גלגלים מתגלגלים – המחשה מוחשית ונחושה לחידה מתמטית

לאחרונה התפרסם בערוץ היוטיוב בנושאי מדע veritasium הסרטון הזה (ונדחף על ידי האלגוריתם ללא הפסקה, לפחות בפיד שלי):

בשליש הראשון של הסרטון מוצגת סוג של חידה מתמטית-פיזיקלית פשוטה עם תוצאה מפתיעה. בשליש השני מוצגים הסברים מדוע הפתרון המפתיע הוא הנכון. בשליש השלישי מוצג הקשר של החידה למדידת זמן ותנועת גרמי שמיים.

ממליץ לצפות בסרטון. לא חובה.

בחלק הראשון של רשימה זאת אציג בקצרה את החידה ואת פתרונה רק לשם רקע והקשר למי שאין סבלנות לסרטונים.

בחלק השני אציג המחשה שבניתי כדי להפוך את הפתרון הלא צפוי ממופשט למוחשי. מוזמנים לשתף אותי אם הצלחתי או לא.

החידה

עיגול קטן מתגלגל ללא החלקה על שפתו של עיגול גדול שמקובע למקום ואינו יכול לנוע, להתגלגל או להסתובב אלא רק משמש כמשטח.

השאלה: כמה סיבובים סביב עצמו יבצע העיגול הקטן במהלך תנועתו על פני העיגול הגדול כדי לחזור למקומו ההתחלתי אם נתון שרדיוס הכדור הגדול גדול פי 3 מרדיוס הכדור הקטן. ראו איור.

לפני הפתרון מעט הסברים.

מהו גלגול ללא החלקה? כאשר אנו נוסעים במכונית, בכל רגע נתון יש חלק של הצמיג שמעוגן לקרקע דרך חיכוך. דבר זה מאפשר לקרקע להפעיל כוח על המכונית ולדחוף אותה אם המכונית בתאוצה למשל. הכוונה היא שכל מולקולה בתחתית הצמיג שכרגע נוגעת בקרקע נדבקת אליו לרגע קט, הגלגל מסתובב ואז המולקולה מנתקת מגע והמולקולה הבאה על היקף הצמיג נדבקת, וכך הלאה. להמחשה דמיינו את תנועת הזחל של טנק או נגמ"ש. אם כך, כל סיבוב מלא של הגלגל סביב עצמו מקדם את המכונית במרחק ששווה להיקף הגלגל (ששווה ל-2π·R, כאשר R הוא רדיוס הצמיג).

אם כך מהי התשובה לחידה?

ממליץ לכם לחשוב לבד אם לא צפיתם\ן בסרטון.

פתרון החידה

ההיגיון הבריא מכתיב (לדעתי) את התשובה שרוב האנשים 'הנורמליים' (לדעתי) יחשבו עליה – שלושה סיבובים. התשובה לכאורה מסתמכת על הרעיון של צמיג וגלגול ללא החלקה. אם ההיקף של הכדור הגדול גדול פי 3 מההיקף של הכדור הקטן, אז הכדור הקטן יצטרך להסתובב שלוש פעמים סביב עצמו כדי להתקדם מרחק שהוא פי 3 מהיקפו.

הבעיה היא שהתשובה היא דווקא 4.

לא מאמינים?

אציג שתי המחשות שתוכלו לחזור עליהן בעצמכם\ן בבית. בכל ההמחשות שאראה השתמשתי בעיגולים ברדיוסים שווים מכיוון שקל יותר למצוא או לייצר כאלה וקל יותר לראות שני סיבובים במקום אחד שהיינו מצפים.

בהמחשה הבאה העיגול עם החץ מסתובב סביב העיגול עם הציור. יש לקרוא כקומיקס בכיוון השעון לפי סדר המספרים.

שימו לב שכבר בצעד 5 העיגול עם החץ ביצע סיבוב מלא סביב עצמו וחזר לאוריינטציה המקורית. בחזרה ל-1 הוא ישלים שני סיבובים סביב עצמו.

באופן זהה עם מטבעות:

איך זה יכול להיות?!

ההסבר התיאורטי הברור ביותר, לדעתי, הוא שיש לעקוב אחרי 'מרכז המסה' של העיגול שנע. הוא נמצא במרכז העיגול והוא החלק היחיד שלא מסתובב כלל ולכן לא מבלבל אותנו. שימו לב שאורך המסלול שצריכה לעבור נקודה זאת כדי לחזור לנקודת ההתחלה הוא אורך הקיפו של עיגול ברדיוס 4R סביב מרכז העיגול הגדול. ואם היא צריכה להתקדם 4R על ידי גלגול ללא החלקה של עיגול ברדיוס R אז הגיוני שהעיגול הקטן צריך להסתובב 4 פעמים סביב עצמו.

אבל מאיפה מגיע הסיבוב העודף אם מדובר בגלגול ללא החלקה?!

בכל המקרים שהראיתי קשה לראות או להבין מאיפה מגיע הסיבוב הנוסף. הסיבה לכך, לדעתי, היא שכל צעד בודד בסיבוב הוא אינפיניטסימלי קטן וקשה להבין כך מה קורה.

לכן החלטתי להמיר את העיגול במתומן משוכלל בעל שמונה צלעות ולעקוב אחרי כל צעד. גלגול ללא החלקה של מתומן אחד על השני (הזהה לו) דורש שצלע מספר 1 במתומן הראשון נוגעת בצלע מספר 1 במתומן שני, ובצעד הבא צלע 2 נוגעת בצלע 2, וכך הלאה. כאשר אנו שומרים שמתומן אחד נייח ומתומן שני מתגלגל על הדופן שלו 'ללא החלקה'.

ראשית נבדוק אם מערכת המתומנים בכלל מקיימת את התכונות הבסיסיות של מערכת העיגולים.

את ההמחשה הבאה יש לקרוא כקומיקס לפי סדר המספרים.

מתומן מתגלגל על רצפה ישרה באורך ההיקף של המתומן בגלגול ללא החלקה, כלומר מצלע 1 לצלע 1, 2 ל-2 וכך הלאה.

ניתן לראות שכדי שהמתומן יתגלגל לאורך מרחק ששווה להיקף שלו הוא צריך להשלים בדיוק סיבוב אחד סביב עצמו.

נבדוק מה קורה בגלגול של מתומן על מתומן.

להמחשה זאת היה לי נוח יותר לגלגל את המתומן כאשר אחד שוכב והשני בולט מהקרקע. גודלם של שני המתומנים זהה.

ועכשיו לגלגול.

כמו בדוגמאות הקודמות יש לקרוא כקומיקס לפי סדר המספרים, הפעם נגד כיוון השעון.

ניתן לראות שהמתומן המתגלגל משלים סיבוב מלא סביב עצמו כבר בצעד 5 באופן זהה לעיגולים. כשיגיע חזרה ל-1 ישלים שני סיבובים.

כעת כשהשתכנענו שמערכת המתומנים מתנהגת כמו מערכת העיגולים, בואו ונבחן מהי הזווית שבא צריך להסתובב המתומן המתגלגל סביב עצמו כדי להתקדם בצעד אחד.

ניתן לראות שבמקרה שבו המשטח עליו מתגלגלים ישר, הזווית שהמתומן המתגלגל צריך להסתובב עבור צעד אחד היא 45 מעלות. לעומת זאת, עבור משטח בצורה מתומן, המתומן המתגלגל צריך להסתובב סביב עצמו 90 מעלות, בדיוק פי 2! והנה לנו הסיבוב העודף שחיפשנו. לאורך כל המסלול נרוויח בדיוק סיבוב שלם נוסף.

מסקנה – כאשר מתגלגלים על משטח עקום, הוא 'בורח לנו כלפי מטה'. לכן כדי להגיע אליו בגלגול לא מספיק להתקדם, אלא צריך גם להסתובב באופן עודף לכיוון שהרצפה ברחה אליו.

העמקה

מי שאוהב מתמטיקה ורוצה להעמיק למבט רחב יותר יכול לחזור לשליש השלישי של הסרטון בתחילת הרשימה או למשל לצפות בסרטון הזה: