גדי כבר היה שם, אבל מזווית מעט שונה – על פתרון משוואת הפרשים

נפתח הפעם בשאלה: מהו ערכו של האיבר ה-152 בסדרת פיבונצ'י?

***

סדרת פיבונצ'י היא סדרת מספרים שבה כל איבר הוא סכום של שני המספרים שקדמו לו. שני המספרים הראשונים בסדרה נקבעים כאפס ואחד ומשם אפשר להמשיך ולחבר את כל השאר.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…

כדי לבצע בסדרה 'טיפול שורש' נצמיד לכל איבר בה מספר סידורי המצביע על מקומו בטור. נסמן את המספר באות n, כפי שניתן לראות בטבלה הבאה:

אם האות a מסמלת איבר כלשהו בטור אז נוכל לרשום למשל :

וכך הלאה.

לפי רישום זה ניתן לכתוב את החוק שמגדיר את הסדרה בצורה הבאה:

כלומר, כל איבר בטור הוא סכום של שני האיברים שבאו לפניו.

וכעת חזרה שאלה: מהו ערכו של האיבר ה-152? כיצד תתמודדו עם שאלה זאת? האם יש צורך לחשב את כל המספרים בכל המקומות עד למקום הרצוי?

ניתן לכתוב תוכנת מחשב שתחשב את כל המספרים אבל ככל שאדרוש מספר גדול יותר כך יתארך ויסתבך החישוב. מי שעשה קורס בסיסי בתכנות ודאי יוסיף שאפשר ליעל את החישוב באופן משמעותי על ידי פתרון רקורסיבי. אבל ישנו פתרון קל הרבה יותר. (ראו תגובות) למעשה קיימת נוסחה סגורה עבור האיבר הכללי של סדרת פיבונצ'י.

קשה להאמין, אבל הנוסחה הזאת תמיד עובדת. אני ממליץ להציב כמה מספרים מהטבלה ולבדוק. כמו כן, קשה להאמין שעבור כל מספר שלם n הנוסחה מרובת השברים, החזקות והשורשים תניב תמיד מספר שלם.

מהיכן נולדה הנוסחה? האם היא קסם חד פעמי? האם מאחוריה עומד משהו כללי יותר?

***

[הערת שוליים: החלק הזה מכיל מעט מתמטיקה. למיטב הבנתי, כל מי שסיים תיכון יכול להבין מה כתוב אם הוא מעוניין בכך. ניתן כמובן גם לדלג לחלק הבא]

כדי לנסות ולהבין כיצד נולדה הנוסחה נחזור לקשר שמגדיר את כל הסדרה:

בואו ונניח שמישהו גילה לנו שהפתרון של המשוואה הוא מהצורה של שבר כלשהו בחזקת n:

נציב את הצורה הכללית הזאת במשוואה ונקבל:

כעת נחלק ב-rⁿ את המשוואה ונקבל משוואה ריבועית פשוטה:

למשוואה הריבועית שני פתרונות (שורשים) שאותם נסמן ב- r₁ ו-r₂ (הציצו בנוסחה למעלה ושימו לב שאחד השורשים הוא יחס הזהב). ניתן להוכיח שבמקרה זה הפתרון של המשוואה המקורית שאותה רצינו לפתור הוא שילוב של שני השורשים בצורה הבאה:

כאשר A ו-B הם קבועים שאותם נמצא על ידי הצבת תנאי ההתחלה של הטור כלומר נדרוש A ו-B כך שיתקיים:

ונקבל את הפתרון הכללי לסדרת פיבונצ'י שצוטט בחלק הקודם.

שימו לב שיכולנו לבחור תנאי התחלה שונים ולקבל פתרון שונה, אך לא באופן מהותי. השינוי היה רק בקבועים A ו-B.

ניתן לחשב ערכים של סדרת פיבונצ'י גם עבור n-ים שליליים, כלומר הסדרה גם הולכת אחורה. זה כמובן לא מפתיע מכיוון שאברי הטור האלה עדיין יקיימו את החוק הבסיסי של חיבור האיברים ואת הדרישה על תנאי ההתחלה.

***

הפתרון שקיבלנו אינו מקרי. המשוואה המקורית מכונה בעגה 'משוואת הפרשים' וצורת הפתרון שהוצגה היא צורה כללית שעובדת עבור כל משוואה מהסוג הזה (תחת מגבלות כאלה ואחרות).

קוראים מנוסים במתמטיקה אולי זיהו שדרך הפתרון זהה לפתרון משוואות דיפרנציאליות מסוימות. ניחוש פתרון, פולינום אופייני וכולי. למעשה משוואות הפרשים במרחב בדיד (דיסקרטי, ההפך מרציף) הן שקולות למשוואות דיפרנציאליות במרחב רציף. ההשהיה בזמן שקולה לנגזרת.

למה זה טוב?

נניח שאני מנהל דוכן לימונדה. בכל יום בבוקר אני צריך להחליט מראש כמה לימונים לקנות וכמה כוסות להכין. אחת הדרכים להתמודד עם האתגר היא לבסס את ההחלטה שלי בכל בוקר על סמך ממוצע המכירות של הימים האחרונים, מזג האוויר באותו היום וכמות המזומנים שבידי. נוכל לכתוב משוואת הפרשים (מסובכת הרבה יותר מזו של פיבונצ'י) שתתאר את תהליך קבלת ההחלטה.

המשוואה תתאר בעצם את פעולתו של בקר ממוחשב שצריך לקבל החלטות בכל סיבוב פעולה על סמך אותות כניסה (למשל מספר מזומנים) ועל סמך אותות יציאה קודמים (למשל מספרי מכירות קודמים). בעזרת ניסוח המשוואה המתארת אותו ניתן לחקור את פעולתו ולתכנן אותו באופן מיטבי בהתאם לדרישות על ביצועיו. ישנו תחום שלם בהנדסת חשמל שמסתמך על המתמטיקה הזאת והוא שייך לתורת הבקרה.

משוואות הפרשים (וגם משוואות דיפרנציאליות) יכולות לשמש אותנו גם ביצירת מודלים של ריבוי אוכלוסיות, למשל בגידול חיידקים וכדומה.

בגלל שמשוואות הפרשים כל כך שימושיות עבורנו ניתן לקרוא עליהן עוד בספרים העוסקים במתמטיקה שימושית, או בתורת הבקרה.

ניתן גם לקרא תיאור מתמטי מפורט יותר ופורמלי הרבה יותר בבלוג 'לא מדויק'. ד"ש לגדי.

הכי טבעי שיש – כמה מילים על חוקי טבע

מהו חוק טבע?

להלן רשימת היגדים נכונים. מי מהם אתם מקבלים כחוקי טבע?

1.  כל גוף על פני כדור הארץ נופל בתאוצה קבועה של 9.8 מטר לשניה בריבוע.
2.  כוכבים קיימים.
3.  נחושת מוליכה זרם חשמלי.
4.  בשנת 49 לפנה"ס חצה יוליוס קיסר את הרוביקון.
5.  נקודת הרתיחה של גופרית היא 444.6 מעלות צלזיוס.
6.  עבור כל מספר קיים מספר אחר כפול ממנו.
7.  קוטרם של כל כדורי הזהב בעולם קטן מ-2 קילומטר.
8.  כל חדי-הקרן אינם נשואים.
9.  כל גוף מתמיד במצבו (אינו משנה את מהירותו) כל עוד לא מופעל עליו כוח. (חוק ראשון של ניוטון).
10.  הקשר בין התארכות קפיץ לבין הכוח שמופעל עליו נתון על ידי יחס ישר. קבוע הפרופורציה נקרא 'קבוע הקפיץ' והוא מדד לקשיחותו של הקפיץ. (חוק הוּק).
11.  הקשר בין תאוצתו של גוף לבין הכוח שמופעל עליו נתון על ידי יחס ישר. קבוע הפרופורציה הוא מסתו של הגוף והוא מדד 'להתנגדותו' של הגוף לשינוי מהירות. (חוק שני של ניוטון).

פסל של הבתולה מרי עם חד-קרן. מוצג במוזיאון הלאומי בוורשה. ללא מטרה מלבד קצת צבע לטקסט. המקור לתמונה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש BurgererSF.

***

כדי לענות על השאלה מהו חוק טבע פניתי למומחים ומה שמצאתי הוא שאין הסכמה בנושא. התשובות של פיזיקאים נבדלות מאלה של פילוסופים, והתשובות של פילוסופים נבדלות מהתשובות של פילוסופים אחרים. ישנן אסכולות שונות וגישות שונות בכל אסכולה, כמו בכל שאלה פילוסופית סבוכה.

מסיבות אלה החלטתי ברשימה זאת לא לסקור את הדעות השונות אלא לכתוב את דעתי על התנאים שצריך לקיים חוק טבע ולהפנות בסוף הרשימה לספרות המקצועית. כלומר, מכאן והלאה זאת דעתי האישית וכל הקורא עושה זאת על אחריותו בלבד!

***

ההנחה הבסיסית במדע בכלל ובפיזיקה בפרט היא שהעולם כמנהגו נוהג, ומנהגו ניתן לתיאור על ידי חוקים. הסיבה לכך היא שאנחנו מניחים שהעולם מתקיים באופן סיבתי וסדור. בכל פעם שנבצע ניסוי פיזיקלי 'נקי' נקבל את אותה התוצאה. רוב החוקים הפיזיקליים הם 'מקומיים', כלומר נכונים למערכת מסוימת בתנאים מסוימים. ישנה קבוצת עילית של חוקים שמתארים משהו מאוד בסיסי על התנהגות הטבע והם נכונים באופן הכללי ביותר. אלו הם, לשיטתי, חוקי הטבע.

אם כך, חוק טבע צריך להיות מנוסח כאמירה כללית על גדלים פיזיקליים המתארים את העולם. הוא חייב להתקיים בכל מערכת פיזיקלית, בכל זמן ובכל מקום. כמו כן, חוק הטבע אינו יכול להיות מוסבר על ידי חוקים פיזיקליים אחרים, מכיוון שהוא התיאור הישיר ביותר של התנהגות הטבע. במילים אחרות, לא ניתן לעשות לו רדוקציה. הדרך היחידה להוכיח חוק טבע היא להראות שהוא מתקיים באמצעות ניסוי ולכן בדרך כלל אין טעם לנסות ולהסביר את ההיגיון שעומד מאחוריו. מכיוון שהעדות היחידה לנכונות חוק טבע היא אמפירית, לעולם לא נהיה בטוחים אם בדקנו את כל האפשריות. מכאן שכל חוק טבע יכול לרדת לדרגת חוק פיזיקלי בלבד בהינתן גילויים חדשים והרחבת הידע המדעי. הדבר האחרון שאני דורש מחוק טבע הוא שיהיה מחויב המציאות ולא אמת מקרית. (לדוגמה היגד 7 אמיתי, מתקיים בכל מקום ובכל זמן אך לשיטתי הוא אמת מקרית ולא מחייבת. אין מניעה עקרונית לאסוף את כל הזהב ביקום וליצור כדור ברדיוס גדול יותר).

חשוב לי להדגיש שהדרישה שלי שלא ניתן יהיה להסביר חוק טבע על ידי חוק בסיסי יותר פוסלת את היגדים 1,3,5 ו-10, אך יש לא מעט מומחים שעבורם אלו חוקי טבע לכל דבר ועניין.

האם חוק טבע הוא משהו שקורה תמיד? לא בהכרח. יש דברים שקורים תמיד ואינם חוקי טבע (לדוגמה היגד 5) ויש חוקי טבע לגבי דברים שאף פעם אינן קורים (היגד 9, אף גוף בעולמנו אינו באמת נמצא במצב התמדה, אך אנחנו עדיין משוכנעים בנכונותו של החוק הראשון של ניוטון).

***

אז מה נותר מהרשימה שלי?

החוק הראשון והשני של ניוטון (היגדים 9 ו-11 בהתאמה).

לגבי החוק הראשון אני עוד לא בטוח מכיוון שגלילאו הסיק אותו גם מתוך לוגיקה וניסוי מחשבתי. לגבי החוק השני, אכן לא ניתן להסיק אותו במסגרת המכניקה הקלאסית אלא מתוך ניסוי. וכהערת אגב, זה שיחס הפרופורציה בין כוח לתאוצה שווה עד כדי קבוע למסה, שהיא בכלל תכונה פיזיקלית שקשורה להגדרת כוח כבידה, זה דבר מופלא, לא ברור מאליו וראוי לרשימה משלו.

***

למי שמעוניין בדיון מעמיק ומקצועי יותר מוזמן לנסות את הקישורים הבאים (מאמרים קצרים בפילוסופיה):

Laws of Nature – John W. Carroll

Laws of Nature – Norman Swartz

וגם תמיד כדאי להעיף מבט גם בויקיפדיה.

החופש לבחור קורנפלקס ולא חביתה: על רצון חופשי ודטרמיניזם, יומן קריאה

לפיזיקאים יש בעיה.

התיאוריות שלהם באות להסביר כיצד העולם עובד והן כולן דטרמיניסטיות.

הכוונה בדטרמיניזם היא שאם כל התנאים של מערכת פיזיקלית ידועים בזמן מוקדם, יש רק מצב אחד שבו היא יכולה להיות בזמן מאוחר יותר. נוכל לחשב את המצב המאוחר בעזרת מודל פיזיקלי מתאים.

לדוגמה, אם אני זורק כדור ואני יודע את זווית ועוצמת הזריקה, תכונות הכדור, תכונות האוויר והרוח, כוח הכבידה ודברים נוספים שאולי שכחתי, אני יכול לחשב מראש, בדיוק מוחלט, היכן ינחת הכדור. המסקנה המתבקשת היא שכבר בנקודת הזמן המוקדמת העתיד היה כבר מקובע ותוצאה אחרת לא יכולה היתה להתקבל. ואם זה נכון, ואם אנחנו מאמינים שהעולם ניתן לתיאור על ידי חוקי הפיזיקה, אז ניתן לומר את אותו דבר על כל נקודת זמן מוקדמת יותר. כל מה שמתרחש בנקודת זמן כלשהי כבר נקבע מתוך התנאים בנקודת זמן קודמת. אם לפני כמה ימים, למשל, ציפור הטילה עלי את צרכיה בזמן שעמדתי ברחוב ודיברתי בטלפון, אירוע זה היה מחויב המציאות כבר מרגע המפץ הגדול ולא היתה שום אפשרות שזה לא יקרה. מנחם.

מדוע זאת בעיה?

נניח שהלכתי ברחוב ופתאום דפקתי למישהו נבוט בראש. האם ראוי שבית משפט יטיל עלי עונש? האם אני אחראי למעשי מבחינה מוסרית? הרי אמרנו שכבר בזמן המפץ הגדול, כ-14 מיליארד שנים לפני שנולדתי, כבר נקבע שאני אבצע את הפעולה הזאת, והאירועים לא יכלו להתרחש בשום צורה אחרת. אז מדוע אני אחראי למעשי?

ואם העולם דטרמיניסטי, כיצד יכול להיות לי רצון חופשי? אולי העולם אינו דטרמיניסטי? אולי אין כזה דבר רצון חופשי?

המדרון נראה חלקלק למדי.
[הערת שוליים: גם תיאוריות שמכילות בתוכן אלמנטים הסתברותיים כגון תרמודינמיקה, מכניקה סטטיסטית ותורת הקוונטים, למשל, הן דטרמיניסטיות. בטח ובטח ברמה המאקרוסקופית, אחרת שום מכשיר שהמצאנו בעידן המודרני לא היה עובד.]

***

לפני מספר חודשים פנה אלי פיזיקאי והביע תרעומת על כך שהוא לא מבין מה המשמעות של רצון חופשי בהקשר של עולם דטרמיניסטי. זמן מה לאחר מכן נתקלתי בספר Free will, the basics מאת פילוסופית בשם Meghan Griffith. אין כמו צירוף מקרים עסיסי כדי לנווט בחיים.

עטיפת הספר

הספר הוא מבוא לבעיית הרצון החופשי, ולדיון הפילוסופי הענף בנושא. הוא נפתח בהגדרה תמציתית, קצרה וקולעת למושגים החשובים ובהגדרת השאלה ותחומי הדיון שבהם הוא עוסק. כבר סימן חיובי.

הדיון העיקרי בספר נסוב סביב המחלוקת האם דטרמיניזם ורצון חופשי תואמים אחד לשני (compatible) או שמא הם מושגים סותרים (incompatible). בכל אחת מהקבוצות ניצבים פילוסופים שמקבלים או שלא מקבלים את קיום הרצון החופשי ו\או מקבלים או שלא מקבלים שהעולם דטרמיניסטי. הדעות השונות מוצגות בקצרה, ולאחר מכן מוסבר כיצד הדעה שנידונה פותרת את בעיית הרצון החופשי ומוצגות טענות נגד המטילות בה ספק. בסיום כל פרק מופנה הקורא בצורה נוחה למקורות מומלצים להעמקה בכל נקודה חשובה שעלתה לדיון.

הפרקים האחרונים בספר עוסקים בדעות שאינן מתאימות לסיווג שהוזכר, במחקרים מדעיים רלוונטיים לדיון הפילוסופי וסיכום הדיון כולו. ספוילר: מי שמחפש תשובה חד-משמעית לשאלת הרצון החופשי הגיע לספר הלא נכון. מטרתו של הספר, להבנתי, הוא להציג את הדיון, לתת כלים לקורא ולתת לו לחשוב לבד מה עמדתו. לאורך הספר ניכר שהושקע מאמץ רב כדי לא להביע דעות נחרצות על הגישות השונות, אלא להציגן בלבד.

הספר כתוב בשפה ברורה ופשוטה ומכיל דוגמאות רבות מהחיים שכל אחד יכול להבין. עם זאת, עקב הנושא הסבוך, הקריאה לפעמים מצריכה ריכוז רב. למיטב הבנתי, הספר אינו מיועד רק לסטודנטים לפילוסופיה, אלא נגיש לכל אחד. הכותבת מציגה בקיצור רב כל נושא והספר כולו קצר מאוד.

הביקורת העיקרית שלי על הספר היא על הפרק שעוסק בקשר שבין המדע לדיון הפילוסופי על רצון חופשי. הוא מאוד קצר ביחס לפרקים האחרים ואני הרגשתי תוך כדי קריאה שהוא דל. יכול להיות שכאדם שבא מהכיוון המדעי חיפשתי יותר מידי בספר פילוסופיה, ובמיוחד כזה שמנסה לקצר, ולכן אני מוטה בעניין הזה. ובכל זאת, דעתי היא שבשאלת הדטרמיניזם והרצון החופשי המדע צריך לשחק תפקיד הרבה יותר משמעותי בדיון.

לסיכום, לדעתי הספר הזה יכול לשמש כשער כניסה מוצלח למי שאינו בקיא בפילוסופיה אבל מוצא את בעיית הרצון החופשי מעניינת ומחפש לחדד את מוחו.

***

אז מה היה עונה לפיזיקאי המתוסכל פילוסוף מהאסכולה שגורסת שדטרמיניזם ורצון חופשי אינם סותרים אחד את השני?

את זה תצטרכו לקרוא בספר, כי יש הרבה אסכולות, אבל אני אתאר בקיצור נמרץ דוגמה לאחת מהן.

נניח ש-'רצון חופשי' הוא היכולת להגיד שבחרתי לאכול בבוקר חביתה, אבל אם הייתי בוחר לאכול קורנפלקס, אז לא היתה לי בעיה לעשות את זה. בהנחה שהעולם דטרמיניסטי, כבר בזמן המפץ הגדול נקבע שאני ארצה חביתה ואז אכין לעצמי חביתה ואוכל אותה. אבל זה לא שולל את העובדה שאם היה נקבע מראש שאני ארצה לאכול קורנפלקס, אז הייתי בוחר לאכול קורנפלקס ואוכל אותו ללא כל בעיה. שום דבר לא מונע ממני לבחור ולאכול קורנפלקס. מכאן שלפי האסכולה הזאת דטרמיניזם אינו שולל את הרצון החופשי.

זאת טיפה בים, האמינו לי…