הכפתור מתחיל בתוכנו, על איך לתאר מעגל גנטי בעזרת מתמטיקה

הפעם אני רוצה לדון בדבר והיפוכו. מחד, כיצד ניתן לתאר מעגל גנטי באמצעות מודל מתמטי פשוט, ומאידך, כיצד ניתן להגיע לתובנות מתוך המודל מבלי להזדקק (כמעט) למתמטיקה. ספויילר: אם הכול ילך כשורה נקבל בסופו של דבר מתג.

תמונה 1: מתג במצב 'דלוק'. המקור לתמונה: ויקיפדיה לשם הועלתה על ידי המשתמש Jason Zack.

תזכורת

ברשימה קודמת הצגתי את המושג 'מעגלים גנטיים' וכיצד באות בו לידי ביטוי לולאות משוב. הקוד הגנטי בתא, כלומר DNA, משועתק למולקולות RNA שמתורגמות לחלבונים. ישנם מקטעי DNA שמקודדים לחלבונים, הם הגנים, וישנם מקטעים שמתפקדים, בשיתוף פעולה עם חלבונים, כיחידות בקרה על תהליך השעתוק.

נניח שגן מסוים מקודד לחלבון, ואותו חלבון בדרך זו או אחרת מעודד או מדכא את השעתוק של אותו הגן שמקודד אותו. נוכל להתייחס לכמות החלבון כאל 'אות' היציאה של המערכת, שגם מוזן חזרה ומשפיע על פעילותה. כלומר, מדובר במערכת משוב לכל דבר ועניין. אם החלבון מדכא שעתוק זהו משוב שלילי ואם הוא מעודד זהו משוב חיובי.

המודל הבסיסי

ננסח מודל המתמטי עבור המערכת שבו ריכוז החלבון הוא המשתנה או הנעלם. מכיוון שאנחנו עוסקים בבעיה דינאמית התלויה בזמן, עדיף לנו לגשת לבעיה על ידי ניסוח משוואות עבור קצב השינוי של הריכוז. גישה זאת מאפשרת לנו לנסח היגדים כלליים על המערכת שיהיו נכונים בכל זמן ללא תלות בריכוז החלבון ברגע נתון או בתנאי ההתחלה.

כדי שהמודל יהיה שימושי הוא חייב להיות פשוט ככל האפשר ולכן אין טעם לנסות ולתאר את כל השלבים והדקויות של השעתוק והתרגום. אנחנו נסתפק בתיאור כללי ופשטני של תהליכים שמוסיפים חלבונים ושל כאלה שגורעים מהם.

שני התהליכים העיקריים שמתווים את קצב השינוי בכמות החלבונים הם יצירה ופירוק. החלבונים נוצרים מתהליך התרגום ולאחר זמן כלשהו עוברים תהליך דגרדציה. זמן החיים של חלבונים אינו קבוע ומתפלג סביב ערך ממוצע כלשהו. ככול שמספרם של הפרטים במערכת גדול יותר, כך הזמן בין אירועי פירוק קצר יותר, או במילים אחרות ההסתברות לפירוק חלבון בפרק זמן קבוע כלשהו גדול יותר. מסיבה זאת הגיוני לאפיין את קצב הפירוק על ידי קבוע שמוכפל במספר החלבונים במערכת. כלומר, ככל שיש יותר חלבונים קצב הפירוק גבוה יותר. מכיוון שתהליך זה גורם לירידה בכמות החלבונים, האיבר במשוואה שמתאר אותו יופיע עם סימן מינוס. כמו כן, נניח לעת עתה שקצב היצירה קבוע. כעת יש בידינו את המשוואה הבסיסית של המודל (ראו קופסא 2).

מאפיין בולט של בעיות מהסוג הזה הוא שלאחר זמן ארוך כלשהו הפתרון מתייצב על ערך קבוע שנקרא 'המצב היציב' (steady state). אם אנחנו מתעניינים רק במצב היציב ניתן לפשט את המשוואה באופן משמעותי על ידי השוואת קצב השינוי לאפס ולחלץ בקלות את כמות החלבון במצב יציב (קצב יצירה מחולק בקבוע הפירוק).

קופסא 2: המודל הבסיסי. קצב השינוי תלוי בקצב יצירה אל מול קצב פירוק. במצב יציב הריכוז מתייצב על ערך קבוע ולכן קצב השינוי שווה אפס.

לולאת משוב

השלב הבא הוא הכנסת המשוב. את ההשפעה של החלבון על קצב השעתוק נתרגם לתוך המשוואה על ידי הכפלת קצב הייצור בפונקציה שערכה נע בין 0 ל-1 כתלות בריכוז החלבון. כאשר הפונקציה שווה 1 קצב הייצור מקסימלי, וכאשר היא שווה לאפס הייצור נעצר. עבור דיכוי, הערך שלה יהיה גבוה בערכי חלבון נמוכים ונמוך בערכי חלבון גבוהים. עבור עידוד נשרטט את הפונקציה הפוך (ראו קופסא 3).

קופסא 3: משוואת המודל לאחר תוספת איבר המשוב. 'דיכוי' הוא בעצם משוב שלילי ו'עידוד' הוא בעצם משוב חיובי.

פתרון במצב יציב

כדי למצוא את הפתרון יש להגדיר באופן מפורש את פונקציות המשוב ולפתור את המשוואה, אך גם מבלי זה ניתן ללמוד לא מעט דברים על המערכת. במשוואה ישנם רק שני איברים שכל אחד מהם הוא פונקציה של הריכוז. פתרון המשוואה מתקבל כאשר הם שווים אחד לשני ולכן אם נשרטט את שתי הפונקציות (אחת לכל איבר) על אותו גרף שצירו האופקי הוא הריכוז, הפתרון יתקבל בנקודת החיתוך בין שתיהן. קצב הפירוק של החלבונים מתואר על ידי קו ישר המתחיל בנקודת הראשית וקצב הייצור מתואר על ידי הגרפים מקופסא 3.

קופסא 4: פתרון המשוואה הוא המצב היציב. במקרה של דיכוי (גרף עליון), או משוב שלילי, ישנו רק פתרון אחד. במקרה של עידוד (גרף תחתון), או משוב חיובי, ישנם מספר פתרונות אפשריים כתלות בפרמטרים של המערכת.

במקרה של דיכוי, או משוב שלילי, קל לראות בקופסא 4 (איור עליון) שלמשוואה יש פתרון אחד שערכו תלוי בשיפוע של גרף הפירוק ובצורתה של פונקצית המשוב. במקרה של עידוד, או משוב חיובי, מספר נקודות החיתוך בין הגרפים משתנה ויכול להיות 1, 2 או אפילו 3 (ראו קופסא 4, איור תחתון).

במקרה של 3 נקודות חיתוך ישנם שלושה פתרונות אפשריים, אך חלקם אינם מתרחשים במציאות מכיוון שאינם 'יציבים' (stable). מצב יציב שקול למקרה שבו מניחים כדור בתחתית קערה. גם אם נסיט אותו מנקודת שיווי המשקל הוא יחזור אליה. אם נהפוך את הקערה ונשים את הכדור על הקצה העליון שלה, ניתן אמנם לאזן אותו, אך כל הסטה, קטנה ככל שתהיה, תגרום לו  ליפול והוא לא יחזור לנקודה באופן ספונטני, וזהו פתרון לא יציב.

עבור המקרה שבו למערכת שלנו יש שני פתרונות יציבים, אחד בריכוז נמוך ואחד בגבוה, הדבר שקובע לאיזה מצב תגיע המערכת לאחר זמן ארוך הוא ריכוז החלבון בתחילת התהליך. כל עוד מתרחש השעתוק כשסביב ישנם רק מעט חלבונים, כמות החלבונים תישאר נמוכה. בעקבות העלאת כמות החלבונים, אולי ממקור חיצוני, תתייצב הכמות על הערך הגבוה. כלומר, המערכת 'נעולה' במצב גבוה או נמוך, ועל ידי התערבות חיצונית ניתן לעבור בין שני המצבים. למעשה תיארנו פעולה של מתג (סוויץ'), כזה שמורכב מרכיבים ביולוגיים.

תמונה 5: מתג במצב כבוי ליד מתג חירום. המקור לתמונה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Cjp24.

לסיכום

במקרים רבים המודלים המתמטיים מהסוג שהצגתי ברשימה מתארים באופן מוצלח מאוד התנהגות של מערכות ביולוגיות, וזאת למרות הפשטות וההפשטה שבהם.

חשוב לציין שרוב המעגלים הגנטיים בתא מסובכים לאין ערוך ממה שתארתי כאן ומכילים רכיבים רבים וקשרים מרובים וסבוכים בין מספר רב של חלבונים. כפועל יוצא, קשה מאוד כיום לכתוב מודל שלם של תא חי. אבל אין להתייאש, אנחנו בדרך (ראו דיון בתגובות של הרשימה הקודמת).

————————————————————–

לקריאה נוספת: "למה יש אנשים שחושבים שהם מכונות? על קבלת החלטות בעולם המיקרוסקופי".

המשוב מתחיל בתוכנו, על אופרון הלקטוז

הפעם אני רוצה לספר על עוד מערכת משוב (פידבק), אבל בניגוד לרשימות קודמות בנושא (זאת וזאת) מדובר על מערכות משוב שאף אחד מאיתנו לא תכנן. גם הפעם מדובר על מעגלים, אבל לא חשמליים אלא גנטיים.

***

תא הוא יחידת החיים הבסיסית ביותר שמוכרת לנו. הוא יכול להיות חלק מאורגניזם מורכב כגון צמחים, פטריות או בעלי חיים, או להיות יחידת חיים עצמאית כמו שמרים או חיידקים. אחד מהמאפיינים החשובים של תא הם החלבונים שנמצאים בתוכו, מרכיבים אותו ומשמשים בו גם בתור חומרי הבניה וגם בתור כלי העבודה. החלבונים הם מולקולות גדולות המורכבות משרשראות של חומצות-אמינו שמיוצרות בתוך התא באמצעות מנגנון שמתופעל על ידי חלבונים.

כל תא מחזיק בתוכו את הקוד הגנטי בצורת סליל DNA. ישנם מקטעים ב-DNA שמהווים את הקוד ליצירת חלבונים והם אלו שנקראים גנים. כאשר אנזים* הנקרא RNA-פולימראז 'נאחז' בתחילת הגן, הוא 'נוסע' לאורכו ובתוך כך מעודד שעתוק שלו, כלומר יצירת עותק RNA (אבני בסיס מעט שונות) לפי תבנית ה-DNA (ראו איור 1). כאשר הריבוזום פוגש בהעתקי ה-RNA הוא מגייס חומצות אמינו, מדביק אותם ביחד ובכך מתרגם את קוד ה-RNA לחלבון מסוים. כלומר, תהליך יצירת החלבונים בתא מורכב משלב השעתוק (transcription) ושלב התרגום (translation).

*[הערת שוליים: אנזימים הם חלבונים שבשל צורתם הייחודית מזרזים פעולות כימיות מסוימות.]

איור 1: המחשה סכמטית של שעתוק גן. א) רצף DNA, הגן בירוק, הפרומוטר באדום והפולימראז בכתום. ב) הפולימראז 'נאחז' בפרומוטר ומתחיל לנוע על רצף ה-DNA. ג) הפולימראז מעודד את שעתוק הגן ל-RNA. הרעיון לאיור נלקח מהסרטון הזה.

תהליך השעתוק של גן כלשהו מתחיל בכך שמולקולת RNA-פולימראז 'נאחזת' בפיסת DNA שנמצאת לפני תחילת הרצף של הגן. הרצף המקדים הזה אינו חלק מהגן ונקרא 'פרומוטר' (promoter) והוא מהווה את דלת הכניסה. אם הוא נעול או שהוא לא נמצא, לא יתקיים שעתוק של הגן ולא ייווצרו החלבונים האלה.

***

אי-קולי (Escherichia coli) הוא חיידק בעל צורה גלילית (ראו תמונה 2) שחי לו בנחת במעיים. לרוב הוא אינו מזיק לנו ומהווה חלק מהמארג הרגיל של חיידקים שחיים במערכת העיכול, אם כי ישנם גם סוגים שעלולים לגרום לקלקול קיבה. המזון המועדף על החיידק הוא סוכר מסוג גלוקוז שמגיע כמובן מהמזון שאנחנו אוכלים. בהעדר גלוקוז, לאי-קולי יש יכולת לעכל גם סוכר מורכב יותר מסוג לקטוז אבל אותו הוא צריך לפרק. עבור תהליך העיכול של הלקטוז על החיידק לייצר שלושה חלבונים מסוימים. שלושת הגנים שמקודדים לחלבונים האלה נמצאים ברצף אחד אחרי השני על הקוד הגנטי ונשלטים על ידי פרומוטר בודד שממוקם לפניהם. קיבוץ גנים כזה נקרא בעגה 'אופרון' ובמקרה המסוים הזה נקרא אופרון הלקטוז (lac operon).

תמונה 2: תרבית של החיידק אי-קולי שצולמה באמצעות מיקרוסקופ אלקטרונים סורק. המקור לתמונה: Rocky Mountain Laboratories, NIAID, NIH דרך ויקיפדיה.

ייצור החלבונים שמשמשים לטיפול בלקטוז צורך אנרגיה ואין טעם לבזבז אותה במידה ולחיידק יש גישה לגלוקוז, או שאין בנמצא סוכרים כלל. למזלו של החיידק יש ברשותו מערכת בקרה שמאפשרת לו לכבות את הייצור וכך פותרת באלגנטיות את הבעיה. אז איך זה עובד?

לא רחוק מאופרון הלקטוז, על גבי הקוד הגנטי, קיים גן אחר שמקודד לחלבון שנקרא 'lactose repressor' ויכונה כאן 'רפרסור'*. החלבון מיוצר באופן רציף ונוטה להיקשר חזק לפיסת ה-DNA בין הפרומוטר לגנים. הרפרסור מפריע ל-RNA-פולימראז להתקדם על גבי ה-DNA, האופרון לא משועתק והחלבונים לא מיוצרים (ראו איור 3).
*[הערת שוליים: זה נכון שחלק גדול מהטקסט הזה כתוב בהיבריש, אבל שפת המדע בימינו היא אנגלית ועודף תרגום יוביל לג'יבריש גרוע אף יותר.]

איור 3: אופרון הלקטוז והרפרסור. א) אופרון הלקטוז, בירוק הגנים המקודדים לשלושת החלבונים, בצהוב אזור המוקדש לבקרה, באדום הפרומוטר, בכתום הפולימראז. ב) חלבוני הרפרסור מקודדים במקום אחר על פני הקוד הגנטי ומיוצרים ברציפות. ג) הרפרסור מתיישב על אזור הבקרה ומונע את שעתוק האופרון, ויצירת החלבונים.

כאשר מולקולות לקטוז מגיעות לשכונה המצב משתנה. הן (או גרסה שלהן) נקשרות כימית למולקולת הרפרסור וגורמות לה לשנות את צורתה. יש לזכור שצורתם של חלבונים קובעת את תפקודם. עקב כך הרפרסור מאבד את היכולת להיקשר לאזור ב-DNA לפני האופרון ואינו חוסם את הפולימראז (ראו איור 4). במצב זה מתרחש שעתוק של האופרון והחלבונים שאותם הוא מקודד מיוצרים ומתחילים לפרק את מולקולות הלקטוז. בתאבון.

איור 4: הפעלת האופרון על ידי הלקטוז. א) כעת יש נוכחות של מולקולות לקטוז. ב) גרסה של לקטוז נקשרת לרפרסור ומשנה את צורתו כך שאינו יכול להקשר לאזור השליטה על גבי האופרון. ג) לאחר הסרת הרפרסור הפולימראז חופשי לשעתק את הגנים.

במידה ומלאי הלקטוז מוגבל, פירוקו על ידי חלבוני האופרון יוריד בשלב מסוים את ריכוזו בתא חזרה לרמה שבה אין הוא זמין להיקשר לרפרסור. כאשר זה יקרה, הרפרסור יחזור לצורתו הפעילה ושעתוק האופרון יופסק.

אז מה היה לנו? החלבונים המטפלים בלקטוז מיוצרים אך ורק כאשר הוא בנמצא, ומי שמחזיק את היד על השאלטר הוא ריכוז הלקטוז. מצד שני, החלבונים הם אלה שמורידים את כמות הלקטוז ולבסוף יובילו להפסקת ייצורם. זהו מעגל משוב קלאסי למטרת בקרה. האם לדעתכם זה משוב שלילי או חיובי?

חשוב לציין שמה שתיארתי כאן מהווה רק חלק ממערכת הבקרה המלאה של אופרון הלקטוז. ישנם שני מנגנונים נוספים, אחד שדואג שהאופרון ישועתק רק במידה ואין גלוקוז, והשני הוא משוב חיובי שמגביר את קצב התהליך כל עוד הוא מתרחש.

***

אז מסתבר שמעגלי משוב קיימים לא רק באלקטרוניקה אלא גם בעולם החי. אם כך, האם ניתן לתאר אותם בעזרת משוואות מתמטיות? (רמז: כן). אם כך2, האם ניתן לכתוב מודל מתמטי מדויק של פעולת התא? (רמז: לא ממש, אבל ראו דיון בתגובות).