מכיל כל כך הרבה טעויות שזה חייב להיות נכון – קצת על שגיאות מדידה

כל המדידות שגויות. כולן.

וזה לא דבר רע. למעשה מה שהופך את המדע המדויק ל-*מדע מדויק* היא דווקא היכולת להגדיר באופן מדויק את תחום השגיאה, בין אם בחישוב תיאורטי או במדידה במעבדה.

המשפט הראשון כה בסיסי וחזק כך שאפילו הוא בעצמו מכיל חוסר דיוק. המילה "שגיאה" מכילה בתוכה פנים רבות שאינן מיתרגמות היטב למילה שהתקבעה לשימוש בעברית ודורשות הקשר לשם הבנה. ברשימה זאת אנסה לעשות מעט סדר במושג ובצורה שהוא בא לידי ביטוי בניסויים.

אי-וודאות ולא שגיאה

לקחתי סרגל פשוט וללא סיבה חשובה מדדתי את רוחב הארנק שלי (ראו תמונה). שמתי את האפס של הסרגל בצד שמאל של הארנק וצדו הימני מקביל לסימון בין 95 ל-96 מילימטר על גבי הסרגל. אני רושם במחברת 96 מילימטר כי בעיניים שלי הסימון הזה יותר קרוב לקצה הארנק אבל אני לוקח בחשבון שכל ערך בטווח של כמילימטר אחד, המרחק בין שני סימונים עוקבים על גבי הסרגל, יכול להיות התשובה הנכונה. כלומר, אופי כלי המדידה שלי, במקרה זה הסרגל, מכתיב אי וודאות של כמילימטר אחד סביב כל מדידה. לכן הכוונה במקרה זה במונח "שגיאת המדידה היא 1 מילימטר" היא שבמדידה בסרגל ישנה אי-וודאות של 1 מילימטר בערך הנמדד. קרי, uncertainty ולא error. וזה נכון לכל מכשיר מדידה, מדויק ככל שיהיה.

מה יקרה אם אבצע את מדידת הרוחב של הארנק במהלך נסיעה באוטובוס מיטלטל? שגיאת הסרגל המובנית היא עדיין כשגיאת השֶׁנֶת הקטנה ביותר, אבל מכיוון שקשה לי לקרוא את הערך שמשתנה בכל רגע, אבחר להגדיל את הערכת אי-הוודאות מ-1 מילימטר ל-3 מילימטר. תוצאת המדידה לא השתנתה, שגיאת הסרגל לא השתנתה אבל הערכת אי-הוודאות שלי במדידה השתנתה. דיוק המדידה שלי נפגע בגלל האוטובוס אבל אני עדיין עושה מדע מדויק.

הכל יחסי

האם שגיאת הסרגל שלי (1 מילימטר) היא קטנה או גדולה? אני לא יודע לענות על השאלה הזאת. קטנה או גדולה ביחס למה?

אם אני אמדוד את האורך של דף A4, כ-300 מילימטר, שינוי של 1 מילימטר לפה או לשם הוא לא משמעותי. כלומר, אי הוודאות במדידה קטנה לעומת הערך הנמדד. לעומת זאת, אם אני אמדוד את רוחבה של נמלה, נניח כ-3 מילימטר, ערך אי-הוודאות כבר גדול מאוד ביחס לערך המדידה עצמה. לשם כך נגדיר את "השגיאה היחסית" שהיא ערך שגיאת המדידה בניסוי חלקי הערך הנמדד. שגיאה זאת היא גודל חסר יחידות.

נשים לב שהשגיאה היחסית משתנה בניסוי ממדידה למדידה ולכן יכולה להשפיע על החלטות שאני מקבל לגבי ביצוע הניסוי. למשל, אם אני מבצע ניסוי שבו אני תולה משקולות שונות על קפיץ ומודד את התארכותו עבור כל אחת מהן, אפשר לטעון שיש להעדיף משקולות כבדות על משקולות קלות מכיוון שהאורכים הנמדדים יהיו גדולים יותר ושגיאות המדידה היחסיות קטנות יותר. כלומר, דיוק המדידה בסרגל בניסוי עם משקולות כבדות יהיה גבוה יותר, גם אם לא תמיד שיקול זה יהיה משמעותי לניסוי הספציפי שמתבצע.

מלחמה באקראיות

מה יקרה אם ננסה למדוד כמה זמן לוקח למחוג השניות בשעון לעבור 5 שניות באמצעות הפעלת שעון עצר (סטופר)? התוצאה לא תהיה 5 שניות. גם מכיוון שאנחנו לא יודעים מה איכות השעון, אך בעיקר כי יש לנו זמן תגובה בהפעלת וכיבוי שעון העצר.

ומה יקרה אם נחזור על אותה המדידה מספר פעמים? בכל מדידה נקבל ערך אחר (שאינו 5 שניות). למעשה בכל מדידה שמבצעים יש אלמנט אקראי שאותו ניתן למזער אבל לא לבטל. זה נכון לכל מדידה, גם כאלה שהן חשמליות או מתבצעות על ידי מחשב.

את שגיאת המדידה הזאת מכנים "שגיאה אקראית". במילה "אקראית" הכוונה היא שיש סיכוי שווה שהערך הנמדד יהיה גבוה, שווה או נמוך לערך "האמיתי". הסיבות לשגיאות אלה הן בד"כ מרובות ולא כולן בשליטתנו. לצמצום השגיאות האקראיות במדידת אורך באמצעות סרגל, למשל, אפשר להימנע מלבצע מדידות בזמן נסיעה באוטובוס. אך גם לאחר שקיבלנו את המדידות היציבות ביותר שניתן לקבל, עדיין יהיו שגיאות אקראיות מטבע העולם שאנחנו חיים בו.

כיצד נתמודד עם שגיאות אלה?

במקרה של מדידת משך הזמן של 5 שניות אפשר למשל לחשב את ממוצע ערכי המדידות. מתוך הנחה שיש ערך קבוע שמתחבא מאחורי האקראיות במדידה ומתוך הנחה שאופי ההפרעה אקראי ולכן לפעמים "קופץ" למעלה ולפעמים למטה במידה שווה, חישוב הממוצע יבטל, במידה הטובה ביותר, את ההשפעות האלה.

מה ניתן לעשות אם מדובר בסדרה של מדידות בערכים משתנים ולא בערך אחד שחוזר על עצמו?

נחזור לניסוי של מדידת התארכות הקפיץ כתלות במשקולות שנתלו עליו. בכל שלב של הניסוי נשנה את מסת המשקולת התלויה ונמדוד את התארכות הקפיץ. כדאי, כמובן, לחזור על כל מדידה מספר פעמים ולחשב ממוצע, אך אפשר לעשות עוד. במקרה זה הקשר הפונקציונלי בין שני המשתנים ידוע לנו באופן תיאורטי – קשר ישר (ליניארי) לפי חוק הוּק. נוכל לשרטט גרף של התארכות הקפיץ כתלות במסת המשקולת ואז להעביר את הקו הישר הטוב ביותר בין הנקודות שהתקבלו (ראו איור). קו זה בעצם מבצע סוג של מיצוע על פני הנקודות השונות מתוך הנחה שחלקן גבוהות מידי וחלקן נמוכות מידי באופן אקראי. נוכל גם לתת למחשב לבצע את הפעולה טוב ומהר מאתנו.

השיטתיות שבשיטה

נניח שאנחנו מודדים את הקשר בין תאוצת גוף לבין הכוח שקול שפועל עליו. לפי החוק השני של ניוטון הקשר הוא ישר (ליניארי) והמקדם הוא מסת הגוף. שרטטנו גרף של התאוצה כפונקציה של הכוח והוא נראה כך:

האם אתם שמים לב לבעיה?

 אם נמשיך את הקו הישר לאזור שבו לא מדדנו הוא לא יחתוך את הצירים בנקודת הראשית. כלומר, לפי התוצאות הגוף בתאוצה אפס למרות שפועל כוח, בסתירה לחוק השני. מה יכולה להיות הבעיה?

סביר להניח שמד הכוח לא היה מאופס בתחילת המדידה והראה ערך גם כאשר לא הופעל עליו כוח. לכן כל מדידת כוח היתה גבוהה מהערך האמיתי באותה סטייה התחלתית וכל הגרף מוסט ימינה בערך הסטייה הזאת (כולל, כמובן, קו המגמה).

שגיאה כזאת נקראת "שגיאה שיטתית" ובה הסטייה מהערך האמיתי זהה בכל נקודה. כדי להתמודד עם בעיה כזאת ניתן לבצע שוב את המדידות לאחר איפוס מד הכוח. ניתן גם להסיט את הגרף כך שיחתור את הצירים בראשית, אם אנחנו מאמינים לתיאוריה. ואם כל מה שמעניין בניסוי הוא שיפוע הגרף, אז אין צורך בשום תיקון. שיפועו של גרף ישר לא מושפע על ידי שגיאה שיטתית. בפונקציונליות אחרת שאינה ליניארית יש להיזהר.

נבחן דוגמה קטנה

נרצה למדוד את זמן המחזור של מטוטלת (שעון עצר), שהיא משקולת תלויה על קצה חוט, כתלות באורך החוט (סרגל). ניסוי פשוט שכל אחד יכול לבצע בבית. הבעיה היא שזמן המחזור בניסוי נע בין ערכים של פחות משניה לשתי שניות (עבור אורך חוט בסביבות מטר). כלומר הזמן קצר מידי, וקרוב מידי לזמן התגובה. אחד הפתרונות הפשוטים יהיה למדוד 20 זמני מחזור ברצף ולחלק את התוצאה ב-20. כך הרווחנו שגיאה יחסית נמוכה באופן משמעותי, זמן מדידה ארוך ביחס לזמן התגובה וגם סוג של מיצוע. רצוי, כמובן, לחזור על כל מדידה מספר פעמים.

נשים לב שבניסוי זה אורכי חוט גדולים יותר מובילים לזמני מחזור ארוכים יותר. אם כך, כדי להקטין שגיאות יחסיות ולהגדיל את דיוק המדידה לכאורה נשאף לבצע את הניסוי באורכי חוט גדולים כמה שיותר. עם זאת, באופן מעשי מדידת 20 זמני מחזור (או יותר) ליבנה את בעיית מדידת הזמנים ומדידת אורכים הרלוונטיים לניסוי המטוטלת שהוצג לא קרובים למילימטרים בודדים. לכן בניסוי זה אפשר להתעלם מהשיקול הזה.

לסיכום – נקודות לארוז ולקחת הביתה

כל המדידות שגויות. כולן.

מה שהופך את המדע המדויק למדויק היא היכולת להגדיר באופן מדויק את תחום השגיאה.

אי ודאות ולא שגיאה, uncertainty ולא error.

כל מה שהוצג ברשימה זאת הוא מה שנתפס על קוצו של המזלג. ניסיונאות היא מקצוע.