ארכיון

Posts Tagged ‘סוג של חידה’

כיצד אוכל לשקול לעצמי את הראש בתקציב מוגבל ומבלי למות

הפעם אני רוצה לגעת בשאלה ישנה נושנה. כזאת שאין לה ולתשובות אליה שום חשיבות אמיתית מלבד להפעיל קצת את הראש.

איך אוכל לקבוע כמה שוקל הראש שלי?

כדי לא להיגרר למחוזות האבסורד והתיאורטיקה המוגזמת, אני אגביל את עצמי לפתרונות מעשיים, כלומר כאלה שאוכל לנסות אותם כבר מחר אצלי בבית. כיוון החשיבה שלי הוא ניסיונאי. חשבתי על העניין בעצמי, נועצתי בגוגל ואספתי את הפתרונות שנראים לי רלוונטיים תחת התנאים המגבילים שהצבתי.

***

ראשית נדחה את הרעיון הראשון שעולה לכולכם לראש: שיטת דאעש. עקרונית אוכל, כמובן, לבקש ממישהו לכרות לי את הראש ולשקול אותו, אך ברור שבאופן מעשי לא אעשה זאת ובכל מקרה לא אוכל לדעת את התשובה כי אמות.

דילמה נוספת היא היכן נגמר הצוואר ורשמית מתחיל הראש. בואו ונניח שכל מי שלמד פיזיולוגיה יודע את התשובה לכך ונמשיך הלאה.

***

השיטה הפשוטה ביותר שאפילו לא מצריכה לקום מהכיסא היא למצוא גישה למאגר מידע של פתולוגים ולברר מהו המשקל הממוצע של ראש. אני חושב שההנחה שמידע כזה קיים היא סבירה. מתוך הנחה שהפיזור במשקל של ראשים של אנשים אינו כה גדול, סביר להניח, לדעתי, שהמשקל הממוצע הוא קירוב לא רע בכלל למשקל הראש שלי. אני אדם די ממוצע.

אם אתם לא מרוצים ורוצים תשובה יותר אישית אתם מוזמנים לטבול את ראשי בדלי מלא במים. מסת המים שנשפכו החוצה היא בקירוב טוב מאוד מסת הראש שלי. הסיבה לכך היא שנפח המים שנדחה אל מחוץ לדלי עקב הטבילה הוא כנפח הראש שטבל, ומסתבר שצפיפות המים היא קירוב לא רע לצפיפות הממוצעת של ראש (הראש אינו הומוגני ועשוי מחומרים שונים).

נוכל לשפר את איכות ההערכה אם תהיה בידינו שיטה לקביעת הצפיפות הממוצעת של הראש בדיוק רב יותר. נתקלתי בקריאה ברשת במספר הצעות הדורשות להקרין את הראש בכל מיני סוגי קרינה ולהסיק מהקרינה החוזרת העוברת או הנבלעת את הצפיפות הממוצעת (בהנחה שכיילנו בעבר את המדידה לחומרים הרלוונטיים). מכיוון שאין סיכוי שהייתי מסכים להפציץ את הראש שלי בקרינת גאמא או בדברים מוזרים יותר, ומכיוון שאין לי גישה למכשירים כאלה בכל מקרה, אני נאלץ לפסול את כל הכיוון הזה של מדידת הצפיפות.

***

כיוון שונה לחלוטין הוא לכאורה פשוט הרבה יותר. אם נשכב ונשעין את ראשינו על המשקל כמו על כרית ונדאג בדרך זאת או אחרת לאפס את הלחצים שמפעיל הצוואר שלנו על הראש נוכל לכאורה לקבל קריאה ישירה של משקל הראש.

לדעתי אין סיכוי להצליח באופן מעשי. אנסה להסביר מדוע.

חישבו על מד כוח כקפיץ תלוי. התכונה המיוחדת של קפיץ היא שבתחום האלסטי שלו הכוח שהוא מפעיל כדי לחזור למצב הרפוי פרופורציוני להתארכות שלו ביחס למצב הרפוי. כלומר, תליית משקולת של 1 ק"ג על קפיץ תגרום לחצי ההתארכות של תליה של משקולת של 2 ק"ג. כיול של התארכות הקפיץ במשקלים ידועים היא למעשה בנייה של מד כוח או מד משקל (לקבלת מסה נחלק בתאוצת הנפילה החופשית).

מה יקרה אם נתלה משקולת מלבנית על שני קפיצים בצורה סימטרית? כל קפיץ יתארך רק בחצי ממה שהיה מתארך לבד. כלומר כל אחד ממדי הכוח מורה רק על חצי ממשקל התיבה. כך שנראה, כביכול, שכל מד כוח מודד בנפרד צד מסוים של התיבה. אך מה יקרה אם נתלה את התיבה מהקפיצים כך ששניהם בצד ימין של התיבה, אחד ליד השני? סביר שהתיבה תיטה בזווית מסוימת וקריאת כל קפיץ תהיה שונה.

מה יקרה למשל אם את אחד מהקפיצים הסימטריים נחליף בחבל שאינו יכול להימתח? מד המשקל הקפיצי נוטה להימתח אבל החבל לא יכול להימתח בצד שלו. נוצר מצב מורכב שבו אני כבר לא בטוח מה יקרה ומה ימדד.

בעיית האיש השוכב עם הראש על משקל היא בעיה זהה שלאלו שתיארתי ולכן אינני חושב שניתן לבצע אותה באופן מעשי. תקנו אותי אם אני טועה.

***

שאר הפתרונות בהם נתקלתי ברשת הם בחלקם מעוררים מחשבה ובחלקם משעשעים אך אינם, למיטב הבנתי, מעשיים כלל.

אם כך, תחת התנאים שאני הצבתי לעצמי עבור הבעיה, נראה כי שתי השיטות המעשיות היחידות הם הערכה לפי המשקל הממוצע של ראשים כרותים של אחרים או הערכה לפי טבילת הראש בדלי. הדיוק לא גבוה, אבל, להבנתי, גם לא רע,

ולמה שמישהו ירצה לדעת כמה שוקל הראש שלו, לכל הרוחות?!

***

מוזמנים להציע פתרונות משלכם.

הנה קישור למה שקורה שנותנים לפיזיקאים להתפרע עם השאלה.

מודעות פרסומת
:קטגוריותכללי תגיות: , ,

על דרך מפתיעה לקבל מנמלים גז

הפעם אפתח בחידה. היא אינה חדשה ולא אני חיברתי אותה.

מי שמכיר אותי יודע שאני לא חובב חידות. ובכל זאת, שתי סיבות למה היא כאן: 1) היא מעניינת, לדעתי, גם למי שלא מצליח לפתור אותה, 2) אנסה להראות שניתן להוציא ממנה אפילו יותר ממה שנראה במבט ראשון.

***

החידה פורסמה מזמן על ידי גדי אלכסנדרוביץ' מהבלוג 'לא מדויק' ופורסמה שוב, למיטב זכרוני, לפני שנה-שנתיים על ידו באתר עיתון 'הארץ'.

דמיינו שולחן באורך מטר שעליו צועדות נמלים בקצב של מטר לדקה (הבעיה חד ממדית). כלומר, אם נניח נמלה בקצה השולחן, כאשר פניה מופנות פנימה, היא תיפול מהקצה השני של השולחן לאחר דקה של הליכה. כאשר שתי נמלים נפגשות (ראש בראש) שתיהן הופכות כיוון, כלומר, ממשיכות ללכת במהירות הנתונה, אך בכיוונים הפוכים.

החידה: מספר לא ידוע של נמלים, שראשן מופנה לכיוונים לא ידועים ונמצאות במקומות לא ידועים על השולחן מתחילות את צעידתן. מהו הזמן המינימלי שייקח לכל הנמלים ליפול מהשולחן?

.

.

.

לפני הפתרון בואו וננסה כמה מקרים פשוטים.

עבור נמלה אחת שמתחילה בקצה אנחנו כבר יודעים שהיא תיפול אחרי דקה. זה המקרה הארןך ביותר עבור נמלה בודדת.

נציב שתי נמלים בשני הקצוות עם הפנים פנימה. פגישה במרכז אחרי חצי דקה, סיבוב וצעידה חצי דקה לקצוות עד לנפילה. שוב דקה. אם נמלה אחת בקצה ואחת במרכז מכוונת אליה, גם דקה. בדקו אותי. לא תמצאו מקרה יותר ארוך מדקה. בדקו אותי.

נציב שתי נמלים בקצוות עם הפנים פנימה ואחת במרכז. סה"כ שלוש נמלים. אחרי רבע דקה יש מפגש והיפוך, אחרי חצי דקה נמלה אחת נופלת והשתיים האחרות נפגשות ומתהפכות במרכז, ואחרי דקה כולן נפלו.

מסתמן שהתשובה היא כנראה דקה, ללא תלות במספר הנמלים. אך כיצד להסביר זאת?

נחליף את הנמלים בכדורים זהים אחד לשני. כאשר שני כדורים נפגשים הם מחליפים כיוון ואחד נע ימינה והשני שמאלה. כאשר שני כדורים חולפים אחד דרך השני הם אינם מחליפים כיוון ואחד נע ימינה והשני שמאלה. כלומר, אין הבדל מהותי בין שני המקרים ולכן התוצאות שלהם צריכות להיות זהות. בשני המקרים, לאחר המפגש נצלם שני כדורים זהים שנעים, אחד ימינה ואחד שמאלה.

קל יותר לחשוב על המקרה שבו הכדורים חולפים אחד דרך השני. במקרה זה ברור שזמן התנועה הארוך ביותר הוא של נמלה שמתחילה מהקצה פנימה ונופלת אחרי דקה. כל נמלה אחרת תיפול לפני כן. אמנם 'במציאות' הנמלה שתיפול אחרונה לא תהיה זאת שהיתה בקצה (שככל הנראה תיפול ראשונה), אבל לשם פתרון הבעיה אין לכך משמעות.

יש עוד משהו יפה לטעמי שאפשר להוציא מהחידה זאת והוא דורש מעט מאמץ ומעט מתמטיקה אבל בתמורה הוא יגלה לנו משהו על העולם האמיתי.

***

התראה: עבור מי שאינו מורגל בפיזיקה החלק הבא אולי יהיה מעט מורכב, אך המתמטיקה הנדרשת היא ברמה תיכונית, ולדעתי שווה את המאמץ.

***

דמיינו שוב את אותו השולחן ואותן הנמלים רק שהפעם קצוות השולחן חסומים. כלומר, כאשר נמלה מגיעה לקצה, היא נוגחת בו, מחליפה כיוון וצועדת לכיוון השני במהירות האמורה.

כמה נגיחות יוטחו בקירות בממוצע על פני דקה (כלשהי)?

אם הבנתם את פתרון החידה הקודמת ודאי תסכימו שהפתרון הוא כמספר הנמלים על השולחן. חישבו שוב על הנמלים ככדורים שעוברים אחד דרך השני. ברור שאם כל הנמלים היו נופלות מהשולחן לאחר דקה, במקרה שלנו בממוצע לאורך דקה כלשהי כל אחת תנגח פעם אחת בקיר.

לפי חוק שלישי של ניוטון, נמלה שנוגחת בקיר, דינה להינגח על ידי הקיר בכוח ששווה בגודלו והפוך בכיוונו לכוח נגיחתה. זה גם ברור שכדי שהנמלה תהפוך את כיוון תנועתה הקיר חייב לנגוח בה בעוצמה, כלומר להפעיל עליה כוח.

השינוי בתנועת הנמלה מגולם בפיזיקה בתוך הגודל שנקרא 'תנע' שהוא המהירות כפול המסה. הכוח שפועל לאורך זמן מגולם בגודל שנקרא 'מתקף' שהוא הכוח כפול הזמן (עבור כוח קבוע או כוח ממוצע). מכאן שהשינוי בתנע של הנמלה בעקבות נגיחה בקיר חייב להיות שווה למתקף שהקיר הפעיל עליה. זהו משפט 'מתקף-תנע' והוא נובע ישירות מחוקי ניוטון.

F>·t=Δ(m·v)=m·Δv>

(m מסה, v מהירות, t זמן, F כוח, Δ הפרש כלומר סוף פחות התחלה, <> ממוצע)

אם כן, מהו המתקף הממוצע שפועל על הקיר ביחידת זמן (למשל דקה)? לפי המשפט, זה שווה לשינוי התנע הממוצע של כל הנמלים. שינוי התנע של נמלה בודדת שווה לפעמיים התנע שהיה לה כי היא החליפה כיוון ותנע הוא וקטור (גודל וכיוון), ואת זה נכפיל במספר הנמלים.

F>·t= m·Δv=m·2·v·N>

(N מספר הנמלים)

יחידת הזמן אינה מוגבלת להיות דקה. אוכל לבחור אותה כרצוני. כידוע, זמן שווה דרך חלקי מהירות ולכן נוכל לרשום:

t=L/v

(L אורך השולחן)

F>·t=<F>·L/v =2·m·v·N>

F> =2·m·v2·N/L>

ידוע שהאנרגיה הקינטית, האנרגיה הקשורה בתנועה של חלקיקים, מוגדרת כ:

Ek=0.5·m·v2

ולכן

F> =4· Ek ·N/L>

אם ניקח בחשבון שלמחסומים בקצה השולחן יש שטח פנים שעליו נוגחות הנמלים ונחלק את שני אגפי המשוואה בשטח זה נקבל את הלחץ על דפנות השולחן, שהרי לחץ הוא כוח ליחידת שטח.

F>/S=P =4· Ek ·N/L·S>

(P לחץ, S שטח הדופן)

מכיוון שהשטח כפול האורך שווה לנפח נוכל לרשום:

P·V =4· Ek ·N

(V נפח)

כעת לפינאלה. מי שמכיר כבר היה צריך לחשוד מזמן.

משיקולים תרמודינמיים של מערכות רבות גופים ידוע שהאנרגיה הקינטית הממוצעת של החלקיקים שווה, עד כדי קבוע, לטמפרטורה של המערכת ולכן נוכל לרשום:

P·V =C·N·T

(T טמפרטורה, C קבוע כלשהו)

מה שקיבלנו היא משוואת המצב של גז אידיאלי קלאסי. מודל זה הוא קירוב טוב מאוד לגזים דלילים (שאינם דחוסים, בלחץ נמוך). המשוואה מתארת את הקשרים שחייבים להישמר בין שלושת הגדלים הרלוונטיים למערכת שיכולים להשתנות: הלחץ, הנפח והטמפרטורה.

[הערת שוליים: פתרון הבעיה עבור מרחב תלת ממדי לא ישנה באופן מהותי את התוצאה]

למעוניינים, הנה קישור לדף שבו יש פיתוח יותר סטנדרטי של נוסחת הגז האידיאלי

***

לא רע בשביל כמה נמלים מטופשות שהולכות בסך על שולחן חד ממדי בחידה חסרת פשר. לפחות לדעתי.

:קטגוריותכללי תגיות: ,

איך ליפול נכון – על ניסוי המישור המשופע של גלילאו

גלילאו גליליי (1564-1642) היה מתמטיקאי ואיש מדע איטלקי שבעבודתו סימן את תחילתה של המהפכה המדעית באירופה. מה שעניין את גלילאו היה תנועה. תיאורית התנועה של גופים בתקופתו לא עודכנה עוד מימיו של אריסטו, כמעט 2000 שנים קודם לכן. יש לזכור שמתקופתו של אריסטו ועד לתקופתו של גלילאו, במאה ה-17, הדרך המקובלת לגלות את חוקי הפיזיקה היה דרך מחשבה פילוסופית והיגיון. ניסוי היה נחשב לדרך לא אמינה ולא מקובלת לעשות זאת. גלילאו חידש בכך ששילב בין תובנות תיאורטיות, מתמטיות ופילוסופיות לבין ניסויים ובדיקה.

Justus_Sustermans_-_Portrait_of_Galileo_Galilei,_1636
תמונה 1: צילום של פורטרט של גלילאו גליליי שצויר על ידי הצייר הפלמי Justus Sustermans. הפורטרט נמצא במוזיאון 'National Maritime Museum', בלונדון. המקור לתמונה: ויקיפדיה.

בחקירותיו גילה גלילאו שכל גוף, ללא הבדלי דת גזע או מין, נופל אל הקרקע בתאוצה קבועה, כלומר מהירותו משתנה בקצב קבוע. מכאן נובע שהפלת גוף מגובה כפול לא תגרום לזמן הנפילה להיות ארוך פי שתיים. ואם זה לא מספיק, אז מכך נובע גם שבואקום, ללא חיכוך או התנגדות של אוויר, גם נוצה וגם פטיש יפלו אל הקרקע יחדיו.

כיצד הוא הגיע למסקנות האלה?

האגדה מספרת שהוא זרק כדורים מראשו של המגדל הנוטה בפיזה. האגדה אמנם אינה נכונה, אך גלילאו אכן עשה ניסויים של זריקת כדורים. הוא פשוט בחר לעשות זאת בדרך חכמה יותר.

***

הבעיה עם זריקת כדורים היא שהם נופלים מהר מידי וקשה למדוד את מיקומם בזמנים שונים. יש לזכור שבזמנו של גלילאו לא היו צילומי וידאו בהילוך איטי ושעוני עצר מתוחכמים. גליליאו השתמש למדידת זמן בשעון מים, כלומר נתן למים לזרום דרך חריר במהלך התנועה ואז שקל את המים שהצטברו.

בניסויו המפורסם גלגל גלילאו כדור על גבי מסילה משופעת ומדד את המרחק שעבר הכדור בפרקי זמן קבועים (ראו איור 2). המישור המשופע עזר לגלילאו להפחית את הכוח שמושך את הכדור מטה ובכך להאט את תנועתו. ניתן לחשוב על כך כאילו חלק מכוח הכובד מושך את הכדור במורד המדרון וחלק ממנו לוחץ אותו אל המשטח ולכן אינו משפיע על התנועה (בהנחה שאין חיכוך). מסיבה זאת, כדור מתגלגל על מדרון יתנהג כמו כדור נופל, רק שהכוח עליו קטן יותר ותאוצתו, אם קיימת, קטנה יותר.

מישור משופע
איור 2: כדור מתגלגל במורד מישור משופע.

אחד החסרונות בשימוש במישור המשופע היה החיכוך של הכדור עם המשטח, שגורם לאיבוד חלק מהמהירות של הכדור. מצד שני, גלילאו חיפש רק את הקשר שבין הזמן למרחק התנועה. החיכוך יפחית את הכוח שמאיץ את הכדור, אבל יעשה זאת בצורה שווה בכל רגע ולכן התאוצה תקטן אך תישאר קבועה. כלומר, החיכוך לא ישנה את הקשר הפונקציונלי בין המרחק והזמן (כפי שיוסבר בהמשך). גלילאו ניסה להקטין את החיכוך בין הכדור למשטח ולכן אינני בטוח אם הוא הבין עד הסוף את השיקולים הללו. בכל מקרה, אין ויכוח על כך שהיתה לו אינטואיציה טובה מעבר לגדר הרגיל.

***

גלילאו מדד את המרחק שעבר הכדור המתגלגל בכל יחידת זמן שנקבעה מראש באמצעות שעון המים. הוא חזר על הניסוי מספר רב של פעמים כדי לוודא שתוצאותיו אמינות ולהגביר את דיוק המדידה. כאשר הוא התבונן בתוצאותיו הוא הבחין בקשר בין המרחק והזמן. ניתן היה לחזות את המרחק שיעבור הכדור בזמן מסוים על ידי העלאת הזמן בריבוע והכפלת התוצאה בקבוע כלשהו (תמיד אותו הקבוע). כלומר, גלילאו מצא שהמרחק שעבר הכדור היה פונקציה של הזמן בריבוע.

אבל מה זה בכלל קשור לתאוצה קבועה?

ראשית, נבין מהי המשמעות של תאוצה קבועה. בכל שניה המהירות גדלה בכמות קבועה. לדוגמה, אם מפילים כדור הוא מתחיל ממהירות אפס, אחרי שניה מהירותו תהיה למשל 10 מטר לשניה, אחרי שתי שניות 20 מטר לשניה, אחרי שלוש שניות 30 מטר לשניה וכך הלאה. כלומר, בכל שניה המהירות גדלה בקצב קבוע של 10 מטר לשניה (ראו איור 3).

המפטי דמפטי נופל חופשית מהקיר2
איור 3: המפטי-דמפטי נופל מהקיר ומהירותו גדלה בקצב של 10 מטר-לשניה בשניה, כלומר בתאוצה 10 מטר-לשניה-בריבוע.

כמה מרחק עובר הכדור באותו הזמן?

קשה לדעת מראש מכיוון שהמהירות משתנה בכל רגע ולכן פתרון 'דרך-זמן-מהירות' סטנדרטי שלמדנו בבית-הספר לא יעבוד. מצד שני, מכיוון שהמהירות משתנה בקצב קבוע, נוכל לחשב את המרחק באמצעות המהירות הממוצעת.

במה תלויה המהירות הממוצעת בקטע תנועה מסוים? בכמה זמן נסענו ובכמה לחצנו על הגז, כלומר בתאוצה. במה תלוי המרחק שעברנו? כידוע, 'דרך = זמן x מהירות (ממוצעת)', כלומר נכפיל את זמן התנועה במהירות הממוצעת. אבל המהירות הממוצעת, כאמור, תלויה גם היא בזמן הנסיעה. כלומר: 'דרך = זמן x זמן x תאוצה' [הערת שוליים: שווה בערך, חסר פה קבוע כלשהו]. מכאן שהמרחק שעובר גוף בתאוצה קבועה תלוי בזמן התנועה בריבוע. ומכיוון שזה בדיוק מה שמצא גלילאו במדידות שלו, הרי שהוא הראה שגופים נופלים בתאוצה קבועה.

***

במקום מילות סיכום, בואו ונצפה בשלושה סרטונים קצרים ומומלצים של דברים נופלים. אחד על הירח, אחד בואקום ואחד פשוט מצחיק.

הפלת פטיש ונוצה על הירח:

הפלת כדור ונוצות בואקום:

השתכנעתם? אל תהיו כל כך פזיזים, חשבו שוב:

***

אפילוג: חידה לחובבי הז'אנר

אתם עדיין כאן? אז קבלו חידה:

אחד הכדורים של גלילאו נע במורד המישור המשופע ועובר במהלך השניה הראשונה של תנועתו מרחק של סנטימטר אחד. מהו המרחק שיעבור במהלך השניה הבאה של תנועתו? מה המרחק שיעבור בשניה השלישית? הכוונה היא לא למרחק המצטבר מתחילת התנועה אלא רק המרחק שהגוף עובר במהלך אותה שניה (ראו קטעים אדום-ירוק-סגול באיור 2).

האם קיבלתם סדרת מספרים עם חוקיות ברורה? באילו מקרים החוקיות הזאת מתקיימת?

.

.

.

רמז 1 (דק): יש מספר דרכים לפתרון. אחת מהן מוזכרת פה, לקראת סוף הרשימה.

רמז 2 (עבה): צפו בסרטון הזה. כעת אתם יודעים את התשובה. מצאו הוכחה לנכונות הפתרון.

עצות מועילות לירידה במשקל! על מיקרו-גרביטציה

הרבה מאיתנו היו רוצים לפחות פעם אחת בחייהם להתגבר על כוח הכובד ולרחף כמו האסטרונאוטים בחלל. כבר עברתי מזמן את גיל 21 ולא הגעתי לירח. האם בכל זאת יש לי סיכוי?

למזלנו ישנה קבוצה של אנשים חשובים שגם הם מאוד מעוניינים להתגבר על כוח הכובד ולרחף כמו האסטרונאוטים בחלל ואלה הם האסטרונאוטים והחוקרים בסוכנויות החלל. כדי להגיע לרמה מבצעית גבוהה על האסטרונאוטים להתאמן בתנאים המדמים שהייה בחלל, ובפרט ריחוף בתנאי כבידה נמוכה. כמו כן, כדאי לבדוק בתנאים אלה את המכשירים והחומרים לפני ששולחים אותם לחלל.

אז איך עובדים מתקנים שמדמים כבידה נמוכה?

כדי להבין את עקרון הפעולה של מתקני מיקרו-גרביטציה, ראשית יש צורך להבין מהי כבידה, מהו משקל ולמה אסטרונאוטים מרחפים בחלל. התשובה לשאלה האחרונה עלולה להפתיע אתכם.

Foale_ZeroG
תמונה 1: אסטרונאוטים מרחפים בתחנת החלל. המקור לתמונה: נאס"א, דרך ויקיפדיה.

***

לפי המכניקה הניוטונית, כל שני גופים מפעילים כוח משיכה אחד על השני. עוצמתו של הכוח תלויה בערכי המסה של הגופים (מכפלה של שניהם), במרחק ביניהם (יחס ריבועי הפוך), ובקבוע פרופורציה כלשהו. כלומר הכוח שמושך אותי אל כדור-הארץ שווה בגודלו לכוח שמושך את כדור-הארץ אלי. ההבדל בינינו הוא בתאוצה.

גוף שעליו פועל כוח, מאיץ בקצב ששווה לערכו של הכוח חלקי המסה. כאשר אני נופל אל הקרקע, מהירות נפילתי גדלה בערך ב-10 מטרים-לשניה, כל שניה (ראו איור 2). תאוצה זאת מכונה 'תאוצת הכובד' ומסומנת באות g. בזמן נפילתי, כדור-הארץ אמנם חש באותו כוח אך נע בתאוצה זניחה מכיוון שהמסה שלו כל כך גדולה.

המפטי דמפטי נופל חופשית מהקיר2

איור 2: המפטי-דמפטי נופל מהקיר בתאוצה קבועה, היא תאוצת-הכובד (גרביטציה).

כאשר אני עומד על 'משקל', כלומר המכשיר שמודד משקל, כוח המשיכה עדיין עובד עליי אבל אני לא מצליח להאיץ כי המשקל קשיח ולא נותן לי לזוז. הכוח שמפעיל עלי המשקל ומונע את תנועתי הוא בעצם מידת המשקל שנמדדת, ששווה למסה שלי כפול תאוצת הכובד g. מכיוון שהתאוצה קבועה, מדידת המשקל שקולה למדידת המסה, וזה מה שבאמת מעניין אותנו. המסה פרופורציונית לכמות החומר, ואנחנו מעוניינים להכיל כמה שפחות חומר.

אז מה היה לנו? מדידת המשקל תלויה במסת הגוף, בתאוצת הכובד (כוח הגרביטציה) וביכולת של המכשיר המודד 'לתת קונטרה', כלומר להפעיל כוח נגדי ולעצור את התנועה של הגוף הנמדד. המסקנה הראשונה היא שעל הירח, למשל, המשקל נמוך יותר. מסתו של הירח קטנה יותר ולכן תאוצת הכובד קטנה יותר, כך שחוגת המשקל תראה קריאה נמוכה יותר לאותה כמות של מסה.

מדוע אסטרונאוטים מרחפים בחלל? נזכר שכאשר אנחנו רואים אסטרונאוטים מרחפים זה בתחנת החלל. השגיאה הנפוצה היא שהריחוף נובע מהעדר כוח משיכה. חישבו על זה כך, אם לא היה פועל כוח משיכה, מדוע ממשיכה תחנת החלל לנוע מסביב לכדור-הארץ ולא מתרחקת ממנו? התחנה נעה בממוצע במהירות עצומה של 27,600 קמ"ש. למעשה מה שקורה הוא שתחנת החלל והאסטרונאוטים בתוכה נופלים ללא הפסקה אל כדור-הארץ, אבל בגלל המהירות שבה נעה התחנה הם כל הזמן מחמיצים אותו. בכל רגע התחנה נופלת ומאבדת גובה עקב כוח המשיכה, אך בו זמנית נעה במהירות בכיוון משיק לפני הכדור וכך מתרחקת ממנו. וכך התחנה והאסטרונאוטים נופלים ונופלים בתנועה מעגלית.

Clayton_Anderson_zero_g
תמונה 3: אסטרונאוט מביט בבועת מים מרחפת על מעבורת החלל 'דיסקברי'. המקור לתמונה: נאס"א, דרך ויקיפדיה.

מכיוון שגם התחנה גם האסטרונאוטים וגם מכשיר המשקל נופלים באותה תאוצה, אין המשקל יכול להפעיל 'קונטרה' (כוח נגדי) ולעצור את תנועת הגוף שעליו, כך שהמשקל שהוא מודד הוא אפס. המצב שבו כל הסביבה נמצאת בנפילה חופשית נקראת מיקרו-גרביטציה או העדר-משקל. חשוב לשים לב שבמצב של מיקרו-גרביטציה עדיין פועלים כוחות כבידה על הגופים הנופלים. ואגב, כדי לבדוק אם התיאוריה הזאת נכונה ניתן להיכנס למעלית, לעמוד על משקל ולבקש ממישהו שיחתוך את הכבל שמחזיק אותה. מובטח לכם משקל נמוך במיוחד עד הסוף המר.

זה פחות או יותר עקרון הפעולה של אחד מהמתקנים של מיקרו-גרביטציה. פיר ארוך בואקום שבו יש תא שנופל בנפילה חופשית ונעצר בסוף הנפילה באופן מבוקר. לנאס"א יש מספר מתקנים מהסוג הזה, ובארוך שבהם התא נופל כ-5 שניות למרחק של כ-130 מטרים (ראו תמונה 4). הבעיה היא שאדם לא יכול לשרוד בתנאי ההאטה הקיצוניים בסוף הנפילה. ניסויים אלה משמשים לבחינה של ההתנהגות של מערכות, חומרים ושאר דוממים בתנאים כאלה.

Zero_Gravity_Facility
תמונה 4: מתקן מיקרו-גרביטציה באחד ממרכזי המחקר של נאס"א (Glenn). אורך הנפילה במתקן זה הוא כ-130 מטר וזמן הנפילה הוא כ-5 שניות. המקור לתמונה: נאס"א, דרך ויקיפדיה.

שיטה ידידותית יותר למשתמש (אם הקאה לא מטרידה אתכם) עושה שימוש במטוס שמבצע מסלול טיסה מיוחד. בתחילת התמרון המטוס מתרומם בזווית 45 מעלות. בשלב מסוים המטוס מתיישר ומפסיק להפעיל דחף. במצב זה המטוס נמצא בנפילה חופשית ומי שנמצא עליו יחווה מיקרו-גרביטציה. כאשר המטוס יגיע לנפילה בזווית של 30 מעלות הוא צריך להתרומם שוב כדי לחזור על התמרון (ראו איור 5). בכ-25 מכל 65 שניות יחוש האסטרונאוט המתאמן על המטוס במיקרו-גרביטציה, והתמרון מתבצע מספר רב של פעמים. שם החיבה של המתקן הוא 'Vomit comet' מכיוון שכשני שליש 'מהנוסעים' יחושו בחילה.

מיקרוגרביטציה במטוס
איור 5: למעלה – מסלול הטיסה של מטוס מיקרו-גרביטציה. כל תמרון (עליה וירידה) לוקח 65 שניות שמתוכן בכ-25 שניות חווים הטסים מיקרו-גרביטציה. למטה – אחד סטיבן הוקינג חווה מיקרו-גרביטציה בטיסה מהסוג הזה. המקור לתמונה: נאס"א, דרך ויקיפדיה.

***

לסיכום, עצות לירידה במשקל:

1) להישקל על הירח, 2) להישקל במעלית נופלת, 3) להישקל תוך קפיצה מצוק, 4) להישקל תוך כדי תמרוני תעופה אקסטרימיים, 5) לאבד מסה, 6) לא להישקל.

—————————————————————————-

ולסיום: חידה שדורשת מעט חשבון לחובבי הז'אנר

חישבו על בעיה במימד אחד בה אני נמצא בין שני גופים נייחים, שנכנה אותם 'כדור-ארץ' ו-'ירח', ואני יכול לנוע רק על קו ישר הנמתח בין שני מרכזי הגופים (ראו איור). במה תלויה הנקודה בה לא ארגיש כוח משיכה כלל (דורש חשבון)? שימו לב שהתלות של הכוח במרחק היא ריבועית ולכן נקבל משוואה ריבועית ושני פתרונות. האם קיימת יותר מנקודה אחת? אם כן, למה, ואם לא, מה מייצגת הנקודה השניה ומה השתבש בפתרון?

אפס כוח כובד
איור 6: המפטי-דמפטי נמצא בין כדה"א לירח ונמשך לשניהם עקב כוח הכבידה. מהי הנקודה בה לא ירגיש כוח כלל?