ארכיון

Posts Tagged ‘פיזיקה’

לא סתם פוזיציה, סופרפוזיציה! בשבחי הליניאריות

נתחיל הפעם בסלינקי.

למי שלא זוכר, סלינקי הוא הקפיץ שיודע לרדת מדרגות אם נותנים לו עזרה בהתחלה.

תמונה 1: סלינקי ממתכת. המקור לתמונה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Roger McLassus.

שני אנשים אוחזים סלינקי, אחד מכל צד, ומותחים אותו. לאחר שהוא ארוך ומתוח אחד האוחזים מזיז את הקצה שלו במהירות ימינה וחזרה למיקומו ההתחלתי. אני ממליץ לכולם לנסות זאת בבית. מה שיקרה הוא שתיווצר 'גבשושית' על גבי הסלינקי שתתקדם לאורכו, תגיע לקצה ותחזור.

דנתי בתופעה זאת באריכות ברשימה קודמת. הגבשושית היא בעצם גל (לא מחזורי) שעובר בתווך (שהוא הסלינקי, במקרה הזה). מה שעובר בתווך היא הפרעה, כלומר יציאה משיווי משקל. ההפרעה עצמה היא זאת שנעה, לא החומר. כל טבעת בסלינקי יוצאת משיווי משקל ברגע מסוים וחוזרת, אך נשארת במקומה על גבי התווך.

מה יקרה אם שני הקצוות יוסטו משיווי משקל? ייווצרו שתי גבשושיות שינועו לאורך הסלינקי. מה יקרה כאשר הן יפגשו?

מסתבר שכאשר שני גלים 'נפגשים' על פני התווך, או ליתר דיוק, נמצאים באותו מקום באותו הזמן, הם מתחברים. כלומר, אם שתי גבשושיות זהות נמצאות בדיוק באותו מקום על פני הסלינקי, מה שנראה הוא גבשושית אחת גדולה פי שתיים. אם הן חופפות באופן חלקי, בכל נקודת חפיפה נקבל חיבור.

המשמעות היא שכדי לקבל את כמות ההסטה של כל טבעת של הסלינקי ברגע מסוים משיווי משקל נוכל לחבר את ההסטה שהיית נגרמת על ידי המקור הראשון בזמן זה אילו היה היחיד, להסטה של המקור השני אילו הוא היה היחיד. הפעולה הזאת נקראת בעגה: 'לפתור לפי סופרפוזיציה של מקורות'. כלומר, נוכל לחשב את המציאות הפיזיקלית על ידי חיבור של השפעת המקורות הבודדים לו היו היחידים בעולם.

***

מטען חשמלי (חיובי או שלילי) הוא המקור של שדה חשמלי. ניתן לחשב את השדה החשמלי של מטען נקודתי, בנקודה מסוימת במרחב, על ידי חלוקה של מטען המקור בריבוע המרחק של הנקודה מהמטען והכפלה בקבוע כלשהו.

מה יהיה השדה החשמלי בנקודה מסוימת במרחב בנוכחות שני מטענים חשמליים?

ניחשתם נכון. גם במקרה זה ניתן להשתמש בחיבור מקורות בסופרפוזיציה. כלומר, נחשב את השדה בנקודה עבור מקרה שבו קיים בעולם רק מטען מספר 1, נחשב את השדה עבור מקרה שבו קיים רק מטען מספר 2, ונחבר את שתי התשובות לקבלת המציאות הפיזיקלית.

***

נניח שיש לי מעגל חשמלי שבו יש מספר של נגדים ושל מקורות מתח, וברצוני לדעת מה יהיה הזרם החשמלי דרך אחד הנגדים במעגל. ניתן לחשב את הזרמים בענפים השונים או את המתחים בצמתים לפי השיטה של קירכהוף, למי שמכיר (לא ממש חשוב אם לא). אבל יש דרך נוספת.

איור 2: סכימה של מעגל חשמלי לדוגמה. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש Svjo.

שוב ניחשתם נכון. נוכן לפתור לפי סופרפוזיציה של מקורות. נפתור את המעגל מספר פעמים, כמספר מקורות המתח. בכל סיבוב נשאיר רק מקור מתח אחד ונאפס את שאר המקורות (כלומר נחליף אותם בחוט מוליך, או במילים אחרות, נקצר אותם). במעגל שנשאר, המכיל רק מקור אחד, נחשב את הזרם דרך הנגד הרצוי. לבסוף נחבר יחדיו את כל התוצאות השונות, מהמקורות השונים, לקבלת התוצאה הסופית שהיא הזרם האמיתי על הנגד.

[הערת שוליים: אני ממליץ למי שלא בטוח שזה עובד ויודע לחבר נגדים בטור ובמקביל וגם את חוק אוהם, לנסות את השיטה על המעגל המצוי בדף הויקיפדיה של קירכהוף. המעגל כבר פתור ותוכלו לבדוק אם הגעתם לפתרון הנכון. נסו לחשב את המתח על נגד R1.]

***

בשלב זה אולי קיבלתם את הרושם הלא נכון שהטריק של פתרון לפי סופרפוזיציה של מקורות יעבוד בכל מצב ובכל מערכת, ואין דבר רחוק יותר מהאמת. למעשה ברוב המקרים וברוב הבעיות הפיזיקליות, הכימיות וההנדסיות, עיקרון הסופרפוזיציה של מקורות לא יעבוד.

אז מה מייחד את המקרים שאותם בחרתי להציג?

המערכות שבחרתי הן מערכות הנקראות בעגה 'ליניאריות'. אם ניתן לתאר את המציאות על ידי משוואה שאנחנו מכנים 'ליניארית' אז יתקיים עיקרון הסופרפוזיציה.

ומהי משוואה ליניארית?

טוב ששאלתם.

נניח מערכת פשוטה שמצדה האחד אני מכניס מספר ומצידה השני יוצא כפל של המספר בחמש. כלומר, אם נכניס 2, נקבל 10, ואם נכניס 3, נקבל 15. מה יקרה אם נכניס 2 ועוד 3? נקבל 25 שהוא בדיוק חיבור של 10 ו-15. זאת דוגמה למערכת ליניארית.

נניח מערכת פשוטה אחרת שמצדה האחד אני מכניס מספר ומצידה השני יוצא כפל של חמש במספר בריבוע. כלומר, אם נכניס 2, נקבל 20, ואם נכניס 3, נקבל 45. מה יקרה אם נכניס 2 ועוד 3? נקבל 125 שהוא ממש לא חיבור של 20 ו-45. זאת דוגמה למערכת שאינה ליניארית.

ובכתיבה יותר פורמלית, נוכל להגדיר את ה-'כפול 5' במקרה הראשון, או 'כפול 5 ובריבוע' במקרה השני כאופרטור O שפועל על הכניסה X, והמוצא מסומן ב-Y. עבור מערכות ליניאריות מתקיים השוויון הבא:

כאשר C1 ו-C2 הם קבועים כלשהם.

שתי הדוגמאות שנתתי כאן הן הפשוטות ביותר שיכולתי לחשוב עליהן, אך משוואות פיזיקליות ליניאריות יכולות להיות גם פשוטות כמו הקשר בין הזרם למתח המקור במעגל חשמלי (חוק אוהם), או מסובכות ביותר, כמו משוואת הגלים.

מודעות פרסומת

מדוע הירח הוא ירח? כמה מילים על מרכז המסה

דמיינו נדנדה פשוטה. קרש ארוך ואחיד שבמרכזו מותקנת נקודה שסביבה הקרש יכול להסתובב.

אם אנחנו לא מפעילים כוח או מניחים משקל עודף (למשל ילד) על אחד הצדדים של הנדנדה היא תישאר מאוזנת (ראו איור 1).

איור 1: נדנדה פשוטה מאוזנת.

נדמיין כעת נדנדה שחלקה השמאלי עשוי מעץ קל וחלקה הימני מעץ כבד. כעת, ללא הפעלת כוח נוסף, כוח הכבידה יגרום לצד המאסיבי יותר להימשך למטה והנדנדה לא תהיה מאוזנת (ראו איור 2). כדי לאזן את נדנדה נוכל להוסיף משקל לצד הקל, בין אם בעזרת מסה נוספת או בעזרת הארכת הקרש. במקרה זה אנחנו בעצם משחקים בגודל שמכונה בפיזיקה 'מומנט', כוח כפול אורך הזרוע.

איור 2: נדנדה לא מאוזנת.

דרך חלופית לאזן את הנדנדה היא על ידי הזזת ציר הסיבוב.

רובנו ניסינו וגילינו (ואם לא, זה הזמן) שכדי לאזן מטאטא בצורה אופקית, יש לאזן אותו על נקודה שיותר קרובה למברשת מאשר לקצה המקל (ראו איור 3). הנקודה הזאת שסביבה המטאטא מאוזן נקראת מרכז המסה של המטאטא. זאת הנקודה שסביבה המסה מפולגת באופן שווה וסביבה הגוף נמצא בשיווי משקל.

איור 3: איזון מטאטא סביב נקודת מרכז המסה.

כדי לחשב את מיקומו של מרכז המסה עבור גוף מסוים נחשב את 'הממוצע' של כל המקומות שיש בהן מסה. כל נקודה שבה יש מסה 'מושכת' את מרכז המסה לכיוונה. נקודות משני צדדים מנוגדים של הראשית 'מתחרות' ביניהן ומושכות בכיוונים שונים. ככל שיש יותר מסה בנקודה מסוימת, היא מושכת חזק יותר לכיוונה. למעשה, חישוב מיקום מרכז המסה הוא ממוצע משוקלל של וקטורי-המקום שבהן יש מסה, כאשר המשקלים הם כמות המסה בכל נקודה.

נתבונן במספר דוגמאות דו-ממדיות:

מרכז המסה של מלבן הוא במרכז שלו, כלומר במפגש האלכסונים (ראו איור 4א).

עבור צורה שמורכבת משני ריבועים צמודים שאינם זהים בגודלם, נוכל למצוא את מרכז המסה של כל אחד מהם בנפרד ואז מרכז המסה המשותף יהיה על הקו בין שני המרכזים אבל קרוב יותר לגדול מהם, כי יש לו יותר משקל בחישוב (ראו איור 4ב).

אם שני הריבועים רחוקים מספיק אחד מהשני מיקום מרכז המסה ימצא מחוץ לגופים (ראו איור 4ג). כלומר מרכז המסה לא חייב להיות בנקודה שבה ישנה מסה. חישבו למשל על צורת פרסה. די ברור, גם ללא חישוב מדויק, שמרכז המסה נמצא במרכז הצורה, שם אין כלל חומר.

איור 4: מציאת מרכז המסה של גופים מלבניים פשוטים. הנקודות השחורות הן מרכז המסה המשותף והנקודות הצבעוניות הן מרכזי המסה של כל מלבן בנפרד. ניתן לראות לפי דוגמה ג' שמרכז המסה יכול להימצא במקום שאין בו מסה.

שיטה ניסיונית למצוא את מרכז המסה היא לתלות את הגוף מנקודה מסוימת הממוקמת על הדופן שלו ואז לתלות מהנקודה אנך בנאים (בעצם חוט עם משקולת). נסמן את האנך על הגוף ונבצע מדידה נוספת מנקודה אחרת על הדופן. מרכז המסה ימצא בנקודה בה נפגשים שני האנכים. לחלופין, ניתן לחפש נקודה שכאשר תולים ממנה את הגוף הוא נשאר מאוזן, כלומר אינו נוטה להסתובב בגלל כוח הכבידה.

חישבו על מרכז המסה כעל נקודה שעליה אני יכול להפעיל את חוקי ניוטון, כפי שהם כתובים בספר, מבלי לחשוש מסיבובים שאינם מתוארים באופן ישיר על ידי חוקים אלה. אם כך, ברור מדוע גוף שנתלה מנקודה שאינה מרכז המסה נוטה להסתובב. על מרכז המסה פועל כוח הכבידה שמושך אותו כלפי מטה עד שה-'חוט' שמחבר אותו לנקודת התליה נמתח ואינו מאפשר ירידה נוספת (ראו איור 5). בעצם נוכל לחשוב על כל גוף כעל מטוטלת שכל המסה שלה מרוכזת במשקולת קטנה בקצה החוט (שהיא מרכז המסה). המשקולת תמיד תשאף לנוע כלפי מטה, בהשפעת כוח הכבידה, אם החבל מאפשר זאת. זה גם אומר שנדנדה שציר הנדנוד נמצא בדיוק במרכז המסה תישאר יציבה גם אם היא נוטה בזווית, וזה דבר מוזר שקשה לדמיין וצריך לראות כדי להאמין.

איור 5: ניתן לחזות סיבוב גופים לפי המיקום של מרכז המסה ביחס לנקודת התלייה. מרכז המסה ישאף לנוע למטה בהשפעת כוח הכבידה.

***

למה אנחנו מתכוונים באסטרונומיה כשאנחנו אומרים 'ירח'? הכוונה אינה לירח הספציפי של כדור הארץ, אלא לירח כלשהו.

במילה ירח אנחנו מתכוונים ללוויין טבעי, שלא נוצר על ידי בני אדם, ושחג סביב גוף שמימי אחר. למשל, הירח שאנו רואים בשמי הלילה הוא ירח של כדור הארץ, ותחת ההגדרה הצרה הזאת כדור הארץ הוא ירח של השמש. נשים לב שמדובר בשני גופים שנעים סביב מרכז משותף, אך אחד מהם קיבל דרגה גבוהה יותר מהשני. קיימים מצבים בהם שני גופים נעים סביב מרכז משותף, אך הם שווים בעינינו בדרגתם ואף אחד מהם לא יקרא ירח של השני. כיצד ניתן להחליט עבור צמד גופים שמימים כאלה האם אחד מהם הוא ירח של השני או שהם בדרגה שווה?

האם הגודל קובע? לא. גנימד, אחד הירחים של צדק, גדול בקוטרו מכוכב חמה. אז איזה קריטריון חלופי נוכל להציע?

יש להבין שכל טקסונומיה (שיטת סיווג, מיון או קלסיפיקציה) היא שרירותית, והשאלה היא האם היא מועילה. בנוסף, חשוב שהיא תהיה חד משמעית וקלה לאבחנה ככל שניתן.

***

שני גופים הנעים סביב נקודה משותפת למעשה נעים סביב מרכז המסה בין שניהם. באסטרונומיה נהוג לכנות את מרכז המסה של מספר גופים שמימים החגים סביבו כ-Barycenter, ויכונה כאן מרכז-ברי לשם נוחות.

בין שני גופים, השונים מאוד בגודלם, ימצא מרכז-ברי בתוך הגוף הגדול. ממבט צד יראה שהגוף הקטן מקיף את הגוף הגדול והגוף הגדול מתנודד מעט מצד לצד כשיכור (ראו אנימציה 6).

אנימציה 6: תנועה של שני גופים בעלי מסה שונה סביב מרכז המסה. שמאל: מרכז-ברי מחוץ לשני הגופים בדומה למערכת פלוטו-כארון. מרכז: מרכז-ברי בקצה אחד הגופים בדומה למערכת כדה"א-ירח. ימין: מרכז-ברי קרוב למרכז אחד הגופים בדומה למערכת כדה"א-שמש. המקור לגיפים: ויקיפדיה, ויקיפדיה וויקיפדיה, לשם הועלו על ידי המשתמש Zhatt.

בואו ונחשוב על הקריטריון הבא: אם מרכז-ברי של שני גופים נמצא בתוך אחד הגופים, הגוף שבתוכו נמצא המרכז יקרא הגוף הראשי והגוף השני יקרא הירח שלו. למשל, מרכז-ברי של המערכת כדה"א-ירח נמצא בתוך כדה"א, כשלושה רבעים ממרכזו. מרכז-ברי של מערכת שמש-כדה"א נמצאת קרוב מאוד למרכז השמש. עד פה הכול טוב.

[הערת שוליים: נהוג לומר שכדה"א נע סביב מרכז השמש, או ליתר דיוק, נע במסלול אליפטי כאשר השמש נמצאת באחד ממוקדי האליפסה. אבל לאמיתו של דבר, גם השמש וגם כדה"א נעים במסלולים אליפטיים שונים כאשר יש מוקד אליפסה משותף לשני המסלולים והוא מרכז-ברי של שניהם. מכיוון שמרכז-ברי שלהם נמצא כל כך קרוב למרכז השמש, הקירובים שאנחנו מבצעים בד"כ הם מצוינים.]

אך אליה וקוץ בה. לפי ההגדרה שהצעתי, כארון הוא לא ירח של פלוטו, וצדק הוא לא ירח של השמש. האם זה חשוב? האם זה יעיל? האם זה בסדר?

***

לסיום, אני ממליץ לכל מי שלא שבע עדיין מוויכוחים על הגדרות וסיווג באסטרונומיה, ועדיין בוערת בקרבו סוגיית סיווגו של פלוטו (כוכב לכת או סתם גוש במערכת השמש) לקרוא מאמר כתוב היטב מאת סטיבן נובלה בבלוג שלו, שם הוא מתאר בבהירות את הבעיה ואפילו מציע פתרון מקורי משלו. נובלה אינו אסטרונום, אלא ניורולוג וחובב אסטרונומיה שכותב וחושב בצורה חדה וברורה.

:קטגוריותכללי תגיות: , ,

אל תתעסקו לפיזיקאי ביחידות המידה! – על איך ויכוח אידיוטי על יחידות מידה מוביל לדיון מעניין\מטרחן

אם יש משהו שחשוב לפיזיקאי או מהנדס, והוא יכול לטרחן עליו ללא בושה, אלו הן יחידות המידה. ראו הוזהרתם.

***

לפני זמן מה הערתי לקולגה, בעקבות משהו שאמר, על כך שרדיאן אינה יחידה. משום מה, זה מה שנתקע לי בראש מאז הלימודים כסוג של מנטרה שכבר לא זכרתי את מקורה המדויק אבל הייתי די משוכנע בנכונותה.

למי שכבר שכח, רדיאן היא דרך לתיאור מידה/גודל/כמות של זווית. רדיאן אחד מוגדר כערך הזווית בין שני רדיוסים במעגל שעליהם נשענת קשת שאורכה שווה לרדיוס. מכיוון שאורכו של היקף המעגל הוא שני פאי רדיוסים, אז במעגל שלם יש שני פאי רדיאנים של זווית. (מי שמעוניין בהסבר יותר מפורט ומעמיק מוזמן לקרוא אותו כאן בעברית).

אנימציה 1: הגדרת הרדיאן. המקור: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Lucas V. Barbosa.

אותו קולגה עקשן, שלא זוכר כלום מהלימודים, דרש הסבר מדוע רדיאן אינה יחידת מידה, שהרי היא מודדת זווית. ההסבר הטוב ביותר שהצלחתי להפיק היה כה מבולבל וחסר תועלת, כך שהיה ברור שאני רק מצטט משהו שיושב לי בראש. משהו שרמת הנכונות שלו מוטלת בספק ושהגיע הזמן להתעמק בנושא.

בואו נעשה סדר ונראה מי צדק.

***

אדם נמצא בחנות למוצרי חשמל ומעוניין לרכוש מקרר. הוא רוצה לוודא שרוחב המקרר מתאים לרוחב הגומחה הייעודית במטבח. לשם כך הוא מודד את רוחבו של המקרר בזמן שזוגתו מודדת בביתם את רוחב הגומחה. הם משווים תוצאות בטלפון וכך מחליטים אם ישנה התאמה. כדי שפעולה זאת תעבוד מספר תנאים צריכים להתקיים: 1) הסכמה על מדידת גודל פיזיקלי סטנדרטי, למשל מרחק בין שתי נקודות, 2) הסכמה על מכשיר מדידה סטנדרטי, למשל סרט מדידה, 3) הסכמה על מידה סטנדרטית שמקובלת על שניהם, למשל מטר.

תמונה 1: מקרר מלא בכל טוב הנמצא בתוך גומחה במטבח, למקרה שלא הייתם בטוחים במה מדובר. המקור לתמונה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Milad Mosapoor.

חוסר התאמה בין שני הצדדים לגבי התנאי השלישי עלול להוביל לאסון בקניית המקרר ואולי אף לגירושין.

מכיוון שכך, על כולנו להסכים בכל רגע מהו 'מטר' ברמת דיוק גבוהה ביותר. לשם כך ישנם גופים בינלאומיים האמונים על המשימה. גודלו של ה-'מטר' הוא שרירותי, ויש היסטוריה מעניינת מאחורי בחירתו, אבל זה נושא לרשימה אחרת.

***

ניתן לסווג את יחידות המידה לאלו הבסיסיות ולאלו הנגזרות.

ישנן 7 יחידות מידה בסיסיות ומוסכמות. שאר יחידות המידה המוכרות מורכבות מיחידות המידה הבסיסיות. המניע להגדרת יחידת מידה בסיסית היא הצורך למדוד גודל כלשהו שלא ניתן לתיאור על ידי יחידות קיימות.

לדוגמה, הדבר הראשון שמעניין אותנו בפיזיקה הוא לענות על השאלה "היכן אני נמצא בכל רגע" (בעגה מכונה קינמטיקה). לשם כך אצטרך למדוד מרחקים ופרקי זמן. יחידות המידה שנבחרו הן המטר והשנייה. מי שמעוניין להתעמק בהגדרות המדויקות מוזמן לקרוא בדף הויקיפדיה הזה.

מהירותו של גוף היא השינוי של מיקומו לאורך זמן ולכן היחידות של הן מטר לשנייה (מטר חלקי שנייה) והן יחידות נגזרות מיחידות הבסיס. לפעמים ממציאים ליחידות הנגזרות שם משלהן ולפעמים לא. עניין של נוחות ומסורת.

כדי להבין את הסיבות לכך שמסלול תנועה של גוף נראה כפי שהוא, יש להבין את הכוחות הפועלים (בעגה מכונה דינמיקה). כל עיסוק בכוח יוביל להגדרת תכונה בסיסית חדשה שהיא זאת שעליה הוא פועל. לדוגמא: כוח הכובד פועל בין מסות ולכן נגדיר את הקילוגרם. הכוח החשמלי פועל בין מטענים חשמליים ולכן נגדיר יחידת מטען חשמלי (הקולון).

[הערת שוליים: המידה שנבחרה כבסיסית היא 'אמפר', מידת זרם חשמלי, שהוא שינוי מטען בזמן, ולא 'קולון', מידת המטען. הסיבה לכך היא שקל לקשר אותו לכוח דרך מגנטיות ויותר קל למדוד אותו ממטען חשמלי.]

אם כך, הניוטון, מידת הכוח, נגזר מקילוגרם כפול מטר לשניה בריבוע (לפי החוק השני של ניוטון). ג'אול, מידת העבודה והאנרגיה, נגזר מכוח כפול מרחק, ולכן קילוגרם כפול מטר בריבוע לשניה בריבוע. וכך הלאה, הרעיון ברור.

שלושת היחידות הבסיסיות הנותרות הן 'קלווין' לטמפרטורה, 'מוֹל' לכמות חומר ו-'קנדלה' לכמות הארה, ואינני רוצה לעסוק בהן ברשימה זאת.

***

מכיוון שהרדיאן נוצר מחלוקה של שני אורכים (רדיוס ואורך קשת), הוא יחידת מידה חסרת מימדים, או לחלופין בעל מימדים של מטר למטר. מסיבה זאת לפעמים נוטים לציין אותו ולפעמים לא. הבעיה היא שאם לא נציין אותו נקבל שגם לתדירות (frequency) וגם למהירות הזוויתית (angular velocity) יהיו יחידות זהות של 1 חלקי שניה. לרוב נהוג לציין את היחידות של המהירות הזוויתית כרדיאן לשניה. כלומר, במובן הזה היה אולי כדאי בכל זאת להגדיר את הרדיאן כיחידה בסיסית של מדידת זווית.

אציג מספר טיעונים מדוע זה לא כדאי.

ראשית, היכן שיש זווית, יש סינוס או קוסינוס של הזווית. פונקציות אלה מקבלות לתוכן זווית ומחזירות מספר חסר יחידות (יחס של שני אורכים במשולש ישר זווית), והן חשובות מאוד בפיזיקה. אם נציג את הפונקציות כטור טיילור, כלומר כטור חזקות, נקבל למשל את הטור הבא:

ניתן לראות שהמשתנה X בטור מופיע בכל איבר בחזקה שונה. בפיזיקה לא ניתן לחבר גדלים בעלי יחידות שונות. לדוגמה, לא נוכל לחבר אורך ולשטח (אם שטח של ריבוע הוא 9 מטר רבוע ואורך צלעו 3 מטר אז ביחד הם 12 ???). אם כך, יש לנו כעת בעיה כי נדרש לחבר רדיאן לרדיאן בשלישית וכך הלאה. לכן חשוב להשאיר את הרדיאן כיחידה חסרת מימדים ולהימנע מהגדרתו כיחידת מידה. (אפשר לחשוב על פתרונות לבעיה, אבל למה לטרוח?).

כעת נחזור למהירות הזוויתית, אבל נעשה עצירה בדרך.

'זמן מחזור' מוגדר עבור תנועה מחזורית כזמן שלוקח להשלים מחזור אחד, לכן יחידות המידה שלו הן שניות. אך נשים לב שיש כאן מידע נוסף על התנועה ביחס למדידת זמן רגילה. אנחנו מתארים פעולה מתמשכת ולא חד פעמית ומניחים קיום מחזוריות. כלומר, זמן מחזור הוא בעצם שניות לסיבוב ולא סתם שניות.

'תדירות' של תנועה מחזורית מוגדרת כמספר הסיבובים בשניה אחת. כלומר, התדירות שווה לאחד חלקי זמן המחזור. לכן, באופן 'רשמי' היחידות של התדירות הן אחד חלקי שניה, אבל בעצם היחידות הן סיבובים לשניה (סיבובים חלקי שניה, ידוע גם כהרץ Hz). במובן הזה המהירות הזוויתית היא גם כן מספר הסיבובים בשניה רק שאנחנו מחליפים את המילה 'סיבוב' בביטוי 'שני פאי רדיאנים' אך מתכוונים בדיוק לאותו דבר. המהירות הזוויתית היא מספר ה-'שני-פאי-רדיאנים' לשניה.

בזמן המחזור ובתדירות לא שקלנו להתייחס למספר הסיבובים כיחידת מידה (מספר מונה לא מקבל יחידה, כמו ה-3 ב- '3 מטרים') ולכן מדוע שנחליט לעשות כך עבור הרדיאן? (שאלה פתוחה על אמת…אם למישהו יש טיעון טוב, אשמח לקרוא בתגובות).

[הערת שוליים: באותו עניין חישבו למשל על מקרה שבו הייתי מציין את ההארה של מסך פר פיקסל. היחידות של המספר הן של הארה, אבל העובדה שמדובר פר פיקסל היא חשובה מאוד כדי להבין את המידע.]

***

לסיכום, במערכת היחידות המקובלת כיום, SI, הרדיאן היא יחידת המידה לזווית. היא אינה אחת מיחידות המידה הבסיסיות אלא יחידת מידה חסרת מימדים שנגזרת ממטר חלקי מטר.

וכל מי שתקוע לו בראש מהלימודים שרדיאן הוא לא יחידה: תתמודדו!

:קטגוריותכללי תגיות: , ,

במקרה הכינותי מראש – על מדידת האפקט הפוטואלקטרי עם מד-מטען

ברשימה האחרונה סיפרתי על תולדותיו של האפקט הפוטואלקטרי ועל חשיבותו בעיני. חלקה האחרון של הרשימה עסק בניסוי של הפיזיקאי האמריקאי רוברט מיליקן שתוצאותיו הראו, מעל לכל ספק, שהמודל של אלברט איינשטיין להסבר התופעה עובד.

אני רוצה לחזור הפעם למערך הניסוי עצמו, לספר איך מבצעים אותו בכיתות הלימוד בתיכונים (מעט מאוד בשנים האחרונות) ולהציע דרך פשוטה יותר אבל לא חינוכית לביצוע הניסוי.

אפתח את הרשימה בהסבר, שכבר הופיע ברשימה הקודמת אבל הכרחי למי שלא קרא אותה, על מערך הניסוי. מי שקרא וזוכר, יכול לדלג.

היי, מותר לי להעתיק מעצמי!

***

מערכת המדידה כוללת שפופרת ואקום ובתוכה שתי אלקטרודות המוחזקות תחת הפרש מתח ביניהן. מאירים על אחת האלקטרודות וגורמים לפליטה של אלקטרונים מהמתכת. מד-זרם מחובר בין החוטים המחברים את שתי האלקטרודות, כך שאם אלקטרונים שנפלטו מאלקטרודה אחת מגיעים לשניה, נראה חיווי על כך. בנוסף, ניתן לשנות את המתח החשמלי בין שתי האלקטרודות כך שהשדה החשמלי ביניהן יוכל לעזור לאלקטרונים להגיע מהאלקטרודה הפולטת לקולטת וגם להפריע. ניתן לשנות את ערכו של המתח המפריע עד לאיפוס הזרם במד הזרם. למתח זה נקרא 'מתח העצירה'.

איור 1: תיאור סכמטי של הניסוי של מיליקן למדידת האפקט הפוטואלקטרי.

נשים לב שמתח העצירה הוא המתח המפריע המינימלי הנדרש כדי לעצור את כל האלקטרונים שנפלטו, כולל האנרגטיים ביותר. כלומר, בעצם מדובר באנרגיה החשמלית הנדרשת לעצירה ששווה לאנרגיה הקינטית שאותה נדרש לעצור. במילים אחרות, מתח העצירה שווה, עד כדי קבוע, לאנרגיה הקינטית המקסימלית של האלקטרונים הנפלטים.

נוכל לבצע ניסוי בו נמדוד את מתח העצירה עבור אורכי גל שונים של אור המוקרנים על האלקטרודה. אם נציץ שוב בנוסחה של איינשטיין (Eph=hf=B+Ek), נראה שהיא חוזה שגרף של מתח העצירה (כלומר בעצם Ek, האנרגיה הקינטית) כפונקציה של התדירות f צריך להראות כקו ישר ששיפועו הוא קבוע פלנק. (הסבר ברור יותר והרחבה על התיאוריה ניתן למצוא ברשימה הקודמת).

***

באופן מעשי, ניתן כיום לקנות שפופרת מתאימה לניסוי. ניתן להאיר עליה באמצעות נורת הלוגן מכוסה בפילטרים בצבעים שונים (אפשר, לדעתי, גם עם נייר צלופן פשוט, אבל לא ניסיתי בעצמי).

[חידת שוליים: האם הפילטרים הם מסוג low-pass או high-pass?]

אין מספיק כסף בבתי הספר לקנות מדי-זרם מדויקים מספיק למדידת רמות הזרם הנמוכות במערכת אבל למזלנו כל שמעניין אותנו הוא המצב בו הזרם מתאפס. מסיבה זאת נהוג לחבר מד-מתח (בחיבור טורי) במקום מד-זרם ולכוון אותו לסקלה הרגישה ביותר. במצב זה קריאת מד-המתח כלל אינה נכונה באף מקרה מלבד זה שמעניין אותנו – זרם אפס.

מסיבה שאני לא לגמרי מבין נהוג לכוון את המתחים השונים בין הקתודה (האלקטרודה המתכתית הפולטת אלקטרונים שעליה מאירים את האור) לאנודה (האלקטרודה הקולטת) באמצעות מפל מתח על נגד משתנה. אינני יודע בוודאות מדוע לא מחברים את מקור המתח ישירות לשפופרת. אולי זה נעשה כדי שיהיה קל לקבוע את המתח המקסימלי האפשרי על השפופרת באמצעות סוללה ובכך להגן עליה מתלמידים, או אולי זה פתרון זול יותר. אם כך או אם כך, כך נהוג.

שרטוט של מערכת המדידה נראה כעת הרבה יותר מורכב ומאתגר עבור התלמידים.

איור 2: תיאור סכמטי של מערך הניסוי למדידת האפקט הפוטואלקטרי בכיתת הלימוד בתיכון.

***

הרשו לי כעת להציע מערכת מדידה חלופית לניסוי הזה. היא הרבה יותר פשוטה להרכבה, הרבה יותר חכמה להבנת הפיזיקה אבל אולי לא כל כך מומלצת ללימוד בכיתה.

נזכר שמטרת מקור המתח החיצוני היא לייצר מצב שבו הזרם דרך השפופרת מתאפס, וכך נוכל למדוד את מתח העצירה. ישנה אפשרות הרבה יותר פשוטה לאלץ את הזרם בשפופרת להיות אפס למרות ההארה – ניתן לנתק ממנה את החוטים.

אם ננתק את החוטים המחוברים לאנודה ולקתודה, ברור שזרם אינו יכול לזרום, אך מתח חשמלי כן מתפתח ביניהן עקב ההארה ופליטת אלקטרונים. האור פוגע בקתודה וגורם לקריעת אלקטרונים, והם מצטברים מכיוון שאין זרם שיסחוף אותם משם והלאה. הצטברות המטען גורמת לעליית המתח (הפרש פוטנציאל חשמלי) בין האלקטרודות, שבתורו גורם להתנגדות להצטברות של מטען נוסף עקב כוחות דחייה חשמליים. המתח שבו יתקבל שיווי משקל הוא מתח העצירה.

אם כן, מתח העצירה הוא המתח בין הקתודה לאנודה תחת הארה כאשר הן מנותקות, וכל שנותר הוא למדוד אותו. אך פה קבור הכלב.

ההנחה שלנו בשימוש במד-מתח הוא שהוא מהווה נתק ולא מתפקד כהתנגדות נוספת במעגל. עם זאת, ברור שמד-מתח אינו נתק מכיוון שהוא מודד מתח עלי ידי הזרמת זרם (בכמות קטנה) דרכו. כלומר, אנחנו מניחים שהתנגדות הכניסה של מד-המתח היא גדולה מאוד ביחס לשאר ההתנגדויות במעגל. התנגדות הכניסה של מד-מתח רגיל במעבדה הוא מסדר גודל של כמה מגה-אוהמים. חיבור מד-מתח כזה בין הקתודה לאנודה יגרום לזרימה גדולה מידי ולשינוי המתח הפנימי, כך שלא נצליח למדוד את מתח העצירה.

אחח.. אם רק היה לנו במעבדה מד מתח עם התנגדות כניסה גבוהה בסדרי גודל…

במקרה הכינותי מראש רשימה שבה הסברתי שמד-מטען הוא מד מתח בתחפושת עם התנגדות כניסה גבוהה מאוד (וקבל שלא יפריע לנו).

כל שנותר הוא להאיר על השפופרת באורכי גל שונים ולמדוד את המתח באמצעות מד-מטען (קולון-מטר בעגה התיכונית). את הפקטור בין קריאת מד-המטען למתח עליו קובע הקבל בפנים. אם הוא לא ידוע לכם, אפשר פשוט לחבר מתח ידוע למכשיר ולקבוע את הערך בקלות.

ניסיתי, זה עובד מעולה. 15 דקות גג והניסוי גמור, כולל גרף וניתוח.

איור 3: תיאור סכמטי של מערך הניסוי למדידת האפקט הפוטואלקטרי אך ורק עם מד-מטען.

***

לדעתי יש שני דברים טובים בשיטה הזאת. הראשון הוא שהיא פשוטה יותר לביצוע. השניה היא שמי שהבין מדוע מקבלים את התוצאה הנכונה גם במקרה זה, הבין את הכל, לטעמי.

האם כך הייתי מדריך כיתת פיזיקה בתיכון? לדעתי לא. המערכת הרגילה אמנם מכילה יותר רכיבים, אך רעיונית היא ברורה יותר ומאפשרת גם למי שלא הבין עד הסוף את הרעיון הפיזיקלי להבין את הניסוי ולהצליח בו. שווה לנסות כהעשרה (בתוכנית הלימוד הנוכחית: העשרה על העשרה, אשרי המאמין).

***

קרדיט ליוסף סוסנובסקי שלימד אותי את הטריק הזה.

האפקט הפוטואלקטרי – קווים לדמותו, השנים הראשונות

האפקט הפוטואלקטרי ידוע בטריוויה כ-"הדבר הזה שעליו זכה אלברט איינשטיין בפרס נובל (לא על יחסות!)".

מהו האפקט הפוטואלקטרי, מניין הגיע ולמה זה מעניין?

הסקירה הקצרה הזאת (באופן יחסי…) תתמקד בעבודתם של שלושה פיזיקאים, כולם זוכי פרס נובל, שחקרו, מדדו, הסבירו והוכיחו את האפקט: פיליפ לנארד, אלברט איינשטיין ורוברט מיליקן.

***

נתחיל את הסיפור בפיליפ לנארד (אפשר להתחיל לפני כן, אבל אתמקד בעיקרי הדברים). לנארד היה פיזיקאי גרמני שזכה בפרס נובל על מחקרו בנושא 'קרני קתודה', או כפי שאנחנו מכנים אותן כיום, קרני אלקטרונים (שבאותה תקופה, סוף המאה ה-19 עדיין לא היה ברור מה טיבן). לדוגמה, מחקריו בבליעה של קרניים אלה לתוך חומרים היו גורם מכריע בהבנה שמדובר בשטף של חלקיקים ולא בקרינה אלקטרומגנטית ושהאטום ברובו הוא חלל ריק.

בסדרת ניסויים אחרת הקרין לנארד אור על אלקטרודות מתכתיות. נזכר שאור הוא גל אלקטרומגנטי מחזורי שצבעו קשור לאורך הגל שלו, כלומר למרחק שהוא עובר בזמן שלוקח לו להשלים מחזור שלם של תנודה. אדום בסביבות 650 ננומטר, כחול בסביבות 450 ננומטר, ואורכי גל קצרים יותר נקראים אולטרה-סגולים (UV). הקשר בין אורך הגל והתדירות הוא שהתדירות שווה למהירות האור חלקי אורך הגל.

איור 1: הספקטרום האלקטרומגנטי. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש Inductiveload.

התובנות החשובות לעניינינו שעלו מניסוייו של לנארד הם: 1) ניתן לגרום לפליטה או 'קריעה' של אלקטרונים מאלקטרודה מתכתית על ידי הארה עליה באור אולטרה-סגול, 2) קיימת תדירות סף (קשור, כאמור, לצבע האור) שמתחתיה אין פליטה כלל ומעליה יש פליטה, 3) שימוש באלקטרודות מחומרים שונים גורם לשינוי במהירות (או האנרגיה הקינטית) של האלקטרונים הנפלטים, לשינוי בתדירות הסף אבל לא משפיע על כמות המטען הנפלט (בהנחה שמקור ההארה זהה).

תוצאות ניסוייו של לנארד סתרו את מודל הגלים. אנסה להסביר מדוע על ידי אנלוגיה. חישבו על גלי ים שמכים בצוק שוב ושוב במשך שנים. בכל כמה רגעים מתנפץ לו גל מים על הצוק ושוחק אותו מעט. גלים חלשים שוחקים את המצוק לאט, גלים חזקים יותר מהר. אבל בסיכומו של דבר, גם גלים חלשים ישחקו את המצוק את נחכה מספיק זמן.

לא כך המצב בניסויו של לנארד. אם הגל מתנודד מעל לתדירות הסף מתרחשת קריעת אלקטרונים מהחומר, ואם מתחת אז אלקטרונים אינם מושפעים כלל. לא משנה כמה זמן נחכה, אין אפקט מצטבר. תוצאה זאת אינה תואמת מודל גלים. ישנן סתירות נוספות אך אסתפק בזאת.

***

לפני שאגיע להסבר הפשוט של איינשטיין לתופעה, נאלץ לעשות תחנת ביניים.

היתה בעיה בפיזיקה באותן שנים שנקראת 'קרינת גוף שחור' ואינני רוצה להתעכב עליה מכיוון שהיא דורשת חיבור בפני עצמו. אספר רק בקיצור נמרץ שהתיאוריה והניסוי בתחום זה לגבי עוצמת הקרינה הנפלטת מגוף שחור בתדרים שונים סתרו אחד את השני באופן ניכר ואף מביך ('הקטסטרופה בעל-סגול'). הפיזיקאי הגרמני, זוכה פרס הנובל, מקס פלנק, הנחשב למחולל תורת הקוונטים, פתר את הבעיה על ידי הנחה מוזרה.

פלנק הניח, רק לשם הפתרון, שהקרינה האלקטרומגנטית שנפלטת מגוף שחור מתקיימת בחבילות בדידות, ושכמות האנרגיה בכל חבילה נתונה על ידי קבוע (שידוע היום כקבוע פלנק) כפול התדירות. הנחה זאת אמנם לא התיישבה עם תורת גלים אבל היא הניבה את ההתפלגות הנכונה של הקרינה מגוף שחור בתדרים השונים.

איינשטיין, באחד מ-4 המאמרים המפורסמים שלו משנת 1905, לקח את הרעיון הזה והלך אתו אף רחוק יותר. הוא הניח שחבילות הקרינה של פלנק יכולות לתפקד כסוג של חלקיקים (שאותם אנחנו מכנים היום פוטונים). חבילת אור אחת, או פוטון אחד, של אור פוגע באלקטרון אחד בחומר, אחד-על-אחד, מתנגש בו ומעניק לו את האנרגיה שהוא נושא. כזכור, לפי פלנק, אנרגיה של חבילת אור תלויה בקשר ישר בתדר. אם אנרגיית הפוטון גדולה מספיק כדי להתגבר על הכוחות המחזיקים את האלקטרון בתוך החומר, אז האלקטרון יפלט החוצה. ההפרש שנשאר בין המחיר האנרגטי לקריעת האלקטרון לבין האנרגיה המקורית של הפוטון היא האנרגיה הקינטית שבה יפלט האלקטרון.

נוכל לסכם זאת בנוסחה הפשוטה הבאה: Eph=hf=B+Ek, כך ש- Eph היא אנרגית הפוטון, h קבוע פלנק, f תדירות, B פונקציית העבודה כלומר האנרגיה הדרושה לקרוע אלקטרון מהחומר ו- Ek האנרגיה הקינטית (פרופורציונית למהירות בריבוע).

נשים לב שהסבר פשוט זה מתאים לכל תוצאותיו של לנארד. תדירות הסף תתקבל כאשר אנרגיית הפוטון שווה בדיוק לפונקציית העבודה, כך שהאנרגיה הקינטית שווה לאפס. אם נחליף אלקטרודת פליטה בעצם נשנה את פונקציית העבודה B. ואכן, לפי המודל, תדירות הסף והאנרגיה הקינטית ישתנו. מספר האלקטרונים הנפלטים לא ישתנה כי הוא תלוי בכמות הפוטונים המגיעים ולכם באופי מקור האור.

***

רוברט מיליקן, פיזיקאי אמריקאי, היה משוכנע שהתיאוריה של איינשטיין שגויה מכיוון שהיו עדויות רבות מידי שהאור הוא גל (למשל ניסוי יאנג – שני הסדקים – לקבלת תמונת התאבכות). מיליקן עבד 10 שנים כדי לבנות ולשפר מערכת מדידה שבאמצעותה יוכל להוכיח את צדקתו.

מערכת המדידה כוללת שפופרת ואקום ובתוכה שתי אלקטרודות המוחזקות תחת הפרש מתח ביניהן. מאירים על אחת האלקטרודות וגורמים לפליטה של אלקטרונים מהמתכת (ראו איור 2). מד-זרם מחובר לשתי האלקטרודות, כך שאם אלקטרונים שנפלטו מאלקטרודה אחת מגיעים לשניה, נראה חיווי על כך. בנוסף, ניתן לשנות את המתח בין שתי האלקטרודות כך שהשדה החשמלי ביניהן יוכל לעזור לאלקטרונים להגיע מהאלקטרודה הפולטת לקולטת וגם להפריע. ניתן לשנות את ערכו של המתח המפריע עד לאיפוס הזרם במד הזרם. למתח זה נקרא 'מתח העצירה'.

איור 2: תיאור סכמטי של הניסוי של מיליקן למדידת האפקט הפוטואלקטרי.

נשים לב שמתח העצירה הוא המתח המפריע המינימלי הנדרש כדי לעצור את כל האלקטרונים שנפלטו, כולל האנרגטיים ביותר. כלומר, בעצם מדובר באנרגיה החשמלית הנדרשת לעצירת אלקטרון ששווה לאנרגיה הקינטית של אלקטרון שאותו נדרש לעצור. במילים אחרות, מתח העצירה שווה, עד כדי קבוע, לאנרגיה הקינטית המקסימלית של האלקטרונים הנפלטים.

נוכל לבצע ניסוי בו נמדוד את מתח העצירה עבור אורכי גל שונים של אור המוקרנים על האלקטרודה. אם נציץ שוב בנוסחה של איינשטיין, נראה שהיא חוזה שגרף של מתח העצירה (כלומר בעצם Ek) כפונקציה של התדירות f צריך להראות כקו ישר ששיפועו הוא קבוע פלנק.

ב-1914 פרסם מיליקן את תוצאותיו שהוכיחו מעל לכל ספק שהתיאוריה של איינשטיין נכונה. ב-1921 זכה איינשטיין בפרס נובל על הסברו לאפקט הפוטואלקטרי. פרס נובל על עבודה תיאורטית ניתן (למיטב ידיעתי) רק על כאלה שכבר הוכחו בניסוי.

[הערת שוליים: דוגמה עדכנית לכך היא פרס הנובל בו זכה פיטר היגס על פיתוח התיאוריה עבור 'בוזון היגס'. את התיאוריה הציע כבר בשנות ה-60. ההכרזה על גילוי החלקיק במאיץ החלקיקים בסרן היתה בשנת 2012, ובשנת 2013 הוענק להיגס הפרס.]

ב-1923 זכה מיליקן בפרס נובל ושימו לב לפנינה הבאה שצילמתי מתוך ההרצאה שנתן בטקס (מקווה שלא הוצאתי יותר מידי מהקשרו):

***

לדעתי, החשיבות העיקרית של האפקט הפוטואלקטרי היא בכך שהוא היה מהמבשרים הראשונים של תורת הקוונטית שתעלה על הבמה ותנפץ הרבה ממה שחשבו הפיזיקאים שכבר היה 'סגור' ומובן. האפקט גם הראה שלא ניתן יהיה עוד להסתפק בדעה שאור הוא פשוט גל אלקטרומגנטי. למעשה גם בימים אלה עדיין לא סיימנו להתווכח האם אור הוא גל, חלקיק, גם וגם או משהו אחר לגמרי.

***

סוף

***

נ.ב

בשולי הדברים רציתי לציין אנקדוטה שאינה חשובה כלל לנושא אך מראה לנו שוב שמדע נעשה על ידי אנשים.

פיליפ לנארד היה אמנם גאון פיזיקלי אבל היה גם אנטישמי קולני, מתנגד למדע 'יהודי' והיה גם חלק ממנגנון השלטון הנאצי בזמן הרייך השלישי. בסוף מלחמת העולם השניה וכיבוש גרמניה על ידי בעלות הברית הודח ומפאת גילו נשלח לסיים את חייו בכפר נידח ובשקט יחסי (מת שנתיים אחרי תום המלחמה).

מדי מטען ואיך לבנות אותם

אתחיל בווידוי. בכל שנותיי באקדמיה מעולם לא השתמשתי במד מטען חשמלי. למען האמת, מעולם לא שמעתי על מד מטען חשמלי.

הכרתי, באופן אינטימי, מד-זרם ומד-מתח, אבל לא מד-מטען. בהתחשב בעובדה שהגורם לקיומם של זרם ומתח הוא מטען חשמלי, ניתן לחשוב שזה דבר די מוזר, אבל יש לכך סיבות טובות. א': מעולם לא עלה הצורך במכשיר שכזה, ב': מד-מטען הוא בעצם מד-מתח בתחפושת.

אבל נתחיל בהתחלה.

***

על מה אנחנו מדברים כשאנחנו מדברים על מטען חשמלי?

כל גוף מורכב מאטומים וכל אטום (שאינו מיונן) מכיל מספר זהה של פרוטונים בעלי מטען חיובי ואלקטרונים בעלי מטען שלילי. לכן, למרות שמספר האטומים, מספר האלקטרונים ומספר הפרוטונים בגוף כלשהו הוא עצום, סך המטען החשמלי עליו הוא אפס.

נוכל לשנות זאת, למשל, על ידי קריעה של אלקטרונים מגוף א' והעברתם לגוף ב'. בסוף תהליך זה נקבל שני גופים, האחד טעון חיובית והשני טעון שלילית. העברת המטענים יכולה להתבצע על ידי שפשוף שני משטחים בעלי תכונות מתאימות, למשל בלון בסוודר מצמר, או בשיער הראש.

המטען החשמלי, שאותו נרצה למדוד, הוא המטען העודף שמפר את הניטרליות.

תמונה 1: חתול שהשתפשף בפצפוצי קלקר שעכשיו דבוקים אליו בגלל חשמל סטטי. המקור לתמונה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Sean McGrath.

***

נניח שיש בידינו גוף מוליך טעון ונרצה לדעת מה כמות המטען עליו. לשם כך נהיה חייבים להעביר את המטען לגוף אחר.

חישבו על מיכל מים אטום. כדי לדעת כמה מים הוא מכיל נצטרך להזרים את המים החוצה ולבצע את אחת משני המדידות הבאות: 1) למדוד את כמות המים שעברה בצינור הניקוז באמצעות שעון מים, 2) לרוקן את המים למיכל שנפחו ידוע ולבדוק כמה הוא התמלא.

השיטה הראשונה אנלוגית למדידת זרם חשמלי והשניה למדידת מטען.

כלומר שלשם מדידת מטען הדבר הראשון שנחוץ לנו הוא דלי.

***

עבור מטען חשמלי הדלי נקרא קבל.

קבל חשמלי הוא רכיב חשמלי סטנדרטי שיכול לאגור מטען. יש לו שני חיבורים חשמליים שביניהם ניתן להפעיל מתח חשמלי, וכתוצאה ייאגר מטען בקבל. לאחר סיום צבירת המטען בו, אין מעבר זרם חשמלי דרכו והוא מהווה נתק במעגל. כמות המטען שתיאגר בקבל תלויה במתח עליו ויכולת הקיבול שלו שקשורה לצורתו ולחומרים מהם הוא בנוי. היא נתונה על ידי הקשר הבא:

Q=C*V

כאשר, Q כמות המטען החשמלי, V המתח ו-C הקיבול.

השלב הראשון במדידת המטען הוא העברת המטען, או חלקו, לקבל על ידי יצירת מגע בין הגוף הטעון לבין אחד החיבורים או 'הרגליים' שלו. בהנחה שבחרנו קבל שערכו ידוע לנו, נוכל לקבוע את המטען עליו על ידי מדידת מתח.

זהו, סיימנו, לא?

תמונה 2: קבלים מכל מיני סוגים ירדו אלי ביום אביב נעים. המקור לתמונה: ויקיפדיה, לשם הועלו על ידי המשתמש Eric Schrader.

***

לא.

באופן תיאורטי מד-מתח אינו מאפשר זרם חשמלי דרכו ומודד את הפרש הפוטנציאל בין שתי נקודות שהוא מחובר אליהן, באורח קסום, ללא הפרעה למעגל החשמלי. באופן מציאותי זורם דרכו זרם (קטן) שגורם לשינוי בחוגה (אנלוגית או דיגיטלית) וכך מורה על המתח. מד-המתח הוא חור בדלי ולא יאפשר לנו לקבל מדידה יציבה.

נרצה לייצר מדידת מתח הצורכת זרם אפסי שבאפסיים. לשם כך נשתמש בטריק נוסף שיאפשר לנו להעביר את קריאת המתח ללא העברת זרם.

***

מגבר שרת (OP AMP) הוא רכיב סטנדרטי שבו ערך המתח ברגל היציאה שווה להפרש המתחים בין שתי רגלי הכניסה כפול מספר כלשהו שהוא ההגבר. אם ההגבר אינסופי, המתחים על רגלי הכניסה יהיו חייבים להיות זהים זה לזה כדי לקבל מתח סופי ביציאה (שימור אנרגיה). הזרמים והמתחים במעגל יסתדרו כך שזה יקרה. ההגבר ברכיב מציאותי אמנם אינו אינסופי, אך הוא מספיק גדול כך שבקרוב טוב המתח על רגלי הכניסה זהה.

נוכל לחבר את מתח הקבל לרגל כניסה אחת ואת רגל הכניסה השניה לרגל היציאה. אם המתח על רגלי הכניסה חייב להיות שווה, אז המתח ברגל היציאה חייב להיות שווה למתח הקבל בכל רגע. אך שימו לב שהמתח בנקודות אלה לא שווה בגלל שהן מחוברות אחת לשניה, אלא להפך, הן מנותקות ולא זורם דרכן זרם (בקירוב). החיבור הזה מכונה בעגה buffer או voltage follower.

איור 3: סכמה של מגבר שרת בחיבור buffer. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש Inductiveload.

אם כך, הצלחנו לקרוא את מתח הקבל מבלי לרוקן אותו. במובן מסוים, אנחנו אוכלים את העוגה ומשאירים אותה שלמה. את המחיר אנחנו משלמים לחברת חשמל על אספקת האנרגיה לתפעול המגבר, ובאופן חד פעמי למפעל שבנה אותו.

את המתח ביציאה מהמגבר נוכל למדוד על ידי מד-מתח.

***

בעצם כל מה שעשינו הוא לרכז את המטען הנמדד בקבל שתכונותיו ידועות ולקרא את המתח עליו. בין מד-המתח לבין הקבל בנינו סוג של שכבת בידוד שמעבירה את קריאת המתח ללא העברת זרם. כלומר דאגנו שמד-המתח לא יהיה רכיב נוסף במעגל הנמדד.

למעשה, מלבד הקבל, תארנו בנייה של מד-מתח. כל מד-מתח הוא מעגל מודד זרם (למשל גלוונומטר אנלוגי) המחובר למעגל הנמדד דרך התנגדות כניסה גבוהה. רק דאגנו שהתנגדות הכניסה שלנו תהיה ממש ממש ממש גבוהה (טרה-אוהמים) ולא סתם ממש ממש גבוהה (מגה-אוהמים) כמו במד-מתח רגיל.

לסיכום: מד-מטען זה שם מפואר למד-מתח עם התנגדות כניסה מאוד-מאוד גבוהה שמחובר בטור לקבל.

מד-מטען הוא מד-מתח בתחפושת.

***

ברשימה אחרת אספר על שימוש מפתיע שניתן לעשות עם מד-מטען שאינו מדידת מטען.

[הערת שוליים: ניתן גם לבנות מד-מטען מסוג 'אלקטרוסקופ' שבעיקר משמש כיום להמחשה בכיתות לימוד].

ניצוצות לגבות, רסיסים לריסים – על למה לא כדאי להכניס מתכות למיקרוגל

לפני מספר חודשים נשאלתי מדוע אסור להכניס מתכות לתנור המיקרוגל. עניתי בביטחון "זה ברור, כי המתכת תגרום לניצוצות ולהתלקחות. כולנו ראינו את הסרטונים ביוטיוב". "אבל למה המתכת גורמת לכל זה?". עניתי בביטחון "אהמהמהממה…". תוך כדי שעניתי, הבנתי שאני לא יודע את התשובה ברמה שמאפשרת להסביר לאדם אחר. עד אותו רגע חייתי את חיי כאדם שמשוכנע שהוא יודע את התשובה, ואז פתאום לא. עצרתי ואמרתי שאבדוק בהמשך.

ההמשך זה עכשיו.

להפתעתי גיליתי שזה לא בדיוק נכון שאסור להכניס מתכת למיקרוגל, אם כי, כפי שתבינו בהמשך, אני אכן לעולם לא אעשה זאת ואני מציע גם לכם להימנע מכך.

אז הנה מה שאני הבנתי מכל העניין.

תמונה 1: תנור מיקרוגל למטבח. המקור לתמונה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש 吉恩 שזה ז'אן לפי גוגל-טרנסלייט.

***

תנור המיקרוגל הוא קופסת מתכת שלתוכה מוזנים גלים אלקטרומגנטיים בתדר גבוה. הגלים מוחזרים הלוך ושוב מהקירות המוליכים ופוגעים ונבלעים באוכל שמונח בפנים. הגלים גורמים למולקולות מקוטבות חשמלית (כמו מים, שומנים וסוכרים) להסתובב בכיוון השדה, ולכן הלוך ושוב, וכך גורמים לחימומו של האוכל. נזכיר, מבלי להיכנס לפרטים מדויקים, שככל שמולקולות רוטטות יותר טמפרטורת החומר גבוהה יותר.

במכשירים הביתיים הגלים האלקטרומגנטיים המוזנים לחלל החימום מתנודדים בתדירות של כ-2.5 ג'יגה-הרץ, כלומר מסיימים מחזור תנודה 2.5 מיליארד פעמים בשניה (בין גלי רדיו לאינפרה-אדום). אורך הגל הוא כ-12 סנטימטר, מסדר הגודל של ממדי חלל החימום. המקור שמייצר את הגלים נקרא 'מגנטרון', והוא רכיב מתוחכם ומורכב שלהבנת עקרון פעולתו נדרשת רשימה נפרדת. למעוניינים, אפשר להתחיל מהסרטון הקצר הזה.

עוצמת הגלים בתוך המיקרוגל אינה שווה בכל מקום בחלל החימום. אם אין אוכל שסופג את הגלים, ייווצר בתוך החלל, עקב חיבור הגלים הבאים והולכים, גל עומד. הכוונה היא שבכל נקודה גודל התנודה המקסימלי של הגל תהיה קבועה (גדולה או קטנה, תלוי במיקום), בניגוד לגל נע שבו גודל התנודה נע במרחב עם תנועת הגל. זאת הסיבה שיש בתוך המיקרוגל צלחת מסתובבת, כדי שכל האוכל יעבוד דרך הנקודות שבהם יש תנודות חזקות יותר, וכך החימום יהיה אחיד בכל הצלחת. אצלי בבית הצלחת לא מסתובבת ואני נאלץ לקבל רק חצי מהפופקורן מכל שקית והאוכל בצלחת חלקו חרוך וחלקו קר. אני ממליץ לצפות בסרטון הזה שמדגים את התופעה בצורה מאוד משכנעת לדעתי.

***

אז מה הבעיה עם מתכת בתוך המיקרוגל?

המיוחד במתכת הוא שהאלקטרונים בה חופשיים לנוע. במצב סטטי האלקטרונים יסתדרו כך שהשדה החשמלי בתוך המתכת יהיה אפס, כך שאין סיבה לתנועה וכל המערכת בשיווי משקל. כלומר, במצב סטטי אין שדה חשמלי בתוך מוליך. במידה וצורת המוליך היא כדור, ואין שדה חיצוני המטענים יתפזרו באופן שווה על הדפנות, מטעמי סימטריה.

אם הגוף אינו כדור מושלם, ריכוז המטענים על פני הדפנות אינו אחיד. באזורים מחודדים יהיה ריכוז מטען גבוה יותר. כמו כן, אם מדובר בכדור, אך הוא נמצא בשדה חיצוני, גם אז פילוג המטען על הדפנות לא יהיה אחיד. מטענים חיוביים ינועו עם כיוון השדה ומטענים שליליים כנגדו, כלומר הגוף יעבור קיטוב של המטען בו.

איור 2: המחשה של פילוג המטען בכדור מוליך ללא שדה חשמלי ותחת שדה חשמלי ובלי או עם שפיץ.

בתגובה לשדה אלקטרומגנטי אשר מתנודד בזמן, מטענים ינועו הלוך ושוב כתגובה לשדה החשמלי המשתנה וייווצרו זרמים בתוך המוליך. זרמים אלה עדיין מאפסים את השדה בתוך המוליך מעומק מסוים, ולכן אני אניח עבור הסבר זה שגם במצב הדינאמי השדה החשמלי בתוך המוליך הוא אפס.

מכיוון שהשדה החשמלי בתוך המוליך הוא תמיד אפס, ברור שהגל האלקטרומגנטי (שחלקו הוא שדה חשמלי) לא חדר לתוכו, ומכאן ברור שהאנרגיה שנושא הגל מוחזרת. כלומר, משטח מתכתי מהווה 'מראה' עבור גל אלקטרומגנטי. זאת הסיבה שהגלים שמוזנים לחלל החימום מוחזרים מקירות החלל. זאת גם הסיבה שהגלים אינם בורחים החוצה. על הדלת יש רשת מתכתית שמהווה גם היא קיר כל עוד 'החורים' קטנים מאורך הגל.

כעת אנחנו מוכנים לדון בבעיות שנוצרות עקב הכנסה של מתכות לתוך המיקרוגל.

***

נזכר שבגופים מוליכים שנמצאים בשדה חשמלי משתנה בזמן נוצרים זרמים משתנים, ומה שחשוב עבורנו הוא שהזרמים שנוצרים באזורים שפיציים יהיו גבוהים יותר באופן משמעותי מאזורים אחרים. בנקודות שפיץ אלה יתפתח ברגעים מסוימים פוטנציאל חשמלי (מתח) גבוה מאוד ביחס לגוף המתכתי של חלל החימום שהוא בפוטנציאל נמוך. כאשר הצטבר מספיק מטען, הפוטנציאל בשפיץ מספיק גבוה כך שהשדה החשמלי ליד השפיץ גבוה משדה הפריצה של האוויר. במקרה זה האוויר עובר יינון והופך ממבודד למוליך ונראה ברק חשמלי נוצר בין השפיץ לגוף. תופעה זאת עלולה לגרום להתלקחות ולפגיעה במכשיר החשמלי ולכן לא רצויה.

ומה אם נשים מתכת ללא שפיצים? אפשרי, למעשה תוכלו למצוא במיקרוגלים צלחות השחמה, מדפים ממתכת, שקיות לחימום צ'יפס וחפצים נוספים שאינם מזיקים. בנוסף, אם תעטפו את האוכל שלכם ברדיד אלומיניום כך שכל המשטח שלו חלק, כל שכנראה יקרה הוא שהאוכל יישאר קר. רדיד האלומיניום יחזיר חלק גדול מהקרינה ויגן על האוכל מחימום. כתבתי "כנראה", כי לא ניסיתי ואני לא ממליץ לכם לנסות.

לדעתי, מצב זה אינו מומלץ מסיבה נוספת. הגלים אינם נבלעים באוכל ומוחזרים בעוצמות ובזוויות שלא נלקחו בחשבון על ידי המנדסים שתכננו את המכשיר. יכולים להיווצר שדות חזקים במקומות שלא תוכננו לכך ועלולים אולי לגרום להתלקחות. בנוסף, גלים אלה עלולים לגרום לעומס ונזק למקור הגלים. אינני בטוח בדיוק מדוע המקור רגיש להחזרים גדולים מידי, ולא ניסיתי בעצמי. אשמח לשמוע תשובות מלומדות מהקהל.

***

נקודה תחתונה: יש שתי תופעות בעייתיות שנגרמות על ידי מתכות במיקרוגל. האחת, הצטברות מטען ופריקה לדופן, והשניה, החזרות לא צפויות של גלים. כלומר, זה לא שאסור לשים מתכות בפנים, אלא שלא כדאי.

נקודה עוד יותר תחתונה ואף יותר חדה וברורה: אל תשימו מתכות במיקרוגל!