ארכיון

Posts Tagged ‘מתמטיקה’

תסריט מאויר – לוגיקומיקס, יומן קריאה

סטודנטים שלמדו באוניברסיטה מקצועות ריאליים אולי חוו במהלך הלימודים איזשהו רמז למתח בין מתמטיקאים לפיזיקאים.

להבנתי, ובהכללה כמובן, פיזיקאים לוקחים את המתמטיקה די בקלות. עבורם זהו כלי יעיל להפליא שבעזרתו ניתן לתאר את העולם הפיזיקלי, זה האמיתי שמסביבנו. ואם צריך לעגל כמה פינות בשביל זה, למשל לחלק או להכפיל בדיפרנציאל או לשחק קצת באינסוףים, אז למה לא? כל עוד זה עובד, כלומר מנפק תוצאות בעלות משמעות.

המתמטיקאים, לעומת זאת, לא לוקחים את המתמטיקה בקלות בכלל. בטח לא כשמתחילים לשחק להם בדיפרציאלים באינסוףים בצורה לא אחראית. יש לכך סיבה היסטורית, לדעתי. בתחילת המאה ה-20 הדיפרנציאל והאינסוף איימו להחריב את יסודות המתמטיקה. משהו שקשור לרעיונות של קנטור על אינסוףים שונים ולכך שהדיפרנציאל לא היה מוגדר היטב, אבל אל תתפסו אותי במילה בעניין זה.

להגנתה של המתמטיקה ניצבו דייוויד הילברט עם גישתו הפורמליסטית וברטראנד ראסל שניסה (יחד עם א.נ. ווייטהד שותפו לפרויקט) להעמיד מחדש את המתמטיקה על בסיס הלוגיקה (לא הראשונים שניסו זאת).

הם נכשלו. וכאשר קורט גדל פרסם את משפטי האי-שלמות שלו הוא חרץ את גורלה של תוכנית זו. יעברו עוד כ-20 אולי 30 שנים עד שבסיסה של המתמטיקה יתייצב שוב, עקב בצד אגודל.

אם אתם מעוניינים לקרוא עוד על נושא זה, אבל עם יותר פרטים ובלי הדרמטיזציה המעושה, אפשר להתחיל מעמוד הויקיפדיה הזה: "Foundations of mathematics".

אם, לעומת זאת, דווקא הדרמטיזציה היא זאת שמעניינת אתכם ופחות הפרטים ההיסטוריים או הטכניים, והייתם מעוניינים לצפות בסוג של סרט על הנושא, בסגנון "נפלאות התבונה" למשל, אולי תמצאו עניין בספר הקומיקס "לוגיקומיקס".

***

עטיפת העותק שלי

הספר לוגיקומיקס נכתב על ידי אפוסטולוס דוקסיאדיס (למד מתמטיקה ועסק בקולנוע, תיאטרון וספרות) וכריסטוס פאפאדימיטריו (פרופסור למדעי המחשב בברקלי). הכותבים בוחרים להציג את הרעיון הפילוסופי של השבר בבסיס המתמטיקה והחיפוש אחרי הפתרון דרך דמותו המאויירת של ברטראנד ראסל, מתמטיקאי, לוגיקן ופילוסוף, בצמתים שנבחרו בקפידה מחייו. כבכל סרט המבוסס על סיפור אמיתי, לא מעט פרטים בספר שונו למטרות כתיבת תסריט הדוק.

ישנם עוד שני קווים שרצים לאורך העלילה, מלבד זה הראשי. הראשון הוא הקשר בין הגאונות, עיסוק בלוגיקה ושיגעון. ברטראנד הילד נחשף לשיגעון, וממשיך ופוגש אותו בנקודות שונות בחייו. הקו השני הוא סיפור מסגרת שבו כותבי הספר ומאייריו דנים בנושאים שעולים בו, באיך לכתוב אותו ובהתמודדות עם ביקורות שיעלו לצורת הצגת הסיפור.

הספר, לדעתי, צולח את מבחן הסרט. הקריאה קולחת, מעניינת ומהנה, ומספקת חוויה אינטיליגנטית ודרמטית במידה סבירה על נושא לא שגרתי. כולל לא מעט ניים-דרופינג שגורם למי שמתעניין, ללכת ולחפש את השמות מאוחר יותר (יש נספח בסוף הספר ויש כמובן מקורות חיצוניים רבים). שווה כרטיס לקולנוע. אך זה אינו סרט אלא ספר, והוא מוצג לעתים כעוסק במדע פופולרי, ועל כך יש לתת את הדעת.

למי שנרתע ממתמטיקה אין מה לחשוש, כי אין פה. כאמור, מאוד דומה לסרט 'נפלאות התבונה'. מאוד דומה גם בעובדה שהספר לא מספיק מפורט כדי להיחשב לספר היסטוריה, פלוסופיה, ביוגרפיה או מדע פופולרי. ככל הנראה זאת גם אינה הכוונה, למרות המיקום שלו בחנות הספרים.

למדתי דברים חדשים על ראסל מהספר, ובעיקר על קשריו עם לודוויג וויטגנשטיין, אבל נאלצתי בעיקר להשלים ממקורות אחרים. כאמור, זה אינו ספר היסטוריה ומופיעות בו לא מעט סצנות שלא היו ולא נבראו, לפעמים אפילו כאלו שמבחינת זמנים לא יכלו להתקיים כלל (הכותבים מזהירים על כך באופן גלוי).

באופן אישי, מאוד לא אהבתי את המסגור של הסיפור. אני לא אוהב את הקו הנמתח בין גאונות, לוגיקה ושיגעון. אני די בטוח שסטטיסטית זה קשקוש שמופיע רק ממניעים דרמטיים. גישה זאת מזכירה לי את הסרט "איש הגשם" עם דסטין הופמן וטום קרוז שהיה אחד מהגורמים לכך שאנשים חושבים שלאנשים הלוקים באוטיזם חייב להיום כוח-על כלשהו.

עוד דבר שלא אהבתי בעניין המסגור של הסיפור הוא המטא-סיפור. כנראה עניין של העדפה אישית. אני מאוד לא אוהב שבמהלך סיפור עלילה הסופר פונה ישירות אל הקורא. לטעמי זה קב מיותר (קצת כמו וו‏ֹיְיס-אוֹבר בסרטים). גרוע מכך, חלק גדול מהבעיות שבהן אני דן כאן, מועלות באופן ישיר על ידי הכותבים בעלילת המסגרת הזאת. על כך אין מחילה.

וקטנה לפני סיום: ראסל היה אדם רב פעלים, גם בתחומים מקצועיים רבים ומגוונים בהם עסק וגם בתחום האישי. נשים צצות ונעלמות, באות ומתחלפות, תוך כדי הסיפור, מבלי להתעכב על כך יותר מידי. רגע אחד הן אלמנט חשוב בעלילה ורגע אחר הן נעלמות, ואולי אף מתחלפות באישה אחרת (ראסל היה נשוי מספר פעמים).

***

לסיכום, אם אהבתם סרטים בסגנון 'נפלאות התבונה' ו\או אתם נהנים מקומיקס, אין סיבה שלא תהנו לקרוא את הספר. גם אני נהנתי, למרות כל התלונות. רק הייתי צריך לצלוח חוסר הבנה ראשוני מה אופיו של הספר, מה מטרתו ולמי הוא מיועד.

מודעות פרסומת

אקלקטי, נטול הקשר אבל מעניין – איקסטאזה! יומן קריאה

אפתח הפעם בחידה מוכרת.

ההסתברות שאדם בקבוצת סיכון נמוך למחלה מסוימת חולה בה היא 0.8 אחוז. עבור אדם החולה במחלה, ישנה הסתברות של 90 אחוז שתתקבל תשובה חיובית בבדיקה. עבור אדם שאינו חולה, ישנה הסתברות של 7 אחוזים שתתקבל תשובה חיובית בבדיקה למרות שאינו חולה.

מה ההסתברות שאדם, כפי שמתואר, שקיבל תשובה חיובית בבדיקה, אכן חולה במחלה?

כדי לפשט, ענו לעצמכם: סיכוי גבוה, בינוני או נמוך?

.

.

.

למי שאינו מכיר את החידה, ארמוז שהתשובה הנכונה היא נמוך. מאוד. האם תוכלו לחשוב מדוע מבלי לחשב?

.

.

.

הסוד טמון בכך שמספר האנשים החולים מתוך האוכלוסיה נמוך, והסיכוי לאבחן אותם גבוה. מצד שני, למרות שהסיכוי לאבחון שגוי באדם בריא הוא נמוך, מספר האנשים הבריאים הוא גבוה ולכן מספר האבחונים השגויים יהיה גבוה בהרבה ממספר האבחונים הנכונים.

מסתבר שרוב האנשים מתקשים מאוד להעריך את התשובה הנכונה לחידה זאת ובנוסף גם מתקשים לפתור אותה במדויק.

נסו כעת לפתור אותה במדויק.

.

.

.

אם לקחתם קורס בהסתברות אולי ניסיתם לפתור לפי הסתברויות מותנות. קשה.

יש דרך הרבה יותר פשוטה, שמתאימה יותר לדרך החשיבה האנושית. נתרגם את הבעיה למונחי שכיחויות טבעיות. כלומר:

נניח שיש מדגם של 1000 אנשים. אם כך, 8 מהם חולים (0.8 אחוז) ומתוכם 7 יאובחנו נכון (90 אחוז). לעומת זאת, מספר האנשים הבריאים בקבוצה הוא 992 (99.2 אחוז) ו-70 מהם (7 אחוז) יאובחנו בטעות כחולים. 7 אנשים שבאמת חולים מתוך 77 שקיבלו אבחנה חיובית זה בערך 9 אחוזים, שזאת ההסתברות שאדם שקיבל תשובה חיובית באמת חולה.

החידה כאמור אינה חדשה, אך ברעיון של שימוש בשכיחויות טבעיות נתקלתי בקריאה בספר 'איקסטאזה' מאת סטיבן סטרוגץ, שיצא בשנה שעברה בספרי עליית הגג, בידיעות ספרים.

סטרוגץ מיטיב גם להצביע על כך שזאת לא סתם חידה תלושה, אלא מקרים מהחיים שבהם אנחנו עלולים להיתקל, או גרוע מכך, הרופאים שלנו עלולים להיתקל.

***

סטיבן סטרוגץ הוא פרופסור למתמטיקה שימושית באוניברסיטת קורנל בארה"ב. הוא ידוע גם כאחד מהמומחים הנדירים האלה שמוכן להסביר מתמטיקה בכלי התקשורת, ועושה זאת בהצלחה ובכישרון רב.

בסוף ינואר 2010 החל לפרסם סטרוגץ טור על מתמטיקה באתר הניו-יורק טיימס, למשך 15 שבועות. המאמרים ההם והמחשבה מאחורי הסדרה הם שהובילו לפרסום הספר: "The joy of X" ולתרגומו לעברית בשנה שעברה (2017) כ-"איקסטאזה!"

תמונת העותק שלי של הספר.

הספר הוא אסופה של רשימות בנושאים אקלקטיים למדי במתמטיקה. הרשימות מויינו לשישה שערים שונים: מספרים, יחסים, צורות, שינוי, נתונים ואזורי הספר.

הרשימות הן קצרות, מותאמות לאורך של טור בעיתון, ויש בהן כוונה ברורה לפנות לקהל רחב, כלומר קהל שלא למד מתמטיקה, או שלמד אבל לא ממש זוכר. יש ניסיון מאוד בולט לחבר את התוכן לדברים של יום-יום או לרעיונות מתוך התרבות הפופולרית, לפעמים בהצלחה יתרה ולפעמים בצורה מאולצת. למשל, הניסיון להסביר נגזרת דרך הטבעה של מייקל ג'ורדן היא מאולצת ולא עוזרת בדבר. להבדיל, הרעיון של העלאת הדיון על תורת החבורות דרך ההמלצה להפוך מזרן כל כמה חודשים והצורות השונות בהן ניתן להפוך אותו, הוא לא פחות מגאוני, לטעמי. בנוסף, יש ניסיון ניכר לא להכביד על הקורא במתמטיקה עצמה, וזה כמובן בא על חשבון העמקה.

חשוב לציין לזכותו של הספר שהוא קריא מאוד ומלא בכל טוב. מצאתי את עצמי משתף אחרים במספר רב של אנקדוטות מתוך הספר. למשל הוכחה ויזואלית יפה לפיתוח הנוסחה לחישוב שטח מעגל והוכחת קשרים אריתמטיים דרך איורים של קבוצות אבנים מסודרות (בנוסף לשאלות שכבר הוזכרו). מצד שני, אני לא בטוח עד כמה ההסבר לתופעת גיבס דרך סכומי טורים, שהיה מאיר עיניים עבורי, יהיה ברור למי שלא למד את התופעה באופן מקצועי.

אני לא חושב שניתן ללמוד מתמטיקה מהספר, אבל אני לא חושב שזאת היתה המטרה. אני מניח שמטרה אחת היתה לשכנע אנשים שהמתמטיקה מופיעה בחייהם במקומות לא צפויים גם אם לא משתמשים בה לשלם במכולת. מטרה נוספת, לדעתי, היתה לגרום לקהל להרגיש טוב, כאילו למד חתיכת מתמטיקה במחיר קוגנטיבי נמוך למדי.

הביקורות העיקריות שלי על הספר הן שלמרות הסידור לפי שערים, הרשימות אינן קשורות אחת לשנייה כלל, והן נטולות הקשר לחלוטין. מפאת אורכן הקצר הן אף פעם לא מביאות לכדי מיצוי, אלא מהוות נגיעה קלה, ליטוף, והסיום שלהן תמיד מרגיש פתאומי ושרירותי. אין זה צריך להפתיע, מכיוון שזה בד"כ מה שקורה בספרים שהם אסופות של מאמרים. אין באמת נראטיב לספר, למרות שיש ניסיון לתרץ אחד כזה על העטיפה ובמבוא. הדבר מגיע לכדי אבסורד בפרק על טופולוגיה שבו מפנה הכותב לסרטונים ביוטיוב ומתנצל שההסבר שלו חוטא לסרטון. הכי בלוג-פוסט שיש.

והצקה אחרונה: אני לא אוהב את שם הספר בתרגום העברי, למרות שברשת התרגום זכה לדעות חיוביות, אולי בגלל החידוד. השם המקורי באנגלית מכיל את המילה Joy , כלומר אושר או שמחה. שם עדין. השם בעברית מכוון לאקסטאזה, אובדן שליטה ומודעות, קצף בפה. הכל חוץ מעדין.

***

לסיכום, הספר מכיל סדרה של רשימות קצרות, ולא מאוד מעמיקות, על מתמטיקה בנושאים שונים וללא נראטיב שמחבר ביניהן. הרשימות כתובות בשפה בהירה וקריאה ומנסות לחבר את המתמטיקה לחיי היום-יום, לפעמים בהצלחה ולפעמים פחות. הרשימות המוצלחות יותר הן מופת לאיך לחבר קהל רחב לנושא כבד כמו מתמטיקה דרך דברים מוכרים לכל אחד.

:קטגוריותכללי תגיות: , , ,

הדרך הלא נכונה לתכנן מסיבה מוצלחת – כמה מילים על אלגברה בוליאנית

ד'ארטאניאן עורך מסיבה ומזמין אליה את שלושת חבריו: אתוס, פורתוס ואראמיס. הוא לא בטוח מי משלושתם יוכל להגיע והצלחת המסיבה חשובה לו מאוד. הוא מסביר למשרתו: "מהיכרות ארוכת שנים עם חבריי וניסיוני הרב בעריכת מסיבות אני יודע שכדי שהמסיבה תתרומם מוכרחים להתקיים שני תנאים. האחד, או פורתוס או אראמיס חייבים להיות שם. השני, או אתוס או פורתוס חייבים להיות שם".

משרתו חושב מספר שניות ועונה: "אתה מתכוון בעצם שכדי שהמסיבה תרים את הגג או שפורתוס חייב להיות שם או שגם אתוס וגם אראמיס חייבים להיות שם?"

ד'ארטאניאן מהרהר בעניין ועונה: "כן, ודאי, זה הרי ברור מהגרסה הראשונה של חוק הדיסטריביוטיביות של האלגברה הבוליאנית".

המשרת מגרד בפדחתו, נאנח ועונה: "כן אדוני. שאני אגיש את היין?"

"כן, מוטב שכך". עונה ד'ארטאניאן.

Dartagnan-musketeers
ארבעת המוסקיטרים. איור מתוך מהדורה של 'שלושת המוסקיטרים' שפורסמה ב-1894. המקור: ויקיפדיה.

***

בואו ונדמיין עולם של אמירות שמיוצגות על ידי משתנים. לדוגמה:

האמירה "פורתוס יגיע למסיבה" תסומן על ידי המשתנה A.

אם פורתוס לא יגיע למסיבה האמירה שקרית וערכו של המשתנה A יסומן כ-'שקר', 'false' או פשוט במספר אפס. אם פורתוס אכן יגיע למסיבה האמירה נכונה ולכן ערכו של המשתנה A יסומן כ-'אמת', 'true' או פשוט במספר אחד.

כל משתנה בעולם המוזר הזה יכול לקבל אחד משני ערכים, אפס או אחד, בהתאם להיותו מייצג אמירה שמתקיימת או שאינה מתקיימת.

נסמן את האמירה "אתוס יגיע למסיבה" על ידי המשתנה B, ואת האמירה "אראמיס יגיע למסיבה" במשתנה C.

האם האמירה "המסיבה הצליחה" אמיתית או שקרית? האם נוכל לייצג אותה בעולמנו ולבדוק?

***

ישנן שתי פעולות בלבד שניתן לבצע בין משתנים בעולמנו החדש. האחת פעולת 'וגם' והשניה פעולת 'או'. לדוגמה: "או שפורתוס יגיע למסיבה או שאתוס יגיע למסיבה". האמירה האחרונה למעשה מייצגת פעולת 'או' בין המשתנים A ו-B. כדי שהאמירה המורכבת תהיה נכונה מספיק ש-A יהיה נכון או ש-B יהיה נכון.

בדומה האמירה "גם פורתוס וגם אתוס יגיעו למסיבה" מייצג פעולת 'וגם' בין המשתנים A ו-B. כדי שהאמירה המורכבת תהיה נכונה גם A צריך להיות נכון וגם B צריך להיות נכון.

נסמן את פעולת 'או' בסימן '+' (כמו חיבור במתמטיקה) ואת פעולת 'וגם' בסימן '·' (כמו כפל). כלומר שהרישום A·B משמעו "גם פורתוס וגם אתוס יגיעו למסיבה" והרישום A+B משמעו "או פורתוס או אתוס יגיעו למסיבה".

כעת נוכל לתרגם את אמירתו המורכבת של ד'ארטאניאן לגבי התנאים להצלחת המסיבה: "או פורתוס או אתוס יגיעו למסיבה" וגם "או אראמיס או פורתוס יגיעו למסיבה". נכתוב באמצעות המשתנים: (A+B)·(A+C).

לעומתו טוען המשרת: "או שפורתוס יגיע או שאראמיס וגם אתוס יגיעו". ובמשתנים: (A+(B·C.

האם שתי האמירות מתקיימות או שאינן מתקיימות תחת אותם תנאים? במילים אחרות האם מתקיים:

(A+B)·(A+C)= A+(B·C)

***

לפני שנענה על השאלה, האם הבחנתם שהגדרנו אלגברה מסוג חדש? יש משתנים, ערכים שהם יכולים לקבל והגדרה לפעולות האפשריות ביניהם. שמה של האלגברה היא 'אלגברה בוליאנית' על שמו של ג'ורג' בול, מתמטיקאי, פילוסוף ולוגיקן מהמאה ה-19 שהגה אותה לראשונה בספר שפרסם ב-1854. כמו כן, הוא הופיע בגוגל-דודל לא מזמן. כבוד!

נשים לב שתחת חוקי האלגברה הזאת כל פעולת 'וגם' עם אמירה שקרית תוצאתה אמירה שקרית, כי עבור תוצאת אמת חייבים ששתי האמירות יתקיימו ואחת כבר שקרית. כמו כן, כל פעולת 'או' עם אמירה נכונה תוצאתה אמירה נכונה, כי עבור תוצאת אמת מספיק שאחת תהיה נכונה ואחת כבר נכונה. ובכתב אלגברי:

A·0=0

A+1=1

חישבו לבד מדוע גם ההיגדים הבאים נכונים תמיד:

A·1=A

A+0=A

כעת אנחנו מוכנים לבדוק מדוע החוק שאותו כינה ד'ארטאניאן "חוק הדיסטריביוטיביות הראשון" נכון.

ניצור טבלה של כל התרחישים האפשריים עבור האמירות B, A ו-C. מספר האפשריות הוא 2 בחזקת מספר המשתנים:

Picture1

תרחיש 1 הוא שאף אחד משלושת החברים לא מגיע. תרחיש 8 הוא שכולם מגיעים וכך הלאה.

כעת נוסיף לטבלה טור חדש עבור B וגם C. נמלא אותה לפי החוקים שלמדנו שאותם נפעיל בין הטורים של B ו-C המסומנים בצהוב.

Picture2

נוסיף טור נוסף עבור A או (B וגם C). נעקוב אחרי הטורים הצהובים:

Picture3

נעשה את אותם רצף של פעולות כדי למצוא את הטור עבור (A+B)·(A+C):

Picture4

קיבלנו תשובות לשתי השאלות שלנו בו זמנית. קודם כל ניתן להבחין בקלות ששני הטורים המייצגים את האמרות של ד'ארטאניאן ומשרתו זהות מבחינה ערכים ולכן ברור שהן זהות מבחינה לוגית.

כמו כן, כעת אנחנו יודעים בדיוק באלו מקרים תצליח המסיבה ובאלו מקרים לא. תרחישים 4 עד 8 מייצגים חמש אפשריות להצלחת המסיבה. ארבע מתוכן הן אלה שבהן פורתוס מגיע למסיבה והחמישית היא זאת שבה למרות שפורתוס לא הגיע, אתוס ואראמיס הגיעו יחדיו.

***

אז למה זה טוב?

למיטב ידיעתי, ואני לא מומחה בנושא, אלגברה בוליאנית שימושית לשני דברים עיקריים: לוגיקה ואלקטרוניקה דיגיטלית.

בלוגיקה אני לא מבין כלום, אבל דעו כי אלקטרוניקה דיגיטלית חוללה מהפך בעולמינו, וכל מעגל שכזה מתחיל מתרגיל באלגברה בוליאנית שהרי אות דיגיטלי הוא או גבוה או נמוך, או אפס או אחד.

אדגים זאת מתישהו ברשימה נפרדת.

העולם דרך עיניהם של מהנדסי חשמל (מטריצות, פרק הסיום) – על ייצוג במרחב המצב

זהו. הגיע רגע האמת.

הרשימה הזאת היא למעשה הסיבה שבגינה התחלתי לכתוב על מטריצות.

הרשימה הבאה, כמו זאת שקדמה לה, עוסקת בטכניקה מתמטית ולכן דוברת מתמטיקה. הפעם התרתי כל רסן בעניין. ראו הוזהרתם!

זהירות מתמטיקה

***

ברשימה הקודמת הצגתי את בעיית האוסילטור ההרמוני, התנודה המחזורית הבסיסית, והראיתי כיצד ניתן לפרק את המשוואה שמתארת אותה, משוואה דיפרנציאלית מסדר שני, לשתי משוואות מסדר ראשון. את שתי המשוואות ניתן לארוז בתוך מטריצה ולתת למחשב לפתור. כלומר נוכל למצוא באמצעות המחשב את המקום ואת המהירות של הגוף בכל רגע.
[הערת שוליים: זאת לא הדרך היחידה, ואולי אפילו לא היעילה ביותר לפתור את הבעיה באמצעות מחשב, אבל זה פחות מעניין אותי כרגע מכיוון שאני אני חותר למקום אחר.]

בעיית האוסילטור ההרמוני יכולה לייצג תנודה של מטוטלת, תנודה של גוף מחובר לקפיץ, תנועה של נדנדה, מעגלי תהודה בחשמל ועוד.

בואו נתעכב לרגע על הנדנדה. ילדה יושבת על כיסא הנדנדה ובכל פעם שהיא מתקרבת לאבא הוא נותן לה דחיפה קלה. הפעולה הזאת של הדחיפה אינה מתוארת במשוואות שעסקתי בהן פעם קודמת. כל הכוחות שפעלו על הגוף היו כוחות שקשורים למשתנים הבסיסיים של המערכת (מקום ומהירות הגוף). דחיפותיו של האב מהוות מקור כוח חיצוני שמופעל על הגוף ואינו תלוי במערכת עצמה.

עבור בעיות אלה (בעגה: אוסילטור מאולץ) נקבל משוואה אחרת שיש בה איבר מסוג חדש שנקרא לו איבר מקור.

הנה המשוואה המקורית:

Picture1

L הוא המרחק של הגוף מנקודת שיווי משקל, L עם שתי נקודות מעליו מסמל נגזרת שניה בזמן של המרחק מנקודת שיווי משקל.

והנה המשוואה המעודכנת:

Picture2

F הכוח החיצוני המופעל על הגוף.

הפתרון, אם כך, יהיה תלוי גם בתכונות הבעיה המקורית (בעגה: הבעיה ההומוגנית) וגם בתכונות הכוח החיצוני.

אחד הדברים החדשים והמעניינים שמופיעים במערכות כאלה הוא תופעת התהודה. הפתרון של המערכת תלוי בתדירות הכוח המנדנד. אם האב מתאם את הרגעים שבהם הוא דוחף את הילדה לתדירות מאוד מסוימת, הגובה שתגיע אליו הילדה יגדל מאוד אפילו ללא הגברת כוח הדחיפה. כלומר, ישנם תדרי נדנוד שבהם המערכת, במובן מסוים, יוצאת מכלל שליטה. בתדרים נמוכים וגבוהים מתדרי התהודה פעולת הדחיפה משפיעה באופן מתון או אפילו מפריעה לתנועה. לעומת זאת, בתדר התהודה המערכת משתוללת והילדה עפה מהנדנדה, לא עלינו. ניתן לחשב את תדרי התהודה על ידי פתרון מתמטי של המערכת או לגלות אותם על ידי מדידה.

אבל,

ברשימה זאת אני לא רוצה לעסוק בפתרון המערכת הספציפית הזאת אלא דווקא בדרכים מיוחדות לייצג משפחה שלמה של בעיות דומות. מה שמקשר בין הבעיות הוא שהן מתארות מערכת שלתוכה מוזן אות כניסה (למשל הכוח החיצוני שמופעל על הגוף) ונמדד אות יציאה (למשל מיקום הגוף בכל רגע ביחס לנקודת שיווי משקל).

ככה מהנדסי חשמל רואים את העולם.

***

בואו ונניח שניתן לתאר את המערכת על ידי שתי המשוואות הבאות:

Picture3

x הוא וקטור משתני המצב, u המקור, כלומר הכוח החיצוני, x עם נקודה למעלה מסמל נגזרת אחת בזמן של וקטור משתני המצב. y מסמל את אות היציאה של המערכת, למשל באוסילטור את המרחק מנקודת שיווי המשקל בכל רגע. A,B,C,D הם קבועים שאינם תלויים בזמן (בעגה מערכת כזאת נקראת LTI, כלומר linear-time-invariant).

המשוואה העליונה מתארת את הפיזיקה של משתני המצב שבחרנו. למשל במקרה של אוסילטור הרמוני הראיתי בסוף הרשימה הקודמת שמשתני העזר שנבחרו היו המקום והמהירות של הגוף. זה לא מקרי שמשתני המצב הם נגזרות אחד של השני.

המשוואה התחתונה מגדירה את אות היציאה שהחלטנו למדוד.

כעת בואו ונראה כיצד ניתן לתרגם למשל את בעיית האוסילטור לתוך הפורמולציה הזאת.

נרשום שוב את המשוואה כולל איבר המקור:

Picture4

סימנתי את איבר המקור F באות u מטעמי נוחות והרגל.

משתני העזר שלי הם:

Picture5

לכן שתי המשוואות שמייצגות אותן הן:

Picture6

נסגור את שתי המשוואות בכתב מטריצי:

Picture7

נניח שאות היציאה שמעניין אותנו הוא מרחק הגוף מנקודת שיווי משקל בכל רגע. אם כך אנחנו מעוניינים רק באיבר הראשון בווקטור המצב. נתרגם לכתב מטריצי:

Picture8

ולכן המערכת מתוארת על ידי:

Picture9

כעת כל המידע על אופייה של המערכת גלום במקדמים שלה A,B,C,D שהם וקטורים ומטריצות. אני אנסה להסביר מדוע דרך דוגמה.

***

התמרת פורייה היא אופרציה מתמטית שמפרקת פונקציה לרכיבי התדר הבסיסיים שמרכיבים אותה. לדוגמה, צג האקולייזר במערכת הסטריאו שלכם מראה בכל רגע מה העוצמה של כל צליל שצריך לחבר כדי לקבל את המוזיקה שאתם שומעים. אם יש למשל הרבה בס אז עוצמת התדרים הנמוכים תהיה גבוהה. הסברתי בעבר על הנושא ברשימה על מוזיקה מרובעת.

אחת התכונות המוזרות של התמרת פורייה היא שאם מפעילים אותה על משתנה תחת נגזרת מקבלים את המשתנה ללא נגזרת כפול קבוע הקשור לתדר. כלומר ניתן להפעיל את ההתמרה על משוואה דיפרנציאלית, להפוך אותה לאלגברית, לפתור אותה בקלות, ואז לנסות להמיר חזרה לתחום הזמן (שזה לא ממש קל). כל עוד המשתנים תחת ההתמרה אנחנו נקרא להם הייצוג בתחום התדר, כי הפונקציות הופכות הרי לפירוק התדרים ולכן הן פונקציות של התדר ולא של הזמן.

בטיפול במערכות אלה נהוג להשתמש בהתמרה שנקראת 'התמרת לפלאס' במקום בהתמרת פורייה. קצרה היריעה מלעמוד על ההבדלים ביניהן, אבל לענייננו זה לא ישנה דבר.

נפעיל את התמרת לפלאס על הייצוג הכללי של מערכת המצב:

Picture10

נרשום את כל המשתנים באות גדולה כדי לסמן שהם כעת פונקציות של התדר ולא של הזמן. הקבוע s הוא הקבוע שיצא מהנגזרת והוא תלוי בתדר.

קיבלנו שתי משוואות אלגבריות, כאשר אנחנו זוכרים שהמקדמים A,B,C,D הם מטריצות. נבודד את X מתוך המשוואה הראשונה באמצעות אלגברה של מטריצות ונציב אותו במשוואה השניה:

Picture11

I היא מטריצת היחידה.

קיבלנו ביטוי בתחום התדר עבור מוצא המערכת Y בהינתן המקור U. אם נחלק ביניהם נקבל ביטוי שנקרא פונקצית התמסורת (transfer function) של המערכת, כלומר מה יוצא ביחס למה שנכנס, הכל כתלות בתדר הנדנוד.

בואו ונתרגם את התוצאה למקרה של אוסילטור הרמוני פשוט ללא חיכוך על ידי הצבת המקדמים הרלוונטיים שקיבלנו קודם:

Picture12

ניתן לראות שקיבלנו במכנה פולינום עבור המשתנה s. נזכר שזה בדיוק הפולינום האופייני של המערכת ששורשיו מכתיבים את התנהגות המערכת כפי שראינו ברשימה הקודמת. אלה נקראים הקטבים של המערכת והם קובעים את התנהגותה. קיבלנו אותם מתוך המטריצה A (בעגה: מצאנו את הערכים העצמיים שלה). למעשה מרגע שניסחנו את הייצוג, יכולנו לגלות חלק חשוב מהתנהגות המערכת מתוך ניתוח המטריצה עצמה, ללא פתרון מלא שלה. למשל, אם אחד מקטבי המערכת ממשי וחיובי אז הפתרון בזמן יהיה תלוי בפונקציה אקספוננציאלית מתפוצצת ולכן המערכת אינה יציבה בזמן.

ישנן עוד תכונות רבות וחשובות שניתן לראות ישירות מתוך הייצוג, ללא פתרון מלא בזמן. ברגע שיש לנו את המקדמים A,B,C,D המערכת הפיזיקלית חשופה בפנינו. חשופה גם לאפיון אך גם לשליטה. למשל את בעיית היציבות שהזכרתי ניתן לתקן על ידי חיבור משוב במערכת, כלומר חיבור אות היציאה לתוך הכניסה, שישנה את הקטבים של המערכת. כמה הגבר יש לקבוע עבור אות המשוב כדי לייצב את המערכת? קל לקבוע בחישוב מתוך הייצוג.

***

ייצוג בעיות פיזיקליות כמערכת של כניסות ויציאות הוא כלי חזק של תכנון ושליטה בידי המהנדס. הוא נקרא 'ייצוג במרחב המצב' (state space representation) והוא חלק חשוב מתוך תורת הבקרה. כל החישוב האמיתי נעשה על גבי המחשב, לתוכו אנחנו מזינים את המטריצות שמייצגות את המערכת, ומבצעים את האפיון והתכנון של המערכת באמצעות כלים ממוחשבים מתוחכמים שנכתבו למטרות אלה.

זהו.

מטריצה אובר-אנד-אאוט.

המטריצה מכה בשלישית – אוסילטור הרמוני ופתרון מש' דיפ' מסדר שני

הרשימה הבאה היא מיוחדת.

הרבה אקדחים ששתלתי ברשימות קודמות הולכים לירות כאן. היכונו.

המטרה: הרחבה משמעותית של מספר הבעיות הפיזיקליות שניתן לפתור באמצעות מחשב בעזרתה של ידידתנו הותיקה, המטריצה.

אזהרה: הרשימה מכילה מתמטיקה.


זהירות מתמטיקה איור 1: תמרור אזהרה!

***

סיכום הפרקים הקודמים.

שחקנית מספר אחד: מטריצה.

ברשימה קודמת הצגתי את המטריצה כמבנה סדור של מספרים שניתן להכריחו לקיים חוקי חשבון פשוטים. תכונה זאת גורמת למטריצה להיות כלי שאותו קל לתכנת לתוך המחשב. הדגמתי כיצד ניתן לפתור באמצעות מטריצה מערכת משוואות ליניאריות, ובכך מתאפשר לנו לתכנת בקלות את המחשב לפתור זאת עבורנו.

ברשימה אחרת הראיתי כיצד ניתן לפתור סוג מסוים של מעגלים חשמליים על ידי תרגום הזרמים במעגל למערכת משוואות ליניאריות. המשמעות היא שנוכל לתכנת את המחשב לפתור בקלות מעגלים חשמליים.

שחקן מספר שתיים: אוסילטור הרמוני.

ברשימה קודמת הראיתי שאם נחבר גוף לקפיץ ונסיט אותו מעט מנקודת שיווי המשקל, הוא ינוע סביב נקודת שיווי המשקל בתנועה מחזורית. בקצה המסלול הכוח שמפעיל הקפיץ על הגוף הוא מקסימלי ומהירות הגוף אפס ובנקודת שיווי המשקל המהירות מקסימלית והכוח על הגוף אפס.

גוף וקפיץ איור 2: גוף קשור בקפיץ אלסטי לקיר ונע ללא חיכוך הלוך ושוב סביב נקודת שיווי המשקל.

***

אציג כאן שוב את בעיית האוסילטור, אך הפעם בצורה מתמטית מדויקת יותר.

נתחיל מהחוק שני של ניוטון שאומר שהיחס בין הכוח שמופעל על גוף לבין שינוי מהירותו (תאוצה) שווה למסת הגוף. במילים אחרות:

Picture1

a היא התאוצה, F הכוח ו-m המסה.

התאוצה היא שינוי המהירות בזמן והמהירות היא שינוי המקום בזמן. אם כך, נוכל לכתוב את התאוצה כנגזרת שניה של מקום הגוף לפי הזמן (להסבר מפורט יותר על נגזרות ברשימה קודמת). במילים אחרות:

Picture2

x הוא המקום, שתי הנקודות מעל ה-x מסמלות נגזרת שניה לפי הזמן.

חוק הוק מצביע על כך שהיחס בין הכוח שמופעל על קפיץ בתחום האלסטי לבין התארכותו ממצב רפוי שווה לקבוע המצביע על קשיחותו של הקפיץ. במילים אחרות:

Picture3

x מיקום הגוף הקשור לקפיץ, F כוח ו-k קבוע הקפיץ. המינוס מסמן שזהו כוח מחזיר, תמיד לכיוון נקודת שיווי המשקל.

כעת נאחד את שתי המשוואות לכדי אחת ונקבל:

Picture4

זאת היא משוואה דיפרנציאלית מסדר שני (ע"ש נגזרת שניה). הנעלם במשוואה הוא לא מספר אלא פונקציה שהיא המקום של הגוף בכל רגע, x כפונקציה של t. אנחנו מחפשים פונקציה שאם נגזור אותה פעמיים לפי הזמן ונוסיף לה את עצמה כפול קבוע נקבל אפס ללא תלות בזמן. הפונקציה היחידה שתקיים קשר שכזה היא פונקצית האקספוננט מכיוון שהנגזרת שלה גם היא אקספוננט זהה למקור.

אם כך, ננחש שהפתרון הוא מהצורה:

Picture5

X מקום, t זמן, r קבוע כלשהו.

מכאן ש:

Picture6

נציב את הפתרון במשוואה ונקבל את הפולינום האופייני של המשוואה. נקבל שני פתרונות עבור r שמיצגים שני פתרונות אפשריים למשוואה.

Picture7

ה-i בסוף הפתרון הוא סימן לשורש של 1-. ניתן להוכיח שהפתרון של המשוואה הוא צירוף ליניארי של שני הפתרונות האפשריים. כלומר:

Picture8

A ו-B הם קבועים שתלויים בתנאי ההתחלה של הבעיה.

את הפתרון ניתן להציג בצורה המוכרת יותר (המרה לפי זהות אוילר):

Picture9

A ו-φ הם קבועים התלויים בתנאי ההתחלה של הבעיה. ω היא תדירות התנודה של האוסילטור.

Simple_harmonic_motion_animation אנימציה 3: פתרון האוסילטור ההרמוני הפשוט. הגוף מתרחק ומתקרב לנקודת שיווי המשקל לפי פונקצית סינוס מחזורית. המקור לאנימציה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Evil_saltine.

***

מה יקרה לתנועת האוסילטור אם נרצה להתחשב בחיכוך של הגוף עם המדיום בו הוא נמצא, למשל אוויר או מים? ככל שגוף נע מהר יותר באוויר או במים כך המדיום מתנגד לתנועה חזק יותר. נוכל לבטא קשר זה על ידי הוספת כוח נוסף לכוח הקפיץ שמתכונתי למהירות. נזכר גם שמהירות היא שינוי במקום ולכן נגזרת ראשונה של המקום.

כוח החיכוך נתון על ידי:

Picture91

F כוח החיכוך, v כוח, C קבוע פרופורציה.

אם כך המשוואה היא:

Picture92

(החלפתי זמנית סימנים כדי לחסוך בפיקסלים, כמו כן עידכנתי טעויות מינוריות בסימון 31.10.15)

כיצד יראה הפתרון?

נוכל לחשוב על שני מקרים. בראשון כוח החיכוך חלש (נקרא בעגה 'ריסון חלש') כך שנצפה לראות תנודות דועכות של האוסילטור בתדירות מעט שונה מהתנודות המקוריות, עד לעצירתו (ראו איור, קו ירוק). במקרה השני כוח החיכוך כל כך חזק עד שלא נראה אפילו תנודה אחת עד לעצירת הגוף (נקרא בעגה 'ריסון חזק', באיור קו תכלת).

Oscilator solution with damping איור 4: גרף המציג את הפתרון של משוואת האוסילטור ההרמוני, כלומר המיקום כפונקציה של הזמן. הקו הכחול הוא הפתרון ללא חיכוך. הקו הירוק הוא ריסון חלש והקו התכלת הוא ריסון חזק. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש Nuno Nogueira.

נשתמש שוב בשיטת השורשים למציאת הפתרון במקרה של ריסון חלש. אציג כאן את הפתרון המתמטי ללא הסברים, אך שימו לב שאין אנו זקוקים לו בהמשך. ניתן לדלג ישירות לחלק הבא.

Picture93

למשל עבור ריסון חלש:

Picture94

ω תדירות התנודה של המערכת, A ו-φ קבועים תלויים בתנאי ההתחלה. הסינוס בביטוי דואג לתנודה והאקספוננט דואג לדעיכה בזמן של הפתרון עד לעצירה בנקודת שיווי המשקל.

***

ועכשיו לסיבה שלשמה נתכנסנו.

נזכר שהמטרה היא ללמוד כיצד לפתור בעיות מתמטיות, למשל כמו אוסילטור, באמצעות המחשב. במקום פתרון אנליטי מלא על הנייר נרצה לתת למחשב לחשב נומרית במקומנו היכן נמצא הגוף בכל רגע. ישנן לא מעט תוכנות שמסוגלות לפתור משוואות דיפרנציאליות בצורה כזאת, אך רובן לא מתאימות לפתרון משוואות מסדר שני.

נשתמש בטריק כדי 'לעבוד' על המחשב ולמכור לו משוואה מסדר שני כמשוואה מסדר ראשון. נעזר בידידתנו המטריצה.

ראשית נגדיר משתני עזר:

Picture14

מכאן ששתי המשוואות הבאות מתקיימות עבור הנגזרות בזמן של משתני העזר:

Picture15

המשוואה הראשונה פשוט מציינת את יחס הנגזרת בין שני משתני העזר כפי שהגדרנו אותם. המשוואה השניה היא תרגום של משוואת האוסילטור המרוסן במונחי משתני העזר.

כעת נוכל לרשום את שתי המשוואות יחדיו בצורת מטריצה:

Picture16

ובעצם מה שקיבלנו הוא משוואה דיפרנציאלית פשוטה מסדר ראשון עבור המשתנה Z. תוכנה (כמו למשל matlab או scilab) שיודעת להתמודד עם מטריצות ועם משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון תפתור את המשוואה ללא אגל בודד של זיעה על מצחה. בינתיים אנחנו ננוח רגל על רגל.

הפתרון של משתנה Z1 הוא מיקום הגוף בכל רגע והפתרון של Z2 הוא המהירות בכל רגע.

***

ראינו כיצד ניתן לפתור באמצעות המחשב את בעיית האוסילטור, כולל המקרה המרוסן, כאשר אנחנו עוברים להצגת הבעיה באמצעות מטריצות.

משוואת האוסלטור מתארת שורה ארוכה של בעיות מעניינות כמו מטוטלת, קפיץ ונדנדה, אך גם מעגלים חשמליים הנקראים מעגלי תהודה ומכילים קבלים נגדים וסלילים (הצגתי את הנושא ברשימה קודמת). כלומר, נוכל להשתמש בפורמולציה הזאת לפתרון של כל משוואה דיפרנציאלית מהסוג הזה, ולא רק אוסילטור.

די שימושי, לא? אבל זה רק קצה הקרחון. הפינאלה ברשימה הבאה.

אפילו שימפנזה – על פתרון מעגלים חשמליים באמצעות מטריצות

ברשימה הקודמת נתקלנו במושג 'מטריצה'. ראינו שניתן להציג מערכת משוואות ליניאריות באמצעות מטריצות ולהשתמש בתכונות המטריצה כדי למצוא את הפתרונות עבור הנעלמים. מה שלא ראינו זה איך זה עוזר לנו לשלם במכולת.

***

איור 1 הוא ייצוג סכמטי של מעגל חשמלי. ישנו מקור מתח חשמלי V, וחוטים מוליכים דרכם עובר זרם חשמלי I מהמקור לצרכן ומהצרכן למקור. הצרכן מסומן כנגד, שעליו מתקיים 'חוק אוהם', כלומר שיש יחס ישר בין המתח עליו לבין הזרם דרכו, וקבוע הפרופורציה הוא ההתנגדות החשמלית שמסומנת ב-R. הבחירה בצרכן כנגד אוהמי היא רק לשם פשטות. הצרכן יכול להיות כל מכשיר חשמלי או מעגל שתחברו לספק המתח, למשל טוסטר משולשים. את הזרם על הנגד נוכל לחשב על ידי הצבת מתח הספק וההתנגדות של הנגד לתוך חוק אוהם (I=V/R).

מעגל 1 איור 1: צרכן\נגד מחובר למקור מתח חשמלי וזרם חשמלי זורם במעגל. אם נניח נגד אוהמי נוכל להשתמש בחוק אוהם לחישוב הזרם.

חישבו על המעגל כעל מפל מים. בהדק החיובי של הספק יש מים במאגר גבוה, כלומר בחלק העליון של המפל. כוח הכובד גורם למים ליפול לגובה נמוך יותר ותוך כדי כך אנחנו יכולים להפיק מכך עבודה, למשל לסובב גלגל של תחנת קמח או טורבינה בתחנת כוח. אותו דבר קורה על הנגד שיכול להיות למשל סלילי החימום בטוסטר משולשים. נושאי המטען הגיעו לנגד באנרגיה פוטנציאלית גבוהה, ויצאו באנרגיה פוטנציאלית נמוכה, תוך יצירת חום. את המים בתחתית המפל ניתן לשאוב חזרה אל חלקו העליון. זה בדיוק מה שעושה ספק המתח מההדק השלילי לחיובי.

חשוב לשים לב שאם עוקבים אחרי מסלול סגור, גם במקרה של המים וגם במקרה החשמלי, ומחברים עליות וירידות באנרגיה צריכים לקבל סה"כ אפס מכיוון שהאנרגיה נשמרת (בעגה: כוח הכבידה והכוח החשמלי הם כוחות משמרים).

עד כאן הכל פשוט.

***

איור 2 הוא גם ייצוג סכמטי של מעגל חשמלי, אבל מאיים מעט יותר. השאלה כאן היא מהו הזרם על נגד R3. הבעיה היא שהפעם לא נוכל להשתמש בחוק אוהם כמו במעגל הקודם מכיוון שהנגד לא מחובר ישירות לספק המתח ולכן אין אנו יודעים מה המתח עליו ומה הזרם עליו. חלק מהמתח 'נפל' על נגד R1, ולכן המתח על R2 ו-R3 לא ידוע.

מעגל 2 איור 2: מעגל חשמלי עם שני חוגים. המתח על נגד R3 אינו ידוע ללא חישוב. I1 ו-I2 אינם הזרמים האמיתיים במעגל אלא זרמי החוגים שהם משתני עזר בדרך לפתרון הבעיה.

מי שלמד מעט אלקטרוניקה יודע שיש מספר שיטות פשוטות כדי לחשב את התשובה (לדוגמה חישוב התנגדות שקולה או שימוש בחוקי קירכהוף). הבעיה היא ששיטות אלה מסתבכות מאוד ככל שנסבך את המעגל וגם אינן מותאמות באופן מיטבי לפתרון באמצעות מחשב.

בכוונתי להציג שיטה אחרת שתראה בתחילה מסובכת הרבה יותר אבל ברגע שנבין אותה היא תהיה כל כך פשוטה, כך שאפילו שימפנזה יוכל לפתור כל מעגל, מסובך ככל שיהיה. חשוב מכך, השיטה לפעמים לא תהיה הכי נוחה לפתרון עבור אדם, אך היא מותאמת בצורה מושלמת לפתרון על ידי מחשב.

נזכר שבמסלול סגור סה"כ עליות ונפילות המתח צריכות להסתכם לאפס. נבחר שני מסלולים סגורים כאלה (מתוך שלושה אפשריים) ונכתוב עבור כל אחד משוואה (ראו איור 2). ספק המתח מעלה את המתח (מעלה את המים) ונגד מוריד אותו (מפיל את המים).

1

כעת נשתמש בסוג של טריק ונגדיר משתני עזר לבעיה. נגדיר זרם בכל חוג (I1 ו-I2 באיור 2). הזרמים האלה אינם אמיתיים כי הרי ברור שהזרם שונה בענפים שונים עקב פיצול בנקודת הצומת. אבל אנחנו נגדיר אותם כך בכל זאת.

נשתמש בחוק אוהם כדי להמיר את המתחים במשוואה לזרמים והתנגדויות. נשים לב שדרך נגד R2 עוברים שני הזרמים I1 ו-I2, ובכיוונים שונים ולכן ההשפעה של I2 על R2 היא של עליית מתח ולא נפילה.

2

נלוש מעט את המשוואות ונסדר אותן בצורה יותר נוחה:

3

הגענו לסט של שתי משוואות בשני נעלמים (הזרמים). ברשימה הקודמת ראינו איך לפתור את הבעיה בעזרת מטריצות. ראשית נרשום את המשוואות בצורה מטריצית:

4
*[הערת שוליים: מי שלא מתעניין במתמטיקה או בפתרון יכול לדלג בנקודה זאת ישירות לחלק הבא. היו סמוכים ובטוחים שהשיטה תניב פתרון נכון].*

נשתמש במטריצה ההופכית כדי למצוא את הפתרון:

5

R-1 היא המטריצה ההופכית של המטריצה R. ברשימה הקודמת הגדרנו מטריצה הופכית וראינו איך לחשב אותה. התשובה היא:

6

נשתמש בחוקי הכפל של מטריצות כדי להגיע לפתרון עבור הזרם שמעניין אותנו:

7

תם ונשלם. זרם החוג I2 הוא אולי לא זרם אמיתי אבל על R3 הוא בדיוק הזרם שאנחנו מחפשים. אם היינו מחפשים את הזרם על הנגד R2 היינו פשוט מחשבים לפי I1-I2.

***

אז מדוע הטרחתי אתכם עם הדרך הארוכה והמסובכת הזאת? אדגיש שוב שישנן דרכים פשוטות הרבה יותר לפתרון המעגל שמופיע באיור 2.

ברשותכם נחפור מעט לתוך המשוואה הראשונית בצורתה המטריצית. התבוננו במשוואה, האם אתם מבחינים בחוקיות כלשהי?

8

איברי האלכסון הראשי של מטריצה R הם סך כל ההתנגדויות על כל חוג. האיברים מחוץ לאלכסון הם ההתנגדויות המשותפות לשני החוגים בסימן מינוס (כל עוד זרמי החוגים בכיוונים הפוכים). כל איבר במטריצת המתחים הוא סך כל מקורות המתח בחוג הרלוונטי.

למעשה יכולנו לכתוב את המטריצה לפי החוקיות הזאת באופן אוטומטי ללא צורך בכתיבת משוואות. החוקיות נשמרת גם אם נזדקק למספר גדול יותר של חוגים ולמטריצות מסדר גבוה יותר.

שיטה זאת נקראת 'זרמי חוגים' (Mesh current) ובאמצעותה ניתן לפתור כל מעגל מהצורה שהצגתי כאן בלי לבצע שום ניתוח ולמעשה ללא צורך להפעיל את המוח, גם במקרה של מעגלים סבוכים שבהם מספר רב של נגדים ומקורות מתח. ניסחנו אלגוריתם שמוביל למטריצה ולחישוב שאותו מבצע המחשב. אנחנו יכולים לנוח!

כעת, בזמן שהמחשב מחשב עבורנו, יש לנו זמן ללכת לעבוד (אולי בתכנון מעגלים חשמליים), להרוויח מלא כסף, וללכת לקנות איתו במכולת.

מסקנה: עם מטריצות אפשר לקנות במכולת.

מ.ש.ל

שלום אני מטריצה, נעים להכיר – על מה ולמה, מבוא

המחשב הוא גולם.

ואם אנחנו רוצים שהגולם יעבוד עבורנו עלינו לתרגם את המידע לצורות שהוא מבין.

המחשב אוהב מספרים. ככל שנצליח לנסח את הבעיות שלנו באמצעות מספרים בלבד ובאמצעות מבנים שמוכרים כבר בתוך המכונה, כך הפתרון יהיה פשוט יותר.

***

נבחן בעיה פשוטה ומוכרת במתמטיקה: פתרון שתי משוואות בשני נעלמים.

01

הכוונה היא שיש לנו שני משתנים x ו-y ואנחנו דורשים שיקיימו את שני התנאים שמוצגים דרך שתי המשוואות. במקרה הנתון יש רק פתרון אחד עבור x ו-y שיקיים את התנאים והוא x=y=1.

כעת בואו ונסבך את העסק. זה ישתלם לנו בהמשך.

***

נגדיר מטריצה (באופן לא פורמלי) כמערך דו-ממדי של מספרים, המסודרים בשורות וטורים. לדוגמה, נוכל להגדיר את המטריצה A הבאה:

02

ממדיה של מטריצה A הם 2×2, כלומר שתי שורות על שני טורים. יכולתי לבחור כל זוג מספרים שלמים עבור הממדים, כלומר מספר הטורים והשורות לא חייב להיות זהה.

נוכל להגדיר פעולות חשבוניות בין מטריצות. הצורה בה נגדיר את הפעולות היא קונסיסטנטית, יש בה הגיון פנימי כלשהו והיא תשתלם לנו בהמשך.

חיבור: רק עבור מטריצות זהות ממדים, נחבר איברים במיקום זהה.

03

כפל: נכפול שורה מסוימת ממטריצה A בטור מסוים ממטריצה B, נחבר תוצאות ונמקם במטריצה חדשה לפי מספר השורה הכופלת ומספר הטור הכופל. כלומר האיבר במקום (2,1) הוא התוצאה של כפל שורה 2 בטור 1.

המחשת הכפל בציור (עקבו אחרי החצים לפי צבעים משמאל לימין):

כפל מטריצות

ובצורה פורמלית יותר:

04

ניתן לכפול מטריצות גם אם ממדיהם שונים, כל עוד מספר השורות של B זהה למספר הטורים של A. לדוגמה:

05

מהי המטריצה המקבילה למספר 1? נדרוש שכל פעולת כפל עם מטריצה זאת לא תשנה את האיבר השני בכפל, כלומר A היא מטריצת יחידה אם A•B=B•A=B עבור כל B. המטריצה שמקיימת תכונה זאת נראית כך:

06

אתם מוזמנים לבדוק.

כעת נוכל להגדיר מהי מטריצה הופכית, כלומר 1 חלקי מטריצה. נדרוש שתוצאת הכפל בין מטריצה להופכית שלה תהיה תמיד מטריצת היחידה I. כלומר:

07

קיבלנו 4 משוואות ב-4 נעלמים (אברי ה-b). ניתן להראות שהתוצאה היא:

08

אתם מוזמנים לבדוק.

את כל חוקי החשבון כתבתי לשם פשטות עבור מטריצות קטנות בעלות ממדים 2×2 , אבל ניתן להכליל את החוקים למטריצות בכל גודל שנרצה. זה מסבך מעט את העסק ולא נחוץ לי כרגע.

השאלה היותר חשובה היא למה טרחתי להראות את כל זה?!

***

זוכרים את מערכת המשוואות שהתחלנו ממנה?

09

שימו לב שנוכל לכתוב אותה באמצעות מטריצות בצורה הבאה:

10

נסמן את המטריצות באותיות A, V, ו-R כפי שרואים למעלה ונקבל משוואה פשוטה שבה אנחנו בעצם מחפשים פתרון עבור V. להתרת המשוואה נכפיל את שני האגפים במטריצה ההופכית של A ונקבל:

11

שימו לב שהשתמשתי בתכונות מטריצת היחידה I.

המסקנה מהתרגיל היא שכדי למצוא את הפתרון עבור V כל שעלינו לעשות הוא להכפיל את ההופכית של A במטריצה R.

12

אבל למה טרחתי להראות את כל זה?! זה נראה הרבה יותר מסובך מהשיטה שלמדנו בחטיבת הביניים.

שימו לב שאם הייתי בוחר מערכת של 10 משוואות ו-10 נעלמים לא הייתם מסוגלים לפתור אותה בפחות מ-10 שעות בשיטה 'הישנה'.

מטריצות הן מבנה סדור של מספרים והן מקיימות חוקי מתמטיקה ברורים וחדים בין אחת לשניה. לכן קל לתכנת לתוך המחשב את המבנה שלהן ואת חוקי האלגברה שהן מקיימות. קיימות תוכנות רבות שפונקציות אלה כבר כתובות בהן.

אם כך נוכל לפתור כל מערכת משוואות ליניארית על ידי הקשת נתוני המטריצות השונות שמייצגות את הבעיה לתוך המחשב, ולקבל את הפתרון באופן מידי ללא טיפת מחשבה וללא אגל זעה בודד על המצח. צוואר הבקבוק בחישוב הפתרון יהיה חישוב המטריצה ההופכית, אבל זה כבר בעיה של הגולם*. שיעבוד!

*[הערת שוליים: ובעיה גם של מי שצריך לתכנת אותו, אבל את זה צריך לעשות רק פעם אחת].

***

"אבל מה בכלל אכפת לנו מכל המשוואות האלה? עם n משוואות ב-n נעלמים לא קונים במכולת!"

אההה! במקרה הרשימה הבאה תעסוק בדיוק בזה. אמנם לא נקנה במכולת, אבל נעשה עם מטריצות משהו אפילו יותר מעניין.

:קטגוריותכללי תגיות: ,