Archive

Archive for אוקטובר, 2015

המטריצה מכה בשלישית – אוסילטור הרמוני ופתרון מש' דיפ' מסדר שני

הרשימה הבאה היא מיוחדת.

הרבה אקדחים ששתלתי ברשימות קודמות הולכים לירות כאן. היכונו.

המטרה: הרחבה משמעותית של מספר הבעיות הפיזיקליות שניתן לפתור באמצעות מחשב בעזרתה של ידידתנו הותיקה, המטריצה.

אזהרה: הרשימה מכילה מתמטיקה.


זהירות מתמטיקה איור 1: תמרור אזהרה!

***

סיכום הפרקים הקודמים.

שחקנית מספר אחד: מטריצה.

ברשימה קודמת הצגתי את המטריצה כמבנה סדור של מספרים שניתן להכריחו לקיים חוקי חשבון פשוטים. תכונה זאת גורמת למטריצה להיות כלי שאותו קל לתכנת לתוך המחשב. הדגמתי כיצד ניתן לפתור באמצעות מטריצה מערכת משוואות ליניאריות, ובכך מתאפשר לנו לתכנת בקלות את המחשב לפתור זאת עבורנו.

ברשימה אחרת הראיתי כיצד ניתן לפתור סוג מסוים של מעגלים חשמליים על ידי תרגום הזרמים במעגל למערכת משוואות ליניאריות. המשמעות היא שנוכל לתכנת את המחשב לפתור בקלות מעגלים חשמליים.

שחקן מספר שתיים: אוסילטור הרמוני.

ברשימה קודמת הראיתי שאם נחבר גוף לקפיץ ונסיט אותו מעט מנקודת שיווי המשקל, הוא ינוע סביב נקודת שיווי המשקל בתנועה מחזורית. בקצה המסלול הכוח שמפעיל הקפיץ על הגוף הוא מקסימלי ומהירות הגוף אפס ובנקודת שיווי המשקל המהירות מקסימלית והכוח על הגוף אפס.

גוף וקפיץ איור 2: גוף קשור בקפיץ אלסטי לקיר ונע ללא חיכוך הלוך ושוב סביב נקודת שיווי המשקל.

***

אציג כאן שוב את בעיית האוסילטור, אך הפעם בצורה מתמטית מדויקת יותר.

נתחיל מהחוק שני של ניוטון שאומר שהיחס בין הכוח שמופעל על גוף לבין שינוי מהירותו (תאוצה) שווה למסת הגוף. במילים אחרות:

Picture1

a היא התאוצה, F הכוח ו-m המסה.

התאוצה היא שינוי המהירות בזמן והמהירות היא שינוי המקום בזמן. אם כך, נוכל לכתוב את התאוצה כנגזרת שניה של מקום הגוף לפי הזמן (להסבר מפורט יותר על נגזרות ברשימה קודמת). במילים אחרות:

Picture2

x הוא המקום, שתי הנקודות מעל ה-x מסמלות נגזרת שניה לפי הזמן.

חוק הוק מצביע על כך שהיחס בין הכוח שמופעל על קפיץ בתחום האלסטי לבין התארכותו ממצב רפוי שווה לקבוע המצביע על קשיחותו של הקפיץ. במילים אחרות:

Picture3

x מיקום הגוף הקשור לקפיץ, F כוח ו-k קבוע הקפיץ. המינוס מסמן שזהו כוח מחזיר, תמיד לכיוון נקודת שיווי המשקל.

כעת נאחד את שתי המשוואות לכדי אחת ונקבל:

Picture4

זאת היא משוואה דיפרנציאלית מסדר שני (ע"ש נגזרת שניה). הנעלם במשוואה הוא לא מספר אלא פונקציה שהיא המקום של הגוף בכל רגע, x כפונקציה של t. אנחנו מחפשים פונקציה שאם נגזור אותה פעמיים לפי הזמן ונוסיף לה את עצמה כפול קבוע נקבל אפס ללא תלות בזמן. הפונקציה היחידה שתקיים קשר שכזה היא פונקצית האקספוננט מכיוון שהנגזרת שלה גם היא אקספוננט זהה למקור.

אם כך, ננחש שהפתרון הוא מהצורה:

Picture5

X מקום, t זמן, r קבוע כלשהו.

מכאן ש:

Picture6

נציב את הפתרון במשוואה ונקבל את הפולינום האופייני של המשוואה. נקבל שני פתרונות עבור r שמיצגים שני פתרונות אפשריים למשוואה.

Picture7

ה-i בסוף הפתרון הוא סימן לשורש של 1-. ניתן להוכיח שהפתרון של המשוואה הוא צירוף ליניארי של שני הפתרונות האפשריים. כלומר:

Picture8

A ו-B הם קבועים שתלויים בתנאי ההתחלה של הבעיה.

את הפתרון ניתן להציג בצורה המוכרת יותר (המרה לפי זהות אוילר):

Picture9

A ו-φ הם קבועים התלויים בתנאי ההתחלה של הבעיה. ω היא תדירות התנודה של האוסילטור.

Simple_harmonic_motion_animation אנימציה 3: פתרון האוסילטור ההרמוני הפשוט. הגוף מתרחק ומתקרב לנקודת שיווי המשקל לפי פונקצית סינוס מחזורית. המקור לאנימציה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Evil_saltine.

***

מה יקרה לתנועת האוסילטור אם נרצה להתחשב בחיכוך של הגוף עם המדיום בו הוא נמצא, למשל אוויר או מים? ככל שגוף נע מהר יותר באוויר או במים כך המדיום מתנגד לתנועה חזק יותר. נוכל לבטא קשר זה על ידי הוספת כוח נוסף לכוח הקפיץ שמתכונתי למהירות. נזכר גם שמהירות היא שינוי במקום ולכן נגזרת ראשונה של המקום.

כוח החיכוך נתון על ידי:

Picture91

F כוח החיכוך, v כוח, C קבוע פרופורציה.

אם כך המשוואה היא:

Picture92

(החלפתי זמנית סימנים כדי לחסוך בפיקסלים, כמו כן עידכנתי טעויות מינוריות בסימון 31.10.15)

כיצד יראה הפתרון?

נוכל לחשוב על שני מקרים. בראשון כוח החיכוך חלש (נקרא בעגה 'ריסון חלש') כך שנצפה לראות תנודות דועכות של האוסילטור בתדירות מעט שונה מהתנודות המקוריות, עד לעצירתו (ראו איור, קו ירוק). במקרה השני כוח החיכוך כל כך חזק עד שלא נראה אפילו תנודה אחת עד לעצירת הגוף (נקרא בעגה 'ריסון חזק', באיור קו תכלת).

Oscilator solution with damping איור 4: גרף המציג את הפתרון של משוואת האוסילטור ההרמוני, כלומר המיקום כפונקציה של הזמן. הקו הכחול הוא הפתרון ללא חיכוך. הקו הירוק הוא ריסון חלש והקו התכלת הוא ריסון חזק. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש Nuno Nogueira.

נשתמש שוב בשיטת השורשים למציאת הפתרון במקרה של ריסון חלש. אציג כאן את הפתרון המתמטי ללא הסברים, אך שימו לב שאין אנו זקוקים לו בהמשך. ניתן לדלג ישירות לחלק הבא.

Picture93

למשל עבור ריסון חלש:

Picture94

ω תדירות התנודה של המערכת, A ו-φ קבועים תלויים בתנאי ההתחלה. הסינוס בביטוי דואג לתנודה והאקספוננט דואג לדעיכה בזמן של הפתרון עד לעצירה בנקודת שיווי המשקל.

***

ועכשיו לסיבה שלשמה נתכנסנו.

נזכר שהמטרה היא ללמוד כיצד לפתור בעיות מתמטיות, למשל כמו אוסילטור, באמצעות המחשב. במקום פתרון אנליטי מלא על הנייר נרצה לתת למחשב לחשב נומרית במקומנו היכן נמצא הגוף בכל רגע. ישנן לא מעט תוכנות שמסוגלות לפתור משוואות דיפרנציאליות בצורה כזאת, אך רובן לא מתאימות לפתרון משוואות מסדר שני.

נשתמש בטריק כדי 'לעבוד' על המחשב ולמכור לו משוואה מסדר שני כמשוואה מסדר ראשון. נעזר בידידתנו המטריצה.

ראשית נגדיר משתני עזר:

Picture14

מכאן ששתי המשוואות הבאות מתקיימות עבור הנגזרות בזמן של משתני העזר:

Picture15

המשוואה הראשונה פשוט מציינת את יחס הנגזרת בין שני משתני העזר כפי שהגדרנו אותם. המשוואה השניה היא תרגום של משוואת האוסילטור המרוסן במונחי משתני העזר.

כעת נוכל לרשום את שתי המשוואות יחדיו בצורת מטריצה:

Picture16

ובעצם מה שקיבלנו הוא משוואה דיפרנציאלית פשוטה מסדר ראשון עבור המשתנה Z. תוכנה (כמו למשל matlab או scilab) שיודעת להתמודד עם מטריצות ועם משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון תפתור את המשוואה ללא אגל בודד של זיעה על מצחה. בינתיים אנחנו ננוח רגל על רגל.

הפתרון של משתנה Z1 הוא מיקום הגוף בכל רגע והפתרון של Z2 הוא המהירות בכל רגע.

***

ראינו כיצד ניתן לפתור באמצעות המחשב את בעיית האוסילטור, כולל המקרה המרוסן, כאשר אנחנו עוברים להצגת הבעיה באמצעות מטריצות.

משוואת האוסלטור מתארת שורה ארוכה של בעיות מעניינות כמו מטוטלת, קפיץ ונדנדה, אך גם מעגלים חשמליים הנקראים מעגלי תהודה ומכילים קבלים נגדים וסלילים (הצגתי את הנושא ברשימה קודמת). כלומר, נוכל להשתמש בפורמולציה הזאת לפתרון של כל משוואה דיפרנציאלית מהסוג הזה, ולא רק אוסילטור.

די שימושי, לא? אבל זה רק קצה הקרחון. הפינאלה ברשימה הבאה.

סיפורי עמים – המפץ הגדול, יומן קריאה

אתחיל בוידוי.

מעולם לא התעניינתי באסטרונומיה. מעולם לא בניתי דגם של מערכת השמש. אני לא יודע בעל פה את שמות כוכבי הלכת בסדר עולה לפי קרבתם לשמש. כדי להסביר את עונות השנה אני צריך לחשוב כל פעם מחדש. אותו כנ"ל לגבי קוסמולוגיה (מפץ גדול וכאלה).

לא קראתי. לא חקרתי. כאשר לקחתי קורס בנושא אסטרופיזיקה באוניברסיטה השתעממתי עד כדי כך שהעברתי את השיעורים במצבים שונים של עילפון (טלפונים חכמים לא היו אז בנמצא).

ומדוע אני מספר את כל זה?

כי באיחור אופנתי קראתי את הספר 'המפץ הגדול' מאת סיימון סינג ומצאתי בו עניין רב. הספר קולח, אולי קולח מידי. לקליחות הזאת יש מחיר, והשורה התחתונה לדעתי היא שבספר הזה היה שווה לשלם אותו.

אני אסביר.

עטיפת הספר המפץ הגדול
תמונה 1: העותק שלי. הגרסה האמריקאית של הספר 'המפץ הגדול' מאת סיימון סינג שמתהדרת בעטיפה מתכתית, מחזירת אור ומכוערת במיוחד. ברקע: מרצפות מהסבנטיז ורגל של וינטלטור.

***

ישנם שני דברים שמייחדים לדעתי את האסטרופיזיקה משאר נושאי המחקר בפיזיקה. האחד הוא שבדרך כלל לא ניתן לבצע ניסויים במעבדה והשני הוא שהנושא מצריך ידע במגוון רחב של תחומים כגון אופטיקה, פיזיקת חלקיקים, יחסות, פיזיקה קוונטית ועוד. הספר מיטיב להעביר את הייחוד הזה לקורא.

'המפץ הגדול' מאת סיימון סינג עוסק בעלייתה וביסוסה של התיאוריה שמוזכרת בשמו. התיאוריה עוסקת בטיבו, בחייו ובזמניו של היקום. סינג קיבל החלטה לא לחסוך בנייר ולתת רקע רחב לכל אחד מהנושאים שבהם יצטרך לגעת כדי להסביר את התיאוריה, גם במובן ההיסטורי וגם במובן הפיזיקלי, ועל כך יש לשבח אותו.

הפרק הראשון עוסק בעיקר באסטרונומיה אבל גם בקוסמולוגיה מתקופת יוון העתיקה, דרך קופרניקוס, קפלר וגלילאו ועד לתחילת המאה ה-20. הפרק השני עוסק בתורת היחסות של איינשטיין ואיך היא הולידה בניגוד לדעתו את הניצנים הראשונים לתיאורית המפץ. הפרק השלישי עוסק באסטרונומיה המודרנית: איך חוקרים, איך מודדים ואיך מסיקים החוקרים על תכונות של עצמים כל כך מרוחקים. הוא גם סוקר את הגילויים שהכניסו סדקים בתיאוריית היקום הסטטי. הפרק הרביעי עוסק ביישום של רעיונות מהפיזיקה הגרעינית כדי להבין את התהליכים הראשונים בהיווצרות החומר ביקום ובהעמדת שתי תיאוריות סותרות של טיב היקום. הפרק החמישי והאחרון עוסק בתצפיות ובגילויים ששכנעו את הקהילה המדעית בנכונות מודל המפץ הגדול.

אבל אלו רק הפרטים הטכניים. מדוע הספר קולח כל כך ביחס לאחרים?

משום שסינג, בדומה לכל ספריו, מספר סיפור. אגדת עמים חוצת גבולות ותקופות, מלאה בקרבות בין גיבורים ושבסופה הטובים מנצחים ותיאוריית המפץ הגדול נכנסת לספר הלימוד. סינג בחר בעורמה לסיפורו נראטיב מנצח. כמו כן, רוב הדמויות מקבלות תיבול על ידי אנקדוטה עסיסית שמפיחה בהן רוח חיים, גם אם מזויפת במקצת. הספר מזכיר לנו כמעט בכל עמוד שמדע נעשה על ידי אנשים.

הטכניקה השניה שבה משתמש סינג הוא רידוד הפיזיקה עד לרמה שאותה כולם יכולים להבין, ללא שימוש במתמטיקה ובריחה מכל רעיון שעלול להיות מסובך מידי. הקורא ההדיוט עלול לטעות שפיזיקה היא בעצם עסק די פשוט ואולי אפילו בהישג ידו. למרות זאת הספר נוגע בהמון נושאים פיזיקליים מעניינים כיאות לתחום כל כך מולטי-דיסיפלנרי ומוסיף דעת לקורא.

זאת אינה ביקורת שלילית. באופן אישי מאוד נהניתי לקרוא את הספר למרות שעסק בנושא שאני פחות מתחבר אליו. בזכותו אני כעת ידען משהייתי. יש רק לזכור שהספר אינו מיועד להיסטוריונים של המדע או לפיזיקאים. לאלה עדיף לפנות לספרים אחרים. גם אם הספר מכיל אי דיוקים קטנים פה ושם או נראטיבים מוגזמים, אף אחד מהקוראים המיועדים לא יבחין בכך ולא יזכור אותם בסיום הקריאה ולכן אין זה משנה. המטרה הושגה.

כדי ללמד מדע בצורה מוצלחת צריך לפעמים לבלף, שזאת עובדה פדגוגית ידועה [דרוש מקור]. אנחנו קובעים מה לספר, מה לא לספר, באיזה סדר ואיזו צורה. מטרתם של ספרי מדע פופולרי הוא ללמד אותנו משהו שלא ידענו על מדע ולכן אין מנוס מלעגל לא מעט פינות. מי שלא מעגל, יפיק תחת ידיו גוש מילים לא קריא. מהו הגבול? מטושטש.

אם כך לסיכום, אני ממליץ על הספר 'המפץ הגדול' לכל אדם שמתעניין במדע. הוא יצא ממנו נשכר, ולא רק בנושא קוסמולוגיה. אני גם ממליץ למורים לפיזיקה להמליץ עליו לתלמידים שלהם. הספר גם ישלים חוסרים שלא ניתן להגיע אליהם בכיתה וגם ירחיב את אופקיהם בנושאים פיזיקליים רבים שמוסברים בו.