הייזנברג ידע בוודאות

פתח דבר

יש האומרים שמכניקת הקוונטים היא מבחן. אם מישהו טוען שהוא מבין אותה זה סימן שהוא לא חשב עליה מספיק. זה מזכיר לי את הסצנה בסרט 'יהודי טוב' (A Serious Man) של האחים כהן שבה מנסה סטודנט כושל בקורס במכניקת הקוונטים להסביר למרצה שלמרות שנכשל בבחינה הוא דווקא כן הבין את הקורס, את החתול של שרדינגר ואת כל העסק. המרצה, בצר לו, נאלץ להסביר שאין בעצם מה להבין, החתול הוא רק אלגוריה (אם נדייק, ניסוי מחשבתי) וכל השאר זה מתמטיקה.

ממכניקת הקוונטים נגזרות לא מעט תובנות הנוגדות את האינטואיציה שלנו שמקורה בניסיון מחיי היום-יום. אחד הגורמים המרכזיים שיוצרים בלבול בנוגע למכניקת הקוונטים הוא עקרון אי-הוודאות של הייזנברג. המון ציטוטים בתרבות הפופולארית, מעט מאוד קשר לעניין עצמו.

אז במה מדובר בעצם? נלך מהקל אל הכבד.

תמונה 1: ורנר הייזנברג, המקור: ויקיפדיה, המקור למקור: Bundesarchiv, Bild183-R57262 / CC-BY-SA.

פשרות וקונוסים

לחימום אפתח באנלוגיה פשוטה שהיא קלה להבנה אך מייצרת פרשנות שגויה.

דמיינו שאתם רוצים למדוד את מהירות נסיעתה של מכונית. דרך פשוטה לעשות זאת היא לסמן בעזרת שני קונוסים קטע דרך, אותו תעבור המכונית בנסיעה. צופה ימדוד בעזרת שעון עצר את זמן הנסיעה. על ידי חלוקה של המרחק בין הקונוסים בזמן הנסיעה, ניתן לחשב בקלות את מהירות הנסיעה של המכונית. דיוק המדידה נתון על ידי דיוק מדידת המרחק בין הקונוסים ודיוק התגובה של הצופה בלחיצה על שעון העצר (דיוק מדידת הזמן). ניתן לשפר את דיוק מדידת המהירות בקלות על ידי הגדלת המרחק בין הקונוסים. שגיאות מדידת המרחק והזמן לא ישתנו אך יקטנו באופן יחסי לערך המדידה.

שאלה: היכן נמצאת המכונית בזמן מדידת המהירות? התשובה: נוסעת בין הקונוסים. ככל שהקונוסים יהיו קרובים זה לזה, כך נדע את המיקום בדיוק טוב יותר. אבל נזכר שקודם אמרנו שככל שהקונוסים קרובים, דיוק מדידת המהירות נמוך יותר (סיכום האנלוגיה באיור 2).

מה שהייזנברג הראה הוא שישנה הגבלה יסודית על הדיוק שבו יכול הצופה לדעת בו זמנית את מיקומו ואת מהירותו של חלקיק. הכפל של אי-הוודאות במקום באי-הוודאות במהירות תמיד יהיה גדול מגודל קבוע מסוים הקשור לקבוע פלאנק.

—————————————————————————

* עקרון אי הוודאות אינו עוסק במהירות אלא בתנע שהוא גודל פיזיקלי המוגדר על ידי הכפל של המהירות במסה.
** מהאנלוגיה הזאת משתמע שהבעיה קשורה במדידה, אך לא כך הדבר. עקרון אי-הוודאות הוא תכונה בסיסית של המערכת הקוונטית ולא בעיית מדידה, אך בהתחשב בעובדה שהפרשנות (השגויה) של אי-וודאות כבעיית מדידה נוסחה על ידי הייזנברג עצמו, אז אנחנו בסדר.

—————————————————————————

איור 2: מכונית, קונוסים ויחס אי-הוודאות בין מדידת המהירות והמיקום.

מורידים את הכפפות – מתמטיקה ללא מתמטיקה

כיצד מתבטאת אי-הוודאות בתיאור חלקיק קוונטי?

בתורת הקוונטים התנהגות החלקיקים מתוארת באופן מתמטי על ידי פונקציות הנקראות 'פונקציות-הגל'. פונקציות אלה הן בעלות אופי גלי, כפי שמרמז שמן, וערכן בנקודה מסוימת מהווה מדד להסתברות של החלקיק להימצא באותו מקום.

כדי להעריך את התנע של החלקיק, נשרטט את צורתה של פונקצית-הגל שלו בזמן מסוים. קצב השינוי שלה על ציר X (כמה מחזורים היא משלימה ביחידת אורך) הוא מדד לתנע.

נדמיין שני חלקיקים. חלקיק מספר 1 מתואר על ידי פונקצית-הגל באיור 3א'. נוכל להבחין שהתמונה מחזורית לחלוטין ביחס לציר X. מכאן שהתנע של החלקיק ידוע במדויק. לעומת זאת לא ברור היכן החלקיק נמצא. ישנן אינסוף נקודות מקסימום זהות (מחוברות על ידי הקו הירוק הנקרא מעטפת) שמעידות על הסתברות שווה. כלומר, אי-הוודאות בתנע היא אפס, כי אנו יודעים את ערכו, ואי-הוודאות במקום אינסופית, מכיוון שאין לנו שום מידע על מיקומו.

איור 3: חבילות גל.

כעת, נתבונן בפונקצית-הגל של חלקיק מספר 2 באיור 3ב' ונעקוב אחרי המעטפת הירוקה. ניתן לראות שישנן נקודות מקסימום גבוהות מאחרות המרוכזות באזור מוגדר, שם סביר יהיה למצוא את החלקיק (בערך בין 1 ל 1-). אך מהו התנע? למרות שהתנודות הפנימיות בעלות מחזור קבוע, העובדה שערכי המקסימום משתנים ממקום למקום אומרת שהתנע כבר אינו מוגדר באופן חד-ערכי. ניתן להראות בשיטות מתמטיות שפונקצית גל זו מורכבת מחיבור גלים רבים הדומים לזה המתאר את חלקיק 1 והנבדלים בתנע ובעוצמה. מכאן שהתנע במקרה זה יהיה נתון על ידי התפלגות של ערכים.

מההבדל בין שני החלקיקים ניתן לראות שאם אנחנו יודעים את התנע (אי-וודאות מינימלית), אין אנו יודעים דבר על המקום (אי-וודאות מקסימלית). כמו כן, אם יש לנו מידע על המקום 'נשלם' באי וודאות בתנע. התיאור המתמטי של תובנה זאת הוא עקרון אי-הוודאות של הייזנברג כפי שהוא רשום בקצה העליון של איור 2.

משתי הדוגמאות האלה (מכונית וחלקיקים) ניתן להבין שעיקרון אי-הוודאות של הייזנברג כלל אינו מתייחס לוודאות או להסתברות להתרחשות מאורעות כלשהם, ולכן שמו מטעה. למעשה במאמרים המקוריים השתמש הייזנברג בשם שקשור לחוסר יכולת לקבוע ולא לחוסר וודאות (indeterminacy ולא uncertainty).

העיקרון דן במה שניתן לדעת בעולם הפיזיקלי הקוונטי. כלומר, נוכל למצוא בדיוק רב את מהירותו של חלקיק וגם את מיקומו, אך לא בו-זמנית.

לסיכום

אז מה אנו צריכים לעשות עם זה בחיי היום יום שלנו? לא הרבה. עקרון אי-הוודאות בא לידי ביטוי רק בבעיות מסדרי גודל קטנים כגון אטומים, אלקטרונים, פוטונים וכדומה. כלומר במקרה של המכונית, נוכל למדוד את מיקומה ומהירותה בו-זמנית בדיוק רב. כמו כן, כדאי לזכור שגם אם ישנה עדיין התלבטות לגבי הפרשנות של מכניקת הקוונטים, התורה היא עדיין אחת התיאוריות המדעיות המוצלחת ביותר בהיסטוריה מבחינת כוח חיזוי.

——————————————————————

*** המכונית והקונוסים שאולים במידה זאת או אחרת מהספר: "Voodoo science – Robert Park".
**** הרשימה פורסמה במקור לפני שנתיים-שלוש באתר שפינוזה זצ"ל, ואני מפרסם אותה כאן שוב לאחר עריכה.