ארכיון

Posts Tagged ‘פיזיקה’

שוב ושוב ושוב ושוב, על הקשר בין בדיחות עבשות ניבולי פה וגבישים

דיסקליימר ואזהרה:

הרשימה הזאת נפתחת בשימוש קטן בגסויות. ביטוי ילדותי שכולל את השורש ז.י.נ, במשמעותו הגסה, וגרוע מזה, בשיתוף בעל חיים. אם דבר זה עלול להטריד אתכם, דלגו (על הפסקה, הרשימה, על מה שבא לכם. הכל טוב😀)

***

אני מניח שלא מעט אנשים שגדלו בישראל נתבקשו בשלב כלשהו בילדותם על ידי מאן דהוא להגיד בקול "יַנְתִי-פַּרַזִי" מספר פעמים רב ברצף. אם לא, זה הזמן.

אוקיי, מצחיק. כי זה כאילו גס. אבל גם כי התרחש פלא. ביטוי ג'יבריש הפך פתאום למשהו אחר, בעל משמעות. גסה.

נסו את אותו הדבר עם המילה "תִּירָס".

הפעם פחות מצחיק, כי זה לא גס, אבל יש שוני חשוב נוסף. שתי הצורות עובדות, גם "תִּירָס" וגם "סְתִירָה\סְטִירָה", ואנחנו יכולים לעבור ביניהן בקלות. כלומר, לשמוע את הראשונה או את השניה.

מדוע (למיטב הבנתי) זה עובד, ואיך זה קשור למדע (בעיקר בראש שלי)? על כך בהמשך.

***

אתחיל בלהפשיט את שתי המילים רק לחלקים אותם אנו הוגים:

תִּירָס – סְתִירָ

נבחין שההגייה והצלילים של שתי הצורות זהים עד כדי פרמוטציה ציקלית. כלומר, אם נסדר את האותיות על גבי מעגל, כאשר האות הראשונה בתחתיתו וקוראים בכיוון השעון, נוכל לעבור מצורה לצורה על ידי סיבוב פשוט של המעגל. ראו המחשה באיור הבא:

אגב, זה אומר שגם "רָסְתִי" יעבוד בצורה דומה, אם כי למופע זה אין משמעות בעברית.

אם כך, שתי המילים " תִּירָס – סְתִירָ" הן פרמוטציה ציקלית אחת של השניה. אבל, כאשר הוגים אותן קל מאוד להבדיל ביניהן. הן לא נשמעות אותו דבר כלל.

כאן מגיע הקסם של החזרה המרובה על המילה.

באיור הבא רשמתי ברצף מספר רב של פעמים את אחת מהמילים אבל טשטשתי את הקצוות. האם תוכלו לזהות האם רשמתי "תירס" או סתיר"? (ללא ניקוד הפעם):

ועכשיו לתמונה המלאה:

ניכר שלולא הקצוות לא ניתן להבדיל בין שני המקרים.

כעת דמיינו שאני רושם את המילה או הוגה אותה כל כך הרבה פעמים שלקצה כבר אין משמעות. הוא אירוע זניח ומרוחק מאיתנו, ושכחנו אותו. במקרה זה קל להבין מדוע המוח יכול להחליף בקלות בין שני המופעים. כמו כן, אם אחד מהם הוא מילה שלא קיימת בשפה, אז המוח יתקבע על המקרה שהוא מכיר ויש לו משמעות.

כעת בואו ונחשוב על המקרה ההפוך.

אנו ניצבים אל מול שרשרת אינסופית של האותיות הנ"ל. אין לה התחלה ואין לה סוף, והיא היתה מאז ומתמיד. אם כך, לדיון האם זה "תירס" או "סתיר" אין במצב זה כל משמעות. אך מה יקרה אם נשבור פיזית את השרשרת ונאלץ הופעה של קצה?

סביר להניח שאם חתכנו כך שהאות הראשונה היא 'ת', אז לפתע נקרא את הטקסט כחזרה על המילה "תירס". אם, לעומת זאת, נחתוך כשהאות הראשונה היא 'ס', נקרא את השורה כחזרות על המילה "סתיר".

***

אבל איך כל זה קשור למדע?

מבנים כאלה קיימים גם בעולם החומר והם נקראים גבישים.

בואו ונראה עד כמה רחוק נוכל לקחת את האנלוגיה הזאת.

***

מבלי להתעקש על הגדרות מדויקות ותקינות, אוכל לכתוב שמבנה גבישי הוא צורה גיאומטרית שנוצרת מחזרות במרחב של אותו אלמנט בסיס. אלמנט הבסיס מורכב מנקודות במרחקים מוגדרים אחת מהשניה.

נשרטט לנו מבנה שכזה, נניח אטומים בכל נקודה, והרי לנו גביש. חומרים רבים מופיעים בטבע בצורת גבישים, למשל מתכות ומוליכים למחצה. חומרים אלה חשובים לנו בהרבה תחומים, לדוגמה בתעשיית השבבים ובמדע החומרים.

[הערת שוליים – "הרי לנו גביש" *אחיד*, אבל אני לא נכנס לתיאור מורכב ברשימה זאת]

נבחן מקרה להמחשה (בשני ממדים לשם פשטות).

הנה ארבע נקודות על קודקודים של ריבוע:

הנה שכפול של המבנה (דמיינו שכפול אינסופי):

מבנה זה נקרא בעגה 'סריג'.

אם נציב אטומים בנקודות הסריג ונרחיב לשלושה ממדים נקבל גביש במבנה 'קובי פשוט'.

בואו ונבחן דוגמה מעט יותר מורכבת.

הנה סריג אחר:

מהו תא היחידה? כלומר, מהו האלמנט שצריך לשכפל כדי לקבל את המבנה המלא?

הנה שלוש אפשריות שונות:

אתן בהן שמות (ללא הסבר): אפשרות א' – 'מלבני', אפשרות ב' – 'פרימיטיבי', אפשרות ג' – 'ויגנר-זייץ'.

ברור שיש אינסוף אפשרויות לייצר תא יחידה. למשל, פעמיים התא המלבני, או שלוש פעמים וכך הלאה.

נשים לב שתא היחידה המלבני אינו מינימלי, שהרי ניתן לספור בו שני אטומים (אחד שלם באמצע ועוד ארבעה רבעים בקודקודים). אתם גם מוזמנים לבדוק שהשטח שלו כפול מזה של השניים האחרים ששווים בשטח שלהם אחד לשני ומכילים רק אטום אחד.

אז בואו ונהיה יותר הדוקים. נגדיר תא יחידה 'פרימיטיבי' ככזה בעל שטח (בעצם נפח) מינימלי, ובו תהיה רק נקודת סריג אחת.

אך בדוגמה האחרונה ראינו שניים כאלה ('פרימיטיבי', 'ויגנר-זייץ').

האמת היא שכל התאים נכונים ונבחר באיזה סוג תא להשתמש מטעמי נוחות. למשל, התא המלבני נוח להבנה ולניתוח וקל לראות ממנו את הסימטריה של הגביש ולעשות בו חשבונות פשוטים, למרות שאינו פרימיטיבי. לעומת זאת, לפיזיקה מתמטית מתקדמת נעשה שימוש בתא ויגנר-זייץ (מסיבות שקשה לי להסביר במסגרת הזאת).

[הערת שוליים (לדוברי השפה) – את הוקטורים הפרימיטיביים לתיאור הגביש באלגברה נוח למצוא מתא היחידה הפרימיטיבי.
אם נבצע התמרת פורייה מרחבית על תא ויגנר-זייץ נקבל את אזורי ברילואן של המבנה. לפי איזורי ברילואן נוכל לקבוע ולחשב תכונות אנרגטיות מורכבות של הגביש ואת צורת הפיזור ממנו, למשל של קרני X]

שימו לב שאם נניח שהגביש בגודל סופי, בחירות שונות של תאי יחידה יקבעו איך תראה השפה של הגביש. עם זאת, בכל גביש שאנו מסוגלים לראות את המימד שלו בעין בלתי מזויינת, השפעות הקצה על הנפח אינן חשובות. פני השטח של גביש מורכבים מכמה שכבות של אטומים. זאת כמות חומר זניחה ביחס לגודל הנפח, ולכן ניתן להתייחס לכל גביש כאין-סופי, ביחס לקצוות. כלומר, התכונות הפיסיות (חוזק וכדומה) והחשמליות (למשל הולכה חשמלית) של הגביש נקבעות ברוב המקרים על ידי הנפח.

האם זה תמיד נכון? האם אין לקצוות שום משמעות?

***

בואו ונביט על ייצוג תלת ממדי של מבנה קובי פשוט. נסו לדמיין שכל המרחב התלת-ממדי מרוצף בחזרות של התא הזה.

מבנה קובי פשוט. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש Daniel Mayer, DrBob.

כעת אני אחתוך את המבנה (האינסופי) לאורך מישור מוגדר של הגביש בשני צורות שונות. פעם אחת במישור הדופן של הקוביה ופעם שניה במישור האלכסון של הקוביה. ראו באיור הבא את כל מישורי החיתוך האפשריים. סימנתי את השניים שאני דן בהם כאן.

מישורים שונים במבנה קובי. שני המישורים שאני דן בהם מסומנים באדום ובכחול. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש Cdang.

נביט בייצוג דו-ממדי של המישורים שבהם חתכתי (בעצם היטל) בתא יחידה בודד:

קל לראות, לדעתי, שצפיפות האטומים בשני מישורי החיתוך שונה לגמרי.

מה המשמעות של זה?

אם נניח שבכל נקודה מונח אטום וכל אטום תורם כמות שווה של אלקטרונים להולכה, הרי שהמוליכות החשמלית במישור אחד תהיה גבוהה מזאת במישור השני. ואם, למשל, אנחנו רוצים להדפיס טרנזיסטורים על פני מישור של סיליקון, אנחנו חייבים לקחת עובדה זאת בחשבון.

זאת דוגמה אחת מיני רבות על החשיבות של קצוות הגביש במקרים מסוימים. כלומר, בגביש תכונות הנפח (Bulk) שונות מתכונות פני השטח (Surface), ותכונות פני השטח תלויות באיזה מישור חתכנו.

בנוסף, כיום אנחנו יודעים לייצר שכבות דקות מאוד וגם גבישים קטנים מאוד של חומר. במקרים אלה לא ניתן לדבר על נפח (Bulk) ללא קצוות, ואכן במבנים כאלה נמדדות תופעות מורכבות ויש לכתוב את הפיזיקה בדרך מורכבת וזהירה יותר.

***

בעולמנו ניתן להבחין במבנים מחזוריים ובחזרתיות בכל מיני מקרים וצורות: בשפה, במוזיקה ובחומר. כלומר, גם בעולם הטבע וגם בעולם התרבות. אני מניח שזה קשור לצורך שלנו להכניס סדר בעולם כאוטי. ואני מתכוון לזה במובן גשמי לחלוטין ולא רוחני. יש בנושא זה עושר כל כך גדול של כיוונים להתעמק בהם.

Don't get me started!

זהוזהוזהוזהוזהוזהוזהוזהוזהוזהוזהוזהוזהוזהוזהוזהוזהוזהוזהוזהוזהוזהוזהוזהוזהוזהוזהו

:קטגוריותכללי תגיות: , , ,

לא אופטיקאי מדופלם – על הקשר בין צמצם לעומק שדה

הפעם אפתח בווידוי: מעולם לא קניתי מצלמה.

המצלמה הראשונה שהייתה ברשותי היית חלק מטלפון (לא חכם במיוחד) ולא השתמשתי בה רבות. כיום המצב שונה, כמובן, בגלל הטלפונים החכמים.
מטרת הווידוי היא להסביר, ולא במעט, את העובדה הבאה: עד לפני כחודש לא ידעתי שסגירת הצמצם במצלמה מגדילה את עומק השדה של התמונה. מה רבה הייתה הפתעתי לשמוע זאת, מה גם שאם היו שואלים אותי, וודאי הייתי מנחש הפוך, אם בכלל.

אם כן, המשימה הפעם ברורה: אנסה להסביר מדוע שינוי במפתח הצמצם משפיע על עומק השדה של תמונה, מבלי להשתמש במשוואה מתמטית אחת. אצטרך להסביר מהי אופטיקה גיאומטרית ואופטיקת קרניים, להבין מהי דמות, מהי פעולת עדשה ומהי פעולת צמצם ואולי, ולבסוף כיצד הוא משפיע על עומק השדה.

תידרש סבלנות. נתחיל.

אופטיקה גיאומטרית\קרניים

אתחיל מהנחת היסוד: מסתבר שאור, שהוא תופעה מורכבת מאוד, נע, במקרים רבים, לאורך קווים ישרים. קל מאוד להראות זאת על ידי משחק באור וצל. קחו מקור אור וכוונו אותו על מסך. בין המקור למסך הניחו לוח שחוסם חלק מהאור (ראו איור 1). אם נניח שהאור נע בקווים ישרים נוכל לחשב את גודל הצל על ידי חישוב גיאומטרי פשוט (דמיון משולשים, מכאן "אופטיקה גיאומטרית"). אך גם ללא חישוב מדויק, כל מי שיבצע את הניסוי הזה ישתכנע בעובדה זאת.

איור 1: אופטיקה גיאומטרית. ניתן לחשב את רוחב הצל לפי דמיון משולשים.

אם אור אכן נע בקווים ישרים ברוב המקרים שמעניינים אותנו, נוכל לתאר כל אלומה של אור על ידי אסופה של קווים ישרים. כמה קווים? כמה שנוח לנו. האם אלומת אור באמת מורכבת מקווים ישרים בדידים? לא, אבל אם האור נע לאורך קווים ישרים תהיה זאת דרך יעילה ופשוטה מאוד לתאר תופעות מורכבות מאוד. אם כן, מעכשיו נתאר אלומות של אור על ידי חצים ישרים, או בעגה: "קרניים" (מכאן "אופטיקת קרניים").

הקיר מקולקל

עימדו נא אל מול קיר. מדוע דמותנו אינה משתקפת עליו?

האם אין הקיר מחזיר אור? ודאי שמחזיר, אחרת לא היינו רואים אותו.

האם לא ניתן להקרין עליו תמונות? ודאי שניתן, אם יש ברשותנו מקרן.

אם כן, מה הבעיה בקיר? למה הוא לא עובד כראוי?

כדי לשכנע שהקיר אינו מקולקל, קחו זכוכית מגדלת בחדר סגור (עדיף חשוך אבל לא חובה) עם חלון פתוח. החזיקו את זכוכית המגדלת בין החלון לקיר, קרוב לקיר (מספר סנטימטרים, תלוי בתכונות העדשה). מצאו את המרחק המתאים (מרחק המוקד) ואני מבטיח לכם שתראו תמונה קטנה והפוכה של הנוף הנשקף מהחלון.

אם כן, הקיר אינו 'מקולקל', ובכל זאת, דמותנו אינה משתקפת בו. מדוע?

כדי להסביר זאת ראשית יש להסביר מדוע אנחנו רואים עצם כלשהו שנמצא מולנו (למשל קיר).

אור ממקורות שונים פוגע בכל נקודה בעצם. כל נקודה שבה פוגע אור מפיצה אותו לכל כיוון אפשרי ובכך הופכת למקור אור משני (בדומה לשמש ולירח, השמש מקור אור אמיתי, כלומר, הפולט אור, והירח מקור אור משני, כלומר, מחזיר את אור השמש).

חלק מקרני האור המפוזרות מנקודה על העצם מגיעות אל העין שלנו. העין שלנו היא מכשיר מתוחכם שיודע לאסוף את כל הקרניים שהתפזרו מאותה נקודה והגיעו אליה ולרכז אותן חזרה לנקודה אחת על הרשתית, שהיא לוח חיישני אור מורכב בירכתיי העין (ראו איור 2). כלומר, העין והמוח יודעים לפענח מה הכיוון ממנו הגיע האור מהנקודה (לאו דווקא המרחק, ומכאן נובעות בעיות פרספקטיבה ואשליות אופטיות מסוימות).

איור 2: קרניים מפוזרות מנקודה על הדובי מתרכזות בנקודה אחת על רשתית העין.

כעת חישבו על אותה נקודה על העצם שמפיצה אור אל הקיר. אם נחשוב על הקיר כעל המסך או הרשתית, כל החיישנים מזהים אור בכל רגע ומכל כיוון. לא ניתן להסיק מהיכן הגיעו קרני האור. נניח ועל העצם יש נקודה אדומה, נקודה כחולה ונקודה ירוקה במקומות שונים עליו. האור משלושת הנקודות מגיע לכל נקודה על הקיר-מסך ולכן על כל נקודה נקבל ערבוביה של כל הנקודות וכל הצבעים (ראו איור 3). בצורה כזאת לא נוכל לבנות תמונה על הקיר ולכן אין דמות משתקפת בו.

איור 3: כל נקודה בדובי מאירה על כל נקודה בקיר ולכן לא ניתן לפענח דמות ברורה של דובי על הקיר.

פעולת העדשה המרכזת

ישנם שלושה מכשירים אופטיים שיודעים לייצר דמות: מראה, חריר צר ועדשה. אני אעסוק רק בעדשה מכיוון שזה המכשיר שנמצא בתוך מצלמה.

כבר ראינו שניתן 'לתקן' את הקיר על ידי שימוש בזכוכית מגדלת שהיא בעצם עדשה מרכזת. גם בעין שלנו יש עדשה מרכזת, וכעת אנחנו יכולים להבין מהי מטרתה העיקרית: יצירת דמות על הרשתית.

מבלי להיכנס לאיך ולמה זה קורה, עדשה מרכזת היא מכשיר אופטי שאוסף קרני אור ומרכז אותן לנקודה אחת. במילים אחרות, כל הקרניים שיוצאות בזוויות שונות מנקודת מקור בודדת מתרכזות בצד השני של העדשה לנקודה אחת במרחק מסוים שתלוי בתכונות העדשה (מרחק המוקד) ובמרחק המקור מהעדשה. אם כך, במידה ומיקמנו נכון את העדשה, היא דואגת שאור מכל נקודה על העצם מגיע רק לנקודה אחת על הקיר. במקרה זה נוכל לפענח על הקיר תמונה שאותה אנחנו מכנים בעגה 'דמות' (ראו איור 4).

איור 4: עדשה מרכזת. כל הקרניים היוצאות מאותה נקודה מתרכזות בנקודה אחת מהצד השני של העדשה.

כדי למצוא את נקודת הצטלבות הקרניים אנחנו נעקוב אחרי שתי קרניים פשוטות להבנה. קרן שעוברת במרכז העדשה לא נשברת וממשיכה ישר, קרן מקבילה לציר האופטי נשברת כך שתעבור דרך נקודת המוקד של העדשה, כפי שניתן לראות באיור 5 (למעשה כך מוגדרת נקודת המוקד, הנקודה בה מצטלבות כל הקרניים המקבילות העוברות בעדשה).

[הערת שוליים: מדויק רק עבור עדשות דקות, אבל הדיוק לא ממש חשוב לרשימה הזאת.]

איור 5: מציאת דמות של מקור נקודתי על ידי הצטלבות של שתי קרניים פשוטות לשרטוט.

כעת, כשמצאנו את נקודת ההצטלבות של כל הקרניים על ידי שתי קרניים פשוטות, נוכל להעביר כל קרן אחרת שמקורה באותה נקודת מקור ועוברת דרך העדשה. נבחר שתי קרניים שעוברות בקצוות של העדשה, כך שהן תוחמות את רוחב אלומת האור שנאספת על ידי העדשה, כפי שניתן לראות באיור 6.

איור 6: לאחר מציאת נקודת ההצטלבות ניתן להעביר את כל אלומת הקרניים שעוברות מהמקור הנקודתי דרך העדשה.

כיצד משתקף עצם דרך עדשה?

נסמן עצם כחץ מקביל לעדשה, כך שנוכל לזהות 'למעלה' ו-'למטה'. נבחר לעקוב אחרי שתי נקודות בקצוות החץ. כעת נמצא על ידי הקרניים הידועות את מיקום ההצטלבות של שתי הנקודות בצד השני של העדשה.

ישנם מקרים שונים בהם מתקבלות דמויות שונות של החץ (ישרה-הפוכה, 'ממשית'-'מדומה', מוגדלת-מוקטנת) כתלות במרחק של החץ מהעדשה. נתמקד במרחקים שבחרתי באיור 7. ניתן לראות שהתקבלה דמות חץ בצד השני של העדשה. אם נציב מסך, או קיר, בנקודה זאת, נוכל לראות עליה את דמות החץ ההפוכה והמוגדלת.

איור 7: מציאת דמות לא נקודתית באמצעות שתי קרניים מוכרות משתי נקודות בקצוות מנוגדים של העצם. ניתן לראות שהדמות על המסך, במקרה זה, תראה הפוכה ומוגדלת.

מה קורה אם נציב עוד עצם מאחורי העצם הראשון?

נשרטט את הדמות של החץ הראשון (A באיור 8) ונמקם שם מסך, כך שהדמות תראה עליו בצורה חדה. הדמות של החץ הרחוק יותר (B באיור 8) איננה יוצאת על המסך, והקרניים שנחתכו שם ממשיכות אל המסך כך שאלומת האור מכל נקודה מתרחבת. על המסך יתקבל כתם במקום נקודה, כפי שניתן לראות באיור 8. המקרה באיור כל כך חמור ששני הקצוות של החץ מרוחים על כל המסך ואחד על השני. מכאן שלא נוכל לראות את החץ הרחוק על המסך כלל. זהו בעצם הרעיון שמאחורי המושג עומק השדה. הדיון הוא על תחום המרחקים שבו עצמים יראו בתמונה (כלומר על המסך) בצורה חדה באופן יחסי.

איור 8: המסך ממוקם כך שהדמות של גוף A תראה עליו בצורה חדה, כלומר כל נקודה בעצם מועתקת לנקודה על המסך שהיא הדמות. מכיוון שהדמות של גוף B לא נמצאת בדיוק על המסך, אלומת האור מתרחבת ובמקום נקודה אנחנו מקבלים על המסך כתם.

אז מה הקשר של כל זה לצמצם?

אם נניח שהצמצם צמוד לעדשה במצלמה, נוכל להניח במודל פשוט שהצמצם בעצם קובע את גודלה האפקטיבי של העדשה על ידי כך שהוא חוסם אור מלהגיע לחלקים חיצוניים שלה.

אם כך, בואו ונבחן שוב את גודל הכתמים עבור אותו עצם, באותו מרחק ועם עדשה עם אותו מרחק מוקד, אבל הרבה יותר קטנה (צמצם סגור). נשרטט לשם כך את הקרניים שתוחמות את האלומה בקצוות העדשה. קל לראות באיור 9 שגודל הכתמים קטן באופן משמעותי, עד כדי כך שהכתמים כבר אינם חופפים. כלומר, נראה דמות, גם אם מטושטשת.

אם כך, הגענו לסוף הדרך. ראינו שככל שהצמצם סגור יותר, גודל הכתם שנוצר מעצמים שאינם ממוקדים היטב יהיה קטן יותר ולכן המרחק של עצמים מהעצם הממוקד יכול להיות גדול יותר. ובמילים אחרות: ככל שהצמצם סגור כך גדל עומק השדה בתמונה.

 

איור 9: בעדשה יותר קטנה (צמצם סגור) פתיחת הקרניים של העצם הרחוק יותר (B) לאחר שהצטלבו בנקודת הדמות היא צרה יותר ולכן הכתם של כל נקודה על המסך קטן יותר ומכאן שעומק השדה גדול יותר.

 

[הערת שוליים: במהלך הכתיבה של רשימה זאת נעזרתי בשיחות עם ד"ר ערן גרינולד, הגואו-טו-גאי שלי בענייני אופטיקה ודברים אחרים. כל הטעויות ברשימה הן שלי.]

 

:קטגוריותכללי תגיות: , ,

כמה מילים על מה אסור ומה מותר לשאול על סכימה של מעגל חשמלי

התרעה: אני אניח במהלך הרשימה הבאה ידע מוקדם במעגלים חשמליים פשוטים (מקור ונגדים) ובחוק אוהם.

***

הכל התחיל מהתרגיל הזה :

לתלמידה מאוד חכמה הפריע שאני משרטט את המעגל בצורה הזאת (שימו לב היכן נקודה B):

כאשר ניסיתי לברר מה הבעיה היא אמרה שאמנם נכון שהפוטנציאל בנקודה B זהה בשני האיורים, אבל הזרם דרך הנקודה שונה. באיור הראשון רק חצי מהזרם של המעגל יזרום דרך נקודה B ובאיור השני כל הזרם.

איך נולדה הבעיה הזאת?

***

כאשר אנחנו רוצים לתאר מבנה הנדסי כלשהו באופן תמציתי, בדרך כלל נשרטט סכימה. הסכימה היא איור עם חוקים פנימיים שאמור לייצג באופן מופשט את המבנה. לדוגמה, לדירה שאני גר בה יש משהו שנקרא תשריט, שהוא איור המתאר באופן גרפי את תכנית המתאר של הדירה. התשריט אינו נראה כמו הדירה, או כמו תצלום של הדירה ורק מי שלמד את החוקים הפנימיים של התשריט ידע לקרוא אותו נכון. היתרון של התשריט בפרט ושל כל סכימה בכלל הוא שבהנחה שאנחנו יודעים את כללי הסכימה, במבט אחד חטוף אנחנו יכולים לספוג כמות גדולה של מידע באופן פשוט.

כאשר אנחנו רוצים לתאר מעגל חשמלי, הדרך הקלה ביותר היא לצייר סכימה של המעגל. הסכימה מורכבת מייצוגים מוסכמים של רכיבים כמו נגדים ומקורות מתח, למשל, ומקווים המחברים אותם בצורות שונות. נוח להשתמש בסכימה גם כהוראות להרכבת מעגל במציאות וגם כדי לנתח אותו באופן תיאורטי.

אך יש לזכור שהסכימה של מעגל חשמלי היא רק ייצוג מופשט של המציאות והיא עלולה לעורר בעיות.

הבלבול של התלמידה בתגובה למעגל בתחילת הרשימה נובע משתי העובדות הבאות שקשורות אחת לשניה:

– הקווים בסכימה חשמלית הם אינם חוטים בעולם האמיתי, אלא ייצוג של משטחים שווי פוטנציאל.

– לעולם אין לשאול מה הזרם דרך נקודה בסכימה, אלא רק מה הזרם דרך רכיב או מה המתח בין שתי נקודות.

לא השתכנעתם? המשיכו לקרוא.

***

התבוננו במעגל הבא:

באזור מסוים של המעגל החוט מתפצל לשלושה, ואז חוזר לחוט אחד.

מהו הזרם בכל אחד משלושת החוטים המפוצלים?

אם התשובה שלכם היא שליש מהזרם העובר דרך מקור המתח, חישבו שוב. באיזה חוק פיזיקלי השתמשתם כדי להגיע לתוצאה הזאת? ודאי בחוק אוהם. אך האם אתם יודעים לחשב דרך חוק אוהם חלוקת זרם במקביל של שלושה נגדים עם התנגדות אפס? לא ממש.

למעשה האיור הזה הוא שיקרי. הוא משתמש במילים נכונות כדי להרכיב משפט בתחביר נכון, אך המסר שלו חסר משמעות. חישבו על המשפט: "ראיתי אתמול חד-קרן מרושע". המילים נכונות, התחביר של המשפט נכון, אבל למשפט אין משמעות, מכיוון שחדי-קרן לא קיימים, ולכן מדוע שיהיו מרושעים?

קו בסכימה של מעגל חשמלי אינו מייצג חוט בעולם האמיתי, אלא משטח שווה פוטנציאל. לכן לפיצול המשולש שציירתי אין משמעות. כל המבנה הפנימי הזה מייצג נקודת פוטנציאל אחת.

"אבל רגע, האם לא ניתן לחבר במציאות חוט למקור המתח ואליו שלושה חוטים במקביל ואז חוט חזרה למקור המתח, כפי שרואים באיור?". ברור שאפשר, אבל אז הסכימה אינה מצויירת נכון. לחוטי חשמל יש התנגדות. בד"כ אנחנו לא מציירים התנגדות זאת מכיוון שברוב המקרים היא זניחה ביחס לנגדים במעגל. במעגל שאני ציירתי, אם הוא באמת מייצג חוטים, הרי ההתנגדות שלהם אינה זניחה אחד ביחס לשני בחיבור המשולש, ולכן יש לצייר שלושה נגדים במקביל ולפתור לפי חוק אוהם. אז באמת התשובה היא שהזרם בכל ענף יהיה שליש מהזרם הראשי.

כלומר, מותר לי לדון רק בזרם דרך רכיב ולא דרך נקודה, מכיוון שהקווים בסכימה אינם חוטים.

לא השתכנעתם? בואו נמשיך.

***

הביטו בשני המעגלים החשמליים הבאים:

שימו לב שההתנגדות השקולה של שני המעגלים זהה. כמו כן, הזרם שיזרום דרך מקור המתח, הזרם דרך כל אחד מהנגדים והמתח על כל מהם זהים בשני המקרים. לכן מבחינה פיזיקלית שתי הסכימות מתארות את אותו המצב.

הדבר הנוסף שחשוב לי שתשימו לב אליו הוא שבמעגל השמאלי לא זורם זרם דרך נקודה A. קל לראות זאת דרך הסימטריה של המעגל. הפוטנציאל מעל נקודה A ומתחת לנקודה A חייב להיות שווה גם אם לא היה את הקו שעליו היא יושבת. אותו פוטנציאל נופל על הנגד הימני העליון ועל הנגד הימני התחתון, כך שהמתח בין שתי הנקודות, מעל ומתחת ל-A, חייב להיות אפס. גם אם תחברו שם נגד לא יזרום בו זרם.

כעת נסו לאתר את נקודה A במעגל הימני השקול. נסו למצוא נקודה שדרכה לא זורם זרם. קל לראות שנקודה זאת אינה קיימת שם. זאת למרות שפיזיקלית המעגלים זהים. מדוע זה קרה?

הסיבה לכל זאת היא כמובן ש:

– הקווים בסכימה חשמלית הם אינם חוטים בעולם האמיתי, אלא ייצוג של משטחים שווי פוטנציאל.

– אף פעם אין לשאול מה הזרם דרך נקודה בסכימה, אלא רק מה הזרם דרך רכיב או מה המתח בין שתי נקודות. שהרי, רק הרכיבים נטועים במציאות הפיזיקלית.

[הערת שוליים: הטיעון האחרון עובד, ואפילו חזק יותר, גם במצב שבו הנגדים שונים וזורם זרם דרך הקו שעליו יושבת נקודה A. פשוט הטיעון נהיה מורכב יותר ודורך חישובים מדוקדקים יותר.]

מוטב מאוחר מאשר אף פעם – על מדידת לחות

במשך מספר שנים מחיי ביצעתי ניסויים בתוך תא כפפות שמטרתו לשמור על כמות נמוכה מאוד של מים וחמצן. חומרים אלו הם מאוד אקטיביים כימית ויכלו לשבש את התוצאות. על גבי התא תמיד היה ניצב מד-לחות והיה צריך לשים לב שערכו מצביע על לחות נמוכה. רק שנים מאוחר יותר חשבתי על כך שבתוך עומס המידע במערכת המורכבת הזאת מעולם לא שאלתי את עצמי באותן שנים מה בעצם מודד אותו המד ומה היחידות שהוא מציג. פשוט ידעתי את הערך שצריך להיות, שאותו קיבלתי בירושה מקודמי.

כעת נפלה עלי הרוח וקראתי על הנושא בהרחבה. אסכם בקצרה את מה שהבנתי במילים שלי, ואפנה למקורות אינטרנטיים פשוטים לקריאה נוספת.

תמונה 1: כלב רטוב באמבטיה. אין קשר ישיר לרשימה, אבל הוא חמוד. המקור לתמונה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש MarkBuckawicki.

***

מהי בכלל 'לחות'?

האוויר הוא תערובת של גזים שונים. הריכוז של רוב הגזים בו הוא קבוע ואלו המספרים שלומדים בבית הספר ורואים בכל הטבלאות. הריכוז של אדי המים באוויר, לעומת זאת, משתנה מזמן לזמן ותלוי בפרמטרים שונים.

נניח שנרצה להגדיר לחות ככמות המים באוויר. כיצד נעשה זאת? נוכל למשל להגדיר את מסת חלקיקי המים ליחידת נפח של אוויר. נשאב לנו כמות אוויר מייצגת. נספור את חלקיקי המים, נמיר למסה ונחלק בנפח האוויר. מידה זאת נקראת "לחות מוחלטת" (Absolute humidity) והיא אחלה יחידה מלבד העובדה שהיא לא עונה על השאלות שבאמת מעניינות אותנו. האם נזיע בכבדות מחר? האם ירד גשם מחר? האם יש סיכוי לערפל?

הסיבה לכך היא שהיכולת של האוויר לשאת אדי מים תלויה בטמפרטורה ובלחץ ברומטרי. גם אם נקל ונצמצם את הדיון בלחצים קבועים של אטמוספירה אחת, עדיין נשארנו עם התלות בטמפרטורה. ככל שהטמפרטורה גבוהה יותר, האוויר יכול להכיל יותר אדי מים. גם אם אתם יודעים את הערך של הלחות המוחלטת שתהיה מחר, לא תוכלו לדעת האם תזיעו הרבה או מעט ללא ידיעת הטמפרטורה וביצוע חישוב.

תמונה 2: ערפל באוסטריה. המקור לתמונה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Sb2s3.

חישבו על זה כך: אם נקרר אוויר, שבו מתקיים ריכוז אדי מים בכמות מסוימת, נגיע לבסוף לטמפרטורה שבה זהו הריכוז המקסימלי האפשרי שהאוויר יכול להכיל ומים מהאוויר יחלו להתעבות על מרכזי התעבות כמו אבק או על משטחים, כלומר ייווצר טל. הטמפרטורה הזאת מכונה בעגה "נקודת הטל" (dew point). מצב זה, כאמור, הוא המצב שבו יש באוויר את הריכוז המקסימלי של אדי מים שהוא יכול להכיל בטמפרטורה הנתונה. כלומר, מה שאנחנו מכנים ביום-יום "לחות 100%". במילים אחרות, כאשר מדווחים בחדשות שהלחות מחר היא 50%, בעצם מתכוונים שריכוז אדי המים באוויר מחר יהיה חצי מהכמות המקסימלית האפשרית בטמפרטורה שתשרור (ובלחץ הרלוונטי). המידה הזאת נקראת "לחות יחסית" (Relative humidity) והיא נוחה יותר לשימוש ועונה על מה שמעניין אותנו. גם היא תלויה בטמפרטורה, אבל התלות כבר מגולמת בתוך התשובה. אם הלחות היחסית היא 90%, יכולת ספיחה של אדי מים נוספים לאוויר נמוכה, קצב האידוי יהיה נמוך ואנחנו נזיע כמו סוסים, ולהיפך לגבי אחוזי לחות נמוכים מ-50% לדוגמה.

במילים אחרות, "לחות יחסית היא יחס המבוטא באחוזים בין כמות האדים שבאוויר בטמפרטורה נתונה, לבין כמות האדים שאוויר בנפח זה יכול להכיל במצב של רוויה." קצר ולעניין, מצוטט מהערך "לחות" בויקיפדיה העברית. למעוניינים בהגדרה מדעית\מתמטית מדויקת יותר כדאי לפנות לערך בויקיפדיה האנגלית (קישרתי ישירות להגדרה).

[הערת שוליים: אדי המים מהווים אחוזים בודדים מסך הגזים באוויר]

תמונה 3: יד מזיעה. המקור לתמונה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Minghong.

להסבר נוסף וקצר בעברית ברורה ראו בכתבה הזאת של מכון דוידסון, כולל סרטון:

https://davidson.weizmann.ac.il/online/sciencelab/לחות-יובש-ועומס-חום

לרשימה מפורטת יותר (ומיותרת לרשימה זאת) על סוגי היחידות והמדידות של לחות שניתן להיתקל בהן מומלץ לקרוא את תחילת המאמר בקישור הבא (באנגלית):

https://www.engineersgarage.com/article_page/humidity-sensor/

***

אז מה בעצם מודדים?

כמו בכל מדידה למטרות כימות של תופעה פיזיקלית שמעניינת אותנו, לא נרצה למדוד ישירות את התופעה, אלא משהו שמשנה את התנהגותו בהתאם לתופעה ואותו נוח יותר למדוד. כלומר, לא נשב ונספור מולקולות של מים באוויר, גם אם קיימת היום היכולת הטכנולוגית לעשות זאת.

אחת הדרכים למדוד לחות יחסית היא למדוד טמפרטורה בשני מדי-טמפרטורה (מדחום). האחד יהיה באווירה יבשה והשני עטוף במטלית רטובה. את הלחות היחסית ונקודת הטל ניתן לחשב באמצעות שתי קריאות אלה ובשימוש בנוסחה. אגב, קריאת שני מדי-הטמפרטורה תתאחדנה במצב שבו האוויר רווי באדי מים, כלומר, ככל שההפרש ביניהן גבוה יותר (הרטוב יראה קריאה נמוכה יותר) כך האוויר יבש יותר. איני מעוניין להרחיב בנושא ברשימה זאת וניתן לשמוע על כך קצת יותר בסרטון של מכון דוידסון שהפניתי אליו, או לקרוא בקישור הזה:

https://en.wikipedia.org/wiki/Hygrometer#Psychrometer_(wet-and-dry-bulb_thermometer).

תמונה 4: שני מדי-חום, יבש ורטוב, למדידת לחות יחסית ונקודת טל. המקור לתמונה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Arjuncm3.

אותנו מעניינת מדידה חשמלית של הלחות היחסית ולכן נרצה למצוא חומר שמגיב ללחות באוויר ומשנה את תכונותיו כתוצאה ממנה. התכונה שלו שהשתנתה צריכה להשפיע על תפקוד של רכיב במעגל חשמלי.

למיטב הבנתי, רוב מדי הלחות הפשוטים מתבססים על קיבול או על התנגדות חשמלית. במד לחות שמתבסס על קיבול החומר שמגיב ללחות הוא החומר הדיאלקטרי בקבל לוחות. קבל זה יהיה בנוי מסנדוויץ' של של אלקטרודות מתכתיות שביניהן ישנה שכבה של חומר שמשנה את תכונותיו הדיאלקטריות (כלומר התגובה שלו של לשדה חשמלי בקיטוב פנימי) בהתאם להגעה לשיווי משקל עם תנאי הלחות בסביבה. לשם כך נדאג לבנות את הרכיב כך שהוא חשוף להחלפת אוויר עם הסביבה (כלומר לא אטום ובחלקו בעל שטח פנים רחב ככול האפשר).

במד לחות שמבוסס על התנגדות חשמלית הרעיון דומה מאוד רק שנבחר חומר שרמת ההולכה החשמלית שלו משתנה בהתאם ללחות בסביבה. בחירת החומרים ובחירת הצורה של הרכיבים מורכבת, ותלויה בצרכים של כל אחד מהיישומים. זה המעבר מרעיון פיזיקלי ליישום הנדסי.

קצת יותר על ההנדסה, על בחירת המבנה והחומרים ועל היתרונות והחסרונות של כל שיטה ניתן לקרא בקישור הזה:

https://www.engineersgarage.com/article_page/humidity-sensor/

אני בוחר לסיים כאן.

***

נ.ב: מד הלחות שבו התבוננתי במשך השנים ההן היה, ככל הנראה, מראה את נקודת הטל ולכן הראה סקלה של טמפרטורה. לא שזה שינה משהו אז או משנה משהו היום…

:קטגוריותכללי תגיות: ,

איך להאיץ חללית מבלי להשתמש (כמעט) בדלק באמצעות פיזיקה (כמעט) תיכונית

הפעם אני רוצה לכתוב משהו קטן על חלליות, אבל בדרך אצטרך להתעכב לא מעט על כדורי טניס. נראה אם נצליח להיפגש בסיום.

***

דמיינו מקרה שבו כדור טניס נע לכיוון קיר, פוגע בניצב אליו וחוזר חזרה באותה מהירות בה הגיע (ראו איור 1). במקרה זה יש משהו שמשתנה באופן משמעותי ומשהו שנשאר קבוע בעקבות ההתנגשות של הכדור עם הקיר. כיוון תנועתו של הכדור משתנה באופן משמעותי בעקבות המפגש, אבל גודל המהירות, כלומר מספר המטרים שעובר הכדור בכל שניה, נשאר אותו הדבר. השינוי בכיוון התנועה נובע מכך שבזמן ההתנגשות הקיר הפעיל כוח על הכדור. העובדה שגודל המהירות לא השתנה הוא מקרה פרטי מיוחד.

[הערת שוליים: התנגשות שבה נשמר גודל האנרגיה במערכת נקראת בעגה: 'התנגשות אלסטית'.]

איור 1: כדור פוגע בניצב לקיר, הופך את כיוון תנועתו אך שומר על גודל המהירות (התנגשות אלסטית).

מה יקרה לאותו כדור שנע לכיוון אותו הקיר במהירות v אם הקיר נע בכיוונו במהירות u?

כדי לגלות את הפתרון לבעיה זאת עם כמה שפחות מתמטיקה נשתמש בטריק שפיזיקאים אוהבים: 'מהירות יחסית' ומעבר מערכות ייחוס.

חישבו על שתי מכוניות במרחק 100 ק"מ אחת מהשניה שנעות אחת לכיוון השניה במהירויות 80 קמ"ש ו-20 קמ"ש. תוך כמה זמן ייפגשו? המכוניות צריכות לכסות עד למפגש מרחק של 100 ק"מ. בכל שעה מכסה מכונית אחת 80 ק"מ והשניה 20 ק"מ. כלומר ביחד מכסות 100 ק"מ בשעה. אם כך ניתן לומר שהמהירות היחסית בין שתי המכוניות היא 100 קמ"ש, ולכן הן יפגשו אחרי שעה. אם היינו מרכיבים מצלמה על גג אחת המכוניות, המכונית שעליה המצלמה היתה נראית בסרטון עומדת במקום (בהנחה שלא מתבוננים בנוף מסביב שמשתנה), והמכונית השניה מתקרבת אליה במהירות 100 קמ"ש.

כעת בואו ונשים מצלמה על הקיר.

בעיני מצלמה שיושבת על הקיר הנע (בעגה: 'מערכת הקיר'), הקיר נמצא במנוחה והכדור נע לכיוונו במהירות v+u שמאלה. את הבעיה הזאת אנחנו כבר מכירים. הכדור פוגע בקיר והופך כיוונו, כלומר נע במהירות v+u ימינה, לאחר ההתנגשות. כעת נעבור ממצלמה על הקיר למצלמה על הקרקע (בעגה: 'מערכת המעבדה'). התוצאה הפיזיקלית חייבת להישאר זהה, כלומר הכדור חייב לנוע מהר יותר מהקיר ב-v+u ימינה. עבור המצלמה על הקרקע הקיר, שלא הושפע מההתנגשות, עדיין נע במהירות u ימינה, ולכן הכדור נע לעיניי המצלמה ימינה במהירות u+(v+u), כלומר במהירות v+2u ימינה. אם כך, הכדור האיץ באופן משמעותי. הוא לא רק שמר על מהירותו וקיבל את מהירות הקיר אלא הרבה מעבר לזה (ראו איור 2).

כעת ברור מדוע בפעמים הבודדות שניסיתי לשחק טניס, הכדור ששוגר מהמחבט שלי (במקרים המעטים שהצלחתי לגרום להם להיפגש) עזב את תחומי המגרש (ואת המתחם כולו).

איור 2: כדור פוגע בניצב לקיר נע. כיוון תנועתו מתהפך וגודל מהירותו גדל (התנגשות אלסטית).

***

אסבך את הבעיה עוד קצת.

דמיינו כעת כדור שפוגע בקיר בזווית ולא במאונך.

שוב נשתמש בטריק שפיזיקאים אוהבים. נפרק את התנועה לשני צירים מאונכים ונפתור עבור כל ציר בנפרד. את זה מתיר לנו לעשות החוק שני של ניוטון שממנו ניתן להסיק שכוחות שפועלים בציר x, למשל, משפיעים רק על שינוי מהירות בציר x, וכוחות בציר y רק על שינוי מהירות בציר y.

את וקטור המהירות נוכל לפרק לפי טריגונומטריה של משולש ישר זווית לרכיב בכיוון x ורכיב בכיוון y. גם אם שכחתם את המתמטיקה הזאת מימי התיכון, אין זה חשוב למסקנה שאליה אני חותר. רכיב המהירות בציר y לא ישתנה כי הקיר אינו מפעיל כוח בכיוון זה (אין חיכוך, למשל). רכיב המהירות בציר x ישמור על גודלו אבל יהפוך כיוונו. אם כך נקבל שהכדור שומר על גודל מהירותו בזמן ההתנגשות, אבל כיוונו משתנה כך שזווית היציאה שווה לזווית הכניסה ביחס לקיר (ראו איור 3).

איור 3: כדור פוגע בזווית לקיר, הופך את כיוון תנועתו בציר x ושומר על תנועתו בציר y (התנגשות אלסטית). התוצאה היא שזווית ההחזרה שווה לזווית הפגיעה.

סיבוך אחרון: מה יקרה אם הקיר נע ימינה?

נשלב את כל הטריקים, מצלמה על הקיר ופירוק לרכיבי מהירות. במערכת הקיר התוצאה זהה לתוצאה של קיר במנוחה, רק עם מהירות v+u, במקום v. כאשר נעבור לצופה במעבדה נקבל שרכיב המהירות ב-y לא משתנה, אך הרכיב ב-x הוא v+2u, כמו שראינו בדוגמה של התנועה החד-ממדית. נוכל לחבר חזרה את רכיבי המהירות בשימוש בטריגונומטריה של משולש ישר זווית ונבחין שכיוון התנועה שונה ביחס לתוצאה של קיר במנוחה וגם שגודלה של מהירות הכדור גבוהה יותר.

[הערת שוליים: במקרה זה, דרך הפתרון שלי תלויה במספר גורמים ואינה נכונה באופן גורף, למשל בכך שהכוח יושב על ציר x בלבד. אמנם האנרגיה נשמרת אך לא ניתן לדבר על שימור ברכיבי המהירות שהרי אנרגיה אינה וקטור. בשורה התחתונה, הדרך נכונה רק עבור המקרה המתואר, אבל המסקנה הכללית נכונה תמיד.]


איור 4: כדור פוגע בזווית לקיר נע, מגדיל והופך את כיוון מהירות בציר x ושומר על תנועתו בציר y (התנגשות אלסטית). התוצאה היא שזווית ההחזרה שונה מזווית הפגיעה וגודל מהירות ההחזרה גדל. כלומר, כדור הטניס שינה את כיוונו והאיץ בעקבות ההתנגשות עם הקיר.

בעצם הצלחנו לנתב מחדש את כיוון הכדור ועל הדרך גם להאיץ אותו. נוכל לשלוט על כיווני התנועה של הכדור לאחר ההתנגשות ועל גודל מהירותו, כולל גם להאט את תנועתו, על ידי שינוי בכיוון ובגודל תנועת הקיר ביחס לכדור הטניס.

[הערת שוליים: ומה לגבי שימור אנרגיה? האם לא נוצרה אנרגיה יש מאין?! לא. למעשה כדור הטניס גנב מעט אנרגיה קינטית מהקיר וגרם להאטה שלו, אבל בקירוב שלנו, ערך זה זניח].

שחקני טניס וודאי יודעים, 'דרך הידיים', את כל מה שפיתחתי כאן, ואף יותר. במקרה שלהם יש חיכוך בין המחבט ('הקיר') לכדור ולכן נפתח עבורם עולם שלם של מורכבות דרך ספינים וסלייסים, שהופכים את המשחק למעניין יותר, ודורשים מהשחקן מיומנות גבוהה.

אבל איך כל זה קשור לחלליות?

טוב ששאלתם.

***

חישבו על חללית שנעה לכיוון כוכב לכת במהירות מספיק גבוהה כדי לא להילכד בשדה הכבידה שלו. בשלב ההתקרבות היא נופלת אל הכוכב ומאיצה, ובשלב ההתרחקות היא יוצאת מהבור כנגד כוחות הכבידה שפועלים עליה, ומאטה. צורת המסלול של החללית היא היפרבולה (לא להתבלבל עם פרבולה), אבל גם אם אינכם מכירים את הצורה, מספיק לדעת שבמרחקים מספיק גדולים מהכוכב המסלול ההיפרבולי הוא בקירוב קו ישר (ראו אנימציה 5).

אנימציה 5: המחשה באנימציה של האצה של חללית (נקודה כחולה) באמצעות מעבר ליד כוכב לכת (כדור אפור). הגרף למטה מייצג את גודל המהירות של החללית בכל רגע. המקור לאנימציה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על יד המשתמש Y tambe.

אם כן, אם נתעלם ממה שקורה כאשר הגופים קרובים אחד לשני, נבחין שהחללית נעה בקו ישר במהירות v אל הכוכב שנע במהירות u, ולבסוף החללית ממשיכה בדרכה בכיוון חדש ובמהירות חדשה בקו ישר. נוסיף את העובדה שכוכב הלכת אינו מושפע מהאינטראקציה, ונסיק שאין הבדל מהותי בתוצאות הסופיות בין הבעיה הזאת לבעיה של הכדור המתנגש בקיר (בעגה: בשני המקרים ההתנגשות אלסטית, והגוף הגדול אינו מושפע, בקירוב, מהאינטראקציה).

אם אין הבדל מהותי בתיאור הפיזיקלי של התנגשות כדור טניס בקיר נע לבין חללית שנעה בקרבת כוכב לכת נע, זה אומר שמה שלמדנו מניתוח המקרה הראשון תקף גם לשני. כלומר, נוכל להשתמש באינטראקציה בין החללית לכוכב לכת בתנועה כדי להאיץ או להאט את החללית ללא שימוש בדלק, כפי שראינו עם הכדור והקיר. והרי, דלק הוא המשאב היקר ביותר על גבי חללית ששוגרה מכדה"א לחלל, ולא בגלל מחיר הדלק. למעשה אנחנו גונבים מעט מהירות (אנרגיה קינטית) מכוכב הלכת, אבל בגלל הפרשי המסה העצומים הוא לא ירגיש את זה. שיטה זאת מצריכה, כמובן, חישוב מוקדם של המסלולים ואני מנחש שהיא מצריכה גם הפעלה מוגבלת של המנועים כדי לכוון במדויק למסלול הרצוי, אז לא לגמרי ללא דלק, אבל חיסכון מהותי.

ואכן, במספר רב של מקרים נעשה שימוש בתופעה זאת במשימות חלל בעבר. ניתן לקרוא על מקרים אלה בדף הויקיפדיה הזה. אחת הדוגמאות ניתן לראות באנימציה 6 שלקוחה מאותו הדף.

התופעה או הטריק הזה נקרא לפעמים gravity assist, ולפעמים gravitational slingshot.

אנימציה 6: המחשה באנימציה של המסלול של חללית ווייג'ר 2 בין התאריכים 20 באוגוסט 1977 ועד 31 בדצמבר 2000. החללית בסגול, כדה"א בכחול, צדק בירוק, שבתאי בתכלת, אורנוס בחרדל, נפטון באדום. המקור לאנימציה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על יד המשתמש Phoenix7777, באמצעות נתונים מנאסא.

וזהו בעצם.

:קטגוריותכללי תגיות: , ,

לא סתם פוזיציה, סופרפוזיציה! בשבחי הליניאריות

נתחיל הפעם בסלינקי.

למי שלא זוכר, סלינקי הוא הקפיץ שיודע לרדת מדרגות אם נותנים לו עזרה בהתחלה.

תמונה 1: סלינקי ממתכת. המקור לתמונה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Roger McLassus.

שני אנשים אוחזים סלינקי, אחד מכל צד, ומותחים אותו. לאחר שהוא ארוך ומתוח אחד האוחזים מזיז את הקצה שלו במהירות ימינה וחזרה למיקומו ההתחלתי. אני ממליץ לכולם לנסות זאת בבית. מה שיקרה הוא שתיווצר 'גבשושית' על גבי הסלינקי שתתקדם לאורכו, תגיע לקצה ותחזור.

דנתי בתופעה זאת באריכות ברשימה קודמת. הגבשושית היא בעצם גל (לא מחזורי) שעובר בתווך (שהוא הסלינקי, במקרה הזה). מה שעובר בתווך היא הפרעה, כלומר יציאה משיווי משקל. ההפרעה עצמה היא זאת שנעה, לא החומר. כל טבעת בסלינקי יוצאת משיווי משקל ברגע מסוים וחוזרת, אך נשארת במקומה על גבי התווך.

מה יקרה אם שני הקצוות יוסטו משיווי משקל? ייווצרו שתי גבשושיות שינועו לאורך הסלינקי. מה יקרה כאשר הן יפגשו?

מסתבר שכאשר שני גלים 'נפגשים' על פני התווך, או ליתר דיוק, נמצאים באותו מקום באותו הזמן, הם מתחברים. כלומר, אם שתי גבשושיות זהות נמצאות בדיוק באותו מקום על פני הסלינקי, מה שנראה הוא גבשושית אחת גדולה פי שתיים. אם הן חופפות באופן חלקי, בכל נקודת חפיפה נקבל חיבור.

המשמעות היא שכדי לקבל את כמות ההסטה של כל טבעת של הסלינקי ברגע מסוים משיווי משקל נוכל לחבר את ההסטה שהיית נגרמת על ידי המקור הראשון בזמן זה אילו היה היחיד, להסטה של המקור השני אילו הוא היה היחיד. הפעולה הזאת נקראת בעגה: 'לפתור לפי סופרפוזיציה של מקורות'. כלומר, נוכל לחשב את המציאות הפיזיקלית על ידי חיבור של השפעת המקורות הבודדים לו היו היחידים בעולם.

***

מטען חשמלי (חיובי או שלילי) הוא המקור של שדה חשמלי. ניתן לחשב את השדה החשמלי של מטען נקודתי, בנקודה מסוימת במרחב, על ידי חלוקה של מטען המקור בריבוע המרחק של הנקודה מהמטען והכפלה בקבוע כלשהו.

מה יהיה השדה החשמלי בנקודה מסוימת במרחב בנוכחות שני מטענים חשמליים?

ניחשתם נכון. גם במקרה זה ניתן להשתמש בחיבור מקורות בסופרפוזיציה. כלומר, נחשב את השדה בנקודה עבור מקרה שבו קיים בעולם רק מטען מספר 1, נחשב את השדה עבור מקרה שבו קיים רק מטען מספר 2, ונחבר את שתי התשובות לקבלת המציאות הפיזיקלית.

***

נניח שיש לי מעגל חשמלי שבו יש מספר של נגדים ושל מקורות מתח, וברצוני לדעת מה יהיה הזרם החשמלי דרך אחד הנגדים במעגל. ניתן לחשב את הזרמים בענפים השונים או את המתחים בצמתים לפי השיטה של קירכהוף, למי שמכיר (לא ממש חשוב אם לא). אבל יש דרך נוספת.

איור 2: סכימה של מעגל חשמלי לדוגמה. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש Svjo.

שוב ניחשתם נכון. נוכן לפתור לפי סופרפוזיציה של מקורות. נפתור את המעגל מספר פעמים, כמספר מקורות המתח. בכל סיבוב נשאיר רק מקור מתח אחד ונאפס את שאר המקורות (כלומר נחליף אותם בחוט מוליך, או במילים אחרות, נקצר אותם). במעגל שנשאר, המכיל רק מקור אחד, נחשב את הזרם דרך הנגד הרצוי. לבסוף נחבר יחדיו את כל התוצאות השונות, מהמקורות השונים, לקבלת התוצאה הסופית שהיא הזרם האמיתי על הנגד.

[הערת שוליים: אני ממליץ למי שלא בטוח שזה עובד ויודע לחבר נגדים בטור ובמקביל וגם את חוק אוהם, לנסות את השיטה על המעגל המצוי בדף הויקיפדיה של קירכהוף. המעגל כבר פתור ותוכלו לבדוק אם הגעתם לפתרון הנכון. נסו לחשב את המתח על נגד R1.]

***

בשלב זה אולי קיבלתם את הרושם הלא נכון שהטריק של פתרון לפי סופרפוזיציה של מקורות יעבוד בכל מצב ובכל מערכת, ואין דבר רחוק יותר מהאמת. למעשה ברוב המקרים וברוב הבעיות הפיזיקליות, הכימיות וההנדסיות, עיקרון הסופרפוזיציה של מקורות לא יעבוד.

אז מה מייחד את המקרים שאותם בחרתי להציג?

המערכות שבחרתי הן מערכות הנקראות בעגה 'ליניאריות'. אם ניתן לתאר את המציאות על ידי משוואה שאנחנו מכנים 'ליניארית' אז יתקיים עיקרון הסופרפוזיציה.

ומהי משוואה ליניארית?

טוב ששאלתם.

נניח מערכת פשוטה שמצדה האחד אני מכניס מספר ומצידה השני יוצא כפל של המספר בחמש. כלומר, אם נכניס 2, נקבל 10, ואם נכניס 3, נקבל 15. מה יקרה אם נכניס 2 ועוד 3? נקבל 25 שהוא בדיוק חיבור של 10 ו-15. זאת דוגמה למערכת ליניארית.

נניח מערכת פשוטה אחרת שמצדה האחד אני מכניס מספר ומצידה השני יוצא כפל של חמש במספר בריבוע. כלומר, אם נכניס 2, נקבל 20, ואם נכניס 3, נקבל 45. מה יקרה אם נכניס 2 ועוד 3? נקבל 125 שהוא ממש לא חיבור של 20 ו-45. זאת דוגמה למערכת שאינה ליניארית.

ובכתיבה יותר פורמלית, נוכל להגדיר את ה-'כפול 5' במקרה הראשון, או 'כפול 5 ובריבוע' במקרה השני כאופרטור O שפועל על הכניסה X, והמוצא מסומן ב-Y. עבור מערכות ליניאריות מתקיים השוויון הבא:

כאשר C1 ו-C2 הם קבועים כלשהם.

שתי הדוגמאות שנתתי כאן הן הפשוטות ביותר שיכולתי לחשוב עליהן, אך משוואות פיזיקליות ליניאריות יכולות להיות גם פשוטות כמו הקשר בין הזרם למתח המקור במעגל חשמלי (חוק אוהם), או מסובכות ביותר, כמו משוואת הגלים.

מדוע הירח הוא ירח? כמה מילים על מרכז המסה

דמיינו נדנדה פשוטה. קרש ארוך ואחיד שבמרכזו מותקנת נקודה שסביבה הקרש יכול להסתובב.

אם אנחנו לא מפעילים כוח או מניחים משקל עודף (למשל ילד) על אחד הצדדים של הנדנדה היא תישאר מאוזנת (ראו איור 1).

איור 1: נדנדה פשוטה מאוזנת.

נדמיין כעת נדנדה שחלקה השמאלי עשוי מעץ קל וחלקה הימני מעץ כבד. כעת, ללא הפעלת כוח נוסף, כוח הכבידה יגרום לצד המאסיבי יותר להימשך למטה והנדנדה לא תהיה מאוזנת (ראו איור 2). כדי לאזן את נדנדה נוכל להוסיף משקל לצד הקל, בין אם בעזרת מסה נוספת או בעזרת הארכת הקרש. במקרה זה אנחנו בעצם משחקים בגודל שמכונה בפיזיקה 'מומנט', כוח כפול אורך הזרוע.

איור 2: נדנדה לא מאוזנת.

דרך חלופית לאזן את הנדנדה היא על ידי הזזת ציר הסיבוב.

רובנו ניסינו וגילינו (ואם לא, זה הזמן) שכדי לאזן מטאטא בצורה אופקית, יש לאזן אותו על נקודה שיותר קרובה למברשת מאשר לקצה המקל (ראו איור 3). הנקודה הזאת שסביבה המטאטא מאוזן נקראת מרכז המסה של המטאטא. זאת הנקודה שסביבה המסה מפולגת באופן שווה וסביבה הגוף נמצא בשיווי משקל.

איור 3: איזון מטאטא סביב נקודת מרכז המסה.

כדי לחשב את מיקומו של מרכז המסה עבור גוף מסוים נחשב את 'הממוצע' של כל המקומות שיש בהן מסה. כל נקודה שבה יש מסה 'מושכת' את מרכז המסה לכיוונה. נקודות משני צדדים מנוגדים של הראשית 'מתחרות' ביניהן ומושכות בכיוונים שונים. ככל שיש יותר מסה בנקודה מסוימת, היא מושכת חזק יותר לכיוונה. למעשה, חישוב מיקום מרכז המסה הוא ממוצע משוקלל של וקטורי-המקום שבהן יש מסה, כאשר המשקלים הם כמות המסה בכל נקודה.

נתבונן במספר דוגמאות דו-ממדיות:

מרכז המסה של מלבן הוא במרכז שלו, כלומר במפגש האלכסונים (ראו איור 4א).

עבור צורה שמורכבת משני ריבועים צמודים שאינם זהים בגודלם, נוכל למצוא את מרכז המסה של כל אחד מהם בנפרד ואז מרכז המסה המשותף יהיה על הקו בין שני המרכזים אבל קרוב יותר לגדול מהם, כי יש לו יותר משקל בחישוב (ראו איור 4ב).

אם שני הריבועים רחוקים מספיק אחד מהשני מיקום מרכז המסה ימצא מחוץ לגופים (ראו איור 4ג). כלומר מרכז המסה לא חייב להיות בנקודה שבה ישנה מסה. חישבו למשל על צורת פרסה. די ברור, גם ללא חישוב מדויק, שמרכז המסה נמצא במרכז הצורה, שם אין כלל חומר.

איור 4: מציאת מרכז המסה של גופים מלבניים פשוטים. הנקודות השחורות הן מרכז המסה המשותף והנקודות הצבעוניות הן מרכזי המסה של כל מלבן בנפרד. ניתן לראות לפי דוגמה ג' שמרכז המסה יכול להימצא במקום שאין בו מסה.

שיטה ניסיונית למצוא את מרכז המסה היא לתלות את הגוף מנקודה מסוימת הממוקמת על הדופן שלו ואז לתלות מהנקודה אנך בנאים (בעצם חוט עם משקולת). נסמן את האנך על הגוף ונבצע מדידה נוספת מנקודה אחרת על הדופן. מרכז המסה ימצא בנקודה בה נפגשים שני האנכים. לחלופין, ניתן לחפש נקודה שכאשר תולים ממנה את הגוף הוא נשאר מאוזן, כלומר אינו נוטה להסתובב בגלל כוח הכבידה.

חישבו על מרכז המסה כעל נקודה שעליה אני יכול להפעיל את חוקי ניוטון, כפי שהם כתובים בספר, מבלי לחשוש מסיבובים שאינם מתוארים באופן ישיר על ידי חוקים אלה. אם כך, ברור מדוע גוף שנתלה מנקודה שאינה מרכז המסה נוטה להסתובב. על מרכז המסה פועל כוח הכבידה שמושך אותו כלפי מטה עד שה-'חוט' שמחבר אותו לנקודת התליה נמתח ואינו מאפשר ירידה נוספת (ראו איור 5). בעצם נוכל לחשוב על כל גוף כעל מטוטלת שכל המסה שלה מרוכזת במשקולת קטנה בקצה החוט (שהיא מרכז המסה). המשקולת תמיד תשאף לנוע כלפי מטה, בהשפעת כוח הכבידה, אם החבל מאפשר זאת. זה גם אומר שנדנדה שציר הנדנוד נמצא בדיוק במרכז המסה תישאר יציבה גם אם היא נוטה בזווית, וזה דבר מוזר שקשה לדמיין וצריך לראות כדי להאמין.

איור 5: ניתן לחזות סיבוב גופים לפי המיקום של מרכז המסה ביחס לנקודת התלייה. מרכז המסה ישאף לנוע למטה בהשפעת כוח הכבידה.

***

למה אנחנו מתכוונים באסטרונומיה כשאנחנו אומרים 'ירח'? הכוונה אינה לירח הספציפי של כדור הארץ, אלא לירח כלשהו.

במילה ירח אנחנו מתכוונים ללוויין טבעי, שלא נוצר על ידי בני אדם, ושחג סביב גוף שמימי אחר. למשל, הירח שאנו רואים בשמי הלילה הוא ירח של כדור הארץ, ותחת ההגדרה הצרה הזאת כדור הארץ הוא ירח של השמש. נשים לב שמדובר בשני גופים שנעים סביב מרכז משותף, אך אחד מהם קיבל דרגה גבוהה יותר מהשני. קיימים מצבים בהם שני גופים נעים סביב מרכז משותף, אך הם שווים בעינינו בדרגתם ואף אחד מהם לא יקרא ירח של השני. כיצד ניתן להחליט עבור צמד גופים שמימים כאלה האם אחד מהם הוא ירח של השני או שהם בדרגה שווה?

האם הגודל קובע? לא. גנימד, אחד הירחים של צדק, גדול בקוטרו מכוכב חמה. אז איזה קריטריון חלופי נוכל להציע?

יש להבין שכל טקסונומיה (שיטת סיווג, מיון או קלסיפיקציה) היא שרירותית, והשאלה היא האם היא מועילה. בנוסף, חשוב שהיא תהיה חד משמעית וקלה לאבחנה ככל שניתן.

***

שני גופים הנעים סביב נקודה משותפת למעשה נעים סביב מרכז המסה בין שניהם. באסטרונומיה נהוג לכנות את מרכז המסה של מספר גופים שמימים החגים סביבו כ-Barycenter, ויכונה כאן מרכז-ברי לשם נוחות.

בין שני גופים, השונים מאוד בגודלם, ימצא מרכז-ברי בתוך הגוף הגדול. ממבט צד יראה שהגוף הקטן מקיף את הגוף הגדול והגוף הגדול מתנודד מעט מצד לצד כשיכור (ראו אנימציה 6).

אנימציה 6: תנועה של שני גופים בעלי מסה שונה סביב מרכז המסה. שמאל: מרכז-ברי מחוץ לשני הגופים בדומה למערכת פלוטו-כארון. מרכז: מרכז-ברי בקצה אחד הגופים בדומה למערכת כדה"א-ירח. ימין: מרכז-ברי קרוב למרכז אחד הגופים בדומה למערכת כדה"א-שמש. המקור לגיפים: ויקיפדיה, ויקיפדיה וויקיפדיה, לשם הועלו על ידי המשתמש Zhatt.

בואו ונחשוב על הקריטריון הבא: אם מרכז-ברי של שני גופים נמצא בתוך אחד הגופים, הגוף שבתוכו נמצא המרכז יקרא הגוף הראשי והגוף השני יקרא הירח שלו. למשל, מרכז-ברי של המערכת כדה"א-ירח נמצא בתוך כדה"א, כשלושה רבעים ממרכזו. מרכז-ברי של מערכת שמש-כדה"א נמצאת קרוב מאוד למרכז השמש. עד פה הכול טוב.

[הערת שוליים: נהוג לומר שכדה"א נע סביב מרכז השמש, או ליתר דיוק, נע במסלול אליפטי כאשר השמש נמצאת באחד ממוקדי האליפסה. אבל לאמיתו של דבר, גם השמש וגם כדה"א נעים במסלולים אליפטיים שונים כאשר יש מוקד אליפסה משותף לשני המסלולים והוא מרכז-ברי של שניהם. מכיוון שמרכז-ברי שלהם נמצא כל כך קרוב למרכז השמש, הקירובים שאנחנו מבצעים בד"כ הם מצוינים.]

אך אליה וקוץ בה. לפי ההגדרה שהצעתי, כארון הוא לא ירח של פלוטו, וצדק הוא לא ירח של השמש. האם זה חשוב? האם זה יעיל? האם זה בסדר?

***

לסיום, אני ממליץ לכל מי שלא שבע עדיין מוויכוחים על הגדרות וסיווג באסטרונומיה, ועדיין בוערת בקרבו סוגיית סיווגו של פלוטו (כוכב לכת או סתם גוש במערכת השמש) לקרוא מאמר כתוב היטב מאת סטיבן נובלה בבלוג שלו, שם הוא מתאר בבהירות את הבעיה ואפילו מציע פתרון מקורי משלו. נובלה אינו אסטרונום, אלא ניורולוג וחובב אסטרונומיה שכותב וחושב בצורה חדה וברורה.

:קטגוריותכללי תגיות: , ,

אל תתעסקו לפיזיקאי ביחידות המידה! – על איך ויכוח אידיוטי על יחידות מידה מוביל לדיון מעניין\מטרחן

אם יש משהו שחשוב לפיזיקאי או מהנדס, והוא יכול לטרחן עליו ללא בושה, אלו הן יחידות המידה. ראו הוזהרתם.

***

לפני זמן מה הערתי לקולגה, בעקבות משהו שאמר, על כך שרדיאן אינה יחידה. משום מה, זה מה שנתקע לי בראש מאז הלימודים כסוג של מנטרה שכבר לא זכרתי את מקורה המדויק אבל הייתי די משוכנע בנכונותה.

למי שכבר שכח, רדיאן היא דרך לתיאור מידה/גודל/כמות של זווית. רדיאן אחד מוגדר כערך הזווית בין שני רדיוסים במעגל שעליהם נשענת קשת שאורכה שווה לרדיוס. מכיוון שאורכו של היקף המעגל הוא שני פאי רדיוסים, אז במעגל שלם יש שני פאי רדיאנים של זווית. (מי שמעוניין בהסבר יותר מפורט ומעמיק מוזמן לקרוא אותו כאן בעברית).

אנימציה 1: הגדרת הרדיאן. המקור: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Lucas V. Barbosa.

אותו קולגה עקשן, שלא זוכר כלום מהלימודים, דרש הסבר מדוע רדיאן אינה יחידת מידה, שהרי היא מודדת זווית. ההסבר הטוב ביותר שהצלחתי להפיק היה כה מבולבל וחסר תועלת, כך שהיה ברור שאני רק מצטט משהו שיושב לי בראש. משהו שרמת הנכונות שלו מוטלת בספק ושהגיע הזמן להתעמק בנושא.

בואו נעשה סדר ונראה מי צדק.

***

אדם נמצא בחנות למוצרי חשמל ומעוניין לרכוש מקרר. הוא רוצה לוודא שרוחב המקרר מתאים לרוחב הגומחה הייעודית במטבח. לשם כך הוא מודד את רוחבו של המקרר בזמן שזוגתו מודדת בביתם את רוחב הגומחה. הם משווים תוצאות בטלפון וכך מחליטים אם ישנה התאמה. כדי שפעולה זאת תעבוד מספר תנאים צריכים להתקיים: 1) הסכמה על מדידת גודל פיזיקלי סטנדרטי, למשל מרחק בין שתי נקודות, 2) הסכמה על מכשיר מדידה סטנדרטי, למשל סרט מדידה, 3) הסכמה על מידה סטנדרטית שמקובלת על שניהם, למשל מטר.

תמונה 1: מקרר מלא בכל טוב הנמצא בתוך גומחה במטבח, למקרה שלא הייתם בטוחים במה מדובר. המקור לתמונה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Milad Mosapoor.

חוסר התאמה בין שני הצדדים לגבי התנאי השלישי עלול להוביל לאסון בקניית המקרר ואולי אף לגירושין.

מכיוון שכך, על כולנו להסכים בכל רגע מהו 'מטר' ברמת דיוק גבוהה ביותר. לשם כך ישנם גופים בינלאומיים האמונים על המשימה. גודלו של ה-'מטר' הוא שרירותי, ויש היסטוריה מעניינת מאחורי בחירתו, אבל זה נושא לרשימה אחרת.

***

ניתן לסווג את יחידות המידה לאלו הבסיסיות ולאלו הנגזרות.

ישנן 7 יחידות מידה בסיסיות ומוסכמות. שאר יחידות המידה המוכרות מורכבות מיחידות המידה הבסיסיות. המניע להגדרת יחידת מידה בסיסית היא הצורך למדוד גודל כלשהו שלא ניתן לתיאור על ידי יחידות קיימות.

לדוגמה, הדבר הראשון שמעניין אותנו בפיזיקה הוא לענות על השאלה "היכן אני נמצא בכל רגע" (בעגה מכונה קינמטיקה). לשם כך אצטרך למדוד מרחקים ופרקי זמן. יחידות המידה שנבחרו הן המטר והשנייה. מי שמעוניין להתעמק בהגדרות המדויקות מוזמן לקרוא בדף הויקיפדיה הזה.

מהירותו של גוף היא השינוי של מיקומו לאורך זמן ולכן היחידות של הן מטר לשנייה (מטר חלקי שנייה) והן יחידות נגזרות מיחידות הבסיס. לפעמים ממציאים ליחידות הנגזרות שם משלהן ולפעמים לא. עניין של נוחות ומסורת.

כדי להבין את הסיבות לכך שמסלול תנועה של גוף נראה כפי שהוא, יש להבין את הכוחות הפועלים (בעגה מכונה דינמיקה). כל עיסוק בכוח יוביל להגדרת תכונה בסיסית חדשה שהיא זאת שעליה הוא פועל. לדוגמא: כוח הכובד פועל בין מסות ולכן נגדיר את הקילוגרם. הכוח החשמלי פועל בין מטענים חשמליים ולכן נגדיר יחידת מטען חשמלי (הקולון).

[הערת שוליים: המידה שנבחרה כבסיסית היא 'אמפר', מידת זרם חשמלי, שהוא שינוי מטען בזמן, ולא 'קולון', מידת המטען. הסיבה לכך היא שקל לקשר אותו לכוח דרך מגנטיות ויותר קל למדוד אותו ממטען חשמלי.]

אם כך, הניוטון, מידת הכוח, נגזר מקילוגרם כפול מטר לשניה בריבוע (לפי החוק השני של ניוטון). ג'אול, מידת העבודה והאנרגיה, נגזר מכוח כפול מרחק, ולכן קילוגרם כפול מטר בריבוע לשניה בריבוע. וכך הלאה, הרעיון ברור.

שלושת היחידות הבסיסיות הנותרות הן 'קלווין' לטמפרטורה, 'מוֹל' לכמות חומר ו-'קנדלה' לכמות הארה, ואינני רוצה לעסוק בהן ברשימה זאת.

***

מכיוון שהרדיאן נוצר מחלוקה של שני אורכים (רדיוס ואורך קשת), הוא יחידת מידה חסרת מימדים, או לחלופין בעל מימדים של מטר למטר. מסיבה זאת לפעמים נוטים לציין אותו ולפעמים לא. הבעיה היא שאם לא נציין אותו נקבל שגם לתדירות (frequency) וגם למהירות הזוויתית (angular velocity) יהיו יחידות זהות של 1 חלקי שניה. לרוב נהוג לציין את היחידות של המהירות הזוויתית כרדיאן לשניה. כלומר, במובן הזה היה אולי כדאי בכל זאת להגדיר את הרדיאן כיחידה בסיסית של מדידת זווית.

אציג מספר טיעונים מדוע זה לא כדאי.

ראשית, היכן שיש זווית, יש סינוס או קוסינוס של הזווית. פונקציות אלה מקבלות לתוכן זווית ומחזירות מספר חסר יחידות (יחס של שני אורכים במשולש ישר זווית), והן חשובות מאוד בפיזיקה. אם נציג את הפונקציות כטור טיילור, כלומר כטור חזקות, נקבל למשל את הטור הבא:

ניתן לראות שהמשתנה X בטור מופיע בכל איבר בחזקה שונה. בפיזיקה לא ניתן לחבר גדלים בעלי יחידות שונות. לדוגמה, לא נוכל לחבר אורך ולשטח (אם שטח של ריבוע הוא 9 מטר רבוע ואורך צלעו 3 מטר אז ביחד הם 12 ???). אם כך, יש לנו כעת בעיה כי נדרש לחבר רדיאן לרדיאן בשלישית וכך הלאה. לכן חשוב להשאיר את הרדיאן כיחידה חסרת מימדים ולהימנע מהגדרתו כיחידת מידה. (אפשר לחשוב על פתרונות לבעיה, אבל למה לטרוח?).

כעת נחזור למהירות הזוויתית, אבל נעשה עצירה בדרך.

'זמן מחזור' מוגדר עבור תנועה מחזורית כזמן שלוקח להשלים מחזור אחד, לכן יחידות המידה שלו הן שניות. אך נשים לב שיש כאן מידע נוסף על התנועה ביחס למדידת זמן רגילה. אנחנו מתארים פעולה מתמשכת ולא חד פעמית ומניחים קיום מחזוריות. כלומר, זמן מחזור הוא בעצם שניות לסיבוב ולא סתם שניות.

'תדירות' של תנועה מחזורית מוגדרת כמספר הסיבובים בשניה אחת. כלומר, התדירות שווה לאחד חלקי זמן המחזור. לכן, באופן 'רשמי' היחידות של התדירות הן אחד חלקי שניה, אבל בעצם היחידות הן סיבובים לשניה (סיבובים חלקי שניה, ידוע גם כהרץ Hz). במובן הזה המהירות הזוויתית היא גם כן מספר הסיבובים בשניה רק שאנחנו מחליפים את המילה 'סיבוב' בביטוי 'שני פאי רדיאנים' אך מתכוונים בדיוק לאותו דבר. המהירות הזוויתית היא מספר ה-'שני-פאי-רדיאנים' לשניה.

בזמן המחזור ובתדירות לא שקלנו להתייחס למספר הסיבובים כיחידת מידה (מספר מונה לא מקבל יחידה, כמו ה-3 ב- '3 מטרים') ולכן מדוע שנחליט לעשות כך עבור הרדיאן? (שאלה פתוחה על אמת…אם למישהו יש טיעון טוב, אשמח לקרוא בתגובות).

[הערת שוליים: באותו עניין חישבו למשל על מקרה שבו הייתי מציין את ההארה של מסך פר פיקסל. היחידות של המספר הן של הארה, אבל העובדה שמדובר פר פיקסל היא חשובה מאוד כדי להבין את המידע.]

***

לסיכום, במערכת היחידות המקובלת כיום, SI, הרדיאן היא יחידת המידה לזווית. היא אינה אחת מיחידות המידה הבסיסיות אלא יחידת מידה חסרת מימדים שנגזרת ממטר חלקי מטר.

וכל מי שתקוע לו בראש מהלימודים שרדיאן הוא לא יחידה: תתמודדו!

:קטגוריותכללי תגיות: , ,

במקרה הכינותי מראש – על מדידת האפקט הפוטואלקטרי עם מד-מטען

ברשימה האחרונה סיפרתי על תולדותיו של האפקט הפוטואלקטרי ועל חשיבותו בעיני. חלקה האחרון של הרשימה עסק בניסוי של הפיזיקאי האמריקאי רוברט מיליקן שתוצאותיו הראו, מעל לכל ספק, שהמודל של אלברט איינשטיין להסבר התופעה עובד.

אני רוצה לחזור הפעם למערך הניסוי עצמו, לספר איך מבצעים אותו בכיתות הלימוד בתיכונים (מעט מאוד בשנים האחרונות) ולהציע דרך פשוטה יותר אבל לא חינוכית לביצוע הניסוי.

אפתח את הרשימה בהסבר, שכבר הופיע ברשימה הקודמת אבל הכרחי למי שלא קרא אותה, על מערך הניסוי. מי שקרא וזוכר, יכול לדלג.

היי, מותר לי להעתיק מעצמי!

***

מערכת המדידה כוללת שפופרת ואקום ובתוכה שתי אלקטרודות המוחזקות תחת הפרש מתח ביניהן. מאירים על אחת האלקטרודות וגורמים לפליטה של אלקטרונים מהמתכת. מד-זרם מחובר בין החוטים המחברים את שתי האלקטרודות, כך שאם אלקטרונים שנפלטו מאלקטרודה אחת מגיעים לשניה, נראה חיווי על כך. בנוסף, ניתן לשנות את המתח החשמלי בין שתי האלקטרודות כך שהשדה החשמלי ביניהן יוכל לעזור לאלקטרונים להגיע מהאלקטרודה הפולטת לקולטת וגם להפריע. ניתן לשנות את ערכו של המתח המפריע עד לאיפוס הזרם במד הזרם. למתח זה נקרא 'מתח העצירה'.

איור 1: תיאור סכמטי של הניסוי של מיליקן למדידת האפקט הפוטואלקטרי.

נשים לב שמתח העצירה הוא המתח המפריע המינימלי הנדרש כדי לעצור את כל האלקטרונים שנפלטו, כולל האנרגטיים ביותר. כלומר, בעצם מדובר באנרגיה החשמלית הנדרשת לעצירה ששווה לאנרגיה הקינטית שאותה נדרש לעצור. במילים אחרות, מתח העצירה שווה, עד כדי קבוע, לאנרגיה הקינטית המקסימלית של האלקטרונים הנפלטים.

נוכל לבצע ניסוי בו נמדוד את מתח העצירה עבור אורכי גל שונים של אור המוקרנים על האלקטרודה. אם נציץ שוב בנוסחה של איינשטיין (Eph=hf=B+Ek), נראה שהיא חוזה שגרף של מתח העצירה (כלומר בעצם Ek, האנרגיה הקינטית) כפונקציה של התדירות f צריך להראות כקו ישר ששיפועו הוא קבוע פלנק. (הסבר ברור יותר והרחבה על התיאוריה ניתן למצוא ברשימה הקודמת).

***

באופן מעשי, ניתן כיום לקנות שפופרת מתאימה לניסוי. ניתן להאיר עליה באמצעות נורת הלוגן מכוסה בפילטרים בצבעים שונים (אפשר, לדעתי, גם עם נייר צלופן פשוט, אבל לא ניסיתי בעצמי).

[חידת שוליים: האם הפילטרים הם מסוג low-pass או high-pass?]

אין מספיק כסף בבתי הספר לקנות מדי-זרם מדויקים מספיק למדידת רמות הזרם הנמוכות במערכת אבל למזלנו כל שמעניין אותנו הוא המצב בו הזרם מתאפס. מסיבה זאת נהוג לחבר מד-מתח (בחיבור טורי) במקום מד-זרם ולכוון אותו לסקלה הרגישה ביותר. במצב זה קריאת מד-המתח כלל אינה נכונה באף מקרה מלבד זה שמעניין אותנו – זרם אפס.

מסיבה שאני לא לגמרי מבין נהוג לכוון את המתחים השונים בין הקתודה (האלקטרודה המתכתית הפולטת אלקטרונים שעליה מאירים את האור) לאנודה (האלקטרודה הקולטת) באמצעות מפל מתח על נגד משתנה. אינני יודע בוודאות מדוע לא מחברים את מקור המתח ישירות לשפופרת. אולי זה נעשה כדי שיהיה קל לקבוע את המתח המקסימלי האפשרי על השפופרת באמצעות סוללה ובכך להגן עליה מתלמידים, או אולי זה פתרון זול יותר. אם כך או אם כך, כך נהוג.

שרטוט של מערכת המדידה נראה כעת הרבה יותר מורכב ומאתגר עבור התלמידים.

איור 2: תיאור סכמטי של מערך הניסוי למדידת האפקט הפוטואלקטרי בכיתת הלימוד בתיכון.

***

הרשו לי כעת להציע מערכת מדידה חלופית לניסוי הזה. היא הרבה יותר פשוטה להרכבה, הרבה יותר חכמה להבנת הפיזיקה אבל אולי לא כל כך מומלצת ללימוד בכיתה.

נזכר שמטרת מקור המתח החיצוני היא לייצר מצב שבו הזרם דרך השפופרת מתאפס, וכך נוכל למדוד את מתח העצירה. ישנה אפשרות הרבה יותר פשוטה לאלץ את הזרם בשפופרת להיות אפס למרות ההארה – ניתן לנתק ממנה את החוטים.

אם ננתק את החוטים המחוברים לאנודה ולקתודה, ברור שזרם אינו יכול לזרום, אך מתח חשמלי כן מתפתח ביניהן עקב ההארה ופליטת אלקטרונים. האור פוגע בקתודה וגורם לקריעת אלקטרונים, והם מצטברים מכיוון שאין זרם שיסחוף אותם משם והלאה. הצטברות המטען גורמת לעליית המתח (הפרש פוטנציאל חשמלי) בין האלקטרודות, שבתורו גורם להתנגדות להצטברות של מטען נוסף עקב כוחות דחייה חשמליים. המתח שבו יתקבל שיווי משקל הוא מתח העצירה.

אם כן, מתח העצירה הוא המתח בין הקתודה לאנודה תחת הארה כאשר הן מנותקות, וכל שנותר הוא למדוד אותו. אך פה קבור הכלב.

ההנחה שלנו בשימוש במד-מתח הוא שהוא מהווה נתק ולא מתפקד כהתנגדות נוספת במעגל. עם זאת, ברור שמד-מתח אינו נתק מכיוון שהוא מודד מתח עלי ידי הזרמת זרם (בכמות קטנה) דרכו. כלומר, אנחנו מניחים שהתנגדות הכניסה של מד-המתח היא גדולה מאוד ביחס לשאר ההתנגדויות במעגל. התנגדות הכניסה של מד-מתח רגיל במעבדה הוא מסדר גודל של כמה מגה-אוהמים. חיבור מד-מתח כזה בין הקתודה לאנודה יגרום לזרימה גדולה מידי ולשינוי המתח הפנימי, כך שלא נצליח למדוד את מתח העצירה.

אחח.. אם רק היה לנו במעבדה מד מתח עם התנגדות כניסה גבוהה בסדרי גודל…

במקרה הכינותי מראש רשימה שבה הסברתי שמד-מטען הוא מד מתח בתחפושת עם התנגדות כניסה גבוהה מאוד (וקבל שלא יפריע לנו).

כל שנותר הוא להאיר על השפופרת באורכי גל שונים ולמדוד את המתח באמצעות מד-מטען (קולון-מטר בעגה התיכונית). את הפקטור בין קריאת מד-המטען למתח עליו קובע הקבל בפנים. אם הוא לא ידוע לכם, אפשר פשוט לחבר מתח ידוע למכשיר ולקבוע את הערך בקלות.

ניסיתי, זה עובד מעולה. 15 דקות גג והניסוי גמור, כולל גרף וניתוח.

איור 3: תיאור סכמטי של מערך הניסוי למדידת האפקט הפוטואלקטרי אך ורק עם מד-מטען.

***

לדעתי יש שני דברים טובים בשיטה הזאת. הראשון הוא שהיא פשוטה יותר לביצוע. השניה היא שמי שהבין מדוע מקבלים את התוצאה הנכונה גם במקרה זה, הבין את הכל, לטעמי.

האם כך הייתי מדריך כיתת פיזיקה בתיכון? לדעתי לא. המערכת הרגילה אמנם מכילה יותר רכיבים, אך רעיונית היא ברורה יותר ומאפשרת גם למי שלא הבין עד הסוף את הרעיון הפיזיקלי להבין את הניסוי ולהצליח בו. שווה לנסות כהעשרה (בתוכנית הלימוד הנוכחית: העשרה על העשרה, אשרי המאמין).

***

קרדיט ליוסף סוסנובסקי שלימד אותי את הטריק הזה.

האפקט הפוטואלקטרי – קווים לדמותו, השנים הראשונות

האפקט הפוטואלקטרי ידוע בטריוויה כ-"הדבר הזה שעליו זכה אלברט איינשטיין בפרס נובל (לא על יחסות!)".

מהו האפקט הפוטואלקטרי, מניין הגיע ולמה זה מעניין?

הסקירה הקצרה הזאת (באופן יחסי…) תתמקד בעבודתם של שלושה פיזיקאים, כולם זוכי פרס נובל, שחקרו, מדדו, הסבירו והוכיחו את האפקט: פיליפ לנארד, אלברט איינשטיין ורוברט מיליקן.

***

נתחיל את הסיפור בפיליפ לנארד (אפשר להתחיל לפני כן, אבל אתמקד בעיקרי הדברים). לנארד היה פיזיקאי גרמני שזכה בפרס נובל על מחקרו בנושא 'קרני קתודה', או כפי שאנחנו מכנים אותן כיום, קרני אלקטרונים (שבאותה תקופה, סוף המאה ה-19 עדיין לא היה ברור מה טיבן). לדוגמה, מחקריו בבליעה של קרניים אלה לתוך חומרים היו גורם מכריע בהבנה שמדובר בשטף של חלקיקים ולא בקרינה אלקטרומגנטית ושהאטום ברובו הוא חלל ריק.

בסדרת ניסויים אחרת הקרין לנארד אור על אלקטרודות מתכתיות. נזכר שאור הוא גל אלקטרומגנטי מחזורי שצבעו קשור לאורך הגל שלו, כלומר למרחק שהוא עובר בזמן שלוקח לו להשלים מחזור שלם של תנודה. אדום בסביבות 650 ננומטר, כחול בסביבות 450 ננומטר, ואורכי גל קצרים יותר נקראים אולטרה-סגולים (UV). הקשר בין אורך הגל והתדירות הוא שהתדירות שווה למהירות האור חלקי אורך הגל.

איור 1: הספקטרום האלקטרומגנטי. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש Inductiveload.

התובנות החשובות לעניינינו שעלו מניסוייו של לנארד הם: 1) ניתן לגרום לפליטה או 'קריעה' של אלקטרונים מאלקטרודה מתכתית על ידי הארה עליה באור אולטרה-סגול, 2) קיימת תדירות סף (קשור, כאמור, לצבע האור) שמתחתיה אין פליטה כלל ומעליה יש פליטה, 3) שימוש באלקטרודות מחומרים שונים גורם לשינוי במהירות (או האנרגיה הקינטית) של האלקטרונים הנפלטים, לשינוי בתדירות הסף אבל לא משפיע על כמות המטען הנפלט (בהנחה שמקור ההארה זהה).

תוצאות ניסוייו של לנארד סתרו את מודל הגלים. אנסה להסביר מדוע על ידי אנלוגיה. חישבו על גלי ים שמכים בצוק שוב ושוב במשך שנים. בכל כמה רגעים מתנפץ לו גל מים על הצוק ושוחק אותו מעט. גלים חלשים שוחקים את המצוק לאט, גלים חזקים יותר מהר. אבל בסיכומו של דבר, גם גלים חלשים ישחקו את המצוק את נחכה מספיק זמן.

לא כך המצב בניסויו של לנארד. אם הגל מתנודד מעל לתדירות הסף מתרחשת קריעת אלקטרונים מהחומר, ואם מתחת אז אלקטרונים אינם מושפעים כלל. לא משנה כמה זמן נחכה, אין אפקט מצטבר. תוצאה זאת אינה תואמת מודל גלים. ישנן סתירות נוספות אך אסתפק בזאת.

***

לפני שאגיע להסבר הפשוט של איינשטיין לתופעה, נאלץ לעשות תחנת ביניים.

היתה בעיה בפיזיקה באותן שנים שנקראת 'קרינת גוף שחור' ואינני רוצה להתעכב עליה מכיוון שהיא דורשת חיבור בפני עצמו. אספר רק בקיצור נמרץ שהתיאוריה והניסוי בתחום זה לגבי עוצמת הקרינה הנפלטת מגוף שחור בתדרים שונים סתרו אחד את השני באופן ניכר ואף מביך ('הקטסטרופה בעל-סגול'). הפיזיקאי הגרמני, זוכה פרס הנובל, מקס פלנק, הנחשב למחולל תורת הקוונטים, פתר את הבעיה על ידי הנחה מוזרה.

פלנק הניח, רק לשם הפתרון, שהקרינה האלקטרומגנטית שנפלטת מגוף שחור מתקיימת בחבילות בדידות, ושכמות האנרגיה בכל חבילה נתונה על ידי קבוע (שידוע היום כקבוע פלנק) כפול התדירות. הנחה זאת אמנם לא התיישבה עם תורת גלים אבל היא הניבה את ההתפלגות הנכונה של הקרינה מגוף שחור בתדרים השונים.

איינשטיין, באחד מ-4 המאמרים המפורסמים שלו משנת 1905, לקח את הרעיון הזה והלך אתו אף רחוק יותר. הוא הניח שחבילות הקרינה של פלנק יכולות לתפקד כסוג של חלקיקים (שאותם אנחנו מכנים היום פוטונים). חבילת אור אחת, או פוטון אחד, של אור פוגע באלקטרון אחד בחומר, אחד-על-אחד, מתנגש בו ומעניק לו את האנרגיה שהוא נושא. כזכור, לפי פלנק, אנרגיה של חבילת אור תלויה בקשר ישר בתדר. אם אנרגיית הפוטון גדולה מספיק כדי להתגבר על הכוחות המחזיקים את האלקטרון בתוך החומר, אז האלקטרון יפלט החוצה. ההפרש שנשאר בין המחיר האנרגטי לקריעת האלקטרון לבין האנרגיה המקורית של הפוטון היא האנרגיה הקינטית שבה יפלט האלקטרון.

נוכל לסכם זאת בנוסחה הפשוטה הבאה: Eph=hf=B+Ek, כך ש- Eph היא אנרגית הפוטון, h קבוע פלנק, f תדירות, B פונקציית העבודה כלומר האנרגיה הדרושה לקרוע אלקטרון מהחומר ו- Ek האנרגיה הקינטית (פרופורציונית למהירות בריבוע).

נשים לב שהסבר פשוט זה מתאים לכל תוצאותיו של לנארד. תדירות הסף תתקבל כאשר אנרגיית הפוטון שווה בדיוק לפונקציית העבודה, כך שהאנרגיה הקינטית שווה לאפס. אם נחליף אלקטרודת פליטה בעצם נשנה את פונקציית העבודה B. ואכן, לפי המודל, תדירות הסף והאנרגיה הקינטית ישתנו. מספר האלקטרונים הנפלטים לא ישתנה כי הוא תלוי בכמות הפוטונים המגיעים ולכם באופי מקור האור.

***

רוברט מיליקן, פיזיקאי אמריקאי, היה משוכנע שהתיאוריה של איינשטיין שגויה מכיוון שהיו עדויות רבות מידי שהאור הוא גל (למשל ניסוי יאנג – שני הסדקים – לקבלת תמונת התאבכות). מיליקן עבד 10 שנים כדי לבנות ולשפר מערכת מדידה שבאמצעותה יוכל להוכיח את צדקתו.

מערכת המדידה כוללת שפופרת ואקום ובתוכה שתי אלקטרודות המוחזקות תחת הפרש מתח ביניהן. מאירים על אחת האלקטרודות וגורמים לפליטה של אלקטרונים מהמתכת (ראו איור 2). מד-זרם מחובר לשתי האלקטרודות, כך שאם אלקטרונים שנפלטו מאלקטרודה אחת מגיעים לשניה, נראה חיווי על כך. בנוסף, ניתן לשנות את המתח בין שתי האלקטרודות כך שהשדה החשמלי ביניהן יוכל לעזור לאלקטרונים להגיע מהאלקטרודה הפולטת לקולטת וגם להפריע. ניתן לשנות את ערכו של המתח המפריע עד לאיפוס הזרם במד הזרם. למתח זה נקרא 'מתח העצירה'.

איור 2: תיאור סכמטי של הניסוי של מיליקן למדידת האפקט הפוטואלקטרי.

נשים לב שמתח העצירה הוא המתח המפריע המינימלי הנדרש כדי לעצור את כל האלקטרונים שנפלטו, כולל האנרגטיים ביותר. כלומר, בעצם מדובר באנרגיה החשמלית הנדרשת לעצירת אלקטרון ששווה לאנרגיה הקינטית של אלקטרון שאותו נדרש לעצור. במילים אחרות, מתח העצירה שווה, עד כדי קבוע, לאנרגיה הקינטית המקסימלית של האלקטרונים הנפלטים.

נוכל לבצע ניסוי בו נמדוד את מתח העצירה עבור אורכי גל שונים של אור המוקרנים על האלקטרודה. אם נציץ שוב בנוסחה של איינשטיין, נראה שהיא חוזה שגרף של מתח העצירה (כלומר בעצם Ek) כפונקציה של התדירות f צריך להראות כקו ישר ששיפועו הוא קבוע פלנק.

ב-1914 פרסם מיליקן את תוצאותיו שהוכיחו מעל לכל ספק שהתיאוריה של איינשטיין נכונה. ב-1921 זכה איינשטיין בפרס נובל על הסברו לאפקט הפוטואלקטרי. פרס נובל על עבודה תיאורטית ניתן (למיטב ידיעתי) רק על כאלה שכבר הוכחו בניסוי.

[הערת שוליים: דוגמה עדכנית לכך היא פרס הנובל בו זכה פיטר היגס על פיתוח התיאוריה עבור 'בוזון היגס'. את התיאוריה הציע כבר בשנות ה-60. ההכרזה על גילוי החלקיק במאיץ החלקיקים בסרן היתה בשנת 2012, ובשנת 2013 הוענק להיגס הפרס.]

ב-1923 זכה מיליקן בפרס נובל ושימו לב לפנינה הבאה שצילמתי מתוך ההרצאה שנתן בטקס (מקווה שלא הוצאתי יותר מידי מהקשרו):

***

לדעתי, החשיבות העיקרית של האפקט הפוטואלקטרי היא בכך שהוא היה מהמבשרים הראשונים של תורת הקוונטית שתעלה על הבמה ותנפץ הרבה ממה שחשבו הפיזיקאים שכבר היה 'סגור' ומובן. האפקט גם הראה שלא ניתן יהיה עוד להסתפק בדעה שאור הוא פשוט גל אלקטרומגנטי. למעשה גם בימים אלה עדיין לא סיימנו להתווכח האם אור הוא גל, חלקיק, גם וגם או משהו אחר לגמרי.

***

סוף

***

נ.ב

בשולי הדברים רציתי לציין אנקדוטה שאינה חשובה כלל לנושא אך מראה לנו שוב שמדע נעשה על ידי אנשים.

פיליפ לנארד היה אמנם גאון פיזיקלי אבל היה גם אנטישמי קולני, מתנגד למדע 'יהודי' והיה גם חלק ממנגנון השלטון הנאצי בזמן הרייך השלישי. בסוף מלחמת העולם השניה וכיבוש גרמניה על ידי בעלות הברית הודח ומפאת גילו נשלח לסיים את חייו בכפר נידח ובשקט יחסי (מת שנתיים אחרי תום המלחמה).