גלגלים מתגלגלים – המחשה מוחשית ונחושה לחידה מתמטית

לאחרונה התפרסם בערוץ היוטיוב בנושאי מדע veritasium הסרטון הזה (ונדחף על ידי האלגוריתם ללא הפסקה, לפחות בפיד שלי):

בשליש הראשון של הסרטון מוצגת סוג של חידה מתמטית-פיזיקלית פשוטה עם תוצאה מפתיעה. בשליש השני מוצגים הסברים מדוע הפתרון המפתיע הוא הנכון. בשליש השלישי מוצג הקשר של החידה למדידת זמן ותנועת גרמי שמיים.

ממליץ לצפות בסרטון. לא חובה.

בחלק הראשון של רשימה זאת אציג בקצרה את החידה ואת פתרונה רק לשם רקע והקשר למי שאין סבלנות לסרטונים.

בחלק השני אציג המחשה שבניתי כדי להפוך את הפתרון הלא צפוי ממופשט למוחשי. מוזמנים לשתף אותי אם הצלחתי או לא.

החידה

עיגול קטן מתגלגל ללא החלקה על שפתו של עיגול גדול שמקובע למקום ואינו יכול לנוע, להתגלגל או להסתובב אלא רק משמש כמשטח.

השאלה: כמה סיבובים סביב עצמו יבצע העיגול הקטן במהלך תנועתו על פני העיגול הגדול כדי לחזור למקומו ההתחלתי אם נתון שרדיוס הכדור הגדול גדול פי 3 מרדיוס הכדור הקטן. ראו איור.

לפני הפתרון מעט הסברים.

מהו גלגול ללא החלקה? כאשר אנו נוסעים במכונית, בכל רגע נתון יש חלק של הצמיג שמעוגן לקרקע דרך חיכוך. דבר זה מאפשר לקרקע להפעיל כוח על המכונית ולדחוף אותה אם המכונית בתאוצה למשל. הכוונה היא שכל מולקולה בתחתית הצמיג שכרגע נוגעת בקרקע נדבקת אליו לרגע קט, הגלגל מסתובב ואז המולקולה מנתקת מגע והמולקולה הבאה על היקף הצמיג נדבקת, וכך הלאה. להמחשה דמיינו את תנועת הזחל של טנק או נגמ"ש. אם כך, כל סיבוב מלא של הגלגל סביב עצמו מקדם את המכונית במרחק ששווה להיקף הגלגל (ששווה ל-2π·R, כאשר R הוא רדיוס הצמיג).

אם כך מהי התשובה לחידה?

ממליץ לכם לחשוב לבד אם לא צפיתם\ן בסרטון.

פתרון החידה

ההיגיון הבריא מכתיב (לדעתי) את התשובה שרוב האנשים 'הנורמליים' (לדעתי) יחשבו עליה – שלושה סיבובים. התשובה לכאורה מסתמכת על הרעיון של צמיג וגלגול ללא החלקה. אם ההיקף של הכדור הגדול גדול פי 3 מההיקף של הכדור הקטן, אז הכדור הקטן יצטרך להסתובב שלוש פעמים סביב עצמו כדי להתקדם מרחק שהוא פי 3 מהיקפו.

הבעיה היא שהתשובה היא דווקא 4.

לא מאמינים?

אציג שתי המחשות שתוכלו לחזור עליהן בעצמכם\ן בבית. בכל ההמחשות שאראה השתמשתי בעיגולים ברדיוסים שווים מכיוון שקל יותר למצוא או לייצר כאלה וקל יותר לראות שני סיבובים במקום אחד שהיינו מצפים.

בהמחשה הבאה העיגול עם החץ מסתובב סביב העיגול עם הציור. יש לקרוא כקומיקס בכיוון השעון לפי סדר המספרים.

שימו לב שכבר בצעד 5 העיגול עם החץ ביצע סיבוב מלא סביב עצמו וחזר לאוריינטציה המקורית. בחזרה ל-1 הוא ישלים שני סיבובים סביב עצמו.

באופן זהה עם מטבעות:

איך זה יכול להיות?!

ההסבר התיאורטי הברור ביותר, לדעתי, הוא שיש לעקוב אחרי 'מרכז המסה' של העיגול שנע. הוא נמצא במרכז העיגול והוא החלק היחיד שלא מסתובב כלל ולכן לא מבלבל אותנו. שימו לב שאורך המסלול שצריכה לעבור נקודה זאת כדי לחזור לנקודת ההתחלה הוא אורך הקיפו של עיגול ברדיוס 4R סביב מרכז העיגול הגדול. ואם היא צריכה להתקדם 4R על ידי גלגול ללא החלקה של עיגול ברדיוס R אז הגיוני שהעיגול הקטן צריך להסתובב 4 פעמים סביב עצמו.

אבל מאיפה מגיע הסיבוב העודף אם מדובר בגלגול ללא החלקה?!

בכל המקרים שהראיתי קשה לראות או להבין מאיפה מגיע הסיבוב הנוסף. הסיבה לכך, לדעתי, היא שכל צעד בודד בסיבוב הוא אינפיניטסימלי קטן וקשה להבין כך מה קורה.

לכן החלטתי להמיר את העיגול במתומן משוכלל בעל שמונה צלעות ולעקוב אחרי כל צעד. גלגול ללא החלקה של מתומן אחד על השני (הזהה לו) דורש שצלע מספר 1 במתומן הראשון נוגעת בצלע מספר 1 במתומן שני, ובצעד הבא צלע 2 נוגעת בצלע 2, וכך הלאה. כאשר אנו שומרים שמתומן אחד נייח ומתומן שני מתגלגל על הדופן שלו 'ללא החלקה'.

ראשית נבדוק אם מערכת המתומנים בכלל מקיימת את התכונות הבסיסיות של מערכת העיגולים.

את ההמחשה הבאה יש לקרוא כקומיקס לפי סדר המספרים.

מתומן מתגלגל על רצפה ישרה באורך ההיקף של המתומן בגלגול ללא החלקה, כלומר מצלע 1 לצלע 1, 2 ל-2 וכך הלאה.

ניתן לראות שכדי שהמתומן יתגלגל לאורך מרחק ששווה להיקף שלו הוא צריך להשלים בדיוק סיבוב אחד סביב עצמו.

נבדוק מה קורה בגלגול של מתומן על מתומן.

להמחשה זאת היה לי נוח יותר לגלגל את המתומן כאשר אחד שוכב והשני בולט מהקרקע. גודלם של שני המתומנים זהה.

ועכשיו לגלגול.

כמו בדוגמאות הקודמות יש לקרוא כקומיקס לפי סדר המספרים, הפעם נגד כיוון השעון.

ניתן לראות שהמתומן המתגלגל משלים סיבוב מלא סביב עצמו כבר בצעד 5 באופן זהה לעיגולים. כשיגיע חזרה ל-1 ישלים שני סיבובים.

כעת כשהשתכנענו שמערכת המתומנים מתנהגת כמו מערכת העיגולים, בואו ונבחן מהי הזווית שבא צריך להסתובב המתומן המתגלגל סביב עצמו כדי להתקדם בצעד אחד.

ניתן לראות שבמקרה שבו המשטח עליו מתגלגלים ישר, הזווית שהמתומן המתגלגל צריך להסתובב עבור צעד אחד היא 45 מעלות. לעומת זאת, עבור משטח בצורה מתומן, המתומן המתגלגל צריך להסתובב סביב עצמו 90 מעלות, בדיוק פי 2! והנה לנו הסיבוב העודף שחיפשנו. לאורך כל המסלול נרוויח בדיוק סיבוב שלם נוסף.

מסקנה – כאשר מתגלגלים על משטח עקום, הוא 'בורח לנו כלפי מטה'. לכן כדי להגיע אליו בגלגול לא מספיק להתקדם, אלא צריך גם להסתובב באופן עודף לכיוון שהרצפה ברחה אליו.

העמקה

מי שאוהב מתמטיקה ורוצה להעמיק למבט רחב יותר יכול לחזור לשליש השלישי של הסרטון בתחילת הרשימה או למשל לצפות בסרטון הזה:

מדע שאפשר לחקור בבית עם הילדים – הקשר בין מרכך הכביסה והכוס הפיתגורית

הצעה לפעילות חקר עם ילדים בבית.

מינימום מילים, מקסימום תמונות וסרטונים.

שאלת פתיחה: כיצד המרכך הנוזלי מגיע מהמגירה לתוף בזמן הכביסה?

הוציאו את המגירה של אבקת הכביסה והמרכך ממכונת הכביסה והניחו אותה בתוך גיגית (בהמשך מים הולכים לזרום למטה).

הוסיפו לתא של המרכך מים באמצעות פקק המידה של בקבוק המרכך. המים יושבים במגירה, אך כיצד הם מגיעים לבגדים בתוף הכביסה?

המשיכו להוסיף מים לתא המרכך באמצעות הפקק. כאשר גובה המים בתא יגיע בערך לגובה מכסה הפלסטיק יתחולל "קסם" קטן שכדאי לראות. כאילו מישהו פתאום החליט להדיח את המים בשירותים, לפתע המים מתחילים לזרום מלמטה החוצה לגיגית עד שכל המיכל מתרוקן.

נרים את מכסה הפלסטיק כדי לראות מה יש שם בפנים

אז מה בעצם קורה?

בשלב הזרמת המרכך מהתא לתוף מים זורמים לתא עד להצפתו לגובה הרצוי ואז כל הנוזלים מוזרמים דרך הצינור למטה לצינור אחר במכונה שמוביל לתוף.

מי דוחף את המים החוצה?

האוויר. הלחץ האטמוספרי. ולמה דווקא אחרי שעוברים גובה מסוים?

שאלה טובה, ולא כזאת שניתן להסביר במשפט אחד או שניים, אבל כזאת ששווה, לדעתי, לצלול לתוכה.

לתשובה מתוך הדגמה צפו עם הילדים בכשני דקות (בערך מדקה 2 עד דקה 4) מהסרטון הבא של Steve Mould (ערוץ יוטיוב מוכר בענייני מדע). עזרו בתרגום פשוט של מה שנאמר.

אם יש מספיק סבלנות וסקרנות מומלץ לצפות בכל הסרטון.

רוצים להעמיק בהסבר? (בלי מתמטיקה, רק הדגמות ומילים)

צפו בכשתי דקות מהסרטון הבא (בערך מדקה 2.5 עד דקה 4.5) של הערוץ The Action Lab, גם הוא ערוץ מדע ביוטיוב.

גם כאן, אם יש מספיק סבלנות וסקרנות מומלץ לצפות בכל הסרטון.

האם אפשר לבנות הדגמה כזאת ביחד עם הילדים בבית מחפצים פשוטים?

כן! למכון דוידסון יש סרטון שמראה כיצד.

איך לבנות נגד נשלט מתח ולמה זה טוב

רקע

מה בעצם משתנה כאשר אתם מסובבים כפתור חוגה במכשיר חשמלי שאינו דיגיטלי? בחלק גדול מהמקרים זאת ההתנגדות החשמלית של נגד משתנה או בשמו הלועזי – פוטנציומטר. נגד חשמלי הוא פיסת חומר מוליך שמתנגד לזרימת מטענים חשמליים דרכו וממיר חלק מהאנרגיה שלהם לחום. במילים אחרות, חיבור נגד בעל ערך התנגדות חשמלית גבוהה יותר לספק מתח תגרום לזרם חשמלי נמוך יותר במעגל. התנגדות הנגד תלויה בממדים שלו בצורה די פשוטה. אם נחשוב על נגד כצינור שדרכו עובר זרם אז ככל שהוא ארוך יותר וצר יותר כך ההתנגדות שלו גבוהה יותר. השילוב של העובדה שנגד חשמלי הוא אחד הרכיבים הנפוצים במעגלים חשמליים עם העובדה שקל לייצר רכיב מכני שבו משתנה אורך הנגד על ידי סיבוב ידית הופכת את הפוטנציומטר –  הנגד המשתנה – לבחירה המועדפת כאשר אנחנו רוצים לשנות את הפעולה של מעגל חשמלי.

בואו ונצלול לתוך דוגמה ספציפית. נניח שאתם רוצים לבנות מעגל חשמלי שמייצר צליל. ראשית יש לבנות מעגל שמייצר גל מחזורי כלשהו ואז להעביר אותו דרך מגבר אודיו לרמקול, שהרי צליל באוויר נוצר (ונקלט) על ידי תנודה מחזורית של ממברנה. ברמקול יש ממברנה שמגיבה לאות חשמלי ולכן עלינו לספק לו אות חשמלי מחזורי בתדירות הרצויה. יש הרבה צורות לייצר מעגל כזה אבל המשותף לכולן הוא שהם יכללו משוב שלילי וטעינת קבל דרך נגד. קצב הטעינה של הקבל תלוי בערכי הקבל והנגד וכאשר המתח עליו גבוה המשוב השלילי ידאג להוריד את המתח ולהפך, כך שנקבל ביציאה של המעגל אות חשמלי שעולה ויורד בצורה מחזורית. תדירות האות תהיה תלויה בזמן הטעינה והפריקה של הקבל, כלומר בערכי הנגד והקבל שבחרנו (אלה שרלוונטיים לזמן הטעינה, במעגלים יש המון רכיבים…).

כעת יש לנו אות מחזורי שהולך למגבר אודיו ולרמקול וכך מופק צליל בתו מוזיקלי בודד. נרצה גם אפשרות לשנות את התדר. הדרך הפשוטה ביותר להשיג זאת היא להחליף את אחד הנגדים הרלוונטיים בפוטנציומטר – נגד משתנה – כך שסיבוב החוגה שלו תשנה את התדר שמפיק המעגל. אם נעשה את השינוי הפשוט הזה, אכן נקבל מעגל שמסוגל להפיק טווח של תדרים שתלוי בתכונות המעגל ובערכי הקבל והנגד המשתנה שבחרנו.

ומה אם אנחנו רוצים לשנות באופן מהיר את התדירויות, למשל על ידי לחיצה על מקשי מקלדת (כמו באורגנית), לשלוח סדרת תווים קבועה דרך סיקוונסר לקבלת לופ מוזיקלי קבוע או לשנות את הצליל ולהוסיף לו אפקטים כמו ויברטו (שינוי עדין של תדירות הצליל הלוך ושוב סביב התדר המקורי)? לצרכים אלו סיבוב ידני של חוגה כבר אינו מספיק טוב. הפתרון הוא לייצר מעגל שיגיב לשינויים של מתח במקום לשינויים פיזיים של צורת נגד. אז נוכל לשלוח אות בקרה חשמלי באיזה צורה שנרצה שיעצב את התווים כרצוננו. השינוי שנצטרך לבצע במעגל שתואר בפסקה הקודמת אינו גדול (מבחינה רעיונית, ברמת הביצוע הכל מסובך…) מתנד, או אוסילטור בלעז, שתדירותו נקבעת על ידי אות מתח חשמלי נקרא בעגה Voltage controlled oscillator, ובקיצור VCO, והוא הלב של כל סינטיסייזר אנלוגי, כמו אלה משנות ה-70 וה-80. כדי לקבל VCO מהמעגל הקודם שתיארתי כל שנדרש מאתנו הוא להחליף את הנגד המשתנה (הפוטנציומטר) בנגד נשלט מתח וזהו. מה שמביא אותנו חזרה לשאלה בכותרת הרשימה – איך לבנות נגד נשלט מתח.

אציג שתי גישות עיקריות שאני מכיר ליצירת נגד נשלט מתח.

גישה מספר 1 – שילוב של נורת לד (LED) ונגד רגיש לאור (LDR)

בגישה זאת נצמיד נורת לד (LED) פשוטה לרכיב שמשנה את התנגדותו בתגובה לכמות האור שהוא חשוף אליה (LDR). את שניהם נסגור במעטפת שתיצור תא אטום ללא אור כך שבתוכו מקור האור היחיד הוא הלד. כמות האור שיוצאת מהלד נשלטת על ידי כמות המתח החשמלי שנפעיל עליה. כאשר המתח נמוך, ההארה נמוכה והתנגדות הנגד גבוהה (בד"כ מגה-אוהמים). הפעלת מתח על הלד תגרום להארה ובכך לירידה משמעותית בהתנגדות של ה-LDR. ההתנגדות יכולה לרדת, בהארה גבוהה, לאוהמים בודדים. כלומר קיבלנו נגד משתנה שמגיב למתח במקום לסיבוב של ידית מכנית. את שתי הרגליים של הנגד נחבר במקום שבו היה מחובר הנגד המשתנה. את שתי הרגליים של הלד נחבר למעגל שליטה שיקבע את הרגישות של הרכיב, ועבורו יש גרסאות רבות אך כולן סטנדרטיות ופשוטות מאוד.

היתרון הגדול של שיטה זאת היא שהרכיב הזה פשוט מאוד להפעלה למי שיודע לבנות מעגלים חשמליים. היתרון השני הוא שאין צורך לקנות רכיב ייעודי. קל להרכיב את הרכיב לבד כי שני המרכיבים שלו הם די פשוטים ולא יקרים או נדירים במיוחד. אפשר לבנות להם קופסה או למשל לאפות אותם בתוך פימו (חומר מחנות יצירה שמתקשה בתנור) אבל אני בניתי כמה רכיבים כאלה על ידי הצמדה וליפוף שלהם בתוך איזולירבנד והם עבדו מספיק טוב.

למרות נוחות השיטה הזאת יש לה מספר חסרונות בולטים. העיקריים שבהם הם שהתגובה של הרכיב לשינויי מתח היא לא סימטרית והיא איטית מאוד באופן יחסי. הרכיב עובד די טוב כל עוד תדירות השינוי היא עד כ-10 או אולי 20 הרץ. מעל לכך נתחיל לקבל עיוותים של האות. בעיות אלה קשורות בתכונות הלד ובצימוד בין שני הרכיבים.

[הערת שוליים: בעיה נוספת שקשורה ספציפית לדרישות של VCO, שאני לא אעמיק בהן כאן, היא הצורך בתגובה אקספוננציאלית של המעגל לשינויי מתח. מכיוון שבמוזיקה הכפלה של תדר היא עלייה באוקטבה גם הכפלה של מתח השליטה צריכה להוביל להכפלה בתדר. המוסכמה בעולם הסינטיסייזרים האנלוגיים היא שהתגובה למתח צריכה להיות מכוילת כך שכל שינוי של 1 וולט במתח השליטה צריך להוביל לשינוי של אוקטבה בתדר, כלומר להכפלתו.]

גישה מספר 2 – טרנזיסטור כנגד נשלט מתח

כאן רמת הסיבוך עולה באופן משמעותי. אני אנסה לפשט את הדברים כמה שאפשר.

ראשית יש להסביר שיש הבדל בין המושג נגד חשמלי למושג התנגדות חשמלית. כפי שכבר ציינתי נגד הוא פיסת חומר מוליך שמתנגדת לזרימת זרם חשמלי דרכה. ככל שההתנגדות גבוהה יותר הזרם נמוך יותר תחת הפעלת מתח זהה. הקשר בין הזרם למתח על רכיב זה הוא ליניארי (קו ישר עם שיפוע קבוע) ומתואר בחוק אוהם: V=R*I. שימו לב שכשהמתח החשמלי על הנגד הוא אפס לא יזרום זרם ולהפך, אם לא זורם זרם דרך הנגד לא "נופל" עליו מתח (ולא מומרת עליו אנרגיה).

ההתנגדות של הנגד החשמלי, שמסומנת בחוק אוהם על ידי האות R, יכולה להיות מוגדרת בשתי דרכים שונות. אחת היא חלוקה של המתח בזרם והשניה קשורה לערך השיפוע של גרף הזרם כפונקציה של המתח (השיפוע הוא בעצם הנגזרת של הזרם לפי המתח, ההתנגדות היא אחד חלקי השיפוע). אם נחשוב על ערך השיפוע נשים לב ששיפוע גדול משמעו התנגדות נמוכה (שינויים קטנים במתח מייצרים שינויים גדולים בזרם) וההפך. על נגד, כפי שתיארתי, שתי ההגדרות מובילות לאותה תוצאה – R.

אבל ניתן להגדיר התנגדות גם לרכיבים שאינם נגדים, למשל לטרנזיסטור. מבלי להיכנס יותר מידי לעומק (כי זה נושא גדול ומורכב בפני עצמו) טרנזיסטור הוא רכיב עם שלושה טרמינלים. הזרם שיזרום דרך שניים מהטרמינלים תלוי במתח החשמלי על הטרמינל השלישי. במובן הזה הטרנזיסטור יכול לתפקד כמתג או כברז. מתח נמוך על טרמינל השליטה יסגור את ברז הזרם. מתח גבוה מספיק על טרמינל השליטה והברז נפתח. זאת הסיבה שהמחשב שלנו מלא בטרנזיסטורים שהרי "המוח" של המחשב הוא ג'ונגל של מתגים.

אבל הטרנזיסטור הוא יצור הרבה יותר מורכב ממתג פתוח או מתח סגור. בואו ונתבונן באיור סכמטי של גרף של זרם דרך הענף הראשי של הטרנזיסטור (יש זרמים משניים גם בין הטרמינלים האחרים) כפונקציה של המתח על טרמינל השליטה:

נשים לב שצורת הגרף היא אקספוננציאלית באזור שהוא במצב ביניים בין פתוח לסגור וליניארית במצב פתוח. אם נחשוב על התנגדות הטרנזיסטור במונחים של שיפוע הגרף נשים לב שההתנגדות החשמלית של הטרנזיסטור במצב זה תלויה במתח על טרמינל השליטה ולכן יכול לשמש כנגד נשלט מתח.

התפעול של טרנזיסטור במצב זה הוא לא פשוט. צריך באמת להבין מה קורה במעגל מכיוון שהטרנזיסטור הוא לא באמת נגד והוא תלוי בהמון פרמטרים והמון מתחים. בנוסף, גם סוג הטרנזיסטור משפיע באופן משמעותי על התפעול שלו, האם הוא סימטרי או לא סימטרי, וכהנה וכהנה. אבל השיטה הזאת היא הטובה ביותר למי שיודע מה הוא עושה והיא זאת שבה עשו שימוש בסינטיסייזרים האנלוגיים המסחריים.

סיכום

ברשימה זאת הצגתי שתי שיטות לייצר נגד נשלט מתח וניסיתי להסביר היכן יש צורך ברכיבים אלה (יש עוד שיטות. במצבים מסוימים גם דיודה יכולה לתפקד כנגד נשלט מתח ואולי יש עוד אפשרויות שאני לא מודע אליהן). לגבי השאלה בכותרת "למה זה טוב" אני לא בטוח שנתתי מענה. כיום בניית סינטיסייזרים אנלוגיים זה תחביב למשוגעים לדבר. ניתן כיום לתכנת או לקנות מוצרים דיגיטליים למחשב שרק האוזן הרגישה והמאומנת ביותר תוכל להבחין בהבדל. כמו כן הזמינות, הוורסטיליות וקלות ההפעלה גבוהים יותר לדעתי. אבל אני יכול להעיד באופן אישי שכשמשהו שבנית בעצמך מרכיבים בסיסיים עובד (גם אם באופן פשוט או מקרטע) נולדת הרגשה של סיפוק שקשה לקנות בכסף. בוודאי אם זה סופו של תהליך שמורכב מאינספור כישלונות וקשיים.

משולש האימה – על איך יוצרים קצר בלי קצר ולמה זה טוב

ראשית נתחיל בראשית, מהו בכלל קצר? אבל כדי להתחיל בראשית צריך בעצם להתחיל לפני בראשית כי יש מושגי יסוד שצריך לבאר.

מתח ופוטנציאל חשמלי

כאשר אנחנו אומרים שיש 220 וולט מתח בין שתי נקודות מה שאנחנו מתכוונים הוא שהעבודה שיש לבצע או האנרגיה שיש להשקיע כדי להביא "מטען חשמלי סטנדרטי" מנקודה סטנדרטית כלשהי לכל אחת מהנקודות שונה ב-220 ג'אול אנרגיה על כל יחידה. בעגה אנחנו אומרים שהפוטנציאל החשמלי של שתי הנקודות שונה ב-220 וולט. מתח חשמלי הוא הפרש של פוטנציאל חשמלי.

השורה התחתונה היא שאם נעביר "מטען סטנדרטי" בין שתי הנקודות נוכל להפיק 220 ג'אול אנרגיה על כל יחידת מטען שעוברת. נוכל לנצל אנרגיה זאת למשל לחימום טוסטר משולשים או להדלקת נורה. אגב, גם ההפוך הוא נכון. אם נרצה להעביר "מטען סטנדרטי" מאנרגיה נמוכה לגבוהה נצטרך להשקיע 220 ג'אול אנרגיה על כל יחידה.

קצר חשמלי

קצר חשמלי, בהגדרתו הרחבה, הפיזיקלית, הוא פעולה שמאלצת שתי נקודות במרחב להיות באותו פוטנציאל, כלומר במתח חשמלי אפס, בד"כ על ידי חיבור שתי הנקודות בחומר שהפוטנציאל עליו חייב להיות שווה כמו מוליך. למשל, אם נחבר שתי נקודות במרחב על ידי חוט זהב שמוליכותו החשמלית נמוכה מאוד, בקירוב אלקטרוסטטי הפוטנציאל בכל נקודה על המוליך שווה, ולכן המתח בין שתי הנקודות מאולץ להיות אפס (הפוטנציאל החשמלי זהה).

מה יקרה אם ננסה לאלץ את שתי הנקודות בשקע בקיר שנקבעו על ידי חברת החשמל להיות בפוטנציאלים שונים? נקבל קצר במובן או בפירוש העממי של המילה, כלומר שריפה. דרך התיל יזרום זרם עצום, הוא יתחמם ויותך. אך קצר לא חייב להסתיים בשריפה. למשל אם נקצר את שתי ההדקים של נורה בחוט מוליך היא לא תישרף, אלא דווקא תכבה. המתח החשמלי עליה מאולץ להיות אפס ולפי חוק אוהם לא יזרום דרכה זרם ולא יתפתח הספק חשמלי. או במילים אחרות, כל הזרם יעדיף לזרום דרך ההתנגדות הנמוכה של החוט המקצר ולא דרך הנורה עצמה.

קצר ללא קצר ומשולש האימה

ועכשיו אני מגיע לעניין. הכוונה שלי בליצור "קצר ללא קצר" היא לאלץ שתי נקודות במרחב להיות באותו פוטנציאל חשמלי (מתח אפס) מבלי לחבר ביניהן. כיצד נעשה זאת? יש לי רעיון. זרמו איתי והניחו, לפחות למספר דקות, לשאלה האם ניתן באמת לבנות את הרכיב שאותו אני מציע. אני אחזור לזה בהמשך. אקרא לרכיב החדש שאני מציע "משולש האימה" והוא רכיב חשמלי דמיוני בעל שתי כניסות ויציאה אחת. נסמן את שתי הכניסות ב- V+ ו- V- ואת היציאה ב-V_O לשם Out. כעת נגדיר חוק מתמטי שיגדיר את פעולת משולש האימה:

כלומר הרכיב מגביר פי אינסוף את ההפרש בין שני מתחי הכניסה. האם זה אפשרי? למה לא. זה לא סותר אף חוק פיזיקלי באופן ישיר, וממילא הרכיב דמיוני.

[הערת הבהרה – מכיוון שכל המתחים מוגדרים ביחס לאותה נקודת ייחוס במעגל, שלה נקרא נקודת האפס או אדמה, אין הבדל מהותי בין מתח לפוטנציאל]

אבל יש בכל זאת בעיה שיש לתת עליה את הדעת. אמנם ההגבר האינסופי לא סותר לדעתי חוק פיזיקלי באופן ישיר אך באופן עקיף הוא מייצר התנגשות עם שימור אנרגיה. הרי מהיכן מגיעה האנרגיה שמשמשת להגברה? למשל אם נכנס לרכיב אות סינוס עם אמפליטודה (משרעת) של 1 וולט ויצא גל סינוס עם אמפליטודה של 2 וולט ברור שהתווספה אנרגיה לאות החשמלי. מהיכן היא הגיעה? ממקור אנרגיה חיצוני, למשל חברת חשמל או סוללה. לכן גם אם מותר לי לקבוע הגבר אינסופי, אני מחויב שמתח היציאה של הרכיב יהיה סופי אחרת לא ברור מהיכן הגיעה כל האנרגיה.

אם כך, האם ניתן לאחוז את המקל בשני קצותיו ? האם יש דרך, ולו מתמטית תיאורטית, לשמר את ההגבר האינסופי אבל לקבל מתח יציאה סופי? אינסוף כפול משהו יכול להיות סופי רק אם נכפול אותו באפס (למטרות שלי זה מספיק מדויק). כלומר על הרכיב "משולש האימה" לדחוף ולמשוך זרמים במעגל כך שבכל רגע מתחי הכניסה משתווים זה לזה. אך שימו לב שאם זה מתקיים למעשה יצרנו "קצר" בין שתי נקודות הכניסה מכיוון שהן מאולצות להיות במתח זהה בכל רגע, גם אם הן כלל אינן מחוברות אחת לשנייה. לא באמת זורם זרם ישיר ביניהן. לתופעה הזאת נקרא "קצר וירטואלי" או במילים שלי "קצר ללא קצר".

אז למה זה טוב?

בואו ונבחן את המעגל החשמלי הבא:

שימו לב שמתואר פה בעצם פידבק, או לולאת משוב, כך מה שיוצא ממשולש האימה נכנס חזרה דרך הכניסה השלילית. איך להבין מה קורה פה? נבחן זאת בשתי דרכים שונות. הראשונה דרך הנחת העיקרון של הקצר הווירטואלי והשנייה באלגברה.

אם אנחנו מאמינים לעיקרון הקצר הווירטואלי של משולש האימה אז V₊ ו- V_– חייבים להיות שווים. מכיוון ש- V₊ מאולץ על ידי מתח חיצוני, מתח הכניסה, משולש האימה דוחף ומושך זרמים לפי הצורך כך שגם V_– יהיה שווה למתח הכניסה. אבל V_– מחובר למתח היציאה ולכן מתקיים שמתח היציאה שווה למתח הכניסה. נכנה את הקונסטרוקציה הזאת Buffer והיא מאוד מאוד שימושית בבניית מעגלי זרם. למה? כי מתח היציאה לא מעמיס על נקודת הכניסה. הוא מייצר את המתח שלו מהאנרגיה שהוא שואב ממתח האספקה ולכן לא מהווה צרכן על שאר המעגל. לדוגמה, נניח שאני רוצה למדוד מתח חשמלי בנקודה במעגל ולהעביר את המידע הלאה לתצוגה. במקרה זה עלול מעגל התצוגה להפוך בעצמו להיות צרכן במעגל המקורי ולשנות את הערך שניסינו למדוד. אם נשתמש ב-Buffer להעתקת המתח לאזור התצוגה מבלי לצרוך אנרגיה מהמעגל המקורי כך נוכל לבצע מדידה מבלי לשנות את המעגל הנמדד. האנרגיה להעתקת המתח הנמדד מגיעה ממקום אחר – ממתח האספקה.

נפתור שוב את מעגל ה-Buffer הפעם ללא הנחת קצר וירטואלי, אלא ישירות באלגברה:

כעת, מתוך התוצאה האלגברית, ניתן לראות תחת אלו תנאים ה-Buffer יתפקד היטב. צריך שהיחס אלפא לאחד ועוד אלפא ישאף לאחד וכדי שזה יתקיים לא באמת צריך אלפא אינסוף מספיק אלפא ששווה לאלף או לעשרת אלפים ומגבר הפרש כזה אנחנו יודעים לבנות בקלות. רכיב כמו משולש האימה עם הגבר הפרש של בין 1000 ל-10,000 הוא רכיב בסיסי ידוע ששמו "מגבר שרת" Operational amplifier. יש ממנו זיליון סוגים לזיליון שימושים שונים, אך התפקוד הבסיסי שלו הוא מה שתיארתי כאן.

בואו ונבחן עוד שתי דוגמאות שימחישו את טווח השימושים הרחב של מגבר השרת.

דוגמה 1: נגד בכניסה, נגד במשוב והכניסה החיובית באדמה

ננתח את המעגל לפי עיקרון הקצר הווירטואלי:

ניתן לראות שמתח היציאה שווה למתח הכניסה כפול קבוע כפלי שיכול להיות קטן, שווה, או גדול מ-1. כלומר נוכל להגביר או להחליש את המתח החשמלי לפי הצורך על ידי בחירה נכונה של הנגדים. שימו לב גם שיש היפוך סימן ביציאה (היפוך מופע של 180 מעלות). אם זה מפריע לנו, ניתן לארגן את המעגל מעט אחרת או לשרשר את המעגל פעמיים.

דוגמה 2: נחליף את נגד המשוב בקבל

שוב ננתח את המעגל לפי עיקרון הקצר הווירטואלי:

ניתן לראות שקיבלנו שמתח היציאה שווה לאינטגרל על מתח הכניסה כפול קבועים של המעגל. למעגל זה נקרא "אינטגרטור". נוכל בעזרתו, למשל, להפוך גל מרובע לגל משולש אם נחפוץ בכך ויש עוד המון שימושים למסנן זה (זהו גם Low pass filter, תלוי בתדירות ובערכים). ניתן להחליף בין הקבל לנגד ולקבל מעגל גוזר.

לסיכום – מגבר שרת זה אחלה. במיוחד למי שאף פעם לא למד ולא הבין איך לעבוד עם טרנזיסטורים BJT (כמוני…). אני לא יודע להסביר מדוע אבל השימוש במגברי שרת תמיד היה מובן יותר בעבורי ביחס לתכנון מעגל עם טרנזיסטורים BJT. כמובן שבתוך קופסת הקסם השחורה שנקראת "מגבר שרת" יש מספיק טרנזיסטורים לכולם, אבל במפעל כבר סידרו אותם בצורה שיותר נוחה לי להבין.

אדם נשך אינטיליגנציה מלאכותית – על עיתונות, דיונים והמלצה על ריאיון בפודקאסט

לחם ושעשועים

במחילה, הדימוי שבראשי לצריכת יומית של אקטואליה ברדיו, טלוויזיה ובאינטרנט (בחיים שלי היום אין הבדל מכיוון ששלושתם נצרכים באותה צורה דרך מחשב) היא של משאית איסוף זבל שמטה את הארגז האחורי שלה עלי. אני עומד תחת מפל שוצף של האשפה שנאספה באותו היום. אני מתעלם מחלק, חלק נוגע בי בחטף וחלק אני לוקח איתי. מה שבטוח הוא שאני חוזר הביתה מסריח. זה אינו מצב חדש, אם כי לרדיו ולטלוויזיה נוספו אתרי החדשות והלהג ברשתות החברתיות. ואינני צופה מהצד. אני בתוך זה כמו כולם.

ספקי המידע מחויבים לייצר כמויות עצומות של "תוכן" ולכן באופן טבעי הגבולות בין מידע לבידור מיטשטשים. אחת הדוגמאות לכך היא כתבות מסוג "אדם נשך כלב". משהו מוזר או מפתיע קרה איפשהו רחוק. הסיפור מסופר בבדיחות הדעת או בתדהמה מזויפת. הקהל מגחך או מצקצק, "איזה משוגעים יש בעולם הזה", ועוברים הלאה לסיפור הבא. לא מספיק חשוב לעשות "דאבל קליק".

בשנה האחרונה התפרסם בכל מקום סיפור שבו מהנדס פוטר מחברת גוגל בגלל שהפר הסכם סודיות ויצא בפרסום על כך שלדעתו תוכנת צ'אט שמבוססת על אינטליגנציה מלאכותית, שהוא היה חלק מצוות הבדיקה שלה, היא בעלת מודעות ("sentient"). כל אתר ועיתון שמכבד את עצמו רץ עם הסיפור. סביר להניח שהפרטים בכל כתבה היו זהים כי תוכן מסוג זה נוטים להעתיק שוב ושוב בגרסאות שונות ומשונות ממקור אחד או שניים.

כשראיתי את האייטם במקור אמרתי לעצמי "איזה משוגעים יש בעולם הזה", ועברתי הלאה לסיפור הבא. לא מספיק חשוב לעשות "דאבל קליק". אם הייתי עוקב אחרי כל שטות שמתפרסמת באינטרנט לא היה נותר לי זמן לחיות, להתפרנס, לעבוד, ליהנות. הרי זה בידור חינמי לרגע.

אבל מיהו אותו מהנדס? מה היה תפקידו בחברה? האם באמת הגיע למסקנה כפי שפורסמה? ואם כן, מדוע? האם הוא סתם משוגע, או שיש משהו מעניין מאחורי כל זה, גם אם הוא לא צודק?

עיקרון  החסד והצניעות

מה קורה לנו כאשר אנחנו מקשיבים לאדם שאנחנו לא מסכימים אתו? מה שרובנו עושים באופן אוטומטי (כן, גם אני) זה מניחים (גם אם לא במודע) שאותו אדם הוא כסיל מוחלט, שטיעוניו הם גבב של שטויות חסרות היגיון, כי הוא לא מבין כלום, ושאם הוא רק ישתוק לרגע וייתן לנו לדבר, אנחנו נסביר לו מדוע ואיך. אם אתם מרגישים שמה שתיארתי במשפט הקודם מוכר לכם אבל הוא בטוח לא אתם, חישבו שוב (כן, גם אתם).

כיצד נוכל להתעלות ולקיים דיון איכותי ומכבד עם בר פלוגתא? קצרה היריעה מלאסוף ולצטט את כל העצות ודברי החוכמה שנכתבו בנושא על ידי מומחים. במקום זה בחרתי להיעזר, לצטט ולסכם את חמשת העקרונות לדיון פוליטי שכתב חנוך דאום בטורו בידיעות אחרונות. לא אכפת לי אם הוא מומחה או לא מומחה בנושא.

חמשת העקרונות של דאום הם: 1) הפרדת האדם ממגזרו, 2) הבדילו בין האדם לבין דעותיו הפוליטיות, 3) אין שום סיכוי שהאמת כולה אצלי, 4) מצאו את ההיגיון בצד השני, 5) לתת יותר משקל למייסטרים ולא להתמקד רק באנשי הקצה של כל צד.

נשים לב ששני הסעיפים הראשונים עוסקים במה שנקרא בעגה "אד-הומינם" ושני הסעיפים הבאים עוסקים במה שאקרא לו עיקרון החסד והצניעות ובו אתמקד. הסעיף האחרון הוא דרכו של דאום לחבר את הכל לשיח המקוטב הנוכחי.

עיקרון החסד והצניעות (principle of charity), שלקוח מפילוסופיה ומרטוריקה, גורס שמכיוון שאיננו יכולים להיות בטוחים עוד לפני קיום הדיון שהצדק כולו אצלנו, וכדי לקיים דיון פורה, מעמיק ומכבד, עלינו לנסח את הפירוש הטוב והחזק ביותר האפשרי לדברים של הצד השני ולהתווכח אל מול גרסה זאת של הטיעונים. נשים לב שזהו ההפך המוחלט ממה שהצגתי בפסקה הראשונה של חלק זה של הרשימה וההפך מיצירת איש קש. שימו לב שאין זה אומר שעלינו להתפשר או להסכים עם הצד השני.

אני הייתי מוסיף שלושה תנאים נוספים עבור דיון פורה: א) ראשית מצאו על מה אתם מסכימים. זה משרה אווירה טובה. לא מסכימים על כלום, אפילו לא על העובדות? ותרו על הדיון. ב) החליטו במשותף מה נושא הדיון והשתדלו להישאר בגבולות שנקבעו. ג) הסכימו על שפה שמקובלת על שני הצדדים, כלומר מהו סגנון נאות וגם מהו טיעון נאות.

תפירת הקצוות ואסטרטגית יציאה

לפני כשלושה חודשים התראיין אותו מהנדס מגוגל שהזכרתי בחלק הראשון של הרשימה ב-SGU, פודקאסט ותיק בנושאי מדע, טכנולוגיה וחשיבה ביקורתית שהזכרתי בבלוג מספר פעמים בעבר. אני חושב שהריאיון שקיים איתו צוות הפודקאסט עמד בכל הקריטריונים שציינתי. כ-20-30 דקות, למיטב זכרוני, של שיחה מעמיקה ומכבדת. הצוות לא מסכים עם המסקנה שלו, אבל יש ניסיון אמיתי, לטעמי, לרדת לשורש הטיעונים, להבין וגם להתווכח. מסתבר ששני הצדדים מסכימים על לא מעט, גם אם לא על המסקנה הסופית. ניתן ללמוד מהריאיון מיהו אותו מהנדס, מה הרקע שלו (בהנדסה, תכנות, מדעי המוח ופילוסופיה), מה הוא באמת טוען ומה הטיעונים הטובים ביותר שלו כדי לתמוך בעמדתו. הוא לא טיפש או משוגע כמו שאתם חושבים, בין אם הוא צודק או לא.

באופן אישי, אני עדיין לא שם. לא קרוב אפילו. אבל הצבת יעדים זה דבר טוב לדעתי.

קישור לפרק (הריאיון הוא רק סגמנט אחד בפרק ויש למצוא אותו בתוך התכנית)

חלל, הגבול הסופי – "פרויקט הייל מרי" – יומן קריאה

הפעם אני רוצה לספר על ספר מדע בדיוני שקראתי, אבל אתחיל בסוג של גילוי נאות שהוא סוג של דיסקליימר שהוא סוג של הסבר מדוע לכתוב על זה בבלוג שהנושא שלו הוא מדע. שהרי מדע בדיוני או ספרות ספקולטיבית אינם מדע אלא בדיון וספקולציה.

לא הייתי מגדיר את עצמי בתור קורא ספרות כ-"חובב מדע בדיוני". להרגשתי קראתי את הקלאסיקות. מיעוטן אהבתי (נניח לדוגמה חלק מהספרים בסדרת Dune של הרברט, ועוד), לא מעט שיעממו אותי מאוד (למשל Foundation של אסימוב) ומהרוב התעלמתי. אל הספר הזה הגעתי מקריאת סקירה\ביקורת במוסף הספרים בעיתון "הארץ", שם היה כתוב (בין היתר) משהו על מדע.

כלומר, אם אתם קוראים את הרשימה ומרגישים שהכותב אינו "שוחה בחומר" ואינו מעודכן במתרחש בעולם הספרות המד"בית, אתם צודקים. וממילא, זאת אינה ביקורת ספרות.

דבר חשוב נוסף לפני שאני מתחיל – בגלל אופי הספר כמעט כל פרט מהעלילה עלול לקלקל למישהו את חווית הקריאה ולכן אמנע מלעסוק בה באופן ישיר, פרט למה שמופיע בעמוד הראשון או אולי על גבי העטיפה.

***

צילומסך של עמוד הספר באתר ההוצאה. מקווה שבסדר. אם לא, צרו קשר…

"פרויקט הייל מרי" הוא ספר מאת אנדי וייר. לפי מה שכתוב על גבי העטיפה ובדף הויקיפדיה וייר הוא מהנדס תוכנה שכתב ספר מצליח שעובד לסרט המצליח ההוא עם מאט דיימון על מאדים, ומאז זנח את הינדוס התוכנה ועבר לכתיבה. זהו ספרו השלישי.

הסיבה העיקרית שבגינה אני ממליץ על הספר היא אהבת המדע שנשקפת ממנו. ניכר שמדע מעניין את הסופר וחשוב לו. מצפייה בסרט על מאדים וקריאה בספר החדש נראה שהמדע הבידיוני של וייר מתרחש בעתיד הקרוב מאוד וברובו מחויב למדע שאנחנו מכירים היום. הספר כולל תיאורים מפורטים של עשייה מדעית, כולל ביצוע ניסויים וירידה לפרטים, וגם מבט (אופטימי) על שיתוף פעולה מדעי בקהילה גדולה. נקודה נוספת לזכותו של הספר, עבורי, היא שמבליח בו מידי פעם מורה למדעים של ילדים צעירים.

עד היום לא נתקלתי, באופן אישי, בספר 'פיקשן' עלילתי (מדע בדיוני או בכלל) ששם דגש חזק כל כך על מדע וביצוע ניסויים, וכל זה משולב בסיפור סוחף למדי. מצד שני, הירידה לפרטים מדעיים עלולה להרתיע חלק מהקהל. וכאן אני חייב לצטט תגובה שהצחיקה אותי לכתבה מאתר "הארץ" (אין למי לתת קרדיט בתגובה המקורית, העתקתי מהאתר): "ספר משמים וטכנוקרטי, משחק מחשב לפתרון בעיות. אין דמויות, אין התחבטוית יש רק רצף אינסופי של הסברים מדעיים ופתרון בעיות הנדסיות. זה לא ספר זה קווסט." התגובה דרמטית, משעשעת ומוגזמת כיאות לטוקבק, אבל יש בה קורטוב של אמת. עם זאת יש להודות שרבים, כמוני, נהנו מהקריאה, גם אם קיצוץ של הטקסט היה משפר אותו לטעמי. לחתוך את אחד המשברים (הרבים) כדי לא לשבור את הקוראים.

אחד הדברים שהטרידו אותי במהלך הקריאה הוא שהספר כתוב כמו סרט. כתיבה דיבורית, מלאה בפאנץ'-ליינס (שורות מחץ?) ובסצנות שבבירור נועדו לקולנוע. כאלה שנועדו להפתיע, כולל בימוי ויזואל עם תזמון מדויק, וכאלה שנועדו לרגש. הוליוודי באופן בוטה. אם כך, לא מפתיע לקרוא שהזכויות לספר\סרט כבר נמכרו אפילו החל ליהוק כוכבים. כלומר, לטוב ולרע, זה אינו "החטא וענשו" ויש להגיע לקריאת הספר בראש מתאים. בנוסף, משיקולים דרמטיים יש צורך במספר מועט יחסית של דמויות ראשיות ולכן כל דמות היא אדם-על בעל יכולות אינסופיות. זה החלק הכי פחות אמין בספר, לטעמי, גם אם אני חושב שאני מבין את השיקולים.

הספר מכיל לא מעט tropes או קלישאות, כלומר טכניקות סיפוריות משומשות. אתן דוגמה אחת מהעמוד הראשון בספר. מישהו מתעורר במקום לא מוכר ואינו יודע מי הוא. המידע נמסר לאורך הספר בפלאשבקים בקצב שמתאים לסופר. ויש עוד כאלה. אבל לדעתי הסופר מצליח לקחת את זה למקום מעניין.

שתי הערות קצרות אחרונות: 1) אל תשכחו שבספר יש גם לא מעט מדע בדיוני. 2) גם אם אתם מוצאים טעות קטנה במדע, שחררו. העריכו את המאמץ לגבי כל הדברים שהוצגו נכון.

***

לסיכום: אני ממליץ על הספר ובמיוחד לבני נוער. עלילה סוחפת ומלאה ברעיונות מעניינים, כיאות למדע בדיוני, אך כזאת שגם מציגה מדע, אהבת מדע וביצוע מדע בצורה אמינה ככל שמאפשר הז'אנר. ווין-ווין. אולי ישלח כמה ילדים ללמוד מדעים. ווין-ווין-ווין.

מכיל כל כך הרבה טעויות שזה חייב להיות נכון – קצת על שגיאות מדידה

כל המדידות שגויות. כולן.

וזה לא דבר רע. למעשה מה שהופך את המדע המדויק ל-*מדע מדויק* היא דווקא היכולת להגדיר באופן מדויק את תחום השגיאה, בין אם בחישוב תיאורטי או במדידה במעבדה.

המשפט הראשון כה בסיסי וחזק כך שאפילו הוא בעצמו מכיל חוסר דיוק. המילה "שגיאה" מכילה בתוכה פנים רבות שאינן מיתרגמות היטב למילה שהתקבעה לשימוש בעברית ודורשות הקשר לשם הבנה. ברשימה זאת אנסה לעשות מעט סדר במושג ובצורה שהוא בא לידי ביטוי בניסויים.

אי-וודאות ולא שגיאה

לקחתי סרגל פשוט וללא סיבה חשובה מדדתי את רוחב הארנק שלי (ראו תמונה). שמתי את האפס של הסרגל בצד שמאל של הארנק וצדו הימני מקביל לסימון בין 95 ל-96 מילימטר על גבי הסרגל. אני רושם במחברת 96 מילימטר כי בעיניים שלי הסימון הזה יותר קרוב לקצה הארנק אבל אני לוקח בחשבון שכל ערך בטווח של כמילימטר אחד, המרחק בין שני סימונים עוקבים על גבי הסרגל, יכול להיות התשובה הנכונה. כלומר, אופי כלי המדידה שלי, במקרה זה הסרגל, מכתיב אי וודאות של כמילימטר אחד סביב כל מדידה. לכן הכוונה במקרה זה במונח "שגיאת המדידה היא 1 מילימטר" היא שבמדידה בסרגל ישנה אי-וודאות של 1 מילימטר בערך הנמדד. קרי, uncertainty ולא error. וזה נכון לכל מכשיר מדידה, מדויק ככל שיהיה.

מה יקרה אם אבצע את מדידת הרוחב של הארנק במהלך נסיעה באוטובוס מיטלטל? שגיאת הסרגל המובנית היא עדיין כשגיאת השֶׁנֶת הקטנה ביותר, אבל מכיוון שקשה לי לקרוא את הערך שמשתנה בכל רגע, אבחר להגדיל את הערכת אי-הוודאות מ-1 מילימטר ל-3 מילימטר. תוצאת המדידה לא השתנתה, שגיאת הסרגל לא השתנתה אבל הערכת אי-הוודאות שלי במדידה השתנתה. דיוק המדידה שלי נפגע בגלל האוטובוס אבל אני עדיין עושה מדע מדויק.

הכל יחסי

האם שגיאת הסרגל שלי (1 מילימטר) היא קטנה או גדולה? אני לא יודע לענות על השאלה הזאת. קטנה או גדולה ביחס למה?

אם אני אמדוד את האורך של דף A4, כ-300 מילימטר, שינוי של 1 מילימטר לפה או לשם הוא לא משמעותי. כלומר, אי הוודאות במדידה קטנה לעומת הערך הנמדד. לעומת זאת, אם אני אמדוד את רוחבה של נמלה, נניח כ-3 מילימטר, ערך אי-הוודאות כבר גדול מאוד ביחס לערך המדידה עצמה. לשם כך נגדיר את "השגיאה היחסית" שהיא ערך שגיאת המדידה בניסוי חלקי הערך הנמדד. שגיאה זאת היא גודל חסר יחידות.

נשים לב שהשגיאה היחסית משתנה בניסוי ממדידה למדידה ולכן יכולה להשפיע על החלטות שאני מקבל לגבי ביצוע הניסוי. למשל, אם אני מבצע ניסוי שבו אני תולה משקולות שונות על קפיץ ומודד את התארכותו עבור כל אחת מהן, אפשר לטעון שיש להעדיף משקולות כבדות על משקולות קלות מכיוון שהאורכים הנמדדים יהיו גדולים יותר ושגיאות המדידה היחסיות קטנות יותר. כלומר, דיוק המדידה בסרגל בניסוי עם משקולות כבדות יהיה גבוה יותר, גם אם לא תמיד שיקול זה יהיה משמעותי לניסוי הספציפי שמתבצע.

מלחמה באקראיות

מה יקרה אם ננסה למדוד כמה זמן לוקח למחוג השניות בשעון לעבור 5 שניות באמצעות הפעלת שעון עצר (סטופר)? התוצאה לא תהיה 5 שניות. גם מכיוון שאנחנו לא יודעים מה איכות השעון, אך בעיקר כי יש לנו זמן תגובה בהפעלת וכיבוי שעון העצר.

ומה יקרה אם נחזור על אותה המדידה מספר פעמים? בכל מדידה נקבל ערך אחר (שאינו 5 שניות). למעשה בכל מדידה שמבצעים יש אלמנט אקראי שאותו ניתן למזער אבל לא לבטל. זה נכון לכל מדידה, גם כאלה שהן חשמליות או מתבצעות על ידי מחשב.

את שגיאת המדידה הזאת מכנים "שגיאה אקראית". במילה "אקראית" הכוונה היא שיש סיכוי שווה שהערך הנמדד יהיה גבוה, שווה או נמוך לערך "האמיתי". הסיבות לשגיאות אלה הן בד"כ מרובות ולא כולן בשליטתנו. לצמצום השגיאות האקראיות במדידת אורך באמצעות סרגל, למשל, אפשר להימנע מלבצע מדידות בזמן נסיעה באוטובוס. אך גם לאחר שקיבלנו את המדידות היציבות ביותר שניתן לקבל, עדיין יהיו שגיאות אקראיות מטבע העולם שאנחנו חיים בו.

כיצד נתמודד עם שגיאות אלה?

במקרה של מדידת משך הזמן של 5 שניות אפשר למשל לחשב את ממוצע ערכי המדידות. מתוך הנחה שיש ערך קבוע שמתחבא מאחורי האקראיות במדידה ומתוך הנחה שאופי ההפרעה אקראי ולכן לפעמים "קופץ" למעלה ולפעמים למטה במידה שווה, חישוב הממוצע יבטל, במידה הטובה ביותר, את ההשפעות האלה.

מה ניתן לעשות אם מדובר בסדרה של מדידות בערכים משתנים ולא בערך אחד שחוזר על עצמו?

נחזור לניסוי של מדידת התארכות הקפיץ כתלות במשקולות שנתלו עליו. בכל שלב של הניסוי נשנה את מסת המשקולת התלויה ונמדוד את התארכות הקפיץ. כדאי, כמובן, לחזור על כל מדידה מספר פעמים ולחשב ממוצע, אך אפשר לעשות עוד. במקרה זה הקשר הפונקציונלי בין שני המשתנים ידוע לנו באופן תיאורטי – קשר ישר (ליניארי) לפי חוק הוּק. נוכל לשרטט גרף של התארכות הקפיץ כתלות במסת המשקולת ואז להעביר את הקו הישר הטוב ביותר בין הנקודות שהתקבלו (ראו איור). קו זה בעצם מבצע סוג של מיצוע על פני הנקודות השונות מתוך הנחה שחלקן גבוהות מידי וחלקן נמוכות מידי באופן אקראי. נוכל גם לתת למחשב לבצע את הפעולה טוב ומהר מאתנו.

השיטתיות שבשיטה

נניח שאנחנו מודדים את הקשר בין תאוצת גוף לבין הכוח שקול שפועל עליו. לפי החוק השני של ניוטון הקשר הוא ישר (ליניארי) והמקדם הוא מסת הגוף. שרטטנו גרף של התאוצה כפונקציה של הכוח והוא נראה כך:

האם אתם שמים לב לבעיה?

 אם נמשיך את הקו הישר לאזור שבו לא מדדנו הוא לא יחתוך את הצירים בנקודת הראשית. כלומר, לפי התוצאות הגוף בתאוצה אפס למרות שפועל כוח, בסתירה לחוק השני. מה יכולה להיות הבעיה?

סביר להניח שמד הכוח לא היה מאופס בתחילת המדידה והראה ערך גם כאשר לא הופעל עליו כוח. לכן כל מדידת כוח היתה גבוהה מהערך האמיתי באותה סטייה התחלתית וכל הגרף מוסט ימינה בערך הסטייה הזאת (כולל, כמובן, קו המגמה).

שגיאה כזאת נקראת "שגיאה שיטתית" ובה הסטייה מהערך האמיתי זהה בכל נקודה. כדי להתמודד עם בעיה כזאת ניתן לבצע שוב את המדידות לאחר איפוס מד הכוח. ניתן גם להסיט את הגרף כך שיחתור את הצירים בראשית, אם אנחנו מאמינים לתיאוריה. ואם כל מה שמעניין בניסוי הוא שיפוע הגרף, אז אין צורך בשום תיקון. שיפועו של גרף ישר לא מושפע על ידי שגיאה שיטתית. בפונקציונליות אחרת שאינה ליניארית יש להיזהר.

נבחן דוגמה קטנה

נרצה למדוד את זמן המחזור של מטוטלת (שעון עצר), שהיא משקולת תלויה על קצה חוט, כתלות באורך החוט (סרגל). ניסוי פשוט שכל אחד יכול לבצע בבית. הבעיה היא שזמן המחזור בניסוי נע בין ערכים של פחות משניה לשתי שניות (עבור אורך חוט בסביבות מטר). כלומר הזמן קצר מידי, וקרוב מידי לזמן התגובה. אחד הפתרונות הפשוטים יהיה למדוד 20 זמני מחזור ברצף ולחלק את התוצאה ב-20. כך הרווחנו שגיאה יחסית נמוכה באופן משמעותי, זמן מדידה ארוך ביחס לזמן התגובה וגם סוג של מיצוע. רצוי, כמובן, לחזור על כל מדידה מספר פעמים.

נשים לב שבניסוי זה אורכי חוט גדולים יותר מובילים לזמני מחזור ארוכים יותר. אם כך, כדי להקטין שגיאות יחסיות ולהגדיל את דיוק המדידה לכאורה נשאף לבצע את הניסוי באורכי חוט גדולים כמה שיותר. עם זאת, באופן מעשי מדידת 20 זמני מחזור (או יותר) ליבנה את בעיית מדידת הזמנים ומדידת אורכים הרלוונטיים לניסוי המטוטלת שהוצג לא קרובים למילימטרים בודדים. לכן בניסוי זה אפשר להתעלם מהשיקול הזה.

לסיכום – נקודות לארוז ולקחת הביתה

כל המדידות שגויות. כולן.

מה שהופך את המדע המדויק למדויק היא היכולת להגדיר באופן מדויק את תחום השגיאה.

אי ודאות ולא שגיאה, uncertainty ולא error.

כל מה שהוצג ברשימה זאת הוא מה שנתפס על קוצו של המזלג. ניסיונאות היא מקצוע.

הלבלב שבלבל אותי – "הגוף", יומן קריאה

הדבר שאני הכי אוהב באתר "דוידסון אונליין" הוא לפתור את החידונים שנקראים "שטיפת מוח" ומפורסמים פעם בשבוע על ידי עורך האתר איתי נבו (גלוי נאות לא הכרחי – הם שכנים שלי בעבודה, בניינים צמודים). למי שלא מכיר, החידונים מורכבים בד"כ מעשר שאלות בנושאי מדע שלכל שאלה יש ארבע תשובות אפשריות שניתן לסמן.

באחד החידונים הקודמים הופיעה השאלה: "מה תפקידו העיקרי של הלבלב (pancreas)?". לבושתי בחרתי בתשובה הלא נכונה. אבל עיקר הבושה לא נבעה מכך שלא זכרתי מהי פעולתו של הלבלב. כל אחד יכול לטעות ברגע של בלבול ולכולם יש חורים בידע בתחומים מסוימים. המבוכה שלי נבעה מכך שבמקרה בדיוק יום קודם לכן קראתי פרק בספר "הגוף" מאת ביל ברייסון שעסק בתפקודו של הלבלב. ואם שכחתי את רוב מה שקראתי, יום אחד אחרי, מה יהיה עם הידע הזה בעוד חודש? שנה? שאר החיים? היה כלא היה.

זאת אינה ביקורת על הספר, כי הוא די מוצלח כפי שאציג בהמשך, אלא הרהור על עצמי ועל הסוגה.

אבל בואו נתחיל מההתחלה.

***

צילומסך מאתר ההוצאה. מקווה שזה בסדר. אם לא צרו קשר…

ביל ברייסון הוא סופר בריטי-אמריקאי שאוהב לסכם לנו בצורה נגישה שלל של נושאים. הספר הקודם שלו שפורסם בעברית היה "ההיסטוריה הקצרה של כמעט הכול", כך לפי אתר ההוצאה.

בכל פרק בספר מוצג איבר בגוף האדם, מספר איברים קשורים, או מערכת כלשהי (למשל מערכת החיסון). הפרקים אינם ארוכים ורובם קריאים מאוד. לפעמים בוחר ברייסון להציג שורה של עובדות ופרטי ידע, לפעמים סיפור אנושי או דמויות מהעבר (למשל חולים או רופאים מפורסמים), לפעמים מצטט שיחות עם מדענים או רופאים ולפעמים מצטט מחקרים או סטטיסטיקה. הספר כתוב כך שאין יותר מידי מאף אחד מהאלמנטים. רגע לפני שהסטטיסטיקה מתישה, הוא עובר למשהו אחר. רגע לפני שהסיפור האנושי מפסיק לעניין הוא עובר לנושא אחר. יש גם הומור וקלילות, אבל אף בדיחה לא ארוכה או מביכה מידי. הכל במידה. זאת אחת הסיבות, לדעתי, שהספר קריא. כמו כן, המדע שמוצג אף פעם לא מסובך יתר על המידה. עם זאת, הספר מציג עושר של מידע, במיוחד לקורא שאינו בקיא בנושאים.

באופן אישי אני לא טוב בלזכור פרטי טריוויה, למשל למנות את שמות ערי הבירה של מדינות העולם. ובכל זאת אני יודע, למשל, שגרינלנד היא חלק "מממלכת דנמרק". דווקא דנמרק. ואני גם יודע למה אני יודע את זה. כי קראתי את הספר "Miss Smilla's Feeling for Snow" או בעברית "חוש השלג של העלמה סמילה" וזה היה חלק חשוב ומתמשך בעלילה. כלומר, יש לי יכולת להכיל ולזכור הרבה ידע אבל כזה שנמצא בתוך הקשר רחב יותר, רגשי, רעיוני או שבא מתוך חשיפה מתמשכת.

למרות הניסיונות של הסופר, חלק גדול מהידע שנמסר בספר נחווה עבורי כרצף של עובדות טריוויה נטולות הקשר ולכן הסיכוי שאזכור אותם, באופן אישי, הוא לא גבוה. אבל דעתי היא שכוחו של הספר טמון במשהו אחר.

לדעתי הכוח העיקרי של הספר הזה, והסיבה העיקרית שהייתי ממליץ לאנשים לקרוא אותו, קשור בשלושה נושאים שעוברים כחוט השני בכל הפרקים של הספר: הפליאה אל מול המורכבות של גוף האדם, הפליאה אל מול המדע שחקר ועדיין חוקר אותו, ולא פחות חשוב, הצניעות אל מול כל מה שאנחנו עדיין לא יודעים. אני חושב שאלו דברים שיישארו עם הקורא הרבה אחרי שכל העובדות הרבות שכתובות בו ישכחו ממנו. זהו דבר חשוב לטעמי ועל כך שבחי לסופר. להרגשתי הוא מציג את המדע ואת הידע על גוף האדם בצורה מאוזנת ואחראית.

עוד כמה הערות קטנות:

אני קראתי את הגרסה הדיגיטלית של הספר. גרסה זאת לא הכילה תמונות או איורים. אינני יודע אם זה המצב גם בספר המודפס, או רק בגרסה הדיגיטלית, אבל לדעתי זהו חוסר מהותי. בפרק שעוסק בלבלב אני חושב שחשוב שיופיע איור של צורת האיבר ואיור שמראה אותו בתוך הקשר של גוף האדם. זה נכון לגבי רוב הפרקים.

בגרסה שאני קראתי מופיעות לא מעט שגיאות הקלדה (ביחס לספרים מתורגמים אחרים שקראתי). השגיאות לא מקשות על הקריאה או על הבנת הכתוב, אבל הרגשתי שהיה צורך בעוד סבב או שניים של גיהוץ הטקסט.

לגבי התרגום, ניכר שהמתרגם נאבק קשות במשחק בין המונחים הלועזיים והעבריים. מכיוון שאינני מומחה לתרגום לא אביע דעה נחרצת. מצד שני, המתרגם דאג להוסיף הערות חשובות לטקסט כדי לקשר אותו למתרחש בישראל (נתונים סטטיסטיים וכדומה) ולא הסתפק בתרגום מילולי בלבד ועל כך ראוי לשבח.

***

לסיכום:

הספר כתוב היטב, הוא קריא ומכיל הרבה מידע מעניין. אמנם הוא לא שינה את חיי ואת רוב המידע בו, לצערי, אשכח במהרה. למרות זאת, כן הייתי ממליץ עליו לאחרים, ובעיקר לבני נוער, כי לדעתי הוא מציג תמונה מאוזנת של מדע ממבט צד של מישהו שאינו מדען.

התעמלות פיזיקלית בשש מערכות – כמה מילים על שיווי משקל

אינטרו

לפני מספר חודשים התפרסם במוסף 7 ימים של ידיעות אחרונות ריאיון עם לינוי אשרם, המתעמלת זוכת מדליית הזהב באולימפיאדה, בעקבות הודעתה על פרישה. הריאיון היה מהסוג המפרגן ואפילו היה ניתן למצוא בו מספר תשובות מעניינות של לינוי לגבי מה זה אומר להיות ספורטאית מקצועית בטופ העולמי (אמ;לק – כאבים).

אבל את עיני צדה דווקא התמונה בעמוד הפתיחה של הראיון. בתמונה נראית לינוי נשענת על הידיים בתנוחה התעמלותית עם הראש למטה והרגליים למעלה.

לדבר על תמונה מבלי לראות אותה זה מוזר, אך כדי להימנע מבעיות של זכויות יוצרים החלטתי להציג איור של התמונה במקום. אין לי כשרון או יכולת באיור ולכן אזור הפנים יצא קצת קרינג' אז כדי לא להרגיז את לינוי אם היא אי פעם תראה את הרשימה הזאת (היא לא) בואו ונסכים שהאיור הוא של מתעמלת דמיונית בשם לינור בדרם והיא דומה לזאת שהופיעה בריאיון רק במקרה.

התמונה המאוירת:

איור 1: לינור בדרם בתנוחה התעמלותית

האם בזמן הצילום היא בתנועה? במנוחה? האם היא בשיווי משקל? למה בכלל אנחנו מתכוונים במונח "שיווי משקל"?

ברשימה זאת אנסה להסביר מהו שיווי משקל וגם למה זה מעניין.

שקול כוחות אפס

לפי המכניקה של ניוטון מה שמעניין אותנו זה הכוחות שפועלים על גוף. לשם פשטות נתחיל את הדיון בגוף נקודתי. אם סך הכוחות שפועלים על הגוף הוא אפס הגוף לא ישנה את תנועתו (כלומר ישמור על מהירותו). זהו החוק הראשון של ניוטון. אם סך הכוחות אינו אפס, הגוף ישנה את תנועתו (ישנה את מהירותו, ינוע בתאוצה). היחס בין שקול הכוחות (סך הכוחות) לבין התאוצה הוא מה שנקרא "מסה". זהו החוק השני של ניוטון.

הכוונה ב-"סך הכוחות", "חיבור הכוחות" או "שקול הכוחות" הוא במשהו שנקרא "חיבור וקטורי", מכיוון שלכוח בפיזיקה יש גם גודל (או עוצמה) אך גם כיוון. אם אני דוחף עגלה ימינה והתאום המרושע שלי דוחף גם ימינה, סך הכוחות על העגלה יהיה חיבור גדלי הכוחות ימינה (ראו איור 2). אם אני דוחף ימינה והתאום שמאלה, סך הכוחות יהיה חיסור של הגדלים. במקרה וכל אחד דוחף בעוצמה שונה ובכיוונים שונים יש לפתור תרגיל מורכב יותר בעל אופי אלגברי\גיאומטרי שהפרטים שלו לא חשובים לרשימה זאת.

איור 2: המחשת חיבור כוחות

גוף בשיווי משקל הוא גוף שסך הכוחות עליו הוא אפס. עד כדי כך פשוט. אז אם אתם יושבים עכשיו על כיסא ולא זזים, אתם בשיווי משקל. כדור הארץ מפעיל עליכם כוח כבידה מטה והכיסא מפעיל כוח מעלה. הכוחות שווים בגודלם והפוכים בכיוונם ולכן סך הכוחות אפס. ניתן להסיק זאת גם מתוך העובדה שאתם לא משנים את מהירותכם ומתוך החוק הראשון של ניוטון. גם אם אתם עומדים ללא תנועה, אתם בשיווי משקל וגם אם אתם נעים במהירות קבועה אתם בשיווי משקל. בזמן שינוי המהירות ממנוחה לתנועה לא הייתם בשיווי משקל.

אוקיי, אז מה מעניין בזה?

שקול כוחות משתנה במרחב

זה נהיה מעניין כאשר פרופיל הכוחות אינו קבוע במרחב. למה הכוונה? בואו ונבחן דוגמה פשוטה.

דמיינו גבעה בצורת חצי עיגול. נניח גוף בנקודה כלשהי על הגבעה שאותה נסמן באות A (ראו איור). נניח שאין חיכוך בין הגוף לגבעה. מה יקרה? הגוף יחל להחליק במורד הגבעה במהירות הולכת וגדלה כי פועלים עליו כוחות שסכומם אינו אפס. זאת תהיה התוצאה אם נניח את הגוף בכל נקודה על הגבעה מלבד הנקודה על קצה הגבעה שאותה נסמן באות B (ראו איור 3). בנקודה מיוחדת זאת סך הכוחות הוא במקרה אפס והגוף, לפחות תיאורטית, לא ינוע, אם כי כל דחיפה קטנה או אי שלמות בצורת הגבעה תדרדר אותו.

כעת דמיינו עמק בצורת חצי כדור. התוצאות של הניסוי הקודם יהיו זהות גם במקרה זה. כלומר בנקודות B בשני המקרים הגוף נמצא בשיווי משקל. האם שני המקרים זהים לחלוטין?

איור 3: גופים מחליקים על גבעה ועמק

חישבו מה יקרה אם נניח גוף בנקודה B על הגבעה ונסיט מעט את מיקומו. נחזור על הפעולה במקרה של העמק. התוצאות שונות באופן מהותי. הגוף על הגבעה ייפול מטה והגוף בעמק ינוע חזרה לכיוון נקודה B, יחלוף על פניה, יעלה מעט (לאותו הגובה), יעצור, ישנה כיוון, יחזור לכיוון נקודה B וחוזר חלילה. כלומר יחל לנוע בתנועה מחזורית סביב נקודת שיווי המשקל.

לשיווי המשקל בעמק אנחנו נקרא "שיווי משקל יציב" ולשיווי משקל בגבעה אנחנו נקרא "שיווי משקל לא יציב".

תיאור אנרגטי-אלגברי

אנרגיה פוטנציאלית כובדית של גוף היא אנרגיה הקשורה לכוח הכבידה שפועל על הגוף וליכולת של הגוף לבצע עבודה. למשל, למים שנמצאים בגובה גבוה יש יותר אנרגיה פוטנציאלית כובדית מלמים שנמצאים בגובה נמוך יותר. כאשר המים זורמים מנקודה גבוהה לנמוכה הם מאבדים אנרגיה פוטנציאלית כובדית שמומרת לאנרגיית מהירות והיא יכולה להיות מומרת גם לביצוע עבודה כגון סיבוב גלגל של טחנת קמח, או טורבינה בתחנת חשמל הידרואלקטרית.

נכתוב פונקציה מתמטית שמתארת את האנרגיה הפוטנציאלית הכובדית של הגוף בכל נקודה בעמק או בגבעה ונסכים שגוף שואף להיות במינימום אנרגיה פוטנציאלית (כוח הכבידה תמיד פועל למשוך את הגוף למטה ולהקטין את הגובה). כעת נוכל להפעיל טכניקות מתמטיות מוכרות (ואהובות? שנואות?) מהתיכון של חקירת פונקציות כדי ללמוד על אופי המערכת. נקודת מינימום של הפונקציה תסמן נקודת שיווי משקל יציב, בדיוק כמו ציור של תחתית עמק. נקודת מקסימום תסמן שיווי משקל לא יציב, בדיוק כמו ציור של גבעה. אם כך, נוכל לתאר באופן אלגברי כל מערכת ולנתח אותה לעומק על ידי ביצוע פעולות מתמטיות פשוטות, והשמחה של הפיזיקאים רבה.

מתקרבים חזרה ללינור – מטוטלת

נזכר בגוף בתחתית הגבעה שהוסת מנקודת שיווי המשקל ואז החל לנוע באופן מחזורי סביבה. הכרת נקודת שיווי המשקל חשובה כי סביבה מתרחשת התנועה. שימו לב שתנועת הגוף מזכירה תנועת מטוטלת. האם יש קשר בין המקרים? כן. כפי שהסברתי ברשימה קודמת על מושג מרכז המסה, לשם תיאור תנועה של גוף מורכב ניתן לחשב את נקודת מרכז המסה שלו. אז נפתור בעיה פשוטה יותר של הכוחות שפועלים על גוף נקודתי שאותו נמקם בנקודת מרכז המסה. אם כך, נוכל להמיר מטוטלת לגוף נקודתי תלוי על חוט חסר מסה. נקודת שיווי המשקל של בעיה זאת היא בדיוק בנקודה התחתונה במרכז התנועה של מרכז המסה וסביבה יתנדנד הגוף. אם נשחרר ממנוחה את הגוף בנקודה זאת המטוטלת לא תנוע. ראו את הגיף הבא, ושימו לב היכן סך הכוחות מתאפס – כאשר הכוחות משתווים בגודלם וכיוונם.

איור 4: גיף של תנועת מטוטלת מתמטית. הגיף לקוח מויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש Ruryk.

תיאור זה יעיל מאוד עבור אינספור מערכות דינמיות בפיזיקה, מתנועה אליפטית של כוכבי לכת הלכודים בשדה כבידה של כוכב ועד מצבים שונים ומשונים של חלקיקים באטום ויש עוד.

אאוטרו

ומה עם לינור? האם יכול להיות שהיא נמצאת בתנוחה סטטית בזמן הצילום? האם היא בתנועה? בשיווי משקל יציב? לא יציב?

קשה לדעת. הצילום מעולה במובן הזה, ואני רחוק מלהיות מומחה בתחום כלשהו שיעזור לי להכריע. אז ננחש ביחד.

לדעתי מרכז המסה של לינור נמצא מעל נקודת ציר הסיבוב שלה (כפות הידיים על הקרקע) ולכן לדעתי היא לא בשיווי משקל ולא תוכל להחזיק את עצמה בתנוחה זאת לאורך זמן. עם זאת השיער שלה נראה מוטה ישירות כלפי מטה, והתמונה אינה מטושטשת כמו תמונה של גוף בתנועה. לכן אני מסיק שכנראה היא בתנועה ממש איטית, אפילו על גבול העצירה הרגעית ברגע הצילום.

שימו לב שהגוף, ודאי זה של לינור, לא צריך לפתור משוואות כדי לדעת מה לעשות. הוא מוצא את הפתרון מאימון, חזרתיות וזיכרון שרירים.

מכונה מופלאה 🙂

תנו לי מספיק גלגלות ואזיז את העולם ממקומו

התוכנית "מהצד השני" עם גיא זוהר, שמשודרת בערוץ כאן11, עוסקת בד"כ בביקורת ובבדיקת עובדות של דברים שנאמרים או נכתבים בתקשורת. בתאריך 12.01.22 שודר אייטם קצר והיתולי למחצה שעסק במשהו שנאמר במהלך פרק של התוכנית "הישרדות". באחת המשימות בתכנית נדרשו שלושה משתתפים להחזיק את עצמם מליפול למים באמצעות משיכה בחבל שעובר דרך מערכת גלגלות. המנחה הכריז מספר פעמים בדרמטיות על הקושי הרב במשימה שנובע מכך שעל המתחרים להחזיק את משקל גופם באמצעות החבל. גיא זוהר העיר ותיקן שמכיוון שיש שימוש במערכת גלגלות המתחרים אינם מחזיקים את משקל גופם המלא, אלא פחות מכך. הנה קישור לקטע הקצר (אורכו 02:30 דקות):

גיא זוהר מסתמך על דעת חכמים, והוא כמובן צודק. אבל למה? איך גלגלת יכולה להפחית משקל שיש להרים?

ברשימה זאת אנסה להסביר, דרך דוגמה תיאורטית פשוטה יחסית, כיצד שימוש בגלגלת יכול להקל על הרמת משקלים וגם מדוע לא ניתן להאיר את כל רמת-גן באמצעות טריק זה.

***

רוב ההסבר שלי נשען על החוק הראשון של ניוטון ולכן ראשית אסביר מהו ואנסה לשכנע שהוא נכון.

מהו החוק הראשון של ניוטון?

קחו בבקשה כוס שקופה וגולת משחק. הניחו את הגולה על משטח חלק וישר (למשל שולחן) והניחו את הכוס הפוכה מעל הגולה. כעת הניעו את הכוס כך שהגולה תחל לנוע במעגלים לאורך הדופן של הכוס. מה יקרה אם נרים את הכוס בפתאומיות? אם אתם לא בטוחים, ממליץ לנסות לפני שקוראים הלאה.

האינטואיציה של חלק גדול מאיתנו אומרת שלאחר הרמת הכוס הגולה תמשיך לנוע במעגלים, אבל מה שיקרה הוא שהגולה תנוע בקו ישר בכיוון התנועה שבה היתה רגע לפני הרמת הכוס.

החוק הראשון של ניוטון אומר שגוף לא ישנה את תנועתו כל עוד סך הכוחות עליו הוא אפס. הכוונה ב-"ישנה את תנועתו" היא ישנה את גודל מהירותו או את כיוון מהירותו. הסיבה שהגולה משנה את כיוון תנועתה בכל רגע היא שדופן הכוס מפעילה עליה כוח בכל רגע. ברגע הרמת הכוס הכוח נעלם והגולה מתמידה בתנועה שבה היא נמצאת באותו הרגע – תנועה בקו ישר לכיוון כלשהו, ללא שינוי בגודל המהירות או בכיוונה.

מה הכוונה ב-"סך הכוחות עליו הוא אפס"?

נניח שפועלים על גוף שני כוחות שווים בגודלם, אחד ימינה ואחד שמאלה. התוצאה במשמעות של שינוי תנועת הגוף (בניגוד למשמעות של שינוי צורה) תהיה זהה למקרה שבו לא מופעל עליו כוח כלל. לכן נהוג להגיד שסכום הכוחות במקרה זה הוא אפס, כי הכוח השקול למקרה זה הוא לא להפעיל כוח כלל.

כיצד נשתמש בחוק הראשון כדי להסיק גדלים של כוחות במערכת מכנית?

בואו ונחשוב על מקרה שבו אנחנו דוחפים מקרר והוא לא זז. מדוע המקרר לא משנה את מהירותו למרות שאנחנו מפעילים עליו כוח? כי יש עוד כוח בכיוון הפוך – כוח החיכוך. ומה גודלו של כוח חיכוך זה? נחזור לחוק הראשון של ניוטון שגורס שאם סך הכוחות על גוף הוא אפס הוא לא ישנה את תנועתו. אם כך ניתן להסיק מהחוק שכוח החיכוך פועל בכיוון מנוגד לכיוון הכוח שאנחנו מפעילים וגודלו שווה לגודל הכוח שאנחנו מפעילים כך שסכום הכוחות על המקרר הוא אפס.

במקרה אחר נתלה מקרר על חבל המשתלשל מהתקרה. מהו הכוח שצריך לפעיל החבל על המקרר כדי שלא ייפול? על המקרר פועלים שני כוחות מנוגדים, כוח הכבידה כלפי מטה וכוח החבל כלפי מעלה. אם כך, כדי שהמקרר לא ישנה את תנועתו ולא ייפול החבל צריך להפעיל כוח ששווה בגודלו לכוח הכבידה כך שסכום הכוחות יהיה שווה אפס, לפי החוק הראשון של ניוטון. מכאן גם נובע שאם אנחנו רוצים להחזיק ביד את החבל כך שהמקרר תלוי באוויר נצטרך להפעיל כוח בגודל ששווה לגודלו של כוח הכבידה שפועל על המקרר, כלומר כוח ששווה למשקל שלו.

[הערת שוליים – אני מניח בכל הדוגמאות שלי שמתיחות החבל זהה בכל נקודה לאורך החבל. ההנחה לא תמיד נכונה ולכן הערכים שאני אחשב אינם מדויקים]

האם הכוח שנצטרך להפעיל כדי להחזיק מקרר תלוי באוויר ישתנה אם נחזיק את החבל שמחזיק את המקרר דרך גלגלת?

נתבונן בכוחות שפועלים על המקרר במקרה זה. כוח כבידה למטה וכוח חבל/יד למעלה. מכיוון שאני מניח שמתיחות החבל אינה משתנה לאורכו (ראו הערת שוליים קודמת) התשובה אינה משתנה. כדי להחזיק את המקרר תלוי באוויר דרך גלגלת עלי להפעיל כוח ששווה לערכו של כוח הכבידה שפועל על המקרר, כלומר משקל המקרר.

נבחן מקרה שבו המקרר תלוי מהגלגלת, אך מוחזק בשתי נקודות על ידי החבל.

נתבונן בכוחות שפועלים על המקרר במקרה זה. כוח כבידה כלפי מטה כמו בכל הדוגמאות הקודמות. אבל הפעם החבל מפעיל על המקרר כוח בשתי נקודות שונות, כלומר מפעיל עליו פעמיים את הכוח שבו הוא מתוח. אם כך, בדוגמה המוזרה הזאת, בשונה מהדוגמאות הקודמות, החבל מתוח פחות (חצי מכוח הכבידה אם נניח שמתיחות החבל שווה בכל נקודה). זאת מכיוון שפועל על המקרר כוח כבידה כלפי מטה ופעמיים כוח החבל כלפי מעלה. החוק הראשון טוען שסך הכוחות חייבים להיות מאוזנים ולכן כוח החבל או מתיחותו במקרה זה קטנה יותר ממשקל המקרר. שימו לב שהמתיחות בחבל שמחזיק את הגלגלת לתקרה הוא עדיין שווה בגודלו למלוא המשקל.

כעת כל החלקים של הפאזל כבר הוצגו. נותר רק למצוא קונפיגורציה שבה נוכל לנצל את הטריק של הפחתת המתיחות בחבל וגם להחזיק את המקרר בכוח היד דרך החבל. לשם כך אנחנו זקוקים לעוד גלגלת ולכוח המצאה. למזלי מישהו כבר חשב על זה מזמן.

נבחן את המקרה הבא שכולל שתי גלגלות:

במקרה זה, במקום שהמקרר יהיה תלוי על שני קצוות של אותו החבל, המקרר תלוי על גלגלת שהיא זאת שתלויה משני נקודות של חבל. הפעם כדי להבין את המערכת נצטרך לבחון את הכוחות על הגלגלת שממנה תלוי המקרר. כוח הכבידה מהמקרר פועל עליה כלפי מטה ובדומה למקרה הקודם החבל מפעיל עליה פעמיים כוח כלפי מעלה. מכיוון שנתון שהגלגלת לא משנה את תנועתה, מתיחות החבל תהיה קטנה ממשקל המקרר כמו במקרה הקודם. אם כך, כדי להחזיק את המקרר תלוי ללא תנועה יש לפעיל על ידי היד פחות ממשקלו. קסם!

חידה1: חשבו על דרך להפחית אף יותר את הכוח שנצטרך להפעיל על ידי הוספת עוד גלגלת.

למעשה ניתן להוסיף עוד ועוד גלגלות ולהפחית עוד ועוד את כמות הכוח שיש להפעיל כדי להחזיק את המקרר תלוי (אם כי, יש להתחשב גם בכוחות חיכוך שמתווספים שלא לקחנו בחשבון).

נקודה לסיום:

אם כל מה שהצגתי נכון, אפילו בקירוב, מדוע אנחנו לא עושים זאת כל הזמן? מדוע אנחנו לא מושכים מקררים דרך כמות גדולה של גלגלות?

קודם כל, אנחנו אכן עושים זאת, כפי שניתן לראות למשל במשימת ההישרדות בסרטון.

אבל שימו לב שבדוגמה האחרונה כדי להעלות את המקרר בחצי מטר יש למשוך את החבל במטר שלם. החלק של החבל מימין לגלגלת צריך להתקצר בחצי מטר, וגם החלק משמאל ולכן ביחד מטר אחד. כלומר שבהתקן הזה אנחנו חוסכים בכמות הכוח שיש להפעיל אבל מפסידים בכמות המרחק שלאורכו יש להפעיל את הכוח הזה.

כוח כפול המרחק שלאורכו הוא מופעל זה בדיוק ההגדרה הפיזיקלית של מונח העבודה. מכך ניתן לראות שלא ניתן לחסוך בכמות העבודה שיש לבצע כדי להרים מקרר לגובה, ולהגדיל את האנרגיה הפוטנציאלית הכובדית שלו, באמצעות הוספת עוד ועוד גלגלות. לכן לא נוכל להאיר את כל רמת-גן באמצעות רכישת כמות גדולה של גלגלות ומקררים. חבל.

נ.ב – חידה2: אדם יושב על מקרר ומחזיק אותו תלוי באמצעות חבל שעובר דרך גלגלת וקשור למקרר כפי שניתן לראות באיור. א) מה התנאי שהמקרר לא ייפול? ב) במידה והמקרר באמת לא נופל, כמה כוח צריך להפעיל האדם שיושב על המקרר?