ארכיון
הדרך הלא נכונה לתכנן מסיבה מוצלחת – כמה מילים על אלגברה בוליאנית
ד'ארטאניאן עורך מסיבה ומזמין אליה את שלושת חבריו: אתוס, פורתוס ואראמיס. הוא לא בטוח מי משלושתם יוכל להגיע והצלחת המסיבה חשובה לו מאוד. הוא מסביר למשרתו: "מהיכרות ארוכת שנים עם חבריי וניסיוני הרב בעריכת מסיבות אני יודע שכדי שהמסיבה תתרומם מוכרחים להתקיים שני תנאים. האחד, או פורתוס או אראמיס חייבים להיות שם. השני, או אתוס או פורתוס חייבים להיות שם".
משרתו חושב מספר שניות ועונה: "אתה מתכוון בעצם שכדי שהמסיבה תרים את הגג או שפורתוס חייב להיות שם או שגם אתוס וגם אראמיס חייבים להיות שם?"
ד'ארטאניאן מהרהר בעניין ועונה: "כן, ודאי, זה הרי ברור מהגרסה הראשונה של חוק הדיסטריביוטיביות של האלגברה הבוליאנית".
המשרת מגרד בפדחתו, נאנח ועונה: "כן אדוני. שאני אגיש את היין?"
"כן, מוטב שכך". עונה ד'ארטאניאן.
ארבעת המוסקיטרים. איור מתוך מהדורה של 'שלושת המוסקיטרים' שפורסמה ב-1894. המקור: ויקיפדיה.
***
בואו ונדמיין עולם של אמירות שמיוצגות על ידי משתנים. לדוגמה:
האמירה "פורתוס יגיע למסיבה" תסומן על ידי המשתנה A.
אם פורתוס לא יגיע למסיבה האמירה שקרית וערכו של המשתנה A יסומן כ-'שקר', 'false' או פשוט במספר אפס. אם פורתוס אכן יגיע למסיבה האמירה נכונה ולכן ערכו של המשתנה A יסומן כ-'אמת', 'true' או פשוט במספר אחד.
כל משתנה בעולם המוזר הזה יכול לקבל אחד משני ערכים, אפס או אחד, בהתאם להיותו מייצג אמירה שמתקיימת או שאינה מתקיימת.
נסמן את האמירה "אתוס יגיע למסיבה" על ידי המשתנה B, ואת האמירה "אראמיס יגיע למסיבה" במשתנה C.
האם האמירה "המסיבה הצליחה" אמיתית או שקרית? האם נוכל לייצג אותה בעולמנו ולבדוק?
***
ישנן שתי פעולות בלבד שניתן לבצע בין משתנים בעולמנו החדש. האחת פעולת 'וגם' והשניה פעולת 'או'. לדוגמה: "או שפורתוס יגיע למסיבה או שאתוס יגיע למסיבה". האמירה האחרונה למעשה מייצגת פעולת 'או' בין המשתנים A ו-B. כדי שהאמירה המורכבת תהיה נכונה מספיק ש-A יהיה נכון או ש-B יהיה נכון.
בדומה האמירה "גם פורתוס וגם אתוס יגיעו למסיבה" מייצג פעולת 'וגם' בין המשתנים A ו-B. כדי שהאמירה המורכבת תהיה נכונה גם A צריך להיות נכון וגם B צריך להיות נכון.
נסמן את פעולת 'או' בסימן '+' (כמו חיבור במתמטיקה) ואת פעולת 'וגם' בסימן '·' (כמו כפל). כלומר שהרישום A·B משמעו "גם פורתוס וגם אתוס יגיעו למסיבה" והרישום A+B משמעו "או פורתוס או אתוס יגיעו למסיבה".
כעת נוכל לתרגם את אמירתו המורכבת של ד'ארטאניאן לגבי התנאים להצלחת המסיבה: "או פורתוס או אתוס יגיעו למסיבה" וגם "או אראמיס או פורתוס יגיעו למסיבה". נכתוב באמצעות המשתנים: (A+B)·(A+C).
לעומתו טוען המשרת: "או שפורתוס יגיע או שאראמיס וגם אתוס יגיעו". ובמשתנים: (A+(B·C.
האם שתי האמירות מתקיימות או שאינן מתקיימות תחת אותם תנאים? במילים אחרות האם מתקיים:
(A+B)·(A+C)= A+(B·C)
***
לפני שנענה על השאלה, האם הבחנתם שהגדרנו אלגברה מסוג חדש? יש משתנים, ערכים שהם יכולים לקבל והגדרה לפעולות האפשריות ביניהם. שמה של האלגברה היא 'אלגברה בוליאנית' על שמו של ג'ורג' בול, מתמטיקאי, פילוסוף ולוגיקן מהמאה ה-19 שהגה אותה לראשונה בספר שפרסם ב-1854. כמו כן, הוא הופיע בגוגל-דודל לא מזמן. כבוד!
נשים לב שתחת חוקי האלגברה הזאת כל פעולת 'וגם' עם אמירה שקרית תוצאתה אמירה שקרית, כי עבור תוצאת אמת חייבים ששתי האמירות יתקיימו ואחת כבר שקרית. כמו כן, כל פעולת 'או' עם אמירה נכונה תוצאתה אמירה נכונה, כי עבור תוצאת אמת מספיק שאחת תהיה נכונה ואחת כבר נכונה. ובכתב אלגברי:
A·0=0
A+1=1
חישבו לבד מדוע גם ההיגדים הבאים נכונים תמיד:
A·1=A
A+0=A
כעת אנחנו מוכנים לבדוק מדוע החוק שאותו כינה ד'ארטאניאן "חוק הדיסטריביוטיביות הראשון" נכון.
ניצור טבלה של כל התרחישים האפשריים עבור האמירות B, A ו-C. מספר האפשריות הוא 2 בחזקת מספר המשתנים:
תרחיש 1 הוא שאף אחד משלושת החברים לא מגיע. תרחיש 8 הוא שכולם מגיעים וכך הלאה.
כעת נוסיף לטבלה טור חדש עבור B וגם C. נמלא אותה לפי החוקים שלמדנו שאותם נפעיל בין הטורים של B ו-C המסומנים בצהוב.
נוסיף טור נוסף עבור A או (B וגם C). נעקוב אחרי הטורים הצהובים:
נעשה את אותם רצף של פעולות כדי למצוא את הטור עבור (A+B)·(A+C):
קיבלנו תשובות לשתי השאלות שלנו בו זמנית. קודם כל ניתן להבחין בקלות ששני הטורים המייצגים את האמרות של ד'ארטאניאן ומשרתו זהות מבחינה ערכים ולכן ברור שהן זהות מבחינה לוגית.
כמו כן, כעת אנחנו יודעים בדיוק באלו מקרים תצליח המסיבה ובאלו מקרים לא. תרחישים 4 עד 8 מייצגים חמש אפשריות להצלחת המסיבה. ארבע מתוכן הן אלה שבהן פורתוס מגיע למסיבה והחמישית היא זאת שבה למרות שפורתוס לא הגיע, אתוס ואראמיס הגיעו יחדיו.
***
אז למה זה טוב?
למיטב ידיעתי, ואני לא מומחה בנושא, אלגברה בוליאנית שימושית לשני דברים עיקריים: לוגיקה ואלקטרוניקה דיגיטלית.
בלוגיקה אני לא מבין כלום, אבל דעו כי אלקטרוניקה דיגיטלית חוללה מהפך בעולמינו, וכל מעגל שכזה מתחיל מתרגיל באלגברה בוליאנית שהרי אות דיגיטלי הוא או גבוה או נמוך, או אפס או אחד.
אדגים זאת מתישהו ברשימה נפרדת.
העולם דרך עיניהם של מהנדסי חשמל (מטריצות, פרק הסיום) – על ייצוג במרחב המצב
זהו. הגיע רגע האמת.
הרשימה הזאת היא למעשה הסיבה שבגינה התחלתי לכתוב על מטריצות.
הרשימה הבאה, כמו זאת שקדמה לה, עוסקת בטכניקה מתמטית ולכן דוברת מתמטיקה. הפעם התרתי כל רסן בעניין. ראו הוזהרתם!
***
ברשימה הקודמת הצגתי את בעיית האוסילטור ההרמוני, התנודה המחזורית הבסיסית, והראיתי כיצד ניתן לפרק את המשוואה שמתארת אותה, משוואה דיפרנציאלית מסדר שני, לשתי משוואות מסדר ראשון. את שתי המשוואות ניתן לארוז בתוך מטריצה ולתת למחשב לפתור. כלומר נוכל למצוא באמצעות המחשב את המקום ואת המהירות של הגוף בכל רגע.
[הערת שוליים: זאת לא הדרך היחידה, ואולי אפילו לא היעילה ביותר לפתור את הבעיה באמצעות מחשב, אבל זה פחות מעניין אותי כרגע מכיוון שאני אני חותר למקום אחר.]
בעיית האוסילטור ההרמוני יכולה לייצג תנודה של מטוטלת, תנודה של גוף מחובר לקפיץ, תנועה של נדנדה, מעגלי תהודה בחשמל ועוד.
בואו נתעכב לרגע על הנדנדה. ילדה יושבת על כיסא הנדנדה ובכל פעם שהיא מתקרבת לאבא הוא נותן לה דחיפה קלה. הפעולה הזאת של הדחיפה אינה מתוארת במשוואות שעסקתי בהן פעם קודמת. כל הכוחות שפעלו על הגוף היו כוחות שקשורים למשתנים הבסיסיים של המערכת (מקום ומהירות הגוף). דחיפותיו של האב מהוות מקור כוח חיצוני שמופעל על הגוף ואינו תלוי במערכת עצמה.
עבור בעיות אלה (בעגה: אוסילטור מאולץ) נקבל משוואה אחרת שיש בה איבר מסוג חדש שנקרא לו איבר מקור.
הנה המשוואה המקורית:
L הוא המרחק של הגוף מנקודת שיווי משקל, L עם שתי נקודות מעליו מסמל נגזרת שניה בזמן של המרחק מנקודת שיווי משקל.
והנה המשוואה המעודכנת:
F הכוח החיצוני המופעל על הגוף.
הפתרון, אם כך, יהיה תלוי גם בתכונות הבעיה המקורית (בעגה: הבעיה ההומוגנית) וגם בתכונות הכוח החיצוני.
אחד הדברים החדשים והמעניינים שמופיעים במערכות כאלה הוא תופעת התהודה. הפתרון של המערכת תלוי בתדירות הכוח המנדנד. אם האב מתאם את הרגעים שבהם הוא דוחף את הילדה לתדירות מאוד מסוימת, הגובה שתגיע אליו הילדה יגדל מאוד אפילו ללא הגברת כוח הדחיפה. כלומר, ישנם תדרי נדנוד שבהם המערכת, במובן מסוים, יוצאת מכלל שליטה. בתדרים נמוכים וגבוהים מתדרי התהודה פעולת הדחיפה משפיעה באופן מתון או אפילו מפריעה לתנועה. לעומת זאת, בתדר התהודה המערכת משתוללת והילדה עפה מהנדנדה, לא עלינו. ניתן לחשב את תדרי התהודה על ידי פתרון מתמטי של המערכת או לגלות אותם על ידי מדידה.
אבל,
ברשימה זאת אני לא רוצה לעסוק בפתרון המערכת הספציפית הזאת אלא דווקא בדרכים מיוחדות לייצג משפחה שלמה של בעיות דומות. מה שמקשר בין הבעיות הוא שהן מתארות מערכת שלתוכה מוזן אות כניסה (למשל הכוח החיצוני שמופעל על הגוף) ונמדד אות יציאה (למשל מיקום הגוף בכל רגע ביחס לנקודת שיווי משקל).
ככה מהנדסי חשמל רואים את העולם.
***
בואו ונניח שניתן לתאר את המערכת על ידי שתי המשוואות הבאות:
x הוא וקטור משתני המצב, u המקור, כלומר הכוח החיצוני, x עם נקודה למעלה מסמל נגזרת אחת בזמן של וקטור משתני המצב. y מסמל את אות היציאה של המערכת, למשל באוסילטור את המרחק מנקודת שיווי המשקל בכל רגע. A,B,C,D הם קבועים שאינם תלויים בזמן (בעגה מערכת כזאת נקראת LTI, כלומר linear-time-invariant).
המשוואה העליונה מתארת את הפיזיקה של משתני המצב שבחרנו. למשל במקרה של אוסילטור הרמוני הראיתי בסוף הרשימה הקודמת שמשתני העזר שנבחרו היו המקום והמהירות של הגוף. זה לא מקרי שמשתני המצב הם נגזרות אחד של השני.
המשוואה התחתונה מגדירה את אות היציאה שהחלטנו למדוד.
כעת בואו ונראה כיצד ניתן לתרגם למשל את בעיית האוסילטור לתוך הפורמולציה הזאת.
נרשום שוב את המשוואה כולל איבר המקור:
סימנתי את איבר המקור F באות u מטעמי נוחות והרגל.
משתני העזר שלי הם:
לכן שתי המשוואות שמייצגות אותן הן:
נסגור את שתי המשוואות בכתב מטריצי:
נניח שאות היציאה שמעניין אותנו הוא מרחק הגוף מנקודת שיווי משקל בכל רגע. אם כך אנחנו מעוניינים רק באיבר הראשון בווקטור המצב. נתרגם לכתב מטריצי:
ולכן המערכת מתוארת על ידי:
כעת כל המידע על אופייה של המערכת גלום במקדמים שלה A,B,C,D שהם וקטורים ומטריצות. אני אנסה להסביר מדוע דרך דוגמה.
***
התמרת פורייה היא אופרציה מתמטית שמפרקת פונקציה לרכיבי התדר הבסיסיים שמרכיבים אותה. לדוגמה, צג האקולייזר במערכת הסטריאו שלכם מראה בכל רגע מה העוצמה של כל צליל שצריך לחבר כדי לקבל את המוזיקה שאתם שומעים. אם יש למשל הרבה בס אז עוצמת התדרים הנמוכים תהיה גבוהה. הסברתי בעבר על הנושא ברשימה על מוזיקה מרובעת.
אחת התכונות המוזרות של התמרת פורייה היא שאם מפעילים אותה על משתנה תחת נגזרת מקבלים את המשתנה ללא נגזרת כפול קבוע הקשור לתדר. כלומר ניתן להפעיל את ההתמרה על משוואה דיפרנציאלית, להפוך אותה לאלגברית, לפתור אותה בקלות, ואז לנסות להמיר חזרה לתחום הזמן (שזה לא ממש קל). כל עוד המשתנים תחת ההתמרה אנחנו נקרא להם הייצוג בתחום התדר, כי הפונקציות הופכות הרי לפירוק התדרים ולכן הן פונקציות של התדר ולא של הזמן.
בטיפול במערכות אלה נהוג להשתמש בהתמרה שנקראת 'התמרת לפלאס' במקום בהתמרת פורייה. קצרה היריעה מלעמוד על ההבדלים ביניהן, אבל לענייננו זה לא ישנה דבר.
נפעיל את התמרת לפלאס על הייצוג הכללי של מערכת המצב:
נרשום את כל המשתנים באות גדולה כדי לסמן שהם כעת פונקציות של התדר ולא של הזמן. הקבוע s הוא הקבוע שיצא מהנגזרת והוא תלוי בתדר.
קיבלנו שתי משוואות אלגבריות, כאשר אנחנו זוכרים שהמקדמים A,B,C,D הם מטריצות. נבודד את X מתוך המשוואה הראשונה באמצעות אלגברה של מטריצות ונציב אותו במשוואה השניה:
I היא מטריצת היחידה.
קיבלנו ביטוי בתחום התדר עבור מוצא המערכת Y בהינתן המקור U. אם נחלק ביניהם נקבל ביטוי שנקרא פונקצית התמסורת (transfer function) של המערכת, כלומר מה יוצא ביחס למה שנכנס, הכל כתלות בתדר הנדנוד.
בואו ונתרגם את התוצאה למקרה של אוסילטור הרמוני פשוט ללא חיכוך על ידי הצבת המקדמים הרלוונטיים שקיבלנו קודם:
ניתן לראות שקיבלנו במכנה פולינום עבור המשתנה s. נזכר שזה בדיוק הפולינום האופייני של המערכת ששורשיו מכתיבים את התנהגות המערכת כפי שראינו ברשימה הקודמת. אלה נקראים הקטבים של המערכת והם קובעים את התנהגותה. קיבלנו אותם מתוך המטריצה A (בעגה: מצאנו את הערכים העצמיים שלה). למעשה מרגע שניסחנו את הייצוג, יכולנו לגלות חלק חשוב מהתנהגות המערכת מתוך ניתוח המטריצה עצמה, ללא פתרון מלא שלה. למשל, אם אחד מקטבי המערכת ממשי וחיובי אז הפתרון בזמן יהיה תלוי בפונקציה אקספוננציאלית מתפוצצת ולכן המערכת אינה יציבה בזמן.
ישנן עוד תכונות רבות וחשובות שניתן לראות ישירות מתוך הייצוג, ללא פתרון מלא בזמן. ברגע שיש לנו את המקדמים A,B,C,D המערכת הפיזיקלית חשופה בפנינו. חשופה גם לאפיון אך גם לשליטה. למשל את בעיית היציבות שהזכרתי ניתן לתקן על ידי חיבור משוב במערכת, כלומר חיבור אות היציאה לתוך הכניסה, שישנה את הקטבים של המערכת. כמה הגבר יש לקבוע עבור אות המשוב כדי לייצב את המערכת? קל לקבוע בחישוב מתוך הייצוג.
***
ייצוג בעיות פיזיקליות כמערכת של כניסות ויציאות הוא כלי חזק של תכנון ושליטה בידי המהנדס. הוא נקרא 'ייצוג במרחב המצב' (state space representation) והוא חלק חשוב מתוך תורת הבקרה. כל החישוב האמיתי נעשה על גבי המחשב, לתוכו אנחנו מזינים את המטריצות שמייצגות את המערכת, ומבצעים את האפיון והתכנון של המערכת באמצעות כלים ממוחשבים מתוחכמים שנכתבו למטרות אלה.
זהו.
מטריצה אובר-אנד-אאוט.
המטריצה מכה בשלישית – אוסילטור הרמוני ופתרון מש' דיפ' מסדר שני
הרשימה הבאה היא מיוחדת.
הרבה אקדחים ששתלתי ברשימות קודמות הולכים לירות כאן. היכונו.
המטרה: הרחבה משמעותית של מספר הבעיות הפיזיקליות שניתן לפתור באמצעות מחשב בעזרתה של ידידתנו הותיקה, המטריצה.
אזהרה: הרשימה מכילה מתמטיקה.
***
סיכום הפרקים הקודמים.
שחקנית מספר אחד: מטריצה.
ברשימה קודמת הצגתי את המטריצה כמבנה סדור של מספרים שניתן להכריחו לקיים חוקי חשבון פשוטים. תכונה זאת גורמת למטריצה להיות כלי שאותו קל לתכנת לתוך המחשב. הדגמתי כיצד ניתן לפתור באמצעות מטריצה מערכת משוואות ליניאריות, ובכך מתאפשר לנו לתכנת בקלות את המחשב לפתור זאת עבורנו.
ברשימה אחרת הראיתי כיצד ניתן לפתור סוג מסוים של מעגלים חשמליים על ידי תרגום הזרמים במעגל למערכת משוואות ליניאריות. המשמעות היא שנוכל לתכנת את המחשב לפתור בקלות מעגלים חשמליים.
שחקן מספר שתיים: אוסילטור הרמוני.
ברשימה קודמת הראיתי שאם נחבר גוף לקפיץ ונסיט אותו מעט מנקודת שיווי המשקל, הוא ינוע סביב נקודת שיווי המשקל בתנועה מחזורית. בקצה המסלול הכוח שמפעיל הקפיץ על הגוף הוא מקסימלי ומהירות הגוף אפס ובנקודת שיווי המשקל המהירות מקסימלית והכוח על הגוף אפס.
איור 2: גוף קשור בקפיץ אלסטי לקיר ונע ללא חיכוך הלוך ושוב סביב נקודת שיווי המשקל.
***
אציג כאן שוב את בעיית האוסילטור, אך הפעם בצורה מתמטית מדויקת יותר.
נתחיל מהחוק שני של ניוטון שאומר שהיחס בין הכוח שמופעל על גוף לבין שינוי מהירותו (תאוצה) שווה למסת הגוף. במילים אחרות:
a היא התאוצה, F הכוח ו-m המסה.
התאוצה היא שינוי המהירות בזמן והמהירות היא שינוי המקום בזמן. אם כך, נוכל לכתוב את התאוצה כנגזרת שניה של מקום הגוף לפי הזמן (להסבר מפורט יותר על נגזרות ברשימה קודמת). במילים אחרות:
x הוא המקום, שתי הנקודות מעל ה-x מסמלות נגזרת שניה לפי הזמן.
חוק הוק מצביע על כך שהיחס בין הכוח שמופעל על קפיץ בתחום האלסטי לבין התארכותו ממצב רפוי שווה לקבוע המצביע על קשיחותו של הקפיץ. במילים אחרות:
x מיקום הגוף הקשור לקפיץ, F כוח ו-k קבוע הקפיץ. המינוס מסמן שזהו כוח מחזיר, תמיד לכיוון נקודת שיווי המשקל.
כעת נאחד את שתי המשוואות לכדי אחת ונקבל:
זאת היא משוואה דיפרנציאלית מסדר שני (ע"ש נגזרת שניה). הנעלם במשוואה הוא לא מספר אלא פונקציה שהיא המקום של הגוף בכל רגע, x כפונקציה של t. אנחנו מחפשים פונקציה שאם נגזור אותה פעמיים לפי הזמן ונוסיף לה את עצמה כפול קבוע נקבל אפס ללא תלות בזמן. הפונקציה היחידה שתקיים קשר שכזה היא פונקצית האקספוננט מכיוון שהנגזרת שלה גם היא אקספוננט זהה למקור.
אם כך, ננחש שהפתרון הוא מהצורה:
X מקום, t זמן, r קבוע כלשהו.
מכאן ש:
נציב את הפתרון במשוואה ונקבל את הפולינום האופייני של המשוואה. נקבל שני פתרונות עבור r שמיצגים שני פתרונות אפשריים למשוואה.
ה-i בסוף הפתרון הוא סימן לשורש של 1-. ניתן להוכיח שהפתרון של המשוואה הוא צירוף ליניארי של שני הפתרונות האפשריים. כלומר:
A ו-B הם קבועים שתלויים בתנאי ההתחלה של הבעיה.
את הפתרון ניתן להציג בצורה המוכרת יותר (המרה לפי זהות אוילר):
A ו-φ הם קבועים התלויים בתנאי ההתחלה של הבעיה. ω היא תדירות התנודה של האוסילטור.
אנימציה 3: פתרון האוסילטור ההרמוני הפשוט. הגוף מתרחק ומתקרב לנקודת שיווי המשקל לפי פונקצית סינוס מחזורית. המקור לאנימציה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Evil_saltine.
***
מה יקרה לתנועת האוסילטור אם נרצה להתחשב בחיכוך של הגוף עם המדיום בו הוא נמצא, למשל אוויר או מים? ככל שגוף נע מהר יותר באוויר או במים כך המדיום מתנגד לתנועה חזק יותר. נוכל לבטא קשר זה על ידי הוספת כוח נוסף לכוח הקפיץ שמתכונתי למהירות. נזכר גם שמהירות היא שינוי במקום ולכן נגזרת ראשונה של המקום.
כוח החיכוך נתון על ידי:
F כוח החיכוך, v כוח, C קבוע פרופורציה.
אם כך המשוואה היא:
(החלפתי זמנית סימנים כדי לחסוך בפיקסלים, כמו כן עידכנתי טעויות מינוריות בסימון 31.10.15)
כיצד יראה הפתרון?
נוכל לחשוב על שני מקרים. בראשון כוח החיכוך חלש (נקרא בעגה 'ריסון חלש') כך שנצפה לראות תנודות דועכות של האוסילטור בתדירות מעט שונה מהתנודות המקוריות, עד לעצירתו (ראו איור, קו ירוק). במקרה השני כוח החיכוך כל כך חזק עד שלא נראה אפילו תנודה אחת עד לעצירת הגוף (נקרא בעגה 'ריסון חזק', באיור קו תכלת).
איור 4: גרף המציג את הפתרון של משוואת האוסילטור ההרמוני, כלומר המיקום כפונקציה של הזמן. הקו הכחול הוא הפתרון ללא חיכוך. הקו הירוק הוא ריסון חלש והקו התכלת הוא ריסון חזק. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש Nuno Nogueira.
נשתמש שוב בשיטת השורשים למציאת הפתרון במקרה של ריסון חלש. אציג כאן את הפתרון המתמטי ללא הסברים, אך שימו לב שאין אנו זקוקים לו בהמשך. ניתן לדלג ישירות לחלק הבא.
למשל עבור ריסון חלש:
ω תדירות התנודה של המערכת, A ו-φ קבועים תלויים בתנאי ההתחלה. הסינוס בביטוי דואג לתנודה והאקספוננט דואג לדעיכה בזמן של הפתרון עד לעצירה בנקודת שיווי המשקל.
***
ועכשיו לסיבה שלשמה נתכנסנו.
נזכר שהמטרה היא ללמוד כיצד לפתור בעיות מתמטיות, למשל כמו אוסילטור, באמצעות המחשב. במקום פתרון אנליטי מלא על הנייר נרצה לתת למחשב לחשב נומרית במקומנו היכן נמצא הגוף בכל רגע. ישנן לא מעט תוכנות שמסוגלות לפתור משוואות דיפרנציאליות בצורה כזאת, אך רובן לא מתאימות לפתרון משוואות מסדר שני.
נשתמש בטריק כדי 'לעבוד' על המחשב ולמכור לו משוואה מסדר שני כמשוואה מסדר ראשון. נעזר בידידתנו המטריצה.
ראשית נגדיר משתני עזר:
מכאן ששתי המשוואות הבאות מתקיימות עבור הנגזרות בזמן של משתני העזר:
המשוואה הראשונה פשוט מציינת את יחס הנגזרת בין שני משתני העזר כפי שהגדרנו אותם. המשוואה השניה היא תרגום של משוואת האוסילטור המרוסן במונחי משתני העזר.
כעת נוכל לרשום את שתי המשוואות יחדיו בצורת מטריצה:
ובעצם מה שקיבלנו הוא משוואה דיפרנציאלית פשוטה מסדר ראשון עבור המשתנה Z. תוכנה (כמו למשל matlab או scilab) שיודעת להתמודד עם מטריצות ועם משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון תפתור את המשוואה ללא אגל בודד של זיעה על מצחה. בינתיים אנחנו ננוח רגל על רגל.
הפתרון של משתנה Z1 הוא מיקום הגוף בכל רגע והפתרון של Z2 הוא המהירות בכל רגע.
***
ראינו כיצד ניתן לפתור באמצעות המחשב את בעיית האוסילטור, כולל המקרה המרוסן, כאשר אנחנו עוברים להצגת הבעיה באמצעות מטריצות.
משוואת האוסלטור מתארת שורה ארוכה של בעיות מעניינות כמו מטוטלת, קפיץ ונדנדה, אך גם מעגלים חשמליים הנקראים מעגלי תהודה ומכילים קבלים נגדים וסלילים (הצגתי את הנושא ברשימה קודמת). כלומר, נוכל להשתמש בפורמולציה הזאת לפתרון של כל משוואה דיפרנציאלית מהסוג הזה, ולא רק אוסילטור.
די שימושי, לא? אבל זה רק קצה הקרחון. הפינאלה ברשימה הבאה.
על כוסות תה מהבילות ואינסוףים קצרים, רשימה חורפית
ימים קרים עוברים עלינו, ימים של חורף.
שאלה: כמה זמן לוקח לכוס התה החמה שלכם להתקרר, כלומר להגיע לטמפרטורת החדר, במידה ולא שתיתם אותה?
כמובן שנוכל פשוט לבדוק כמה זמן זה לוקח. אבל החוכמה היא למצוא תשובה כללית עבור כל כוסות התה בכל התנאים ובכל הימים. כיצד עושים זאת?
תמונה 1: כוס תה מהודרת שאינה דומה כלל לזאת שאני שותה ממנה ואפילו אינה מהבילה במקור, אבל זה מה שמצאתי בויקיפדיה. את 'האדים' הוספתי בעצמי…
מהמכניקה של ניוטון ועד לתורת הקוונטים: הכל משוואות דיפרנציאליות
משוואה דיפרנציאלית היא משוואה שבה הנעלמות הן פונקציות ולא מספרים, ומופיעות בה נגזרות מסדרים שונים של אותן פונקציות (למי שלא בטוח מהי נגזרת, כדאי לקרא רשימה קודמת). לא אגזים אם אומר שמשוואות אלה הן אחד מהבסיסים החשובים לכל המדע, מהמכניקה של ניוטון ועד לתורת הקוונטים של היום, ממשוואות שמתארות התפשטות של חום ועד משוואות המתארות זרימה של נוזלים. הסיבה לכך היא שכאשר אנחנו כותבים מדע באופן פורמלי-מתמטי אנחנו בעצם מתארים את ההשתנות של גודל מסוים (כלומר הנגזרת שלו) כמו מיקום, מהירות או טמפרטורה ביחס למרחב או לזמן.
המשוואה הדיפרנציאלית הפשוטה ביותר שניתן לחשוב עליה נובעת מהשאלה הבאה: מהי הפונקציה ששווה עד כדי קבוע לנגזרת של עצמה? מסתבר שהפונקציה שמקיימת את המשוואה הזאת היא האקספוננט, כלומר המספר e, שערכו הוא בערך 2.71, בחזקת המשתנה x (ראו תמונה 2). זאת גם הסיבה שהפונקציה הזאת כה חשובה ותופיע בתחומים רבים כל כך של מדע.
תמונה 2: פונקצית האקספוננט. המקור לתמונה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Peter John Acklam.
סליחה, התה שלי שלי שוב קר
הצעד הבא הוא למצוא חוק פיזיקלי כללי שנכון לכל כוסות התה. אין בו כרגע צורך במספרים, אלא רק בתובנה איך זה עובד. את הרעיונות אפשר לקבל בכמה דרכים. גישה אחת היא הגישה הניסיונית, שבה נמדוד את הטמפרטורה כתלות בזמן של מספר רב של כוסות מתקררות וננסה לנסח מודל מתמטי מתאים. גישה שניה היא הגישה התיאורטית, שבה ננסה להגיע לתובנות אפריורי, ננסח אותן בעזרת מתמטיקה ורק לאחר מכן נבדוק אם המודל מתאים לתוצאות ניסויים. הגישה השלישית היא פשוט שילוב כלשהו של השתיים האחרות.
עבור כוס התה שלנו מדובר בחוק הקירור של ניוטון. החוק קובע שקצב ירידת הטמפרטורה של הכוס עומד ביחס ישר להפרש הטמפרטורות בינה לסביבה. כלומר, אם הכוס רותחת והסביבה קרה, אז היא מתקררת מהר, ואם הטמפרטורה שלה קרובה לזאת של הסביבה, אז היא מתקררת לאט.
אותנו מעניינת הטמפרטורה כפונקציה של הזמן, ולכן אנחנו מחפשים פונקציה שאם נגזור אותה (קצב) נקבל אותה שוב, עד כדי קבוע, ובסימן שלילי. הפתרון, כאמור, הוא פונקציה אקספוננציאלית דועכת שבה המעריך תלוי בזמן ובקבוע שקשור לתכונות הכימיות והגיאומטריות של הכוס (ראו תמונה 3). ניתן לראות שהפתרון הזה אכן מקיים דעיכה מהירה בהתחלה שהולכת ומאיטה.
תמונה 3: אקספוננט דועך. עבור x-ים קטנים דועך מהר ועבור גדולים דועך לאט. ערכו של האקספוננט הדועך שווה בדיוק לאפס רק באינסוף אבל הרבה לפני זה כבר לא נוכל להבחין בהבדל בעין בלתי מזויינת. הפקתי את הגרף באתר הזה.
כמה ארוך הוא האינסוף?
הטמפרטורה במערכת אמנם תלויה בזמן, אבל ההנחה היא שלאחר זמן ארוך מספיק המערכת תפסיק להשתנות ותגיע למצב יציב. אך מהו אותו מצב יציב? קל למצוא אותו על ידי חזרה למשוואה ואיפוס הנגזרת, כלומר אילוץ מצב סטטי. התוצאה היא כמובן שהפרש הטמפרטורות במצב יציב בין הכוס לסביבה הוא אפס. אבל כמה זמן ייקח לה להגיע לטמפרטורה הזאת? מהו הערך עבורו מתאפסת פונקצית האקספוננט עם המעריך השלילי?
למעשה, רק אם נניח שעבר בדיוק אינסוף זמן נקבל התאפסות של האקספוננט. כלומר טמפרטורת הכוס, לפי המודל של חוק הקירור, לעולם לא תשתווה לזאת של הסביבה. אבל שימו לב לגרף בתמונה 3. ברור שלא היה טעם להמשיך ולצייר אותו עבור ערכי x גדולים יותר, מכיוון שאיננו יכולים להבחין בשינוי. ואם נחזור לכוס התה, ניתן לומר שלאחר זמן מסוים לא נוכל עוד להבחין בהבדל הטמפרטורות בין הכוס לסביבה ונוכל בעצם להניח שעבר זמן ארוך כרצוננו מבלי שזה ישפיע על התוצאה. ואם נציג זאת בצורה הפוכה, ניתן לקבל בפועל את הפתרון שמתאים לזמן אינסופי גם עבור זמנים קצרים בהרבה.
אז מהו הזמן הקצר ביותר שבו המערכת נמצאת במצב יציב? דבר זה תלוי בתכונות המערכת ובדיוק המדידה שלנו. עבור כוס תה ביום קריר, הפתרון לאחר חצי שעה שקול לפתרון לאחר שעה ושקול גם לפתרון בכל זמן אחר גדול כרצוננו.
נו, אז מה?
בחרתי את הדוגמא של הכוס המתקררת כי היא מערכת פשוטה מאוד לפתרון, אך ישנן מערכות רבות שאותן קשה מאוד לפתור. דוגמא אחת שהזכרתי ברשימות קודמות היא משוואות קצב המתארות למשל מערכת אקולוגית או אוכלוסיה של חלבונים בתא שיש ביניהם יחסי גומלין. מדובר במספר משוואות דיפרנציאליות מצומדות וקשות לפתרון אנליטי (כלומר על הנייר, ללא מחשב).
במקרים רבים לא באמת מעניינת אותנו הדינמיקה של המערכת, כלומר איך היא הגיעה למצב יציב מסוים, אלא רק מהו המצב הסופי עבור תנאי התחלה מסוימים. למשל האם אוכלוסיית זאבים מסוימת תשגשג או תיכחד. במצבים אלה ניתן לחפש ישירות את המצב היציב על ידי הנחת זמן אינסופי ואיפוס הנגזרות. בצורה זאת אנחנו ממירים סט של משוואות דיפרנציאליות לסט של משוואות אלגבריות שהן קלות יותר לחישוב.
הזמן שלוקח למערכת כזאת להגיע למצב יציב תלוי לחלוטין בפרמטרים של המערכת ויכול לנוע בין חלקי שניות לשנים.
האינסוף מעולם לא היה קצר יותר.
"הוא טוב כל עוד הוא עובד", מבט פרגמטי על טיבן של תיאוריות מדעיות
האדם החושב תמיד שאף להסביר את העולם, כלומר לנסח בעזרת חוקים ותובנות את אשר חווה, לחזות את הנולד ולשלוט בעתידו (ולעיתים גם בעתידם של אחרים). החל באריסטו שניסח חוקי תנועה, דרך גלילאו וניוטון שהפריכו אותם (עקרון ההתמדה) וניסחו את חוקי המכאניקה ('הקלאסית') המוכרים לנו היום, וכלה במדענים העובדים על התורות הפיסיקליות של ימינו (תורת היחסות, מכאניקת הקוונטים ועוד).
בהתבוננות נוספת מתגלה לכאורה דפוס מדאיג, שהרי גם המכאניקה הניוטונית הופרכה ותורת היחסות ומכאניקת הקוונטים החליפו אותה. מסתבר למשל שהמכאניקה הניוטונית אינה אלא מקרה פרטי וצפויה להניב תחזיות נכונות רק במקרה של מהירויות הנמוכות בהרבה ממהירות האור. אך האם זה סוף הסיפור? האם המדע נידון לכישלון בניסיונו לתאר את הטבע או שאנו פשוט עוד לא מצאנו את התורה המלאה? האם יום אחד נוכל לנסח את התאוריה של הכול (The Theory of Everything), או לרשום משוואה שתתחיל במפץ הגדול ותחזה כל רגע מאוחר יותר? האם התיאוריות של היום הם רק עניין חולף ואם כן, האם אנו צריכים לדאוג מכך? התשובה לדעתי היא כן ולא, כפי שאפרט בהמשך.
ציור של גלילאו גליליי, המקור לתמונה: ויקיפדיה.
כדי להעמיק ברעיון התיאוריה הפיסיקלית עלינו תחילה לשאול כיצד בכלל נבנית תיאוריה כזאת. תיאוריה או מודל חדש יכולים להיוולד כהסבר לניסוי שתוצאותיו אינן תואמות את המודל הקיים. לחלופין, לפעמים זהו הניסוי שבא לבדוק תיאוריה חדשה ולעמת אותה עם המציאות. אנסה להדגים זאת בעזרת נושא הקרוב לליבי – המוליכים למחצה. בשנת 1947 הוצג במעבדות בל הטרנזיסטור הראשון שזיכה את ממציאיו בפרס נובל בפיסיקה תשע שנים לאחר מכן. ב-1958 הוצג המעגל המשולב הראשון ומאז הטכנולוגיה שועטת קדימה ללא מעצורים. שבבי הסיליקון נמצאים (כמעט) בכל מקום. בכל פעם שאתם משתמשים במחשב כדי להתעדכן מה חדש שם באינטרנט אתם משתמשים בשבבי סיליקון (שהוא מוליך למחצה).
התמונה המפורסמת מ-1948 במעבדות בל של בראטיין, שוקלי ובארדין ממציאי הטרנזיסטור. השלושה זכו בפרס הנובל לפיזיקה בשנת 1956. המקור לתמונה: ויקיפדיה.
אז מהו מוליך למחצה? ראשית נסביר מהם מוליכים ומבודדים, כאשר נתמקד בגבישים. מוליך (למשל מתכת) הוא חומר שבו תמיד יש אלקטרונים פנויים להולכה חשמלית. לעומת זאת חומר גבישי מבודד הוא חומר בו קיים מחסום אנרגטי גדול המונע מאלקטרונים להשתתף בהולכה. אלה כמובן אינן ההגדרות הפיסיקליות המדויקות, אך הן מספיקות עבור הנקודה שאני אנסה להבהיר.
מוליכים למחצה הם בעצם מבודדים שהמחסום האנרגטי בהם קטן מספיק כך שהאנרגיה התרמית (כלומר – חום) בטמפרטורה יום-יומית רגילה תגרום להם להוליך במידה מסוימת. כמו כן, על ידי החדרת אטומים זרים מסוג מסוים למוליכים למחצה אנו יכולים לגרום לעלייה חדה במוליכות החשמלית שלהם. כך קיבלנו חומרים שניתן לשלוט באופן מדויק במוליכות שלהם, וזה מה שהופך אותם לחשובים כל כך בתעשיית השבבים. זאת בניגוד למוליכים ומבודדים שההולכה החשמלית בהם או נמוכה או גבוהה מידי ותלויה בטמפרטורה במידה רבה.
כעת נרצה לבנות מודל פיסיקלי לתיאור ההולכה בחומרים אלה. ראשית אנו משתמשים בעקרונות אחת התיאוריות הקלאסיות בפיסיקה, הפיסיקה הסטטיסטית, לנסח את ההתנהגות של חלקיקי גז. לאחר מכן אנו מניחים שאלקטרונים במתכת מתנהגים כחלקיקי גז עד כדי תיקונים הנובעים מתורת הקוונטים (חוק האיסור של פאולי, חישוב ספקטרום האנרגיה של האלקטרונים). יש לשים לב שכאן כבר מעורבבים יחדיו עקרונות פיסיקליים קלאסיים וקוונטיים. כעת נשתמש במודל הזה לתיאור המוליכים למחצה עם תיקון, אד הוק, נוסף הקשור להוספת המחסום האנרגטי של האלקטרונים בדרך להולכה חשמלית. בעזרת המשוואות שקיבלנו נוכל לחשב כמה אלקטרונים פנויים להולכה בפיסת מוליך למחצה כתלות בפרמטרים שונים. כעת נוכל להשתמש במודל הולכה קלאסי ולמצוא מה ההולכה החשמלית הצפויה במעגל שניבנה בעזרתו.
המודל שהוצג מכיל קירובים רבים וסלט של רעיונות מודבקים מתחומי פיסיקה שונים. קשה להאמין שהוא מתאר את הטבע בצורה נאמנה. עם זאת, באופן בלתי נתפס, הוא חוזה בצורה מדויקת את תוצאות הניסויים כבר עשרות שנים ונמצא בשימוש במחקר ובתעשייה עד ימים אלה. המחשב שלכם עובד, לא?
אז מה ניתן ללמוד מכל זה? אני מגדיר את הגישה שלי לנושא כסופר-פרגמטית. עבורי כל תיאוריה שמצליחה לחזות בעקביות את תוצאותיהם של ניסויים רלוונטיים, וניתן בעזרתה להגיע לקידום ממשי של המדע מקובלת עלי. ומה יהיה כאשר נמצא ניסוי שעבורו התיאוריה אינה עובדת? נחזור לשולחן העבודה ונכתוב אחת חדשה. מודל הוא טוב כל עוד הוא עובד.
רגע, רגע, אבל מה עם האמת? האם המודל שניסחנו הוא האמת? לטעמי השאלות האלה אינן פרגמטיות כלל, ולכן מחוץ לתחום השיפוט שלי.
————————————————————————
הרשימה פורסמה במקור באתר שפינוזה זצ"ל לפני כשנתיים-שלוש. למעשה זאת הרשימה הראשונה שכתבתי אי פעם. עקב ביטולו של אתר שפינוזה, ומכיוון שאני עדיין אוהב אותה החלטתי לערוך את הרשימה מחדש ולהעלות אותה כאן בבלוג.
האם ביולוג יכול לתקן רדיו?
למרות כל ההצלחות הגדולות של מדע הביולוגיה המולקולרית [1] משהו עדיין הציק לביולוג יורי לזבניק (Lazebnik); הוא הרגיש שמשהו עדיין חסר. הנושא טרד את מנוחתו עד כדי כך שבשנת 2002 הוא פרסם מאמר מאיר עיניים הנושא את הכותרת הפרובוקטיבית: "האם ביולוג יכול לתקן רדיו?". אז מהי אותה בעיה שהטרידה את יורי והאם ביולוג יכול או לא יכול לתקן רדיו? על שאלות אלו ואחרות אנסה לענות ברשימה הבאה.
רדיו טרנזיסטור. המקור:וויקיפדיה
בהביטו במחקר הביולוגי הבחין לזבניק בתופעה שחוזרת על עצמה במקרים רבים: גילוי חדש מבטיח גדולות ונצורות (למשל פיתוח תרופות פורצות דרך) אם רק נצליח להבין אותו כראוי. חוקרים רבים ניגשים למשימה ובמשך השנים הבאות מפיקים כמויות עצומות של מידע, פעמים רבות סותר [2], רק כדי לגלות שתרופת פלא אין, אך בלבול גדול יש ויש. דבר זה, מיותר לציין, לא גרם לו אושר. בכדי ללמוד על הבעיה הוא החליט לבצע תרגיל מחשבתי. הוא החליט לקחת בעיה שהפתרון שלה ידוע (רדיו מקולקל) ולנסות לדמיין כיצד יתמודדו הביולוגים עם בעיה זאת. בין המערכת המקורית (למשל תא, איבר או גוף האדם) לבין המערכת האנלוגית (רדיו) ישנן נקודות דמיון חשובות כגון קלט, פלט ותגובה לאותות.
מה יעשה הביולוג המחשבתי שלנו בכדי לתקן את הרדיו? ראשית ישיג תקציב גדול לרכישת מספר רב של מכשירי רדיו תקינים לשם פירוקם וסיווגם של הרכיבים. בהמשך ינסה אותו ביולוג לפרק ממכשירי הרדיו רכיבים בודדים ולבדוק כיצד מושפעת הפקת הצלילים. תוך כדי כך הוא יגלה לשמחתו כמה רכיבים שבלעדיהם לא תתאפשר הפקת צליל. הוא ינסה גם לחליף רכיבים ברכיבים אחרים או להשתיל רכיבים שלא היו שם קודם. מכל הפעולות הללו הוא יוכל להבין שחלק מהרכיבים האחראיים על הפקת צלילים מופעלים אחד על ידי השני או מפעילים אחד את השני. לבסוף יוכל אותו ביולוג לשרטט תרשים שקרוב לוודאי יהיה דומה לתרשים הבא:
פרשנות אפשרית: רכיב A הוא מקלט AM, רכיב B הוא מקלט FM, רכיב C הוא מתג הבורר בין שני האותות הנכנסים, '?' מספר רכיבים לא ידועים בעלי תפקיד לא ידוע, רכיב D הוא רמקול. מהנדס היה משרטט רדיו כך (AM בלבד)
האם הרדיו יחזור לפעול? אם הבעיה היא ברכיב בודד שהתקלקל אז כנראה שכן. אך אם הרדיו אינו פועל בגלל שהרכיבים שלו אינם "מכוונים" כראוי או אינם מתואמים ביניהם אז כנראה שלא. התרשים שהוצג אינו מכיל מספיק מידע עבור התיקון במקרה זה ולצערנו בתאים חיים ואורגניזמים ישנם מערכות רבות שדורשות כוונון או שתפקודם תלוי במרכיבים רבים המשפיעים אחד על השני.
מדוע המהנדס או הטכנאי יוכל תמיד לתקן רדיו אך הביולוג רק לעיתים רחוקות? לדעתו של לזבניק, הבעיה נעוצה בהבדלים בשפה בהם משתמשים מהנדסים וביולוגים. הוא טוען שישנו חוסר בפורמליזם כמותי בתיאור המערכות הביולוגיות. אך מהו בכלל פורמליזם?
במקום לנסות ולהגדיר אדגים פורמליזם מתמטי:
כולנו יודעים שדרך, זמן ומהירות קשורים זה בזה. ככל שהדרך ארוכה יותר (או שהמהירות נמוכה יותר) כך ייקח זמן רב יותר להגיע לסופה. את המשפט הראשון ניתן לסכם בתרשים הבא:
ואת השני ניתן לייצג בעזרת הנוסחא הבאה:
הנוסחא מתמצתת את הידע שלנו על התופעה וקובעת בצורה ברורה וכמותית את היחסים המדויקים בין המשתתפים השונים. כמו כן, מכיוון שהנוסחא כתובה בשפת המתמטיקה היא מחויבת לקיים את חוקיה ולכן מתוך הניסוח הראשוני נוכל לגזור יחסים חדשים כל עוד נשתמש בפעולות מתמטיות לגיטימיות. כלומר, השתמשנו בפורמליזם מתמטי כדי לנסח מציאות פיזיקאלית.
נסכם עד לכאן: טכנאי יודע לתקן רדיו כי יש לו את התוכנית שלו בפורמליזם מתאים. אם היה לנו את התוכנית של התא בפורמליזם מתאים יכולנו לתקן גם אותו, אך את הביולוגיה אנו מקבלים מן המוגמר ואין לנו את התוכניות. המחקר הביולוגי כיום אמנם מנסה לגלות את התוכנית של התא (או באנלוגיה לחקור רדיו) אבל ללא פורמליזם מסודר שאפשר להיבנות ממנו מקבל רק דיאגרמות חסרות תועלת. אוקיי – נשימה – אך האם המערכות הביולוגיות אינן מסובכות מדי עבור פורמליזם כמותי?
בחרתי להתמקד בפורמליזם מתמטי. הניסיון לתאר את הביולוגיה המולקולרית בעזרת כלים מתמטיים אינו חדש. אך מה שאפיין, לדעתי, במשך השנים את השילוב הזה הוא בד"כ נתק בין המתמטיקאי לביולוג. בשנים האחרונות קם דור חדש של ביולוגים (פעמים רבות פיזיקאים בעברם) אשר משלבים בעבודתם גם את שיטות המחקר הביולוגיות המתקדמות וגם גישה פיזיקאלית-מתמטית-כמותית. לדוגמא: נמצא כי ניתן לתאר מנגנוני בקרה גנטיים על ידי תורת-הבקרה הלקוחה מתחום הנדסת החשמל, וכן, נעשה שימוש בתורת הגרפים בכדי לאפיין באותם מנגנונים גנטיים מוטיבים על מנת לנסות ולהעמיק אל חוקי התכנון שלהן [3]. שימוש בתורת המשחקים כדי להסביר התנהגות של חיידקים היא דוגמא נוספת, ויש עוד.
אחת הביקורות הנשמעות מפי ביולוגיים 'קלאסיים' כלפי הגישה הזאת למחקר היא שזאת כלל אינה ביולוגיה אלא פיזיקה. אך יש לזכור שגם כאשר פרצה הביולוגיה המולקולרית בשנות ה-70 טענו הביולוגים הותיקים שזו אינה ביולוגיה. ימים יגידו.
[1] הביולוגיה המולקולרית היא נושא חדש (באופן יחסי), אך עם זאת מרכזי כיום בחקר הביולוגיה. היא עוסקת בקשרי הגומלין שבין מערכות שונות של התא, ב- DNA, RNA וביצירת החלבונים ולעיתים קרובות חופפת לגנטיקה ולביוכימיה. ראשיתה בשנות החמישים של המאה הקודמת, אך הפריצה הגדולה באה אחרי ניסוחה של "הדוֹגמה המרכזית של הביולוגיה המולקולרית". הדוגמה עוסקת בתהליך יצירת החלבונים (אבני הבסיס של כל תא חי): שעתוק פיסת DNA למולקולת RNA ותרגום של ה-RNA לחלבונים. מאז ביסוסה של הדוגמה הפיקה הביולוגיה המולקולרית אינספור תובנות על מנגנוני הבקרה של הגנים ועל השפעתם על החיים בכלל ועל גוף האדם בפרט.
[2] במאמרים מדעיים לא מעטים בתחום נמצא שימוש במושג "context dependant". לדוגמא, קבוצה א' מוצאת שחלבון מסוים אחראי לאי אלו תופעות במערכת שהם חוקרים, בו בזמן שקבוצה ב' מוצאת שאותו חלבון ממש גורם לדברים אחרים, לפעמים מנוגדים, במערכת שהם חוקרים. אין צורך להסביר מדוע מצב זה אינו אידיאלי בלשון המעטה.
[3] בין היתר על ידי פרופ' אורי אלון ממכון ויצמן.
עד כדי קבוע 
