העולם דרך עיניהם של מהנדסי חשמל (מטריצות, פרק הסיום) – על ייצוג במרחב המצב

זהו. הגיע רגע האמת.

הרשימה הזאת היא למעשה הסיבה שבגינה התחלתי לכתוב על מטריצות.

הרשימה הבאה, כמו זאת שקדמה לה, עוסקת בטכניקה מתמטית ולכן דוברת מתמטיקה. הפעם התרתי כל רסן בעניין. ראו הוזהרתם!

***

ברשימה הקודמת הצגתי את בעיית האוסילטור ההרמוני, התנודה המחזורית הבסיסית, והראיתי כיצד ניתן לפרק את המשוואה שמתארת אותה, משוואה דיפרנציאלית מסדר שני, לשתי משוואות מסדר ראשון. את שתי המשוואות ניתן לארוז בתוך מטריצה ולתת למחשב לפתור. כלומר נוכל למצוא באמצעות המחשב את המקום ואת המהירות של הגוף בכל רגע.
[הערת שוליים: זאת לא הדרך היחידה, ואולי אפילו לא היעילה ביותר לפתור את הבעיה באמצעות מחשב, אבל זה פחות מעניין אותי כרגע מכיוון שאני אני חותר למקום אחר.]

בעיית האוסילטור ההרמוני יכולה לייצג תנודה של מטוטלת, תנודה של גוף מחובר לקפיץ, תנועה של נדנדה, מעגלי תהודה בחשמל ועוד.

בואו נתעכב לרגע על הנדנדה. ילדה יושבת על כיסא הנדנדה ובכל פעם שהיא מתקרבת לאבא הוא נותן לה דחיפה קלה. הפעולה הזאת של הדחיפה אינה מתוארת במשוואות שעסקתי בהן פעם קודמת. כל הכוחות שפעלו על הגוף היו כוחות שקשורים למשתנים הבסיסיים של המערכת (מקום ומהירות הגוף). דחיפותיו של האב מהוות מקור כוח חיצוני שמופעל על הגוף ואינו תלוי במערכת עצמה.

עבור בעיות אלה (בעגה: אוסילטור מאולץ) נקבל משוואה אחרת שיש בה איבר מסוג חדש שנקרא לו איבר מקור.

הנה המשוואה המקורית:

L הוא המרחק של הגוף מנקודת שיווי משקל, L עם שתי נקודות מעליו מסמל נגזרת שניה בזמן של המרחק מנקודת שיווי משקל.

והנה המשוואה המעודכנת:

F הכוח החיצוני המופעל על הגוף.

הפתרון, אם כך, יהיה תלוי גם בתכונות הבעיה המקורית (בעגה: הבעיה ההומוגנית) וגם בתכונות הכוח החיצוני.

אחד הדברים החדשים והמעניינים שמופיעים במערכות כאלה הוא תופעת התהודה. הפתרון של המערכת תלוי בתדירות הכוח המנדנד. אם האב מתאם את הרגעים שבהם הוא דוחף את הילדה לתדירות מאוד מסוימת, הגובה שתגיע אליו הילדה יגדל מאוד אפילו ללא הגברת כוח הדחיפה. כלומר, ישנם תדרי נדנוד שבהם המערכת, במובן מסוים, יוצאת מכלל שליטה. בתדרים נמוכים וגבוהים מתדרי התהודה פעולת הדחיפה משפיעה באופן מתון או אפילו מפריעה לתנועה. לעומת זאת, בתדר התהודה המערכת משתוללת והילדה עפה מהנדנדה, לא עלינו. ניתן לחשב את תדרי התהודה על ידי פתרון מתמטי של המערכת או לגלות אותם על ידי מדידה.

אבל,

ברשימה זאת אני לא רוצה לעסוק בפתרון המערכת הספציפית הזאת אלא דווקא בדרכים מיוחדות לייצג משפחה שלמה של בעיות דומות. מה שמקשר בין הבעיות הוא שהן מתארות מערכת שלתוכה מוזן אות כניסה (למשל הכוח החיצוני שמופעל על הגוף) ונמדד אות יציאה (למשל מיקום הגוף בכל רגע ביחס לנקודת שיווי משקל).

ככה מהנדסי חשמל רואים את העולם.

***

בואו ונניח שניתן לתאר את המערכת על ידי שתי המשוואות הבאות:

x הוא וקטור משתני המצב, u המקור, כלומר הכוח החיצוני, x עם נקודה למעלה מסמל נגזרת אחת בזמן של וקטור משתני המצב. y מסמל את אות היציאה של המערכת, למשל באוסילטור את המרחק מנקודת שיווי המשקל בכל רגע. A,B,C,D הם קבועים שאינם תלויים בזמן (בעגה מערכת כזאת נקראת LTI, כלומר linear-time-invariant).

המשוואה העליונה מתארת את הפיזיקה של משתני המצב שבחרנו. למשל במקרה של אוסילטור הרמוני הראיתי בסוף הרשימה הקודמת שמשתני העזר שנבחרו היו המקום והמהירות של הגוף. זה לא מקרי שמשתני המצב הם נגזרות אחד של השני.

המשוואה התחתונה מגדירה את אות היציאה שהחלטנו למדוד.

כעת בואו ונראה כיצד ניתן לתרגם למשל את בעיית האוסילטור לתוך הפורמולציה הזאת.

נרשום שוב את המשוואה כולל איבר המקור:

סימנתי את איבר המקור F באות u מטעמי נוחות והרגל.

משתני העזר שלי הם:

לכן שתי המשוואות שמייצגות אותן הן:

נסגור את שתי המשוואות בכתב מטריצי:

נניח שאות היציאה שמעניין אותנו הוא מרחק הגוף מנקודת שיווי משקל בכל רגע. אם כך אנחנו מעוניינים רק באיבר הראשון בווקטור המצב. נתרגם לכתב מטריצי:

ולכן המערכת מתוארת על ידי:

כעת כל המידע על אופייה של המערכת גלום במקדמים שלה A,B,C,D שהם וקטורים ומטריצות. אני אנסה להסביר מדוע דרך דוגמה.

***

התמרת פורייה היא אופרציה מתמטית שמפרקת פונקציה לרכיבי התדר הבסיסיים שמרכיבים אותה. לדוגמה, צג האקולייזר במערכת הסטריאו שלכם מראה בכל רגע מה העוצמה של כל צליל שצריך לחבר כדי לקבל את המוזיקה שאתם שומעים. אם יש למשל הרבה בס אז עוצמת התדרים הנמוכים תהיה גבוהה. הסברתי בעבר על הנושא ברשימה על מוזיקה מרובעת.

אחת התכונות המוזרות של התמרת פורייה היא שאם מפעילים אותה על משתנה תחת נגזרת מקבלים את המשתנה ללא נגזרת כפול קבוע הקשור לתדר. כלומר ניתן להפעיל את ההתמרה על משוואה דיפרנציאלית, להפוך אותה לאלגברית, לפתור אותה בקלות, ואז לנסות להמיר חזרה לתחום הזמן (שזה לא ממש קל). כל עוד המשתנים תחת ההתמרה אנחנו נקרא להם הייצוג בתחום התדר, כי הפונקציות הופכות הרי לפירוק התדרים ולכן הן פונקציות של התדר ולא של הזמן.

בטיפול במערכות אלה נהוג להשתמש בהתמרה שנקראת 'התמרת לפלאס' במקום בהתמרת פורייה. קצרה היריעה מלעמוד על ההבדלים ביניהן, אבל לענייננו זה לא ישנה דבר.

נפעיל את התמרת לפלאס על הייצוג הכללי של מערכת המצב:

נרשום את כל המשתנים באות גדולה כדי לסמן שהם כעת פונקציות של התדר ולא של הזמן. הקבוע s הוא הקבוע שיצא מהנגזרת והוא תלוי בתדר.

קיבלנו שתי משוואות אלגבריות, כאשר אנחנו זוכרים שהמקדמים A,B,C,D הם מטריצות. נבודד את X מתוך המשוואה הראשונה באמצעות אלגברה של מטריצות ונציב אותו במשוואה השניה:

I היא מטריצת היחידה.

קיבלנו ביטוי בתחום התדר עבור מוצא המערכת Y בהינתן המקור U. אם נחלק ביניהם נקבל ביטוי שנקרא פונקצית התמסורת (transfer function) של המערכת, כלומר מה יוצא ביחס למה שנכנס, הכל כתלות בתדר הנדנוד.

בואו ונתרגם את התוצאה למקרה של אוסילטור הרמוני פשוט ללא חיכוך על ידי הצבת המקדמים הרלוונטיים שקיבלנו קודם:

ניתן לראות שקיבלנו במכנה פולינום עבור המשתנה s. נזכר שזה בדיוק הפולינום האופייני של המערכת ששורשיו מכתיבים את התנהגות המערכת כפי שראינו ברשימה הקודמת. אלה נקראים הקטבים של המערכת והם קובעים את התנהגותה. קיבלנו אותם מתוך המטריצה A (בעגה: מצאנו את הערכים העצמיים שלה). למעשה מרגע שניסחנו את הייצוג, יכולנו לגלות חלק חשוב מהתנהגות המערכת מתוך ניתוח המטריצה עצמה, ללא פתרון מלא שלה. למשל, אם אחד מקטבי המערכת ממשי וחיובי אז הפתרון בזמן יהיה תלוי בפונקציה אקספוננציאלית מתפוצצת ולכן המערכת אינה יציבה בזמן.

ישנן עוד תכונות רבות וחשובות שניתן לראות ישירות מתוך הייצוג, ללא פתרון מלא בזמן. ברגע שיש לנו את המקדמים A,B,C,D המערכת הפיזיקלית חשופה בפנינו. חשופה גם לאפיון אך גם לשליטה. למשל את בעיית היציבות שהזכרתי ניתן לתקן על ידי חיבור משוב במערכת, כלומר חיבור אות היציאה לתוך הכניסה, שישנה את הקטבים של המערכת. כמה הגבר יש לקבוע עבור אות המשוב כדי לייצב את המערכת? קל לקבוע בחישוב מתוך הייצוג.

***

ייצוג בעיות פיזיקליות כמערכת של כניסות ויציאות הוא כלי חזק של תכנון ושליטה בידי המהנדס. הוא נקרא 'ייצוג במרחב המצב' (state space representation) והוא חלק חשוב מתוך תורת הבקרה. כל החישוב האמיתי נעשה על גבי המחשב, לתוכו אנחנו מזינים את המטריצות שמייצגות את המערכת, ומבצעים את האפיון והתכנון של המערכת באמצעות כלים ממוחשבים מתוחכמים שנכתבו למטרות אלה.

זהו.

מטריצה אובר-אנד-אאוט.

גדי כבר היה שם, אבל מזווית מעט שונה – על פתרון משוואת הפרשים

נפתח הפעם בשאלה: מהו ערכו של האיבר ה-152 בסדרת פיבונצ'י?

***

סדרת פיבונצ'י היא סדרת מספרים שבה כל איבר הוא סכום של שני המספרים שקדמו לו. שני המספרים הראשונים בסדרה נקבעים כאפס ואחד ומשם אפשר להמשיך ולחבר את כל השאר.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…

כדי לבצע בסדרה 'טיפול שורש' נצמיד לכל איבר בה מספר סידורי המצביע על מקומו בטור. נסמן את המספר באות n, כפי שניתן לראות בטבלה הבאה:

אם האות a מסמלת איבר כלשהו בטור אז נוכל לרשום למשל :

וכך הלאה.

לפי רישום זה ניתן לכתוב את החוק שמגדיר את הסדרה בצורה הבאה:

כלומר, כל איבר בטור הוא סכום של שני האיברים שבאו לפניו.

וכעת חזרה שאלה: מהו ערכו של האיבר ה-152? כיצד תתמודדו עם שאלה זאת? האם יש צורך לחשב את כל המספרים בכל המקומות עד למקום הרצוי?

ניתן לכתוב תוכנת מחשב שתחשב את כל המספרים אבל ככל שאדרוש מספר גדול יותר כך יתארך ויסתבך החישוב. מי שעשה קורס בסיסי בתכנות ודאי יוסיף שאפשר ליעל את החישוב באופן משמעותי על ידי פתרון רקורסיבי. אבל ישנו פתרון קל הרבה יותר. (ראו תגובות) למעשה קיימת נוסחה סגורה עבור האיבר הכללי של סדרת פיבונצ'י.

קשה להאמין, אבל הנוסחה הזאת תמיד עובדת. אני ממליץ להציב כמה מספרים מהטבלה ולבדוק. כמו כן, קשה להאמין שעבור כל מספר שלם n הנוסחה מרובת השברים, החזקות והשורשים תניב תמיד מספר שלם.

מהיכן נולדה הנוסחה? האם היא קסם חד פעמי? האם מאחוריה עומד משהו כללי יותר?

***

[הערת שוליים: החלק הזה מכיל מעט מתמטיקה. למיטב הבנתי, כל מי שסיים תיכון יכול להבין מה כתוב אם הוא מעוניין בכך. ניתן כמובן גם לדלג לחלק הבא]

כדי לנסות ולהבין כיצד נולדה הנוסחה נחזור לקשר שמגדיר את כל הסדרה:

בואו ונניח שמישהו גילה לנו שהפתרון של המשוואה הוא מהצורה של שבר כלשהו בחזקת n:

נציב את הצורה הכללית הזאת במשוואה ונקבל:

כעת נחלק ב-rⁿ את המשוואה ונקבל משוואה ריבועית פשוטה:

למשוואה הריבועית שני פתרונות (שורשים) שאותם נסמן ב- r₁ ו-r₂ (הציצו בנוסחה למעלה ושימו לב שאחד השורשים הוא יחס הזהב). ניתן להוכיח שבמקרה זה הפתרון של המשוואה המקורית שאותה רצינו לפתור הוא שילוב של שני השורשים בצורה הבאה:

כאשר A ו-B הם קבועים שאותם נמצא על ידי הצבת תנאי ההתחלה של הטור כלומר נדרוש A ו-B כך שיתקיים:

ונקבל את הפתרון הכללי לסדרת פיבונצ'י שצוטט בחלק הקודם.

שימו לב שיכולנו לבחור תנאי התחלה שונים ולקבל פתרון שונה, אך לא באופן מהותי. השינוי היה רק בקבועים A ו-B.

ניתן לחשב ערכים של סדרת פיבונצ'י גם עבור n-ים שליליים, כלומר הסדרה גם הולכת אחורה. זה כמובן לא מפתיע מכיוון שאברי הטור האלה עדיין יקיימו את החוק הבסיסי של חיבור האיברים ואת הדרישה על תנאי ההתחלה.

***

הפתרון שקיבלנו אינו מקרי. המשוואה המקורית מכונה בעגה 'משוואת הפרשים' וצורת הפתרון שהוצגה היא צורה כללית שעובדת עבור כל משוואה מהסוג הזה (תחת מגבלות כאלה ואחרות).

קוראים מנוסים במתמטיקה אולי זיהו שדרך הפתרון זהה לפתרון משוואות דיפרנציאליות מסוימות. ניחוש פתרון, פולינום אופייני וכולי. למעשה משוואות הפרשים במרחב בדיד (דיסקרטי, ההפך מרציף) הן שקולות למשוואות דיפרנציאליות במרחב רציף. ההשהיה בזמן שקולה לנגזרת.

למה זה טוב?

נניח שאני מנהל דוכן לימונדה. בכל יום בבוקר אני צריך להחליט מראש כמה לימונים לקנות וכמה כוסות להכין. אחת הדרכים להתמודד עם האתגר היא לבסס את ההחלטה שלי בכל בוקר על סמך ממוצע המכירות של הימים האחרונים, מזג האוויר באותו היום וכמות המזומנים שבידי. נוכל לכתוב משוואת הפרשים (מסובכת הרבה יותר מזו של פיבונצ'י) שתתאר את תהליך קבלת ההחלטה.

המשוואה תתאר בעצם את פעולתו של בקר ממוחשב שצריך לקבל החלטות בכל סיבוב פעולה על סמך אותות כניסה (למשל מספר מזומנים) ועל סמך אותות יציאה קודמים (למשל מספרי מכירות קודמים). בעזרת ניסוח המשוואה המתארת אותו ניתן לחקור את פעולתו ולתכנן אותו באופן מיטבי בהתאם לדרישות על ביצועיו. ישנו תחום שלם בהנדסת חשמל שמסתמך על המתמטיקה הזאת והוא שייך לתורת הבקרה.

משוואות הפרשים (וגם משוואות דיפרנציאליות) יכולות לשמש אותנו גם ביצירת מודלים של ריבוי אוכלוסיות, למשל בגידול חיידקים וכדומה.

בגלל שמשוואות הפרשים כל כך שימושיות עבורנו ניתן לקרוא עליהן עוד בספרים העוסקים במתמטיקה שימושית, או בתורת הבקרה.

ניתן גם לקרא תיאור מתמטי מפורט יותר ופורמלי הרבה יותר בבלוג 'לא מדויק'. ד"ש לגדי.

על פידבקים, בעיקר שליליים, מעשה ידי אדם

הפעם אני רוצה להציג את אחד הכלים הבסיסיים והמעניינים ביותר שאנחנו, בני האדם, המצאנו רק כדי לשוב ולמצוא אותם בטבע: הפידבק, או משוב בעברית.

פידבק הוא כלי שבו נעשה שימוש במספר רב של תחומים מדעיים. ברשימה זאת אני אתמקד בעיקר בשימוש באלקטרוניקה ובבקרת מערכות. בתחום המערכות פידבק הוא מצב שבו אות היציאה מוזן חזרה אל אות הכניסה. התוצאה, אם כך, היא שאות היציאה משפיע על אות היציאה, מכיוון שאות היציאה תלוי באות הכניסה שתלוי באות היציאה שתלוי באות הכניסה שבקע מביצה שהטילה תרנגולת שבגרה מאפרוח שבקע מביצה שהטילה תרנגולת…איך נוכל לדעת מה אות היציאה?

לפני שאתיר את התסבוכת אבדיל בין שני סוגי פידבק: חיובי ושלילי. אם אות היציאה החוזר מופחת מאות הכניסה זהו משוב שלילי ואם ערכו מתווסף לאות הכניסה זהו משוב חיובי. מעבר לעניין הטכני של פלוס או מינוס, ישנה חשיבות רבה לאבחנה בין שני סוגי לולאות המשוב מכיוון שהתוצאות והשימושים שלהם שונים בתכלית. ברשימה הפעם אתמקד בפידבק שלילי.

איור 1: לולאת המשוב הפשוטה ביותר שניתן לתאר.

חזרה לעניין אות היציאה, נתבונן במערכת המשוב השלילי הפשוטה ביותר שניתן לדמיין (ראו איור 1, למעלה). אות בשם V_in נכנס למגבר ויוצא כשערכו גדול פי 9. כעת נסגור לולאת משוב שלילית בכך שנחבר בסימן שלילי את אות היציאה, V_out, לאות הכניסה. המשמעות היא שאות הכניסה במצב זה כבר אינו V_in אלא V_in-V_out, ואות היציאה שווה לביטוי האחרון כפול 9. אם נפתור את המשוואה הפשוטה עבור V_out נקבל שכעת הוא שווה 0.9V_in (ראו איור 1, למטה)_.

מסקנה אחת מהתרגיל הפשוט היא שאין בעיה למצוא את אות היציאה של מעגלי משוב. מסקנה שניה היא שחיבור המשוב השלילי הנמיך באופן משמעותי את ההגבר של המעגל. אז מה יוצא לנו מכל המשוב הזה?

אני אתמקד בשתי דוגמאות למה אפשר לעשות עם משוב שלילי.

רגולציה

נניח שיש לנו מתכון לחמין שדורש בישול ארוך ואיטי בטמפרטורה 60 מעלות. סטייה של יותר מ-5 מעלות בטמפרטורת הבישול למשך יותר מ-10 דקות תפגע בטעמו של התבשיל (גילוי נאות: אני לא מבין דבר וחצי דבר בבישול). דרך אחת לעמוד באתגר היא לשים מדחום בסיר, ולחמם אותו לטמפרטורה הרצויה. לאחר שהגיע התבשיל לטמפרטורת היעד נכבה את החימום, ובכל פעם שהטמפרטורה תרד ב-5 מעלות נדליק אותו חזרה, וחוזר חלילה. זוהי פעולתו של תרמוסטט.

תמונה 2: למקרה שאתם לא יודעים, כך נראה חמין. המקור לתמונה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על יד המשתמש Gilabrand.

ישנה דרך אחרת שאם מבצעים אותה נכון ניתן להגיע לרמת דיוק גבוהה יותר ולתנודות קטנות יותר בטמפרטורה. הפעם נשאיר את החימום דולק כל הזמן אבל לא בעוצמה המקסימלית. את עוצמת החימום נכוון בכל כמה שניות לפי ההפרש בין טמפרטורת היעד, 60 מעלות, לבין הטמפרטורה הנוכחית. ככל שההפרש גבוה יותר נקבע את עוצמת חימום להיות חזקה יותר. מה שקורה כאן באופן כללי הוא שיציאה גבוהה מנמיכה את הכניסה ולכן גם את היציאה ולהיפך, כך שנוצר כאן אפקט של רגולציה של אות היציאה על עצמו. יש להניח שבשיטה השניה הזמן שלוקח להגיע לטמפרטורת היעד בפעם הראשונה ארוך יותר, אך בתמורה נקבל יציבות גבוהה יותר סביב הטמפרטורה הרצויה.

במקום להישאר ערים כל הלילה ניתן להמיר את קריאת המדחום למתח חשמלי (אות יציאה), אותו נפחית ממתח קבוע שמסמל את טמפרטורת היעד ואת מתח ההפרש נזין חזרה למערכת דרך מעגל שיתרגם אותו לסקלה שקובעת את עוצמת החימום (אות כניסה). מה שמתקבל הוא מעגל משוב בקרה קלאסי (ראו איור 3).

ניתן לשפר עוד את מערכת הבקרה על ידי הוספה של לולאות משוב מסוגים שונים. מי שמעוניין מוזמן לקרא על מנגנוני בקרה מסוג PID (המשוב שהוצג כאן הוא ה-'P').

איור 3: מעגל בקרת טמפרטורה לבישול חמין באמצעות לולאת משוב שלילי.

ייצוב ואופטימיזציה

כל מערכת פיזיקלית דינמית כגון זרימת חום, דיפוזיה של חלקיקים או אפילו מנוע ניתנת לתיאור על ידי משוואה דיפרנציאלית שהיא משוואה שמופיעות בה נגזרות של הפונקציה שאותה אנחנו מחפשים. נוכל להציב במשוואה אות כניסה ולשאול כיצד המערכת מגיבה. לדוגמה, נוכל לחמם קצה אחד של מוט מתכת (אות כניסה) ולשאול מה הטמפרטורה בקצהו השני בזמנים שונים (אות היציאה). המוט כאן הוא 'קופסא שחורה' שהתנהגות החום והטמפרטורה בה מאופיינת על ידי המשוואה (המערכת).

נניח שקנינו רכיב אלקטרוני כלשהו וגילינו שהביצועים שלו אינם עומדים בדרישות שלנו בפרמטרים מסוימים. אפשרות אחת היא לזרוק אותו לפח ולקנות אחד מתאים יותר. אפשרות שנייה היא להשתמש בטכניקה בסיסית בתורת הבקרה של מערכות ולחבר לו משוב שלילי. המשוב לא רק משנה את אות היציאה כפי שראינו בדוגמה שהופיעה בתחילת הרשימה, אלא משנה את אופייה של המערכת. כלומר, המשוואה הדיפרנציאלית שמתארת את המערכת כולל המשוב, ונקראת 'מערכת בחוג סגור', שונה מהמשוואה המתארת את הרכיב ללא המשוב. על ידי בחירה נבונה של הגבר המשוב ניתן לכוון את המערכת בחוג הסגור כך שתעמוד בדרישות שלנו. כל זאת מבלי לשנות את הרכיב הבסיסי שאיתו התחלנו.

***

לסיכום, משוב שלילי הוא כלי יעיל בידי המהנדס. בעזרת שימוש נכון ניתן לגרום למערכת לשמר את אות היציאה שלה בתחום ערכים רצוי, וגם לשדרג את פעולתה ללא צורך לשנות אותה מבפנים.

אבל למה שמישהו ירצה להשתמש במשוב חיובי? מה נוכל להרוויח מלבד פיצוץ המערכת? על כך בפעם הבאה.

(כן, כן, קְלִיף-הֶנְגֶר, ולא מהמוצלחים שבהם. מה הלאה? הדחות?!)