התעמלות פיזיקלית בשש מערכות – כמה מילים על שיווי משקל

אינטרו

לפני מספר חודשים התפרסם במוסף 7 ימים של ידיעות אחרונות ריאיון עם לינוי אשרם, המתעמלת זוכת מדליית הזהב באולימפיאדה, בעקבות הודעתה על פרישה. הריאיון היה מהסוג המפרגן ואפילו היה ניתן למצוא בו מספר תשובות מעניינות של לינוי לגבי מה זה אומר להיות ספורטאית מקצועית בטופ העולמי (אמ;לק – כאבים).

אבל את עיני צדה דווקא התמונה בעמוד הפתיחה של הראיון. בתמונה נראית לינוי נשענת על הידיים בתנוחה התעמלותית עם הראש למטה והרגליים למעלה.

לדבר על תמונה מבלי לראות אותה זה מוזר, אך כדי להימנע מבעיות של זכויות יוצרים החלטתי להציג איור של התמונה במקום. אין לי כשרון או יכולת באיור ולכן אזור הפנים יצא קצת קרינג' אז כדי לא להרגיז את לינוי אם היא אי פעם תראה את הרשימה הזאת (היא לא) בואו ונסכים שהאיור הוא של מתעמלת דמיונית בשם לינור בדרם והיא דומה לזאת שהופיעה בריאיון רק במקרה.

התמונה המאוירת:

איור 1: לינור בדרם בתנוחה התעמלותית

האם בזמן הצילום היא בתנועה? במנוחה? האם היא בשיווי משקל? למה בכלל אנחנו מתכוונים במונח "שיווי משקל"?

ברשימה זאת אנסה להסביר מהו שיווי משקל וגם למה זה מעניין.

שקול כוחות אפס

לפי המכניקה של ניוטון מה שמעניין אותנו זה הכוחות שפועלים על גוף. לשם פשטות נתחיל את הדיון בגוף נקודתי. אם סך הכוחות שפועלים על הגוף הוא אפס הגוף לא ישנה את תנועתו (כלומר ישמור על מהירותו). זהו החוק הראשון של ניוטון. אם סך הכוחות אינו אפס, הגוף ישנה את תנועתו (ישנה את מהירותו, ינוע בתאוצה). היחס בין שקול הכוחות (סך הכוחות) לבין התאוצה הוא מה שנקרא "מסה". זהו החוק השני של ניוטון.

הכוונה ב-"סך הכוחות", "חיבור הכוחות" או "שקול הכוחות" הוא במשהו שנקרא "חיבור וקטורי", מכיוון שלכוח בפיזיקה יש גם גודל (או עוצמה) אך גם כיוון. אם אני דוחף עגלה ימינה והתאום המרושע שלי דוחף גם ימינה, סך הכוחות על העגלה יהיה חיבור גדלי הכוחות ימינה (ראו איור 2). אם אני דוחף ימינה והתאום שמאלה, סך הכוחות יהיה חיסור של הגדלים. במקרה וכל אחד דוחף בעוצמה שונה ובכיוונים שונים יש לפתור תרגיל מורכב יותר בעל אופי אלגברי\גיאומטרי שהפרטים שלו לא חשובים לרשימה זאת.

איור 2: המחשת חיבור כוחות

גוף בשיווי משקל הוא גוף שסך הכוחות עליו הוא אפס. עד כדי כך פשוט. אז אם אתם יושבים עכשיו על כיסא ולא זזים, אתם בשיווי משקל. כדור הארץ מפעיל עליכם כוח כבידה מטה והכיסא מפעיל כוח מעלה. הכוחות שווים בגודלם והפוכים בכיוונם ולכן סך הכוחות אפס. ניתן להסיק זאת גם מתוך העובדה שאתם לא משנים את מהירותכם ומתוך החוק הראשון של ניוטון. גם אם אתם עומדים ללא תנועה, אתם בשיווי משקל וגם אם אתם נעים במהירות קבועה אתם בשיווי משקל. בזמן שינוי המהירות ממנוחה לתנועה לא הייתם בשיווי משקל.

אוקיי, אז מה מעניין בזה?

שקול כוחות משתנה במרחב

זה נהיה מעניין כאשר פרופיל הכוחות אינו קבוע במרחב. למה הכוונה? בואו ונבחן דוגמה פשוטה.

דמיינו גבעה בצורת חצי עיגול. נניח גוף בנקודה כלשהי על הגבעה שאותה נסמן באות A (ראו איור). נניח שאין חיכוך בין הגוף לגבעה. מה יקרה? הגוף יחל להחליק במורד הגבעה במהירות הולכת וגדלה כי פועלים עליו כוחות שסכומם אינו אפס. זאת תהיה התוצאה אם נניח את הגוף בכל נקודה על הגבעה מלבד הנקודה על קצה הגבעה שאותה נסמן באות B (ראו איור 3). בנקודה מיוחדת זאת סך הכוחות הוא במקרה אפס והגוף, לפחות תיאורטית, לא ינוע, אם כי כל דחיפה קטנה או אי שלמות בצורת הגבעה תדרדר אותו.

כעת דמיינו עמק בצורת חצי כדור. התוצאות של הניסוי הקודם יהיו זהות גם במקרה זה. כלומר בנקודות B בשני המקרים הגוף נמצא בשיווי משקל. האם שני המקרים זהים לחלוטין?

איור 3: גופים מחליקים על גבעה ועמק

חישבו מה יקרה אם נניח גוף בנקודה B על הגבעה ונסיט מעט את מיקומו. נחזור על הפעולה במקרה של העמק. התוצאות שונות באופן מהותי. הגוף על הגבעה ייפול מטה והגוף בעמק ינוע חזרה לכיוון נקודה B, יחלוף על פניה, יעלה מעט (לאותו הגובה), יעצור, ישנה כיוון, יחזור לכיוון נקודה B וחוזר חלילה. כלומר יחל לנוע בתנועה מחזורית סביב נקודת שיווי המשקל.

לשיווי המשקל בעמק אנחנו נקרא "שיווי משקל יציב" ולשיווי משקל בגבעה אנחנו נקרא "שיווי משקל לא יציב".

תיאור אנרגטי-אלגברי

אנרגיה פוטנציאלית כובדית של גוף היא אנרגיה הקשורה לכוח הכבידה שפועל על הגוף וליכולת של הגוף לבצע עבודה. למשל, למים שנמצאים בגובה גבוה יש יותר אנרגיה פוטנציאלית כובדית מלמים שנמצאים בגובה נמוך יותר. כאשר המים זורמים מנקודה גבוהה לנמוכה הם מאבדים אנרגיה פוטנציאלית כובדית שמומרת לאנרגיית מהירות והיא יכולה להיות מומרת גם לביצוע עבודה כגון סיבוב גלגל של טחנת קמח, או טורבינה בתחנת חשמל הידרואלקטרית.

נכתוב פונקציה מתמטית שמתארת את האנרגיה הפוטנציאלית הכובדית של הגוף בכל נקודה בעמק או בגבעה ונסכים שגוף שואף להיות במינימום אנרגיה פוטנציאלית (כוח הכבידה תמיד פועל למשוך את הגוף למטה ולהקטין את הגובה). כעת נוכל להפעיל טכניקות מתמטיות מוכרות (ואהובות? שנואות?) מהתיכון של חקירת פונקציות כדי ללמוד על אופי המערכת. נקודת מינימום של הפונקציה תסמן נקודת שיווי משקל יציב, בדיוק כמו ציור של תחתית עמק. נקודת מקסימום תסמן שיווי משקל לא יציב, בדיוק כמו ציור של גבעה. אם כך, נוכל לתאר באופן אלגברי כל מערכת ולנתח אותה לעומק על ידי ביצוע פעולות מתמטיות פשוטות, והשמחה של הפיזיקאים רבה.

מתקרבים חזרה ללינור – מטוטלת

נזכר בגוף בתחתית הגבעה שהוסת מנקודת שיווי המשקל ואז החל לנוע באופן מחזורי סביבה. הכרת נקודת שיווי המשקל חשובה כי סביבה מתרחשת התנועה. שימו לב שתנועת הגוף מזכירה תנועת מטוטלת. האם יש קשר בין המקרים? כן. כפי שהסברתי ברשימה קודמת על מושג מרכז המסה, לשם תיאור תנועה של גוף מורכב ניתן לחשב את נקודת מרכז המסה שלו. אז נפתור בעיה פשוטה יותר של הכוחות שפועלים על גוף נקודתי שאותו נמקם בנקודת מרכז המסה. אם כך, נוכל להמיר מטוטלת לגוף נקודתי תלוי על חוט חסר מסה. נקודת שיווי המשקל של בעיה זאת היא בדיוק בנקודה התחתונה במרכז התנועה של מרכז המסה וסביבה יתנדנד הגוף. אם נשחרר ממנוחה את הגוף בנקודה זאת המטוטלת לא תנוע. ראו את הגיף הבא, ושימו לב היכן סך הכוחות מתאפס – כאשר הכוחות משתווים בגודלם וכיוונם.

איור 4: גיף של תנועת מטוטלת מתמטית. הגיף לקוח מויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש Ruryk.

תיאור זה יעיל מאוד עבור אינספור מערכות דינמיות בפיזיקה, מתנועה אליפטית של כוכבי לכת הלכודים בשדה כבידה של כוכב ועד מצבים שונים ומשונים של חלקיקים באטום ויש עוד.

אאוטרו

ומה עם לינור? האם יכול להיות שהיא נמצאת בתנוחה סטטית בזמן הצילום? האם היא בתנועה? בשיווי משקל יציב? לא יציב?

קשה לדעת. הצילום מעולה במובן הזה, ואני רחוק מלהיות מומחה בתחום כלשהו שיעזור לי להכריע. אז ננחש ביחד.

לדעתי מרכז המסה של לינור נמצא מעל נקודת ציר הסיבוב שלה (כפות הידיים על הקרקע) ולכן לדעתי היא לא בשיווי משקל ולא תוכל להחזיק את עצמה בתנוחה זאת לאורך זמן. עם זאת השיער שלה נראה מוטה ישירות כלפי מטה, והתמונה אינה מטושטשת כמו תמונה של גוף בתנועה. לכן אני מסיק שכנראה היא בתנועה ממש איטית, אפילו על גבול העצירה הרגעית ברגע הצילום.

שימו לב שהגוף, ודאי זה של לינור, לא צריך לפתור משוואות כדי לדעת מה לעשות. הוא מוצא את הפתרון מאימון, חזרתיות וזיכרון שרירים.

מכונה מופלאה 🙂

תנו לי מספיק גלגלות ואזיז את העולם ממקומו

התוכנית "מהצד השני" עם גיא זוהר, שמשודרת בערוץ כאן11, עוסקת בד"כ בביקורת ובבדיקת עובדות של דברים שנאמרים או נכתבים בתקשורת. בתאריך 12.01.22 שודר אייטם קצר והיתולי למחצה שעסק במשהו שנאמר במהלך פרק של התוכנית "הישרדות". באחת המשימות בתכנית נדרשו שלושה משתתפים להחזיק את עצמם מליפול למים באמצעות משיכה בחבל שעובר דרך מערכת גלגלות. המנחה הכריז מספר פעמים בדרמטיות על הקושי הרב במשימה שנובע מכך שעל המתחרים להחזיק את משקל גופם באמצעות החבל. גיא זוהר העיר ותיקן שמכיוון שיש שימוש במערכת גלגלות המתחרים אינם מחזיקים את משקל גופם המלא, אלא פחות מכך. הנה קישור לקטע הקצר (אורכו 02:30 דקות):

גיא זוהר מסתמך על דעת חכמים, והוא כמובן צודק. אבל למה? איך גלגלת יכולה להפחית משקל שיש להרים?

ברשימה זאת אנסה להסביר, דרך דוגמה תיאורטית פשוטה יחסית, כיצד שימוש בגלגלת יכול להקל על הרמת משקלים וגם מדוע לא ניתן להאיר את כל רמת-גן באמצעות טריק זה.

***

רוב ההסבר שלי נשען על החוק הראשון של ניוטון ולכן ראשית אסביר מהו ואנסה לשכנע שהוא נכון.

מהו החוק הראשון של ניוטון?

קחו בבקשה כוס שקופה וגולת משחק. הניחו את הגולה על משטח חלק וישר (למשל שולחן) והניחו את הכוס הפוכה מעל הגולה. כעת הניעו את הכוס כך שהגולה תחל לנוע במעגלים לאורך הדופן של הכוס. מה יקרה אם נרים את הכוס בפתאומיות? אם אתם לא בטוחים, ממליץ לנסות לפני שקוראים הלאה.

האינטואיציה של חלק גדול מאיתנו אומרת שלאחר הרמת הכוס הגולה תמשיך לנוע במעגלים, אבל מה שיקרה הוא שהגולה תנוע בקו ישר בכיוון התנועה שבה היתה רגע לפני הרמת הכוס.

החוק הראשון של ניוטון אומר שגוף לא ישנה את תנועתו כל עוד סך הכוחות עליו הוא אפס. הכוונה ב-"ישנה את תנועתו" היא ישנה את גודל מהירותו או את כיוון מהירותו. הסיבה שהגולה משנה את כיוון תנועתה בכל רגע היא שדופן הכוס מפעילה עליה כוח בכל רגע. ברגע הרמת הכוס הכוח נעלם והגולה מתמידה בתנועה שבה היא נמצאת באותו הרגע – תנועה בקו ישר לכיוון כלשהו, ללא שינוי בגודל המהירות או בכיוונה.

מה הכוונה ב-"סך הכוחות עליו הוא אפס"?

נניח שפועלים על גוף שני כוחות שווים בגודלם, אחד ימינה ואחד שמאלה. התוצאה במשמעות של שינוי תנועת הגוף (בניגוד למשמעות של שינוי צורה) תהיה זהה למקרה שבו לא מופעל עליו כוח כלל. לכן נהוג להגיד שסכום הכוחות במקרה זה הוא אפס, כי הכוח השקול למקרה זה הוא לא להפעיל כוח כלל.

כיצד נשתמש בחוק הראשון כדי להסיק גדלים של כוחות במערכת מכנית?

בואו ונחשוב על מקרה שבו אנחנו דוחפים מקרר והוא לא זז. מדוע המקרר לא משנה את מהירותו למרות שאנחנו מפעילים עליו כוח? כי יש עוד כוח בכיוון הפוך – כוח החיכוך. ומה גודלו של כוח חיכוך זה? נחזור לחוק הראשון של ניוטון שגורס שאם סך הכוחות על גוף הוא אפס הוא לא ישנה את תנועתו. אם כך ניתן להסיק מהחוק שכוח החיכוך פועל בכיוון מנוגד לכיוון הכוח שאנחנו מפעילים וגודלו שווה לגודל הכוח שאנחנו מפעילים כך שסכום הכוחות על המקרר הוא אפס.

במקרה אחר נתלה מקרר על חבל המשתלשל מהתקרה. מהו הכוח שצריך לפעיל החבל על המקרר כדי שלא ייפול? על המקרר פועלים שני כוחות מנוגדים, כוח הכבידה כלפי מטה וכוח החבל כלפי מעלה. אם כך, כדי שהמקרר לא ישנה את תנועתו ולא ייפול החבל צריך להפעיל כוח ששווה בגודלו לכוח הכבידה כך שסכום הכוחות יהיה שווה אפס, לפי החוק הראשון של ניוטון. מכאן גם נובע שאם אנחנו רוצים להחזיק ביד את החבל כך שהמקרר תלוי באוויר נצטרך להפעיל כוח בגודל ששווה לגודלו של כוח הכבידה שפועל על המקרר, כלומר כוח ששווה למשקל שלו.

[הערת שוליים – אני מניח בכל הדוגמאות שלי שמתיחות החבל זהה בכל נקודה לאורך החבל. ההנחה לא תמיד נכונה ולכן הערכים שאני אחשב אינם מדויקים]

האם הכוח שנצטרך להפעיל כדי להחזיק מקרר תלוי באוויר ישתנה אם נחזיק את החבל שמחזיק את המקרר דרך גלגלת?

נתבונן בכוחות שפועלים על המקרר במקרה זה. כוח כבידה למטה וכוח חבל/יד למעלה. מכיוון שאני מניח שמתיחות החבל אינה משתנה לאורכו (ראו הערת שוליים קודמת) התשובה אינה משתנה. כדי להחזיק את המקרר תלוי באוויר דרך גלגלת עלי להפעיל כוח ששווה לערכו של כוח הכבידה שפועל על המקרר, כלומר משקל המקרר.

נבחן מקרה שבו המקרר תלוי מהגלגלת, אך מוחזק בשתי נקודות על ידי החבל.

נתבונן בכוחות שפועלים על המקרר במקרה זה. כוח כבידה כלפי מטה כמו בכל הדוגמאות הקודמות. אבל הפעם החבל מפעיל על המקרר כוח בשתי נקודות שונות, כלומר מפעיל עליו פעמיים את הכוח שבו הוא מתוח. אם כך, בדוגמה המוזרה הזאת, בשונה מהדוגמאות הקודמות, החבל מתוח פחות (חצי מכוח הכבידה אם נניח שמתיחות החבל שווה בכל נקודה). זאת מכיוון שפועל על המקרר כוח כבידה כלפי מטה ופעמיים כוח החבל כלפי מעלה. החוק הראשון טוען שסך הכוחות חייבים להיות מאוזנים ולכן כוח החבל או מתיחותו במקרה זה קטנה יותר ממשקל המקרר. שימו לב שהמתיחות בחבל שמחזיק את הגלגלת לתקרה הוא עדיין שווה בגודלו למלוא המשקל.

כעת כל החלקים של הפאזל כבר הוצגו. נותר רק למצוא קונפיגורציה שבה נוכל לנצל את הטריק של הפחתת המתיחות בחבל וגם להחזיק את המקרר בכוח היד דרך החבל. לשם כך אנחנו זקוקים לעוד גלגלת ולכוח המצאה. למזלי מישהו כבר חשב על זה מזמן.

נבחן את המקרה הבא שכולל שתי גלגלות:

במקרה זה, במקום שהמקרר יהיה תלוי על שני קצוות של אותו החבל, המקרר תלוי על גלגלת שהיא זאת שתלויה משני נקודות של חבל. הפעם כדי להבין את המערכת נצטרך לבחון את הכוחות על הגלגלת שממנה תלוי המקרר. כוח הכבידה מהמקרר פועל עליה כלפי מטה ובדומה למקרה הקודם החבל מפעיל עליה פעמיים כוח כלפי מעלה. מכיוון שנתון שהגלגלת לא משנה את תנועתה, מתיחות החבל תהיה קטנה ממשקל המקרר כמו במקרה הקודם. אם כך, כדי להחזיק את המקרר תלוי ללא תנועה יש לפעיל על ידי היד פחות ממשקלו. קסם!

חידה1: חשבו על דרך להפחית אף יותר את הכוח שנצטרך להפעיל על ידי הוספת עוד גלגלת.

למעשה ניתן להוסיף עוד ועוד גלגלות ולהפחית עוד ועוד את כמות הכוח שיש להפעיל כדי להחזיק את המקרר תלוי (אם כי, יש להתחשב גם בכוחות חיכוך שמתווספים שלא לקחנו בחשבון).

נקודה לסיום:

אם כל מה שהצגתי נכון, אפילו בקירוב, מדוע אנחנו לא עושים זאת כל הזמן? מדוע אנחנו לא מושכים מקררים דרך כמות גדולה של גלגלות?

קודם כל, אנחנו אכן עושים זאת, כפי שניתן לראות למשל במשימת ההישרדות בסרטון.

אבל שימו לב שבדוגמה האחרונה כדי להעלות את המקרר בחצי מטר יש למשוך את החבל במטר שלם. החלק של החבל מימין לגלגלת צריך להתקצר בחצי מטר, וגם החלק משמאל ולכן ביחד מטר אחד. כלומר שבהתקן הזה אנחנו חוסכים בכמות הכוח שיש להפעיל אבל מפסידים בכמות המרחק שלאורכו יש להפעיל את הכוח הזה.

כוח כפול המרחק שלאורכו הוא מופעל זה בדיוק ההגדרה הפיזיקלית של מונח העבודה. מכך ניתן לראות שלא ניתן לחסוך בכמות העבודה שיש לבצע כדי להרים מקרר לגובה, ולהגדיל את האנרגיה הפוטנציאלית הכובדית שלו, באמצעות הוספת עוד ועוד גלגלות. לכן לא נוכל להאיר את כל רמת-גן באמצעות רכישת כמות גדולה של גלגלות ומקררים. חבל.

נ.ב – חידה2: אדם יושב על מקרר ומחזיק אותו תלוי באמצעות חבל שעובר דרך גלגלת וקשור למקרר כפי שניתן לראות באיור. א) מה התנאי שהמקרר לא ייפול? ב) במידה והמקרר באמת לא נופל, כמה כוח צריך להפעיל האדם שיושב על המקרר?

איך לא לירות חץ ללב השמש

דמיינו אדם קדמוני, חמוש בחץ וקשת, שכועס על השמש הקופחת על פדחתו ומנסה לירות בה. מגוחך, נכון? אבל למה בעצם?

דמיינו אדם קדמוני אחר, חמוש בצורה דומה, שכועס דווקא על כדור הארץ. החיים שלו הרבה יותר קלים. לא משנה לאן יכוון את הירי, באיזה עוצמה יירה ובאיזה כיוון, תמיד יפגע (בהנחה שחץ לא ננעץ בעץ או משהו אחר). הכבידה תמיד מנצחת.

אם כך, כל מה שנדרש כדי לפגוע בשמש זה לירות חץ במהירות מספיק גבוהה כך שיברח משדה הכבידה של כדה"א, ואז הפגיעה מובטחת, לא? הרי השמש היא ודאי הגורם הכבידתי המשמעותי ביותר באזור.

הבעיה היא שכבידה לא בדיוק עובדת ככה.

אנסה להסביר ללא שימוש במתמטיקה.

***

נפתח בשאלה:

מדוע אסטרונאוטים מרחפים בתחנת החלל?

אסטרונאוטים מרחפים בתחנת החלל (2008). המקור לתמונה: ויקיפדיה, והמקור האמיתי לתמונה: Nasa.

התשובה הנפוצה: כי כוח הכבידה חלש מאוד שם למעלה.

תנו לי לשכנע אתכם שזה לא נכון. קחו חפץ כלשהו וקישרו אותו לחבל. כעת עשו מה שתעשו לחבל כך שהגוף ינוע במעגל אופקי בקצב קבוע. מי גורם לגוף הקשור לנוע בתנועה מעגלית? אתם? הרי אתם לא נוגעים בו. זה החבל. קל לבדוק זאת. אם החבל יקרע החפץ יעוף ויפסיק את התנועה המעגלית גם אם תמשיכו לנענע את היד.

בצורה דומה חישבו על תחנת החלל והאסטרונאוטים בתוכה. מה שגורם להם לנוע בתנועה מעגלית הוא כוח הכבידה שמחליף את החבל בדוגמה הקודמת. אם לא היה כוח כבידה התחנה היתה עפה לחלל ולא היינו שומעים ממנה שוב. למעשה תחנת החלל קרובה מאוד לפני כדה"א וערכו של כוח הכבידה שם הוא כ-90 אחוז מערכו על הקרקע.

אז למה האסטרונאוטים מרחפים?

חישבו על הרגע שבו אתם נמצאים במעלית ובדיוק לחצתם על הכפתור לעלות למעלה. לרגע קט בו המעלית מתחילה לנוע מעלה (המעלית בתאוצה) אנחנו מרגישים קצת מעוכים בבטן ובברכיים. תחושה זאת אינה רק בראש שלנו. קחו משקל למעלית, עלו עליו ולחצו על כפתור המעלית לעלות למעלה. בזמן ההאצה המחוג יזוז וחיווי המשקל שלכם יעלה. ברגע שהמעלית סיימה להאיץ ונעה במהירות קבועה, המחוג יחזור למשקל הרגיל.

ומה יקרה אם המעלית תאיץ כלפי מטה? בדיוק הפוך, וגם את זה אנחנו מרגישים יום-יום במעלית. לרגע קט, בזמן ההאצה, המשקל שלנו יורד. ומה יקרה אם המעלית מאיצה יותר מהר? אז המשקל שלנו ירד אף יותר.

ומה יקרה אם המעלית נעה מטה בתאוצת הנפילה החופשית על פני כדה"א? אז זה אומר שכנראה הכבל שמחזיק את המעלית נקרע (תרחיש מאוד לא סביר) ואתם, המעלית ומד-המשקל נופלים באותה תאוצה כלפי מטה. במצב זה, כשכולם נופלים, לא ניתן להפעיל "קונטרה" על המשקל וקריאתו אפס. זהו מצב של חוסר משקל. ביחס למעלית אנחנו מרחפים.

לא מאמינים? חפשו סרטונים על מטוס שעושה בדיוק את זה ונקרא בשם החיבה הלא נעים: "Vomit comet".

אם כך, האסטרונאוטים בתחנת החלל מרחפים ביחס לתחנה כי הם והתחנה נופלים יחדיו אל כדור הארץ באותה תאוצה. לכן השאלה הנכונה היא לא מדוע האסטרונאוטים מרחפים, אלא מדוע הם לא מגיעים לקרקע.

מדוע האסטרונאוטים בתחנת החלל לא מגיעים לקרקע?

התשובה לכך היא שמלבד לנפילה הם גם נעים במהירות שכיוונה משיק למסלול התנועה המעגלית של התחנה סביב כדה"א. גודל המהירות הוא כזה שהוא מפצה באופן מושלם על הנפילה. הנפילה לכדה"א מקרבת את התחנה לקרקע והתנועה בכיוון משיקי מרחיקה אותה מהקרקע בדיוק באותה מידה. כלומר, באופן תיאורטי, כדי להעלות לוויין לתנועה מעגלית סביב כדה"א יש להעלות אותו לגובה הרצוי ואז לתת לו מהירות בדיוק גודל הנכון בכיוון משיק למסלול הרצוי. (השיקולים הפרקטיים האמיתיים להעלות לוויין הם הרבה יותר מורכבים, כמובן, אך אינם חשובים למה שאני רוצה להסביר. מה גם שאינני מומחה בלוויינים).

ומה קורה אם הלוויין לא נע במהירות הנכונה? כל עוד הוא לכוד בשדה הכבידה של כדה"א הוא ינוע במסלול אליפטי סביבו. שימו לב לנקודה החשובה הזאת: כל הלוויינים של כדה"א, כולל הירח, לכודים בשדה הכבידה שלו. ראו באיור הבא המחשה לאותו הרעיון על ידי ירי פגז תותח במשיק לכדה"א בקצהו של הר. הרעיון לקוח מאייזיק ניוטון בכבודו ובעצמו.

התותח של ניוטון. במסלולים A ו-B מהירות השיגור נמוכה והפגז נוחת על הקרקע. במסלול C המהירות בדיוק מתאימה לתנועה מעגלית בגובה פני כדה"א. במסלול D המהירות גבוהה יותר ולכן תנועה אליפטית סביב כדה"א, אז הפגז עדיין לכוד בשדה הכבידה. במסלול E לא ניתן לדעת לפי האיור. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש Brian Brondel.

מה יקרה אם לוויין שנע במסלול מעגלי או אליפטי סביב כדור-הארץ יפעיל מנוע כלשהו ויעצור במקום, כלומר יאפס את מהירותו המשיקית? אז הוא כמובן ייפול לכדה"א. הרי המהירות היא מה שמנעה ממנו להגיע לשם מלכתחילה.

מדוע קשה ליפול אל השמש?

כעת בואו ונזכר שכדה"א, אנחנו והחצים שלנו, כולם לכודים בשדה הכבידה של השמש. מדוע אנחנו לא נופלים לתוכה? כי אנחנו נעים במסלול אליפטי יציב סביבה, כפי שהסביר לנו קפלר. אם כך, גם אם החץ שירינו ברח משדה הכבידה של כדה"א הוא עדיין לכוד בשדה הכבידה של השמש ונע סביבה בערך במהירות של כ-30 קילומטר לשניה.

נראה שהגענו לפתרון. כל מה שנדרש הוא להפעיל מנועים כדי לעצור את מהירותו המשיקה של החץ סביב השמש לאחר הבריחה משדה הכבידה של כדה"א. במקרה כזה הוא אכן, ככל הנראה, ייפול לתוך השמש, מה שיחשב כפגיעה לכל הדעות. אבל,

הבעיה היא שאנחנו עדיין לא שם מבחינה טכנולוגית. המהירות שיש לבטל היא גדולה מאוד. הטיל שיידרש כדי לשגר מעלה את עצמו (כולל החץ) ובתוכו את כמות הדלק הנדרשת גם כדי להעלות מעלה את עצמו וגם כדי לעצור את המהירות המשיקית שלו הוא הרבה יותר מורכב ממשהו שאי פעם בנינו. זכרו שכדי להעלות יותר משקל נדרש יותר דלק שמעלה את המשקל ומצריך יותר דלק וכך הלאה. ויש גם את החץ.

אז האם הכל אבוד?

לא, ההפך הוא הנכון. יש דרכים אחרות, יותר מורכבות להבנה, כדי לשלוח חלליות לכיוון השמש, אם אנחנו מוכנים לוותר על פגיעה ישירה. ניתן להשתמש במנגנון שנקרא Gravity assist שמשתמש בכוח הכבידה של כוכבי לכת אחרים סביב השמש כדי להשפיע על המסלול של הגוף המשוגר (כתבתי על כך ברשימה קודמת), כך שעם הזמן המסלול האליפטי של הגוף ילך ויתקרב לשמש. בשנת 2018 שוגר ה-Parker Solar Probe כדי לחקור את הקורונה של השמש ובשנת 2025 הוא צפוי להגיע במסלול האליפטי שלו סביב השמש למרחק של כ-7 מיליון קילומטר ממנה (ראו הנפשה). נכון, לא פגיעה ישירה, אבל קרוב לאללה, או לפחות הכי קרוב שנגיע בזמן הקרוב. ובכל מקרה, מי רוצה לנחות על השמש? חם שם…

• 

הנפשה של המסלול של Parker Solar Probe בין התאריכים 07.08.18-29.08.25. המקור להנפשה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Phoenix7777.

שוב ושוב ושוב ושוב, על הקשר בין בדיחות עבשות ניבולי פה וגבישים

דיסקליימר ואזהרה:

הרשימה הזאת נפתחת בשימוש קטן בגסויות. ביטוי ילדותי שכולל את השורש ז.י.נ, במשמעותו הגסה, וגרוע מזה, בשיתוף בעל חיים. אם דבר זה עלול להטריד אתכם, דלגו (על הפסקה, הרשימה, על מה שבא לכם. הכל טוב😀)

***

אני מניח שלא מעט אנשים שגדלו בישראל נתבקשו בשלב כלשהו בילדותם על ידי מאן דהוא להגיד בקול "יַנְתִי-פַּרַזִי" מספר פעמים רב ברצף. אם לא, זה הזמן.

אוקיי, מצחיק. כי זה כאילו גס. אבל גם כי התרחש פלא. ביטוי ג'יבריש הפך פתאום למשהו אחר, בעל משמעות. גסה.

נסו את אותו הדבר עם המילה "תִּירָס".

הפעם פחות מצחיק, כי זה לא גס, אבל יש שוני חשוב נוסף. שתי הצורות עובדות, גם "תִּירָס" וגם "סְתִירָה\סְטִירָה", ואנחנו יכולים לעבור ביניהן בקלות. כלומר, לשמוע את הראשונה או את השניה.

מדוע (למיטב הבנתי) זה עובד, ואיך זה קשור למדע (בעיקר בראש שלי)? על כך בהמשך.

***

אתחיל בלהפשיט את שתי המילים רק לחלקים אותם אנו הוגים:

תִּירָס – סְתִירָ

נבחין שההגייה והצלילים של שתי הצורות זהים עד כדי פרמוטציה ציקלית. כלומר, אם נסדר את האותיות על גבי מעגל, כאשר האות הראשונה בתחתיתו וקוראים בכיוון השעון, נוכל לעבור מצורה לצורה על ידי סיבוב פשוט של המעגל. ראו המחשה באיור הבא:

אגב, זה אומר שגם "רָסְתִי" יעבוד בצורה דומה, אם כי למופע זה אין משמעות בעברית.

אם כך, שתי המילים " תִּירָס – סְתִירָ" הן פרמוטציה ציקלית אחת של השניה. אבל, כאשר הוגים אותן קל מאוד להבדיל ביניהן. הן לא נשמעות אותו דבר כלל.

כאן מגיע הקסם של החזרה המרובה על המילה.

באיור הבא רשמתי ברצף מספר רב של פעמים את אחת מהמילים אבל טשטשתי את הקצוות. האם תוכלו לזהות האם רשמתי "תירס" או סתיר"? (ללא ניקוד הפעם):

ועכשיו לתמונה המלאה:

ניכר שלולא הקצוות לא ניתן להבדיל בין שני המקרים.

כעת דמיינו שאני רושם את המילה או הוגה אותה כל כך הרבה פעמים שלקצה כבר אין משמעות. הוא אירוע זניח ומרוחק מאיתנו, ושכחנו אותו. במקרה זה קל להבין מדוע המוח יכול להחליף בקלות בין שני המופעים. כמו כן, אם אחד מהם הוא מילה שלא קיימת בשפה, אז המוח יתקבע על המקרה שהוא מכיר ויש לו משמעות.

כעת בואו ונחשוב על המקרה ההפוך.

אנו ניצבים אל מול שרשרת אינסופית של האותיות הנ"ל. אין לה התחלה ואין לה סוף, והיא היתה מאז ומתמיד. אם כך, לדיון האם זה "תירס" או "סתיר" אין במצב זה כל משמעות. אך מה יקרה אם נשבור פיזית את השרשרת ונאלץ הופעה של קצה?

סביר להניח שאם חתכנו כך שהאות הראשונה היא 'ת', אז לפתע נקרא את הטקסט כחזרה על המילה "תירס". אם, לעומת זאת, נחתוך כשהאות הראשונה היא 'ס', נקרא את השורה כחזרות על המילה "סתיר".

***

אבל איך כל זה קשור למדע?

מבנים כאלה קיימים גם בעולם החומר והם נקראים גבישים.

בואו ונראה עד כמה רחוק נוכל לקחת את האנלוגיה הזאת.

***

מבלי להתעקש על הגדרות מדויקות ותקינות, אוכל לכתוב שמבנה גבישי הוא צורה גיאומטרית שנוצרת מחזרות במרחב של אותו אלמנט בסיס. אלמנט הבסיס מורכב מנקודות במרחקים מוגדרים אחת מהשניה.

נשרטט לנו מבנה שכזה, נניח אטומים בכל נקודה, והרי לנו גביש. חומרים רבים מופיעים בטבע בצורת גבישים, למשל מתכות ומוליכים למחצה. חומרים אלה חשובים לנו בהרבה תחומים, לדוגמה בתעשיית השבבים ובמדע החומרים.

[הערת שוליים – "הרי לנו גביש" *אחיד*, אבל אני לא נכנס לתיאור מורכב ברשימה זאת]

נבחן מקרה להמחשה (בשני ממדים לשם פשטות).

הנה ארבע נקודות על קודקודים של ריבוע:

הנה שכפול של המבנה (דמיינו שכפול אינסופי):

מבנה זה נקרא בעגה 'סריג'.

אם נציב אטומים בנקודות הסריג ונרחיב לשלושה ממדים נקבל גביש במבנה 'קובי פשוט'.

בואו ונבחן דוגמה מעט יותר מורכבת.

הנה סריג אחר:

מהו תא היחידה? כלומר, מהו האלמנט שצריך לשכפל כדי לקבל את המבנה המלא?

הנה שלוש אפשריות שונות:

אתן בהן שמות (ללא הסבר): אפשרות א' – 'מלבני', אפשרות ב' – 'פרימיטיבי', אפשרות ג' – 'ויגנר-זייץ'.

ברור שיש אינסוף אפשרויות לייצר תא יחידה. למשל, פעמיים התא המלבני, או שלוש פעמים וכך הלאה.

נשים לב שתא היחידה המלבני אינו מינימלי, שהרי ניתן לספור בו שני אטומים (אחד שלם באמצע ועוד ארבעה רבעים בקודקודים). אתם גם מוזמנים לבדוק שהשטח שלו כפול מזה של השניים האחרים ששווים בשטח שלהם אחד לשני ומכילים רק אטום אחד.

אז בואו ונהיה יותר הדוקים. נגדיר תא יחידה 'פרימיטיבי' ככזה בעל שטח (בעצם נפח) מינימלי, ובו תהיה רק נקודת סריג אחת.

אך בדוגמה האחרונה ראינו שניים כאלה ('פרימיטיבי', 'ויגנר-זייץ').

האמת היא שכל התאים נכונים ונבחר באיזה סוג תא להשתמש מטעמי נוחות. למשל, התא המלבני נוח להבנה ולניתוח וקל לראות ממנו את הסימטריה של הגביש ולעשות בו חשבונות פשוטים, למרות שאינו פרימיטיבי. לעומת זאת, לפיזיקה מתמטית מתקדמת נעשה שימוש בתא ויגנר-זייץ (מסיבות שקשה לי להסביר במסגרת הזאת).

[הערת שוליים (לדוברי השפה) – את הוקטורים הפרימיטיביים לתיאור הגביש באלגברה נוח למצוא מתא היחידה הפרימיטיבי.

אם נבצע התמרת פורייה מרחבית על תא ויגנר-זייץ נקבל את אזורי ברילואן של המבנה. לפי איזורי ברילואן נוכל לקבוע ולחשב תכונות אנרגטיות מורכבות של הגביש ואת צורת הפיזור ממנו, למשל של קרני X]

שימו לב שאם נניח שהגביש בגודל סופי, בחירות שונות של תאי יחידה יקבעו איך תראה השפה של הגביש. עם זאת, בכל גביש שאנו מסוגלים לראות את המימד שלו בעין בלתי מזויינת, השפעות הקצה על הנפח אינן חשובות. פני השטח של גביש מורכבים מכמה שכבות של אטומים. זאת כמות חומר זניחה ביחס לגודל הנפח, ולכן ניתן להתייחס לכל גביש כאין-סופי, ביחס לקצוות. כלומר, התכונות הפיסיות (חוזק וכדומה) והחשמליות (למשל הולכה חשמלית) של הגביש נקבעות ברוב המקרים על ידי הנפח.

האם זה תמיד נכון? האם אין לקצוות שום משמעות?

***

בואו ונביט על ייצוג תלת ממדי של מבנה קובי פשוט. נסו לדמיין שכל המרחב התלת-ממדי מרוצף בחזרות של התא הזה.

מבנה קובי פשוט. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש Daniel Mayer, DrBob.

כעת אני אחתוך את המבנה (האינסופי) לאורך מישור מוגדר של הגביש בשני צורות שונות. פעם אחת במישור הדופן של הקוביה ופעם שניה במישור האלכסון של הקוביה. ראו באיור הבא את כל מישורי החיתוך האפשריים. סימנתי את השניים שאני דן בהם כאן.

מישורים שונים במבנה קובי. שני המישורים שאני דן בהם מסומנים באדום ובכחול. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש Cdang.

נביט בייצוג דו-ממדי של המישורים שבהם חתכתי (בעצם היטל) בתא יחידה בודד:

קל לראות, לדעתי, שצפיפות האטומים בשני מישורי החיתוך שונה לגמרי.

מה המשמעות של זה?

אם נניח שבכל נקודה מונח אטום וכל אטום תורם כמות שווה של אלקטרונים להולכה, הרי שהמוליכות החשמלית במישור אחד תהיה גבוהה מזאת במישור השני. ואם, למשל, אנחנו רוצים להדפיס טרנזיסטורים על פני מישור של סיליקון, אנחנו חייבים לקחת עובדה זאת בחשבון.

זאת דוגמה אחת מיני רבות על החשיבות של קצוות הגביש במקרים מסוימים. כלומר, בגביש תכונות הנפח (Bulk) שונות מתכונות פני השטח (Surface), ותכונות פני השטח תלויות באיזה מישור חתכנו.

בנוסף, כיום אנחנו יודעים לייצר שכבות דקות מאוד וגם גבישים קטנים מאוד של חומר. במקרים אלה לא ניתן לדבר על נפח (Bulk) ללא קצוות, ואכן במבנים כאלה נמדדות תופעות מורכבות ויש לכתוב את הפיזיקה בדרך מורכבת וזהירה יותר.

***

בעולמנו ניתן להבחין במבנים מחזוריים ובחזרתיות בכל מיני מקרים וצורות: בשפה, במוזיקה ובחומר. כלומר, גם בעולם הטבע וגם בעולם התרבות. אני מניח שזה קשור לצורך שלנו להכניס סדר בעולם כאוטי. ואני מתכוון לזה במובן גשמי לחלוטין ולא רוחני. יש בנושא זה עושר כל כך גדול של כיוונים להתעמק בהם.

Don't get me started!

זהוזהוזהוזהוזהוזהוזהוזהוזהוזהוזהוזהוזהוזהוזהוזהוזהוזהוזהוזהוזהוזהוזהוזהוזהוזהוזהו

לא אופטיקאי מדופלם – על הקשר בין צמצם לעומק שדה

הפעם אפתח בווידוי: מעולם לא קניתי מצלמה.

המצלמה הראשונה שהייתה ברשותי היית חלק מטלפון (לא חכם במיוחד) ולא השתמשתי בה רבות. כיום המצב שונה, כמובן, בגלל הטלפונים החכמים.
מטרת הווידוי היא להסביר, ולא במעט, את העובדה הבאה: עד לפני כחודש לא ידעתי שסגירת הצמצם במצלמה מגדילה את עומק השדה של התמונה. מה רבה הייתה הפתעתי לשמוע זאת, מה גם שאם היו שואלים אותי, וודאי הייתי מנחש הפוך, אם בכלל.

אם כן, המשימה הפעם ברורה: אנסה להסביר מדוע שינוי במפתח הצמצם משפיע על עומק השדה של תמונה, מבלי להשתמש במשוואה מתמטית אחת. אצטרך להסביר מהי אופטיקה גיאומטרית ואופטיקת קרניים, להבין מהי דמות, מהי פעולת עדשה ומהי פעולת צמצם ואולי, ולבסוף כיצד הוא משפיע על עומק השדה.

תידרש סבלנות. נתחיל.

אופטיקה גיאומטרית\קרניים

אתחיל מהנחת היסוד: מסתבר שאור, שהוא תופעה מורכבת מאוד, נע, במקרים רבים, לאורך קווים ישרים. קל מאוד להראות זאת על ידי משחק באור וצל. קחו מקור אור וכוונו אותו על מסך. בין המקור למסך הניחו לוח שחוסם חלק מהאור (ראו איור 1). אם נניח שהאור נע בקווים ישרים נוכל לחשב את גודל הצל על ידי חישוב גיאומטרי פשוט (דמיון משולשים, מכאן "אופטיקה גיאומטרית"). אך גם ללא חישוב מדויק, כל מי שיבצע את הניסוי הזה ישתכנע בעובדה זאת.

איור 1: אופטיקה גיאומטרית. ניתן לחשב את רוחב הצל לפי דמיון משולשים.

אם אור אכן נע בקווים ישרים ברוב המקרים שמעניינים אותנו, נוכל לתאר כל אלומה של אור על ידי אסופה של קווים ישרים. כמה קווים? כמה שנוח לנו. האם אלומת אור באמת מורכבת מקווים ישרים בדידים? לא, אבל אם האור נע לאורך קווים ישרים תהיה זאת דרך יעילה ופשוטה מאוד לתאר תופעות מורכבות מאוד. אם כן, מעכשיו נתאר אלומות של אור על ידי חצים ישרים, או בעגה: "קרניים" (מכאן "אופטיקת קרניים").

הקיר מקולקל

עימדו נא אל מול קיר. מדוע דמותנו אינה משתקפת עליו?

האם אין הקיר מחזיר אור? ודאי שמחזיר, אחרת לא היינו רואים אותו.

האם לא ניתן להקרין עליו תמונות? ודאי שניתן, אם יש ברשותנו מקרן.

אם כן, מה הבעיה בקיר? למה הוא לא עובד כראוי?

כדי לשכנע שהקיר אינו מקולקל, קחו זכוכית מגדלת בחדר סגור (עדיף חשוך אבל לא חובה) עם חלון פתוח. החזיקו את זכוכית המגדלת בין החלון לקיר, קרוב לקיר (מספר סנטימטרים, תלוי בתכונות העדשה). מצאו את המרחק המתאים (מרחק המוקד) ואני מבטיח לכם שתראו תמונה קטנה והפוכה של הנוף הנשקף מהחלון.

אם כן, הקיר אינו 'מקולקל', ובכל זאת, דמותנו אינה משתקפת בו. מדוע?

כדי להסביר זאת ראשית יש להסביר מדוע אנחנו רואים עצם כלשהו שנמצא מולנו (למשל קיר).

אור ממקורות שונים פוגע בכל נקודה בעצם. כל נקודה שבה פוגע אור מפיצה אותו לכל כיוון אפשרי ובכך הופכת למקור אור משני (בדומה לשמש ולירח, השמש מקור אור אמיתי, כלומר, הפולט אור, והירח מקור אור משני, כלומר, מחזיר את אור השמש).

חלק מקרני האור המפוזרות מנקודה על העצם מגיעות אל העין שלנו. העין שלנו היא מכשיר מתוחכם שיודע לאסוף את כל הקרניים שהתפזרו מאותה נקודה והגיעו אליה ולרכז אותן חזרה לנקודה אחת על הרשתית, שהיא לוח חיישני אור מורכב בירכתיי העין (ראו איור 2). כלומר, העין והמוח יודעים לפענח מה הכיוון ממנו הגיע האור מהנקודה (לאו דווקא המרחק, ומכאן נובעות בעיות פרספקטיבה ואשליות אופטיות מסוימות).

איור 2: קרניים מפוזרות מנקודה על הדובי מתרכזות בנקודה אחת על רשתית העין.

כעת חישבו על אותה נקודה על העצם שמפיצה אור אל הקיר. אם נחשוב על הקיר כעל המסך או הרשתית, כל החיישנים מזהים אור בכל רגע ומכל כיוון. לא ניתן להסיק מהיכן הגיעו קרני האור. נניח ועל העצם יש נקודה אדומה, נקודה כחולה ונקודה ירוקה במקומות שונים עליו. האור משלושת הנקודות מגיע לכל נקודה על הקיר-מסך ולכן על כל נקודה נקבל ערבוביה של כל הנקודות וכל הצבעים (ראו איור 3). בצורה כזאת לא נוכל לבנות תמונה על הקיר ולכן אין דמות משתקפת בו.

איור 3: כל נקודה בדובי מאירה על כל נקודה בקיר ולכן לא ניתן לפענח דמות ברורה של דובי על הקיר.

פעולת העדשה המרכזת

ישנם שלושה מכשירים אופטיים שיודעים לייצר דמות: מראה, חריר צר ועדשה. אני אעסוק רק בעדשה מכיוון שזה המכשיר שנמצא בתוך מצלמה.

כבר ראינו שניתן 'לתקן' את הקיר על ידי שימוש בזכוכית מגדלת שהיא בעצם עדשה מרכזת. גם בעין שלנו יש עדשה מרכזת, וכעת אנחנו יכולים להבין מהי מטרתה העיקרית: יצירת דמות על הרשתית.

מבלי להיכנס לאיך ולמה זה קורה, עדשה מרכזת היא מכשיר אופטי שאוסף קרני אור ומרכז אותן לנקודה אחת. במילים אחרות, כל הקרניים שיוצאות בזוויות שונות מנקודת מקור בודדת מתרכזות בצד השני של העדשה לנקודה אחת במרחק מסוים שתלוי בתכונות העדשה (מרחק המוקד) ובמרחק המקור מהעדשה. אם כך, במידה ומיקמנו נכון את העדשה, היא דואגת שאור מכל נקודה על העצם מגיע רק לנקודה אחת על הקיר. במקרה זה נוכל לפענח על הקיר תמונה שאותה אנחנו מכנים בעגה 'דמות' (ראו איור 4).

איור 4: עדשה מרכזת. כל הקרניים היוצאות מאותה נקודה מתרכזות בנקודה אחת מהצד השני של העדשה.

כדי למצוא את נקודת הצטלבות הקרניים אנחנו נעקוב אחרי שתי קרניים פשוטות להבנה. קרן שעוברת במרכז העדשה לא נשברת וממשיכה ישר, קרן מקבילה לציר האופטי נשברת כך שתעבור דרך נקודת המוקד של העדשה, כפי שניתן לראות באיור 5 (למעשה כך מוגדרת נקודת המוקד, הנקודה בה מצטלבות כל הקרניים המקבילות העוברות בעדשה).

[הערת שוליים: מדויק רק עבור עדשות דקות, אבל הדיוק לא ממש חשוב לרשימה הזאת.]

איור 5: מציאת דמות של מקור נקודתי על ידי הצטלבות של שתי קרניים פשוטות לשרטוט.

כעת, כשמצאנו את נקודת ההצטלבות של כל הקרניים על ידי שתי קרניים פשוטות, נוכל להעביר כל קרן אחרת שמקורה באותה נקודת מקור ועוברת דרך העדשה. נבחר שתי קרניים שעוברות בקצוות של העדשה, כך שהן תוחמות את רוחב אלומת האור שנאספת על ידי העדשה, כפי שניתן לראות באיור 6.

איור 6: לאחר מציאת נקודת ההצטלבות ניתן להעביר את כל אלומת הקרניים שעוברות מהמקור הנקודתי דרך העדשה.

כיצד משתקף עצם דרך עדשה?

נסמן עצם כחץ מקביל לעדשה, כך שנוכל לזהות 'למעלה' ו-'למטה'. נבחר לעקוב אחרי שתי נקודות בקצוות החץ. כעת נמצא על ידי הקרניים הידועות את מיקום ההצטלבות של שתי הנקודות בצד השני של העדשה.

ישנם מקרים שונים בהם מתקבלות דמויות שונות של החץ (ישרה-הפוכה, 'ממשית'-'מדומה', מוגדלת-מוקטנת) כתלות במרחק של החץ מהעדשה. נתמקד במרחקים שבחרתי באיור 7. ניתן לראות שהתקבלה דמות חץ בצד השני של העדשה. אם נציב מסך, או קיר, בנקודה זאת, נוכל לראות עליה את דמות החץ ההפוכה והמוגדלת.

איור 7: מציאת דמות לא נקודתית באמצעות שתי קרניים מוכרות משתי נקודות בקצוות מנוגדים של העצם. ניתן לראות שהדמות על המסך, במקרה זה, תראה הפוכה ומוגדלת.

מה קורה אם נציב עוד עצם מאחורי העצם הראשון?

נשרטט את הדמות של החץ הראשון (A באיור 8) ונמקם שם מסך, כך שהדמות תראה עליו בצורה חדה. הדמות של החץ הרחוק יותר (B באיור 8) איננה יוצאת על המסך, והקרניים שנחתכו שם ממשיכות אל המסך כך שאלומת האור מכל נקודה מתרחבת. על המסך יתקבל כתם במקום נקודה, כפי שניתן לראות באיור 8. המקרה באיור כל כך חמור ששני הקצוות של החץ מרוחים על כל המסך ואחד על השני. מכאן שלא נוכל לראות את החץ הרחוק על המסך כלל. זהו בעצם הרעיון שמאחורי המושג עומק השדה. הדיון הוא על תחום המרחקים שבו עצמים יראו בתמונה (כלומר על המסך) בצורה חדה באופן יחסי.

איור 8: המסך ממוקם כך שהדמות של גוף A תראה עליו בצורה חדה, כלומר כל נקודה בעצם מועתקת לנקודה על המסך שהיא הדמות. מכיוון שהדמות של גוף B לא נמצאת בדיוק על המסך, אלומת האור מתרחבת ובמקום נקודה אנחנו מקבלים על המסך כתם.

אז מה הקשר של כל זה לצמצם?

אם נניח שהצמצם צמוד לעדשה במצלמה, נוכל להניח במודל פשוט שהצמצם בעצם קובע את גודלה האפקטיבי של העדשה על ידי כך שהוא חוסם אור מלהגיע לחלקים חיצוניים שלה.

אם כך, בואו ונבחן שוב את גודל הכתמים עבור אותו עצם, באותו מרחק ועם עדשה עם אותו מרחק מוקד, אבל הרבה יותר קטנה (צמצם סגור). נשרטט לשם כך את הקרניים שתוחמות את האלומה בקצוות העדשה. קל לראות באיור 9 שגודל הכתמים קטן באופן משמעותי, עד כדי כך שהכתמים כבר אינם חופפים. כלומר, נראה דמות, גם אם מטושטשת.

אם כך, הגענו לסוף הדרך. ראינו שככל שהצמצם סגור יותר, גודל הכתם שנוצר מעצמים שאינם ממוקדים היטב יהיה קטן יותר ולכן המרחק של עצמים מהעצם הממוקד יכול להיות גדול יותר. ובמילים אחרות: ככל שהצמצם סגור כך גדל עומק השדה בתמונה.

 

איור 9: בעדשה יותר קטנה (צמצם סגור) פתיחת הקרניים של העצם הרחוק יותר (B) לאחר שהצטלבו בנקודת הדמות היא צרה יותר ולכן הכתם של כל נקודה על המסך קטן יותר ומכאן שעומק השדה גדול יותר.

 

[הערת שוליים: במהלך הכתיבה של רשימה זאת נעזרתי בשיחות עם ד"ר ערן גרינולד, הגואו-טו-גאי שלי בענייני אופטיקה ודברים אחרים. כל הטעויות ברשימה הן שלי.]

 

כמה מילים על מה אסור ומה מותר לשאול על סכימה של מעגל חשמלי

התרעה: אני אניח במהלך הרשימה הבאה ידע מוקדם במעגלים חשמליים פשוטים (מקור ונגדים) ובחוק אוהם.

***

הכל התחיל מהתרגיל הזה :

לתלמידה מאוד חכמה הפריע שאני משרטט את המעגל בצורה הזאת (שימו לב היכן נקודה B):

כאשר ניסיתי לברר מה הבעיה היא אמרה שאמנם נכון שהפוטנציאל בנקודה B זהה בשני האיורים, אבל הזרם דרך הנקודה שונה. באיור הראשון רק חצי מהזרם של המעגל יזרום דרך נקודה B ובאיור השני כל הזרם.

איך נולדה הבעיה הזאת?

***

כאשר אנחנו רוצים לתאר מבנה הנדסי כלשהו באופן תמציתי, בדרך כלל נשרטט סכימה. הסכימה היא איור עם חוקים פנימיים שאמור לייצג באופן מופשט את המבנה. לדוגמה, לדירה שאני גר בה יש משהו שנקרא תשריט, שהוא איור המתאר באופן גרפי את תכנית המתאר של הדירה. התשריט אינו נראה כמו הדירה, או כמו תצלום של הדירה ורק מי שלמד את החוקים הפנימיים של התשריט ידע לקרוא אותו נכון. היתרון של התשריט בפרט ושל כל סכימה בכלל הוא שבהנחה שאנחנו יודעים את כללי הסכימה, במבט אחד חטוף אנחנו יכולים לספוג כמות גדולה של מידע באופן פשוט.

כאשר אנחנו רוצים לתאר מעגל חשמלי, הדרך הקלה ביותר היא לצייר סכימה של המעגל. הסכימה מורכבת מייצוגים מוסכמים של רכיבים כמו נגדים ומקורות מתח, למשל, ומקווים המחברים אותם בצורות שונות. נוח להשתמש בסכימה גם כהוראות להרכבת מעגל במציאות וגם כדי לנתח אותו באופן תיאורטי.

אך יש לזכור שהסכימה של מעגל חשמלי היא רק ייצוג מופשט של המציאות והיא עלולה לעורר בעיות.

הבלבול של התלמידה בתגובה למעגל בתחילת הרשימה נובע משתי העובדות הבאות שקשורות אחת לשניה:

– הקווים בסכימה חשמלית הם אינם חוטים בעולם האמיתי, אלא ייצוג של משטחים שווי פוטנציאל.

– לעולם אין לשאול מה הזרם דרך נקודה בסכימה, אלא רק מה הזרם דרך רכיב או מה המתח בין שתי נקודות.

לא השתכנעתם? המשיכו לקרוא.

***

התבוננו במעגל הבא:

באזור מסוים של המעגל החוט מתפצל לשלושה, ואז חוזר לחוט אחד.

מהו הזרם בכל אחד משלושת החוטים המפוצלים?

אם התשובה שלכם היא שליש מהזרם העובר דרך מקור המתח, חישבו שוב. באיזה חוק פיזיקלי השתמשתם כדי להגיע לתוצאה הזאת? ודאי בחוק אוהם. אך האם אתם יודעים לחשב דרך חוק אוהם חלוקת זרם במקביל של שלושה נגדים עם התנגדות אפס? לא ממש.

למעשה האיור הזה הוא שיקרי. הוא משתמש במילים נכונות כדי להרכיב משפט בתחביר נכון, אך המסר שלו חסר משמעות. חישבו על המשפט: "ראיתי אתמול חד-קרן מרושע". המילים נכונות, התחביר של המשפט נכון, אבל למשפט אין משמעות, מכיוון שחדי-קרן לא קיימים, ולכן מדוע שיהיו מרושעים?

קו בסכימה של מעגל חשמלי אינו מייצג חוט בעולם האמיתי, אלא משטח שווה פוטנציאל. לכן לפיצול המשולש שציירתי אין משמעות. כל המבנה הפנימי הזה מייצג נקודת פוטנציאל אחת.

"אבל רגע, האם לא ניתן לחבר במציאות חוט למקור המתח ואליו שלושה חוטים במקביל ואז חוט חזרה למקור המתח, כפי שרואים באיור?". ברור שאפשר, אבל אז הסכימה אינה מצויירת נכון. לחוטי חשמל יש התנגדות. בד"כ אנחנו לא מציירים התנגדות זאת מכיוון שברוב המקרים היא זניחה ביחס לנגדים במעגל. במעגל שאני ציירתי, אם הוא באמת מייצג חוטים, הרי ההתנגדות שלהם אינה זניחה אחד ביחס לשני בחיבור המשולש, ולכן יש לצייר שלושה נגדים במקביל ולפתור לפי חוק אוהם. אז באמת התשובה היא שהזרם בכל ענף יהיה שליש מהזרם הראשי.

כלומר, מותר לי לדון רק בזרם דרך רכיב ולא דרך נקודה, מכיוון שהקווים בסכימה אינם חוטים.

לא השתכנעתם? בואו נמשיך.

***

הביטו בשני המעגלים החשמליים הבאים:

שימו לב שההתנגדות השקולה של שני המעגלים זהה. כמו כן, הזרם שיזרום דרך מקור המתח, הזרם דרך כל אחד מהנגדים והמתח על כל מהם זהים בשני המקרים. לכן מבחינה פיזיקלית שתי הסכימות מתארות את אותו המצב.

הדבר הנוסף שחשוב לי שתשימו לב אליו הוא שבמעגל השמאלי לא זורם זרם דרך נקודה A. קל לראות זאת דרך הסימטריה של המעגל. הפוטנציאל מעל נקודה A ומתחת לנקודה A חייב להיות שווה גם אם לא היה את הקו שעליו היא יושבת. אותו פוטנציאל נופל על הנגד הימני העליון ועל הנגד הימני התחתון, כך שהמתח בין שתי הנקודות, מעל ומתחת ל-A, חייב להיות אפס. גם אם תחברו שם נגד לא יזרום בו זרם.

כעת נסו לאתר את נקודה A במעגל הימני השקול. נסו למצוא נקודה שדרכה לא זורם זרם. קל לראות שנקודה זאת אינה קיימת שם. זאת למרות שפיזיקלית המעגלים זהים. מדוע זה קרה?

הסיבה לכל זאת היא כמובן ש:

– הקווים בסכימה חשמלית הם אינם חוטים בעולם האמיתי, אלא ייצוג של משטחים שווי פוטנציאל.

– אף פעם אין לשאול מה הזרם דרך נקודה בסכימה, אלא רק מה הזרם דרך רכיב או מה המתח בין שתי נקודות. שהרי, רק הרכיבים נטועים במציאות הפיזיקלית.

[הערת שוליים: הטיעון האחרון עובד, ואפילו חזק יותר, גם במצב שבו הנגדים שונים וזורם זרם דרך הקו שעליו יושבת נקודה A. פשוט הטיעון נהיה מורכב יותר ודורך חישובים מדוקדקים יותר.]

מוטב מאוחר מאשר אף פעם – על מדידת לחות

במשך מספר שנים מחיי ביצעתי ניסויים בתוך תא כפפות שמטרתו לשמור על כמות נמוכה מאוד של מים וחמצן. חומרים אלו הם מאוד אקטיביים כימית ויכלו לשבש את התוצאות. על גבי התא תמיד היה ניצב מד-לחות והיה צריך לשים לב שערכו מצביע על לחות נמוכה. רק שנים מאוחר יותר חשבתי על כך שבתוך עומס המידע במערכת המורכבת הזאת מעולם לא שאלתי את עצמי באותן שנים מה בעצם מודד אותו המד ומה היחידות שהוא מציג. פשוט ידעתי את הערך שצריך להיות, שאותו קיבלתי בירושה מקודמי.

כעת נפלה עלי הרוח וקראתי על הנושא בהרחבה. אסכם בקצרה את מה שהבנתי במילים שלי, ואפנה למקורות אינטרנטיים פשוטים לקריאה נוספת.

תמונה 1: כלב רטוב באמבטיה. אין קשר ישיר לרשימה, אבל הוא חמוד. המקור לתמונה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש MarkBuckawicki.

***

מהי בכלל 'לחות'?

האוויר הוא תערובת של גזים שונים. הריכוז של רוב הגזים בו הוא קבוע ואלו המספרים שלומדים בבית הספר ורואים בכל הטבלאות. הריכוז של אדי המים באוויר, לעומת זאת, משתנה מזמן לזמן ותלוי בפרמטרים שונים.

נניח שנרצה להגדיר לחות ככמות המים באוויר. כיצד נעשה זאת? נוכל למשל להגדיר את מסת חלקיקי המים ליחידת נפח של אוויר. נשאב לנו כמות אוויר מייצגת. נספור את חלקיקי המים, נמיר למסה ונחלק בנפח האוויר. מידה זאת נקראת "לחות מוחלטת" (Absolute humidity) והיא אחלה יחידה מלבד העובדה שהיא לא עונה על השאלות שבאמת מעניינות אותנו. האם נזיע בכבדות מחר? האם ירד גשם מחר? האם יש סיכוי לערפל?

הסיבה לכך היא שהיכולת של האוויר לשאת אדי מים תלויה בטמפרטורה ובלחץ ברומטרי. גם אם נקל ונצמצם את הדיון בלחצים קבועים של אטמוספירה אחת, עדיין נשארנו עם התלות בטמפרטורה. ככל שהטמפרטורה גבוהה יותר, האוויר יכול להכיל יותר אדי מים. גם אם אתם יודעים את הערך של הלחות המוחלטת שתהיה מחר, לא תוכלו לדעת האם תזיעו הרבה או מעט ללא ידיעת הטמפרטורה וביצוע חישוב.

תמונה 2: ערפל באוסטריה. המקור לתמונה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Sb2s3.

חישבו על זה כך: אם נקרר אוויר, שבו מתקיים ריכוז אדי מים בכמות מסוימת, נגיע לבסוף לטמפרטורה שבה זהו הריכוז המקסימלי האפשרי שהאוויר יכול להכיל ומים מהאוויר יחלו להתעבות על מרכזי התעבות כמו אבק או על משטחים, כלומר ייווצר טל. הטמפרטורה הזאת מכונה בעגה "נקודת הטל" (dew point). מצב זה, כאמור, הוא המצב שבו יש באוויר את הריכוז המקסימלי של אדי מים שהוא יכול להכיל בטמפרטורה הנתונה. כלומר, מה שאנחנו מכנים ביום-יום "לחות 100%". במילים אחרות, כאשר מדווחים בחדשות שהלחות מחר היא 50%, בעצם מתכוונים שריכוז אדי המים באוויר מחר יהיה חצי מהכמות המקסימלית האפשרית בטמפרטורה שתשרור (ובלחץ הרלוונטי). המידה הזאת נקראת "לחות יחסית" (Relative humidity) והיא נוחה יותר לשימוש ועונה על מה שמעניין אותנו. גם היא תלויה בטמפרטורה, אבל התלות כבר מגולמת בתוך התשובה. אם הלחות היחסית היא 90%, יכולת ספיחה של אדי מים נוספים לאוויר נמוכה, קצב האידוי יהיה נמוך ואנחנו נזיע כמו סוסים, ולהיפך לגבי אחוזי לחות נמוכים מ-50% לדוגמה.

במילים אחרות, "לחות יחסית היא יחס המבוטא באחוזים בין כמות האדים שבאוויר בטמפרטורה נתונה, לבין כמות האדים שאוויר בנפח זה יכול להכיל במצב של רוויה." קצר ולעניין, מצוטט מהערך "לחות" בויקיפדיה העברית. למעוניינים בהגדרה מדעית\מתמטית מדויקת יותר כדאי לפנות לערך בויקיפדיה האנגלית (קישרתי ישירות להגדרה).

[הערת שוליים: אדי המים מהווים אחוזים בודדים מסך הגזים באוויר]

תמונה 3: יד מזיעה. המקור לתמונה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Minghong.

להסבר נוסף וקצר בעברית ברורה ראו בכתבה הזאת של מכון דוידסון, כולל סרטון:

https://davidson.weizmann.ac.il/online/sciencelab/לחות-יובש-ועומס-חום

לרשימה מפורטת יותר (ומיותרת לרשימה זאת) על סוגי היחידות והמדידות של לחות שניתן להיתקל בהן מומלץ לקרוא את תחילת המאמר בקישור הבא (באנגלית):

https://www.engineersgarage.com/article_page/humidity-sensor/

***

אז מה בעצם מודדים?

כמו בכל מדידה למטרות כימות של תופעה פיזיקלית שמעניינת אותנו, לא נרצה למדוד ישירות את התופעה, אלא משהו שמשנה את התנהגותו בהתאם לתופעה ואותו נוח יותר למדוד. כלומר, לא נשב ונספור מולקולות של מים באוויר, גם אם קיימת היום היכולת הטכנולוגית לעשות זאת.

אחת הדרכים למדוד לחות יחסית היא למדוד טמפרטורה בשני מדי-טמפרטורה (מדחום). האחד יהיה באווירה יבשה והשני עטוף במטלית רטובה. את הלחות היחסית ונקודת הטל ניתן לחשב באמצעות שתי קריאות אלה ובשימוש בנוסחה. אגב, קריאת שני מדי-הטמפרטורה תתאחדנה במצב שבו האוויר רווי באדי מים, כלומר, ככל שההפרש ביניהן גבוה יותר (הרטוב יראה קריאה נמוכה יותר) כך האוויר יבש יותר. איני מעוניין להרחיב בנושא ברשימה זאת וניתן לשמוע על כך קצת יותר בסרטון של מכון דוידסון שהפניתי אליו, או לקרוא בקישור הזה:

https://en.wikipedia.org/wiki/Hygrometer#Psychrometer_(wet-and-dry-bulb_thermometer).

תמונה 4: שני מדי-חום, יבש ורטוב, למדידת לחות יחסית ונקודת טל. המקור לתמונה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Arjuncm3.

אותנו מעניינת מדידה חשמלית של הלחות היחסית ולכן נרצה למצוא חומר שמגיב ללחות באוויר ומשנה את תכונותיו כתוצאה ממנה. התכונה שלו שהשתנתה צריכה להשפיע על תפקוד של רכיב במעגל חשמלי.

למיטב הבנתי, רוב מדי הלחות הפשוטים מתבססים על קיבול או על התנגדות חשמלית. במד לחות שמתבסס על קיבול החומר שמגיב ללחות הוא החומר הדיאלקטרי בקבל לוחות. קבל זה יהיה בנוי מסנדוויץ' של של אלקטרודות מתכתיות שביניהן ישנה שכבה של חומר שמשנה את תכונותיו הדיאלקטריות (כלומר התגובה שלו של לשדה חשמלי בקיטוב פנימי) בהתאם להגעה לשיווי משקל עם תנאי הלחות בסביבה. לשם כך נדאג לבנות את הרכיב כך שהוא חשוף להחלפת אוויר עם הסביבה (כלומר לא אטום ובחלקו בעל שטח פנים רחב ככול האפשר).

במד לחות שמבוסס על התנגדות חשמלית הרעיון דומה מאוד רק שנבחר חומר שרמת ההולכה החשמלית שלו משתנה בהתאם ללחות בסביבה. בחירת החומרים ובחירת הצורה של הרכיבים מורכבת, ותלויה בצרכים של כל אחד מהיישומים. זה המעבר מרעיון פיזיקלי ליישום הנדסי.

קצת יותר על ההנדסה, על בחירת המבנה והחומרים ועל היתרונות והחסרונות של כל שיטה ניתן לקרא בקישור הזה:

https://www.engineersgarage.com/article_page/humidity-sensor/

אני בוחר לסיים כאן.

***

נ.ב: מד הלחות שבו התבוננתי במשך השנים ההן היה, ככל הנראה, מראה את נקודת הטל ולכן הראה סקלה של טמפרטורה. לא שזה שינה משהו אז או משנה משהו היום…

איך להאיץ חללית מבלי להשתמש (כמעט) בדלק באמצעות פיזיקה (כמעט) תיכונית

הפעם אני רוצה לכתוב משהו קטן על חלליות, אבל בדרך אצטרך להתעכב לא מעט על כדורי טניס. נראה אם נצליח להיפגש בסיום.

***

דמיינו מקרה שבו כדור טניס נע לכיוון קיר, פוגע בניצב אליו וחוזר חזרה באותה מהירות בה הגיע (ראו איור 1). במקרה זה יש משהו שמשתנה באופן משמעותי ומשהו שנשאר קבוע בעקבות ההתנגשות של הכדור עם הקיר. כיוון תנועתו של הכדור משתנה באופן משמעותי בעקבות המפגש, אבל גודל המהירות, כלומר מספר המטרים שעובר הכדור בכל שניה, נשאר אותו הדבר. השינוי בכיוון התנועה נובע מכך שבזמן ההתנגשות הקיר הפעיל כוח על הכדור. העובדה שגודל המהירות לא השתנה הוא מקרה פרטי מיוחד.

[הערת שוליים: התנגשות שבה נשמר גודל האנרגיה במערכת נקראת בעגה: 'התנגשות אלסטית'.]

איור 1: כדור פוגע בניצב לקיר, הופך את כיוון תנועתו אך שומר על גודל המהירות (התנגשות אלסטית).

מה יקרה לאותו כדור שנע לכיוון אותו הקיר במהירות v אם הקיר נע בכיוונו במהירות u?

כדי לגלות את הפתרון לבעיה זאת עם כמה שפחות מתמטיקה נשתמש בטריק שפיזיקאים אוהבים: 'מהירות יחסית' ומעבר מערכות ייחוס.

חישבו על שתי מכוניות במרחק 100 ק"מ אחת מהשניה שנעות אחת לכיוון השניה במהירויות 80 קמ"ש ו-20 קמ"ש. תוך כמה זמן ייפגשו? המכוניות צריכות לכסות עד למפגש מרחק של 100 ק"מ. בכל שעה מכסה מכונית אחת 80 ק"מ והשניה 20 ק"מ. כלומר ביחד מכסות 100 ק"מ בשעה. אם כך ניתן לומר שהמהירות היחסית בין שתי המכוניות היא 100 קמ"ש, ולכן הן יפגשו אחרי שעה. אם היינו מרכיבים מצלמה על גג אחת המכוניות, המכונית שעליה המצלמה היתה נראית בסרטון עומדת במקום (בהנחה שלא מתבוננים בנוף מסביב שמשתנה), והמכונית השניה מתקרבת אליה במהירות 100 קמ"ש.

כעת בואו ונשים מצלמה על הקיר.

בעיני מצלמה שיושבת על הקיר הנע (בעגה: 'מערכת הקיר'), הקיר נמצא במנוחה והכדור נע לכיוונו במהירות v+u שמאלה. את הבעיה הזאת אנחנו כבר מכירים. הכדור פוגע בקיר והופך כיוונו, כלומר נע במהירות v+u ימינה, לאחר ההתנגשות. כעת נעבור ממצלמה על הקיר למצלמה על הקרקע (בעגה: 'מערכת המעבדה'). התוצאה הפיזיקלית חייבת להישאר זהה, כלומר הכדור חייב לנוע מהר יותר מהקיר ב-v+u ימינה. עבור המצלמה על הקרקע הקיר, שלא הושפע מההתנגשות, עדיין נע במהירות u ימינה, ולכן הכדור נע לעיניי המצלמה ימינה במהירות u+(v+u), כלומר במהירות v+2u ימינה. אם כך, הכדור האיץ באופן משמעותי. הוא לא רק שמר על מהירותו וקיבל את מהירות הקיר אלא הרבה מעבר לזה (ראו איור 2).

כעת ברור מדוע בפעמים הבודדות שניסיתי לשחק טניס, הכדור ששוגר מהמחבט שלי (במקרים המעטים שהצלחתי לגרום להם להיפגש) עזב את תחומי המגרש (ואת המתחם כולו).

איור 2: כדור פוגע בניצב לקיר נע. כיוון תנועתו מתהפך וגודל מהירותו גדל (התנגשות אלסטית).

***

אסבך את הבעיה עוד קצת.

דמיינו כעת כדור שפוגע בקיר בזווית ולא במאונך.

שוב נשתמש בטריק שפיזיקאים אוהבים. נפרק את התנועה לשני צירים מאונכים ונפתור עבור כל ציר בנפרד. את זה מתיר לנו לעשות החוק שני של ניוטון שממנו ניתן להסיק שכוחות שפועלים בציר x, למשל, משפיעים רק על שינוי מהירות בציר x, וכוחות בציר y רק על שינוי מהירות בציר y.

את וקטור המהירות נוכל לפרק לפי טריגונומטריה של משולש ישר זווית לרכיב בכיוון x ורכיב בכיוון y. גם אם שכחתם את המתמטיקה הזאת מימי התיכון, אין זה חשוב למסקנה שאליה אני חותר. רכיב המהירות בציר y לא ישתנה כי הקיר אינו מפעיל כוח בכיוון זה (אין חיכוך, למשל). רכיב המהירות בציר x ישמור על גודלו אבל יהפוך כיוונו. אם כך נקבל שהכדור שומר על גודל מהירותו בזמן ההתנגשות, אבל כיוונו משתנה כך שזווית היציאה שווה לזווית הכניסה ביחס לקיר (ראו איור 3).

איור 3: כדור פוגע בזווית לקיר, הופך את כיוון תנועתו בציר x ושומר על תנועתו בציר y (התנגשות אלסטית). התוצאה היא שזווית ההחזרה שווה לזווית הפגיעה.

סיבוך אחרון: מה יקרה אם הקיר נע ימינה?

נשלב את כל הטריקים, מצלמה על הקיר ופירוק לרכיבי מהירות. במערכת הקיר התוצאה זהה לתוצאה של קיר במנוחה, רק עם מהירות v+u, במקום v. כאשר נעבור לצופה במעבדה נקבל שרכיב המהירות ב-y לא משתנה, אך הרכיב ב-x הוא v+2u, כמו שראינו בדוגמה של התנועה החד-ממדית. נוכל לחבר חזרה את רכיבי המהירות בשימוש בטריגונומטריה של משולש ישר זווית ונבחין שכיוון התנועה שונה ביחס לתוצאה של קיר במנוחה וגם שגודלה של מהירות הכדור גבוהה יותר.

[הערת שוליים: במקרה זה, דרך הפתרון שלי תלויה במספר גורמים ואינה נכונה באופן גורף, למשל בכך שהכוח יושב על ציר x בלבד. אמנם האנרגיה נשמרת אך לא ניתן לדבר על שימור ברכיבי המהירות שהרי אנרגיה אינה וקטור. בשורה התחתונה, הדרך נכונה רק עבור המקרה המתואר, אבל המסקנה הכללית נכונה תמיד.]

איור 4: כדור פוגע בזווית לקיר נע, מגדיל והופך את כיוון מהירות בציר x ושומר על תנועתו בציר y (התנגשות אלסטית). התוצאה היא שזווית ההחזרה שונה מזווית הפגיעה וגודל מהירות ההחזרה גדל. כלומר, כדור הטניס שינה את כיוונו והאיץ בעקבות ההתנגשות עם הקיר.

בעצם הצלחנו לנתב מחדש את כיוון הכדור ועל הדרך גם להאיץ אותו. נוכל לשלוט על כיווני התנועה של הכדור לאחר ההתנגשות ועל גודל מהירותו, כולל גם להאט את תנועתו, על ידי שינוי בכיוון ובגודל תנועת הקיר ביחס לכדור הטניס.

[הערת שוליים: ומה לגבי שימור אנרגיה? האם לא נוצרה אנרגיה יש מאין?! לא. למעשה כדור הטניס גנב מעט אנרגיה קינטית מהקיר וגרם להאטה שלו, אבל בקירוב שלנו, ערך זה זניח].

שחקני טניס וודאי יודעים, 'דרך הידיים', את כל מה שפיתחתי כאן, ואף יותר. במקרה שלהם יש חיכוך בין המחבט ('הקיר') לכדור ולכן נפתח עבורם עולם שלם של מורכבות דרך ספינים וסלייסים, שהופכים את המשחק למעניין יותר, ודורשים מהשחקן מיומנות גבוהה.

אבל איך כל זה קשור לחלליות?

טוב ששאלתם.

***

חישבו על חללית שנעה לכיוון כוכב לכת במהירות מספיק גבוהה כדי לא להילכד בשדה הכבידה שלו. בשלב ההתקרבות היא נופלת אל הכוכב ומאיצה, ובשלב ההתרחקות היא יוצאת מהבור כנגד כוחות הכבידה שפועלים עליה, ומאטה. צורת המסלול של החללית היא היפרבולה (לא להתבלבל עם פרבולה), אבל גם אם אינכם מכירים את הצורה, מספיק לדעת שבמרחקים מספיק גדולים מהכוכב המסלול ההיפרבולי הוא בקירוב קו ישר (ראו אנימציה 5).

אנימציה 5: המחשה באנימציה של האצה של חללית (נקודה כחולה) באמצעות מעבר ליד כוכב לכת (כדור אפור). הגרף למטה מייצג את גודל המהירות של החללית בכל רגע. המקור לאנימציה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על יד המשתמש Y tambe.

אם כן, אם נתעלם ממה שקורה כאשר הגופים קרובים אחד לשני, נבחין שהחללית נעה בקו ישר במהירות v אל הכוכב שנע במהירות u, ולבסוף החללית ממשיכה בדרכה בכיוון חדש ובמהירות חדשה בקו ישר. נוסיף את העובדה שכוכב הלכת אינו מושפע מהאינטראקציה, ונסיק שאין הבדל מהותי בתוצאות הסופיות בין הבעיה הזאת לבעיה של הכדור המתנגש בקיר (בעגה: בשני המקרים ההתנגשות אלסטית, והגוף הגדול אינו מושפע, בקירוב, מהאינטראקציה).

אם אין הבדל מהותי בתיאור הפיזיקלי של התנגשות כדור טניס בקיר נע לבין חללית שנעה בקרבת כוכב לכת נע, זה אומר שמה שלמדנו מניתוח המקרה הראשון תקף גם לשני. כלומר, נוכל להשתמש באינטראקציה בין החללית לכוכב לכת בתנועה כדי להאיץ או להאט את החללית ללא שימוש בדלק, כפי שראינו עם הכדור והקיר. והרי, דלק הוא המשאב היקר ביותר על גבי חללית ששוגרה מכדה"א לחלל, ולא בגלל מחיר הדלק. למעשה אנחנו גונבים מעט מהירות (אנרגיה קינטית) מכוכב הלכת, אבל בגלל הפרשי המסה העצומים הוא לא ירגיש את זה. שיטה זאת מצריכה, כמובן, חישוב מוקדם של המסלולים ואני מנחש שהיא מצריכה גם הפעלה מוגבלת של המנועים כדי לכוון במדויק למסלול הרצוי, אז לא לגמרי ללא דלק, אבל חיסכון מהותי.

ואכן, במספר רב של מקרים נעשה שימוש בתופעה זאת במשימות חלל בעבר. ניתן לקרוא על מקרים אלה בדף הויקיפדיה הזה. אחת הדוגמאות ניתן לראות באנימציה 6 שלקוחה מאותו הדף.

התופעה או הטריק הזה נקרא לפעמים gravity assist, ולפעמים gravitational slingshot.

אנימציה 6: המחשה באנימציה של המסלול של חללית ווייג'ר 2 בין התאריכים 20 באוגוסט 1977 ועד 31 בדצמבר 2000. החללית בסגול, כדה"א בכחול, צדק בירוק, שבתאי בתכלת, אורנוס בחרדל, נפטון באדום. המקור לאנימציה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על יד המשתמש Phoenix7777, באמצעות נתונים מנאסא.

וזהו בעצם.

לא סתם פוזיציה, סופרפוזיציה! בשבחי הליניאריות

נתחיל הפעם בסלינקי.

למי שלא זוכר, סלינקי הוא הקפיץ שיודע לרדת מדרגות אם נותנים לו עזרה בהתחלה.

תמונה 1: סלינקי ממתכת. המקור לתמונה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Roger McLassus.

שני אנשים אוחזים סלינקי, אחד מכל צד, ומותחים אותו. לאחר שהוא ארוך ומתוח אחד האוחזים מזיז את הקצה שלו במהירות ימינה וחזרה למיקומו ההתחלתי. אני ממליץ לכולם לנסות זאת בבית. מה שיקרה הוא שתיווצר 'גבשושית' על גבי הסלינקי שתתקדם לאורכו, תגיע לקצה ותחזור.

דנתי בתופעה זאת באריכות ברשימה קודמת. הגבשושית היא בעצם גל (לא מחזורי) שעובר בתווך (שהוא הסלינקי, במקרה הזה). מה שעובר בתווך היא הפרעה, כלומר יציאה משיווי משקל. ההפרעה עצמה היא זאת שנעה, לא החומר. כל טבעת בסלינקי יוצאת משיווי משקל ברגע מסוים וחוזרת, אך נשארת במקומה על גבי התווך.

מה יקרה אם שני הקצוות יוסטו משיווי משקל? ייווצרו שתי גבשושיות שינועו לאורך הסלינקי. מה יקרה כאשר הן יפגשו?

מסתבר שכאשר שני גלים 'נפגשים' על פני התווך, או ליתר דיוק, נמצאים באותו מקום באותו הזמן, הם מתחברים. כלומר, אם שתי גבשושיות זהות נמצאות בדיוק באותו מקום על פני הסלינקי, מה שנראה הוא גבשושית אחת גדולה פי שתיים. אם הן חופפות באופן חלקי, בכל נקודת חפיפה נקבל חיבור.

המשמעות היא שכדי לקבל את כמות ההסטה של כל טבעת של הסלינקי ברגע מסוים משיווי משקל נוכל לחבר את ההסטה שהיית נגרמת על ידי המקור הראשון בזמן זה אילו היה היחיד, להסטה של המקור השני אילו הוא היה היחיד. הפעולה הזאת נקראת בעגה: 'לפתור לפי סופרפוזיציה של מקורות'. כלומר, נוכל לחשב את המציאות הפיזיקלית על ידי חיבור של השפעת המקורות הבודדים לו היו היחידים בעולם.

***

מטען חשמלי (חיובי או שלילי) הוא המקור של שדה חשמלי. ניתן לחשב את השדה החשמלי של מטען נקודתי, בנקודה מסוימת במרחב, על ידי חלוקה של מטען המקור בריבוע המרחק של הנקודה מהמטען והכפלה בקבוע כלשהו.

מה יהיה השדה החשמלי בנקודה מסוימת במרחב בנוכחות שני מטענים חשמליים?

ניחשתם נכון. גם במקרה זה ניתן להשתמש בחיבור מקורות בסופרפוזיציה. כלומר, נחשב את השדה בנקודה עבור מקרה שבו קיים בעולם רק מטען מספר 1, נחשב את השדה עבור מקרה שבו קיים רק מטען מספר 2, ונחבר את שתי התשובות לקבלת המציאות הפיזיקלית.

***

נניח שיש לי מעגל חשמלי שבו יש מספר של נגדים ושל מקורות מתח, וברצוני לדעת מה יהיה הזרם החשמלי דרך אחד הנגדים במעגל. ניתן לחשב את הזרמים בענפים השונים או את המתחים בצמתים לפי השיטה של קירכהוף, למי שמכיר (לא ממש חשוב אם לא). אבל יש דרך נוספת.

איור 2: סכימה של מעגל חשמלי לדוגמה. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש Svjo.

שוב ניחשתם נכון. נוכן לפתור לפי סופרפוזיציה של מקורות. נפתור את המעגל מספר פעמים, כמספר מקורות המתח. בכל סיבוב נשאיר רק מקור מתח אחד ונאפס את שאר המקורות (כלומר נחליף אותם בחוט מוליך, או במילים אחרות, נקצר אותם). במעגל שנשאר, המכיל רק מקור אחד, נחשב את הזרם דרך הנגד הרצוי. לבסוף נחבר יחדיו את כל התוצאות השונות, מהמקורות השונים, לקבלת התוצאה הסופית שהיא הזרם האמיתי על הנגד.

[הערת שוליים: אני ממליץ למי שלא בטוח שזה עובד ויודע לחבר נגדים בטור ובמקביל וגם את חוק אוהם, לנסות את השיטה על המעגל המצוי בדף הויקיפדיה של קירכהוף. המעגל כבר פתור ותוכלו לבדוק אם הגעתם לפתרון הנכון. נסו לחשב את המתח על נגד R₁.]

***

בשלב זה אולי קיבלתם את הרושם הלא נכון שהטריק של פתרון לפי סופרפוזיציה של מקורות יעבוד בכל מצב ובכל מערכת, ואין דבר רחוק יותר מהאמת. למעשה ברוב המקרים וברוב הבעיות הפיזיקליות, הכימיות וההנדסיות, עיקרון הסופרפוזיציה של מקורות לא יעבוד.

אז מה מייחד את המקרים שאותם בחרתי להציג?

המערכות שבחרתי הן מערכות הנקראות בעגה 'ליניאריות'. אם ניתן לתאר את המציאות על ידי משוואה שאנחנו מכנים 'ליניארית' אז יתקיים עיקרון הסופרפוזיציה.

ומהי משוואה ליניארית?

טוב ששאלתם.

נניח מערכת פשוטה שמצדה האחד אני מכניס מספר ומצידה השני יוצא כפל של המספר בחמש. כלומר, אם נכניס 2, נקבל 10, ואם נכניס 3, נקבל 15. מה יקרה אם נכניס 2 ועוד 3? נקבל 25 שהוא בדיוק חיבור של 10 ו-15. זאת דוגמה למערכת ליניארית.

נניח מערכת פשוטה אחרת שמצדה האחד אני מכניס מספר ומצידה השני יוצא כפל של חמש במספר בריבוע. כלומר, אם נכניס 2, נקבל 20, ואם נכניס 3, נקבל 45. מה יקרה אם נכניס 2 ועוד 3? נקבל 125 שהוא ממש לא חיבור של 20 ו-45. זאת דוגמה למערכת שאינה ליניארית.

ובכתיבה יותר פורמלית, נוכל להגדיר את ה-'כפול 5' במקרה הראשון, או 'כפול 5 ובריבוע' במקרה השני כאופרטור O שפועל על הכניסה X, והמוצא מסומן ב-Y. עבור מערכות ליניאריות מתקיים השוויון הבא:

כאשר C₁ ו-C₂ הם קבועים כלשהם.

שתי הדוגמאות שנתתי כאן הן הפשוטות ביותר שיכולתי לחשוב עליהן, אך משוואות פיזיקליות ליניאריות יכולות להיות גם פשוטות כמו הקשר בין הזרם למתח המקור במעגל חשמלי (חוק אוהם), או מסובכות ביותר, כמו משוואת הגלים.

מדוע הירח הוא ירח? כמה מילים על מרכז המסה

דמיינו נדנדה פשוטה. קרש ארוך ואחיד שבמרכזו מותקנת נקודה שסביבה הקרש יכול להסתובב.

אם אנחנו לא מפעילים כוח או מניחים משקל עודף (למשל ילד) על אחד הצדדים של הנדנדה היא תישאר מאוזנת (ראו איור 1).

איור 1: נדנדה פשוטה מאוזנת.

נדמיין כעת נדנדה שחלקה השמאלי עשוי מעץ קל וחלקה הימני מעץ כבד. כעת, ללא הפעלת כוח נוסף, כוח הכבידה יגרום לצד המאסיבי יותר להימשך למטה והנדנדה לא תהיה מאוזנת (ראו איור 2). כדי לאזן את נדנדה נוכל להוסיף משקל לצד הקל, בין אם בעזרת מסה נוספת או בעזרת הארכת הקרש. במקרה זה אנחנו בעצם משחקים בגודל שמכונה בפיזיקה 'מומנט', כוח כפול אורך הזרוע.

איור 2: נדנדה לא מאוזנת.

דרך חלופית לאזן את הנדנדה היא על ידי הזזת ציר הסיבוב.

רובנו ניסינו וגילינו (ואם לא, זה הזמן) שכדי לאזן מטאטא בצורה אופקית, יש לאזן אותו על נקודה שיותר קרובה למברשת מאשר לקצה המקל (ראו איור 3). הנקודה הזאת שסביבה המטאטא מאוזן נקראת מרכז המסה של המטאטא. זאת הנקודה שסביבה המסה מפולגת באופן שווה וסביבה הגוף נמצא בשיווי משקל.

איור 3: איזון מטאטא סביב נקודת מרכז המסה.

כדי לחשב את מיקומו של מרכז המסה עבור גוף מסוים נחשב את 'הממוצע' של כל המקומות שיש בהן מסה. כל נקודה שבה יש מסה 'מושכת' את מרכז המסה לכיוונה. נקודות משני צדדים מנוגדים של הראשית 'מתחרות' ביניהן ומושכות בכיוונים שונים. ככל שיש יותר מסה בנקודה מסוימת, היא מושכת חזק יותר לכיוונה. למעשה, חישוב מיקום מרכז המסה הוא ממוצע משוקלל של וקטורי-המקום שבהן יש מסה, כאשר המשקלים הם כמות המסה בכל נקודה.

נתבונן במספר דוגמאות דו-ממדיות:

מרכז המסה של מלבן הוא במרכז שלו, כלומר במפגש האלכסונים (ראו איור 4א).

עבור צורה שמורכבת משני ריבועים צמודים שאינם זהים בגודלם, נוכל למצוא את מרכז המסה של כל אחד מהם בנפרד ואז מרכז המסה המשותף יהיה על הקו בין שני המרכזים אבל קרוב יותר לגדול מהם, כי יש לו יותר משקל בחישוב (ראו איור 4ב).

אם שני הריבועים רחוקים מספיק אחד מהשני מיקום מרכז המסה ימצא מחוץ לגופים (ראו איור 4ג). כלומר מרכז המסה לא חייב להיות בנקודה שבה ישנה מסה. חישבו למשל על צורת פרסה. די ברור, גם ללא חישוב מדויק, שמרכז המסה נמצא במרכז הצורה, שם אין כלל חומר.

איור 4: מציאת מרכז המסה של גופים מלבניים פשוטים. הנקודות השחורות הן מרכז המסה המשותף והנקודות הצבעוניות הן מרכזי המסה של כל מלבן בנפרד. ניתן לראות לפי דוגמה ג' שמרכז המסה יכול להימצא במקום שאין בו מסה.

שיטה ניסיונית למצוא את מרכז המסה היא לתלות את הגוף מנקודה מסוימת הממוקמת על הדופן שלו ואז לתלות מהנקודה אנך בנאים (בעצם חוט עם משקולת). נסמן את האנך על הגוף ונבצע מדידה נוספת מנקודה אחרת על הדופן. מרכז המסה ימצא בנקודה בה נפגשים שני האנכים. לחלופין, ניתן לחפש נקודה שכאשר תולים ממנה את הגוף הוא נשאר מאוזן, כלומר אינו נוטה להסתובב בגלל כוח הכבידה.

חישבו על מרכז המסה כעל נקודה שעליה אני יכול להפעיל את חוקי ניוטון, כפי שהם כתובים בספר, מבלי לחשוש מסיבובים שאינם מתוארים באופן ישיר על ידי חוקים אלה. אם כך, ברור מדוע גוף שנתלה מנקודה שאינה מרכז המסה נוטה להסתובב. על מרכז המסה פועל כוח הכבידה שמושך אותו כלפי מטה עד שה-'חוט' שמחבר אותו לנקודת התליה נמתח ואינו מאפשר ירידה נוספת (ראו איור 5). בעצם נוכל לחשוב על כל גוף כעל מטוטלת שכל המסה שלה מרוכזת במשקולת קטנה בקצה החוט (שהיא מרכז המסה). המשקולת תמיד תשאף לנוע כלפי מטה, בהשפעת כוח הכבידה, אם החבל מאפשר זאת. זה גם אומר שנדנדה שציר הנדנוד נמצא בדיוק במרכז המסה תישאר יציבה גם אם היא נוטה בזווית, וזה דבר מוזר שקשה לדמיין וצריך לראות כדי להאמין.

איור 5: ניתן לחזות סיבוב גופים לפי המיקום של מרכז המסה ביחס לנקודת התלייה. מרכז המסה ישאף לנוע למטה בהשפעת כוח הכבידה.

***

למה אנחנו מתכוונים באסטרונומיה כשאנחנו אומרים 'ירח'? הכוונה אינה לירח הספציפי של כדור הארץ, אלא לירח כלשהו.

במילה ירח אנחנו מתכוונים ללוויין טבעי, שלא נוצר על ידי בני אדם, ושחג סביב גוף שמימי אחר. למשל, הירח שאנו רואים בשמי הלילה הוא ירח של כדור הארץ, ותחת ההגדרה הצרה הזאת כדור הארץ הוא ירח של השמש. נשים לב שמדובר בשני גופים שנעים סביב מרכז משותף, אך אחד מהם קיבל דרגה גבוהה יותר מהשני. קיימים מצבים בהם שני גופים נעים סביב מרכז משותף, אך הם שווים בעינינו בדרגתם ואף אחד מהם לא יקרא ירח של השני. כיצד ניתן להחליט עבור צמד גופים שמימים כאלה האם אחד מהם הוא ירח של השני או שהם בדרגה שווה?

האם הגודל קובע? לא. גנימד, אחד הירחים של צדק, גדול בקוטרו מכוכב חמה. אז איזה קריטריון חלופי נוכל להציע?

יש להבין שכל טקסונומיה (שיטת סיווג, מיון או קלסיפיקציה) היא שרירותית, והשאלה היא האם היא מועילה. בנוסף, חשוב שהיא תהיה חד משמעית וקלה לאבחנה ככל שניתן.

***

שני גופים הנעים סביב נקודה משותפת למעשה נעים סביב מרכז המסה בין שניהם. באסטרונומיה נהוג לכנות את מרכז המסה של מספר גופים שמימים החגים סביבו כ-Barycenter, ויכונה כאן מרכז-ברי לשם נוחות.

בין שני גופים, השונים מאוד בגודלם, ימצא מרכז-ברי בתוך הגוף הגדול. ממבט צד יראה שהגוף הקטן מקיף את הגוף הגדול והגוף הגדול מתנודד מעט מצד לצד כשיכור (ראו אנימציה 6).

אנימציה 6: תנועה של שני גופים בעלי מסה שונה סביב מרכז המסה. שמאל: מרכז-ברי מחוץ לשני הגופים בדומה למערכת פלוטו-כארון. מרכז: מרכז-ברי בקצה אחד הגופים בדומה למערכת כדה"א-ירח. ימין: מרכז-ברי קרוב למרכז אחד הגופים בדומה למערכת כדה"א-שמש. המקור לגיפים: ויקיפדיה, ויקיפדיה וויקיפדיה, לשם הועלו על ידי המשתמש Zhatt.

בואו ונחשוב על הקריטריון הבא: אם מרכז-ברי של שני גופים נמצא בתוך אחד הגופים, הגוף שבתוכו נמצא המרכז יקרא הגוף הראשי והגוף השני יקרא הירח שלו. למשל, מרכז-ברי של המערכת כדה"א-ירח נמצא בתוך כדה"א, כשלושה רבעים ממרכזו. מרכז-ברי של מערכת שמש-כדה"א נמצאת קרוב מאוד למרכז השמש. עד פה הכול טוב.

[הערת שוליים: נהוג לומר שכדה"א נע סביב מרכז השמש, או ליתר דיוק, נע במסלול אליפטי כאשר השמש נמצאת באחד ממוקדי האליפסה. אבל לאמיתו של דבר, גם השמש וגם כדה"א נעים במסלולים אליפטיים שונים כאשר יש מוקד אליפסה משותף לשני המסלולים והוא מרכז-ברי של שניהם. מכיוון שמרכז-ברי שלהם נמצא כל כך קרוב למרכז השמש, הקירובים שאנחנו מבצעים בד"כ הם מצוינים.]

אך אליה וקוץ בה. לפי ההגדרה שהצעתי, כארון הוא לא ירח של פלוטו, וצדק הוא לא ירח של השמש. האם זה חשוב? האם זה יעיל? האם זה בסדר?

***

לסיום, אני ממליץ לכל מי שלא שבע עדיין מוויכוחים על הגדרות וסיווג באסטרונומיה, ועדיין בוערת בקרבו סוגיית סיווגו של פלוטו (כוכב לכת או סתם גוש במערכת השמש) לקרוא מאמר כתוב היטב מאת סטיבן נובלה בבלוג שלו, שם הוא מתאר בבהירות את הבעיה ואפילו מציע פתרון מקורי משלו. נובלה אינו אסטרונום, אלא ניורולוג וחובב אסטרונומיה שכותב וחושב בצורה חדה וברורה.