ארכיון
התעמלות פיזיקלית בשש מערכות – כמה מילים על שיווי משקל
אינטרו
לפני מספר חודשים התפרסם במוסף 7 ימים של ידיעות אחרונות ריאיון עם לינוי אשרם, המתעמלת זוכת מדליית הזהב באולימפיאדה, בעקבות הודעתה על פרישה. הריאיון היה מהסוג המפרגן ואפילו היה ניתן למצוא בו מספר תשובות מעניינות של לינוי לגבי מה זה אומר להיות ספורטאית מקצועית בטופ העולמי (אמ;לק – כאבים).
אבל את עיני צדה דווקא התמונה בעמוד הפתיחה של הראיון. בתמונה נראית לינוי נשענת על הידיים בתנוחה התעמלותית עם הראש למטה והרגליים למעלה.
לדבר על תמונה מבלי לראות אותה זה מוזר, אך כדי להימנע מבעיות של זכויות יוצרים החלטתי להציג איור של התמונה במקום. אין לי כשרון או יכולת באיור ולכן אזור הפנים יצא קצת קרינג' אז כדי לא להרגיז את לינוי אם היא אי פעם תראה את הרשימה הזאת (היא לא) בואו ונסכים שהאיור הוא של מתעמלת דמיונית בשם לינור בדרם והיא דומה לזאת שהופיעה בריאיון רק במקרה.
התמונה המאוירת:
האם בזמן הצילום היא בתנועה? במנוחה? האם היא בשיווי משקל? למה בכלל אנחנו מתכוונים במונח "שיווי משקל"?
ברשימה זאת אנסה להסביר מהו שיווי משקל וגם למה זה מעניין.
שקול כוחות אפס
לפי המכניקה של ניוטון מה שמעניין אותנו זה הכוחות שפועלים על גוף. לשם פשטות נתחיל את הדיון בגוף נקודתי. אם סך הכוחות שפועלים על הגוף הוא אפס הגוף לא ישנה את תנועתו (כלומר ישמור על מהירותו). זהו החוק הראשון של ניוטון. אם סך הכוחות אינו אפס, הגוף ישנה את תנועתו (ישנה את מהירותו, ינוע בתאוצה). היחס בין שקול הכוחות (סך הכוחות) לבין התאוצה הוא מה שנקרא "מסה". זהו החוק השני של ניוטון.
הכוונה ב-"סך הכוחות", "חיבור הכוחות" או "שקול הכוחות" הוא במשהו שנקרא "חיבור וקטורי", מכיוון שלכוח בפיזיקה יש גם גודל (או עוצמה) אך גם כיוון. אם אני דוחף עגלה ימינה והתאום המרושע שלי דוחף גם ימינה, סך הכוחות על העגלה יהיה חיבור גדלי הכוחות ימינה (ראו איור 2). אם אני דוחף ימינה והתאום שמאלה, סך הכוחות יהיה חיסור של הגדלים. במקרה וכל אחד דוחף בעוצמה שונה ובכיוונים שונים יש לפתור תרגיל מורכב יותר בעל אופי אלגברי\גיאומטרי שהפרטים שלו לא חשובים לרשימה זאת.
גוף בשיווי משקל הוא גוף שסך הכוחות עליו הוא אפס. עד כדי כך פשוט. אז אם אתם יושבים עכשיו על כיסא ולא זזים, אתם בשיווי משקל. כדור הארץ מפעיל עליכם כוח כבידה מטה והכיסא מפעיל כוח מעלה. הכוחות שווים בגודלם והפוכים בכיוונם ולכן סך הכוחות אפס. ניתן להסיק זאת גם מתוך העובדה שאתם לא משנים את מהירותכם ומתוך החוק הראשון של ניוטון. גם אם אתם עומדים ללא תנועה, אתם בשיווי משקל וגם אם אתם נעים במהירות קבועה אתם בשיווי משקל. בזמן שינוי המהירות ממנוחה לתנועה לא הייתם בשיווי משקל.
אוקיי, אז מה מעניין בזה?
שקול כוחות משתנה במרחב
זה נהיה מעניין כאשר פרופיל הכוחות אינו קבוע במרחב. למה הכוונה? בואו ונבחן דוגמה פשוטה.
דמיינו גבעה בצורת חצי עיגול. נניח גוף בנקודה כלשהי על הגבעה שאותה נסמן באות A (ראו איור). נניח שאין חיכוך בין הגוף לגבעה. מה יקרה? הגוף יחל להחליק במורד הגבעה במהירות הולכת וגדלה כי פועלים עליו כוחות שסכומם אינו אפס. זאת תהיה התוצאה אם נניח את הגוף בכל נקודה על הגבעה מלבד הנקודה על קצה הגבעה שאותה נסמן באות B (ראו איור 3). בנקודה מיוחדת זאת סך הכוחות הוא במקרה אפס והגוף, לפחות תיאורטית, לא ינוע, אם כי כל דחיפה קטנה או אי שלמות בצורת הגבעה תדרדר אותו.
כעת דמיינו עמק בצורת חצי כדור. התוצאות של הניסוי הקודם יהיו זהות גם במקרה זה. כלומר בנקודות B בשני המקרים הגוף נמצא בשיווי משקל. האם שני המקרים זהים לחלוטין?
חישבו מה יקרה אם נניח גוף בנקודה B על הגבעה ונסיט מעט את מיקומו. נחזור על הפעולה במקרה של העמק. התוצאות שונות באופן מהותי. הגוף על הגבעה ייפול מטה והגוף בעמק ינוע חזרה לכיוון נקודה B, יחלוף על פניה, יעלה מעט (לאותו הגובה), יעצור, ישנה כיוון, יחזור לכיוון נקודה B וחוזר חלילה. כלומר יחל לנוע בתנועה מחזורית סביב נקודת שיווי המשקל.
לשיווי המשקל בעמק אנחנו נקרא "שיווי משקל יציב" ולשיווי משקל בגבעה אנחנו נקרא "שיווי משקל לא יציב".
תיאור אנרגטי-אלגברי
אנרגיה פוטנציאלית כובדית של גוף היא אנרגיה הקשורה לכוח הכבידה שפועל על הגוף וליכולת של הגוף לבצע עבודה. למשל, למים שנמצאים בגובה גבוה יש יותר אנרגיה פוטנציאלית כובדית מלמים שנמצאים בגובה נמוך יותר. כאשר המים זורמים מנקודה גבוהה לנמוכה הם מאבדים אנרגיה פוטנציאלית כובדית שמומרת לאנרגיית מהירות והיא יכולה להיות מומרת גם לביצוע עבודה כגון סיבוב גלגל של טחנת קמח, או טורבינה בתחנת חשמל הידרואלקטרית.
נכתוב פונקציה מתמטית שמתארת את האנרגיה הפוטנציאלית הכובדית של הגוף בכל נקודה בעמק או בגבעה ונסכים שגוף שואף להיות במינימום אנרגיה פוטנציאלית (כוח הכבידה תמיד פועל למשוך את הגוף למטה ולהקטין את הגובה). כעת נוכל להפעיל טכניקות מתמטיות מוכרות (ואהובות? שנואות?) מהתיכון של חקירת פונקציות כדי ללמוד על אופי המערכת. נקודת מינימום של הפונקציה תסמן נקודת שיווי משקל יציב, בדיוק כמו ציור של תחתית עמק. נקודת מקסימום תסמן שיווי משקל לא יציב, בדיוק כמו ציור של גבעה. אם כך, נוכל לתאר באופן אלגברי כל מערכת ולנתח אותה לעומק על ידי ביצוע פעולות מתמטיות פשוטות, והשמחה של הפיזיקאים רבה.
מתקרבים חזרה ללינור – מטוטלת
נזכר בגוף בתחתית הגבעה שהוסת מנקודת שיווי המשקל ואז החל לנוע באופן מחזורי סביבה. הכרת נקודת שיווי המשקל חשובה כי סביבה מתרחשת התנועה. שימו לב שתנועת הגוף מזכירה תנועת מטוטלת. האם יש קשר בין המקרים? כן. כפי שהסברתי ברשימה קודמת על מושג מרכז המסה, לשם תיאור תנועה של גוף מורכב ניתן לחשב את נקודת מרכז המסה שלו. אז נפתור בעיה פשוטה יותר של הכוחות שפועלים על גוף נקודתי שאותו נמקם בנקודת מרכז המסה. אם כך, נוכל להמיר מטוטלת לגוף נקודתי תלוי על חוט חסר מסה. נקודת שיווי המשקל של בעיה זאת היא בדיוק בנקודה התחתונה במרכז התנועה של מרכז המסה וסביבה יתנדנד הגוף. אם נשחרר ממנוחה את הגוף בנקודה זאת המטוטלת לא תנוע. ראו את הגיף הבא, ושימו לב היכן סך הכוחות מתאפס – כאשר הכוחות משתווים בגודלם וכיוונם.
תיאור זה יעיל מאוד עבור אינספור מערכות דינמיות בפיזיקה, מתנועה אליפטית של כוכבי לכת הלכודים בשדה כבידה של כוכב ועד מצבים שונים ומשונים של חלקיקים באטום ויש עוד.
אאוטרו
ומה עם לינור? האם יכול להיות שהיא נמצאת בתנוחה סטטית בזמן הצילום? האם היא בתנועה? בשיווי משקל יציב? לא יציב?
קשה לדעת. הצילום מעולה במובן הזה, ואני רחוק מלהיות מומחה בתחום כלשהו שיעזור לי להכריע. אז ננחש ביחד.
לדעתי מרכז המסה של לינור נמצא מעל נקודת ציר הסיבוב שלה (כפות הידיים על הקרקע) ולכן לדעתי היא לא בשיווי משקל ולא תוכל להחזיק את עצמה בתנוחה זאת לאורך זמן. עם זאת השיער שלה נראה מוטה ישירות כלפי מטה, והתמונה אינה מטושטשת כמו תמונה של גוף בתנועה. לכן אני מסיק שכנראה היא בתנועה ממש איטית, אפילו על גבול העצירה הרגעית ברגע הצילום.
שימו לב שהגוף, ודאי זה של לינור, לא צריך לפתור משוואות כדי לדעת מה לעשות. הוא מוצא את הפתרון מאימון, חזרתיות וזיכרון שרירים.
מכונה מופלאה 🙂
עד כדי קבוע 
