בזכות ובגנות האבסטרקציה (הפשטה) וקצת על הספר "חשבון להורים"

אתחיל הפעם בשאלה: האם 2×3 ו-3×2 הם אותו הדבר?

כל ילד בבית הספר היסודי יודע שכן, שהרי תוצאת הכפל של שני התרגילים היא 6.

האם אפשר להוכיח זאת?

הנה דרך אחת:

הוכחת ויזואלית לחוק החילוף בכפל בדוגמה פרטית

אבל התשובה הזאת היא מעט מטעה.

ננסה להמחיש את שני התרגילים בסיפור קצר.

1. בדירה של משפחת כהן יש שלושה חדרי ילדים. בכל חדר ישנים שני ילדים. כמה ילדים יש במשפחת כהן?

2. בדירה של משפחת לוי יש שני חדרי ילדים. בכל חדר ישנים שלושה ילדים. כמה ילדים יש במשפחת לוי?

התשובה לשתי השאלות היא 6 ילדים אבל שימו לב שמשפחת כהן ככל הנראה במצב כלכלי טוב יותר ממשפחת לוי מכיוון שיש לה יותר חדרי ילדים בדירה ולכל ילד יש יותר מרחב פרטי משלו. כלומר התרגילים בחשבון זהים אבל הסיפורים לא.

כל מי שלמד מתמטיקה כבר חי את ההפשטה שמייצגת את שני הסיפורים. מה שאנחנו עושים במתמטיקה, פיזיקה והנדסה הוא לתרגם סיטואציות אמיתיות לתרגילים מופשטים של מספרים ואלגברה. שישה תפוחים ושש סוכריות הם ודאי אינם אותו הדבר אך שניהם מיוצגים על ידי המספר המונה 6 כי כרגע, למשל, אנחנו עוסקים רק במניית כמות האברים. חוקי החילוף, הקיבוץ והפילוג נראים לנו כמו משהו ברור מאליו. כזה שאינו זקוק להסבר, הוכחה או המחשה. זאת אחת הסיבות שללמד ילדים צעירים חשבון הוא אתגר לא פשוט. קודם כל אנחנו צריכים להבין היטב את הבסיס הרעיוני בעצמנו, אחר כך להבין מה לא יהיה מובן לילדים ורק אז לנסות לתווך את זה עבורם בצורה מדורגת. אם הייתי מנסה לעשות זאת ללא הכנה מוקדמת הייתי נכשל (כנראה גם עם הכנה). הוראה היא מקצוע וצריך להשקיע בו כדי לעשות אותו טוב.

ההפשטה המתמטית היא כלי חזק מאוד למדעים מדויקים. אבל לפעמים אנחנו עלולים להיאבד בשבילי האלגברה המופשטים.

במהלך לימודי באוניברסיטה לקחתי שני קורסים שכותרתם היתה "מבוא ללייזרים". בקורס אחד למדתי כמות עצומה של נוסחאות מתמטיות ואיך משתמשים בהן כדי לפתור תרגילים שונים ומשונים. הצלחתי לא רע. מה שלא הבנתי זה איך כל הנוסחאות האלה קשורות לציין הלייזר שבו השתמש המרצה. בקורס השני (פקולטה אחרת, שנה אחרת) למדנו מהו לייזר, מה ההיסטוריה שלו, מהו הרעיון הכללי שעומד מאחוריו, מהם הסוגים השונים ומהם השימושים האפשריים. הרוב במילים, כמעט ללא מתמטיקה. היתרון: סוף סוף הבנתי על מה בעצם מדובר ואיך כל זה קשור לציין הלייזר שבו השתמש המרצה. החיסרון: סטודנט שלקח רק את הקורס הזה יתקשה לשכנע בראיון עבודה שיש לו את הכלים והידע המקצועי הדרוש בתחום.

מנקודת הראות שלי היום – המרצה הראשון חי את ההפשטה באופן מלא ואיבד את הקשר למציאות והמרצה השני היה כל כך שקוע בסיפור שלא שם לב לקו הדק שבין מדע למדע פופולרי.

***

חשבתי על כל הדברים האלה בזמן שקראתי את הספר "חשבון להורים" של רון אהרוני. לפי הכריכה המחבר הוא פרופסור למתמטיקה בטכניון שהתנסה בלימוד חשבון בבתי ספר יסודיים.

עטיפת עותק הספר שלי

באחד הפרקים מדריך המחבר את קוראיו כיצד למסור את ההפשטה לילדים בבית הספר היסודי. הנה מספר עקרונות שדליתי מתוך הפרק:

– להתחיל מדברים מוחשיים ומוכרים, מסיפורים.

– להשתמש בדוגמאות מגוונות ולא להתקבע על משהו אחד.

– לגרום לרעיונות לבוא גם מהתלמיד.

– לשאול גם שאלות קלות ולא לפחד להגיד גם את המובן מאליו.

– לשים לב שבאופן טבעי קל לנו יותר לדבר (להרצות) מאשר להקשיב לכן חשוב לשלב דיונים ככל האפשר.

– חשוב לתת שמות ברורים ומובחנים לכל דבר. תלמידים מתחברים לזה.

– יש לתת הוראות ברורות למשימות.

כאשר קראתי את הספר לא יכולתי שלא לשים לב שכל העקרונות האלה רלוונטיים גם בהוראה בתיכון של עקרונות מורכבים יותר וסביר להניח שגם באוניברסיטה.

נהניתי לקרוא גם את המשך הספר שמסביר בקצרה עקרונות בסיסיים בלימוד פעולות החשבון בבית הספר היסודי. היה מעניין להתעמק במשמעות האמיתית של כל דבר ולא לדלג הלאה כמו שאנחנו עושים בד"כ כי אנחנו כבר יודעים לחשב את התוצאה.

דבר דומה קרה לי כשלמדתי ללמד פיזיקה תיכונית. מצאתי את עצמי מתעמק בעקרונות פשוטים ביחס לאלה של האוניברסיטה והמחקר, אבל הפעם להבין אותם לעומק. הדבר הוביל אותי להבנה טובה הרבה יותר של הרעיונות שהשתמשתי בהם במשך שנים וגם לתובנות חדשות ומפתיעות על דברים שלכאורה ידעתי או הייתי אמור לדעת.

במהלך הקריאה גם עשיתי לעצמי מנהג לחשב בראש את התרגילים שהמחבר דן בהם ואז לקרוא כיצד הוא מנחה ללמד אותם וכיצד הוא חוזה שרוב האנשים באמת יחשבו אותם. הייתי יותר צפוי ממה שרציתי להאמין.

לסיכום, קריאה מהנה ומעניינת, לדעתי, לכל מי שמתעניין בחינוך מדעי (לכל הגילאים). אני מודע לכך שיש יותר עומק מאחורי הסיבה שבגינה נכתב הספר במקור, אבל זה פחות מעניין אותי באופן אישי.

2 מתוך 9 – חיתוך הזהב – יומן קריאה

שני אחים זוכים בירושה מדוד רחוק באמריקה. מכיוון שאחד האחים לוקח על עצמו את הטיפול במנהלות המסובכות כדי לקבל את הירושה, שניהם מסכימים שהוא יקבל חלק גדול יותר ממנה. נותר רק להסכים על יחסי החלוקה. האחים מתלבטים בין שליש\שני-שליש לבין רבע\שלושה-רבעים, ומחליטים לפנות לבוררות אצל קרוב משפחה.

מסתבר שקרוב המשפחה ממורמר מכיוון שלא זכה בעצמו לחלק מהירושה ומציע חלוקה אחרת. הוא מציע שיחלקו את הכסף ביניהם כך שכל הסכום חלקי החלק הגדול יהיה שווה לחלק הגדול חלקי החלק הקטן.

מי האח שיצא מרוצה מחלוקה כזאת (ביחס ליחסי החלוקה ששקלו קודם)? האם החלוקה ניתנת לביצוע?

פתרון מתמטי למי שמעוניין:

כפי שניתן לראות, בחלוקה זאת האח המתאמץ מקבל בערך פי 1.5 במקום פי 2 או פי 3. גרוע מכך, יחס החלוקה הוא מספר לא רציונלי.

***

סדרת פיבונצ'י היא סדרת מספרים שמתחילה ב-0 ואז אחריו ב-1. כל מספר נוסף הוא החיבור בין שני המספרים הקודמים לו. אם כך האיברים הראשונים בסדרה הם:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377…

מהו היחס a_n+1/a_n, כלומר האיבר ה-n+1 בסדרה חלקי האיבר ה-n, שקדם לו?

בגרף הבא אני מציג את היחסים (ללא שימוש בשני האיברים הראשונים):

ניתן לראות בקלות שהיחסים משתנים ככל שהסדרה מתקדמת. הם הולכים ומתכנסים לערך כלשהו (יש תנודה של הערכים מעל ומתחת לערך שאליו הם מתכנסים). יחס זה נקרא "יחס הזהב" והוא בדיוק אותו היחס שקיבלנו בסיפור הירושה. מוזר לא? מה הקשר בין שתי הבעיות?

מבלי לתת את הפתרון המלא, ניתן לקרוא ברשימה קודמת שלי כיצד מפתחים נוסחה לאיבר ה-n בסדרת פיבונצ'י, ושם תוכלו לראות שבמהלך הפתרון אנחנו מגיעים בדיוק לאותה משוואה ריבועית כמו בסיפור הירושה.

האם יש משמעות נסתרת לאותו היחס שחוזר במקומות שונים ומפתיעים?

במהלך ההיסטוריה האנושית היו לא מעט אנשים אובססיביים ליחס הזהב, ביחוד בתחום הגיאומטריה, האמנות והארכיטקטורה. נכתבו עליו ספרים רבים מספור. "חיתוך הזהב" מאת מריו ליביו, שיצא בשנת 2002, ותורגם לעברית ב-2003, הוא אחד מהם.

***

מריו ליביו הוא פרופסור לאסטרופיזיקה, ומוכר לקורא המדע הפופולרי הישראלי מהספרים רבים שכתב. הוא גם ישראלי (לשעבר?) עם סיפור חיים מעניין, ששווה עיון בפני עצמו, ומגיע לישראל בתדירות גבוהה כדי להרצות.

לאורך הספר סוקר ליביו את ההיסטוריה של יחס הזהב. מברר מתי, ככל הנראה, הוא הופיע לראשונה על הכתב. הוא משקיע מאמץ רב להפריד בין המוץ לבר, כלומר בין יצירות היסטוריות שבהן היה שימוש ביחס הזה לבין כאלה (הרוב) שלא, גם אם רומנטיקנים ומיסטיקנים רבים רוצים להאמין שכן.

אני נהניתי בעיקר מפרקים 4 ו-5 בהם מופיע רוב החומר המתמטי והמדעי על יחס הזהב. כיצד לקבל אותו מחלוקה ומשוואה ריבועית, כיצד הוא קשור לפאונים, כיצד לרשום את היחס בדרכים שונות ומפתיעות, כיצד היחס קשור לסדרת פיבונצ'י וכיצד הוא קשור לספירלות, שאותן ניתן למצוא גם בטבע.

דבר נוסף שגיליתי במהלך קריאת הספר הוא שההיסטוריה של יחס הזהב משעממת אותי והיא טרחנית להחריד. ליביו משקיע זמן ומאמץ רב לסקור ולהפריך פייק-היסטוריה, כלומר, תקופות ויצירות שבהן אנשים מאמינים שהיה שימוש ביחס הזהב אך ככל הנראה זה לא נכון. לא הצלחתי למצוא בזה עניין, וגם לא בשאר הסקירה ההיסטורית. הדבר אולי מעיד יותר עלי מאשר על הספר, ועל מה אני מחפש בספר מדע פופולרי, ובעיקר מה אני לא מחפש בו.

הפרק האחרון בספר: "האם אלוהים הוא מתמטיקאי" מעניין אך תלוש למדי מבחינת הנושא העיקרי של הספר, ומהווה בעיקר קדימון לספר הבא שכתב ליביו באותו השם. דבר זה נכון, לדעתי, גם אם במהלך כתיבת הספר ליביו עוד לא החל לכתוב את הספר הבא.

דבר קטן נוסף שהטריד אותי במהלך הקריאה הוא האזכורים הרבים מספור של ליביו לספרים אחרים בנושא. אם הוא קרא את כל הספרים (הרבים רבים רבים), שהוא מזכיר במפורש בטקסט, במהלך התחקיר לכתיבת הספר אז אין אלא להוריד בפניו מספר רב של כובעים. דבר זה אינו משנה את העובדה שהאזכורים הרבים כל כך הופכים את הכתיבה והקריאה לטרחנית אף יותר. באופן אישי הייתי מסתפק בהחלט ברשימה מפורטת של מראי-מקום בסוף הספר (רשימה שאכן קיימת).

יש לי תחושה, אם כי לא מבוססת על קריאה חוזרת של הספרים, שהכתיבה הפופולרית של ליביו השתפרה מספר לספר, והספר הזה הוא הראשון שכתב.

***

לסיכום, הספר קריא ומכיל כמות גדולה של מידע מעניין. באופן אישי לא מצאתי עניין בפרקים רבים בספר, אבל לא מן הנמנע שאנשים אחרים שמתעניינים יותר באמנות או בהיסטוריה ייהנו מאוד גם מהם.

לא סתם פוזיציה, סופרפוזיציה! בשבחי הליניאריות

נתחיל הפעם בסלינקי.

למי שלא זוכר, סלינקי הוא הקפיץ שיודע לרדת מדרגות אם נותנים לו עזרה בהתחלה.

תמונה 1: סלינקי ממתכת. המקור לתמונה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Roger McLassus.

שני אנשים אוחזים סלינקי, אחד מכל צד, ומותחים אותו. לאחר שהוא ארוך ומתוח אחד האוחזים מזיז את הקצה שלו במהירות ימינה וחזרה למיקומו ההתחלתי. אני ממליץ לכולם לנסות זאת בבית. מה שיקרה הוא שתיווצר 'גבשושית' על גבי הסלינקי שתתקדם לאורכו, תגיע לקצה ותחזור.

דנתי בתופעה זאת באריכות ברשימה קודמת. הגבשושית היא בעצם גל (לא מחזורי) שעובר בתווך (שהוא הסלינקי, במקרה הזה). מה שעובר בתווך היא הפרעה, כלומר יציאה משיווי משקל. ההפרעה עצמה היא זאת שנעה, לא החומר. כל טבעת בסלינקי יוצאת משיווי משקל ברגע מסוים וחוזרת, אך נשארת במקומה על גבי התווך.

מה יקרה אם שני הקצוות יוסטו משיווי משקל? ייווצרו שתי גבשושיות שינועו לאורך הסלינקי. מה יקרה כאשר הן יפגשו?

מסתבר שכאשר שני גלים 'נפגשים' על פני התווך, או ליתר דיוק, נמצאים באותו מקום באותו הזמן, הם מתחברים. כלומר, אם שתי גבשושיות זהות נמצאות בדיוק באותו מקום על פני הסלינקי, מה שנראה הוא גבשושית אחת גדולה פי שתיים. אם הן חופפות באופן חלקי, בכל נקודת חפיפה נקבל חיבור.

המשמעות היא שכדי לקבל את כמות ההסטה של כל טבעת של הסלינקי ברגע מסוים משיווי משקל נוכל לחבר את ההסטה שהיית נגרמת על ידי המקור הראשון בזמן זה אילו היה היחיד, להסטה של המקור השני אילו הוא היה היחיד. הפעולה הזאת נקראת בעגה: 'לפתור לפי סופרפוזיציה של מקורות'. כלומר, נוכל לחשב את המציאות הפיזיקלית על ידי חיבור של השפעת המקורות הבודדים לו היו היחידים בעולם.

***

מטען חשמלי (חיובי או שלילי) הוא המקור של שדה חשמלי. ניתן לחשב את השדה החשמלי של מטען נקודתי, בנקודה מסוימת במרחב, על ידי חלוקה של מטען המקור בריבוע המרחק של הנקודה מהמטען והכפלה בקבוע כלשהו.

מה יהיה השדה החשמלי בנקודה מסוימת במרחב בנוכחות שני מטענים חשמליים?

ניחשתם נכון. גם במקרה זה ניתן להשתמש בחיבור מקורות בסופרפוזיציה. כלומר, נחשב את השדה בנקודה עבור מקרה שבו קיים בעולם רק מטען מספר 1, נחשב את השדה עבור מקרה שבו קיים רק מטען מספר 2, ונחבר את שתי התשובות לקבלת המציאות הפיזיקלית.

***

נניח שיש לי מעגל חשמלי שבו יש מספר של נגדים ושל מקורות מתח, וברצוני לדעת מה יהיה הזרם החשמלי דרך אחד הנגדים במעגל. ניתן לחשב את הזרמים בענפים השונים או את המתחים בצמתים לפי השיטה של קירכהוף, למי שמכיר (לא ממש חשוב אם לא). אבל יש דרך נוספת.

איור 2: סכימה של מעגל חשמלי לדוגמה. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש Svjo.

שוב ניחשתם נכון. נוכן לפתור לפי סופרפוזיציה של מקורות. נפתור את המעגל מספר פעמים, כמספר מקורות המתח. בכל סיבוב נשאיר רק מקור מתח אחד ונאפס את שאר המקורות (כלומר נחליף אותם בחוט מוליך, או במילים אחרות, נקצר אותם). במעגל שנשאר, המכיל רק מקור אחד, נחשב את הזרם דרך הנגד הרצוי. לבסוף נחבר יחדיו את כל התוצאות השונות, מהמקורות השונים, לקבלת התוצאה הסופית שהיא הזרם האמיתי על הנגד.

[הערת שוליים: אני ממליץ למי שלא בטוח שזה עובד ויודע לחבר נגדים בטור ובמקביל וגם את חוק אוהם, לנסות את השיטה על המעגל המצוי בדף הויקיפדיה של קירכהוף. המעגל כבר פתור ותוכלו לבדוק אם הגעתם לפתרון הנכון. נסו לחשב את המתח על נגד R₁.]

***

בשלב זה אולי קיבלתם את הרושם הלא נכון שהטריק של פתרון לפי סופרפוזיציה של מקורות יעבוד בכל מצב ובכל מערכת, ואין דבר רחוק יותר מהאמת. למעשה ברוב המקרים וברוב הבעיות הפיזיקליות, הכימיות וההנדסיות, עיקרון הסופרפוזיציה של מקורות לא יעבוד.

אז מה מייחד את המקרים שאותם בחרתי להציג?

המערכות שבחרתי הן מערכות הנקראות בעגה 'ליניאריות'. אם ניתן לתאר את המציאות על ידי משוואה שאנחנו מכנים 'ליניארית' אז יתקיים עיקרון הסופרפוזיציה.

ומהי משוואה ליניארית?

טוב ששאלתם.

נניח מערכת פשוטה שמצדה האחד אני מכניס מספר ומצידה השני יוצא כפל של המספר בחמש. כלומר, אם נכניס 2, נקבל 10, ואם נכניס 3, נקבל 15. מה יקרה אם נכניס 2 ועוד 3? נקבל 25 שהוא בדיוק חיבור של 10 ו-15. זאת דוגמה למערכת ליניארית.

נניח מערכת פשוטה אחרת שמצדה האחד אני מכניס מספר ומצידה השני יוצא כפל של חמש במספר בריבוע. כלומר, אם נכניס 2, נקבל 20, ואם נכניס 3, נקבל 45. מה יקרה אם נכניס 2 ועוד 3? נקבל 125 שהוא ממש לא חיבור של 20 ו-45. זאת דוגמה למערכת שאינה ליניארית.

ובכתיבה יותר פורמלית, נוכל להגדיר את ה-'כפול 5' במקרה הראשון, או 'כפול 5 ובריבוע' במקרה השני כאופרטור O שפועל על הכניסה X, והמוצא מסומן ב-Y. עבור מערכות ליניאריות מתקיים השוויון הבא:

כאשר C₁ ו-C₂ הם קבועים כלשהם.

שתי הדוגמאות שנתתי כאן הן הפשוטות ביותר שיכולתי לחשוב עליהן, אך משוואות פיזיקליות ליניאריות יכולות להיות גם פשוטות כמו הקשר בין הזרם למתח המקור במעגל חשמלי (חוק אוהם), או מסובכות ביותר, כמו משוואת הגלים.

יותר היסטוריה ממתמטיקה – המוזיקה של המספרים הראשוניים, יומן קריאה

נתחיל הפעם בגאמא, ונסיים בזטא.

***

פונקציית גאמא מכילה בתוכה אינטגרל איום.

האינטגרל מנוסח כך שאחד הפרמטרים בו (Z בנוסחה למטה) ניתן לשינוי. פרמטר זה הוא המשתנה של הפונקציה, כלומר מה שמציבים לתוכה. תוצאת האינטגרל תחת הפרמטר שהצבנו היא ערכה של הפונקציה בערך זה.

אחת התכונות המוזרות של פונקציית גאמא היא שאם מציבים במשתנה שלה מספר טבעי (1,2,3 וכדומה), תוצאת האינטגרל היא מכפלת כל המספרים הטבעיים עד מספר אחד פחות מזה שהצבנו. כלומר הערך של פונקציית גאמא הוא (n-1)!, כאשר '!' נקרא במתמטיקה 'עצרת' ומסמן כפל של כל המספרים הטבעיים עד אותו מספר.

ברשימה קודמת הראיתי שניתן לבטא נגזרת של כל פונקציה על ידי גזירת הפיתוח שלה בטור חזקות (טור טיילור). גזירת טור חזקות מספר פעמים ברצף היא פעולה מתמטית פשוטה וניתן לקבל ביטוי כללי עבור הגזירה ה-n של הטור, ולכן עבור הנגזרת ה-n של הפונקציה. הביטוי הכללי הזה תלוי בחישוב n!. נוכל, בערמומיות, להחליף את n! בפונקציית גאמא. עבור כל מספר טבעי נקבל את אותה תוצאה. אז למה טרחנו? כי פונציית גאמא מוגדרת לא רק עבור המספרים הטבעיים, אלא עבור כל מספר. כעת קיבלנו יכולת לחשב את הנגזרת ה-0.5, או הנגזרת ה-2.849.

לנגזרת יש משמעות גיאומטרית של שיפוע המשיק בנקודת הגזירה. מה המשמעות של נגזרת מסדר לא שלם? אין לי מושג, אבל הפיזיקאים מצאו לזה שימוש, למשל בתיאור של דיפוזיה במערכות מורכבות.

***

פונקציית זטא היא סכום אינסופי, לכאורה, די פשוט להבנה. היא נתונה על ידי:

עבור משתנה s שהוא כל מספר גדול מ-1 הפונקציה היא סכום מתכנס של שברים. עבור s=-1 הפונקציה היא סכום המספרים הטבעיים ולכן הטור אינו מתכנס. לפונקציה, אם כך, אין ערך מוגדר עבור אף מספר שלילי.

ליאונרד אוילר, המתמטיקאי המפורסם, הראה שניתן לייצג את פונציית זטא על ידי סכום שמכיל את כל המספרים הראשוניים (ראו ביטוי למטה) ובכך קישר בין שני דברים שלכאורה לא היו קשורים אחד לשני, המספרים הראשוניים ופונקציית זטא. מכיוון שהמספרים הראשוניים הם אבני הבסיס של כל המספרים, פתאום פונציית זטא, פונקציה זוטרה למדי, קיבלה משמעות אדירה. וזה לא נגמר שם.

המתמטיקאי ברנארד רימן כתב מאמר מכונן בן 10 עמודים בו העלה השערה לגבי הערכים שעבורם פונקציית זטא מקבלת את הערך אפס (שערכם הממשי של כולם הוא 0.5), והראה את הקשר של עובדה זאת לערכם ומיקומם של המספרים הראשוניים. למה זה מעניין? עד היום אין דרך פשוטה או נוסחה סגורה לחישוב ערכם של כל המספרים הראשוניים. מיקומם על ציר המספרים נראה אקראי. אבל כבר פרידריך גאוס חשד שיש סדר כלשהו בבלאגן ומצא קשר פשוט (יחסית) לכמותם ופיזורם שהוא קירוב שהולך ונהיה טוב יותר ככל שהולכים למספרים גדולים יותר.

לסיכום, נוצר קשר מוזר בין הבנת פונקציית זטא והאפסים שלה, ובין הבנת מיקומם וערכם של המספרים הראשוניים. האם השערת רימן נכונה? האם היא תוביל אותנו ליצירת נוסחה או אלגוריתם פשוט לחישוב מספרים ראשוניים? יש לזכור שכל ההצפנה שבה אנחנו משתמשים ברשת האינטרנט מבוססת על תכונות של מספרים ראשוניים (חפשו RSA).

***

מרכוס דו סוטוי הוא פרופסור למתמטיקה באוקספורד, ועוסק הרבה גם בהנגשה של מתמטיקה בצורה פופולרית לציבור הרחב. בשנת 2003 הוא פרסם את הספר 'המוזיקה של המספרים הראשוניים' שתורגם לעברית ב-2006. בספר בונה דו סוטוי את הסיפור באופן כרונולוגי, ומתמקד במה שהוביל להשערת רימן ובהתקדמות לאורך השנים בניסיון להוכיח אותה. השערת רימן, אם כך, היא נקודת הציר שסביבה נעים הסיפורים המופיעים בספר. הספר גם עוסק, בצורה מעניינת, במגמות בעולם המתמטיקה שהשתנו עם השנים והשפיעו על הגישות השונות לחקר הבעיה.

תמונת העותק שלי של הספר.

המידע בספר מונגש לקורא כאשר הוא שזור בתוך סיפורים ודמויות. טכניקה זאת, שניתן למצוא גם אצל סיימון סינג, הופך את הספר לקריא מאוד. עם זאת, יש להודות שרוב השמות באים והולכים. אם זאת הפעם הראשונה שנתקלתי בשם, וקראתי עליו מספר פסקאות, רוב הסיכויים שעד סוף השבוע לא אזכור במי מדובר, קל וחומר שבועות או חודשים אח"כ. את הרעיונות הגדולים אני דווקא אזכור. ואולי זה רק אני.

דבר נוסף שהופך את הספר לקריא מאוד הוא שהספר, שנושאו הוא מתמטיקה, אינו מכיל מתמטיקה כמעט בכלל, וחבל. ברור שהמטרה כאן היא לכוון לקהל רחב ככל שאפשר. ואולי זה רק אני. אבל יש משהו אחד שבאמת הפריע לי.

כפי שציינתי, נקודת המוקד של הספר היא הקשר בין פונקציית זטא למספרים הראשוניים, דרך אוילר ועד להשערת רימן. החלקים האלה לא מתוארים לדעתי בצורה שניתן להבין, ואין ניסיון ממשי להסביר את המתמטיקה כמו שצריך. הסופר, כאמור, מכוון לקהל רחב מאוד מאוד ומסתמך כמעט לחלוטין על אנלוגיות ומטאפורות. למעשה, דה סוטוי שקוע כל כך במטאפורה של המוזיקה שהוא גרם לי להתנתק כמעט לחלוטין מהמתמטיקה שעליה הוא מספר. בשלב מסוים מטאפורות המוזיקה מופיעות בכל משפט שני, ולטעמי, נהיות מאולצות וחופרות להחריד.

עקב הכרות מוקדמת שלי עם תיאוריית פורייה ולאפלאס ועם תיאוריות של ייצוג מערכות דיפרנציאליות באמצעות מטריצות ופולינומים, אני מבין, פחות או יותר, את החשיבות של קטבים ואפסים של פונקציה ואת הקשר שלהם לתדירויות תנודה. זה נותן לי רמז, שלא בהכרח קשור באופן ישיר למקרה שמתואר בספר, למנגנון שמתוכו מפיק דו סוטוי את אנלוגיית המוזיקה שלו. למיטב הבנתי, אין סיכוי שמישהו ללא הכשרה מתמטית רצינית (תואר ראשון הנדסה-פיזיקה-מתמטיקה לפחות וזיכרון טוב) יבין את ההקשר. להגנתו יאמר שכאשר ניסיתי לחקור יותר לעומק את העניין גיליתי שיש קפיצה במידע בין המאוד פופולרי למאוד טכני בחומרים שנתקלתי בהם ברשת. ככול הנראה מדובר בתחום מאוד טכני שקשה להסביר אותו בצורה פשוטה.

למדתי לא מעט דברים שלא ידעתי מהספר: על הקשר בין זטא לראשוניים, על השערת רימן, על הקשר המפתיע לפיזיקת כאוס ולפיזיקה קוונטית ודברים נוספים. כמו כן, קריאת הספר גרמה לי ללכת ולחקור יותר על הנושא ברשת (כלומר ברמה פופולרית, איני איש מקצוע בתחום, אבל ברמה יותר מעמיקה).

***

לסיכום: הספר כתוב בצורה קריאה מאוד ומעניינת, לקהל רחב ככל שאפשר על נושא המספרים הראשוניים וחייה וזמניה של השערת רימן. מי שרוצה לקרוא על ההיסטוריה של המתמטיקה, מבלי 'להתלכלך' ביותר מידי מתמטיקה, זה הספר בשבילו.

***

למי שסיים את הספר ורוצה להבין מעט יותר ברמה הטכנית, אך עדיין פופולרית, על השערת רימן והקשר שלה למספרים הראשוניים אני ממליץ להתחיל מהסרטונים הבאים:

Riemann Hypothesis – Numberphile

Visualizing the Riemann hypothesis and analytic continuation

מי שחושב שהוא מוכן לצלול, ראש קדימה, לתיאור הטכני מוזמן לקרוא בעברית כאן:

https://gadial.net/2010/02/08/riemann_hypothesis_overview/

 

תסריט מאויר – לוגיקומיקס, יומן קריאה

סטודנטים שלמדו באוניברסיטה מקצועות ריאליים אולי חוו במהלך הלימודים איזשהו רמז למתח בין מתמטיקאים לפיזיקאים.

להבנתי, ובהכללה כמובן, פיזיקאים לוקחים את המתמטיקה די בקלות. עבורם זהו כלי יעיל להפליא שבעזרתו ניתן לתאר את העולם הפיזיקלי, זה האמיתי שמסביבנו. ואם צריך לעגל כמה פינות בשביל זה, למשל לחלק או להכפיל בדיפרנציאל או לשחק קצת באינסוףים, אז למה לא? כל עוד זה עובד, כלומר מנפק תוצאות בעלות משמעות.

המתמטיקאים, לעומת זאת, לא לוקחים את המתמטיקה בקלות בכלל. בטח לא כשמתחילים לשחק להם בדיפרציאלים באינסוףים בצורה לא אחראית. יש לכך סיבה היסטורית, לדעתי. בתחילת המאה ה-20 הדיפרנציאל והאינסוף איימו להחריב את יסודות המתמטיקה. משהו שקשור לרעיונות של קנטור על אינסוףים שונים ולכך שהדיפרנציאל לא היה מוגדר היטב, אבל אל תתפסו אותי במילה בעניין זה.

להגנתה של המתמטיקה ניצבו דייוויד הילברט עם גישתו הפורמליסטית וברטראנד ראסל שניסה (יחד עם א.נ. ווייטהד שותפו לפרויקט) להעמיד מחדש את המתמטיקה על בסיס הלוגיקה (לא הראשונים שניסו זאת).

הם נכשלו. וכאשר קורט גדל פרסם את משפטי האי-שלמות שלו הוא חרץ את גורלה של תוכנית זו. יעברו עוד כ-20 אולי 30 שנים עד שבסיסה של המתמטיקה יתייצב שוב, עקב בצד אגודל.

אם אתם מעוניינים לקרוא עוד על נושא זה, אבל עם יותר פרטים ובלי הדרמטיזציה המעושה, אפשר להתחיל מעמוד הויקיפדיה הזה: "Foundations of mathematics".

אם, לעומת זאת, דווקא הדרמטיזציה היא זאת שמעניינת אתכם ופחות הפרטים ההיסטוריים או הטכניים, והייתם מעוניינים לצפות בסוג של סרט על הנושא, בסגנון "נפלאות התבונה" למשל, אולי תמצאו עניין בספר הקומיקס "לוגיקומיקס".

***

עטיפת העותק שלי

הספר לוגיקומיקס נכתב על ידי אפוסטולוס דוקסיאדיס (למד מתמטיקה ועסק בקולנוע, תיאטרון וספרות) וכריסטוס פאפאדימיטריו (פרופסור למדעי המחשב בברקלי). הכותבים בוחרים להציג את הרעיון הפילוסופי של השבר בבסיס המתמטיקה והחיפוש אחרי הפתרון דרך דמותו המאויירת של ברטראנד ראסל, מתמטיקאי, לוגיקן ופילוסוף, בצמתים שנבחרו בקפידה מחייו. כבכל סרט המבוסס על סיפור אמיתי, לא מעט פרטים בספר שונו למטרות כתיבת תסריט הדוק.

ישנם עוד שני קווים שרצים לאורך העלילה, מלבד זה הראשי. הראשון הוא הקשר בין הגאונות, עיסוק בלוגיקה ושיגעון. ברטראנד הילד נחשף לשיגעון, וממשיך ופוגש אותו בנקודות שונות בחייו. הקו השני הוא סיפור מסגרת שבו כותבי הספר ומאייריו דנים בנושאים שעולים בו, באיך לכתוב אותו ובהתמודדות עם ביקורות שיעלו לצורת הצגת הסיפור.

הספר, לדעתי, צולח את מבחן הסרט. הקריאה קולחת, מעניינת ומהנה, ומספקת חוויה אינטיליגנטית ודרמטית במידה סבירה על נושא לא שגרתי. כולל לא מעט ניים-דרופינג שגורם למי שמתעניין, ללכת ולחפש את השמות מאוחר יותר (יש נספח בסוף הספר ויש כמובן מקורות חיצוניים רבים). שווה כרטיס לקולנוע. אך זה אינו סרט אלא ספר, והוא מוצג לעתים כעוסק במדע פופולרי, ועל כך יש לתת את הדעת.

למי שנרתע ממתמטיקה אין מה לחשוש, כי אין פה. כאמור, מאוד דומה לסרט 'נפלאות התבונה'. מאוד דומה גם בעובדה שהספר לא מספיק מפורט כדי להיחשב לספר היסטוריה, פלוסופיה, ביוגרפיה או מדע פופולרי. ככל הנראה זאת גם אינה הכוונה, למרות המיקום שלו בחנות הספרים.

למדתי דברים חדשים על ראסל מהספר, ובעיקר על קשריו עם לודוויג וויטגנשטיין, אבל נאלצתי בעיקר להשלים ממקורות אחרים. כאמור, זה אינו ספר היסטוריה ומופיעות בו לא מעט סצנות שלא היו ולא נבראו, לפעמים אפילו כאלו שמבחינת זמנים לא יכלו להתקיים כלל (הכותבים מזהירים על כך באופן גלוי).

באופן אישי, מאוד לא אהבתי את המסגור של הסיפור. אני לא אוהב את הקו הנמתח בין גאונות, לוגיקה ושיגעון. אני די בטוח שסטטיסטית זה קשקוש שמופיע רק ממניעים דרמטיים. גישה זאת מזכירה לי את הסרט "איש הגשם" עם דסטין הופמן וטום קרוז שהיה אחד מהגורמים לכך שאנשים חושבים שלאנשים הלוקים באוטיזם חייב להיום כוח-על כלשהו.

עוד דבר שלא אהבתי בעניין המסגור של הסיפור הוא המטא-סיפור. כנראה עניין של העדפה אישית. אני מאוד לא אוהב שבמהלך סיפור עלילה הסופר פונה ישירות אל הקורא. לטעמי זה קב מיותר (קצת כמו וו‏ֹיְיס-אוֹבר בסרטים). גרוע מכך, חלק גדול מהבעיות שבהן אני דן כאן, מועלות באופן ישיר על ידי הכותבים בעלילת המסגרת הזאת. על כך אין מחילה.

וקטנה לפני סיום: ראסל היה אדם רב פעלים, גם בתחומים מקצועיים רבים ומגוונים בהם עסק וגם בתחום האישי. נשים צצות ונעלמות, באות ומתחלפות, תוך כדי הסיפור, מבלי להתעכב על כך יותר מידי. רגע אחד הן אלמנט חשוב בעלילה ורגע אחר הן נעלמות, ואולי אף מתחלפות באישה אחרת (ראסל היה נשוי מספר פעמים).

***

לסיכום, אם אהבתם סרטים בסגנון 'נפלאות התבונה' ו\או אתם נהנים מקומיקס, אין סיבה שלא תהנו לקרוא את הספר. גם אני נהנתי, למרות כל התלונות. רק הייתי צריך לצלוח חוסר הבנה ראשוני מה אופיו של הספר, מה מטרתו ולמי הוא מיועד.

אקלקטי, נטול הקשר אבל מעניין – איקסטאזה! יומן קריאה

אפתח הפעם בחידה מוכרת.

ההסתברות שאדם בקבוצת סיכון נמוך למחלה מסוימת חולה בה היא 0.8 אחוז. עבור אדם החולה במחלה, ישנה הסתברות של 90 אחוז שתתקבל תשובה חיובית בבדיקה. עבור אדם שאינו חולה, ישנה הסתברות של 7 אחוזים שתתקבל תשובה חיובית בבדיקה למרות שאינו חולה.

מה ההסתברות שאדם, כפי שמתואר, שקיבל תשובה חיובית בבדיקה, אכן חולה במחלה?

כדי לפשט, ענו לעצמכם: סיכוי גבוה, בינוני או נמוך?

.

.

.

למי שאינו מכיר את החידה, ארמוז שהתשובה הנכונה היא נמוך. מאוד. האם תוכלו לחשוב מדוע מבלי לחשב?

.

.

.

הסוד טמון בכך שמספר האנשים החולים מתוך האוכלוסיה נמוך, והסיכוי לאבחן אותם גבוה. מצד שני, למרות שהסיכוי לאבחון שגוי באדם בריא הוא נמוך, מספר האנשים הבריאים הוא גבוה ולכן מספר האבחונים השגויים יהיה גבוה בהרבה ממספר האבחונים הנכונים.

מסתבר שרוב האנשים מתקשים מאוד להעריך את התשובה הנכונה לחידה זאת ובנוסף גם מתקשים לפתור אותה במדויק.

נסו כעת לפתור אותה במדויק.

.

.

.

אם לקחתם קורס בהסתברות אולי ניסיתם לפתור לפי הסתברויות מותנות. קשה.

יש דרך הרבה יותר פשוטה, שמתאימה יותר לדרך החשיבה האנושית. נתרגם את הבעיה למונחי שכיחויות טבעיות. כלומר:

נניח שיש מדגם של 1000 אנשים. אם כך, 8 מהם חולים (0.8 אחוז) ומתוכם 7 יאובחנו נכון (90 אחוז). לעומת זאת, מספר האנשים הבריאים בקבוצה הוא 992 (99.2 אחוז) ו-70 מהם (7 אחוז) יאובחנו בטעות כחולים. 7 אנשים שבאמת חולים מתוך 77 שקיבלו אבחנה חיובית זה בערך 9 אחוזים, שזאת ההסתברות שאדם שקיבל תשובה חיובית באמת חולה.

החידה כאמור אינה חדשה, אך ברעיון של שימוש בשכיחויות טבעיות נתקלתי בקריאה בספר 'איקסטאזה' מאת סטיבן סטרוגץ, שיצא בשנה שעברה בספרי עליית הגג, בידיעות ספרים.

סטרוגץ מיטיב גם להצביע על כך שזאת לא סתם חידה תלושה, אלא מקרים מהחיים שבהם אנחנו עלולים להיתקל, או גרוע מכך, הרופאים שלנו עלולים להיתקל.

***

סטיבן סטרוגץ הוא פרופסור למתמטיקה שימושית באוניברסיטת קורנל בארה"ב. הוא ידוע גם כאחד מהמומחים הנדירים האלה שמוכן להסביר מתמטיקה בכלי התקשורת, ועושה זאת בהצלחה ובכישרון רב.

בסוף ינואר 2010 החל לפרסם סטרוגץ טור על מתמטיקה באתר הניו-יורק טיימס, למשך 15 שבועות. המאמרים ההם והמחשבה מאחורי הסדרה הם שהובילו לפרסום הספר: "The joy of X" ולתרגומו לעברית בשנה שעברה (2017) כ-"איקסטאזה!"

תמונת העותק שלי של הספר.

הספר הוא אסופה של רשימות בנושאים אקלקטיים למדי במתמטיקה. הרשימות מויינו לשישה שערים שונים: מספרים, יחסים, צורות, שינוי, נתונים ואזורי הספר.

הרשימות הן קצרות, מותאמות לאורך של טור בעיתון, ויש בהן כוונה ברורה לפנות לקהל רחב, כלומר קהל שלא למד מתמטיקה, או שלמד אבל לא ממש זוכר. יש ניסיון מאוד בולט לחבר את התוכן לדברים של יום-יום או לרעיונות מתוך התרבות הפופולרית, לפעמים בהצלחה יתרה ולפעמים בצורה מאולצת. למשל, הניסיון להסביר נגזרת דרך הטבעה של מייקל ג'ורדן היא מאולצת ולא עוזרת בדבר. להבדיל, הרעיון של העלאת הדיון על תורת החבורות דרך ההמלצה להפוך מזרן כל כמה חודשים והצורות השונות בהן ניתן להפוך אותו, הוא לא פחות מגאוני, לטעמי. בנוסף, יש ניסיון ניכר לא להכביד על הקורא במתמטיקה עצמה, וזה כמובן בא על חשבון העמקה.

חשוב לציין לזכותו של הספר שהוא קריא מאוד ומלא בכל טוב. מצאתי את עצמי משתף אחרים במספר רב של אנקדוטות מתוך הספר. למשל הוכחה ויזואלית יפה לפיתוח הנוסחה לחישוב שטח מעגל והוכחת קשרים אריתמטיים דרך איורים של קבוצות אבנים מסודרות (בנוסף לשאלות שכבר הוזכרו). מצד שני, אני לא בטוח עד כמה ההסבר לתופעת גיבס דרך סכומי טורים, שהיה מאיר עיניים עבורי, יהיה ברור למי שלא למד את התופעה באופן מקצועי.

אני לא חושב שניתן ללמוד מתמטיקה מהספר, אבל אני לא חושב שזאת היתה המטרה. אני מניח שמטרה אחת היתה לשכנע אנשים שהמתמטיקה מופיעה בחייהם במקומות לא צפויים גם אם לא משתמשים בה לשלם במכולת. מטרה נוספת, לדעתי, היתה לגרום לקהל להרגיש טוב, כאילו למד חתיכת מתמטיקה במחיר קוגנטיבי נמוך למדי.

הביקורות העיקריות שלי על הספר הן שלמרות הסידור לפי שערים, הרשימות אינן קשורות אחת לשנייה כלל, והן נטולות הקשר לחלוטין. מפאת אורכן הקצר הן אף פעם לא מביאות לכדי מיצוי, אלא מהוות נגיעה קלה, ליטוף, והסיום שלהן תמיד מרגיש פתאומי ושרירותי. אין זה צריך להפתיע, מכיוון שזה בד"כ מה שקורה בספרים שהם אסופות של מאמרים. אין באמת נראטיב לספר, למרות שיש ניסיון לתרץ אחד כזה על העטיפה ובמבוא. הדבר מגיע לכדי אבסורד בפרק על טופולוגיה שבו מפנה הכותב לסרטונים ביוטיוב ומתנצל שההסבר שלו חוטא לסרטון. הכי בלוג-פוסט שיש.

והצקה אחרונה: אני לא אוהב את שם הספר בתרגום העברי, למרות שברשת התרגום זכה לדעות חיוביות, אולי בגלל החידוד. השם המקורי באנגלית מכיל את המילה Joy , כלומר אושר או שמחה. שם עדין. השם בעברית מכוון לאקסטאזה, אובדן שליטה ומודעות, קצף בפה. הכל חוץ מעדין.

***

לסיכום, הספר מכיל סדרה של רשימות קצרות, ולא מאוד מעמיקות, על מתמטיקה בנושאים שונים וללא נראטיב שמחבר ביניהן. הרשימות כתובות בשפה בהירה וקריאה ומנסות לחבר את המתמטיקה לחיי היום-יום, לפעמים בהצלחה ולפעמים פחות. הרשימות המוצלחות יותר הן מופת לאיך לחבר קהל רחב לנושא כבד כמו מתמטיקה דרך דברים מוכרים לכל אחד.

הדרך הלא נכונה לתכנן מסיבה מוצלחת – כמה מילים על אלגברה בוליאנית

ד'ארטאניאן עורך מסיבה ומזמין אליה את שלושת חבריו: אתוס, פורתוס ואראמיס. הוא לא בטוח מי משלושתם יוכל להגיע והצלחת המסיבה חשובה לו מאוד. הוא מסביר למשרתו: "מהיכרות ארוכת שנים עם חבריי וניסיוני הרב בעריכת מסיבות אני יודע שכדי שהמסיבה תתרומם מוכרחים להתקיים שני תנאים. האחד, או פורתוס או אראמיס חייבים להיות שם. השני, או אתוס או פורתוס חייבים להיות שם".

משרתו חושב מספר שניות ועונה: "אתה מתכוון בעצם שכדי שהמסיבה תרים את הגג או שפורתוס חייב להיות שם או שגם אתוס וגם אראמיס חייבים להיות שם?"

ד'ארטאניאן מהרהר בעניין ועונה: "כן, ודאי, זה הרי ברור מהגרסה הראשונה של חוק הדיסטריביוטיביות של האלגברה הבוליאנית".

המשרת מגרד בפדחתו, נאנח ועונה: "כן אדוני. שאני אגיש את היין?"

"כן, מוטב שכך". עונה ד'ארטאניאן.

ארבעת המוסקיטרים. איור מתוך מהדורה של 'שלושת המוסקיטרים' שפורסמה ב-1894. המקור: ויקיפדיה.

***

בואו ונדמיין עולם של אמירות שמיוצגות על ידי משתנים. לדוגמה:

האמירה "פורתוס יגיע למסיבה" תסומן על ידי המשתנה A.

אם פורתוס לא יגיע למסיבה האמירה שקרית וערכו של המשתנה A יסומן כ-'שקר', 'false' או פשוט במספר אפס. אם פורתוס אכן יגיע למסיבה האמירה נכונה ולכן ערכו של המשתנה A יסומן כ-'אמת', 'true' או פשוט במספר אחד.

כל משתנה בעולם המוזר הזה יכול לקבל אחד משני ערכים, אפס או אחד, בהתאם להיותו מייצג אמירה שמתקיימת או שאינה מתקיימת.

נסמן את האמירה "אתוס יגיע למסיבה" על ידי המשתנה B, ואת האמירה "אראמיס יגיע למסיבה" במשתנה C.

האם האמירה "המסיבה הצליחה" אמיתית או שקרית? האם נוכל לייצג אותה בעולמנו ולבדוק?

***

ישנן שתי פעולות בלבד שניתן לבצע בין משתנים בעולמנו החדש. האחת פעולת 'וגם' והשניה פעולת 'או'. לדוגמה: "או שפורתוס יגיע למסיבה או שאתוס יגיע למסיבה". האמירה האחרונה למעשה מייצגת פעולת 'או' בין המשתנים A ו-B. כדי שהאמירה המורכבת תהיה נכונה מספיק ש-A יהיה נכון או ש-B יהיה נכון.

בדומה האמירה "גם פורתוס וגם אתוס יגיעו למסיבה" מייצג פעולת 'וגם' בין המשתנים A ו-B. כדי שהאמירה המורכבת תהיה נכונה גם A צריך להיות נכון וגם B צריך להיות נכון.

נסמן את פעולת 'או' בסימן '+' (כמו חיבור במתמטיקה) ואת פעולת 'וגם' בסימן '·' (כמו כפל). כלומר שהרישום A·B משמעו "גם פורתוס וגם אתוס יגיעו למסיבה" והרישום A+B משמעו "או פורתוס או אתוס יגיעו למסיבה".

כעת נוכל לתרגם את אמירתו המורכבת של ד'ארטאניאן לגבי התנאים להצלחת המסיבה: "או פורתוס או אתוס יגיעו למסיבה" וגם "או אראמיס או פורתוס יגיעו למסיבה". נכתוב באמצעות המשתנים: (A+B)·(A+C).

לעומתו טוען המשרת: "או שפורתוס יגיע או שאראמיס וגם אתוס יגיעו". ובמשתנים: (A+(B·C.

האם שתי האמירות מתקיימות או שאינן מתקיימות תחת אותם תנאים? במילים אחרות האם מתקיים:

(A+B)·(A+C)= A+(B·C)

***

לפני שנענה על השאלה, האם הבחנתם שהגדרנו אלגברה מסוג חדש? יש משתנים, ערכים שהם יכולים לקבל והגדרה לפעולות האפשריות ביניהם. שמה של האלגברה היא 'אלגברה בוליאנית' על שמו של ג'ורג' בול, מתמטיקאי, פילוסוף ולוגיקן מהמאה ה-19 שהגה אותה לראשונה בספר שפרסם ב-1854. כמו כן, הוא הופיע בגוגל-דודל לא מזמן. כבוד!

נשים לב שתחת חוקי האלגברה הזאת כל פעולת 'וגם' עם אמירה שקרית תוצאתה אמירה שקרית, כי עבור תוצאת אמת חייבים ששתי האמירות יתקיימו ואחת כבר שקרית. כמו כן, כל פעולת 'או' עם אמירה נכונה תוצאתה אמירה נכונה, כי עבור תוצאת אמת מספיק שאחת תהיה נכונה ואחת כבר נכונה. ובכתב אלגברי:

A·0=0

A+1=1

חישבו לבד מדוע גם ההיגדים הבאים נכונים תמיד:

A·1=A

A+0=A

כעת אנחנו מוכנים לבדוק מדוע החוק שאותו כינה ד'ארטאניאן "חוק הדיסטריביוטיביות הראשון" נכון.

ניצור טבלה של כל התרחישים האפשריים עבור האמירות B, A ו-C. מספר האפשריות הוא 2 בחזקת מספר המשתנים:

תרחיש 1 הוא שאף אחד משלושת החברים לא מגיע. תרחיש 8 הוא שכולם מגיעים וכך הלאה.

כעת נוסיף לטבלה טור חדש עבור B וגם C. נמלא אותה לפי החוקים שלמדנו שאותם נפעיל בין הטורים של B ו-C המסומנים בצהוב.

נוסיף טור נוסף עבור A או (B וגם C). נעקוב אחרי הטורים הצהובים:

נעשה את אותם רצף של פעולות כדי למצוא את הטור עבור (A+B)·(A+C):

קיבלנו תשובות לשתי השאלות שלנו בו זמנית. קודם כל ניתן להבחין בקלות ששני הטורים המייצגים את האמרות של ד'ארטאניאן ומשרתו זהות מבחינה ערכים ולכן ברור שהן זהות מבחינה לוגית.

כמו כן, כעת אנחנו יודעים בדיוק באלו מקרים תצליח המסיבה ובאלו מקרים לא. תרחישים 4 עד 8 מייצגים חמש אפשריות להצלחת המסיבה. ארבע מתוכן הן אלה שבהן פורתוס מגיע למסיבה והחמישית היא זאת שבה למרות שפורתוס לא הגיע, אתוס ואראמיס הגיעו יחדיו.

***

אז למה זה טוב?

למיטב ידיעתי, ואני לא מומחה בנושא, אלגברה בוליאנית שימושית לשני דברים עיקריים: לוגיקה ואלקטרוניקה דיגיטלית.

בלוגיקה אני לא מבין כלום, אבל דעו כי אלקטרוניקה דיגיטלית חוללה מהפך בעולמינו, וכל מעגל שכזה מתחיל מתרגיל באלגברה בוליאנית שהרי אות דיגיטלי הוא או גבוה או נמוך, או אפס או אחד.

אדגים זאת מתישהו ברשימה נפרדת.

העולם דרך עיניהם של מהנדסי חשמל (מטריצות, פרק הסיום) – על ייצוג במרחב המצב

זהו. הגיע רגע האמת.

הרשימה הזאת היא למעשה הסיבה שבגינה התחלתי לכתוב על מטריצות.

הרשימה הבאה, כמו זאת שקדמה לה, עוסקת בטכניקה מתמטית ולכן דוברת מתמטיקה. הפעם התרתי כל רסן בעניין. ראו הוזהרתם!

***

ברשימה הקודמת הצגתי את בעיית האוסילטור ההרמוני, התנודה המחזורית הבסיסית, והראיתי כיצד ניתן לפרק את המשוואה שמתארת אותה, משוואה דיפרנציאלית מסדר שני, לשתי משוואות מסדר ראשון. את שתי המשוואות ניתן לארוז בתוך מטריצה ולתת למחשב לפתור. כלומר נוכל למצוא באמצעות המחשב את המקום ואת המהירות של הגוף בכל רגע.
[הערת שוליים: זאת לא הדרך היחידה, ואולי אפילו לא היעילה ביותר לפתור את הבעיה באמצעות מחשב, אבל זה פחות מעניין אותי כרגע מכיוון שאני אני חותר למקום אחר.]

בעיית האוסילטור ההרמוני יכולה לייצג תנודה של מטוטלת, תנודה של גוף מחובר לקפיץ, תנועה של נדנדה, מעגלי תהודה בחשמל ועוד.

בואו נתעכב לרגע על הנדנדה. ילדה יושבת על כיסא הנדנדה ובכל פעם שהיא מתקרבת לאבא הוא נותן לה דחיפה קלה. הפעולה הזאת של הדחיפה אינה מתוארת במשוואות שעסקתי בהן פעם קודמת. כל הכוחות שפעלו על הגוף היו כוחות שקשורים למשתנים הבסיסיים של המערכת (מקום ומהירות הגוף). דחיפותיו של האב מהוות מקור כוח חיצוני שמופעל על הגוף ואינו תלוי במערכת עצמה.

עבור בעיות אלה (בעגה: אוסילטור מאולץ) נקבל משוואה אחרת שיש בה איבר מסוג חדש שנקרא לו איבר מקור.

הנה המשוואה המקורית:

L הוא המרחק של הגוף מנקודת שיווי משקל, L עם שתי נקודות מעליו מסמל נגזרת שניה בזמן של המרחק מנקודת שיווי משקל.

והנה המשוואה המעודכנת:

F הכוח החיצוני המופעל על הגוף.

הפתרון, אם כך, יהיה תלוי גם בתכונות הבעיה המקורית (בעגה: הבעיה ההומוגנית) וגם בתכונות הכוח החיצוני.

אחד הדברים החדשים והמעניינים שמופיעים במערכות כאלה הוא תופעת התהודה. הפתרון של המערכת תלוי בתדירות הכוח המנדנד. אם האב מתאם את הרגעים שבהם הוא דוחף את הילדה לתדירות מאוד מסוימת, הגובה שתגיע אליו הילדה יגדל מאוד אפילו ללא הגברת כוח הדחיפה. כלומר, ישנם תדרי נדנוד שבהם המערכת, במובן מסוים, יוצאת מכלל שליטה. בתדרים נמוכים וגבוהים מתדרי התהודה פעולת הדחיפה משפיעה באופן מתון או אפילו מפריעה לתנועה. לעומת זאת, בתדר התהודה המערכת משתוללת והילדה עפה מהנדנדה, לא עלינו. ניתן לחשב את תדרי התהודה על ידי פתרון מתמטי של המערכת או לגלות אותם על ידי מדידה.

אבל,

ברשימה זאת אני לא רוצה לעסוק בפתרון המערכת הספציפית הזאת אלא דווקא בדרכים מיוחדות לייצג משפחה שלמה של בעיות דומות. מה שמקשר בין הבעיות הוא שהן מתארות מערכת שלתוכה מוזן אות כניסה (למשל הכוח החיצוני שמופעל על הגוף) ונמדד אות יציאה (למשל מיקום הגוף בכל רגע ביחס לנקודת שיווי משקל).

ככה מהנדסי חשמל רואים את העולם.

***

בואו ונניח שניתן לתאר את המערכת על ידי שתי המשוואות הבאות:

x הוא וקטור משתני המצב, u המקור, כלומר הכוח החיצוני, x עם נקודה למעלה מסמל נגזרת אחת בזמן של וקטור משתני המצב. y מסמל את אות היציאה של המערכת, למשל באוסילטור את המרחק מנקודת שיווי המשקל בכל רגע. A,B,C,D הם קבועים שאינם תלויים בזמן (בעגה מערכת כזאת נקראת LTI, כלומר linear-time-invariant).

המשוואה העליונה מתארת את הפיזיקה של משתני המצב שבחרנו. למשל במקרה של אוסילטור הרמוני הראיתי בסוף הרשימה הקודמת שמשתני העזר שנבחרו היו המקום והמהירות של הגוף. זה לא מקרי שמשתני המצב הם נגזרות אחד של השני.

המשוואה התחתונה מגדירה את אות היציאה שהחלטנו למדוד.

כעת בואו ונראה כיצד ניתן לתרגם למשל את בעיית האוסילטור לתוך הפורמולציה הזאת.

נרשום שוב את המשוואה כולל איבר המקור:

סימנתי את איבר המקור F באות u מטעמי נוחות והרגל.

משתני העזר שלי הם:

לכן שתי המשוואות שמייצגות אותן הן:

נסגור את שתי המשוואות בכתב מטריצי:

נניח שאות היציאה שמעניין אותנו הוא מרחק הגוף מנקודת שיווי משקל בכל רגע. אם כך אנחנו מעוניינים רק באיבר הראשון בווקטור המצב. נתרגם לכתב מטריצי:

ולכן המערכת מתוארת על ידי:

כעת כל המידע על אופייה של המערכת גלום במקדמים שלה A,B,C,D שהם וקטורים ומטריצות. אני אנסה להסביר מדוע דרך דוגמה.

***

התמרת פורייה היא אופרציה מתמטית שמפרקת פונקציה לרכיבי התדר הבסיסיים שמרכיבים אותה. לדוגמה, צג האקולייזר במערכת הסטריאו שלכם מראה בכל רגע מה העוצמה של כל צליל שצריך לחבר כדי לקבל את המוזיקה שאתם שומעים. אם יש למשל הרבה בס אז עוצמת התדרים הנמוכים תהיה גבוהה. הסברתי בעבר על הנושא ברשימה על מוזיקה מרובעת.

אחת התכונות המוזרות של התמרת פורייה היא שאם מפעילים אותה על משתנה תחת נגזרת מקבלים את המשתנה ללא נגזרת כפול קבוע הקשור לתדר. כלומר ניתן להפעיל את ההתמרה על משוואה דיפרנציאלית, להפוך אותה לאלגברית, לפתור אותה בקלות, ואז לנסות להמיר חזרה לתחום הזמן (שזה לא ממש קל). כל עוד המשתנים תחת ההתמרה אנחנו נקרא להם הייצוג בתחום התדר, כי הפונקציות הופכות הרי לפירוק התדרים ולכן הן פונקציות של התדר ולא של הזמן.

בטיפול במערכות אלה נהוג להשתמש בהתמרה שנקראת 'התמרת לפלאס' במקום בהתמרת פורייה. קצרה היריעה מלעמוד על ההבדלים ביניהן, אבל לענייננו זה לא ישנה דבר.

נפעיל את התמרת לפלאס על הייצוג הכללי של מערכת המצב:

נרשום את כל המשתנים באות גדולה כדי לסמן שהם כעת פונקציות של התדר ולא של הזמן. הקבוע s הוא הקבוע שיצא מהנגזרת והוא תלוי בתדר.

קיבלנו שתי משוואות אלגבריות, כאשר אנחנו זוכרים שהמקדמים A,B,C,D הם מטריצות. נבודד את X מתוך המשוואה הראשונה באמצעות אלגברה של מטריצות ונציב אותו במשוואה השניה:

I היא מטריצת היחידה.

קיבלנו ביטוי בתחום התדר עבור מוצא המערכת Y בהינתן המקור U. אם נחלק ביניהם נקבל ביטוי שנקרא פונקצית התמסורת (transfer function) של המערכת, כלומר מה יוצא ביחס למה שנכנס, הכל כתלות בתדר הנדנוד.

בואו ונתרגם את התוצאה למקרה של אוסילטור הרמוני פשוט ללא חיכוך על ידי הצבת המקדמים הרלוונטיים שקיבלנו קודם:

ניתן לראות שקיבלנו במכנה פולינום עבור המשתנה s. נזכר שזה בדיוק הפולינום האופייני של המערכת ששורשיו מכתיבים את התנהגות המערכת כפי שראינו ברשימה הקודמת. אלה נקראים הקטבים של המערכת והם קובעים את התנהגותה. קיבלנו אותם מתוך המטריצה A (בעגה: מצאנו את הערכים העצמיים שלה). למעשה מרגע שניסחנו את הייצוג, יכולנו לגלות חלק חשוב מהתנהגות המערכת מתוך ניתוח המטריצה עצמה, ללא פתרון מלא שלה. למשל, אם אחד מקטבי המערכת ממשי וחיובי אז הפתרון בזמן יהיה תלוי בפונקציה אקספוננציאלית מתפוצצת ולכן המערכת אינה יציבה בזמן.

ישנן עוד תכונות רבות וחשובות שניתן לראות ישירות מתוך הייצוג, ללא פתרון מלא בזמן. ברגע שיש לנו את המקדמים A,B,C,D המערכת הפיזיקלית חשופה בפנינו. חשופה גם לאפיון אך גם לשליטה. למשל את בעיית היציבות שהזכרתי ניתן לתקן על ידי חיבור משוב במערכת, כלומר חיבור אות היציאה לתוך הכניסה, שישנה את הקטבים של המערכת. כמה הגבר יש לקבוע עבור אות המשוב כדי לייצב את המערכת? קל לקבוע בחישוב מתוך הייצוג.

***

ייצוג בעיות פיזיקליות כמערכת של כניסות ויציאות הוא כלי חזק של תכנון ושליטה בידי המהנדס. הוא נקרא 'ייצוג במרחב המצב' (state space representation) והוא חלק חשוב מתוך תורת הבקרה. כל החישוב האמיתי נעשה על גבי המחשב, לתוכו אנחנו מזינים את המטריצות שמייצגות את המערכת, ומבצעים את האפיון והתכנון של המערכת באמצעות כלים ממוחשבים מתוחכמים שנכתבו למטרות אלה.

זהו.

מטריצה אובר-אנד-אאוט.

המטריצה מכה בשלישית – אוסילטור הרמוני ופתרון מש' דיפ' מסדר שני

הרשימה הבאה היא מיוחדת.

הרבה אקדחים ששתלתי ברשימות קודמות הולכים לירות כאן. היכונו.

המטרה: הרחבה משמעותית של מספר הבעיות הפיזיקליות שניתן לפתור באמצעות מחשב בעזרתה של ידידתנו הותיקה, המטריצה.

אזהרה: הרשימה מכילה מתמטיקה.

איור 1: תמרור אזהרה!

***

סיכום הפרקים הקודמים.

שחקנית מספר אחד: מטריצה.

ברשימה קודמת הצגתי את המטריצה כמבנה סדור של מספרים שניתן להכריחו לקיים חוקי חשבון פשוטים. תכונה זאת גורמת למטריצה להיות כלי שאותו קל לתכנת לתוך המחשב. הדגמתי כיצד ניתן לפתור באמצעות מטריצה מערכת משוואות ליניאריות, ובכך מתאפשר לנו לתכנת בקלות את המחשב לפתור זאת עבורנו.

ברשימה אחרת הראיתי כיצד ניתן לפתור סוג מסוים של מעגלים חשמליים על ידי תרגום הזרמים במעגל למערכת משוואות ליניאריות. המשמעות היא שנוכל לתכנת את המחשב לפתור בקלות מעגלים חשמליים.

שחקן מספר שתיים: אוסילטור הרמוני.

ברשימה קודמת הראיתי שאם נחבר גוף לקפיץ ונסיט אותו מעט מנקודת שיווי המשקל, הוא ינוע סביב נקודת שיווי המשקל בתנועה מחזורית. בקצה המסלול הכוח שמפעיל הקפיץ על הגוף הוא מקסימלי ומהירות הגוף אפס ובנקודת שיווי המשקל המהירות מקסימלית והכוח על הגוף אפס.

איור 2: גוף קשור בקפיץ אלסטי לקיר ונע ללא חיכוך הלוך ושוב סביב נקודת שיווי המשקל.

***

אציג כאן שוב את בעיית האוסילטור, אך הפעם בצורה מתמטית מדויקת יותר.

נתחיל מהחוק שני של ניוטון שאומר שהיחס בין הכוח שמופעל על גוף לבין שינוי מהירותו (תאוצה) שווה למסת הגוף. במילים אחרות:

a היא התאוצה, F הכוח ו-m המסה.

התאוצה היא שינוי המהירות בזמן והמהירות היא שינוי המקום בזמן. אם כך, נוכל לכתוב את התאוצה כנגזרת שניה של מקום הגוף לפי הזמן (להסבר מפורט יותר על נגזרות ברשימה קודמת). במילים אחרות:

x הוא המקום, שתי הנקודות מעל ה-x מסמלות נגזרת שניה לפי הזמן.

חוק הוק מצביע על כך שהיחס בין הכוח שמופעל על קפיץ בתחום האלסטי לבין התארכותו ממצב רפוי שווה לקבוע המצביע על קשיחותו של הקפיץ. במילים אחרות:

x מיקום הגוף הקשור לקפיץ, F כוח ו-k קבוע הקפיץ. המינוס מסמן שזהו כוח מחזיר, תמיד לכיוון נקודת שיווי המשקל.

כעת נאחד את שתי המשוואות לכדי אחת ונקבל:

זאת היא משוואה דיפרנציאלית מסדר שני (ע"ש נגזרת שניה). הנעלם במשוואה הוא לא מספר אלא פונקציה שהיא המקום של הגוף בכל רגע, x כפונקציה של t. אנחנו מחפשים פונקציה שאם נגזור אותה פעמיים לפי הזמן ונוסיף לה את עצמה כפול קבוע נקבל אפס ללא תלות בזמן. הפונקציה היחידה שתקיים קשר שכזה היא פונקצית האקספוננט מכיוון שהנגזרת שלה גם היא אקספוננט זהה למקור.

אם כך, ננחש שהפתרון הוא מהצורה:

X מקום, t זמן, r קבוע כלשהו.

מכאן ש:

נציב את הפתרון במשוואה ונקבל את הפולינום האופייני של המשוואה. נקבל שני פתרונות עבור r שמיצגים שני פתרונות אפשריים למשוואה.

ה-i בסוף הפתרון הוא סימן לשורש של 1-. ניתן להוכיח שהפתרון של המשוואה הוא צירוף ליניארי של שני הפתרונות האפשריים. כלומר:

A ו-B הם קבועים שתלויים בתנאי ההתחלה של הבעיה.

את הפתרון ניתן להציג בצורה המוכרת יותר (המרה לפי זהות אוילר):

A ו-φ הם קבועים התלויים בתנאי ההתחלה של הבעיה. ω היא תדירות התנודה של האוסילטור.

אנימציה 3: פתרון האוסילטור ההרמוני הפשוט. הגוף מתרחק ומתקרב לנקודת שיווי המשקל לפי פונקצית סינוס מחזורית. המקור לאנימציה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Evil_saltine.

***

מה יקרה לתנועת האוסילטור אם נרצה להתחשב בחיכוך של הגוף עם המדיום בו הוא נמצא, למשל אוויר או מים? ככל שגוף נע מהר יותר באוויר או במים כך המדיום מתנגד לתנועה חזק יותר. נוכל לבטא קשר זה על ידי הוספת כוח נוסף לכוח הקפיץ שמתכונתי למהירות. נזכר גם שמהירות היא שינוי במקום ולכן נגזרת ראשונה של המקום.

כוח החיכוך נתון על ידי:

F כוח החיכוך, v כוח, C קבוע פרופורציה.

אם כך המשוואה היא:

(החלפתי זמנית סימנים כדי לחסוך בפיקסלים, כמו כן עידכנתי טעויות מינוריות בסימון 31.10.15)

כיצד יראה הפתרון?

נוכל לחשוב על שני מקרים. בראשון כוח החיכוך חלש (נקרא בעגה 'ריסון חלש') כך שנצפה לראות תנודות דועכות של האוסילטור בתדירות מעט שונה מהתנודות המקוריות, עד לעצירתו (ראו איור, קו ירוק). במקרה השני כוח החיכוך כל כך חזק עד שלא נראה אפילו תנודה אחת עד לעצירת הגוף (נקרא בעגה 'ריסון חזק', באיור קו תכלת).

איור 4: גרף המציג את הפתרון של משוואת האוסילטור ההרמוני, כלומר המיקום כפונקציה של הזמן. הקו הכחול הוא הפתרון ללא חיכוך. הקו הירוק הוא ריסון חלש והקו התכלת הוא ריסון חזק. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש Nuno Nogueira.

נשתמש שוב בשיטת השורשים למציאת הפתרון במקרה של ריסון חלש. אציג כאן את הפתרון המתמטי ללא הסברים, אך שימו לב שאין אנו זקוקים לו בהמשך. ניתן לדלג ישירות לחלק הבא.

למשל עבור ריסון חלש:

ω תדירות התנודה של המערכת, A ו-φ קבועים תלויים בתנאי ההתחלה. הסינוס בביטוי דואג לתנודה והאקספוננט דואג לדעיכה בזמן של הפתרון עד לעצירה בנקודת שיווי המשקל.

***

ועכשיו לסיבה שלשמה נתכנסנו.

נזכר שהמטרה היא ללמוד כיצד לפתור בעיות מתמטיות, למשל כמו אוסילטור, באמצעות המחשב. במקום פתרון אנליטי מלא על הנייר נרצה לתת למחשב לחשב נומרית במקומנו היכן נמצא הגוף בכל רגע. ישנן לא מעט תוכנות שמסוגלות לפתור משוואות דיפרנציאליות בצורה כזאת, אך רובן לא מתאימות לפתרון משוואות מסדר שני.

נשתמש בטריק כדי 'לעבוד' על המחשב ולמכור לו משוואה מסדר שני כמשוואה מסדר ראשון. נעזר בידידתנו המטריצה.

ראשית נגדיר משתני עזר:

מכאן ששתי המשוואות הבאות מתקיימות עבור הנגזרות בזמן של משתני העזר:

המשוואה הראשונה פשוט מציינת את יחס הנגזרת בין שני משתני העזר כפי שהגדרנו אותם. המשוואה השניה היא תרגום של משוואת האוסילטור המרוסן במונחי משתני העזר.

כעת נוכל לרשום את שתי המשוואות יחדיו בצורת מטריצה:

ובעצם מה שקיבלנו הוא משוואה דיפרנציאלית פשוטה מסדר ראשון עבור המשתנה Z. תוכנה (כמו למשל matlab או scilab) שיודעת להתמודד עם מטריצות ועם משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון תפתור את המשוואה ללא אגל בודד של זיעה על מצחה. בינתיים אנחנו ננוח רגל על רגל.

הפתרון של משתנה Z₁ הוא מיקום הגוף בכל רגע והפתרון של Z₂ הוא המהירות בכל רגע.

***

ראינו כיצד ניתן לפתור באמצעות המחשב את בעיית האוסילטור, כולל המקרה המרוסן, כאשר אנחנו עוברים להצגת הבעיה באמצעות מטריצות.

משוואת האוסלטור מתארת שורה ארוכה של בעיות מעניינות כמו מטוטלת, קפיץ ונדנדה, אך גם מעגלים חשמליים הנקראים מעגלי תהודה ומכילים קבלים נגדים וסלילים (הצגתי את הנושא ברשימה קודמת). כלומר, נוכל להשתמש בפורמולציה הזאת לפתרון של כל משוואה דיפרנציאלית מהסוג הזה, ולא רק אוסילטור.

די שימושי, לא? אבל זה רק קצה הקרחון. הפינאלה ברשימה הבאה.

אפילו שימפנזה – על פתרון מעגלים חשמליים באמצעות מטריצות

ברשימה הקודמת נתקלנו במושג 'מטריצה'. ראינו שניתן להציג מערכת משוואות ליניאריות באמצעות מטריצות ולהשתמש בתכונות המטריצה כדי למצוא את הפתרונות עבור הנעלמים. מה שלא ראינו זה איך זה עוזר לנו לשלם במכולת.

***

איור 1 הוא ייצוג סכמטי של מעגל חשמלי. ישנו מקור מתח חשמלי V, וחוטים מוליכים דרכם עובר זרם חשמלי I מהמקור לצרכן ומהצרכן למקור. הצרכן מסומן כנגד, שעליו מתקיים 'חוק אוהם', כלומר שיש יחס ישר בין המתח עליו לבין הזרם דרכו, וקבוע הפרופורציה הוא ההתנגדות החשמלית שמסומנת ב-R. הבחירה בצרכן כנגד אוהמי היא רק לשם פשטות. הצרכן יכול להיות כל מכשיר חשמלי או מעגל שתחברו לספק המתח, למשל טוסטר משולשים. את הזרם על הנגד נוכל לחשב על ידי הצבת מתח הספק וההתנגדות של הנגד לתוך חוק אוהם (I=V/R).

איור 1: צרכן\נגד מחובר למקור מתח חשמלי וזרם חשמלי זורם במעגל. אם נניח נגד אוהמי נוכל להשתמש בחוק אוהם לחישוב הזרם.

חישבו על המעגל כעל מפל מים. בהדק החיובי של הספק יש מים במאגר גבוה, כלומר בחלק העליון של המפל. כוח הכובד גורם למים ליפול לגובה נמוך יותר ותוך כדי כך אנחנו יכולים להפיק מכך עבודה, למשל לסובב גלגל של תחנת קמח או טורבינה בתחנת כוח. אותו דבר קורה על הנגד שיכול להיות למשל סלילי החימום בטוסטר משולשים. נושאי המטען הגיעו לנגד באנרגיה פוטנציאלית גבוהה, ויצאו באנרגיה פוטנציאלית נמוכה, תוך יצירת חום. את המים בתחתית המפל ניתן לשאוב חזרה אל חלקו העליון. זה בדיוק מה שעושה ספק המתח מההדק השלילי לחיובי.

חשוב לשים לב שאם עוקבים אחרי מסלול סגור, גם במקרה של המים וגם במקרה החשמלי, ומחברים עליות וירידות באנרגיה צריכים לקבל סה"כ אפס מכיוון שהאנרגיה נשמרת (בעגה: כוח הכבידה והכוח החשמלי הם כוחות משמרים).

עד כאן הכל פשוט.

***

איור 2 הוא גם ייצוג סכמטי של מעגל חשמלי, אבל מאיים מעט יותר. השאלה כאן היא מהו הזרם על נגד R₃. הבעיה היא שהפעם לא נוכל להשתמש בחוק אוהם כמו במעגל הקודם מכיוון שהנגד לא מחובר ישירות לספק המתח ולכן אין אנו יודעים מה המתח עליו ומה הזרם עליו. חלק מהמתח 'נפל' על נגד R₁, ולכן המתח על R₂ ו-R₃ לא ידוע.

איור 2: מעגל חשמלי עם שני חוגים. המתח על נגד R₃ אינו ידוע ללא חישוב. I₁ ו-I₂ אינם הזרמים האמיתיים במעגל אלא זרמי החוגים שהם משתני עזר בדרך לפתרון הבעיה.

מי שלמד מעט אלקטרוניקה יודע שיש מספר שיטות פשוטות כדי לחשב את התשובה (לדוגמה חישוב התנגדות שקולה או שימוש בחוקי קירכהוף). הבעיה היא ששיטות אלה מסתבכות מאוד ככל שנסבך את המעגל וגם אינן מותאמות באופן מיטבי לפתרון באמצעות מחשב.

בכוונתי להציג שיטה אחרת שתראה בתחילה מסובכת הרבה יותר אבל ברגע שנבין אותה היא תהיה כל כך פשוטה, כך שאפילו שימפנזה יוכל לפתור כל מעגל, מסובך ככל שיהיה. חשוב מכך, השיטה לפעמים לא תהיה הכי נוחה לפתרון עבור אדם, אך היא מותאמת בצורה מושלמת לפתרון על ידי מחשב.

נזכר שבמסלול סגור סה"כ עליות ונפילות המתח צריכות להסתכם לאפס. נבחר שני מסלולים סגורים כאלה (מתוך שלושה אפשריים) ונכתוב עבור כל אחד משוואה (ראו איור 2). ספק המתח מעלה את המתח (מעלה את המים) ונגד מוריד אותו (מפיל את המים).

כעת נשתמש בסוג של טריק ונגדיר משתני עזר לבעיה. נגדיר זרם בכל חוג (I₁ ו-I₂ באיור 2). הזרמים האלה אינם אמיתיים כי הרי ברור שהזרם שונה בענפים שונים עקב פיצול בנקודת הצומת. אבל אנחנו נגדיר אותם כך בכל זאת.

נשתמש בחוק אוהם כדי להמיר את המתחים במשוואה לזרמים והתנגדויות. נשים לב שדרך נגד R₂ עוברים שני הזרמים I₁ ו-I₂, ובכיוונים שונים ולכן ההשפעה של I₂ על R₂ היא של עליית מתח ולא נפילה.

נלוש מעט את המשוואות ונסדר אותן בצורה יותר נוחה:

הגענו לסט של שתי משוואות בשני נעלמים (הזרמים). ברשימה הקודמת ראינו איך לפתור את הבעיה בעזרת מטריצות. ראשית נרשום את המשוואות בצורה מטריצית:

*[הערת שוליים: מי שלא מתעניין במתמטיקה או בפתרון יכול לדלג בנקודה זאת ישירות לחלק הבא. היו סמוכים ובטוחים שהשיטה תניב פתרון נכון].*

נשתמש במטריצה ההופכית כדי למצוא את הפתרון:

R^-1 היא המטריצה ההופכית של המטריצה R. ברשימה הקודמת הגדרנו מטריצה הופכית וראינו איך לחשב אותה. התשובה היא:

נשתמש בחוקי הכפל של מטריצות כדי להגיע לפתרון עבור הזרם שמעניין אותנו:

תם ונשלם. זרם החוג I₂ הוא אולי לא זרם אמיתי אבל על R₃ הוא בדיוק הזרם שאנחנו מחפשים. אם היינו מחפשים את הזרם על הנגד R₂ היינו פשוט מחשבים לפי I₁-I₂.

***

אז מדוע הטרחתי אתכם עם הדרך הארוכה והמסובכת הזאת? אדגיש שוב שישנן דרכים פשוטות הרבה יותר לפתרון המעגל שמופיע באיור 2.

ברשותכם נחפור מעט לתוך המשוואה הראשונית בצורתה המטריצית. התבוננו במשוואה, האם אתם מבחינים בחוקיות כלשהי?

איברי האלכסון הראשי של מטריצה R הם סך כל ההתנגדויות על כל חוג. האיברים מחוץ לאלכסון הם ההתנגדויות המשותפות לשני החוגים בסימן מינוס (כל עוד זרמי החוגים בכיוונים הפוכים). כל איבר במטריצת המתחים הוא סך כל מקורות המתח בחוג הרלוונטי.

למעשה יכולנו לכתוב את המטריצה לפי החוקיות הזאת באופן אוטומטי ללא צורך בכתיבת משוואות. החוקיות נשמרת גם אם נזדקק למספר גדול יותר של חוגים ולמטריצות מסדר גבוה יותר.

שיטה זאת נקראת 'זרמי חוגים' (Mesh current) ובאמצעותה ניתן לפתור כל מעגל מהצורה שהצגתי כאן בלי לבצע שום ניתוח ולמעשה ללא צורך להפעיל את המוח, גם במקרה של מעגלים סבוכים שבהם מספר רב של נגדים ומקורות מתח. ניסחנו אלגוריתם שמוביל למטריצה ולחישוב שאותו מבצע המחשב. אנחנו יכולים לנוח!

כעת, בזמן שהמחשב מחשב עבורנו, יש לנו זמן ללכת לעבוד (אולי בתכנון מעגלים חשמליים), להרוויח מלא כסף, וללכת לקנות איתו במכולת.

מסקנה: עם מטריצות אפשר לקנות במכולת.

מ.ש.ל