ארכיון

Posts Tagged ‘מכניקה’

דיאטת קו המשווה – על משקל ותאוצה

מה אנשים רוצים?

אהבה? הגשמה? רווחה? אושר?

שטויות! מה שאנשים באמת רוצים זה לשקול פחות.

באחת הרשימות הקודמות סיפרתי על 'דיאטת נפילה'. עיקרה הוא שבמהלך נפילה חופשית, משקלו של אדם העומד על מאזניי קפיץ הוא אפס. הצונח אינו לוחץ כלל על המאזניים מכיוון ששניהם נופלים באותה תאוצה. זאת הסיבה, למשל, שהאסטרונאוטים בתחנת החלל מרחפים. המסה של הנופלים, אגב, לא משתנה, אבל למה להתרכז בשלילי.

הפעם אני רוצה לחזור לנושא ולספר על 'דיאטת קו המשווה'. כל שעל מפחית המשקל הפוטנציאלי לעשות הוא לעבור לגור באזור קרוב יותר לקו המשווה. ירידת המשקל היא מיידית ומובטחת! באחריות!

"כמה?", אתם שואלים. קודם בואו ונדון ב-'למה', ואח"כ נגיע לכמה. נראה גם את הקשר בין דיאטת הנפילה לדיאטת קו המשווה. שתיהן אינן בלתי קשורות אחת בשניה.

***

נקניק סלמי מונח על רצפת מעלית. מהם הכוחות שפועלים עליו?

מצד אחד, כוח הכבידה פועל עליו כלפי מטה. מצד שני הוא אינו נע. אם כך, ברור שהמשטח מפעיל עליו כוח שווה בגודלו והפוך בכיוונו לכוח הכבידה כלפי מעלה. סכום הכוחות הוא אפס. זהו בעצם החוק הראשון של ניוטון. (כל עוד סכום הכוחות על גוף הוא אפס, הגוף אינו משנה את מהירותו).

כלומר, הכוח שמפעיל המשטח על הסלמי שווה לכוח הכובד שפועל על הסלמי.

כאשר מניחים גוף על מאזניי קפיץ, מורים המאזניים את הכוח שמפעיל המשטח על הגוף. מכאן שאם הסלמי מונח על משקל קפיץ, היה מורה המשקל את כוח הכובד. על פני כדה"א ערכו של כוח הכובד קבוע ונתון על ידי מסת הסלמי כפול תאוצת הנפילה החופשית.

%d7%a1%d7%9c%d7%9e%d7%99-%d7%a2%d7%9c-%d7%9e%d7%a2%d7%9c%d7%99%d7%aa-%d7%a0%d7%97%d7%94
איור 1: נקניק סלמי מונח על מאזניים שמונחות על רצפת מעלית במנוחה.

מה קורה אם המעלית משנה את מהירותה, למשל מאיצה כלפי מטה?

אותם כוחות פועלים על הסלמי גם במקרה הזה, אבל לא יכול להיות שסכומם שווה לאפס כי מהירותו של הסלמי משתנה (ביחד עם המעלית). כאן נכנס לפעולה החוק השני של ניוטון שאומר שבמידה וסכום הכוחות על גוף אינו שווה לאפס, הוא שווה למסתו של הגוף כפול התאוצה שלו. החוק השני הוא חוק טבע וניתן להוכחה במעבדה.

אם כך, הפחתת הכוח שמפעיל המשטח על הגוף מכוח הכובד צריכה להסתכם בגודל ששווה למסתו של הגוף כפול תאוצת הנפילה החופשית. מהעברת אגפים במשוואה קל להסיק שבמקרה זה הכוח שמפעיל המשטח על הסלמי קטן יותר מאשר במקרה הקודם בדיוק בערך של התאוצה כפול מסת הסלמי, וזה גם מה שיימדד במאזניים. הסלמי ישקול פחות.

%d7%a1%d7%9c%d7%9e%d7%99-%d7%a2%d7%9c-%d7%9e%d7%a2%d7%9c%d7%99%d7%aa-%d7%9e%d7%90%d7%99%d7%a6%d7%94
איור 2: נקניק סלמי מונח על מאזניים שמונחות על רצפת מעלית שמאיצה כלפי מטה.

מה יקרה אם נחתוך את הכבל שמחזיק את המעלית והיא תחל ליפול בנפילה חופשית? גם הפעם יפחת המשקל במסה כפול תאוצה, אבל כעת התאוצה היא תאוצת הנפילה החופשית. מכאן שהמשקל במהלך נפילה הוא אפס. הסלמי לא מפעיל כלל כוח על המאזניים ולכן מצב נפילה הוא מצב של חוסר משקל. זאת היא בדיוק דיאטת הנפילה.

***

מכונית נוסעת במהירות קבועה במעגל תנועה.

שאלה: מה גורם למכונית לנוע במעגל? תשובה: כוח החיכוך.

איך אנחנו יודעים? אם נשפוך שמן על הכביש ונבטל את החיכוך של הצמיגים עם הכביש המכונית תמשיך לנוע ישר ותחליק החוצה מהמעגל. המכונית נעה במהירות שגודלה קבוע אבל כוח החיכוך מושך אותה כל הזמן לכיוון מרכז המעגל וגורם לה לנוע בתנועה מעגלית.

%d7%9e%d7%9b%d7%95%d7%a0%d7%99%d7%aa-%d7%91%d7%9b%d7%99%d7%9b%d7%a8
איור 3: מכונית נעה במעגל תנועה. כוח החיכוך מופנה לכיוון מרכז המעגל, והוא זה ששומר על המכונית במעגל.

החוק השני של ניוטון, כאמור, מלמד אותנו שסכום הכוחות על גוף שווה למסתו כפול תאוצתו. גם כוח וגם תאוצה הם וקטורים, כלומר גדלים עם כיוונים. לכן השוויון של חוק שני כולל בתוכו גם כיוון. אם כיוון כוח החיכוך הוא אל מרכז המעגל זה אומר שהמכונית מאיצה לכיוון מרכז המעגל. הסיבה שאינה נעה לכיוון מרכז המעגל היא שמהירות תנועתה היא בכיוון משיק למעגל והיא בדיוק כזאת שגורמת לה 'לפספס' את המרכז ולהמשיך לנוע לאורכו של המעגל.

תאוצת המכונית לכיוון מרכז המעגל בזמן תנועתה המעגלית נקראת בעגה 'תאוצה צנטרפיטלית'.

***

שתי פיסות סלמי זהות, האחת מונחת על קו המשווה והשניה על קודקודו של הקוטב הצפוני.

הפיסה המשוונית מבצעת תנועה מעגלית שרדיוסה כרדיוסו של כדור הארץ וזמן המחזור שלה הוא 24 שעות. פיסת הקוטב אינה מבצעת תנועה מעגלית כי ציר הסיבוב של כדה"א עובר בקוטב.

אם כך, פיסת הקוטב אינה מאיצה ובכך שקולה לפיסת סלמי המונחת על רצפת מעלית נחה. קריאת המאזניים שווה למסתה של הפיסה כפול תאוצת הכובד.

הפיסה המשוונית, לעומת זאת, מאיצה כלפי מרכז כדה"א, עקב תנועתה המעגלית, ולכן שקולה לפיסת סלמי המונחת על רצפת מעלית שמאיצה כלפי מטה. מכאן שמשקלה קטן ממשקלה של פיסת הקוטב. ההבדל במשקל שווה למסתה של פיסת הסלמי כפול התאוצה הצנטרפיטלית.

%d7%a1%d7%9c%d7%9e%d7%99-%d7%a2%d7%9c-%d7%a7%d7%95%d7%98%d7%91-%d7%95%d7%a7%d7%95-%d7%9e%d7%a9%d7%95%d7%95%d7%94
איור 4: שני נקניקי סלמי, אחד על הקוטב הצפוני ואחד על קו המשווה. משקלו של הסלמי המשווני קטן יותר בגלל שהוא נע בתאוצה שכוונה למרכז המעגל.

אם ניקח בחשבון את רדיוס כדה"א ואת זמן המחזור של סיבובו נגלה שההבדל במשקלן של שתי הפיסות הוא כ-0.3 אחוז.

[הערת שוליים: התאוצה הצנטרפיטלית נתונה על ידי aR=4π2•RE/T2, כאשר RE הוא רדיוס כדה"א ו-T הוא זמן המחזור]

ואם נחזור לענייני דיאטה, אדם ששוקל 70 ק"ג בקוטב הצפוני ישקול בקו המשווה בערך 69.75 ק"ג, וכל זאת ללא יום אחד של אכילת חסה או פעילות גופנית.

זכרו היכן שמעתם את זה לראשונה!

עוגה, עוגה, עוגה, בצנטריפוגה נחוגה – ללמוד פיזיקה במעבדת הביולוגיה

בפעמים הראשונות בהן נכנסתי למעבדת מחקר בביולוגיה הרגשתי מאוים במידת מה על ידי המכשירים המוזרים ופרוטוקולים הסבוכים של הניסויים. למי שלא גדל בתחום לוקח זמן לספוג את כל עושר המידע הזה. בחלק מהטכניקות והמכשירים עסקתי ברשימות קודמות (למשל ה-PCR)

בתוך כל הסבך הזה ישנם כמה מכשירים פשוטים או כלים בסיסיים במעבדת הביולוגיה מהם ניתן ללמוד גם פיזיקה מעניינת ולא מסובכת מידי. אחת הדוגמאות היא הצנטריפוגה. במבט ראשון פשוט, מעט מורכב יותר כשנכנסים לעובי הקורה.

Tabletop_centrifuge
תמונה 1: צנטריפוגה מעבדתית. המקור לתמונה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Magnus Manske.

***

הצנטריפוגה היא אחד המכשירים השכיחים ביותר במעבדת הביולוגיה. בד"כ מדובר במכשיר מכאני שניתן להטעין בו מבחנות עם נוזלים ואז המכשיר מסובב את המבחנות בתנועה מעגלית במהירות גבוהה, בדומה למתקן עם הכיסאות המסתובבים בפארק השעשועים. המטרה של צנטריפוגה היא להפריד חומרים שונים בתוך נוזל או להפריד חומר מהנוזל על ידי שיקועו.

שני העקרונות שעומדים מאחורי פעולת הצנטריפוגה הם הגברת כוח הכבידה ויצירת הבדלה במהירות השקיעה בין חומרים שונים בנוזל.

חלקיק שוקע בכוס נוזל
איור 2: חלקיק שוקע בנוזל.

דמיינו חלקיק הנמצא בתוך כוס עם נוזל. על החלקיק פועלים כוח כבידה שמושך אותו למטה, כוח ציפה (חוק ארכימדס) וכוח חיכוך עם המים שמפריעים לו ליפול (ראו איור 2).

כוח החיכוך עם המים תלוי בצורת החלקיק, בצמיגות המים ובמהירות התנועה. חישבו מה קורה כאשר אתם מנסים ללכת בבריכה. ככל שאתם מגבירים את מהירותכם, התנגדות המים עולה גם כן.

בדומה לצנחן שחווה כוח חיכוך דומה עם האוויר, גם החלקיק בנוזל יגיע לאחר זמן מה למהירות קבועה (בעגה terminal velocity). ערך המהירות הזאת תלוי בתכונות החיכוך, צורת החלקיק ובצפיפות החומר ביחס לצפיפות הנוזל. חומרים שונים ישקעו במהיריות שונות. תכונה זאת מייצרת עבורנו את היכולת להפריד בין חומרים שונים. הבעיה היא שהזמן שלוקח לחלקיקים קטנים לשקוע הוא ארוך מידי. הפתרון הוא להגביר את כוח הכבידה.

פני המים במבחנה
איור 3: פני הנוזל במבחנה כתלות בכיוון הכבידה.

חוק הכלים השלובים אומר לנו שפני המים יהיו מאונכים לכיוון כוח הכבידה. במבחנה מאונכת לקרקע פני המים אופקיים. אם נטה את המבחנה בזווית, פני המים גם כן יטו כך שעדיין יישארו אופקיים לקרקע ומאונכים לכוח הכבידה (ראו איור 3, חלק ימני).

כאשר אנחנו מסובבים את המבחנה בצנטריפוגה פועלים על המבחנה ועל מה שבתוכה כוחות חזקים מאוד לכיוון ציר הסיבוב (למרכז הסיבוב) כדי לשמר את התנועה המעגלית (בעגה, כוח צנטרפיטלי). חישבו על כדור קשור לחבל שמסתובב במעגל. כדי שיישאר במסלול המעגלי החבל חייב למשוך אותו בחוזקה פנימה ולא לתת לו לברוח. אם החבל יקרע, הכדור יברח ויפסיק להסתובב.

אם תשאלו אדם תלוי על חבל מה כיוון כוח הכבידה, הוא יגיד שברור שלכיוון מטה, כלומר בכיוון מנוגד לכיוון בו מושך אותו החבל. באנלוגיה, חלקיק במבחנה המסתובבת מרגיש, כאמור, כוח מסובב בכיוון מרכז הסיבוב . מכיוון שאינו יודע מה קורה בעולם מחוץ למבחנה יאבחן שכיוון כוח הכבידה (האפקטיבי) הוא הפוך מכיוון הכוח המסובב ולכן החוצה מהמעגל. כוח זה, עבור 3600 סיבובים בדקה, יהיה בערך פי 2000 חזק יותר מכוח הכבידה של כדה"א ולכן יהיה הכוח הדומיננטי הפועל על החלקיק. פני המים יהיו מאונכים לכוח הכבידה האפקטיבי ולכן במהלך הסיבוב יהיו מאונכים לפני הקרקע ולא אופקיים (ראו איור 3, חלק שמאלי).

אם נסובב מספיק מהר לאורך מספיק זמן כל החלקיקים המומסים בנוזל ישקעו בצידה (החיצוני) של המבחנה. זהו השימוש הפשוט ביותר של צנטריפוגה, הפרדת חומר מומס מתוך הנוזל על ידי הגברת כוח הכבידה והגברת קצב השיקוע.

מה קורה כאשר יש יותר מחומר אחד מומס בנוזל במבחנה?

כפי שכבר ציינתי, לכל חומר תהיה מהירות שיקוע שונה ולכן נוכל לכוון את מהירות הסיבוב ואת משך זמן הסיבוב כך שחומר אחד ישקע והשני עוד לא. כך נוכל להפריד את החומרים אחד מהשני. לשם פעולת ההפרדה אנחנו חייבים את הנוזל כדי שייווצר אפקט ההפרדה בין החומרים עקב החיכוך עם המים (תאוצת הנפילה חופשית של גופים אינה תלויה במסתם, את זה ידע גלילאו מזמן).

מי שהשתמש בצנטריפוגה יודע שחייבים להפעיל אותה כאשר היא מאוזנת. אם נרצה לסובב מבחנה בודדת, חובה עלינו להניח מבחנת נוזל נוספת בדיוק בצד השני. כפי שכבר רשמתי, הכוחות שפועלים על החומר במהלך תנועה מעגלית הם עצומים ואם הצנטריפוגה אינה מאוזנת היא תרעד עד כדי כך שסביר שתתעופף מהשולחן וכל המבחנות ישברו.

לא מאמינים בכוחה של התנועה המעגלית לשבר ולנתץ? חובה עליכם לצפות בשני הסרטונים הבאים. שווה ביותר גם למי שמאמין.

 

***

מה השימושים של הצנטריפוגה?

הפרדת חומר מומס מהנוזל.

הפרדת חומרים מומסים שונים אחד מהשני. למשל, ניתן בעזרת צנטריפוגה להפריד אברונים וחלקים שונים בתא. מכיוון שלכל אברון בתא יש תכונות שונות (צפיפות, מסה וכו) ניתן לסובב את הנוזל עם תוכן תאים כך שבכל שלב ישקעו האברונים הכבדים ביותר וניתן יהיה להסיר אותם על ידי איסוף המשקע.

יצירת מפל ריכוזי תמיסה במבחנה. בכל גובה ימצא ריכוז תמיסה שונה. חומר שאותו אנו רוצים לבחון ימצא במבחנה בגובה שמתאים לריכוז שלו. הזכרתי את השיטה ברשימה קודמת שעסקה בניסוי מסלסון-שטאל וגילוי מנגנון השכפול של ה-DNA.

ישנם שימושים נוספים שקצרה היריעה מלהכיל. למשל, כפי שכולנו שומעים בחדשות מידי פעם, בהפרדה של אורניום 235 מאורניום 238 לשימוש בכורים גרעיניים. התהליך שם הוא מעט שונה ועובד בפאזה גזית. ניתן לקרוא על השיטה בדף הויקיפדיה הזה.

"סליחה, לא נעים לי להעיר, אבל שכחת ליפול" – משחקים עם משקולות

חלק לא מבוטל מהחינוך שלי כילד נספג בי תוך צפייה מרובה בסרטים מצוירים. בתחום הפיזיקה, למשל, סרטוני לוני-טונס (Looney Tunes) לימדו אותי שכבידה עובדת רק כאשר מסתכלים למטה.

לא בטוחים למה אני מתכוון? צפו בסרטון הקצר הבא:

טוב, אבל אלה סתם שטויות. סרטים מצוירים ותו לא. זה לא יכול לקרות במציאות, נכון?

אז קבלו את זה: ארבע משקולות מחוברות אחת לשניה בגומיות פשוטות. ברגע מסוים אני עוזב את הגומייה העליונה ונותן לכל רביעיית המשקולות ליפול. עקבו אחרי תנועת המשקולת התחתונה.

Rubber

המשקולת התחתונה לא זזה! רק כאשר כל המשקולות נוגעות אחת בשניה הן מזכירות לתחתונה: "הלו, את אמורה ליפול, כבידה וכאלה", ואז היא הואילה בטובה ליפול עם השאר יחדיו.

הנה סדרת תמונות שממחישה את מה שקורה למשקולת האחרונה. הגובה ההתחלתי שלה מסומן על ידי הקו המקווקו האדום.

Rubber cartoon

מה קורה כאן?!

החוק הראשון של ניוטון מלמד אותנו שכל עוד סכום הכוחות על כל משקולת הוא אפס, הן אינן משנות את מהירותן. מכאן שבמצב הראשוני, שבו כל המשקולות במנוחה, סכום הכוחות על כל אחת מהן הוא אפס. אגב, אורכי הגומיות בין המשקולות משמשים כמדי-כוח וניתן לראות שכצפוי, הכוחות שפועלים על המשקולת העליונה גדולים יותר מאלה על התחתונה (סוחבת יותר מסה מצטברת). ברגע שאני עוזב את הגומייה העליונה, הכוח לכיוון מעלה על המשקולת העליונה נעלם ולכן סכום הכוחות כבר אינו אפס. לפי החוק השני של ניוטון, המשקולת העליונה תחל ליפול בתאוצה. בינתיים המידע על שינוי הכוחות עוד לא הגיע למשקולת התחתונה ולכן שקול הכוחות עליה עדיין אפס והיא נשארת במקום.

באותו עניין, מה יקרה אם השמש תעלם ברגע מסוים, בבת אחת? האם כדור הארץ, שנע סביב השמש בתנועה מעגלית, ישנה את מסלולו מיד או רק לאחר זמן מה? האם יש צורך לחכות למידע על השינוי בכוח הכבידה עקב היעלמותה של השמש  או שהתנועה תשתנה מיד?

בדוגמה שלנו, רק כאשר הכוחות הפנימיים בתוך המבנה מתאפסים, קרי, כל הגומיות רפויות, אז הוא נופל כגוף אחד, כולל החלק התחתון שלו. הניחוש המושכל שלי אומר שמרכז המסה של המבנה נופל בנפילה חופשית מרגע שידי עוזבת את הגומייה העליונה, אבל לא בדקתי אם זה נכון.

אם נדמה לכם שכבר שמעתם את הסיפור הזה בעבר, רוב הסיכויים שצפיתם בו בסרטון של ערוץ היוטיוב Veritasium, שם הוצגה סדרה של סרטונים מעולים עם סלינקי (הקפיץ שיורד במדרגות).

מה?! לא מכירים את הערוץ או את הסרטון? אז הנה הזדמנות פז לצפות בו (שווה לבדוק גם את הסרטונים הנוספים שלו בנושא).

***

כעת, נשנה מעט את הניסוי. מה יקרה לדעתכם אם במקום גומיות נחבר את המשקולות אחת לשניה בחוט דיג שאינו נמתח?

לפני שאתם ממשיכים לקרוא הלאה הייתי ממליץ לכם לקחת כמה שניות לחשוב ולנסות לבצע תחזית למה שיקרה למשקולת התחתונה.

הנה סדרת תמונות שממחישה את התוצאות:

Rope cartoon

ניתן לראות בתמונות שהמשקולת התחתונה מתחילה ליפול מיד יחד עם כל המבנה.

האם המידע על שינוי הכוח רץ מהר יותר על חבל שאינו נמתח? מדוע? האם מהירות המידע על הכוח תלויה בתווך בו המידע נע? מדוע?

האם המשקולות באמת נופלות כגוף אחד?

בסט התמונות הבאות ניתן לראות שלא. המשקולת העליונה נפלה מרחק גדול יותר מזו התחתונה באותו פרק זמן כפי שמראים הקווים ששרטטתי. הקו הירוק מחבר בין המשקולת העליונה לעצמה בזמן מאוחר יותר ולכן שיפועו מדגים את התנועה של אותה המשקולת. מאותה סיבה, הקו הצהוב מדגים את תנועתה של המשקולת התחתונה. הזזתי את הקו הצהוב למעלה לשם השוואה נוחה עם הירוק.

Rope cartoon with lines

יש בזה הגיון מכיוון שאנחנו יודעים מהניסוי הראשון ומידיעת התיאוריה שהכוחות על המשקולות ברגע השחרור אינם שווים. אבל כמה זמן הם ממשיכים להיות לא שווים לאחר השחרור? הרי, אם המשקולת העליונה נעה מהר יותר מהתחתונות החבל נהיה רפוי ואינו מפעיל כוח כלל. במצב זה כל המשקולות נופלות בתאוצת הנפילה החופשית, אם כי אינן גוף אחד (אינן מחוברות).

***

טוב, זהו להפעם. יותר שאלות מתשובות. מוזמנים לחלוק את דעתכם.

***

נ.ב – שאלה אחרונה לפני פיזור

מדוע לדעתכם נראה האור מהבהב בפסים מלבניים בסרטון הראשון?

:קטגוריותכללי תגיות: ,

מותק, הילדים התכווצו והזמן התארך – מבוא למבוא למבוא לתורת היחסות הפרטית

מרבית האנשים בעולם שמעו משהו על תורת היחסות של אלברט איינשטיין, מי יותר ומי פחות. הכל יחסי לא? אבל אם נודה על האמת, לכל מי שלא למד פיזיקה, וגם ללא מעט שכן, זה לא אומר הרבה. מדובר באחד מהרעיונות המבלבלים שקיימים.

בעקבות הצלחת הסרט 'בין הכוכבים' (Interstellar), נדמה לי שנוצר עניין מחודש ברעיונות של תורת היחסות ולכן זאת הזדמנות טובה לכתוב על זה כמה דברים בצורה מסודרת.

רשימה זאת עוסקת ברעיונות שעומדים בבסיסה של תורת היחסות הפרטית, להבדיל מתורת היחסות הכללית. אינני הולך לרשום פה שום דבר חדש, ובכל זאת, אנסה לעשות סדר בדברים ולהסביר את הבסיס של הבסיס בצורה מובנית. זהו. בואו ונתחיל.

כל הצופים צודקים

וודאי קרה לכם בעבר שישבתם ברכבת בעודה בתחנה ובמסילה מקבילה עצרה רכבת נוספת. במקרים אלו קורה לא פעם שכאשר אחת הרכבות מתחילה לנוע, קשה להחליט במשך כמה רגעים מי מהרכבות נוסעת ומי עומדת והאם היא נוסעת קדימה או אחורה. בסופו של דבר פריט מידע שנבחין בו לאחר כמה שניות כמו רטט המנוע או משהו בחוץ יגלה את התשובה ומיד נשכח מכל הבלבול. הסרטון הבא ממחיש היטב את התופעה.

 

מי מהרכבות נעה?

***

נניח שאריק נמצא בתוך רכבת שנוסעת ב-50 קמ"ש. ברגע מסוים הוא מביט מהחלון ומבחין בבנץ העומד בתחנה ומנופף לו לשלום. אריק רואה את דמותו של בנץ מופיעה משמאלו וחולפת ימינה, אך מכיוון שהוא יודע שהוא נוסע ברכבת הוא מבין שזהו בנץ שעומד והוא שנע מימין לשמאל.

כעת נניח שאריק ובנץ הם הגופים היחידים שקיימים והם מבצעים את אותה התנועה (לא חשוב איך זה נעשה). במצב זה אין ביכולתו של אריק לקבוע האם הוא נע שמאלה או שזהו בנץ שנע ימינה, מכיוון שאין רכבת ואין נוף ואין רוח. שניהם צודקים באותה מידה.

מה יקרה אם אריק יזרוק כדור קדימה, לכיוון תנועת הרכבת, במהירות 5 קמ"ש (ראו איור 1)? מנקודת מבטו של אריק, הכדור מתרחק ממנו במהירות 5 קמ"ש ולכן זאת מהירות תנועתו. מנקודת מבטו של בנץ, לעומת זאת, הכדור נע במהירותה של הרכבת עוד שהיה בידיו של אריק, וכאשר הכדור נזרק הוא אמנם מתרחק מאריק במהירות 5 קמ"ש אבל נע ביחס לקרקע במהירות 55 קמ"ש. ואם זה לא מספיק, אז חייזרים שזופים במיוחד שמביטים בנו מפני השמש רואים את אריק, את בנץ ואת הרכבת נעים במעגל סביבם. וכולם צודקים באותה מידה.

אריק בנץ רכבת כדור
איור 1: אריק משחק בכדור על רכבת נעה בעוד בנץ צופה מחוץ לרכבת. לא לצחוק על ציור הרכבת שלי!!!

מה יראו שני החברים אם אריק יזרוק כדורסל אל רצפת הרכבת ויתפוס אותו שוב? מנקודת מבטו של אריק, הכדור נע בניצב לרצפת הרכבת, פוגע בה, וחוזר אל ידיו. מנקודת מבטו של בנץ, הכדור נע בצורת האות 'וי', מכיוון שכל הרכבת נעה בכיוון אופקי (ראו איור 2). מכיוון שמנקודת מבטו של בנץ הכדור עובר דרך ארוכה יותר באותו הזמן, מהירות הכדור שהוא רואה גבוהה יותר מזו שיכריז עליה אריק.
[הערת שוליים: כפי שהעיר לי הקורא ערן ג., מסלול תנועתו של הכדור אינו בצורת 'וי' אלא בצורת פרבולה מכיוון שמהירותו בכיוון האנכי אינה קבועה. זה בדיוק הנושא שדנתי בו ברשימה הקודמת על ניסוי המישור המשופע של גלילאו ועל תנועה בתאוצה. עם זאת, הטיעון על הארכת המסלול נשאר על כנו, וכך יותר נוח להשוות בין תנועת הכדור לתנועת קרן אור. 'עד כדי קבוע', זוכרים?]

נקודות מבט על אריק בנץ רכבת כדור
איור 2: זריקת כדור אנכית מנקודת הראות של אריק על הרכבת ושל בנץ מחוץ לרכבת. [ראו הערת שוליים למעלה לגבי תיקון לגבי מסלול תנועתו של הכדור מנקודת מבטו של בנץ].

 

 

הזמן מתארך

כעת בואו ונניח שבמקום לזרוק כדור, אריק מאיר באמצעות ציין לייזר לכיוון מטה, אל מראה המונחת על רצפת הרכבת. מנקודת מבטו של אריק, קרן הלייזר נעה במהירות האור בכיוון אנכי, פוגעת במראה על הרצפה ומוחזרת מעלה. מנקודת מבטו של בנץ, לעומת זאת, קרן הלייזר נעה בצורת האות 'וי' מכיוון שהרכבת עצמה נעה, בדיוק כמו הכדור (ראו איור 3). אם כן, מנקודת מבטו של בנץ, קרן הלייזר עוברת דרך ארוכה יותר, ולכן נעה מהר יותר.

נקודות מבט על אריק בנץ רכבת אור
איור 3: הארה בכיוון אנכי מנקודת הראות של אריק על הרכבת ושל בנץ מחוץ לרכבת.

אבל כאן נכנס העיקרון (השני) שעליו נסמכת תורת היחסות הפרטית והוא שכל הצופים בכל המערכות רואים את האור נע באותה המהירות, שהיא מהירות האור. מכאן שלא יתכן שאחד הצופים רואה את האור נע במהירות גבוהה ממהירות האור.
[הערת שוליים: אני לא אעסוק כאן בסיבות שהביאו את איינשטיין להבנה הזאת. ראו סרטון למטה].

אז איך זה מסתדר?

כדי לשמר את מהירות האור עבור כל הצופים נצטרך לוותר על משהו אחר. מהירות קרן האור נתונה על ידי המרחק שהיא עוברת בפרק זמן כלשהו, כלומר דרך חלקי זמן. אם אנחנו נתעקש לשמר את המהירות, אז נאלץ לוותר על אחידות הזמן והאורך בין צופים שונים.

מכיוון שבנץ רואה שקרן האור עוברת מסלול ארוך יותר, אך עדיין נעה במהירות האור, הזמן שהוא רואה לכאורה ארוך יותר. כלומר מנקודת מבטו של בנץ הזמן על הרכבת מתקדם לאט יותר.

בינתיים אריק לא מודע לכל ההתרחשות המוזרה הזאת. מבחינתו השעון שלו מראה בדיוק את הזמן שאמור לקחת לקרן אור לפגוע ברצפת הרכבת בניצב ולחזור, ללא תלות במהירות הרכבת. אם כך, כאשר אריק יביט אל מחוץ לרכבת, כל השעונים שיראה יתקתקו מהר יותר משלו  (תודה לקורא blackyossi על התיקון). מבחינת אריק, הוא נמצא במנוחה וכל העולם סביבו הוא זה שנע. לכן מנקודת מבטו של אריק, השעון שלו יתקתק כרגיל וכל השעונים מחוץ לרכבת יתקתקו לאט.

 

 

האורך מתקצר

נניח כעת שאריק מאיר עם ציין הלייזר בכיוון תנועת הרכבת. בקצה הקרון קרן האור פוגעת במראה שתלויה על הקיר וחוזרת חזרה. מנקודת מבטו של אריק הקרן עברה פעמיים את המרחק בינו ובין הקיר במהירות האור. מנקודת מבטו של בנץ, לעומת זאת, בדרך הלוך עברה הקרן דרך ארוכה יותר כי מיקום המראה בקצה הקרון נע קדימה עם הרכבת. בדרך חזור עברה הקרן דרך קצרה יותר מאותה סיבה. כמו כן, כבר אמרנו שמבחינת בנץ הזמן על הרכבת גם מתקדם לאט יותר.

הדרך היחידה כדי לשמר את נקודות המבט של אריק ושל בנץ, ואת העובדה ששניהם רואים את הקרן נעה במהירות האור, מובילה לכך שאורך הרכבת מתכווץ (תוצאה של תרגיל מתמטי). כלומר מנקודת מבטו של בנץ הרכבת קצרה יותר, בו בזמן שמנקודת מבטו של אריק הכול כרגיל בתוך הרכבת, ובחוץ הכל ארוך יותר  (כנ"ל). מבחינת אריק, הוא נמצא במנוחה וכל העולם סביבו הוא זה שנע. לכן מנקודת מבטו של אריק, הסרגל שלו ישאר באורך הרגיל בזמן שכל הסרגלים (וכל שאר הדברים למעשה) מחוץ לרכבת יהיו קצרים יותר.

סיכום

אז מה היה לנו?

כל אחד רואה משהו שונה וכולם צודקים. כולם רואים את האור נע במהירות האור בכל מערכת. הזמן נמתח והאורך מתכווץ. אתם באמת מאמינים לזה?

ראשית, יש לציין שהתיקונים של תורת היחסות באים לידי ביטוי אך ורק במהירויות גבוהות מאוד (ביחס למהירות האור) ולכן לא נצפה לראות את הזמן מתארך על רכבות מתקצרות (הכניסו כאן בדיחת רכבת-ישראל לפי ראות עיניכם). כמו כן, עד היום נעשו מספר רב של ניסויים שאיששו את התיאוריה, ואולי אספר על חלקם בעתיד. אציין רק שמערכת לוויני ה-GPS שאנחנו משתמשים בה עושה שימוש בתיקונים יחסותיים בכל רגע ורגע. אז הנה.

:קטגוריותכללי תגיות: , ,

איך ליפול נכון – על ניסוי המישור המשופע של גלילאו

גלילאו גליליי (1564-1642) היה מתמטיקאי ואיש מדע איטלקי שבעבודתו סימן את תחילתה של המהפכה המדעית באירופה. מה שעניין את גלילאו היה תנועה. תיאורית התנועה של גופים בתקופתו לא עודכנה עוד מימיו של אריסטו, כמעט 2000 שנים קודם לכן. יש לזכור שמתקופתו של אריסטו ועד לתקופתו של גלילאו, במאה ה-17, הדרך המקובלת לגלות את חוקי הפיזיקה היה דרך מחשבה פילוסופית והיגיון. ניסוי היה נחשב לדרך לא אמינה ולא מקובלת לעשות זאת. גלילאו חידש בכך ששילב בין תובנות תיאורטיות, מתמטיות ופילוסופיות לבין ניסויים ובדיקה.

Justus_Sustermans_-_Portrait_of_Galileo_Galilei,_1636
תמונה 1: צילום של פורטרט של גלילאו גליליי שצויר על ידי הצייר הפלמי Justus Sustermans. הפורטרט נמצא במוזיאון 'National Maritime Museum', בלונדון. המקור לתמונה: ויקיפדיה.

בחקירותיו גילה גלילאו שכל גוף, ללא הבדלי דת גזע או מין, נופל אל הקרקע בתאוצה קבועה, כלומר מהירותו משתנה בקצב קבוע. מכאן נובע שהפלת גוף מגובה כפול לא תגרום לזמן הנפילה להיות ארוך פי שתיים. ואם זה לא מספיק, אז מכך נובע גם שבואקום, ללא חיכוך או התנגדות של אוויר, גם נוצה וגם פטיש יפלו אל הקרקע יחדיו.

כיצד הוא הגיע למסקנות האלה?

האגדה מספרת שהוא זרק כדורים מראשו של המגדל הנוטה בפיזה. האגדה אמנם אינה נכונה, אך גלילאו אכן עשה ניסויים של זריקת כדורים. הוא פשוט בחר לעשות זאת בדרך חכמה יותר.

***

הבעיה עם זריקת כדורים היא שהם נופלים מהר מידי וקשה למדוד את מיקומם בזמנים שונים. יש לזכור שבזמנו של גלילאו לא היו צילומי וידאו בהילוך איטי ושעוני עצר מתוחכמים. גליליאו השתמש למדידת זמן בשעון מים, כלומר נתן למים לזרום דרך חריר במהלך התנועה ואז שקל את המים שהצטברו.

בניסויו המפורסם גלגל גלילאו כדור על גבי מסילה משופעת ומדד את המרחק שעבר הכדור בפרקי זמן קבועים (ראו איור 2). המישור המשופע עזר לגלילאו להפחית את הכוח שמושך את הכדור מטה ובכך להאט את תנועתו. ניתן לחשוב על כך כאילו חלק מכוח הכובד מושך את הכדור במורד המדרון וחלק ממנו לוחץ אותו אל המשטח ולכן אינו משפיע על התנועה (בהנחה שאין חיכוך). מסיבה זאת, כדור מתגלגל על מדרון יתנהג כמו כדור נופל, רק שהכוח עליו קטן יותר ותאוצתו, אם קיימת, קטנה יותר.

מישור משופע
איור 2: כדור מתגלגל במורד מישור משופע.

אחד החסרונות בשימוש במישור המשופע היה החיכוך של הכדור עם המשטח, שגורם לאיבוד חלק מהמהירות של הכדור. מצד שני, גלילאו חיפש רק את הקשר שבין הזמן למרחק התנועה. החיכוך יפחית את הכוח שמאיץ את הכדור, אבל יעשה זאת בצורה שווה בכל רגע ולכן התאוצה תקטן אך תישאר קבועה. כלומר, החיכוך לא ישנה את הקשר הפונקציונלי בין המרחק והזמן (כפי שיוסבר בהמשך). גלילאו ניסה להקטין את החיכוך בין הכדור למשטח ולכן אינני בטוח אם הוא הבין עד הסוף את השיקולים הללו. בכל מקרה, אין ויכוח על כך שהיתה לו אינטואיציה טובה מעבר לגדר הרגיל.

***

גלילאו מדד את המרחק שעבר הכדור המתגלגל בכל יחידת זמן שנקבעה מראש באמצעות שעון המים. הוא חזר על הניסוי מספר רב של פעמים כדי לוודא שתוצאותיו אמינות ולהגביר את דיוק המדידה. כאשר הוא התבונן בתוצאותיו הוא הבחין בקשר בין המרחק והזמן. ניתן היה לחזות את המרחק שיעבור הכדור בזמן מסוים על ידי העלאת הזמן בריבוע והכפלת התוצאה בקבוע כלשהו (תמיד אותו הקבוע). כלומר, גלילאו מצא שהמרחק שעבר הכדור היה פונקציה של הזמן בריבוע.

אבל מה זה בכלל קשור לתאוצה קבועה?

ראשית, נבין מהי המשמעות של תאוצה קבועה. בכל שניה המהירות גדלה בכמות קבועה. לדוגמה, אם מפילים כדור הוא מתחיל ממהירות אפס, אחרי שניה מהירותו תהיה למשל 10 מטר לשניה, אחרי שתי שניות 20 מטר לשניה, אחרי שלוש שניות 30 מטר לשניה וכך הלאה. כלומר, בכל שניה המהירות גדלה בקצב קבוע של 10 מטר לשניה (ראו איור 3).

המפטי דמפטי נופל חופשית מהקיר2
איור 3: המפטי-דמפטי נופל מהקיר ומהירותו גדלה בקצב של 10 מטר-לשניה בשניה, כלומר בתאוצה 10 מטר-לשניה-בריבוע.

כמה מרחק עובר הכדור באותו הזמן?

קשה לדעת מראש מכיוון שהמהירות משתנה בכל רגע ולכן פתרון 'דרך-זמן-מהירות' סטנדרטי שלמדנו בבית-הספר לא יעבוד. מצד שני, מכיוון שהמהירות משתנה בקצב קבוע, נוכל לחשב את המרחק באמצעות המהירות הממוצעת.

במה תלויה המהירות הממוצעת בקטע תנועה מסוים? בכמה זמן נסענו ובכמה לחצנו על הגז, כלומר בתאוצה. במה תלוי המרחק שעברנו? כידוע, 'דרך = זמן x מהירות (ממוצעת)', כלומר נכפיל את זמן התנועה במהירות הממוצעת. אבל המהירות הממוצעת, כאמור, תלויה גם היא בזמן הנסיעה. כלומר: 'דרך = זמן x זמן x תאוצה' [הערת שוליים: שווה בערך, חסר פה קבוע כלשהו]. מכאן שהמרחק שעובר גוף בתאוצה קבועה תלוי בזמן התנועה בריבוע. ומכיוון שזה בדיוק מה שמצא גלילאו במדידות שלו, הרי שהוא הראה שגופים נופלים בתאוצה קבועה.

***

במקום מילות סיכום, בואו ונצפה בשלושה סרטונים קצרים ומומלצים של דברים נופלים. אחד על הירח, אחד בואקום ואחד פשוט מצחיק.

הפלת פטיש ונוצה על הירח:

הפלת כדור ונוצות בואקום:

השתכנעתם? אל תהיו כל כך פזיזים, חשבו שוב:

***

אפילוג: חידה לחובבי הז'אנר

אתם עדיין כאן? אז קבלו חידה:

אחד הכדורים של גלילאו נע במורד המישור המשופע ועובר במהלך השניה הראשונה של תנועתו מרחק של סנטימטר אחד. מהו המרחק שיעבור במהלך השניה הבאה של תנועתו? מה המרחק שיעבור בשניה השלישית? הכוונה היא לא למרחק המצטבר מתחילת התנועה אלא רק המרחק שהגוף עובר במהלך אותה שניה (ראו קטעים אדום-ירוק-סגול באיור 2).

האם קיבלתם סדרת מספרים עם חוקיות ברורה? באילו מקרים החוקיות הזאת מתקיימת?

.

.

.

רמז 1 (דק): יש מספר דרכים לפתרון. אחת מהן מוזכרת פה, לקראת סוף הרשימה.

רמז 2 (עבה): צפו בסרטון הזה. כעת אתם יודעים את התשובה. מצאו הוכחה לנכונות הפתרון.

בחן את עצמך: האם האינטואיציה שלך טובה?

[הערת שוליים: הוספתי בתגובה הראשונה לרשימה הערה אישית קצרה שכתבתי בדף הפייסבוק של הבלוג על התזמון של הפרסום 'והמצב'. אתם מוזמנים לעיין לפני הקריאה]

להלן מספר תרחישים פיזיקליים הלקוחים מחיי היום-יום. כל אחד מכם מוזמן לנסות ולנחש מה התוצאה של מה שמתואר בהם. בהמשך הרשימה אני אכתוב את התשובות ואוסיף הסבר קצר. בחרתי להתמקד בתרחישים פשוטים מאוד שחלקם תוכלו לבדוק בעצמכם.

התעלמו מהתנגדות האוויר. ניתן לתכנן את רוב התרחישים כך שתוצאתם לא תשתנה באופן משמעותי.

אז נתחיל.

***

1. המפטי-דמפטי עומד על הקיר ובידו שני בקבוקי יין זהים בגודלם וצורתם, האחד מלא והשני כבר חצי ריק. הוא אינו יציב על רגליו והקיר מעולם לא נראה צר כל כך. לפתע, מועד המפטי-דמפטי, שומט את שני הבקבוקים בו זמנית אל הקרקע ונופל מהקיר בעצמו. מי נחבט ראשון בקרקע: הבקבוק המלא, הבקבוק הריק, או שמא ראשו הסגלגל של ידידנו הביצתי?

בקבוקים נופלים
איור 1: המפטי-דמפטי ובקבוקיו נופלים, מי ינצח?

2. התאומים טווידלדי וטווידלדם מצאו אקדח והחלו יורים בפחיות בחצר מאחורי ביתם, שבמקרה נמצא באזור המישורי ביותר בעולם. בזמן שטווידלדי יורה כדור אל האופק (במקביל לאדמה) שומט טווידלדם כדור לקרקע (ללא ירי) בדיוק באותו רגע ובדיוק מאותו גובה. מי מבין שני כדורי האקדח ייגע ראשון באדמה?

אקדח יורה
איור 2: כדור אקדח אחד נורה ואחד מופל. מי יגיע ראשון לקרקע?

3. הצוערת עליזה מתאמנת בהפעלת מרגמה על גג רכבת נוסעת במהירות קבועה. בהנחה שהיא מפעילה את המרגמה בניצב לגג הרכבת, כמה גבוה צריכה הפצצה להגיע כדי שלא תיפול חזרה על ראשה של עליזה? האם הפצצה תיפול מימינה או משמאלה?

מרגמה על רכבת
איור 3: ירי מרגמה מגג רכבת.

4. החובלת עליזה מפליגה בספינת מפרש, אך לדאבונה כבר ימים ארוכים הרוח אינה נושבת, מלאי האוכל בספינה אוזל וחוף מבטחים אינו נראה לעין. לפתע נזכרת עליזה שיש במחסן הספינה וינטלטור ענקי שניתן לחברו בברגים לרצפה ושבעזרתו ניתן להפיח משב רוח עוצמתי. באיזה כיוון יש לכוון את המאוורר: בניצב למפרש בכיוון התנועה הרצוי, בניצב למפרש נגד כיוון התנועה הרצוי או במקביל למפרש?

וינטלטור מניע ספינה
איור 4: וינטלטור מניע יאכטה.

5. המלכה האדומה פוקדת על משרתיה לתלות שלט האוסר על כניסה אל הגן. השלט הכבד תלוי ממרכזה של שרשרת דקה שתלויה בצורה רפויה בין שני עמודים. "ישרו את השרשרת או שראשכם יותז", היא פוקדת. שניים ממשרתיה אוחזים בקצות השרשרת ומתחילים למשוך בכוח זהה כדי למתוח אותה. לאחר מספר דקות, וללא שיפור נראה לעין המלכה צועקת בחוסר סבלנות: "הביאו משרתים חזקים פי שתיים". המלך שעומד מאחוריה אומר בקול מדוד: "תלו שלט קל יותר פי שתיים ". הזחל, שנמצא שם די במקרה, לוקח עוד שאיפה מהנרגילה ואומר: "קצרו את השרשרת בחצי". ההצעה של מי מהם תעזור להביא לתוצאה הרצויה, כלומר שרשרת מתוחה עד הסוף במצב אופקי?

שלט
איור 5: מהי האסטרטגיה הטובה ביותר ליישור השרשרת במשיכה?

6. הכובען המשוגע החליט לקחת הפסקה קצרה ממסיבת התה ולנצל את הזמן לאימון ירי בחץ וקשת (מסתבר שגם לכובענים יש תחביבים). הוא דרך את קשתו וכיוון את קצה החץ לכיוון מרכז המטרה. רגע לפני שחרור החץ הופיע פתאום חתול צ'שייר, מחייך מאוזן לאוזן. ברגע בו יצא החץ לדרך מקשתו של הכובען, חתך החתול את החבל שמחזיק את המטרה והיא החלה ליפול אל הקרקע. בהנחה שהחץ נורה בעוצמה מספקת כדי להגיע אל מישור המטרה (לא בהכרח אל המטרה עצמה) למטרה, האם יפגע החץ מעל או מתחת למטרה?

חץ וקשת
איור 6: הכובען יורה בקשת והחתול חומד לצון. היכן יפגע החץ, מעל או מתחת למטרה?

***

אז מה באמת קרה ולמה?

1. גם הבקבוק המלא, גם הבקבוק הריק וגם המפטי-דמפטי מגיעים לקרקע בדיוק באותו זמן מכיוון ששלושתם מאיצים אל הקרקע בתאוצת הכובד, ללא תלות במסתם. קטע מוזר כזה של כוח הכובד.

2. שני כדורי האקדח יגיעו לקרקע ביחד. זמן הנפילה נקבע אך ורק על ידי התנועה בניצב לקרקע ושני הכדורים הזהים נפלו מאותו גובה ובאותה תאוצה (חפשו את הפרק 'Dropped vs Fired Bullet' ב- MythBusters).

3. עליזה אבודה כי בכל מקרה הפגז ייפול לה על הראש. הפגז מקבל את מהירות הרכבת בכיוון אופקי ולכן לא יישאר מאחור. מאותה סיבה אתם יכולים להקפיץ כדורסל בתוך רכבת נוסעת. [ראו תוספת בתגובות]

4. אף אחד מהתרחישים לא יעזור מכיוון שגוף לא יכול להפעיל כוח על עצמו. זכרו את הברון מינכאוזן. [ראו דיון\תוספת\תיקון בתגובות]

5. כולם טועים ומטעים. המצב האופקי של השרשרת עם השלט הכבד התלוי במרכז אינו אפשרי, לפי חוקי ניוטון, מכיוון שלא יהיה כוח אנכי נוסף שיוכל לאזן את הכוח שמפעילה המשקולת. השרשרת תקרע לפני שהיא תהיה אופקית לחלוטין.

6. בהנחה שהכובען כיוון היטב, החץ יפגע בול במטרה. גם המטרה וגם החץ מאיצים כלפי הקרקע באותה תאוצה ולכן מנקודת מבטם החץ עף היישר אל מרכז המטרה.

סיכום הנקודות:

0-1 אין לכם מושג מה קורה סביבכם.

2-3 אתם מחוברים לא רע למתרחש.

4-5 יש לכם חושים על טבעיים.

6 למדתם פיזיקה, רמאים.

***

אז מה היה לנו?

לא פעם כתבתי כאן בבלוג שכאשר אנחנו באים לדון בתיאוריה כמו תורת הקוונטים למשל, עלינו להשאיר את האינטואיציה בצד ולסמוך בעיקר על תוצאות ניסויים ומתמטיקה. הסיבה לכך היא שהאינטואיציה שלנו התפתחה מתוך ניסיון החיים ואין אנו חווים את תמונת העולם הקוונטית שרלוונטית (בעיקר) בסקאלות קטנות מאוד.

הגישה הזאת מטמיעה בתוכה את ההנחה שבניגוד לעולמות האקזוטיים והביזאריים האלה חיי היום יום שלנו הם אפרוריים וצפויים, ולכן נוכל להשתמש בניסיון החיים למען הבנת המתרחש סביבנו. כל ששת התרחישים בינוניים וסבירים ויכולים לקרות אל מול עינינו בכל יום. עם זאת, עדיין קשה לנו לעכל את תוצאותיהם אלא אם כן עברנו אינדוקטרינציה של חוקי ניוטון. לא פלא שעברו כ-2000 שנים מהפיזיקה של אריסטו ועד לזאת של גלילאו וניוטון.

במידה ותרחישים יום-יומיים אינם אינטואיטיביים עבורנו, ניתן להסיק שאנחנו מחזיקים במיסקונספציות שנטועות חזק בצורה שבה אנחנו תופסים את המתרחש בעולם. מעניין להתחקות אחר אותן תפיסות שגויות ואחר מקורן.

:קטגוריותכללי תגיות: , ,

יותר זה פחות – על הנקודה בה נפגשות תורת המשחקים והמכניקה הניוטונית

אחת השאלות המעניינות בעולם הפקוק בו אנו חיים היא: האם פתיחת כביש חדש מובילה בהכרח להורדה בעומסי התנועה?

לפני זמן מה נתקלתי בפרדוקס ברס (Braess), הלקוח מתורת המשחקים. הפרדוקס מציג מצב שבו הוספת אפיק נוסף לרשת תעבורה עמוסה אינה בהכרח משפרת את הזרימה ועלולה אף לפגוע בה. למעשה, פרדוקס ברס אינו באמת פרדוקס, אך הוא בהחלט מהווה דוגמא טובה לתוצאה מתמטית מאוד לא אינטואיטיבית. ביישום למקרה של עומסי תנועה בכבישים, הפרדוקס לכאורה מראה שבמקום בו יש עומסי תנועה, פתיחת כביש נוסף לא בהכרח תוריד את זמן הנסיעה, ואולי אף תאריך אותו. אני אראה בהמשך שלפרדוקס ברס קיימות דוגמאות נוספות שאינן לקוחות מעולם התעבורה.


איור המציג את פרדוקס ברס.

פרדוקס ברס

בחלק א' של האיור למעלה מתוארים שני מסלולים אפשריים (A ו-B) להגיע מנקודת ההתחלה לסיום. הזמן שלוקח לעבור כל חלק של הדרך מסומן באות 't', ומספר המכוניות בדרך מסוימת מסומן באות 'N'. בחלק מהמסלולים זמן הנסיעה תלוי בעומס, דרך תלות ב- N, ובחלק מהמסלולים הוא אינו תלוי (דוגמא מציאותית: דרך מהירה אל מול דרך מרומזרת). ההנחה בסוג זה של בעיות היא שהנהגים יודעים כמה זמן לוקח לעבור כל חלק ושמטרתם היא לקצר את זמן הנסיעה שלהם. מכיוון שהדרכים A ו-B זהות מבחינת זמן הנסיעה הכולל, חצי מהנהגים יבחרו ב-A וחצי ב-B. אם נניח לדוגמא שישנם 4000 נהגים אז זמן הנסיעה בשתי הדרכים יהיה 65 דקות.

במקרה המתואר בחלק ב' של האיור נפתח כביש נוסף שמאפשר החלפה בין המסלולים באמצע הדרך. ברור כעת שכדאי לנהגים להתחיל במסלול A ובאמצע להחליף ל-B. אך כאשר כל 4000 הנהגים ינהגו כך, זמן הנסיעה של כולם יתארך ל-80 דקות. אם יחליט אחד הנהגים לחזור למסלול הישן (A או B), זמן הנסיעה שלו יהיה אף ארוך יותר (85 דקות). כלומר, פתיחת נתיב תחבורה נוסף האריכה את זמן הנסיעה ולא קיצרה אותו.

הסיבה לתוצאה הזאת היא שכל הנהגים המתוארים כאן תמיד יבחרו בדרך הכי מהירה וכתוצאה מכך יפקקו אותה. לקוראים המעוניינים בתיאור מפורט ומדויק יותר, אני ממליץ לקרא פוסט בנושא בבלוג 'לא מדויק'.

אמנם נוח מאוד להסביר את הפרדוקס על ידי דוגמא העוסקת בנהיגה מכיוון שהיא מתארת מצב המוכר לנו מחיי היום יום, אך יש לשאול האם המודל המתמטי הזה באמת מתאים לתאר מקרים מציאותיים של התנהגות נהגים בכבישים עמוסים. האם כך יתנהגו נהגים 'אמיתיים' בסיטואציה הזאת?

האמת היא שאני לא יודע, וזה כנראה תלוי בהרבה תנאים. אבל כך או אחרת, מסתבר שישנם מקרים אנלוגיים בהם השאלה הזאת אינה רלוונטית מכיוון שבמקרים אלה אין צורך בבני אדם. הבה נבחן אחד מהם הלקוח ממאמר שפורסם בעיתון המדעי Nature.

עולה או יורד?


רשת הקפיצים לפני החיתוך.

האיור למעלה מתאר מצב שבו גוף (סגול) תלוי מהתקרה באמצעות שני קפיצים (שחורים) המחוברים אחד לשני בחבל (כחול). כמו כן, קצהו העליון של הקפיץ התחתון מחובר בחבל (אדום) לתקרה וקצהו התחתון של הקפיץ העליון מחובר בחבל (אדום) לגוף. במצב המתואר באיור, החבלים האדומים רפויים והחבל הכחול מתוח.

כעת גוזרים את החבל הכחול וכתוצאה מכך החבלים האדומים נמתחים כפי שניתן לראות באיור למטה. האם הגוף יעלה או ירד בעקבות ניתוק החבל הכחול והימתחות החבלים האדומים?

מכיוון שכל הערכים הדרושים לחישוב מצויים על גבי האיור הראשון, אלה מכם שמכירים את חוקי המכניקה יוכלו בקלות להגיע לתשובה. אך מעניין הרבה יותר לנסות לענות ללא חישוב, בעזרת האינטואיציה בלבד. את זה יכולים לעשות כולם.

רשת הקפיצים לאחר החיתוך.

התשובה האינטואיטיבית עבור רוב האנשים היא שהגוף ירד מכיוון שהחבלים האדומים ימתחו, אך למעשה ניתן להראות שהגוף דווקא יעלה. הסיבה לכך היא שלמרות שהחבלים האדומים נמתחים, הקפיצים מתכווצים ובסך הכול הגוף עולה. הסיבה לסיבה היא שחוזקם של שני קפיצים המחוברים במקביל כפול מחוזקו של קפיץ בודד. לעומת זאת, חוזקם של שני קפיצים המחוברים בטור שווה לרבע למחצית מחוזקו של קפיץ בודד.

עדיין לא מאמינים? הנה קישור לסרטון יוטיוב המדגים זאת בניסוי.

שימו לב שהדוגמאות של הכבישים והקפיצים עובדות כרונולוגית בסדר הפוך, כאשר הכביש המחבר בין A ל-B שקול לחבל הכחול המחבר בין שני הקפיצים.

מכיוון שקשה מאוד לקשר באופן אינטואיטיבי בין בעיית הזרימה המקורית לבעיית החבלים והקפיצים, הכותבים מראים במאמר שניתן לקבל את האפקט גם במערכות שקולות של זרימת נוזלים או זרימה חשמלית.

כיצד נוצר הקשר בין בעיית הקפיצים לבעיית הזרימה המקורית? הסוד טמון בשתי נקודות חשובות. הנקודה הראשונה היא שימור בצמתים. מספר המכוניות הנכנסות לצומת שווה למספר המכוניות היוצאות ממנו, ובדומה הכוח הפועל למעלה בצומת שווה לכוח הפועל למטה באותו צומת (כלומר הכוח שקול לזרם). הנקודה השניה היא שמסלולים שמחברים בין צמתים, ופעילים בו זמנית, חייבים לגבות מחיר זהה. כלומר, אם שתי דרכים נמצאות בשימוש בו זמנית, אז זמן המעבר בהן שווה או באנלוגיה הימתחות הקפיץ בהן שווה (הגוף תמיד מאוזן).

הכותבים של המאמר מסכמים בכך שההתנהגות האנלוגית לפרדוקס ברס וודאי נמצאת בעוד מערכות זרימה קלאסיות וכל שנותר הוא לחפש אותן. השנה התפרסם מאמר בכתב העת המדעי הנחשב ביותר בפיזיקה – Physical Review Letters – ובו מראים החוקרים את האפקט, אך הפעם במערכת הולכת זרם קוונטית! אבל דיה לצרה בשעתה.

———————————————————————-

לקריאה נוספת:

על פרדוקס ברס מנקודת מבט קצת אחרת בבלוג הומו סאפיינס.