לא סתם פוזיציה, סופרפוזיציה! בשבחי הליניאריות

נתחיל הפעם בסלינקי.

למי שלא זוכר, סלינקי הוא הקפיץ שיודע לרדת מדרגות אם נותנים לו עזרה בהתחלה.

תמונה 1: סלינקי ממתכת. המקור לתמונה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Roger McLassus.

שני אנשים אוחזים סלינקי, אחד מכל צד, ומותחים אותו. לאחר שהוא ארוך ומתוח אחד האוחזים מזיז את הקצה שלו במהירות ימינה וחזרה למיקומו ההתחלתי. אני ממליץ לכולם לנסות זאת בבית. מה שיקרה הוא שתיווצר 'גבשושית' על גבי הסלינקי שתתקדם לאורכו, תגיע לקצה ותחזור.

דנתי בתופעה זאת באריכות ברשימה קודמת. הגבשושית היא בעצם גל (לא מחזורי) שעובר בתווך (שהוא הסלינקי, במקרה הזה). מה שעובר בתווך היא הפרעה, כלומר יציאה משיווי משקל. ההפרעה עצמה היא זאת שנעה, לא החומר. כל טבעת בסלינקי יוצאת משיווי משקל ברגע מסוים וחוזרת, אך נשארת במקומה על גבי התווך.

מה יקרה אם שני הקצוות יוסטו משיווי משקל? ייווצרו שתי גבשושיות שינועו לאורך הסלינקי. מה יקרה כאשר הן יפגשו?

מסתבר שכאשר שני גלים 'נפגשים' על פני התווך, או ליתר דיוק, נמצאים באותו מקום באותו הזמן, הם מתחברים. כלומר, אם שתי גבשושיות זהות נמצאות בדיוק באותו מקום על פני הסלינקי, מה שנראה הוא גבשושית אחת גדולה פי שתיים. אם הן חופפות באופן חלקי, בכל נקודת חפיפה נקבל חיבור.

המשמעות היא שכדי לקבל את כמות ההסטה של כל טבעת של הסלינקי ברגע מסוים משיווי משקל נוכל לחבר את ההסטה שהיית נגרמת על ידי המקור הראשון בזמן זה אילו היה היחיד, להסטה של המקור השני אילו הוא היה היחיד. הפעולה הזאת נקראת בעגה: 'לפתור לפי סופרפוזיציה של מקורות'. כלומר, נוכל לחשב את המציאות הפיזיקלית על ידי חיבור של השפעת המקורות הבודדים לו היו היחידים בעולם.

***

מטען חשמלי (חיובי או שלילי) הוא המקור של שדה חשמלי. ניתן לחשב את השדה החשמלי של מטען נקודתי, בנקודה מסוימת במרחב, על ידי חלוקה של מטען המקור בריבוע המרחק של הנקודה מהמטען והכפלה בקבוע כלשהו.

מה יהיה השדה החשמלי בנקודה מסוימת במרחב בנוכחות שני מטענים חשמליים?

ניחשתם נכון. גם במקרה זה ניתן להשתמש בחיבור מקורות בסופרפוזיציה. כלומר, נחשב את השדה בנקודה עבור מקרה שבו קיים בעולם רק מטען מספר 1, נחשב את השדה עבור מקרה שבו קיים רק מטען מספר 2, ונחבר את שתי התשובות לקבלת המציאות הפיזיקלית.

***

נניח שיש לי מעגל חשמלי שבו יש מספר של נגדים ושל מקורות מתח, וברצוני לדעת מה יהיה הזרם החשמלי דרך אחד הנגדים במעגל. ניתן לחשב את הזרמים בענפים השונים או את המתחים בצמתים לפי השיטה של קירכהוף, למי שמכיר (לא ממש חשוב אם לא). אבל יש דרך נוספת.

איור 2: סכימה של מעגל חשמלי לדוגמה. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש Svjo.

שוב ניחשתם נכון. נוכן לפתור לפי סופרפוזיציה של מקורות. נפתור את המעגל מספר פעמים, כמספר מקורות המתח. בכל סיבוב נשאיר רק מקור מתח אחד ונאפס את שאר המקורות (כלומר נחליף אותם בחוט מוליך, או במילים אחרות, נקצר אותם). במעגל שנשאר, המכיל רק מקור אחד, נחשב את הזרם דרך הנגד הרצוי. לבסוף נחבר יחדיו את כל התוצאות השונות, מהמקורות השונים, לקבלת התוצאה הסופית שהיא הזרם האמיתי על הנגד.

[הערת שוליים: אני ממליץ למי שלא בטוח שזה עובד ויודע לחבר נגדים בטור ובמקביל וגם את חוק אוהם, לנסות את השיטה על המעגל המצוי בדף הויקיפדיה של קירכהוף. המעגל כבר פתור ותוכלו לבדוק אם הגעתם לפתרון הנכון. נסו לחשב את המתח על נגד R₁.]

***

בשלב זה אולי קיבלתם את הרושם הלא נכון שהטריק של פתרון לפי סופרפוזיציה של מקורות יעבוד בכל מצב ובכל מערכת, ואין דבר רחוק יותר מהאמת. למעשה ברוב המקרים וברוב הבעיות הפיזיקליות, הכימיות וההנדסיות, עיקרון הסופרפוזיציה של מקורות לא יעבוד.

אז מה מייחד את המקרים שאותם בחרתי להציג?

המערכות שבחרתי הן מערכות הנקראות בעגה 'ליניאריות'. אם ניתן לתאר את המציאות על ידי משוואה שאנחנו מכנים 'ליניארית' אז יתקיים עיקרון הסופרפוזיציה.

ומהי משוואה ליניארית?

טוב ששאלתם.

נניח מערכת פשוטה שמצדה האחד אני מכניס מספר ומצידה השני יוצא כפל של המספר בחמש. כלומר, אם נכניס 2, נקבל 10, ואם נכניס 3, נקבל 15. מה יקרה אם נכניס 2 ועוד 3? נקבל 25 שהוא בדיוק חיבור של 10 ו-15. זאת דוגמה למערכת ליניארית.

נניח מערכת פשוטה אחרת שמצדה האחד אני מכניס מספר ומצידה השני יוצא כפל של חמש במספר בריבוע. כלומר, אם נכניס 2, נקבל 20, ואם נכניס 3, נקבל 45. מה יקרה אם נכניס 2 ועוד 3? נקבל 125 שהוא ממש לא חיבור של 20 ו-45. זאת דוגמה למערכת שאינה ליניארית.

ובכתיבה יותר פורמלית, נוכל להגדיר את ה-'כפול 5' במקרה הראשון, או 'כפול 5 ובריבוע' במקרה השני כאופרטור O שפועל על הכניסה X, והמוצא מסומן ב-Y. עבור מערכות ליניאריות מתקיים השוויון הבא:

כאשר C₁ ו-C₂ הם קבועים כלשהם.

שתי הדוגמאות שנתתי כאן הן הפשוטות ביותר שיכולתי לחשוב עליהן, אך משוואות פיזיקליות ליניאריות יכולות להיות גם פשוטות כמו הקשר בין הזרם למתח המקור במעגל חשמלי (חוק אוהם), או מסובכות ביותר, כמו משוואת הגלים.