על דרך מפתיעה לקבל מנמלים גז

הפעם אפתח בחידה. היא אינה חדשה ולא אני חיברתי אותה.

מי שמכיר אותי יודע שאני לא חובב חידות. ובכל זאת, שתי סיבות למה היא כאן: 1) היא מעניינת, לדעתי, גם למי שלא מצליח לפתור אותה, 2) אנסה להראות שניתן להוציא ממנה אפילו יותר ממה שנראה במבט ראשון.

***

החידה פורסמה מזמן על ידי גדי אלכסנדרוביץ' מהבלוג 'לא מדויק' ופורסמה שוב, למיטב זכרוני, לפני שנה-שנתיים על ידו באתר עיתון 'הארץ'.

דמיינו שולחן באורך מטר שעליו צועדות נמלים בקצב של מטר לדקה (הבעיה חד ממדית). כלומר, אם נניח נמלה בקצה השולחן, כאשר פניה מופנות פנימה, היא תיפול מהקצה השני של השולחן לאחר דקה של הליכה. כאשר שתי נמלים נפגשות (ראש בראש) שתיהן הופכות כיוון, כלומר, ממשיכות ללכת במהירות הנתונה, אך בכיוונים הפוכים.

החידה: מספר לא ידוע של נמלים, שראשן מופנה לכיוונים לא ידועים ונמצאות במקומות לא ידועים על השולחן מתחילות את צעידתן. מהו הזמן המינימלי שייקח לכל הנמלים ליפול מהשולחן?

.

.

.

לפני הפתרון בואו וננסה כמה מקרים פשוטים.

עבור נמלה אחת שמתחילה בקצה אנחנו כבר יודעים שהיא תיפול אחרי דקה. זה המקרה הארןך ביותר עבור נמלה בודדת.

נציב שתי נמלים בשני הקצוות עם הפנים פנימה. פגישה במרכז אחרי חצי דקה, סיבוב וצעידה חצי דקה לקצוות עד לנפילה. שוב דקה. אם נמלה אחת בקצה ואחת במרכז מכוונת אליה, גם דקה. בדקו אותי. לא תמצאו מקרה יותר ארוך מדקה. בדקו אותי.

נציב שתי נמלים בקצוות עם הפנים פנימה ואחת במרכז. סה"כ שלוש נמלים. אחרי רבע דקה יש מפגש והיפוך, אחרי חצי דקה נמלה אחת נופלת והשתיים האחרות נפגשות ומתהפכות במרכז, ואחרי דקה כולן נפלו.

מסתמן שהתשובה היא כנראה דקה, ללא תלות במספר הנמלים. אך כיצד להסביר זאת?

נחליף את הנמלים בכדורים זהים אחד לשני. כאשר שני כדורים נפגשים הם מחליפים כיוון ואחד נע ימינה והשני שמאלה. כאשר שני כדורים חולפים אחד דרך השני הם אינם מחליפים כיוון ואחד נע ימינה והשני שמאלה. כלומר, אין הבדל מהותי בין שני המקרים ולכן התוצאות שלהם צריכות להיות זהות. בשני המקרים, לאחר המפגש נצלם שני כדורים זהים שנעים, אחד ימינה ואחד שמאלה.

קל יותר לחשוב על המקרה שבו הכדורים חולפים אחד דרך השני. במקרה זה ברור שזמן התנועה הארוך ביותר הוא של נמלה שמתחילה מהקצה פנימה ונופלת אחרי דקה. כל נמלה אחרת תיפול לפני כן. אמנם 'במציאות' הנמלה שתיפול אחרונה לא תהיה זאת שהיתה בקצה (שככל הנראה תיפול ראשונה), אבל לשם פתרון הבעיה אין לכך משמעות.

יש עוד משהו יפה לטעמי שאפשר להוציא מהחידה זאת והוא דורש מעט מאמץ ומעט מתמטיקה אבל בתמורה הוא יגלה לנו משהו על העולם האמיתי.

***

התראה: עבור מי שאינו מורגל בפיזיקה החלק הבא אולי יהיה מעט מורכב, אך המתמטיקה הנדרשת היא ברמה תיכונית, ולדעתי שווה את המאמץ.

***

דמיינו שוב את אותו השולחן ואותן הנמלים רק שהפעם קצוות השולחן חסומים. כלומר, כאשר נמלה מגיעה לקצה, היא נוגחת בו, מחליפה כיוון וצועדת לכיוון השני במהירות האמורה.

כמה נגיחות יוטחו בקירות בממוצע על פני דקה (כלשהי)?

אם הבנתם את פתרון החידה הקודמת ודאי תסכימו שהפתרון הוא כמספר הנמלים על השולחן. חישבו שוב על הנמלים ככדורים שעוברים אחד דרך השני. ברור שאם כל הנמלים היו נופלות מהשולחן לאחר דקה, במקרה שלנו בממוצע לאורך דקה כלשהי כל אחת תנגח פעם אחת בקיר.

לפי חוק שלישי של ניוטון, נמלה שנוגחת בקיר, דינה להינגח על ידי הקיר בכוח ששווה בגודלו והפוך בכיוונו לכוח נגיחתה. זה גם ברור שכדי שהנמלה תהפוך את כיוון תנועתה הקיר חייב לנגוח בה בעוצמה, כלומר להפעיל עליה כוח.

השינוי בתנועת הנמלה מגולם בפיזיקה בתוך הגודל שנקרא 'תנע' שהוא המהירות כפול המסה. הכוח שפועל לאורך זמן מגולם בגודל שנקרא 'מתקף' שהוא הכוח כפול הזמן (עבור כוח קבוע או כוח ממוצע). מכאן שהשינוי בתנע של הנמלה בעקבות נגיחה בקיר חייב להיות שווה למתקף שהקיר הפעיל עליה. זהו משפט 'מתקף-תנע' והוא נובע ישירות מחוקי ניוטון.

F>·t=Δ(m·v)=m·Δv>

(m מסה, v מהירות, t זמן, F כוח, Δ הפרש כלומר סוף פחות התחלה, <> ממוצע)

אם כן, מהו המתקף הממוצע שפועל על הקיר ביחידת זמן (למשל דקה)? לפי המשפט, זה שווה לשינוי התנע הממוצע של כל הנמלים. שינוי התנע של נמלה בודדת שווה לפעמיים התנע שהיה לה כי היא החליפה כיוון ותנע הוא וקטור (גודל וכיוון), ואת זה נכפיל במספר הנמלים.

F>·t= m·Δv=m·2·v·N>

(N מספר הנמלים)

יחידת הזמן אינה מוגבלת להיות דקה. אוכל לבחור אותה כרצוני. כידוע, זמן שווה דרך חלקי מהירות ולכן נוכל לרשום:

t=L/v

(L אורך השולחן)

F>·t=<F>·L/v =2·m·v·N>

F> =2·m·v²·N/L>

ידוע שהאנרגיה הקינטית, האנרגיה הקשורה בתנועה של חלקיקים, מוגדרת כ:

E_k=0.5·m·v²

ולכן

F> =4· E_k ·N/L>

אם ניקח בחשבון שלמחסומים בקצה השולחן יש שטח פנים שעליו נוגחות הנמלים ונחלק את שני אגפי המשוואה בשטח זה נקבל את הלחץ על דפנות השולחן, שהרי לחץ הוא כוח ליחידת שטח.

F>/S=P =4· E_k ·N/L·S>

(P לחץ, S שטח הדופן)

מכיוון שהשטח כפול האורך שווה לנפח נוכל לרשום:

P·V =4· E_k ·N

(V נפח)

כעת לפינאלה. מי שמכיר כבר היה צריך לחשוד מזמן.

משיקולים תרמודינמיים של מערכות רבות גופים ידוע שהאנרגיה הקינטית הממוצעת של החלקיקים שווה, עד כדי קבוע, לטמפרטורה של המערכת ולכן נוכל לרשום:

P·V =C·N·T

(T טמפרטורה, C קבוע כלשהו)

מה שקיבלנו היא משוואת המצב של גז אידיאלי קלאסי. מודל זה הוא קירוב טוב מאוד לגזים דלילים (שאינם דחוסים, בלחץ נמוך). המשוואה מתארת את הקשרים שחייבים להישמר בין שלושת הגדלים הרלוונטיים למערכת שיכולים להשתנות: הלחץ, הנפח והטמפרטורה.

[הערת שוליים: פתרון הבעיה עבור מרחב תלת ממדי לא ישנה באופן מהותי את התוצאה]

למעוניינים, הנה קישור לדף שבו יש פיתוח יותר סטנדרטי של נוסחת הגז האידיאלי

***

לא רע בשביל כמה נמלים מטופשות שהולכות בסך על שולחן חד ממדי בחידה חסרת פשר. לפחות לדעתי.