Archive

Archive for יולי, 2014

עצות מועילות לירידה במשקל! על מיקרו-גרביטציה

הרבה מאיתנו היו רוצים לפחות פעם אחת בחייהם להתגבר על כוח הכובד ולרחף כמו האסטרונאוטים בחלל. כבר עברתי מזמן את גיל 21 ולא הגעתי לירח. האם בכל זאת יש לי סיכוי?

למזלנו ישנה קבוצה של אנשים חשובים שגם הם מאוד מעוניינים להתגבר על כוח הכובד ולרחף כמו האסטרונאוטים בחלל ואלה הם האסטרונאוטים והחוקרים בסוכנויות החלל. כדי להגיע לרמה מבצעית גבוהה על האסטרונאוטים להתאמן בתנאים המדמים שהייה בחלל, ובפרט ריחוף בתנאי כבידה נמוכה. כמו כן, כדאי לבדוק בתנאים אלה את המכשירים והחומרים לפני ששולחים אותם לחלל.

אז איך עובדים מתקנים שמדמים כבידה נמוכה?

כדי להבין את עקרון הפעולה של מתקני מיקרו-גרביטציה, ראשית יש צורך להבין מהי כבידה, מהו משקל ולמה אסטרונאוטים מרחפים בחלל. התשובה לשאלה האחרונה עלולה להפתיע אתכם.

Foale_ZeroG
תמונה 1: אסטרונאוטים מרחפים בתחנת החלל. המקור לתמונה: נאס"א, דרך ויקיפדיה.

***

לפי המכניקה הניוטונית, כל שני גופים מפעילים כוח משיכה אחד על השני. עוצמתו של הכוח תלויה בערכי המסה של הגופים (מכפלה של שניהם), במרחק ביניהם (יחס ריבועי הפוך), ובקבוע פרופורציה כלשהו. כלומר הכוח שמושך אותי אל כדור-הארץ שווה בגודלו לכוח שמושך את כדור-הארץ אלי. ההבדל בינינו הוא בתאוצה.

גוף שעליו פועל כוח, מאיץ בקצב ששווה לערכו של הכוח חלקי המסה. כאשר אני נופל אל הקרקע, מהירות נפילתי גדלה בערך ב-10 מטרים-לשניה, כל שניה (ראו איור 2). תאוצה זאת מכונה 'תאוצת הכובד' ומסומנת באות g. בזמן נפילתי, כדור-הארץ אמנם חש באותו כוח אך נע בתאוצה זניחה מכיוון שהמסה שלו כל כך גדולה.

המפטי דמפטי נופל חופשית מהקיר2

איור 2: המפטי-דמפטי נופל מהקיר בתאוצה קבועה, היא תאוצת-הכובד (גרביטציה).

כאשר אני עומד על 'משקל', כלומר המכשיר שמודד משקל, כוח המשיכה עדיין עובד עליי אבל אני לא מצליח להאיץ כי המשקל קשיח ולא נותן לי לזוז. הכוח שמפעיל עלי המשקל ומונע את תנועתי הוא בעצם מידת המשקל שנמדדת, ששווה למסה שלי כפול תאוצת הכובד g. מכיוון שהתאוצה קבועה, מדידת המשקל שקולה למדידת המסה, וזה מה שבאמת מעניין אותנו. המסה פרופורציונית לכמות החומר, ואנחנו מעוניינים להכיל כמה שפחות חומר.

אז מה היה לנו? מדידת המשקל תלויה במסת הגוף, בתאוצת הכובד (כוח הגרביטציה) וביכולת של המכשיר המודד 'לתת קונטרה', כלומר להפעיל כוח נגדי ולעצור את התנועה של הגוף הנמדד. המסקנה הראשונה היא שעל הירח, למשל, המשקל נמוך יותר. מסתו של הירח קטנה יותר ולכן תאוצת הכובד קטנה יותר, כך שחוגת המשקל תראה קריאה נמוכה יותר לאותה כמות של מסה.

מדוע אסטרונאוטים מרחפים בחלל? נזכר שכאשר אנחנו רואים אסטרונאוטים מרחפים זה בתחנת החלל. השגיאה הנפוצה היא שהריחוף נובע מהעדר כוח משיכה. חישבו על זה כך, אם לא היה פועל כוח משיכה, מדוע ממשיכה תחנת החלל לנוע מסביב לכדור-הארץ ולא מתרחקת ממנו? התחנה נעה בממוצע במהירות עצומה של 27,600 קמ"ש. למעשה מה שקורה הוא שתחנת החלל והאסטרונאוטים בתוכה נופלים ללא הפסקה אל כדור-הארץ, אבל בגלל המהירות שבה נעה התחנה הם כל הזמן מחמיצים אותו. בכל רגע התחנה נופלת ומאבדת גובה עקב כוח המשיכה, אך בו זמנית נעה במהירות בכיוון משיק לפני הכדור וכך מתרחקת ממנו. וכך התחנה והאסטרונאוטים נופלים ונופלים בתנועה מעגלית.

Clayton_Anderson_zero_g
תמונה 3: אסטרונאוט מביט בבועת מים מרחפת על מעבורת החלל 'דיסקברי'. המקור לתמונה: נאס"א, דרך ויקיפדיה.

מכיוון שגם התחנה גם האסטרונאוטים וגם מכשיר המשקל נופלים באותה תאוצה, אין המשקל יכול להפעיל 'קונטרה' (כוח נגדי) ולעצור את תנועת הגוף שעליו, כך שהמשקל שהוא מודד הוא אפס. המצב שבו כל הסביבה נמצאת בנפילה חופשית נקראת מיקרו-גרביטציה או העדר-משקל. חשוב לשים לב שבמצב של מיקרו-גרביטציה עדיין פועלים כוחות כבידה על הגופים הנופלים. ואגב, כדי לבדוק אם התיאוריה הזאת נכונה ניתן להיכנס למעלית, לעמוד על משקל ולבקש ממישהו שיחתוך את הכבל שמחזיק אותה. מובטח לכם משקל נמוך במיוחד עד הסוף המר.

זה פחות או יותר עקרון הפעולה של אחד מהמתקנים של מיקרו-גרביטציה. פיר ארוך בואקום שבו יש תא שנופל בנפילה חופשית ונעצר בסוף הנפילה באופן מבוקר. לנאס"א יש מספר מתקנים מהסוג הזה, ובארוך שבהם התא נופל כ-5 שניות למרחק של כ-130 מטרים (ראו תמונה 4). הבעיה היא שאדם לא יכול לשרוד בתנאי ההאטה הקיצוניים בסוף הנפילה. ניסויים אלה משמשים לבחינה של ההתנהגות של מערכות, חומרים ושאר דוממים בתנאים כאלה.

Zero_Gravity_Facility
תמונה 4: מתקן מיקרו-גרביטציה באחד ממרכזי המחקר של נאס"א (Glenn). אורך הנפילה במתקן זה הוא כ-130 מטר וזמן הנפילה הוא כ-5 שניות. המקור לתמונה: נאס"א, דרך ויקיפדיה.

שיטה ידידותית יותר למשתמש (אם הקאה לא מטרידה אתכם) עושה שימוש במטוס שמבצע מסלול טיסה מיוחד. בתחילת התמרון המטוס מתרומם בזווית 45 מעלות. בשלב מסוים המטוס מתיישר ומפסיק להפעיל דחף. במצב זה המטוס נמצא בנפילה חופשית ומי שנמצא עליו יחווה מיקרו-גרביטציה. כאשר המטוס יגיע לנפילה בזווית של 30 מעלות הוא צריך להתרומם שוב כדי לחזור על התמרון (ראו איור 5). בכ-25 מכל 65 שניות יחוש האסטרונאוט המתאמן על המטוס במיקרו-גרביטציה, והתמרון מתבצע מספר רב של פעמים. שם החיבה של המתקן הוא 'Vomit comet' מכיוון שכשני שליש 'מהנוסעים' יחושו בחילה.

מיקרוגרביטציה במטוס
איור 5: למעלה – מסלול הטיסה של מטוס מיקרו-גרביטציה. כל תמרון (עליה וירידה) לוקח 65 שניות שמתוכן בכ-25 שניות חווים הטסים מיקרו-גרביטציה. למטה – אחד סטיבן הוקינג חווה מיקרו-גרביטציה בטיסה מהסוג הזה. המקור לתמונה: נאס"א, דרך ויקיפדיה.

***

לסיכום, עצות לירידה במשקל:

1) להישקל על הירח, 2) להישקל במעלית נופלת, 3) להישקל תוך קפיצה מצוק, 4) להישקל תוך כדי תמרוני תעופה אקסטרימיים, 5) לאבד מסה, 6) לא להישקל.

—————————————————————————-

ולסיום: חידה שדורשת מעט חשבון לחובבי הז'אנר

חישבו על בעיה במימד אחד בה אני נמצא בין שני גופים נייחים, שנכנה אותם 'כדור-ארץ' ו-'ירח', ואני יכול לנוע רק על קו ישר הנמתח בין שני מרכזי הגופים (ראו איור). במה תלויה הנקודה בה לא ארגיש כוח משיכה כלל (דורש חשבון)? שימו לב שהתלות של הכוח במרחק היא ריבועית ולכן נקבל משוואה ריבועית ושני פתרונות. האם קיימת יותר מנקודה אחת? אם כן, למה, ואם לא, מה מייצגת הנקודה השניה ומה השתבש בפתרון?

אפס כוח כובד
איור 6: המפטי-דמפטי נמצא בין כדה"א לירח ונמשך לשניהם עקב כוח הכבידה. מהי הנקודה בה לא ירגיש כוח כלל?

איך מחשבונים עושים חשבון? על אלגוריתם CORDIC

מכירים את זה שיושבים בעבודה ופתאום מישהו שואל "אז איך בעצם מחשבונים יודעים את כל התשובות לפונקציות המסובכות?", ואז מעלים כל מיני הצעות ואז מישהו מציע "לפי טור טיילור", ואז הרוב אומרים "אה, אולי, נשמע הגיוני", ואז שוכחים מזה מחוסר עניין וממשיכים בחיים, ואז רק טמבל אחד לא שוכח והולך לבדוק את זה ואז הוא מגלה משהו מעניין שהוא לא ידע קודם?

לא מכירים?

אז יצאתי* לבדוק איך מחשבונים עושים חשבון ולא תאמינו מה מצאתי.

*[יצאתי = חיפשתי מידע ברשת]

Casio-fx115ES
תמונה 1: מחשבון מדעי. המקור לתמונה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Loadmaster David R. Tribble.

***

'טור טיילור' הוא תמיד הניחוש הראשון עבור מחשבונים, והוא לא רע, אך אינו נכון. בקיצור נמרץ, מדובר בדרך להציג פונקציה כטור אינסופי של חזקות של המשתנה x (ראו קופסא 2). כל איבר בטור מוכפל במקדם שערכו תלוי בערכה של הנגזרת בנקודה מסוימת, סביבה מפתחים את הטור. כדי לחשב את ערכה של פונקציה נוכל בדרך כלל להסתפק בחישוב מספר איברים ראשונים בטור שיספקו תוצאה בדיוק מספיק.

טור טיילור
קופסא 2: טור טיילור.

החיסרון העיקרי בשימוש בטור טיילור במחשבון כיס הוא הצורך לבצע פעולות כפל וחילוק, שהן פעולות שנחשבות מסובכות יותר ומצריכות חומרה מתוחכמת יותר. שם המשחק במחשבון כיס הוא מינימום חומרה, כלומר השבב שמפעיל אותו יכיל מספר מינימלי של מעגלים חשמליים פשוטים שמבצעים אך ורק פעולות פשוטות במהירות גבוהה.

אם כפל וחילוק נחשבות לפעולות 'מסובכות' על השבב, מהן הפעולות שנחשבות פשוטות ומהירות? מבלי להיכנס לסיבות לכך, אלה הן הפעולות הפשוטות: 1) חיבור וחיסור, 2) השוואת מספרים כדי לבדוק מי יותר גדול, 3) הכנסה והוצאה של מספרים לזיכרון, 4) הזזה של הנקודה הבינארית. לגבי האחרון, היזכרו כמה קל לחשב תוצאת כפל כאשר אחד הכופלים הוא חזקה של עשר. כל שעלינו לעשות הוא להזיז את הנקודה העשרונית מכיוון שאנחנו משתמשים בייצוג עשרוני. באופן דומה, בייצוג בינארי כפל בחזקות של 2 מצריך אך ורק הזזה של הנקודה הבינארית.

את הדרך לחשב את ערכן של הפונקציות הטריגונומטריות באמצעות ארבע הפעולות הפשוטות בלבד הגה ג'ק וולדר (Volder) בשנים 1956-1959 כשעבד בחברת Convair באחד מצוותי הפיתוח של מערכת המטוס B-58, שהיה מפציץ עם יכולת לעבור את מהירות הקול. מכיוון שהיה צורך לשדרג חלקים במערכת הניווט של המטוס ממעגלים אנלוגיים לדיגיטליים, עלתה דרישה לאלגוריתם מהיר לחישוב פונקציות טריגונומטריות בזמן אמת ובכמות מינימלית של חומרה. השם שנתן וולדר לשיטה שהמציא לפתרון הבעיה הוא COordinate Rotation DIgital Computer או בקיצור: CORDIC.

אז איך זה עובד?

Convair_B-58A_Hustler_in_flight
תמונה 3: מטוס מפציץ B-58 כפי שצולם בזמן תעופה ב-1967. המקור לתמונה: ויקיפדיה.

***

הרעיון שעומד מאחורי האלגוריתם הוא להתחיל מזווית שעבורה ערכי הפונקציה ידועים, למשל אפס, ומשם להגיע אל הזווית הרצויה באמצעות סדרה של סיבובים. דמיינו חוגה שמצויה בזווית אפס ביחס למישור ושאותה נסובב מספר פעמים, לפעמים 'עם' ולפעמים 'נגד' כיוון השעון. גודל הסיבוב בכל שלב נתון על ידי סדרה של זוויות הולכות וקטנות שאותן בחרנו מראש וצרבנו את ערכן אל תוך השבבים. אם נבחר את סדרת הזוויות בחוכמה נזכה גם בהתכנסות הסדרה לערך המבוקש וגם בכך שכל פעולות הכפל הנדרשות לחישוב יהיו אך ורק עם חזקות של 2, כפי שנראה בהמשך.

סדרת הזוויות לסיבובים נבחרה כך שהטנגנס שלהן (סינוס חלקי קוסינוס) הוא אחד חלקי חזקות הולכות וגדלות של 2 (ראו קופסא 4 מימין). הסיבוב הראשון הוא בזווית הגדולה (טנגנס הזווית שווה 1). אם זווית החוגה החדשה קטנה מזאת הרצויה, בצעד הבא נסובב שוב באותו כיוון בשיעור ששווה לזווית השניה בסדרה. לחלופין, אם הזווית החדשה גדולה יותר מהרצויה נסובב חזרה לפי הזווית השניה. נמשיך לסובב את החוגה בזוויות הולכות וקטנות בסדרה עם או נגד כיוון השעון, לפי מיקום החוגה ביחס לזווית הרצויה (ראו קופסא 4 משמאל למעלה). ניתן להוכיח שסדרת הסיבובים הזאת מתכנסת תמיד לזווית הרצויה. ניתן גם להראות ש-40 סיבובים יתכנסו לזווית המבוקשת בדיוק של לפחות עשרה מקומות אחרי הנקודה העשרונית, שזה מה שמאפשרת תצוגת המסך במחשבון מדעי.

זוויות וסיבובים
קופסא 4: אלגוריתם ה-CORDIC. נבחר זוויות הולכות וקטנות שהטנגנס שלהם הוא חזקה של 2. מיקומי החוגה לאחר כל סיבוב מסומנים באות V. סיבוב ראשון נגד כיוון השעון בזווית הראשונה בסדרה, סיבוב שני נגד כיוון השעון בזווית השניה, סיבוב שלישי עם כיוון השעון בזווית השלישית. הקווים הכחולים מסמנים את ערכי הסינוס והקוסינוס של הזווית לאחר הסיבוב השלישי, לפי ההיטלים על הצירים x ו-y. נוסחאות הסיבוב הדרושות לחישוב ערכי הסינוס והקוסינוס כוללות בתוכן, למרבה הצער, סינוס וקוסינוס.

לאחר כל סיבוב של החוגה יש לחשב את הסינוס והקוסינוס החדשים. דמיינו שאורכו של המחוג שאותו אנחנו מסובבים הוא 1, ולכן קצהו של המחוג נע על מעגל היחידה שרדיוסו 1. מיקום הנקודה בקצה המחוג, כלומר ההיטלים של המחוג על ציר x ו-y, אלו הם ערכי הסינוס והקוסינוס של הזווית החדשה. הבעיה היא שכדי לחשב את מיקום קצה המחוג לאחר כל סיבוב אנחנו צריכים להכפיל בסינוס וקוסינוס (ראו קופסא 4 משמאל למטה). נראה שנכנסנו לבעיה מעגלית!

כאן מגיע 'השוס' שבבחירה של הזוויות. נוכל להוציא קוסינוס כגורם משותף בנוסחת הסיבוב ואז מלבד הגורם המשותף נשארנו רק עם מכפלות בטנגנס. היזכרו שבחרנו את הזוויות כך שהטנגנס שלהן נתון על ידי חזקות של 2. לכן כל סיבוב אמנם מצריך מאיתנו מספר פעולות כפל, אך כולן הן עם חזקות של 2 ולכן מצריכות רק הזזה של הנקודה הבינארית (ראו קופסא  5 למעלה).

מתמטיקה של החשבון
קופסא 5: המתמטיקה של החשבון. מוציאים גורם משותף ועקב הבחירה המיוחדת של הזוויות, נשארים בחשבון רק חזקות של 2. נוכל גם לחשב מראש את מכפלת הגורמים המשותפים.

כעת נותר רק להתמודד עם מכפלה של 40 קוסינוסים שהוצאנו כגורמים משותפים. נוכל להמיר את הקוסינוס באמצעות זהויות טריגונומטריות לביטוי שמכיל טנגנס, ושאותו נמיר לחזקה של 2. מכיוון שהגורמים תמיד מכילים את אותן זוויות ואינם משתנים בין אם בחרנו לסובב עם או נגד כיוון השעון, אז ערכו של הכפל של כל הארבעים אינו משתנה והוא בקירוב 0.61 (ראו קופסא 5 למטה). נוכל לחשב אותו מראש ולצרוב את הערך לשבב.

זהו, עכשיו נותר רק לעשות את החשבון של 40 סיבובים ולהגיע לתוצאה מהירה.

***

ב-1971 פרסם ג'ון וואלתר (Walther) מחברת Hewlett-Packard הרחבה והכללה לשיטה שאפשרו להשתמש בה לחשב פונקציות היפרבוליות, אקספוננטים, לוגריתמים, כפל, חילוק ושורשים. זמן קצר אחר-כך הופיעו מחשבוני הכיס המדעיים הראשונים. והנה אנחנו היום.

——————————————————–

לקריאה נוספת:

CORDIC: how hand calculators calculate, by Alan Sultan