Archive

Archive for מרץ, 2013

הייזנברג ידע בוודאות

פתח דבר

יש האומרים שמכניקת הקוונטים היא מבחן. אם מישהו טוען שהוא מבין אותה זה סימן שהוא לא חשב עליה מספיק. זה מזכיר לי את הסצנה בסרט 'יהודי טוב' (A Serious Man) של האחים כהן שבה מנסה סטודנט כושל בקורס במכניקת הקוונטים להסביר למרצה שלמרות שנכשל בבחינה הוא דווקא כן הבין את הקורס, את החתול של שרדינגר ואת כל העסק. המרצה, בצר לו, נאלץ להסביר שאין בעצם מה להבין, החתול הוא רק אלגוריה (אם נדייק, ניסוי מחשבתי) וכל השאר זה מתמטיקה.

ממכניקת הקוונטים נגזרות לא מעט תובנות הנוגדות את האינטואיציה שלנו שמקורה בניסיון מחיי היום-יום. אחד הגורמים המרכזיים שיוצרים בלבול בנוגע למכניקת הקוונטים הוא עקרון אי-הוודאות של הייזנברג. המון ציטוטים בתרבות הפופולארית, מעט מאוד קשר לעניין עצמו.

אז במה מדובר בעצם? נלך מהקל אל הכבד.

377px-Bundesarchiv_Bild183-R57262,_Werner_Heisenberg

תמונה 1: ורנר הייזנברג, המקור: ויקיפדיה, המקור למקור: Bundesarchiv, Bild183-R57262 / CC-BY-SA.

פשרות וקונוסים

לחימום אפתח באנלוגיה פשוטה שהיא קלה להבנה אך מייצרת פרשנות שגויה.

דמיינו שאתם רוצים למדוד את מהירות נסיעתה של מכונית. דרך פשוטה לעשות זאת היא לסמן בעזרת שני קונוסים קטע דרך, אותו תעבור המכונית בנסיעה. צופה ימדוד בעזרת שעון עצר את זמן הנסיעה. על ידי חלוקה של המרחק בין הקונוסים בזמן הנסיעה, ניתן לחשב בקלות את מהירות הנסיעה של המכונית. דיוק המדידה נתון על ידי דיוק מדידת המרחק בין הקונוסים ודיוק התגובה של הצופה בלחיצה על שעון העצר (דיוק מדידת הזמן). ניתן לשפר את דיוק מדידת המהירות בקלות על ידי הגדלת המרחק בין הקונוסים. שגיאות מדידת המרחק והזמן לא ישתנו אך יקטנו באופן יחסי לערך המדידה.

שאלה: היכן נמצאת המכונית בזמן מדידת המהירות? התשובה: נוסעת בין הקונוסים. ככל שהקונוסים יהיו קרובים זה לזה, כך נדע את המיקום בדיוק טוב יותר. אבל נזכר שקודם אמרנו שככל שהקונוסים קרובים, דיוק מדידת המהירות נמוך יותר (סיכום האנלוגיה באיור 2).

מה שהייזנברג הראה הוא שישנה הגבלה יסודית על הדיוק שבו יכול הצופה לדעת בו זמנית את מיקומו ואת מהירותו של חלקיק. הכפל של אי-הוודאות במקום באי-הוודאות במהירות תמיד יהיה גדול מגודל קבוע מסוים הקשור לקבוע פלאנק.

—————————————————————————

* עקרון אי הוודאות אינו עוסק במהירות אלא בתנע שהוא גודל פיזיקלי המוגדר על ידי הכפל של המהירות במסה.
** מהאנלוגיה הזאת משתמע שהבעיה קשורה במדידה, אך לא כך הדבר. עקרון אי-הוודאות הוא תכונה בסיסית של המערכת הקוונטית ולא בעיית מדידה, אך בהתחשב בעובדה שהפרשנות (השגויה) של אי-וודאות כבעיית מדידה נוסחה על ידי הייזנברג עצמו, אז אנחנו בסדר.

—————————————————————————

מכונית וקונוסים

איור 2: מכונית, קונוסים ויחס אי-הוודאות בין מדידת המהירות והמיקום.

מורידים את הכפפות – מתמטיקה ללא מתמטיקה

כיצד מתבטאת אי-הוודאות בתיאור חלקיק קוונטי?

בתורת הקוונטים התנהגות החלקיקים מתוארת באופן מתמטי על ידי פונקציות הנקראות 'פונקציות-הגל'. פונקציות אלה הן בעלות אופי גלי, כפי שמרמז שמן, וערכן בנקודה מסוימת מהווה מדד להסתברות של החלקיק להימצא באותו מקום.

כדי להעריך את התנע של החלקיק, נשרטט את צורתה של פונקצית-הגל שלו בזמן מסוים. קצב השינוי שלה על ציר X (כמה מחזורים היא משלימה ביחידת אורך) הוא מדד לתנע.

נדמיין שני חלקיקים. חלקיק מספר 1 מתואר על ידי פונקצית-הגל באיור 3א'. נוכל להבחין שהתמונה מחזורית לחלוטין ביחס לציר X. מכאן שהתנע של החלקיק ידוע במדויק. לעומת זאת לא ברור היכן החלקיק נמצא. ישנן אינסוף נקודות מקסימום זהות (מחוברות על ידי הקו הירוק הנקרא מעטפת) שמעידות על הסתברות שווה. כלומר, אי-הוודאות בתנע היא אפס, כי אנו יודעים את ערכו, ואי-הוודאות במקום אינסופית, מכיוון שאין לנו שום מידע על מיקומו.

חבילות גל

איור 3: חבילות גל.

כעת, נתבונן בפונקצית-הגל של חלקיק מספר 2 באיור 3ב' ונעקוב אחרי המעטפת הירוקה. ניתן לראות שישנן נקודות מקסימום גבוהות מאחרות המרוכזות באזור מוגדר, שם סביר יהיה למצוא את החלקיק (בערך בין 1 ל 1-). אך מהו התנע? למרות שהתנודות הפנימיות בעלות מחזור קבוע, העובדה שערכי המקסימום משתנים ממקום למקום אומרת שהתנע כבר אינו מוגדר באופן חד-ערכי. ניתן להראות בשיטות מתמטיות שפונקצית גל זו מורכבת מחיבור גלים רבים הדומים לזה המתאר את חלקיק 1 והנבדלים בתנע ובעוצמה. מכאן שהתנע במקרה זה יהיה נתון על ידי התפלגות של ערכים.

מההבדל בין שני החלקיקים ניתן לראות שאם אנחנו יודעים את התנע (אי-וודאות מינימלית), אין אנו יודעים דבר על המקום (אי-וודאות מקסימלית). כמו כן, אם יש לנו מידע על המקום 'נשלם' באי וודאות בתנע. התיאור המתמטי של תובנה זאת הוא עקרון אי-הוודאות של הייזנברג כפי שהוא רשום בקצה העליון של איור 2.

משתי הדוגמאות האלה (מכונית וחלקיקים) ניתן להבין שעיקרון אי-הוודאות של הייזנברג כלל אינו מתייחס לוודאות או להסתברות להתרחשות מאורעות כלשהם, ולכן שמו מטעה. למעשה במאמרים המקוריים השתמש הייזנברג בשם שקשור לחוסר יכולת לקבוע ולא לחוסר וודאות (indeterminacy ולא uncertainty).

העיקרון דן במה שניתן לדעת בעולם הפיזיקלי הקוונטי. כלומר, נוכל למצוא בדיוק רב את מהירותו של חלקיק וגם את מיקומו, אך לא בו-זמנית.

לסיכום

אז מה אנו צריכים לעשות עם זה בחיי היום יום שלנו? לא הרבה. עקרון אי-הוודאות בא לידי ביטוי רק בבעיות מסדרי גודל קטנים כגון אטומים, אלקטרונים, פוטונים וכדומה. כלומר במקרה של המכונית, נוכל למדוד את מיקומה ומהירותה בו-זמנית בדיוק רב. כמו כן, כדאי לזכור שגם אם ישנה עדיין התלבטות לגבי הפרשנות של מכניקת הקוונטים, התורה היא עדיין אחת התיאוריות המדעיות המוצלחת ביותר בהיסטוריה מבחינת כוח חיזוי.

——————————————————————

*** המכונית והקונוסים שאולים במידה זאת או אחרת מהספר: "Voodoo science – Robert Park".
**** הרשימה פורסמה במקור לפני שנתיים-שלוש באתר שפינוזה זצ"ל, ואני מפרסם אותה כאן שוב לאחר עריכה.

למטה-למעלה-למעלה-למטה ומה שביניהם, על שתי גישות לתכנון ובניה של רכיבים ננומטריים

חלומות באספמיה

אז בדיוק רכשתם פיסת אדמה, ואתם רוצים להקים עליה בית. כיצד תעשו זאת? לפחות ברמה האבסטרקטית כל מה שנדרש הוא לערום לבנים – שורה אחר שורה, קיר אחרי קיר, חדר אחרי חדר וקומה אחר קומה. כמו לשחק בלגו. כך רובנו מדמיינים בניית בית. אך ישנה גם שיטה הפוכה מבחינה קונספטואלית. במקום לבנות את הבית, פיסה אחר פיסה ניתן לחצוב אותו מחתיכה שלמה של חומר גלם, כמו מיכלאנג'לו החושף את דוד מתוך גוש שיש. אמנם איני מכיר אף אחד המתכנן לחצוב את ביתו בסלע בזמן הקרוב, אך ישנן כמה דוגמאות מרהיבות מימי קדם (ראו תמונה 1).

Al_Khazneh

תמונה 1: מקדש האוצר בפטרה. המקור לתמונה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Bernard Gagnon.

שתי אסטרטגיות הבניה (או העיצוב) שהזכרתי נקראות בלעז 'Bottom up' (לגו) ו-'Top down' (מיכלאנג'לו). הראשונה עוסקת בבניה על ידי הוספה של חומרים והשניה עוסקת בבניה על ידי הורדה של חומרים. אף על פי שבתחום הבניה העירונית המודרנית רק אחת מהן באה לידי ביטוי, בתחום הננוטכנולוגיה יש לשתיהן חשיבות רבה.

להקטין, להקטין, להקטין!

אוהבים מחשבים מהירים וזולים? גם אני! שם המשחק הוא טרנזיסטורים קטנים. הטרנזיסטורים הם וסתי זרם חשמלי שבאמצעותם בונים את המעגלים הלוגיים המרכיבים למשל את המעבד של המחשב. הקטנת הטרנזיסטורים מובילה להגדלת מספרם במעבד ולשיפור פעולתו. מנגד, היא מובילה גם לקושי הולך וגובר לייצר את הרכיבים האלה. כיום טרנזיסטור במעבד הוא מסדר גודל של כמה עשרות ננומטרים (קטן פי אלף ויותר מקוטר שערה).

ננו-חוט, או בלעז nanowire, הוא אחד הרכיבים המסקרנים בתחום הננו-אלקטרוניקה. מדובר בחוטים, לרוב מסיליקון, באורך כמה עשרות מיקרונים וברוחב כמה עשרות ננומטרים (ראו תמונה 2). אל החוטים ניתן לחבר מגעים חשמליים ולייצר מהם רכיבי אלקטרוניקה ננומטריים. לחוטים אלה תכונות הולכת-חשמל מעניינות, גודל קטן, ויחס גדול בין שטח הפנים לנפח. מסיבות אלה ישנה התעניינות רבה בשנים האחרונות בננו-חוטים כרכיבים חשמליים, כטרנזיסטורים, כחיישנים ועוד.

CVD_Growth_of_Si_naowires_with_Au_catalysts

תמונה 2: ננו-חוטי סיליקון שגודלו תוך שימוש בחלקיקי זהב וצולמו בעזרת מיקרוסקופ אלקטרוני. המקור לתמונה: ויקיפדיה.

אבל איך בכלל אפשר לייצר מבנים כל כך קטנים בדיוק כל כך גבוה? אז מסתבר שאפשר לגדל אותם על הסיליקון ואפשר גם לחצוב אותם מתוכו. נשמע לכם מוכר?

חשיפה ופיתוח בחדר הנקיtop down

כיצד מדפיסים על חתיכת סיליקון מספר אסטרונומי של טרנזיסטורים בדיוק רב כל כך ובגודל קטן כל כך? התשובה טמונה בטכניקה שנקראת 'פוטוליטוגרפיה', וכפי ששמה מרמז היא קשורה להדפסה בעזרת אור, כלומר צילום (סרטון קצר). התהליך מתבצע ב-'חדרים נקיים' שבהם כמות החלקיקים באוויר נמוכה מאוד. כל חלקיק מזהם שינחת על הסיליקון בזמן התהליך ישבית חלק גדול מהפרוסה ויגרום לנזק כלכלי רב.

אז איך זה עובד?

נניח שיש בידינו פיסת סיליקון (צהוב באיור 3, a) שמכוסה בשכבת תחמוצת (אפור), ואנחנו מעוניינים לחפור בשכבת התחמוצת תעלה מלבנית במימדים ננומטרים וברמת דיוק גבוהה. ראשית נכסה את התחמוצת בשכבה אחידה של חומר רגיש לאור שמכונה photoresist והוא סוג של חומר צילום (b). כעת נצמיד אליו מסכה שהכנו מראש ותפקידה לחסום את האור באזורים מסוימים (c). נקרין את הדגם באור UV דרך המסכה כך שרק חלק מהדגם חשוף לאור (d). הבחירה להקרין באור UV נובעת מכך שככל שאורך הגל קצר יותר כך נוכל להדפיס ברזולוציה גבוהה יותר (גבול הדיפרקציה).

Photolitography
איור סכמטי 3: שלבים בתהליך הפוטוליטוגרפיה. המקור לתמונה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Cmglee.

האזורים בחומר הצילום שנחשפו לאור עוברים שינוי כימי וניתנים להסרה בעזרת ממסים כמו אצטון (לחלופין, אלה שלא נחשפו, תלוי ברזיסט). כעת שכבת התחמוצת חשופה באזור בצורת המלבן שאותו רצינו להסיר (e). ניתן לחפור אותו החוצה מבלי לפגוע במקומות אחרים (f), ואז להסיר את שאריות חומר הפיתוח (g). נשארו עם סיליקון שעליו שכבת תחמוצת עם חור מלבני.

באמצעות טכניקת הפוטוליטוגרפיה ניתן לעצב בליטות מלבניות מדויקות ברוחב ננומטרי על גבי פיסות סיליקון ולחבר אליהן מגעי מתכת בקצוות כך שניתן להתייחס למבנים שיתקבלו כננו-חוטים, לפחות מההיבט חשמלי.

זרעים של זהב – bottom up

תארו לעצמכם שהיה ניתן לזרוע חתיכות זהב קטנות באדמה ולראות אותן נובטות וגדלות לעצים המניבים פירות השווים את משקלם בזהב. שיטה לגידול ננו-חוטים הנקראת  Vapor–liquid–solid  (ובקיצור VLS) אינה רחוקה מזה.

בשיטה זאת זורעים חתיכות ננומטריות של זהב על פני משטח סיליקון, וחושפים את המשטח לגזים מסוימים (ראו איור 4). הגזים מייצרים ריאקציה כימית שבעקבותיה מתרחש מעבר של אטומי סיליקון מהפאזה הגזית אל תוך חלקיקי הזהב. כאשר חלקיק הזהב רוויים באטומי סיליקון הם מתחילים לשקוע בתחתיתו ומתמצקים (סרטון קצרצר). חתיכות הזהב קובעות את כיוון הגדילה ואת רוחב הננו-חוט שגדל. בסוף התהליך נוכל 'לקצור' מספר רב של ננו-חוטים, להניח אותם במקום אחר ולחבר אליהם מגעים חשמליים.

555px-Au-Si_Droplet_Catalyzing_Whisker_Growth

איור סכמטי 4: ננו-חוטי סיליקון הגדלים תחת חלקיק הזהב בשיטת VLS. המקור לתמונה: ויקיפדיה.

ראש בראש – מוזיקת יציאה

למרות שהגידול של ננו-חוטים בשיטת VLS אינו פשוט לביצוע, רוב המחקרים (לפחות אלה שאני נתקלתי בהם) מתבצעים על הסוג הזה. במחקר בסיסי החיסרון העיקרי של השיטה אינו בא לידי ביטוי, והוא הקושי למקם את החוטים לפי סידור רצוי. כאן נכנסים היתרונות הברורים של שיטת הליטוגרפיה, שהרי היא השיטה בה משתמשים בתעשיית המוליכים למחצה על מנת לייצר מעגלים בהזמנה.

כל עוד מדובר במחקר בסיסי, נוכל להמשיך ולהשתמש ב-bottom up, אבל אם ברצוננו לפתח רכיב לייצור המוני, נהיה חייבים לפתח אותו ב-top down.

ומה לגבי בניית הבית? עזבו אותי, אני הולך לשחק בלגו!

שבעים פנים לאנטרופיה

[עריכה מאוחרת 22.08.13. הבהרה: אם הגעתם לכן כדי להבין מהי בדיוק אנטרופיה זאת לא הרשימה המתאימה לכך,  למעשה היא עוסקת בדיוק בדבר ההפוך. עדיף שתקראו בויקיפדיה או בספר מתאים].

***

הלוגריתם הטבעי של מספר המצבים.

***

'אנטרופיה' על שום מה? על שם מילה יוונית שפירושה המרה.

– העובדה לקוחה מהספר 'המשוואות הגדולות', רוברט פ' קריז, כתר –

***

"… החוק השני [של התרמודינמיקה] קובע את כיוון זרימת האנרגיה: אם תינתן לאנרגיה אפשרות לזרום באופן חופשי, היא תמיד תזרום מאזור בו היא מצויה בריכוז גבוה לאזור שבו היא בריכוז נמוך.

… האנטרופיה היא מדד לכמות האנרגיה העוברת מריכוז גבוה לנמוך. ככל שיותר אנרגיה תזרום מכוס המים החמים אל האוויר הקר, האנטרופיה תגדל."

– מתוך הספר 'פרפטום מובילה', רן לוי, ספריית מעריב –

Steaming posh tea cup

תמונה 1: כוס תה מהבילה. המקור לתמונה: ויקיפדיה, המהבילוּת שלי.

***

"בכל תהליך שבו מפיקה מערכת אנרגיה, ובהתאמה האנטרופיה שלה יורדת בשיעור מסוים, כמות אנרגיה מסוימת חייבת להימסר לסביבה כחום שלא ניתן להשתמש בו לביצוע עבודה. כמות האנרגיה שנאבדת ניתנת על ידי כפל של השינוי באנטרופיה בטמפרטורת הסביבה איתה המערכת נמצאת בשיווי משקל."

– מתורגם באופן חופשי מדף הויקיפדיה הזה

***

דמיינו שני ארונות בגדים. באחד אתם זורקים את הבגדים פנימה ללא כל סדר. בשני אתם מסדרים את הבגדים לפני סוג פריט הלבוש, כלומר ערימה לחולצות, ערימה למכנסיים וכדומה. בתוך כל ערימה הבגדים ממוינים לפי צבעים, והצבעים מסודרים לפי האלף-בית, לדוגמא: אדום, ירוק, כחול, שחור.

נניח שכעת עליכם לכתוב רשימה שתכיל פירוט לגבי מיקום כל בגד בשני הארונות. בארון המבולגן נצטרך את המיקום המדויק של כל בגד בארון מכיוון שהכל אקראי. לעומת זאת, בארון המסודר החיים יותר קלים. אם מדובר בזוג תחתונים אדומים, ידוע כבר שהוא ימצא בערימת התחתונים, בין האדומים. כל מה שנותר הוא לציין מהו מיקומו בין התחתונים האדומים. הרשימה היא האנטרופיה, קצרה או ארוכה, קרי – גדולה או קטנה.

ארון עם מצעים ומגבות

תמונה 2: ארון עם מצעים ומגבות. המקור לתמונה: ויקיפדיה.

***

17.02.13

"אֶנְטְרוֹפּיה היא גודל פיזיקלי המשמש מדד למידת האי-סדר במערכת. בתרמודינמיקה המושג קשור למעבר חום, ובמכניקה סטטיסטית הוא מבטא את כמות האנרגיה שאינה יכולה להיות מומרת ל"עבודה" במערכת אנרגיה. בשני המקרים, החוק השני של התרמודינמיקה קובע שסך האנטרופיה במערכת סגורה לא יכול לקטון."

24.02.13

"אֶנְטְרוֹפּיה היא פונקציית מצב בתרמודינמיקה בעלת מימדים של עבודה ליחידת טמפרטורה. המושג קשור למעבר חום. החוק השני של התרמודינמיקה קובע שסך האנטרופיה (במערכת תרמודינמית וסביבתה ביחד, או במערכת אדיאבטית, כלומר מערכת שאינה מחליפה חום עם הסביבה) לא יכול לקטון. מכאן נובע שהאנטרופיה במערכת אדיאבטית נשארת קבועה בתהליך שתחילתו וסופו במצבי שיווי משקל אם ורק אם התהליך הוא הפיך, והיא עולה בתהליכים לא הפיכים."

ויקיפדיה עברית–

***

"האנרגיה של העולם קבועה; האנטרופיה של העולם שואפת אל ערך מקסימלי".

– רודולף קלאוזיוס, הציטוט לקוח מהספר 'המשוואות הגדולות', רוברט פ' קריז, כתר –

iclausi001p1

תמונה 3: רודולף קלאוזיוס – פיזיקאי ומתמטיקאי גרמני שנחשב לאחד האבות המייסדים של התרמודינאמיקה. המקור לתמונה: ויקיפדיה.

***

כילד הייתי חולה כדורגל, והשבת הייתה יום חגם של החולים. הייתי צמוד במתח לרדיו, מאזין לתכנית 'שירים ושערים' ברשת ב'. ביום ראשון, מיד עם חזרתי הביתה מבית הספר, הייתי חוטף את המוסף השמן של הספורט, כולי נרגש, וקורא בו כל מילה כמרווה צמא שאין לו סוף. אבל זה לא הספיק, ולכן נהגתי גם לקרוא את מוספי הספורט במקומונים. כך השתרש בי ההרגל של עיון במקומונים גם אחרי שהתשוקה לכדורגל דעכה בי עם השנים.

באותה תקופה, כאשר הייתי מעלעל במקומון, הייתי מקפיד להתעכב במדור המכתבים למערכת. איני יודע מדוע, ומעולם לא הקדשתי לכך מחשבה. מהמדור ההוא הדבר שזכור לי מכל הוא ישעיהו בידרמן. תמיד היה נפתח המדור במכתב פרי עטו. שבוע אחר שבוע היה שולח מכתבים שבהם הציג בפני קוראי המקומון את דעותיו באי אלו נושאים. דברים בנאליים, במחילה, אבל הקסם לא היה בתוכן אלא בדבקות.

שורה ריקה

עברו מאז מעל עשרים שנה ואני איני קורא עוד את המקומונים. ידידי בידרמן נשכח מליבי לחלוטין, עד התקופה שנפגשנו שוב באופן מקרי, דבר מה מוכר במקום חדש. באותו הזמן החלפתי קריאת עיתון סופשבוע אחד במשנהו, ובמדור המכתבים למערכת מצאתי אותו שוב. אמנם התוכן היה כבעבר, אך תדירות מכתביו היתה נמוכה יותר. פעם בחודש או חודשיים, אולי פחות. האם היה זה בגלל כמות המכתבים הגדולה יותר שנשלחת לעיתון מרכזי, או אולי בגלל שהתעייף? איני יודע. עם הזמן הוא הפך למשהו מטושטש ברקע ולקח לי זמן רב לשים לב שהוא כבר לא שם. ואז הוא כבר לא היה שם, וזהו.

שורה ריקה

לפני מספר חודשים נסעתי באוטובוס לעיר הולדתי. לקראת סוף הנסיעה, בעוד האוטובוס מתפתל במרכז העיר, עצרתי לרגע את הקריאה, הנחתי את הספר על ברכי והבטתי החוצה. תוך כדי אחת הפניות שמאלה משהו מוכר תפס את עיני. היתה זו מודעת אבל מודבקת על לוח מודעות גלילי. לרגע חשבתי שראיתי את השם ישעיהו בידרמן, אבל זה קרה כל כך מהר, ולא חזרתי לאחר מכן לוודא.

***

מתמטיקה

***

אם יש לכם מה להוסיף: הסבר, אנלוגיה, חוויה, הקשר, מטאפורה, הרגישו חופשי לשתף בתגובות. הוסיפו עוד שמן למדורת הבלגן, הגדילו את האנטרופיה!