירית, התראיין יעקב מרידור (מי שעתיד להיות שר הכלכלה בממשלת מנחם בגין שתקום) לרדיו והכריז כי הוא עובד עם מדען שהמציא מכונה לייצור אנרגיה ביכולת תפוקה אדירה ויעילות גבוהה ממה שהיה ידוע עד אז. הוא הסביר למראיינת: "זה כאילו לקחת נורה רגילה של בית ואת מאירה במנורה הזאת עיר שלמה כמו רמת גן", או כמו שזה ייחרט בזיכרון הקולקטיבי: נורה שתאיר את כל רמת-גן [1].

ב-23 במרץ 1989 ערכה אוניברסיטת יוטה מסיבת עיתונאים בסולט-לייק סיטי. מטרת ההתכנסות: להכריז בגאון על כך ששני פרופסורים מכובדים לכימיה מהאוניברסיטה, מרטין פליישמן (Fleischmann) וסטנלי פּוֹנס (Pons), גילו מקור אנרגיה בלתי נדלה ושאינו מזהם. הם כינו אותו 'היתוך קר' משום שלטענתם הוא ייצר תהליך של היתוך גרעיני (בדומה למה שמתרחש למשל בשמש) בצורה פשוטה במעבדה.

אז איך יכול להיות שבסוף שנת 2011 אני עדיין משלם הון תועפות לחברת חשמל על ייצור והובלת חשמל לביתי? על כך ברשימה הבאה.

תחנת הכוח רדינג מכיוון דרום-מערב. המקור: וויקיפדיה.

למעשה הסיפור פרץ בעיתונות כבר בבוקר אותו יום, שעות לפני מסיבת העיתונאים,  בכתבה בוול-סטריט ג'ורנל. במשך השבועות הבאים ימשיך העיתון לפרסם כתבות אופטימיות בנושא, כאשר שני הצדדים מרוויחים: האוניברסיטה משתמשת בעיתון למכור את רעיון ההיתוך הקר והעיתון משתמש בהיתוך הקר למכור עיתונים.

הידיעה הכתה גלים בקהילה המדעית. רבים ניסו לחשב ולבדוק האם מה שטענו פליישמן ופונס אפשרי. הבעיה הייתה שמעט מאוד פרטים טכניים ניתנו במסיבת העיתונאים וכל ניסיון לדלות מידע נוסף נתקל בחומה בצורה. נורת האזהרה הראשונה נדלקה, היכן ביקורת העמיתים?

אז מה בעצם טענו פליישמן ופונס? נשימה עמוקה … ובואו נתחיל. טענתם הייתה שבמהלך אלקטרוליזה של מים כבדים גרעיני דאוטריום נדחסו בצפיפות כל כך גבוהה על אלקטרודת הפלדיום עד שהם התחברו ושיחררו כמות אנרגיה גדולה. ולמי שהמושגים אינם מוכרים לו, להלן מקרא: אלקטרוליזה היא פירוק כימי של חומר על ידי זרם חשמלי, מים כבדים דומים למים רגילים, אך במקום שני אטומי מימן ישנם שני אטומי דאוטריום ואותו דאוטריום הוא איזוטופ של אטום המימן שגרעינו מכיל פרוטון ונויטרון בניגוד לפרוטון בלבד ולכן הוא כבד יותר.

איור סכמטי של תא אלקטרוליזה. המקור: וויקיפדיה.

גרעיני הדאוטריום הם בעלי מטען חשמלי חיובי ולכן דוחים אחד את השני. אך אם ניתן לקרב אותם מספיק, הכוח הגרעיני החזק נהיה דומיננטי ושני הגרעינים יתאחדו לגרעין הליום (שני פרוטונים ושני נויטרונים). מצב זה אינו יציב ואנרגיה עודפת תפלט על ידי שחרור נויטרונים וקרינת גמא, כאשר מאחור נשאר בין היתר הליום-3 (איזוטופ קל של הליום). תהליך זה אפשרי בטמפרטורות אדירות למשל בשמש (פצצת מימן מישהו?). לכן יצירת התהליך בטמפרטורה נמוכה ובתנאים מבוקרים במעבדה היה כל כך מהפכני וקשה לעיכול.

כך או אחרת, את התוצרים של התהליך (נויטרונים, גמא והליום) ניתן למדוד בכדי להכריע האם התבצע היתוך או שלא. מספר הנויטרונים עליהם דיווחו פליישמן ופונס היה נמוך בהרבה מהמצופה מתהליך היתוך גרעיני. כמו כן, אף קבוצה אחרת לא הצליחה לשחזר את התוצאות שלהם. ביקורת נוקבת נוספת שהועלתה הייתה שניסויי ביקורת פשוטים להפליא לא בוצעו. למשל ביצוע הניסוי עם מים רגילים במקום מים כבדים. אם התוצאות נותרות בעינן, יש בעיה בהיפותזה (מכיוון שכעת אין גרעיני דאוטריום). פליישמן ופונס לבסוף שוכנעו לבצע את ניסוי הביקורת אך מעולם לא חשפו את התוצאות.

בינתיים, למרות הספקנות של הקהילה המדעית, גורמים מדיניים בארה"ב הביעו עניין רב בהשקעה כלכלית בטכנולוגיה החדשה והאופוריה הרקיעה שחקים. ב-26 באפריל, כחודש לאחר מסיבת העיתונאים התכנס הקונגרס לדון בסוגית ההיתוך הקר. אוניברסיטת יוטה שכרה את שרותיה של חברת לובינג (Lobbying או שתדלנות בעברית) והכסף לפרויקט נראה מובטח.

ב-1 במאי, בכנס של ה-American Physical Society בבולטימור התקיים מושב מיוחד בנושא היתוך קר. פונס היה אמור להשתתף אך ביטל ברגע האחרון. במהלך ההרצאות התברר שהקונצנזוס בקהילה המדעית ביחס להיתוך הקר החל להתגבש. תיאורטיקנים הראו שההיתוך הקר מפר מספר לא מבוטל של חוקים פיזיקאליים וכימאים הצליחו להסביר את החום שהופק בניסוי ללא צורך בהיתוך גרעיני. הביקורת הגיע הפעם גם לעיתונים וגם לגורמים בממשל. ההצעה למימון ההיתוך הקר לא בוטלה אך מעולם לא הגיעה להצבעה.

מעשית ההיתוך הקר מת אבל פליישמן ופונס סירבו לוותר. הם עלו על עץ כל כך גבוה שעכשיו אפילו האפשרות של הודאה שאולי מה שהם מצאו לא היה היתוך אבל היה מעניין בפני עצמו כבר לא היה אפשרי עבורם. הם עזבו את אוניברסיטת יוטה והתגלגלו לעוד כמה מקומות אך היתוך קר לא יצא מזה [2].

אז מה היה לנו? שני מדענים פזיזים אשר מיהרו לתקשורת ללא ביקורת עמיתים ולאחר מכן ניסו להסתיר את הפרטים של הניסוי שביצעו; פוליטיקאים פתאים שהיו מוכנים לבזבז את כספי הציבור ועיתונות מגויסת ולא ביקורתית. ובשתי מילים: מדע רע!

אה כן, ומה עלה בגורלה של הנורה שתאיר את כל רמת-גן? ובכן, 'השותף המדעי' של מרידור התגלה כנוכל שהורשע בעברו בפלילים והשר הפך לחוכא ואיטלולא.

לקריאה נוספת בספר: 'Voodoo science – Robert Park'

———————————————————————-

[1] ניתן לקרא על הפרשה בוויקיפדיה או לצפות ביוטיוב בכתבה על הפרשה מארכיון ערוץ 1.
[2] במשך השנים המשיכו מספר מדענים וחברות לעבוד על היתוך קר (לפעמים תחת שמות אחרים). כל כמה שנים מישהו יוצא בהצהרות אבל מקור אנרגיה רציני מעולם לא הוצג. אם אתם מעוניינים, גשו לדיווחים הבאים פה, פה ופה (כולל קשר ישראלי) והחליטו בעצמכם אם אתם חושבים שיש דברים בגו.

האם גרינלנד גדולה מאפריקה?

מי הזיז את המפה שלי?

נתחיל בשאלה אליכם הקוראים. הביטו במפה באיור 1 ונסו לענות: מי גדולה יותר- גרינלנד או אפריקה? לנוחיותכם סימנתי אותן על גבי האיור בחצים אדומים. כפי שניתן לראות- קשה לקבוע. הן נראות בערך באותו הגודל, כלומר בעלות אותו שטח.

איור 1: מפת מרקטור (Mercator), מקור: וויקיפדיה

סביר להניח שאלו מכם הבקיאים בגיאוגרפיה (ובוודאי לא היו זקוקים לחצים האדומים), גם יודעים כי שטחה של אפריקה גדול בערך פי 14 משטחה של גרינלנד. נו אז מה? סתם הולכתי אתכם שולל בעזרת מפה שגויה? אני מתחייב שזה אינו המצב, אך נחזור לזה בהמשך.

כעת הביטו במפה באיור מספר 2 וחיזרו על אותו תרגיל. ניתן לראות מיד שבמפה זאת אפריקה אכן נראית גדולה מאוד ביחס לגרינלנד, אך אבוי, שימו לב לבעיה אחרת: היזכרו בתמונת העולם המוכרת (זאת שעל הגלובוס) – האם כך נראות היבשות? צורת היבשות כאן מעוותת. אפריקה, לדוגמא, נראית כאילו נמתחה מאוד. אז מה עומד מאחורי המפות האלו, ומה הטעם במפה שגויה?

איור 2: מפת גאל-פיטרס (Peters) , מקור: וויקיפדיה

למעשה, כלל לא ניתן לשרטט מפת עולם מדויקת. הסיבה טמונה בכך שמפה מטבעה היא שטוחה וכדור-הארץ הוא, ובכן… כדור. מפה עולמית מדויקת ניתן לשרטט רק על פני כדור – כלומר גלובוס. אך זה האחרון כלל אינו נוח לשימוש למשל במשימות ניווט. הבעיה היא שכפי שלא ניתן לשטח כדורגל מפונצ'ר על הרצפה גם אם נקרע אותו לגזרים קטנים, כך גם לא ניתן לפרוס כדור על ריבוע או מלבן ללא יצירת עיוותים. הפתרון הוא בפשרה, והפשרה היא היטל. כל מפה עולמית היא היטל, כלומר העתקה של כל נקודה על פני הכדור אל צורה אחרת שאותה כן ניתן לפרוש בצורה ישרה.

מותק, הילידים התכווצו!

היטל מרקטור הומצא על ידי הגיאוגרף הפלמי גרארדוס מרקטור בשנת 1569. מפה זאת היתה מוצלחת מאוד עבור ימאים מכיוון שהיא משמרת זוויות וצורות. תכונה זאת מאפשרת למדוד אזימוט בין המוצא ליעד ולשוט במסלול קבוע על גבי אזימוט זה. ובמילים אחרות, קו ישר על המפה מייצג מסלול ישר במציאות. היטל זה מתקבל על ידי עטיפת הכדור בגליל (ראו איור 3), העתקת כל נקודה מהכדור לגליל ופריסת הגליל. קל לראות שבקו-המשווה ההעתקה היא מדויקת כי הגליל משיק לכדור, אך ככל שמתרחקים מקו המשווה נוצרים עיוותים גדולים הנובעים מחוסר ההתאמה בין קטבי הכדור לבסיסי הגליל. זאת הסיבה לכך שהיחסים בין גדלי אפריקה וגרינלנד מעוותים כל כך. בעיה נוספת במפה קשורה לתקינות-פוליטית, לא פחות!

איור 3: היטל גלילי, מקור: וויקיפדיה

בשנת 1855 פרסם כומר בשם ג'יימס גאל (Gall) במגזין הגאוגרפי הסקוטי היטל חדש המבוסס על היטל גלילי. בהיטל זה נשמרו היחסים הנכונים בין שטחי היבשות על ידי הכנסת תיקונים. היטל זה אינו מתאים לשרטוט מפות המשמשות לניווט מכיוון שהוא גורם לעיוות של צורות וזוויות (ראו איור 2). ב-1973 הציג ארנו פיטרס (Peters), היסטוריון חובב, מפה המבוססת על היטל זה, אותה בחר להציג כהמצאה חדשה (ללא מתן קרדיט). פיטרס טען שמכיוון שמפות עולמיות המבוססות על היטל מרקטור גורמות ליבשות על קו המשווה להראות קטנות ביחס ליבשות הרחוקות ממנו זה גורם למדינות העולם השלישי להראות קטנות ולא חשובות ביחס למדינות אירופה. כך חשב שיתקן את העולם, כאשר ברקע נשמעו קולותיהם הזועמים של הקרטוגרפים (ניתן לקרא עוד על המחלוקת כאן).

אז מהו הפתרון הנכון? כפי שכבר ציינתי הפתרון הוא בפשרה, והפשרה יכולה להיות למשל היטל רובינסון (Robinson). ההיטל פותח על ידי פרופ' ארתור רובינסון בשנת 1963. ההיטל איננו מנסה לבטל לחלוטין אף עיוות, אלא להקטין את העיוותים במידה סבירה בכל נקודה לקבלת תמונה הנראית טוב למתבונן. היטל זה הינו סגלגל ולא מלבני, אך הקטבים אינם מתכנסים לנקודה אחת. קווי הרוחב ישרים ומקבילים, אך קווי האורך עקמומיים ולא מתכנסים לנקודה. מספיק מבט אחד כדי לקבוע שהיטל זה נראה למתבונן טוב יותר מהשניים האחרים (איור 4).

איור 4: היטל רובינסון (Robinson), מקור: וויקיפדיה

סוף דבר

כל ההיטלים מייצרים מפות שגויות. לכל מפה יש יתרונות וחסרונות והחוכמה היא לבחור את המפה המתאימה לצורך מסוים. למשל מדינות הפרושות על אזורים צרים כגון ישראל נוח יותר להציג במפה המבוססת על היטל מרקטור רוחבי שבו הגליל שעליו מטילים את הכדור עוטף אותו לרוחב (ולא לאורך כמו בדוגמא הקודמת) ולכן העיוותים יווצרו בעיקר בכיוון הרוחבי החשוב פחות במקרים אלו.

————————————————————–

תודה לעדו עמית על הרעיון לרשימה