יותר היסטוריה ממתמטיקה – המוזיקה של המספרים הראשוניים, יומן קריאה

נתחיל הפעם בגאמא, ונסיים בזטא.

***

פונקציית גאמא מכילה בתוכה אינטגרל איום.

האינטגרל מנוסח כך שאחד הפרמטרים בו (Z בנוסחה למטה) ניתן לשינוי. פרמטר זה הוא המשתנה של הפונקציה, כלומר מה שמציבים לתוכה. תוצאת האינטגרל תחת הפרמטר שהצבנו היא ערכה של הפונקציה בערך זה.

אחת התכונות המוזרות של פונקציית גאמא היא שאם מציבים במשתנה שלה מספר טבעי (1,2,3 וכדומה), תוצאת האינטגרל היא מכפלת כל המספרים הטבעיים עד מספר אחד פחות מזה שהצבנו. כלומר הערך של פונקציית גאמא הוא (n-1)!, כאשר '!' נקרא במתמטיקה 'עצרת' ומסמן כפל של כל המספרים הטבעיים עד אותו מספר.

ברשימה קודמת הראיתי שניתן לבטא נגזרת של כל פונקציה על ידי גזירת הפיתוח שלה בטור חזקות (טור טיילור). גזירת טור חזקות מספר פעמים ברצף היא פעולה מתמטית פשוטה וניתן לקבל ביטוי כללי עבור הגזירה ה-n של הטור, ולכן עבור הנגזרת ה-n של הפונקציה. הביטוי הכללי הזה תלוי בחישוב n!. נוכל, בערמומיות, להחליף את n! בפונקציית גאמא. עבור כל מספר טבעי נקבל את אותה תוצאה. אז למה טרחנו? כי פונציית גאמא מוגדרת לא רק עבור המספרים הטבעיים, אלא עבור כל מספר. כעת קיבלנו יכולת לחשב את הנגזרת ה-0.5, או הנגזרת ה-2.849.

לנגזרת יש משמעות גיאומטרית של שיפוע המשיק בנקודת הגזירה. מה המשמעות של נגזרת מסדר לא שלם? אין לי מושג, אבל הפיזיקאים מצאו לזה שימוש, למשל בתיאור של דיפוזיה במערכות מורכבות.

***

פונקציית זטא היא סכום אינסופי, לכאורה, די פשוט להבנה. היא נתונה על ידי:

עבור משתנה s שהוא כל מספר גדול מ-1 הפונקציה היא סכום מתכנס של שברים. עבור s=-1 הפונקציה היא סכום המספרים הטבעיים ולכן הטור אינו מתכנס. לפונקציה, אם כך, אין ערך מוגדר עבור אף מספר שלילי.

ליאונרד אוילר, המתמטיקאי המפורסם, הראה שניתן לייצג את פונציית זטא על ידי סכום שמכיל את כל המספרים הראשוניים (ראו ביטוי למטה) ובכך קישר בין שני דברים שלכאורה לא היו קשורים אחד לשני, המספרים הראשוניים ופונקציית זטא. מכיוון שהמספרים הראשוניים הם אבני הבסיס של כל המספרים, פתאום פונציית זטא, פונקציה זוטרה למדי, קיבלה משמעות אדירה. וזה לא נגמר שם.

המתמטיקאי ברנארד רימן כתב מאמר מכונן בן 10 עמודים בו העלה השערה לגבי הערכים שעבורם פונקציית זטא מקבלת את הערך אפס (שערכם הממשי של כולם הוא 0.5), והראה את הקשר של עובדה זאת לערכם ומיקומם של המספרים הראשוניים. למה זה מעניין? עד היום אין דרך פשוטה או נוסחה סגורה לחישוב ערכם של כל המספרים הראשוניים. מיקומם על ציר המספרים נראה אקראי. אבל כבר פרידריך גאוס חשד שיש סדר כלשהו בבלאגן ומצא קשר פשוט (יחסית) לכמותם ופיזורם שהוא קירוב שהולך ונהיה טוב יותר ככל שהולכים למספרים גדולים יותר.

לסיכום, נוצר קשר מוזר בין הבנת פונקציית זטא והאפסים שלה, ובין הבנת מיקומם וערכם של המספרים הראשוניים. האם השערת רימן נכונה? האם היא תוביל אותנו ליצירת נוסחה או אלגוריתם פשוט לחישוב מספרים ראשוניים? יש לזכור שכל ההצפנה שבה אנחנו משתמשים ברשת האינטרנט מבוססת על תכונות של מספרים ראשוניים (חפשו RSA).

***

מרכוס דו סוטוי הוא פרופסור למתמטיקה באוקספורד, ועוסק הרבה גם בהנגשה של מתמטיקה בצורה פופולרית לציבור הרחב. בשנת 2003 הוא פרסם את הספר 'המוזיקה של המספרים הראשוניים' שתורגם לעברית ב-2006. בספר בונה דו סוטוי את הסיפור באופן כרונולוגי, ומתמקד במה שהוביל להשערת רימן ובהתקדמות לאורך השנים בניסיון להוכיח אותה. השערת רימן, אם כך, היא נקודת הציר שסביבה נעים הסיפורים המופיעים בספר. הספר גם עוסק, בצורה מעניינת, במגמות בעולם המתמטיקה שהשתנו עם השנים והשפיעו על הגישות השונות לחקר הבעיה.

תמונת העותק שלי של הספר.

המידע בספר מונגש לקורא כאשר הוא שזור בתוך סיפורים ודמויות. טכניקה זאת, שניתן למצוא גם אצל סיימון סינג, הופך את הספר לקריא מאוד. עם זאת, יש להודות שרוב השמות באים והולכים. אם זאת הפעם הראשונה שנתקלתי בשם, וקראתי עליו מספר פסקאות, רוב הסיכויים שעד סוף השבוע לא אזכור במי מדובר, קל וחומר שבועות או חודשים אח"כ. את הרעיונות הגדולים אני דווקא אזכור. ואולי זה רק אני.

דבר נוסף שהופך את הספר לקריא מאוד הוא שהספר, שנושאו הוא מתמטיקה, אינו מכיל מתמטיקה כמעט בכלל, וחבל. ברור שהמטרה כאן היא לכוון לקהל רחב ככל שאפשר. ואולי זה רק אני. אבל יש משהו אחד שבאמת הפריע לי.

כפי שציינתי, נקודת המוקד של הספר היא הקשר בין פונקציית זטא למספרים הראשוניים, דרך אוילר ועד להשערת רימן. החלקים האלה לא מתוארים לדעתי בצורה שניתן להבין, ואין ניסיון ממשי להסביר את המתמטיקה כמו שצריך. הסופר, כאמור, מכוון לקהל רחב מאוד מאוד ומסתמך כמעט לחלוטין על אנלוגיות ומטאפורות. למעשה, דה סוטוי שקוע כל כך במטאפורה של המוזיקה שהוא גרם לי להתנתק כמעט לחלוטין מהמתמטיקה שעליה הוא מספר. בשלב מסוים מטאפורות המוזיקה מופיעות בכל משפט שני, ולטעמי, נהיות מאולצות וחופרות להחריד.

עקב הכרות מוקדמת שלי עם תיאוריית פורייה ולאפלאס ועם תיאוריות של ייצוג מערכות דיפרנציאליות באמצעות מטריצות ופולינומים, אני מבין, פחות או יותר, את החשיבות של קטבים ואפסים של פונקציה ואת הקשר שלהם לתדירויות תנודה. זה נותן לי רמז, שלא בהכרח קשור באופן ישיר למקרה שמתואר בספר, למנגנון שמתוכו מפיק דו סוטוי את אנלוגיית המוזיקה שלו. למיטב הבנתי, אין סיכוי שמישהו ללא הכשרה מתמטית רצינית (תואר ראשון הנדסה-פיזיקה-מתמטיקה לפחות וזיכרון טוב) יבין את ההקשר. להגנתו יאמר שכאשר ניסיתי לחקור יותר לעומק את העניין גיליתי שיש קפיצה במידע בין המאוד פופולרי למאוד טכני בחומרים שנתקלתי בהם ברשת. ככול הנראה מדובר בתחום מאוד טכני שקשה להסביר אותו בצורה פשוטה.

למדתי לא מעט דברים שלא ידעתי מהספר: על הקשר בין זטא לראשוניים, על השערת רימן, על הקשר המפתיע לפיזיקת כאוס ולפיזיקה קוונטית ודברים נוספים. כמו כן, קריאת הספר גרמה לי ללכת ולחקור יותר על הנושא ברשת (כלומר ברמה פופולרית, איני איש מקצוע בתחום, אבל ברמה יותר מעמיקה).

***

לסיכום: הספר כתוב בצורה קריאה מאוד ומעניינת, לקהל רחב ככל שאפשר על נושא המספרים הראשוניים וחייה וזמניה של השערת רימן. מי שרוצה לקרוא על ההיסטוריה של המתמטיקה, מבלי 'להתלכלך' ביותר מידי מתמטיקה, זה הספר בשבילו.

***

למי שסיים את הספר ורוצה להבין מעט יותר ברמה הטכנית, אך עדיין פופולרית, על השערת רימן והקשר שלה למספרים הראשוניים אני ממליץ להתחיל מהסרטונים הבאים:

Riemann Hypothesis – Numberphile

Visualizing the Riemann hypothesis and analytic continuation

מי שחושב שהוא מוכן לצלול, ראש קדימה, לתיאור הטכני מוזמן לקרוא בעברית כאן:

https://gadial.net/2010/02/08/riemann_hypothesis_overview/