על חצים מכל מיני סוגים וגילוי הקשר בין חשמל ומגנטיות

לאורך המאה ה-18 ותחילת המאה ה-19 חשמל ומגנטיות נחשבו לשתי תופעות שונות, אבל חלקו ביניהן לא מעט נקודות דמיון. למשל, בחשמל היו מטענים משני סוגים ובמגנטיות קטבים משני סוגים. שני מטענים (או קטבים) מאותו הסוג דחו אחד את השני בזמן ששניים מסוגים שונים משכו אחד את השני. בנוסף, ב-1795 הראו ניסוייו של הפיזיקאי הצרפתי שארל-אוגוסטן דה קולון (Coulomb) שעוצמתם של הכוחות (חשמלי ומגנטי) קשורה ביחס הפוך למרחק בריבוע בין שני מטענים (או קטבים). הרעיון שיש קשר בין תופעות החשמל והמגנטיות 'היה באוויר' אבל ניסיונות לבדוק אותו לא הצליחו.

הנס כריסטיאן ארסטד (Ørsted) היה פיזיקאי וכימאי דני. הוא האמין שיש קשר עמוק בין חשמל ומגנטיות, אבל עד 1820 לא הצליח למצוא ראיות ניסיוניות להשערה. האגדה מספרת שבאותה שנה, בסוף הרצאה מול סטודנטים בנושא אחר הוא החליט לבצע, כדרך אגב, ניסוי דומה לניסוי הבא: מתחת לחוט מתכת מניחים מחט מגנטית כך שהיא חופשייה להסתובב ולהצביע לכיוון השדה מגנטי (או במילים אחרות מצפן, ראו איור 1ג). מציבים אותה כך שכיוונה ניצב לכיוון החוט (ראו איור 1ב). כאשר נרים את השאלטר ונעביר זרם חשמלי דרך החוט, המחט המגנטית תאכזב אותנו ולא תזוז, כמו שקרה לארסטד שוב ושוב. לעומת זאת, אם נציב את המחט במקביל לחוט, כל עוד יש זרם, המחט תסתובב לכיוון הניצב לחוט (ראו איור 1א). אם נחליף את כיוון הזרם יתהפך גם כיוון הסטייה של המחט. אם נשים את המחט מעל לחוט במקום מתחת, גם אז יתהפך כיוון הסטייה. מה שארסטד גילה הוא שזרם חשמלי מייצר שדה מגנטי שכיוונו מוגדר על ידי מעגלים קונצנטריים סביב החוט (ראו איור 1ד).

איור 1: ניסוי ארסטד. א) כאשר המחט מקבילה הזרמת זרם חשמלי בחוט תגרום לסטיה, ב) כאשר המחט ניצבת לכיוון הזרימה היא לא תשנה את כיוונה, ג) מערכת הניסוי, ד) כיוונו של השדה המגנטי מזרם בחוט הוא על גבי מעגלים קונצנטריים סביב החוט. המקור לאיורים ג' ו-ד': ויקיפדיה, ג' לקוח מספר משנת 1876 מאת Agustin Privat-Deschanel, וד' הועלה לאתר על ידי המשתמש User:Stannered.

ארסטד הראה שיש קשר הדוק בין חשמל ומגנטיות וזכה בתהילת עולם. אבל יש משהו מאוד מוזר בתוצאת הניסוי שלו. דמיינו שאתם נסחפים בנהר גועש. כיוון הסחיפה יהיה מקביל לכיוון הזרימה ולא בניצב. אם אני חוטף אגרוף לפנים אני עף אחורה לכיוון תנועת האגרוף ולא בניצב. כיצד יתכן שכיוון השדה המגנטי שנוצר מזרם חשמלי ניצב לכיוון הזרימה?

***

נניח שיצאנו ב-8:00 בבוקר בנסיעה מתל-אביב והגענו ב-10:00 לפתח-תקווה (איזה פקקים!). נוכל לשרטט חץ שמצביע מנקודת ההתחלה לנקודת הסיום, ללא תלות במסלול שבו נסענו כדי להגיע (ראו חץ ירוק באיור 2). החץ הזה הוא אחד ממושגי היסוד בפיזיקה ומכונה בשם 'העתק'. העתקים הם למעשה הוראות ניווט (מרחק ואזימוט).

איור 2: העתק. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש User:Stannered, ותורגם על ידי המשתמש Yonidebest.

כעת בואו נניח שהמשכנו בנסיעה מפתח-תקווה עד לחיפה, לשם הגענו ב-12:00. נוכל לשרטט חץ נוסף בין פתח-תקווה לחיפה (חץ ירוק באיור 3). נוכל גם לשרטט חץ ישירות מתל-אביב לחיפה (חץ כחול באיור 3). ניתן לחשוב על החץ האחרון כחיבור מוזר של שני החצים הראשונים. אם שרטטנו מערכת צירים נוכל לקבל את אורכו וכיוונו של החץ השקול על ידי חיבור ערכי ההיטלים של שני החצים הראשונים על גבי כל ציר בנפרד (ראו איור 3). לחלופין, נוכל למצוא את החץ הכחול על ידי תכונות המשולש שנוצר בין שלושת החצים.

איור 3: חיבור וקטורי העתק. החץ הכחול שקול לחיבור של החץ האדום והחץ הירוק.

השם 'וקטור' בפיזיקה ניתן למושגים שכדי לתארם יש צורך לציין גם את גודלם וגם את כיוונם, בדומה להוראות ניווט או העתקים. פעולת חיבור בין מושגים אלה תוגדר על ידי משולש כמו באיור 3.

כאשר יושב לי פיל על הראש, המסה של שנינו ביחד היא חיבור של המסות של כל אחד מאיתנו בנפרד. אין משמעות לכיוון של המסה. לעומת זאת, אם אני רוצה לדעת באיזה כוח מוחץ אותי הפיל, יש חשיבות לכיוון בו הוא מופעל עלי. בנוסף, הכוח השקול שיפעילו עלי שני פילים יוגדר על ידי חיבור לפי 'כלל המשולש' מאיור 3. מכאן שכוח הוא וקטור ומסה אינה וקטור, אלא מכונה בעגה 'סקלר'.

מכפלה של סקלר בוקטור מייצרת וקטור חדש שכיוונו זהה לכיוון הוקטור המקורי. לדוגמה, מהירות ממוצעת (כולל כיוון) מוגדרת על ידי חלוקה של וקטור ההעתק בפרק הזמן של התנועה, שהוא סקלר, וכיוונה ככיוון ההעתק.

***

מה קורה כאשר דוחפים את קצהו של מחוג השעון? המחוג מסתובב. כלומר הפעלת כוח על זרוע, גורמת לסיבובה של הזרוע סביב ציר החיבור שלה. מה נעשה אם המחוג עקשן ומתנגד לסיבוב? או שנפעיל יותר כוח, או שנאריך את המחוג. היזכרו בפעם האחרונה שהחלפתם גלגל עקב פנצ'ר. לא הייתם רוצים מפתח ברגים עם ידית ממש-ממש קצרה, נכון? (ראו איור 4).

איור 4: כוח על זרוע. ככל שהכוח או אורך הידית גדולים יותר כך יהיה יותר קל לפתוח או לסגור ברגים בעזרת המפתח.

נגדיר מושג פיזיקלי שנקרא מומנט, שהוא כוח הפועל על זרוע (שגם לה יש גודל וכיוון). גודלו של המומנט נתון על ידי כפל של הכוח באורך הזרוע. אבל רגע, מהי בעצם התוצאה של הכפלת שני וקטורים? כרגע אנחנו יודעים רק לחבר אותם או להכפיל בסקלר. האם התוצאה היא וקטור? ואם כן, מה כיוונו?

ישנן כמה דרכים מתמטיות להגדיר מכפלה בין וקטורים ואנחנו נבחר את זאת שמתאימה לנו (בעגה: מכפלה וקטורית). התוצאה שלה היא וקטור שכיוונו נתון על ידי סיבוב בורג. נדמיין את חץ המחוג מסתובב לכיוון חץ הכוח, כאשר שניהם מסתובבים סביב אותה נקודת אחיזה, ונסובב בורג באותו כיוון. הבורג יתברג אל תוך הדף או יצא ממנו כתלות בכיוון הסיבוב. עליית או ירידת הבורג היא הכיוון של המומנט (ראו איור 5). שימו לב שכיוון המומנט תמיד ניצב לשני הוקטורים שממנו נוצר.

למה? ככה.

איור 5: מומנט. גודלו של וקטור המומנט נקבע על ידי הכפל של הכוח באורך הזרוע. כיוונו הוא ככיוון בורג עקב סיבוב, פנימה או החוצה מדף.

***

השדה המגנטי הנוצר מזרם חשמלי הזורם לאורך חוט מתכת מתואר על ידי חוק ביו-סבר (Biot–Savart) ככפל בין וקטור המייצג את הזרם וכיוונו לבין וקטור המתאר את מיקום נקודת המדידה ביחס לחוט. פעולת מכפלת הוקטורים זהה לזאת היוצרת את המומנט, ובאנלוגיה נוכל להסיק שכיוון השדה המגנטי ניצב תמיד לכיוון הזרם החוט, בכל נקודה במרחב.

יש הסוברים שאחת הסיבות לזמן הרב שלקח למצוא את הקשר בין חשמל למגנטיות היתה ההתנהגות המוזרה של כיוון השדה המגנטי ('פסאודו-וקטור', ראו קופסא 6). היה קשה להעלות על הדעת שהשדה המגנטי ייקח כזאת פניה חדה, ולכן כולם חיפשו אותו במקומות ובכיוונים לא נכונים. קשה לחשוב מחוץ לקופסא לפני שראית אותה מבחוץ.

סוף.

***

אתם עדיין כאן? אז הנה נספח\הרחבה\הפעלה.

קופסא 6: הרחבה בנושא פסאודו-וקטורים.

 

המחשב אינו כל-יכול – יומן קריאה

לפני זמן מה שוחחתי עם תלמידת תיכון שהתלוננה שבית-ספרה קבע את מערכת השעות כך שאחד השיעורים מתנגש עם אחד החוגים שלה אחר-הצהריים. עוד היא סיפרה שכאשר פנתה אל בית-הספר, הצוות האחראי על בניית מערכת השעות גילה חוסר נכונות לשנות את המצב.

למזלי, לפני ששוחחנו קראתי את ספרו של פרופ' דוד הראל "המחשב אינו כל-יכול", וכך יכולתי לספר לה שמשימת שיבוץ מערכת שעות (אופטימלית) היא אחת הקשות שיש. היא כל כך קשה עד כי אפילו מחשב לא יכול לה. כיום לא ידוע לנו על אלגוריתם שפותר אותה בזמן סביר. ואם זה לא גרוע מספיק אז המחשב אינו יכול אפילו להכריע עבור קלט מסוים האם בכלל קיים פתרון שעומד בדרישות או לא.

היא לא השתכנעה.

עטיפת הספר 'המחשב אינו כל-יכול' מאת דוד הראל. לקוח מאתר הוצאת הספרים: ספרי עליית הגג.

***

הטלפון החכם, שהוא בעצם מחשב נייד, אומר לנו באיזו דרך לנסוע, מה מזג האוויר, מה תכננו לעשות היום ומה אנחנו חייבים להספיק לעשות מחר, מה לאכול, מתי לקחת את התרופות ואיך קוראים לחברים שלנו. אנחנו מדברים אליו, מטפחים אותו וסומכים עליו בעיניים עצומות. הוא אחד משלנו והוא כל יכול. תנו לו מספיק זמן ומתכנתים והוא יפתור לכם כל בעיה.

טוב, כמעט כל בעיה.

מסתבר שיש עולם שלם של בעיות שאותן מחשב אינו יכול לפתור. זה לא משנה כמה נאיץ את פעולתו ונגדיל את נפח הזיכרון איתו הוא עובד, זה פשוט לא יעזור. ישנן בעיות די פשוטות לתיאור שהוכח שלא קיים עבורן מתכון לפתרון באמצעות מחשב. ישנן בעיות שעבורן יש לנו מתכון לפתרון אבל זמן החישוב במקרה הגרוע ביותר יהיה כל כך ארוך שאין מספיק שניות ביקום כדי להכיל אותו. ישנן בעיות מדכאות אף יותר שבהן אנחנו אפילו לא יודעים אם הן פתירות בזמן סביר או לא, אבל כרגע הן לא.

מחשב, אם כך, אינו כל-יכול, אבל חשוב לדעת שגם לדברים שאינו יכול לבצע ניתן למצוא שימוש.

***

נתחיל מהסוף. הספר כתוב טוב, ואם עדיין לא קראתם אז הוא בהחלט מומלץ. הוא קריא, לא כבד מידי ומשועשע במידה בריאה כך שהוא לא 'מייבש' את הקורא שאינו מהתחום. בנוסף, הקורא זוכה בהצצה קצרה אך איכותית לתוך תחום מדעי-המחשב ללא צורך בידע מוקדם. כותב הספר, פרופ' דוד הראל ממכון ויצמן וחתן פרס ישראל למדעי המחשב, בחר להציג דווקא את המגבלות האינהרנטיות של מחשבים וזאת גישה מעניינת ופרובוקטיבית באופן חיובי.

הספר, אגב, אינו חדש. הוא התפרסם במקור באנגלית בשנת 2000 ותורגם לעברית ב-2004. זה אני שהגעתי אליו רק עכשיו.

בפרק הראשון מושקע מאמץ רב להסביר מהו בכלל מחשב, מהי תוכנת מחשב ומהו אלגוריתם. בפרקים הבאים מוצגות הבעיות שהזכרתי ומספר דרכים עכשוויות ועתידיות להתמודד איתן. לקראת סוף הספר ישנו הפרק הטוב ביותר לטעמי שמתאר כיצד ניתן לנצל את הבעיות שהוצגו לטובתנו בתחומים של הצפנה. הפרק גם מכיל את ההסבר הטוב ביותר שקראתי עד היום לנושא של הצפנה באמצעות 'מפתח ציבורי' ו-'מפתח פרטי', שילוב של הסבר מצוין באמצעות אנלוגיה עם הסבר רבע-טכני ברמה מתאימה לקורא המתחיל.

למרות שנהניתי מאוד לקרא את הספר היו מספר נקודות שהפריעו לי.

ניכר שהושקע בכתיבת הספר מאמץ רב כדי שיהיה נגיש לכל קורא. עם זאת, עדיין נשארו כמה ספיחים שנראים לקוחים מכתיבה אקדמית או מספר לימוד לאוניברסיטה. הבולט מכולם הוא הערות השוליים הרבות, ואורכם הבלתי סביר. הערות אלה משולבות בתוך הטקסט ולא פעם מהוות את מירב הטקסט בין זוג עמודים. הן מכילות הבהרות, הרחבות ומראי מקום אקדמיים. אבל הרי הספר אינו חיבור אקדמי, וסביר שמי שמעוניין בהערות השוליים האלה יבחר לקרא את הספרות המקצועית מלכתחילה. דבר נוסף שבולט לעין הוא שהספר עוסק בלמסור מידע ואינו טורח לספר סיפור (כמו למשל 'המשפט האחרון של פרמה'). זאת בחירה סגנונית שתתחבב על חלק מהקוראים ותרתיע אחרים.

לאורך כל הספר 'מופּלות' על הקורא לא מעט אמירות חזקות שמקורן אינו מוסבר. בפרק 2, למשל, נכתב שבעיית העצירה אינה ניתנת להכרעה, אך לא ניתן כל הסבר מדוע זה נכון או איך הגיעו למסקנה הזאת. הדבר חוזר על עצמו כמעט בכל פרק. ברור לי שיש צורך בידע טכני רב כדי להסביר את ההוכחות, אבל לדעתי היה כדאי לפחות לנסות לתת אינטואיציה או הסבר חלקי כדי לא להשאיר את הקורא תלוש. שליחת הקורא לעיין בספרות המקצועית היא לא פתרון לגיטימי לבעיה זאת מכיוון שזה אינו ספר מקצועי והקורא אינו איש מקצוע.

הדיון על חישוב קוונטי וחישוב ביולוגי הוא לטעמי החלק החלש ביותר בספר, ומי שמתעניין דווקא בנושאים אלה יצטרך לקרוא עליהם במקום אחר. הייתי מעדיף גם שבארבעת הפרקים הראשונים יהיו יותר דוגמאות קונקרטיות לרלוונטיות של הבעיות והמושגים מחוץ לדיון האקדמי בספר.

***

לסיכום, הספר כתוב בשפה נגישה לקורא, גם אם יש בו מעט סממנים אקדמיים. הוא מציג את הנושא בצורה ברורה, עושה סדר בראש גם למי שמכיר חלק מהנושאים ומהווה מקום טוב להתחיל בו בקריאה פופולרית על מדעי המחשב.