על פידבקים, בעיקר שליליים, מעשה ידי אדם

הפעם אני רוצה להציג את אחד הכלים הבסיסיים והמעניינים ביותר שאנחנו, בני האדם, המצאנו רק כדי לשוב ולמצוא אותם בטבע: הפידבק, או משוב בעברית.

פידבק הוא כלי שבו נעשה שימוש במספר רב של תחומים מדעיים. ברשימה זאת אני אתמקד בעיקר בשימוש באלקטרוניקה ובבקרת מערכות. בתחום המערכות פידבק הוא מצב שבו אות היציאה מוזן חזרה אל אות הכניסה. התוצאה, אם כך, היא שאות היציאה משפיע על אות היציאה, מכיוון שאות היציאה תלוי באות הכניסה שתלוי באות היציאה שתלוי באות הכניסה שבקע מביצה שהטילה תרנגולת שבגרה מאפרוח שבקע מביצה שהטילה תרנגולת…איך נוכל לדעת מה אות היציאה?

לפני שאתיר את התסבוכת אבדיל בין שני סוגי פידבק: חיובי ושלילי. אם אות היציאה החוזר מופחת מאות הכניסה זהו משוב שלילי ואם ערכו מתווסף לאות הכניסה זהו משוב חיובי. מעבר לעניין הטכני של פלוס או מינוס, ישנה חשיבות רבה לאבחנה בין שני סוגי לולאות המשוב מכיוון שהתוצאות והשימושים שלהם שונים בתכלית. ברשימה הפעם אתמקד בפידבק שלילי.

איור 1: לולאת המשוב הפשוטה ביותר שניתן לתאר.

חזרה לעניין אות היציאה, נתבונן במערכת המשוב השלילי הפשוטה ביותר שניתן לדמיין (ראו איור 1, למעלה). אות בשם V_in נכנס למגבר ויוצא כשערכו גדול פי 9. כעת נסגור לולאת משוב שלילית בכך שנחבר בסימן שלילי את אות היציאה, V_out, לאות הכניסה. המשמעות היא שאות הכניסה במצב זה כבר אינו V_in אלא V_in-V_out, ואות היציאה שווה לביטוי האחרון כפול 9. אם נפתור את המשוואה הפשוטה עבור V_out נקבל שכעת הוא שווה 0.9V_in (ראו איור 1, למטה)_.

מסקנה אחת מהתרגיל הפשוט היא שאין בעיה למצוא את אות היציאה של מעגלי משוב. מסקנה שניה היא שחיבור המשוב השלילי הנמיך באופן משמעותי את ההגבר של המעגל. אז מה יוצא לנו מכל המשוב הזה?

אני אתמקד בשתי דוגמאות למה אפשר לעשות עם משוב שלילי.

רגולציה

נניח שיש לנו מתכון לחמין שדורש בישול ארוך ואיטי בטמפרטורה 60 מעלות. סטייה של יותר מ-5 מעלות בטמפרטורת הבישול למשך יותר מ-10 דקות תפגע בטעמו של התבשיל (גילוי נאות: אני לא מבין דבר וחצי דבר בבישול). דרך אחת לעמוד באתגר היא לשים מדחום בסיר, ולחמם אותו לטמפרטורה הרצויה. לאחר שהגיע התבשיל לטמפרטורת היעד נכבה את החימום, ובכל פעם שהטמפרטורה תרד ב-5 מעלות נדליק אותו חזרה, וחוזר חלילה. זוהי פעולתו של תרמוסטט.

תמונה 2: למקרה שאתם לא יודעים, כך נראה חמין. המקור לתמונה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על יד המשתמש Gilabrand.

ישנה דרך אחרת שאם מבצעים אותה נכון ניתן להגיע לרמת דיוק גבוהה יותר ולתנודות קטנות יותר בטמפרטורה. הפעם נשאיר את החימום דולק כל הזמן אבל לא בעוצמה המקסימלית. את עוצמת החימום נכוון בכל כמה שניות לפי ההפרש בין טמפרטורת היעד, 60 מעלות, לבין הטמפרטורה הנוכחית. ככל שההפרש גבוה יותר נקבע את עוצמת חימום להיות חזקה יותר. מה שקורה כאן באופן כללי הוא שיציאה גבוהה מנמיכה את הכניסה ולכן גם את היציאה ולהיפך, כך שנוצר כאן אפקט של רגולציה של אות היציאה על עצמו. יש להניח שבשיטה השניה הזמן שלוקח להגיע לטמפרטורת היעד בפעם הראשונה ארוך יותר, אך בתמורה נקבל יציבות גבוהה יותר סביב הטמפרטורה הרצויה.

במקום להישאר ערים כל הלילה ניתן להמיר את קריאת המדחום למתח חשמלי (אות יציאה), אותו נפחית ממתח קבוע שמסמל את טמפרטורת היעד ואת מתח ההפרש נזין חזרה למערכת דרך מעגל שיתרגם אותו לסקלה שקובעת את עוצמת החימום (אות כניסה). מה שמתקבל הוא מעגל משוב בקרה קלאסי (ראו איור 3).

ניתן לשפר עוד את מערכת הבקרה על ידי הוספה של לולאות משוב מסוגים שונים. מי שמעוניין מוזמן לקרא על מנגנוני בקרה מסוג PID (המשוב שהוצג כאן הוא ה-'P').

איור 3: מעגל בקרת טמפרטורה לבישול חמין באמצעות לולאת משוב שלילי.

ייצוב ואופטימיזציה

כל מערכת פיזיקלית דינמית כגון זרימת חום, דיפוזיה של חלקיקים או אפילו מנוע ניתנת לתיאור על ידי משוואה דיפרנציאלית שהיא משוואה שמופיעות בה נגזרות של הפונקציה שאותה אנחנו מחפשים. נוכל להציב במשוואה אות כניסה ולשאול כיצד המערכת מגיבה. לדוגמה, נוכל לחמם קצה אחד של מוט מתכת (אות כניסה) ולשאול מה הטמפרטורה בקצהו השני בזמנים שונים (אות היציאה). המוט כאן הוא 'קופסא שחורה' שהתנהגות החום והטמפרטורה בה מאופיינת על ידי המשוואה (המערכת).

נניח שקנינו רכיב אלקטרוני כלשהו וגילינו שהביצועים שלו אינם עומדים בדרישות שלנו בפרמטרים מסוימים. אפשרות אחת היא לזרוק אותו לפח ולקנות אחד מתאים יותר. אפשרות שנייה היא להשתמש בטכניקה בסיסית בתורת הבקרה של מערכות ולחבר לו משוב שלילי. המשוב לא רק משנה את אות היציאה כפי שראינו בדוגמה שהופיעה בתחילת הרשימה, אלא משנה את אופייה של המערכת. כלומר, המשוואה הדיפרנציאלית שמתארת את המערכת כולל המשוב, ונקראת 'מערכת בחוג סגור', שונה מהמשוואה המתארת את הרכיב ללא המשוב. על ידי בחירה נבונה של הגבר המשוב ניתן לכוון את המערכת בחוג הסגור כך שתעמוד בדרישות שלנו. כל זאת מבלי לשנות את הרכיב הבסיסי שאיתו התחלנו.

***

לסיכום, משוב שלילי הוא כלי יעיל בידי המהנדס. בעזרת שימוש נכון ניתן לגרום למערכת לשמר את אות היציאה שלה בתחום ערכים רצוי, וגם לשדרג את פעולתה ללא צורך לשנות אותה מבפנים.

אבל למה שמישהו ירצה להשתמש במשוב חיובי? מה נוכל להרוויח מלבד פיצוץ המערכת? על כך בפעם הבאה.

(כן, כן, קְלִיף-הֶנְגֶר, ולא מהמוצלחים שבהם. מה הלאה? הדחות?!)

שעשועי פולינומים

הפעם רשימה שונה מהרגיל. במקום הרבה מילים ללא מתמטיקה, פחות מילים עם יותר מתמטיקה. אבל כיאה לכותב הרשימה, לא מדובר חלילה במתמטיקה מסובכת אלא בחשבונאות פשוטה, אל חשש.

פשוט בא לי לשחק קצת בפולינומים.

***

אתחיל בלהסביר מהו בכלל פולינום. מדובר בביטוי מתמטי שמורכב מטור חזקות של הנעלם, כאשר כל חזקה מוכפלת במקדם כלשהו. לדוגמה:

או למשל

או אפילו

נוכל לרשום באופן כללי:

או בכתיבה מקוצרת עם סימן סכימה:

'הסדר' של הפולינום הוא החזקה הגבוהה ביותר שמופיעה בו, כלומר בדוגמה הראשונה למעלה הוא 2, בשניה 51, בשלישית 1 וברישום הכללי הסדר n.

פולינומים מעניינים אנשי מדע מהרבה סיבות. לדוגמה, לא מעט בעיות פיזיקליות, כימיות, ביולוגיות או הנדסיות ניתנות לביטוי כמשוואה ריבועית. הערכים שפותרים את המשוואה הם אלה שהצבתם בפולינום מסדר שני תניב את התוצאה אפס.

מקרה מעניין נוסף בו יש שימוש נרחב בפולינומים הוא בתורת הבקרה העוסקת באפיון מערכות דינמיות ותכנון השליטה עליהן באמצעות כלים מתמטיים. תיאור פיזיקלי של המערכות מוביל בדרך כלל למשוואה דיפרנציאלית, שהיא משוואה שמכילה נגזרות ושבה הנעלמת היא פונקציה ולא ערך של משתנה. הפונקציה הפותרת את המשוואה מתארת את התנהגות אחת התכונות של המערכת בזמן ו\או במרחב. ניתן להמיר משוואה דיפרנציאלית למשוואה אלגברית (כלומר ללא נגזרות) על ידי שימוש בטכניקות מתמטיות שנקראות התמרת פורייה או התמרת לפלאס (בעגה: מעבר למרחב התדר). המשוואה האלגברית תהיה מורכבת מפולינומים. אחד הדברים שמעניין אותנו בבעיות מסוג זה הוא התמסורת של המערכת, כלומר היחס בין אות הכניסה לאות היציאה או התגובה של המערכת ל-'גירויים' חיצוניים. תחת ההתמרות הביטוי לתמסורת יהיה נתון על ידי חלוקה בין שני פולינומים. מתוך הידע המתמטי הרב על פונקציות מהסוג הזה ובשילוב עם ידע מאלגברה ליניארית נגזר כל הבסיס של התורה.

ישנן כמובן דוגמאות נוספות לשימוש בפולינומים אבל לעת עתה אסתפק באלה, אפסיק עם הניים-דרופינג ואתקדם לעצם העניין.

***

מהם הפתרונות של המשוואה הבאה:

זוהי משוואה מסדר שלישי, ולכן יש לה שלושה פתרונות שאותם לא תוכלו למצוא בעזרת הנוסחא שלמדתם בתיכון עבור משוואה ריבועית. לבעיות מהסוג הזה קיים פתרון אנליטי סגור אבל הוא מתיש למדי, אז בואו נניח שמישהו גילה לנו ש- x=-1 הוא אחד הפתרונות. נחמד מצידו. איך ממשיכים מפה?

מתוך הידיעה שהצבת x=-1 בפולינום תאפס אותו ברור שאחד הגורמים שמרכיבים אותו הוא הפולינום (x+1), ולכן נוכל לשכתב אותו כך:

כאשר a,b ו-c הם מקדמים כלשהם. נפתח את הסוגריים ונמצא את המקדמים:

אבל יש דרך יותר אלגנטית להגיע לאותה תוצאה על ידי סוג של חילוק. הנה ראו:

ועכשיו גם הסבר: בכל שלב אנחנו מחלקים את החזקה הגבוהה של הפולינום המחולק בחזקה הגבוהה של הפולינום המחלק ואז כופלים את התוצאה במחלק ומחסירים את זה מהמחולק לקבלת מחולק חדש. ממשיכים בתהליך עד למיצוי או עד לקבלת שארית שבה החזקה הגבוהה של המחולק באותו שלב קטנה מזו של המחלק. הנה פירוט של השלבים הראשונים:

אם יש לכם ילדים בגיל הנכון ועשיתם איתם שיעורים לאחרונה זה אמור להיות לכם מוכר. זה דומה עד מאוד לחילוק ארוך, אבל האם השיטה זהה לחילוק ארוך? ואם כן, מדוע לדעתכם זה עובד בפולינומים?

כדי למצוא את שני הפתרונות הנותרים יש למצוא את המספרים שמאפסים את הפולינום שקיבלתי מהחילוק, כלומר להשוות אותו לאפס ולפתור משוואה ריבועית. אני אניח שאת הנוסחה לפתרון המשוואה הזאת אתם יודעים ולכן אגש לעניין בדרך מעט יותר מעניינת. נתחיל מעובדה הבאה:

התוצאה דומה מאוד לפולינום שלנו. נשתמש בה כדי לקבל ביטוי נוח יותר:

ועכשיו אפשר להוציא שורש ולמצוא את הפתרון:

אם הדרך שבה בחרתי מצלצלת לכם מוכרת, זה בגלל שבכל חלק שלה צצים ביטויים שמזכירים את הנוסחא לחישוב שורשים. דבר זה אינו מפתיע מכיוון שבדרך הזאת ניתן לפתח את הנוסחא הכללית שכולכם למדתם ביגון רב. כל מה שעליכם לעשות הוא לשנות את המספרים בפולינום שפתרתי לאותיות ולחזור על אותם שלבים. השלב הראשון, אגב, נקרא 'השלמה לריבוע' והוא מאוד שימושי גם במקרים אחרים.

למי שמעוניין בהסבר מפורט יותר על השיטה ועל מקורותיה הבבליים, כולל הסבר גיאומטרי עם ציורים, אני ממליץ לקרוא על כך בבלוג 'לא מדויק'.

אה, ולפני שאשכח, זה מה שקיבלתי:

והפתרונות של המשוואה הם 1-,2- ו- 5-.

***

לסיום, שעשוע אחר. נניח שבידינו הביטוי הבא:

וברצוננו לפרק אותו לשני שברים בצורה הבאה:

כיצד נמצא את A, ו-B הנכונים? ניתן כמובן לחבר את שני השברים ואת תוצאת החיבור להשוות לשבר המקורי, אבל זה ארוך ומייגע עד מאוד. ישנה דרך קלה יותר. למציאת A הסתירו עם האצבע את הגורם (x-3) והציבו בביטוי שנותר את המספר שמאפס אותו, כלומר 3. התוצאה שמתקבלת אחרי החלוקה היא A. באופן דומה, לקבלת B הסתירו את הגורם (x+2) והציבו בביטוי שנותר את המספר שמאפס אותו, כלומר 2-.

למה אתם חושבים שהשיטה הזאת עובדת?

***

זהו, אני סיימתי. אם יש לכם שעשועים דומים אתם מוזמנים לשתף, עד כמה שניתן עקב אפשריות הכתיבה המוגבלות בתגובות.