זאת רשימה דיגיטלית בעולם אנלוגי – על דגימה וכלל נייקוויסט

הקדמה

אנחנו חיים בעידן דיגיטלי, על כך אין ספק. חלק גדול מחיינו מנוהל על ידי או באמצעות מחשבים, או לכל הפחות שבבים אלקטרוניים. אמנם במטבח יש לנו עדיין טוסטר משולשים, אבל לא לעולם חוסן. טוסטר-משולשים-עם-חיבור-USB^® בקרוב אצלכם.

המחשב הוא אולי יצור דיגיטלי, אבל אנחנו עדיין אנלוגיים לחלוטין. נניח למשל שאנחנו רוצים להקליט את קולנו על המחשב. הקול שלנו מגיע בצורה רציפה דרך המיקרופון אל מעגלי המחשב, אבל כדי לשמור את המידע ביחידות נפרדות של מספרים ברכיבי הזיכרון שלו, המחשב חייב לדגום את האות, כלומר לשמור את ערכו החשמלי רק במספר נקודות סופי.

כמה נקודות כדאי לשמור? פעולת הדגימה מכילה בתוכה שתי דרישות סותרות. ככל שנדגום יותר נקודות, כך האות הדגום יהיה קרוב יותר לאות המקורי, אבל מצד שני נבזבז יותר משאבי זיכרון וכוח עיבוד. השאלה היא עד כמה נוכל להפחית את מספר נקודות הדגימה ועדיין להישאר עם היכולת לשחזר את האות הרציף מאותן הנקודות (ראו איור 1).

איור 1: כמה לדגום? א) האות המקורי, ב) המון נקודות דגימה, אפשר להסתדר עם פחות, ג) דגימה לא מספקת, לא ניתן לשחזר את האות המקורי.

הבעיה ופתרונה: פי 2

הביטו באיור 2 בו ניתן לראות שני אותות סינוסואידליים, כלומר גלים מחזוריים. מה שמבדיל בין האות האדום לכחול היא תדירות התנודה, כלומר כמה מחזורים הגל מבצע ליחידת זמן. האות הכחול מתנודד לאט יותר מהאות האדום. שימו לב לנקודות השחורות שמסמלות דגימה. שני האותות מתאימים בצורה מושלמת לנקודות. כלומר, אם המידע שהיה בידינו היה מורכב רק מנקודות אלה לא היינו יכולים לדעת האם האות שממנו הם נדגמו היה הכחול או האדום. בעיה זאת המונעת שחזור של האות נקראת התחזות או aliasing והיא תכתיב את הגבול אותו אנחנו מחפשים. למה 'התחזות'? תיכף נגיע לזה.

איור 2: שני אותות מחזוריים בתדירויות שונות, האדום בתדר גבוה והכחול בתדר נמוך. הנקודות השחורות מסמלות נקודות דגימה. המקור לאיור: ויקיפדיה.

כלל הדגימה (הידוע גם כ-'כלל נייקוויסט', וגם בשמות אחרים) קובע שקצב הדגימה צריך להיות גדול לפחות פי 2 מהתדר המקסימלי המרכיב את האות, וזאת כדי שנוכל לשחזר את האות הרציף מהדגום.

אם לא הבנתם את הכלל, אתם במקום הנכון. למה הכוונה בתדר מקסימלי, ולמה דווקא פי 2? תיכף נגיע לזה.

עכשיו ננסה גם להבין

כדי להסביר את הכלל באופן מעמיק יותר יש צורך להשתמש בטכניקה מתמטית הנקראת טור פורייה. אנסה להסביר את הרעיון הכללי בקיצור נמרץ. ניתן להוכיח שכל פונקציה (תחת מגבלות אלה ואחרות) ניתנת לייצוג על ידי חיבור בטור של פונקציות מחזוריות בסיסיות (סינוס\קוסינוס) בתדרים שונים, כאשר האיבר של כל תדר מופיע בעוצמה שונה. כלומר מספיק לדעת את העוצמות של כל תדר (המקדמים בטור) כדי לדעת לצייר את האות המלא. זה קצת מזכיר פירוק של מספרים לגורמים ראשוניים. כמו כן, זה בעצם מה שאתם רואים למשל בתצוגה של האקולייזר במערכות סטריאו. ישנם תדרים נמוכים, בינוניים וגבוהים, וגובה הטורים בתצוגה מסמל את העוצמה של המקדמים.

כעת בואו נניח שהאות שמעניין אותנו ניתן לייצוג על ידי מקדמים בתחום תדרים מוגבל, למשל זה המיוצג באיור 3. לייצוג העוצמות של המקדמים בתדרים השונים אני אקרא מעתה 'תחום התדר'. לאחר תהליך הדגימה הייצוג של האות בתחום התדר דומה לזה באיור 3, אך קיימים בו העתקים נוספים של האות הרציף בכל כפולה שלמה של תדירות הדגימה, כפי שאפשר לראות באיור 4. ההסבר לכך קשור לפעולת הדגימה והוא טכני-מתמטי, ואינו מופיע כאן.

איור 3: אות צר סרט התחום בין התדרים B ו-(-B). המקור לאיור: ויקיפדיה.

כיצד משחזרים את האות הרציף מהבדיד? אם נתמקד בתחום התדר, כל מה שצריך הוא להכפיל את האות באות אחר שצורתו מלבן שרוחבו מתאים לתדר המקסימלי שמכיל האות הרציף (מסומן באות 'B') ועוצמתו '1', כפי שניתן לראות באיור 4. מלבן זה נקרא 'מסנן שחזור אידיאלי'. 'אידיאלי' מכיוון שהוא אינו ניתן למימוש, אבל זה אינו חשוב להסבר כרגע.

איור 4: צורת האות הדגום התחום התדר (למעלה), מסנן שחזור אידיאלי (בסגול) והאות לאחר סינון. המקור לאיור: ויקיפדיה.

מה היה קורה אם תדירות הדגימה ('f' באיור) היתה קטנה מפעמיים התדר המקסימלי באות הרציף ('B' באיור)? ניתן לראות מאיור 4 שאם היה שוויון ביניהם אז התדר המינימלי של ההעתק השני מימין היה בדיוק נופל על התדר המקסימלי של ההעתק הראשון (B=f-B). מכאן שאם תדר הדגימה נמוך מידי, ההעתק השני בעצם חופף להעתק הראשון (ראו איור 5). כאשר נפעיל את מסנן השחזור נשאר עם רכיבים של אות שאינם שייכים לאות המקורי הרציף והאות המשוחזר יעוות. מה שקרה הוא שתדרים נמוכים 'מתחזים' בפעולת השחזור לתדרים גבוהים יותר. כפי שציינתי, תופעה זאת נקראת בעגה aliasing.

איור 5: התחזות או aliasing. מכיוון ש: B>f-B אז תדרים 'ירוקים' נמוכים מתחזים לתדרים 'כחולים' גבוהים. המקור לאיור: ויקיפדיה.

הדרך הפשוטה ביותר להימנע מבעית ההתחזות היא לדגום בקצב מספיק גבוה. אך אם ידוע לנו מראש קצב הדגימה ואין אנחנו יכולים לשנות אותו, או שהאות אינו חסום סרט, כלומר אינו חסום בתחום תדרים מסוים, נדרש להפעיל מסנן ראשוני שתפקידו למנוע התחזות תדרים. המסנן דואג שהחלקים של האות שהם בתדר גבוה מידי יקוצצו. עדיף לאבד חלק מהמידע מאשר לעוות את כולו. התקווה היא שהחלק החשוב באות מרוכז בתדרים הנמוכים יותר.

זהו, דגמנו בהצלחה.

כעת נוכל לחשב את קצב הדגימה הנדרש עבור טוסט משולש. יש תמורה!

אז מה עושים שם באוניברסיטה? פרק 16:"בוא נייצר ריר ביחד", על התנהגות חברתית ותקשורת בין חיידקים

נפגשתי עם דר' רועי וידבסקי כדי לשאול אותו מה עושים שם באוניברסיטה.

רועי הוא פוסט-דוקטורנט במחלקה למיקרוביולוגיה מולקולארית וביוטכנולוגיה באוניברסיטת תל-אביב. הוא עובד במעבדתו של דר' אביגדור אלדר ועיקר עניינו הוא תקשורת בין חיידקים. רועי ואשתו חולקים את ביתם עם חיות מחמד רבות, ובזמנם הפנוי נהנים לרקוד ריקודים סלוניים.

רועי, אז מה אתם עושים שם?

הנושאים העיקריים שבהם עוסקת המעבדה הם האבולוציה וההתפתחות של התקשורת בין חיידקים. בעבר היה נהוג לחשוב שחיידק הוא תא בודד שדואג לעצמו ואינו מקיים אינטראקציה עם חיידקים אחרים, אך היום ברור שחיידקים 'מדברים' אחד עם השני. השפה של חיידקים היא שפה פשוטה מאוד המתבססת על שליחה וקליטה של מולקולות קטנות. השפה הזאת מאפשרת להם להתנהג בצורה חברתית, כלומר חיידקים יודעים לזהות אחד את השני בתוך הקבוצה ולפעול למען הכלל.

האם ישנה דוגמה מוכרת להתנהגות חברתית של חיידקים?

כן, קח לדוגמה את הפלאק בשיניים שכולנו מכירים ולא אוהבים (ע"ע קריוס ובקטוס). הפלאק הוא אחת הדוגמאות למשהו שנקרא ביופילם (ראו איור 2). ישנם חיידקים מסוגים מסוימים שנדבקים אל משטחים, ואז בעקבות התקשורת ביניהם הם מזהים אחד את השני ומתאגדים ביחד למבנה רב תאי. במבנה זה חיידקים שונים באזורים שונים מקבלים על עצמם תפקידים שונים. חלקם מייצרים מזון, חלקם מהווים מעטפת שמגינה עליהם מפני חומרים אנטיביוטיים וישנם גם תפקידים נוספים. ניתן למצוא ביופילם גם על פילטרים, על מדחפים של אוניות, במכוני שפכים ועוד.

תמונה 1: ביופילם של החיידק Staphylococcus aureus. המקור לתמונה: ויקיפדיה, המקור למקור CDC.

חשוב לצחצח שיניים! כעת בוא נחזור אליכם למעבדה, ספר לי על העבודה.

יש בקבוצה שני כיווני מחקר ראשיים: אבולוציה והתפתחות.

אחד הנושאים שמעניינים אותנו למשל בהיבט האבולוציוני הוא יחסי הגומלין בין 'יצרנים' ל-'רמאים'. מדובר בתתי-אוכלוסיה בתוך אוכלוסיות של חיידקים. חיידקים 'יצרנים' הם כאלה המפרישים חומרים שנחוצים להשגת מזון מהסביבה. חיידקים 'רמאים' הם כאלה שנהנים מהתוצרים אך לא מייצרים את החומרים בעצמם. אנחנו מעוניינים להבין את יחסי הגומלין בין שני סוגי האוכלוסיות והיכן נמצאים היתרונות האבולוציוניים במערכת.

בנושא ההתפתחות אנחנו מנסים לאפיין מערכות תקשורת ולהבין איך הן פועלות במצבים שונים של התנהגות חברתית של חיידקים.

תוכל לתת דוגמה?

כן, בוא נדבר על 'swarming'. כאשר חיידקים, למשל מסוג Bacillus subtilis (ראו תמונה 2) שמשמש אותנו כמודל מחקר, נמצאים על מצע חצי-מוצק, נניח סוג של ג'ל, ומרגישים שבסביבתם כבר אין שפע של מזון הם מתאגדים יחדיו ומחליקים להם למקום טוב יותר. חיידק יחיד אינו יכול לשפר עמדות בצורה כזאת לבדו. בתהליך זה מספר רב של חיידקים מפרישים חומר סיכה העוזר להחלקה. כיום עדיין לא ברורה חלוקת התפקידים בתוך אוכלוסיית החיידקים בתהליך הזה. כמו כן, לא ברור אילו גנים מעורבים בתהליך, מה התפקיד שלהם ומתי הם פועלים.

תמונה 2: Bacillus subtilis צבוע תחת מיקרוסקופ. המקור לתמונה: ויקיפדיה.

כדי לעקוב אחרי רמות ביטוי של גנים מסוימים (כמה חלבונים נוצרים) בזמן פעילות חברתית שינינו אותם כך שבזמן פעולתם הם מייצרים גם חלבון פלואורסנטי שאותו ניתן לראות תחת מיקרוסקופ מתאים. את החיידקים אנחנו מגדלים על מצע של מזון תחת עינו הבוחנת של המיקרוסקופ. בצורה זאת אנחנו יכולים למפות את עוצמת הביטוי של הגנים בזמן ובמרחב תוך כדי תהליך ה-swarming, ולראות באילו חיידקים ובאיזה שלב של התהליך מתבטאים אותם גנים.

כיצד מתבצעת תקשורת בין חיידקים?

חיידקי ה- Bacillus בהם אנחנו משתמשים מייצרים חלבונים קצרים הקרויים פפטידים שאותם הם מפרישים החוצה. לחיידקים יש גם את היכולת לחוש את הימצאותם של אותם פפטידים באמצעות קולטנים שאליהם הם נקשרים וגורמים להפעלה של גנים. כלומר יש בחיידק רכיבי שידור וקליטה. אותם 'רמאים' למשל שהזכרנו קודם הם חיידקים שמסוגלים להפריש אבל לא לקלוט עקב קולטנים פגומים. הם בעצם 'חרשים' ולכן אינם מתנהגים כמו שאר האוכלוסיה.

ספר לי על אחד הפרויקטים שאתה עובד עליהם

אני מעוניין לייצר מערכת תקשורת סינטטית שתשמש אותנו ככלי עבודה ותהיה נוחה וקלה יותר לתפעול אך עדיין תאפשר מחקר של סוגיות הקשורות לתקשורת אמיתית בין חיידקים. הרעיון הוא לייצר שלושה וריאנטים של אותו חיידק Bacillus subtilis שהזכרתי קודם. אחד שרק משדר, אחד שרק קולט ואחד שיכול לבצע את שתי הפעולות.

כדי לייצר את שלושת הוריאנטים מבלי לפגוע בגנים הטבעיים של החיידק השתמשתי בטכניקות של הנדסה גנטית כדי להשתיל מערכת תקשורת (גנים לקולטנים וגנים לייצור הפפטידים) מקרוב משפחה שלו – Bacillus cereus. כלומר ייצרתי אוכלוסיה שיש בה רק משדר ואוכלוסיה שיש בה רק מקלט. מכיוון שגם המשדר וגם המקלט נלקחו מחיידק אחר אין ערבוב של האותות או 'דיבור' בין המערכת המקורית למערכת המושתלת.

ואם כבר השתלנו מערכת, למה שלא נכניס בה כמה שיפורים. המערכת המושתלת מייצרת חלבונים פלואורסנטיים בזמן קליטה, ויש בה גם כפתור ווליום לעוצמת השידור. בנינו אותה כך שאנחנו יכולים לשלוט על קצב ייצור הפפטידים בצורה חיצונית באמצעות הוספה של סוכרים מסוימים. החיידקים והמערכת שייצרנו אינם קיימים בטבע ולכן נקראים 'סינטטיים'.

ואחרי שייצרת את המערכת, האם היא מוכנה לפעולה?

לא, מה פתאום. צריך לאפיין ולכייל את האלמנטים המרחביים שלה כך שתתאים לניסויים אותם אנחנו מעוניינים לבצע, או לחלופין, יש להבין אילו שאלות ניתן לחקור בעזרתה.

למה אתה מתכוון?

נניח לדוגמה שיש לי חיידק שמפריש סיגנל. המולקולות המופרשות מתפשטות בתהליך של דיפוזיה. אם אני רוצה לבצע מחקר באמצעותו אני חייב לדעת מה אופי התפשטות האות בזמן ובמרחב, כלומר לדעת מהי עוצמת האות (ריכוז מולקולות) במרחקים שונים מהמשדר כתלות בזמן ולחפש תנאים מתאימים לעבודה (שלא יהיה מהיר מידי למשל).

איור 3: ניסוי המראה את מיפוי הדיפוזיה של הפפטידים בזמנים שונים הממוספרים מ-1 עד 4 בסדר עולה. ככל שהחיידק הקולט אדום יותר כך הגיעו אליו יותר פפטידים.

תחת המיקרוסקופ אנחנו מחפשים את האור הפלואורסנטי שנוצר כאשר אות השידור (פפטיד) נקלט על ידי חיידק מקלט. כך אנחנו יכולים למדוד מתי נוצרת הארה, מה עוצמתה ומה המרחק שלה מהחיידקים המשדרים. ככל שהקולטן רחוק מהמשדר כך נצפה שעוצמת ההארה תהיה נמוכה יותר מכיוון שפחות פפטיד הגיע אליו (ראו איור 3).

כאשר כלי המחקר יהיה מוכן נוכל להשתמש בו כדי לשאול את השאלות שמעניינות אותנו. נוכל למשל לעקוב אחרי פעולת גנים הקשורים להתנהגות חברתית ולראות איך רמות ביטוי שונות שלהם משפיעות על האוכלוסיה (התפתחות), או לבדוק את ההשפעה של ריכוזי רמאים באוכלוסיה (אבולוציה).

——————————————————————

אני אשמח להפגש ולשוחח עם כל תלמיד מחקר (אולי אתם?) שמוכן להשתתף ולספר לי קצת על מה הוא עושה (והכול במחיר של שיחה לא יותר מידי ארוכה). תוכלו ליצור איתי קשר דרך טופס יצירת קשר.

זה הזמן לספר לכולם מה אתם עושים, אולי הפעם הם גם יבינו 

הזמנה לקפה, חשיבה ביקורתית ומדע. הקפה עליכם

עוד רגע זה הולך להפוך להודעה על הרצאה בבית קפה, אבל זה ייקח כמה פסקאות, עמכם הסליחה.

כוס תה מהבילה. המקור לתמונה: ויקיפדיה, המהבילוּת שלי. פעם שלישית שאני משתמש בתמונה הזאת, מגיע לי גלידה. ואם כבר הזכרנו גלידה, פתאום שמתי לב שכל הגלידות הפשוטות בסופר הם משומן צמחי, כלומר גם גלידות הוניל למשל הם בעצם פרווה. זה תמיד היה ככה? אני רוצה לאכול גלידה נורמלית במחיר שווה לכל נפש, דֵמִיט!

***

"למה בכלל התחלת לכתוב את הבלוג הזה?"

לפני כמה שנים הייתי כותב פעם בכמה שבועות רשימות לאתר 'שפינוזה' שהיה סוג של פורטל+מגזין של הקהילה הספקנית החדשה בישראל (Skeptics). הרשימות שלי שם היו תמיד בעלות גוון מדעי, אך בשלב מסוים הפכו פחות קשורות באופן ישיר לנושאים של חשיבה ביקורתית. מסיבה זאת חלק ממה שכתבתי אז הלך למגירה עקב חוסר התאמה. העורכת של האתר נזפה בי אז ש: "לכתוב למגירה זה לגמרי ניינטיז", והמליצה לי לפתוח בלוג. הרשימות הראשונות בבלוג זה הן אותן רשימות מהמגירה ההיא.

כאשר התחלתי לכתוב את הבלוג התכוונתי לכתוב בנושאים של מדע וחשיבה ביקורתית, אך מי שקורא כאן יודע שלא עמדתי במטרה זאת. במשך הזמן אפילו שיניתי את כותרת המשנה ל: "בלוג על מדע ממוחי הקודח". ההרגשה שלי היתה שאני כותב טוב יותר על מדע, ושיש חוסר ברשת, בעיקר בעברית, בסוג התכנים המדעיים שאני רציתי לקרוא. בנושאים של חשיבה ביקורתית ישנם אנשים אחרים שכותבים ועושים זאת הרבה יותר טוב ממני.

דבר נוסף שאני לא מרבה לעשות הוא להרצות מחוץ לאקדמיה. למה? ככה.

אבל,

רגע

מתח

תופים

יא אללה איזה ניג'ס אתה!

באופן יוצא דופן אני הולך להעביר הרצאה בבית קפה, ואם לא די בזה אז הנושא הוא חשיבה ביקורתית ומדע.

ההרצאה תתקיים בבית הקפה 'טל ושני', ברחוב ארלוזורוב 23 (פינת דיזינגוף) בתל-אביב, בתאריך 11.04 יום חמישי הקרוב בשעה 20:00. ההרצאה אינה בתשלום, אבל זה בית קפה, אתם יודעים.

ההרצאה לא תכלול שקפים ומצגות. היא כן תכלול סיפורים, דיאלוג עם הקהל ואותי. אשמח לראותכם!

הנה הכותרת והתקציר:

"אז למה אני עדיין משלם חשבון חשמל?", על חשיבה ביקורתית, מדע ומה שביניהם

מציעים לנו משחת שיניים יעילה פי שלושה. מבטיחים לנו תרופות לכל מכאובינו. מזהירים אותנו מהווירוס הזה שרץ באימייל. מספרים לנו על חלקיקים שנעים יותר מהר מאור. מחפשים אחרי חיים מחוץ לכדור-הארץ. מסבירים לנו שעוד כמה שנים כולם יחיו לנצח, אם רק נוכל להאריך ימים עד אז.

כיצד מתמודדים עם שטף המידע שמציף אותנו ללא הפסקה? בהרצאה נדון בנושא חשיבה ביקורתית ובקשר שלו למדע, ונראה כיצד יכולים שניהם להועיל לנו בחיי היום-יום.