על מעלותיו של כדור ועל זוויות בכלל

אחד הדברים שאני נוהג לעשות בשבת בצהריים הוא לעיין בבלוג 'עונג שבת' של גיאחה. לפני כשבועיים התפרסם האייטם הבא (הציטוט בעריכה קלה שלי): "ברור שסיגור רוס (שם של להקה א.ש.) העלו וידאו של הופעה שלמה ב-360 מעלות. [בעצם זה כדורי ולא מעגלי. כמה מעלות יש בכדור?]"

אני עניתי בקצרה בתגובות, מבלי לחשוב יותר מידי, ובאופן מעט מבודח: "מעגל מתואר על ידי רדיוס וזווית בטווח של 0-360 מעלות. כדי לקבל כדור (מעבר בין 2 ל-3 מימדים) יש להוסיף זווית נוספת בטווח של 0-180 מעלות. מוגש כשירות לציבור."

אבל יש דברים שלא צוחקים עליהם. יומיים אחר כך ננזפתי על ידי מגיב אחר, שגם קישר לויקיפדיה מבלי לפרט. למעשה שנינו לא בדיוק ענינו על השאלה, אבל התשובה שלו במובן מסוים נכונה יותר. זאת הזדמנות טובה לדון בנושא זוויות, איך מגדירים את גודלן, ומה קורה שרוצים להתרומם מהמישור למרחב התלת-ממדי. אנסה להסביר גם מדוע למרות שהמגיב הנוזף הפנה למקום הנכון אני עדיין מעדיף את התשובה שלי.

***

איור 1: מדידת הזווית θ על ידי חלוקה של S ב-R. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש Gustavb.

אז מהי זווית? נוח להגדיר זווית על ידי שני ישרים שנחתכים. מידת הסיבוב סביב נקודת החיתוך שדרושה כדי שהישרים יתלכדו היא הזווית. ערכה של זווית נע בין אפס לבין סיבוב שלם, וכל ערך גדול יותר חוזר על אותן זוויות. כדי להגדיר את גודלה של הזווית נשרטט קשת שהיא חלק ממעגל שמרכזו בנקודת החיתוך (ראו S באיור 1). נגדיר את גודלה של הזווית כחלוקה בין אורך הקשת S לרדיוס R. נוסיף גם כפל בקבוע K שיאפשר לנו לקבוע את גודל היחידות לשם נוחות. הגדרה זאת שומרת על ערכה של הזווית ללא תלות בגודל המעגל שעליו הוגדרה.

הקשת המקסימלית מוגדרת על ידי ההיקף של המעגל שאורכו 2πR (באמצע זה פאי, הפונט פה לא מוצלח). במידה ונבחר את הקבוע K להיות 360/2π, נקבל את הסולם שכולנו מכירים שבו סיבוב מלא הוא 360 מעלות. הבחירה הזאת היא שרירותית ולשימושים שונים נוח לבחור יחידות שונות (לדוגמה). כאשר עוסקים במתמטיקה ובפיזיקה הבחירה הנוחה ביותר תהיה K=1. כלומר ערכה של זווית המגדירה סיבוב שלם הוא 2π רדיאנים. תחת הבחירה הזאת ביטויים מתמטיים המכילים את הפונקציות הטריגונומטריות ניתנים להצגה בצורה המצומצמת ביותר ולכן נוחים יותר לשימוש (מוסבר בהרחבה כאן). שימו לב שגם המעלות וגם הרדיאנים מוגדרים על ידי חלוקה של אורך באורך ולכן הם מספר טהור, כלומר חסרי יחידות (כגון אורך, זמן או מסה). סיבוב שלם הוא 360 מעלות או 2π רדיאנים ולכן רדיאן אחד שקול ל-57.3 מעלות (ראו איור 2).

איור 2: רדיאן אחד מוגדר על ידי קשת שאורכה כאורך הרדיוס. כאן בדוגמה הערך של שניהם 1. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש Gustavb.

להסבר מפורט יותר על זוויות ורדיאנים מומלץ לקרוא בבלוג 'לא מדויק'.

יש לשים לב שזווית מוגדרת אך ורק במישור. גם זוויות בצורות תלת-ממדיות כגון פירמידה מוגדרות על מישור. כלומר המונחים מעלות או רדיאנים לא קיימים במרחב התלת-ממדי.

כעת בואו נדמיין שציירנו עיגול על פניו של כדור. אם נמתח קווים דמיוניים בין שפת העיגול למרכז הכדור נקבל צורה דמוית קונוס שקודקודו הוא סוג של זווית במרחב התלת-ממדי (ראו איור 3). לחלופין, ניתן לקחת את הזווית והקשת מהגדרת הרדיאן ולסובב אותם סיבוב מלא סביב מרכז הקשת אל מחוץ לדף. נגדיר את הזווית מהסוג החדש כזווית מרחבית. את גודל הזווית המרחבית נגדיר בצורה דומה לרדיאן על ידי חלוקה של שטח העיגול על פני הכדור בערך הרדיוס בריבוע. שמה של היחידה החדשה הוא סטרדיאן וגם היא חסרת יחידות. סטרדיאן אחד הוא ערכה של זווית מרחבית שתוחמת על פני הכדור מעגל ששטחו רדיוס בריבוע. בעזרת הגדרה זאת נוח למשל לענות על שאלות כגון כמה קרינה מגיעה לגלאי בגודל ידוע ובמרחק ידוע. הקרינה (למשל אור) מתפשטת מהמקור בכל הכיוונים, כלומר חזיתה כדורית, ואותנו מעניינת הזווית המרחבית המוגדרת על ידי אותו גלאי.

איור 3: סטרדיאן אחד הוא ערכה של זווית מרחבית התוחמת מעגל בשטח שערכו ריבוע הרדיוס. המקור לאיור: ויקיפדיה.

שטח הפנים של כדור הוא 4πR², ולכן אם נשתמש בהגדרת הסטרדיאן ונחלק בריבוע הרדיוס נקבל שבכדור יש סך הכל 4π סטרדיאנים. אך נזכר שסטרדיאנים הם מידה לזווית מרחבית ולא לזווית. האים ניתן בכל זאת להבין משהו על כדור בעזרת זוויות רגילות?

***

כדי לכוון אותי למקום כלשהו במספר מינימלי של הוראות תוכלו לבחור לומר לי כמה צעדים סה"כ יש ללכת בכיוון אופקי וכמה בכיוון אנכי כדי להגיע ליעד. לחלופין, תוכלו לציין את הזווית ליעד (אזימוט) ואת מספר הצעדים שיש ללכת באותו כיוון. שתי צורות אלה הן דרכים חלופיות להגדיר מישור, הראשונה נקראת קרטזית והשניה פולרית (ראו איור 4). ברור שעל מנת להתוות מסלול מעגלי קל יותר להשתמש במערכת הפולרית. כל מה שאצטרך הוא לדעת את הרדיוס ובעזרת מחוגה אשלים את המעגל על כל 360 מעלותיו או 2π רדיאניו.

איור 4: מערכת צירים פולרית, עם שתי דוגמאות (ירוק ותכלת) לשתי נקודות שונות במישור המוגדרות על ידי זווית ומרחק מראשית הצירים. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש Pbroks13.

ומה לגבי כדור?

כדי לשרטט כדור אני זקוק לנתון נוסף לשניים הקודמים כדי לעבור משני ממדים לשלושה. ישנן מספר אפשריות, אך מכיוון שבכדור עסקינן, אבחר במערכת כדורית. נוסיף על הרדיוס והאזימוט עוד זווית שנמדדת ביחס לישר הניצב למישור שכבר הוגדר (ראו איור 5). מהזווית הזאת מספיק לנו טווח של 0 עד 180 מעלות או π רדיאנים. העזרו באיור ונסו לדמיין נקודה שסורקת את כל האפשריות של שתי הזוויות שהוגדרו ברדיוס קבוע. מה שתקבלו הוא פני שטח של כדור.

איור 5: מערכת צירים כדורית כאשר המרחק r והזווית φ זהים למערכת הפולרית, ואליהם מתווספת הזווית האנכית θ. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Andeggs.

***

אז לסיכום, התשובה לשאלה כמה סטרדיאן יש בכדור היא 4π והשאלה כמה מעלות יש בו אינה מוגדרת היטב. אבל לדעתי עבור מי שלא מכיר את המושג זווית מרחבית התיאור של מערכת צירים כדורית תורם יותר, גם אם לא בדיוק עונה לשאלה.

נוסטלגיה מוקדמת או הצתה מאוחרת? על תאי גזע מושרים

נתחיל הפעם בשאלה (רטורית) לקהל: בהצבעה, מי מכם זוכר (ללא ויקיפדיה) על מה בדיוק זכו הפרופסורים אברהם הרשקו ואהרון צ'חנובר בפרס הנובל לכימיה? האם אתם עדיין יכולים להסביר מהו קווזי-גביש ומה חשיבות הגילוי של פרופ' דן שכטמן עכשיו אחרי שהקווזי-גבישומניה שכחה? אפילו אם באופן אישי הרמתם את היד, דעתי היא שרובנו נוטים לשכוח די מהר.

בחרתי הפעם להיזכר בנושא מרתק שהיה לא מעט בכותרות בשנה שעברה לפני שנתיים עקב זכייה בפרס הנובל ברפואה – תאי גזע מושרים.

תמונה 1: צילום של אחד הצדדים של מדליית פרס הנובל לרפואה. המקור לתמונה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Jonathunder.

***

נתחיל בביולוגיה התפתחותית. בשלבים הראשונים של התפתחות העובר מספר התאים גדל על ידי חלוקה ובמקביל התאים עוברים שינוי. תאים זהים עוברים תהליך התמיינות לסוגי תאים שונים בהתאם לרקמות אליהם הם מיועדים כגון עור, עצב, שריר וכדומה. גם בתוך הרקמות התאים מתמיינים בינם לבין עצמם לתאים מסוגים שונים ובעלי מבנה ותפקודים שונים. ה-DNA בכל התאים זהה אבל זהות הגנים הפעילים ורמת הביטוי שלהם שונה.

ניתן לדמיין את תהליך ההתמיינות לעץ עם ענפים מתפצלים. הגזע משותף לכולם, אלה תאים לא ממוינים בעובר. כל צומת מסמלת תא שמקבל החלטה על התמיינות ועובר לענף משלו המתאים לסוג התא החדש. פעולה זאת מתבטאת בהפעלה או דיכוי של גנים מסוימים ולכן הרכב החלבונים שבתא משתנה בהתאם. דבר זה מוביל לשינוי בצורתו ובתפקודו של התא. תא עצב למשל שונה מאוד בצורתו ותפקודו מתא עור. קצוות הענפים או העלים בעץ הם התאים שהתמיינו לתפקידם וצורתם הסופית.

איור 2: התאים בתוך הבלסטוציסט (הביצה המופרית לאחר שעברה מספר חלוקות) בכחול מימין למעלה הם תאי הגזע העובריים. תאים אלה הם בעלי הפוטנציאל להתמיין לכל סוג תא בגוף. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש Mike Jones.

תא גזע מוגדר כתא שעדיין לא עבר תהליכי התמיינות סופיים. תאי גזע שיכולים להתמיין לכל תא בגוף נקראים פלורופוטנטיים (Pluripotent stem cells) וניתן למצוא אותם למשל בראשית חייו של העובר. תאי גזע סומטיים הם תאים ברקמות שונות בגופנו שעברו התמיינות אך לא באופן סופי ויכולים להחליף תאים מתים באותה רקמה.

עד לשנות ה-50 של המאה הקודמת היתה הדעה הרווחת שתהליך ההתמיינות של התאים הוא בלתי הפיך. מחקרים שהראו שניתן לקחת גרעין תא ממוין, להשתיל אותו בביצית ובתנאים מסוימים לקבל יצור שלם יצרו סדקים בדעה הזאת. במשך השנים התחזקה ההבנה של תפקוד התא ואיך קבלת ההחלטות בו קשורה לביטוי של גנים ולריכוזים של חלבונים שונים.

בשנת 2006 פרסם שינייה ימאנאקה מאוניברסיטת קיוטו ביפן מאמר ובו דיווח שהצליח 'לתכנת' מחדש בצורה פשוטה באופן יחסי תאים ממוינים לתאי גזע בעלי פוטנציאל התמיינות בלתי מוגבל. 6 שנים בלבד לאחר אותו פרסום, בשנת 2012, זכה ימאנאקה בפרס הנובל לרפואה על התגלית. כיצד הוא עשה את זה?

תמונה 3: פרופ' שינייה ימאנאקה. המקור לתמונה National Institutes of Health, דרך ויקיפדיה.

השלב הראשון היה לזהות אלמנטים שהיו פעילים בתאי גזע עובריים אך לא בתאים ממוינים. כדי שגן יבוטא, כלומר יתורגם לחלבון, מכונה ביולוגית שנקראת DNA polymerase RNA polymerase צריכה להגיע ולהתחבר אליו ואז 'לנסוע עליו' ולתרגם אותו לפיסת RNA. פקטור שעתוק הוא חלבון שנקשר למקטעי DNA ספציפיים ויכול במקרים מסוימים לקרוא לפולימראז: "בוא הנה!", וכך להגביר שעתוק של גן או לחסום אותו ובכך לבטל את פעילות הגן. במשך השנים זוהו מספר פקטורי שעתוק בתאי גזע עובריים שלגביהם היתה סברה שהם קשורים לשימור תכונת הפלורופוטנטיות. בניסוי גאוני בפשטותו השתמש ימאנאקה בטכניקות סטנדרטיות של הנדסה גנטית והשתיל לתוך תאים ממוינים של עכבר עותקים של 24 מהפקטורים החשודים. בסיום התהליך חלק קטן מהתאים נראו כמו תאי גזע עובריים. הצלחה ראשונה. אבל הוא לא עצר שם.

בשלב הבא ניסה ימאנאקה 'לנכש' את הפקטורים בהם השתמש, כלומר למצוא את זהותם ומספרם המינימלי הנחוץ לתהליך התכנות-מחדש. בעבודתו שפורסמה ב-2006 הוא השתמש ב-4 מסוימים מתוך ה-24. לאחר מכן התגלה שניתן להחליף את חלקם בפקטורים אחרים ואפשר אפילו להסתפק ב-3 אך לשלם על כך בירידה ביעילות התהליך. דבר זה מרמז שעד היום תהליך התכנות-מחדש אינו ברור לנו לחלוטין. הפקטורים שבהם נעשה שימוש הם Master transcription factors, כלומר שולטים על תפקודם של גנים רבים בדרכים שאינן ידועות באופן מלא.

איור 4: סכימה של תהליך היצירה של תאי גזע מושרים. 1) גידול תאים המתאימים לתהליך התכנות מחדש בצלחת, 2) השתלת הגנים עבור פקטורי השעתוק לתוך התאים בשיטות סטנדרטיות של הנדסה גנטית למשל על ידי שימוש בוירוסים, 3) מציאת תאים שעברו את ההשתלה בהצלחה וגידולם על מצא מתאים של תאים אחרים, 4) חלק קטן מהתאים גדלים ומתרבים למושבות של תאי-גזע. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש Y tambe.

תאי הגזע שנוצרים על ידי תהליך התכנות-מחדש של ימאנאקה מכונים בעגה Induced pluripotent stem cell או בקיצור IPS, וכיום הם כבר כלי בסיסי למחקר שבו משתמשים באין ספור מעבדות ברחבי העולם. ישנם שימושים רבים לתאים אלה אך אני אזכיר את השניים שלדעתי הם החשובים ביותר. הראשון הוא להשתמש בהם לריפוי מחלות על ידי החדרתם לרקמות פגועות. תאי הגזע יכולים להתמיין לתאים הנחוצים ברקמה, למשל במחלות של ניוון עצבים ואחרות. השימוש השני הוא פיתוח מודלים למחקר של מחלות גנטיות. ניתן לקחת תאים מאנשים חולים, להחזיר את התאים למצב של תאי גזע ואז לגרום לתאים להתמיין לכאלה שמהם נוכל ללמוד על התפתחות והשפעות של המחלה וגם לנסות עליהם תרופות חדשות (כתבתי על זה בעבר כאן וכאן).

ישנן כמובן גם בעיות עם השיטה. שתי הבעיות העיקריות להבנתי הן: 1) חלק מהפקטורים וגם שיטות ההשתלה של הגנים שבהם נעשה שימוש חשודים שגרמו לגידולים סרטניים בעכברים. כיום מנסים לעשות שימוש בפקטורים מעט שונים ובשיטות השתלה אחרות. 2) יעילות התהליך נמוכה מאוד (חלקי אחוז). אחד הפתרונות המוצעים הוא הוספת פקטורים להעלאה חדה ביעילות כפי שפורסם השנה על ידי דר' יעקוב חנא ממכון ויצמן.

לסיכום, לא במקרה נשבר השיא לגבי פרק הזמן הקצר שעבר בין התגלית לבין פרס הנובל. יש כאן שילוב נדיר של התקדמות של הידע התיאורטי וההבנה הבסיסית של הביולוגיה ובו בזמן פיתוח כלי מעשי למחקר ולרפואה של המחר.

————————————————–

לקריאה נוספת:

הרקע התיאורטי לנושא מאתר פרס הנובל (פדף).

פוסט של רועי צזנה על הנושא מזווית קצת אחרת.