התעמלות פיזיקלית בשש מערכות – כמה מילים על שיווי משקל

אינטרו

לפני מספר חודשים התפרסם במוסף 7 ימים של ידיעות אחרונות ריאיון עם לינוי אשרם, המתעמלת זוכת מדליית הזהב באולימפיאדה, בעקבות הודעתה על פרישה. הריאיון היה מהסוג המפרגן ואפילו היה ניתן למצוא בו מספר תשובות מעניינות של לינוי לגבי מה זה אומר להיות ספורטאית מקצועית בטופ העולמי (אמ;לק – כאבים).

אבל את עיני צדה דווקא התמונה בעמוד הפתיחה של הראיון. בתמונה נראית לינוי נשענת על הידיים בתנוחה התעמלותית עם הראש למטה והרגליים למעלה.

לדבר על תמונה מבלי לראות אותה זה מוזר, אך כדי להימנע מבעיות של זכויות יוצרים החלטתי להציג איור של התמונה במקום. אין לי כשרון או יכולת באיור ולכן אזור הפנים יצא קצת קרינג' אז כדי לא להרגיז את לינוי אם היא אי פעם תראה את הרשימה הזאת (היא לא) בואו ונסכים שהאיור הוא של מתעמלת דמיונית בשם לינור בדרם והיא דומה לזאת שהופיעה בריאיון רק במקרה.

התמונה המאוירת:

איור 1: לינור בדרם בתנוחה התעמלותית

האם בזמן הצילום היא בתנועה? במנוחה? האם היא בשיווי משקל? למה בכלל אנחנו מתכוונים במונח "שיווי משקל"?

ברשימה זאת אנסה להסביר מהו שיווי משקל וגם למה זה מעניין.

שקול כוחות אפס

לפי המכניקה של ניוטון מה שמעניין אותנו זה הכוחות שפועלים על גוף. לשם פשטות נתחיל את הדיון בגוף נקודתי. אם סך הכוחות שפועלים על הגוף הוא אפס הגוף לא ישנה את תנועתו (כלומר ישמור על מהירותו). זהו החוק הראשון של ניוטון. אם סך הכוחות אינו אפס, הגוף ישנה את תנועתו (ישנה את מהירותו, ינוע בתאוצה). היחס בין שקול הכוחות (סך הכוחות) לבין התאוצה הוא מה שנקרא "מסה". זהו החוק השני של ניוטון.

הכוונה ב-"סך הכוחות", "חיבור הכוחות" או "שקול הכוחות" הוא במשהו שנקרא "חיבור וקטורי", מכיוון שלכוח בפיזיקה יש גם גודל (או עוצמה) אך גם כיוון. אם אני דוחף עגלה ימינה והתאום המרושע שלי דוחף גם ימינה, סך הכוחות על העגלה יהיה חיבור גדלי הכוחות ימינה (ראו איור 2). אם אני דוחף ימינה והתאום שמאלה, סך הכוחות יהיה חיסור של הגדלים. במקרה וכל אחד דוחף בעוצמה שונה ובכיוונים שונים יש לפתור תרגיל מורכב יותר בעל אופי אלגברי\גיאומטרי שהפרטים שלו לא חשובים לרשימה זאת.

איור 2: המחשת חיבור כוחות

גוף בשיווי משקל הוא גוף שסך הכוחות עליו הוא אפס. עד כדי כך פשוט. אז אם אתם יושבים עכשיו על כיסא ולא זזים, אתם בשיווי משקל. כדור הארץ מפעיל עליכם כוח כבידה מטה והכיסא מפעיל כוח מעלה. הכוחות שווים בגודלם והפוכים בכיוונם ולכן סך הכוחות אפס. ניתן להסיק זאת גם מתוך העובדה שאתם לא משנים את מהירותכם ומתוך החוק הראשון של ניוטון. גם אם אתם עומדים ללא תנועה, אתם בשיווי משקל וגם אם אתם נעים במהירות קבועה אתם בשיווי משקל. בזמן שינוי המהירות ממנוחה לתנועה לא הייתם בשיווי משקל.

אוקיי, אז מה מעניין בזה?

שקול כוחות משתנה במרחב

זה נהיה מעניין כאשר פרופיל הכוחות אינו קבוע במרחב. למה הכוונה? בואו ונבחן דוגמה פשוטה.

דמיינו גבעה בצורת חצי עיגול. נניח גוף בנקודה כלשהי על הגבעה שאותה נסמן באות A (ראו איור). נניח שאין חיכוך בין הגוף לגבעה. מה יקרה? הגוף יחל להחליק במורד הגבעה במהירות הולכת וגדלה כי פועלים עליו כוחות שסכומם אינו אפס. זאת תהיה התוצאה אם נניח את הגוף בכל נקודה על הגבעה מלבד הנקודה על קצה הגבעה שאותה נסמן באות B (ראו איור 3). בנקודה מיוחדת זאת סך הכוחות הוא במקרה אפס והגוף, לפחות תיאורטית, לא ינוע, אם כי כל דחיפה קטנה או אי שלמות בצורת הגבעה תדרדר אותו.

כעת דמיינו עמק בצורת חצי כדור. התוצאות של הניסוי הקודם יהיו זהות גם במקרה זה. כלומר בנקודות B בשני המקרים הגוף נמצא בשיווי משקל. האם שני המקרים זהים לחלוטין?

איור 3: גופים מחליקים על גבעה ועמק

חישבו מה יקרה אם נניח גוף בנקודה B על הגבעה ונסיט מעט את מיקומו. נחזור על הפעולה במקרה של העמק. התוצאות שונות באופן מהותי. הגוף על הגבעה ייפול מטה והגוף בעמק ינוע חזרה לכיוון נקודה B, יחלוף על פניה, יעלה מעט (לאותו הגובה), יעצור, ישנה כיוון, יחזור לכיוון נקודה B וחוזר חלילה. כלומר יחל לנוע בתנועה מחזורית סביב נקודת שיווי המשקל.

לשיווי המשקל בעמק אנחנו נקרא "שיווי משקל יציב" ולשיווי משקל בגבעה אנחנו נקרא "שיווי משקל לא יציב".

תיאור אנרגטי-אלגברי

אנרגיה פוטנציאלית כובדית של גוף היא אנרגיה הקשורה לכוח הכבידה שפועל על הגוף וליכולת של הגוף לבצע עבודה. למשל, למים שנמצאים בגובה גבוה יש יותר אנרגיה פוטנציאלית כובדית מלמים שנמצאים בגובה נמוך יותר. כאשר המים זורמים מנקודה גבוהה לנמוכה הם מאבדים אנרגיה פוטנציאלית כובדית שמומרת לאנרגיית מהירות והיא יכולה להיות מומרת גם לביצוע עבודה כגון סיבוב גלגל של טחנת קמח, או טורבינה בתחנת חשמל הידרואלקטרית.

נכתוב פונקציה מתמטית שמתארת את האנרגיה הפוטנציאלית הכובדית של הגוף בכל נקודה בעמק או בגבעה ונסכים שגוף שואף להיות במינימום אנרגיה פוטנציאלית (כוח הכבידה תמיד פועל למשוך את הגוף למטה ולהקטין את הגובה). כעת נוכל להפעיל טכניקות מתמטיות מוכרות (ואהובות? שנואות?) מהתיכון של חקירת פונקציות כדי ללמוד על אופי המערכת. נקודת מינימום של הפונקציה תסמן נקודת שיווי משקל יציב, בדיוק כמו ציור של תחתית עמק. נקודת מקסימום תסמן שיווי משקל לא יציב, בדיוק כמו ציור של גבעה. אם כך, נוכל לתאר באופן אלגברי כל מערכת ולנתח אותה לעומק על ידי ביצוע פעולות מתמטיות פשוטות, והשמחה של הפיזיקאים רבה.

מתקרבים חזרה ללינור – מטוטלת

נזכר בגוף בתחתית הגבעה שהוסת מנקודת שיווי המשקל ואז החל לנוע באופן מחזורי סביבה. הכרת נקודת שיווי המשקל חשובה כי סביבה מתרחשת התנועה. שימו לב שתנועת הגוף מזכירה תנועת מטוטלת. האם יש קשר בין המקרים? כן. כפי שהסברתי ברשימה קודמת על מושג מרכז המסה, לשם תיאור תנועה של גוף מורכב ניתן לחשב את נקודת מרכז המסה שלו. אז נפתור בעיה פשוטה יותר של הכוחות שפועלים על גוף נקודתי שאותו נמקם בנקודת מרכז המסה. אם כך, נוכל להמיר מטוטלת לגוף נקודתי תלוי על חוט חסר מסה. נקודת שיווי המשקל של בעיה זאת היא בדיוק בנקודה התחתונה במרכז התנועה של מרכז המסה וסביבה יתנדנד הגוף. אם נשחרר ממנוחה את הגוף בנקודה זאת המטוטלת לא תנוע. ראו את הגיף הבא, ושימו לב היכן סך הכוחות מתאפס – כאשר הכוחות משתווים בגודלם וכיוונם.

איור 4: גיף של תנועת מטוטלת מתמטית. הגיף לקוח מויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש Ruryk.

תיאור זה יעיל מאוד עבור אינספור מערכות דינמיות בפיזיקה, מתנועה אליפטית של כוכבי לכת הלכודים בשדה כבידה של כוכב ועד מצבים שונים ומשונים של חלקיקים באטום ויש עוד.

אאוטרו

ומה עם לינור? האם יכול להיות שהיא נמצאת בתנוחה סטטית בזמן הצילום? האם היא בתנועה? בשיווי משקל יציב? לא יציב?

קשה לדעת. הצילום מעולה במובן הזה, ואני רחוק מלהיות מומחה בתחום כלשהו שיעזור לי להכריע. אז ננחש ביחד.

לדעתי מרכז המסה של לינור נמצא מעל נקודת ציר הסיבוב שלה (כפות הידיים על הקרקע) ולכן לדעתי היא לא בשיווי משקל ולא תוכל להחזיק את עצמה בתנוחה זאת לאורך זמן. עם זאת השיער שלה נראה מוטה ישירות כלפי מטה, והתמונה אינה מטושטשת כמו תמונה של גוף בתנועה. לכן אני מסיק שכנראה היא בתנועה ממש איטית, אפילו על גבול העצירה הרגעית ברגע הצילום.

שימו לב שהגוף, ודאי זה של לינור, לא צריך לפתור משוואות כדי לדעת מה לעשות. הוא מוצא את הפתרון מאימון, חזרתיות וזיכרון שרירים.

מכונה מופלאה 🙂

תנו לי מספיק גלגלות ואזיז את העולם ממקומו

התוכנית "מהצד השני" עם גיא זוהר, שמשודרת בערוץ כאן11, עוסקת בד"כ בביקורת ובבדיקת עובדות של דברים שנאמרים או נכתבים בתקשורת. בתאריך 12.01.22 שודר אייטם קצר והיתולי למחצה שעסק במשהו שנאמר במהלך פרק של התוכנית "הישרדות". באחת המשימות בתכנית נדרשו שלושה משתתפים להחזיק את עצמם מליפול למים באמצעות משיכה בחבל שעובר דרך מערכת גלגלות. המנחה הכריז מספר פעמים בדרמטיות על הקושי הרב במשימה שנובע מכך שעל המתחרים להחזיק את משקל גופם באמצעות החבל. גיא זוהר העיר ותיקן שמכיוון שיש שימוש במערכת גלגלות המתחרים אינם מחזיקים את משקל גופם המלא, אלא פחות מכך. הנה קישור לקטע הקצר (אורכו 02:30 דקות):

גיא זוהר מסתמך על דעת חכמים, והוא כמובן צודק. אבל למה? איך גלגלת יכולה להפחית משקל שיש להרים?

ברשימה זאת אנסה להסביר, דרך דוגמה תיאורטית פשוטה יחסית, כיצד שימוש בגלגלת יכול להקל על הרמת משקלים וגם מדוע לא ניתן להאיר את כל רמת-גן באמצעות טריק זה.

***

רוב ההסבר שלי נשען על החוק הראשון של ניוטון ולכן ראשית אסביר מהו ואנסה לשכנע שהוא נכון.

מהו החוק הראשון של ניוטון?

קחו בבקשה כוס שקופה וגולת משחק. הניחו את הגולה על משטח חלק וישר (למשל שולחן) והניחו את הכוס הפוכה מעל הגולה. כעת הניעו את הכוס כך שהגולה תחל לנוע במעגלים לאורך הדופן של הכוס. מה יקרה אם נרים את הכוס בפתאומיות? אם אתם לא בטוחים, ממליץ לנסות לפני שקוראים הלאה.

האינטואיציה של חלק גדול מאיתנו אומרת שלאחר הרמת הכוס הגולה תמשיך לנוע במעגלים, אבל מה שיקרה הוא שהגולה תנוע בקו ישר בכיוון התנועה שבה היתה רגע לפני הרמת הכוס.

החוק הראשון של ניוטון אומר שגוף לא ישנה את תנועתו כל עוד סך הכוחות עליו הוא אפס. הכוונה ב-"ישנה את תנועתו" היא ישנה את גודל מהירותו או את כיוון מהירותו. הסיבה שהגולה משנה את כיוון תנועתה בכל רגע היא שדופן הכוס מפעילה עליה כוח בכל רגע. ברגע הרמת הכוס הכוח נעלם והגולה מתמידה בתנועה שבה היא נמצאת באותו הרגע – תנועה בקו ישר לכיוון כלשהו, ללא שינוי בגודל המהירות או בכיוונה.

מה הכוונה ב-"סך הכוחות עליו הוא אפס"?

נניח שפועלים על גוף שני כוחות שווים בגודלם, אחד ימינה ואחד שמאלה. התוצאה במשמעות של שינוי תנועת הגוף (בניגוד למשמעות של שינוי צורה) תהיה זהה למקרה שבו לא מופעל עליו כוח כלל. לכן נהוג להגיד שסכום הכוחות במקרה זה הוא אפס, כי הכוח השקול למקרה זה הוא לא להפעיל כוח כלל.

כיצד נשתמש בחוק הראשון כדי להסיק גדלים של כוחות במערכת מכנית?

בואו ונחשוב על מקרה שבו אנחנו דוחפים מקרר והוא לא זז. מדוע המקרר לא משנה את מהירותו למרות שאנחנו מפעילים עליו כוח? כי יש עוד כוח בכיוון הפוך – כוח החיכוך. ומה גודלו של כוח חיכוך זה? נחזור לחוק הראשון של ניוטון שגורס שאם סך הכוחות על גוף הוא אפס הוא לא ישנה את תנועתו. אם כך ניתן להסיק מהחוק שכוח החיכוך פועל בכיוון מנוגד לכיוון הכוח שאנחנו מפעילים וגודלו שווה לגודל הכוח שאנחנו מפעילים כך שסכום הכוחות על המקרר הוא אפס.

במקרה אחר נתלה מקרר על חבל המשתלשל מהתקרה. מהו הכוח שצריך לפעיל החבל על המקרר כדי שלא ייפול? על המקרר פועלים שני כוחות מנוגדים, כוח הכבידה כלפי מטה וכוח החבל כלפי מעלה. אם כך, כדי שהמקרר לא ישנה את תנועתו ולא ייפול החבל צריך להפעיל כוח ששווה בגודלו לכוח הכבידה כך שסכום הכוחות יהיה שווה אפס, לפי החוק הראשון של ניוטון. מכאן גם נובע שאם אנחנו רוצים להחזיק ביד את החבל כך שהמקרר תלוי באוויר נצטרך להפעיל כוח בגודל ששווה לגודלו של כוח הכבידה שפועל על המקרר, כלומר כוח ששווה למשקל שלו.

[הערת שוליים – אני מניח בכל הדוגמאות שלי שמתיחות החבל זהה בכל נקודה לאורך החבל. ההנחה לא תמיד נכונה ולכן הערכים שאני אחשב אינם מדויקים]

האם הכוח שנצטרך להפעיל כדי להחזיק מקרר תלוי באוויר ישתנה אם נחזיק את החבל שמחזיק את המקרר דרך גלגלת?

נתבונן בכוחות שפועלים על המקרר במקרה זה. כוח כבידה למטה וכוח חבל/יד למעלה. מכיוון שאני מניח שמתיחות החבל אינה משתנה לאורכו (ראו הערת שוליים קודמת) התשובה אינה משתנה. כדי להחזיק את המקרר תלוי באוויר דרך גלגלת עלי להפעיל כוח ששווה לערכו של כוח הכבידה שפועל על המקרר, כלומר משקל המקרר.

נבחן מקרה שבו המקרר תלוי מהגלגלת, אך מוחזק בשתי נקודות על ידי החבל.

נתבונן בכוחות שפועלים על המקרר במקרה זה. כוח כבידה כלפי מטה כמו בכל הדוגמאות הקודמות. אבל הפעם החבל מפעיל על המקרר כוח בשתי נקודות שונות, כלומר מפעיל עליו פעמיים את הכוח שבו הוא מתוח. אם כך, בדוגמה המוזרה הזאת, בשונה מהדוגמאות הקודמות, החבל מתוח פחות (חצי מכוח הכבידה אם נניח שמתיחות החבל שווה בכל נקודה). זאת מכיוון שפועל על המקרר כוח כבידה כלפי מטה ופעמיים כוח החבל כלפי מעלה. החוק הראשון טוען שסך הכוחות חייבים להיות מאוזנים ולכן כוח החבל או מתיחותו במקרה זה קטנה יותר ממשקל המקרר. שימו לב שהמתיחות בחבל שמחזיק את הגלגלת לתקרה הוא עדיין שווה בגודלו למלוא המשקל.

כעת כל החלקים של הפאזל כבר הוצגו. נותר רק למצוא קונפיגורציה שבה נוכל לנצל את הטריק של הפחתת המתיחות בחבל וגם להחזיק את המקרר בכוח היד דרך החבל. לשם כך אנחנו זקוקים לעוד גלגלת ולכוח המצאה. למזלי מישהו כבר חשב על זה מזמן.

נבחן את המקרה הבא שכולל שתי גלגלות:

במקרה זה, במקום שהמקרר יהיה תלוי על שני קצוות של אותו החבל, המקרר תלוי על גלגלת שהיא זאת שתלויה משני נקודות של חבל. הפעם כדי להבין את המערכת נצטרך לבחון את הכוחות על הגלגלת שממנה תלוי המקרר. כוח הכבידה מהמקרר פועל עליה כלפי מטה ובדומה למקרה הקודם החבל מפעיל עליה פעמיים כוח כלפי מעלה. מכיוון שנתון שהגלגלת לא משנה את תנועתה, מתיחות החבל תהיה קטנה ממשקל המקרר כמו במקרה הקודם. אם כך, כדי להחזיק את המקרר תלוי ללא תנועה יש לפעיל על ידי היד פחות ממשקלו. קסם!

חידה1: חשבו על דרך להפחית אף יותר את הכוח שנצטרך להפעיל על ידי הוספת עוד גלגלת.

למעשה ניתן להוסיף עוד ועוד גלגלות ולהפחית עוד ועוד את כמות הכוח שיש להפעיל כדי להחזיק את המקרר תלוי (אם כי, יש להתחשב גם בכוחות חיכוך שמתווספים שלא לקחנו בחשבון).

נקודה לסיום:

אם כל מה שהצגתי נכון, אפילו בקירוב, מדוע אנחנו לא עושים זאת כל הזמן? מדוע אנחנו לא מושכים מקררים דרך כמות גדולה של גלגלות?

קודם כל, אנחנו אכן עושים זאת, כפי שניתן לראות למשל במשימת ההישרדות בסרטון.

אבל שימו לב שבדוגמה האחרונה כדי להעלות את המקרר בחצי מטר יש למשוך את החבל במטר שלם. החלק של החבל מימין לגלגלת צריך להתקצר בחצי מטר, וגם החלק משמאל ולכן ביחד מטר אחד. כלומר שבהתקן הזה אנחנו חוסכים בכמות הכוח שיש להפעיל אבל מפסידים בכמות המרחק שלאורכו יש להפעיל את הכוח הזה.

כוח כפול המרחק שלאורכו הוא מופעל זה בדיוק ההגדרה הפיזיקלית של מונח העבודה. מכך ניתן לראות שלא ניתן לחסוך בכמות העבודה שיש לבצע כדי להרים מקרר לגובה, ולהגדיל את האנרגיה הפוטנציאלית הכובדית שלו, באמצעות הוספת עוד ועוד גלגלות. לכן לא נוכל להאיר את כל רמת-גן באמצעות רכישת כמות גדולה של גלגלות ומקררים. חבל.

נ.ב – חידה2: אדם יושב על מקרר ומחזיק אותו תלוי באמצעות חבל שעובר דרך גלגלת וקשור למקרר כפי שניתן לראות באיור. א) מה התנאי שהמקרר לא ייפול? ב) במידה והמקרר באמת לא נופל, כמה כוח צריך להפעיל האדם שיושב על המקרר?

איך לא לירות חץ ללב השמש

דמיינו אדם קדמוני, חמוש בחץ וקשת, שכועס על השמש הקופחת על פדחתו ומנסה לירות בה. מגוחך, נכון? אבל למה בעצם?

דמיינו אדם קדמוני אחר, חמוש בצורה דומה, שכועס דווקא על כדור הארץ. החיים שלו הרבה יותר קלים. לא משנה לאן יכוון את הירי, באיזה עוצמה יירה ובאיזה כיוון, תמיד יפגע (בהנחה שחץ לא ננעץ בעץ או משהו אחר). הכבידה תמיד מנצחת.

אם כך, כל מה שנדרש כדי לפגוע בשמש זה לירות חץ במהירות מספיק גבוהה כך שיברח משדה הכבידה של כדה"א, ואז הפגיעה מובטחת, לא? הרי השמש היא ודאי הגורם הכבידתי המשמעותי ביותר באזור.

הבעיה היא שכבידה לא בדיוק עובדת ככה.

אנסה להסביר ללא שימוש במתמטיקה.

***

נפתח בשאלה:

מדוע אסטרונאוטים מרחפים בתחנת החלל?

אסטרונאוטים מרחפים בתחנת החלל (2008). המקור לתמונה: ויקיפדיה, והמקור האמיתי לתמונה: Nasa.

התשובה הנפוצה: כי כוח הכבידה חלש מאוד שם למעלה.

תנו לי לשכנע אתכם שזה לא נכון. קחו חפץ כלשהו וקישרו אותו לחבל. כעת עשו מה שתעשו לחבל כך שהגוף ינוע במעגל אופקי בקצב קבוע. מי גורם לגוף הקשור לנוע בתנועה מעגלית? אתם? הרי אתם לא נוגעים בו. זה החבל. קל לבדוק זאת. אם החבל יקרע החפץ יעוף ויפסיק את התנועה המעגלית גם אם תמשיכו לנענע את היד.

בצורה דומה חישבו על תחנת החלל והאסטרונאוטים בתוכה. מה שגורם להם לנוע בתנועה מעגלית הוא כוח הכבידה שמחליף את החבל בדוגמה הקודמת. אם לא היה כוח כבידה התחנה היתה עפה לחלל ולא היינו שומעים ממנה שוב. למעשה תחנת החלל קרובה מאוד לפני כדה"א וערכו של כוח הכבידה שם הוא כ-90 אחוז מערכו על הקרקע.

אז למה האסטרונאוטים מרחפים?

חישבו על הרגע שבו אתם נמצאים במעלית ובדיוק לחצתם על הכפתור לעלות למעלה. לרגע קט בו המעלית מתחילה לנוע מעלה (המעלית בתאוצה) אנחנו מרגישים קצת מעוכים בבטן ובברכיים. תחושה זאת אינה רק בראש שלנו. קחו משקל למעלית, עלו עליו ולחצו על כפתור המעלית לעלות למעלה. בזמן ההאצה המחוג יזוז וחיווי המשקל שלכם יעלה. ברגע שהמעלית סיימה להאיץ ונעה במהירות קבועה, המחוג יחזור למשקל הרגיל.

ומה יקרה אם המעלית תאיץ כלפי מטה? בדיוק הפוך, וגם את זה אנחנו מרגישים יום-יום במעלית. לרגע קט, בזמן ההאצה, המשקל שלנו יורד. ומה יקרה אם המעלית מאיצה יותר מהר? אז המשקל שלנו ירד אף יותר.

ומה יקרה אם המעלית נעה מטה בתאוצת הנפילה החופשית על פני כדה"א? אז זה אומר שכנראה הכבל שמחזיק את המעלית נקרע (תרחיש מאוד לא סביר) ואתם, המעלית ומד-המשקל נופלים באותה תאוצה כלפי מטה. במצב זה, כשכולם נופלים, לא ניתן להפעיל "קונטרה" על המשקל וקריאתו אפס. זהו מצב של חוסר משקל. ביחס למעלית אנחנו מרחפים.

לא מאמינים? חפשו סרטונים על מטוס שעושה בדיוק את זה ונקרא בשם החיבה הלא נעים: "Vomit comet".

אם כך, האסטרונאוטים בתחנת החלל מרחפים ביחס לתחנה כי הם והתחנה נופלים יחדיו אל כדור הארץ באותה תאוצה. לכן השאלה הנכונה היא לא מדוע האסטרונאוטים מרחפים, אלא מדוע הם לא מגיעים לקרקע.

מדוע האסטרונאוטים בתחנת החלל לא מגיעים לקרקע?

התשובה לכך היא שמלבד לנפילה הם גם נעים במהירות שכיוונה משיק למסלול התנועה המעגלית של התחנה סביב כדה"א. גודל המהירות הוא כזה שהוא מפצה באופן מושלם על הנפילה. הנפילה לכדה"א מקרבת את התחנה לקרקע והתנועה בכיוון משיקי מרחיקה אותה מהקרקע בדיוק באותה מידה. כלומר, באופן תיאורטי, כדי להעלות לוויין לתנועה מעגלית סביב כדה"א יש להעלות אותו לגובה הרצוי ואז לתת לו מהירות בדיוק גודל הנכון בכיוון משיק למסלול הרצוי. (השיקולים הפרקטיים האמיתיים להעלות לוויין הם הרבה יותר מורכבים, כמובן, אך אינם חשובים למה שאני רוצה להסביר. מה גם שאינני מומחה בלוויינים).

ומה קורה אם הלוויין לא נע במהירות הנכונה? כל עוד הוא לכוד בשדה הכבידה של כדה"א הוא ינוע במסלול אליפטי סביבו. שימו לב לנקודה החשובה הזאת: כל הלוויינים של כדה"א, כולל הירח, לכודים בשדה הכבידה שלו. ראו באיור הבא המחשה לאותו הרעיון על ידי ירי פגז תותח במשיק לכדה"א בקצהו של הר. הרעיון לקוח מאייזיק ניוטון בכבודו ובעצמו.

התותח של ניוטון. במסלולים A ו-B מהירות השיגור נמוכה והפגז נוחת על הקרקע. במסלול C המהירות בדיוק מתאימה לתנועה מעגלית בגובה פני כדה"א. במסלול D המהירות גבוהה יותר ולכן תנועה אליפטית סביב כדה"א, אז הפגז עדיין לכוד בשדה הכבידה. במסלול E לא ניתן לדעת לפי האיור. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש Brian Brondel.

מה יקרה אם לוויין שנע במסלול מעגלי או אליפטי סביב כדור-הארץ יפעיל מנוע כלשהו ויעצור במקום, כלומר יאפס את מהירותו המשיקית? אז הוא כמובן ייפול לכדה"א. הרי המהירות היא מה שמנעה ממנו להגיע לשם מלכתחילה.

מדוע קשה ליפול אל השמש?

כעת בואו ונזכר שכדה"א, אנחנו והחצים שלנו, כולם לכודים בשדה הכבידה של השמש. מדוע אנחנו לא נופלים לתוכה? כי אנחנו נעים במסלול אליפטי יציב סביבה, כפי שהסביר לנו קפלר. אם כך, גם אם החץ שירינו ברח משדה הכבידה של כדה"א הוא עדיין לכוד בשדה הכבידה של השמש ונע סביבה בערך במהירות של כ-30 קילומטר לשניה.

נראה שהגענו לפתרון. כל מה שנדרש הוא להפעיל מנועים כדי לעצור את מהירותו המשיקה של החץ סביב השמש לאחר הבריחה משדה הכבידה של כדה"א. במקרה כזה הוא אכן, ככל הנראה, ייפול לתוך השמש, מה שיחשב כפגיעה לכל הדעות. אבל,

הבעיה היא שאנחנו עדיין לא שם מבחינה טכנולוגית. המהירות שיש לבטל היא גדולה מאוד. הטיל שיידרש כדי לשגר מעלה את עצמו (כולל החץ) ובתוכו את כמות הדלק הנדרשת גם כדי להעלות מעלה את עצמו וגם כדי לעצור את המהירות המשיקית שלו הוא הרבה יותר מורכב ממשהו שאי פעם בנינו. זכרו שכדי להעלות יותר משקל נדרש יותר דלק שמעלה את המשקל ומצריך יותר דלק וכך הלאה. ויש גם את החץ.

אז האם הכל אבוד?

לא, ההפך הוא הנכון. יש דרכים אחרות, יותר מורכבות להבנה, כדי לשלוח חלליות לכיוון השמש, אם אנחנו מוכנים לוותר על פגיעה ישירה. ניתן להשתמש במנגנון שנקרא Gravity assist שמשתמש בכוח הכבידה של כוכבי לכת אחרים סביב השמש כדי להשפיע על המסלול של הגוף המשוגר (כתבתי על כך ברשימה קודמת), כך שעם הזמן המסלול האליפטי של הגוף ילך ויתקרב לשמש. בשנת 2018 שוגר ה-Parker Solar Probe כדי לחקור את הקורונה של השמש ובשנת 2025 הוא צפוי להגיע במסלול האליפטי שלו סביב השמש למרחק של כ-7 מיליון קילומטר ממנה (ראו הנפשה). נכון, לא פגיעה ישירה, אבל קרוב לאללה, או לפחות הכי קרוב שנגיע בזמן הקרוב. ובכל מקרה, מי רוצה לנחות על השמש? חם שם…

• 

הנפשה של המסלול של Parker Solar Probe בין התאריכים 07.08.18-29.08.25. המקור להנפשה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Phoenix7777.

איך להאיץ חללית מבלי להשתמש (כמעט) בדלק באמצעות פיזיקה (כמעט) תיכונית

הפעם אני רוצה לכתוב משהו קטן על חלליות, אבל בדרך אצטרך להתעכב לא מעט על כדורי טניס. נראה אם נצליח להיפגש בסיום.

***

דמיינו מקרה שבו כדור טניס נע לכיוון קיר, פוגע בניצב אליו וחוזר חזרה באותה מהירות בה הגיע (ראו איור 1). במקרה זה יש משהו שמשתנה באופן משמעותי ומשהו שנשאר קבוע בעקבות ההתנגשות של הכדור עם הקיר. כיוון תנועתו של הכדור משתנה באופן משמעותי בעקבות המפגש, אבל גודל המהירות, כלומר מספר המטרים שעובר הכדור בכל שניה, נשאר אותו הדבר. השינוי בכיוון התנועה נובע מכך שבזמן ההתנגשות הקיר הפעיל כוח על הכדור. העובדה שגודל המהירות לא השתנה הוא מקרה פרטי מיוחד.

[הערת שוליים: התנגשות שבה נשמר גודל האנרגיה במערכת נקראת בעגה: 'התנגשות אלסטית'.]

איור 1: כדור פוגע בניצב לקיר, הופך את כיוון תנועתו אך שומר על גודל המהירות (התנגשות אלסטית).

מה יקרה לאותו כדור שנע לכיוון אותו הקיר במהירות v אם הקיר נע בכיוונו במהירות u?

כדי לגלות את הפתרון לבעיה זאת עם כמה שפחות מתמטיקה נשתמש בטריק שפיזיקאים אוהבים: 'מהירות יחסית' ומעבר מערכות ייחוס.

חישבו על שתי מכוניות במרחק 100 ק"מ אחת מהשניה שנעות אחת לכיוון השניה במהירויות 80 קמ"ש ו-20 קמ"ש. תוך כמה זמן ייפגשו? המכוניות צריכות לכסות עד למפגש מרחק של 100 ק"מ. בכל שעה מכסה מכונית אחת 80 ק"מ והשניה 20 ק"מ. כלומר ביחד מכסות 100 ק"מ בשעה. אם כך ניתן לומר שהמהירות היחסית בין שתי המכוניות היא 100 קמ"ש, ולכן הן יפגשו אחרי שעה. אם היינו מרכיבים מצלמה על גג אחת המכוניות, המכונית שעליה המצלמה היתה נראית בסרטון עומדת במקום (בהנחה שלא מתבוננים בנוף מסביב שמשתנה), והמכונית השניה מתקרבת אליה במהירות 100 קמ"ש.

כעת בואו ונשים מצלמה על הקיר.

בעיני מצלמה שיושבת על הקיר הנע (בעגה: 'מערכת הקיר'), הקיר נמצא במנוחה והכדור נע לכיוונו במהירות v+u שמאלה. את הבעיה הזאת אנחנו כבר מכירים. הכדור פוגע בקיר והופך כיוונו, כלומר נע במהירות v+u ימינה, לאחר ההתנגשות. כעת נעבור ממצלמה על הקיר למצלמה על הקרקע (בעגה: 'מערכת המעבדה'). התוצאה הפיזיקלית חייבת להישאר זהה, כלומר הכדור חייב לנוע מהר יותר מהקיר ב-v+u ימינה. עבור המצלמה על הקרקע הקיר, שלא הושפע מההתנגשות, עדיין נע במהירות u ימינה, ולכן הכדור נע לעיניי המצלמה ימינה במהירות u+(v+u), כלומר במהירות v+2u ימינה. אם כך, הכדור האיץ באופן משמעותי. הוא לא רק שמר על מהירותו וקיבל את מהירות הקיר אלא הרבה מעבר לזה (ראו איור 2).

כעת ברור מדוע בפעמים הבודדות שניסיתי לשחק טניס, הכדור ששוגר מהמחבט שלי (במקרים המעטים שהצלחתי לגרום להם להיפגש) עזב את תחומי המגרש (ואת המתחם כולו).

איור 2: כדור פוגע בניצב לקיר נע. כיוון תנועתו מתהפך וגודל מהירותו גדל (התנגשות אלסטית).

***

אסבך את הבעיה עוד קצת.

דמיינו כעת כדור שפוגע בקיר בזווית ולא במאונך.

שוב נשתמש בטריק שפיזיקאים אוהבים. נפרק את התנועה לשני צירים מאונכים ונפתור עבור כל ציר בנפרד. את זה מתיר לנו לעשות החוק שני של ניוטון שממנו ניתן להסיק שכוחות שפועלים בציר x, למשל, משפיעים רק על שינוי מהירות בציר x, וכוחות בציר y רק על שינוי מהירות בציר y.

את וקטור המהירות נוכל לפרק לפי טריגונומטריה של משולש ישר זווית לרכיב בכיוון x ורכיב בכיוון y. גם אם שכחתם את המתמטיקה הזאת מימי התיכון, אין זה חשוב למסקנה שאליה אני חותר. רכיב המהירות בציר y לא ישתנה כי הקיר אינו מפעיל כוח בכיוון זה (אין חיכוך, למשל). רכיב המהירות בציר x ישמור על גודלו אבל יהפוך כיוונו. אם כך נקבל שהכדור שומר על גודל מהירותו בזמן ההתנגשות, אבל כיוונו משתנה כך שזווית היציאה שווה לזווית הכניסה ביחס לקיר (ראו איור 3).

איור 3: כדור פוגע בזווית לקיר, הופך את כיוון תנועתו בציר x ושומר על תנועתו בציר y (התנגשות אלסטית). התוצאה היא שזווית ההחזרה שווה לזווית הפגיעה.

סיבוך אחרון: מה יקרה אם הקיר נע ימינה?

נשלב את כל הטריקים, מצלמה על הקיר ופירוק לרכיבי מהירות. במערכת הקיר התוצאה זהה לתוצאה של קיר במנוחה, רק עם מהירות v+u, במקום v. כאשר נעבור לצופה במעבדה נקבל שרכיב המהירות ב-y לא משתנה, אך הרכיב ב-x הוא v+2u, כמו שראינו בדוגמה של התנועה החד-ממדית. נוכל לחבר חזרה את רכיבי המהירות בשימוש בטריגונומטריה של משולש ישר זווית ונבחין שכיוון התנועה שונה ביחס לתוצאה של קיר במנוחה וגם שגודלה של מהירות הכדור גבוהה יותר.

[הערת שוליים: במקרה זה, דרך הפתרון שלי תלויה במספר גורמים ואינה נכונה באופן גורף, למשל בכך שהכוח יושב על ציר x בלבד. אמנם האנרגיה נשמרת אך לא ניתן לדבר על שימור ברכיבי המהירות שהרי אנרגיה אינה וקטור. בשורה התחתונה, הדרך נכונה רק עבור המקרה המתואר, אבל המסקנה הכללית נכונה תמיד.]

איור 4: כדור פוגע בזווית לקיר נע, מגדיל והופך את כיוון מהירות בציר x ושומר על תנועתו בציר y (התנגשות אלסטית). התוצאה היא שזווית ההחזרה שונה מזווית הפגיעה וגודל מהירות ההחזרה גדל. כלומר, כדור הטניס שינה את כיוונו והאיץ בעקבות ההתנגשות עם הקיר.

בעצם הצלחנו לנתב מחדש את כיוון הכדור ועל הדרך גם להאיץ אותו. נוכל לשלוט על כיווני התנועה של הכדור לאחר ההתנגשות ועל גודל מהירותו, כולל גם להאט את תנועתו, על ידי שינוי בכיוון ובגודל תנועת הקיר ביחס לכדור הטניס.

[הערת שוליים: ומה לגבי שימור אנרגיה? האם לא נוצרה אנרגיה יש מאין?! לא. למעשה כדור הטניס גנב מעט אנרגיה קינטית מהקיר וגרם להאטה שלו, אבל בקירוב שלנו, ערך זה זניח].

שחקני טניס וודאי יודעים, 'דרך הידיים', את כל מה שפיתחתי כאן, ואף יותר. במקרה שלהם יש חיכוך בין המחבט ('הקיר') לכדור ולכן נפתח עבורם עולם שלם של מורכבות דרך ספינים וסלייסים, שהופכים את המשחק למעניין יותר, ודורשים מהשחקן מיומנות גבוהה.

אבל איך כל זה קשור לחלליות?

טוב ששאלתם.

***

חישבו על חללית שנעה לכיוון כוכב לכת במהירות מספיק גבוהה כדי לא להילכד בשדה הכבידה שלו. בשלב ההתקרבות היא נופלת אל הכוכב ומאיצה, ובשלב ההתרחקות היא יוצאת מהבור כנגד כוחות הכבידה שפועלים עליה, ומאטה. צורת המסלול של החללית היא היפרבולה (לא להתבלבל עם פרבולה), אבל גם אם אינכם מכירים את הצורה, מספיק לדעת שבמרחקים מספיק גדולים מהכוכב המסלול ההיפרבולי הוא בקירוב קו ישר (ראו אנימציה 5).

אנימציה 5: המחשה באנימציה של האצה של חללית (נקודה כחולה) באמצעות מעבר ליד כוכב לכת (כדור אפור). הגרף למטה מייצג את גודל המהירות של החללית בכל רגע. המקור לאנימציה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על יד המשתמש Y tambe.

אם כן, אם נתעלם ממה שקורה כאשר הגופים קרובים אחד לשני, נבחין שהחללית נעה בקו ישר במהירות v אל הכוכב שנע במהירות u, ולבסוף החללית ממשיכה בדרכה בכיוון חדש ובמהירות חדשה בקו ישר. נוסיף את העובדה שכוכב הלכת אינו מושפע מהאינטראקציה, ונסיק שאין הבדל מהותי בתוצאות הסופיות בין הבעיה הזאת לבעיה של הכדור המתנגש בקיר (בעגה: בשני המקרים ההתנגשות אלסטית, והגוף הגדול אינו מושפע, בקירוב, מהאינטראקציה).

אם אין הבדל מהותי בתיאור הפיזיקלי של התנגשות כדור טניס בקיר נע לבין חללית שנעה בקרבת כוכב לכת נע, זה אומר שמה שלמדנו מניתוח המקרה הראשון תקף גם לשני. כלומר, נוכל להשתמש באינטראקציה בין החללית לכוכב לכת בתנועה כדי להאיץ או להאט את החללית ללא שימוש בדלק, כפי שראינו עם הכדור והקיר. והרי, דלק הוא המשאב היקר ביותר על גבי חללית ששוגרה מכדה"א לחלל, ולא בגלל מחיר הדלק. למעשה אנחנו גונבים מעט מהירות (אנרגיה קינטית) מכוכב הלכת, אבל בגלל הפרשי המסה העצומים הוא לא ירגיש את זה. שיטה זאת מצריכה, כמובן, חישוב מוקדם של המסלולים ואני מנחש שהיא מצריכה גם הפעלה מוגבלת של המנועים כדי לכוון במדויק למסלול הרצוי, אז לא לגמרי ללא דלק, אבל חיסכון מהותי.

ואכן, במספר רב של מקרים נעשה שימוש בתופעה זאת במשימות חלל בעבר. ניתן לקרוא על מקרים אלה בדף הויקיפדיה הזה. אחת הדוגמאות ניתן לראות באנימציה 6 שלקוחה מאותו הדף.

התופעה או הטריק הזה נקרא לפעמים gravity assist, ולפעמים gravitational slingshot.

אנימציה 6: המחשה באנימציה של המסלול של חללית ווייג'ר 2 בין התאריכים 20 באוגוסט 1977 ועד 31 בדצמבר 2000. החללית בסגול, כדה"א בכחול, צדק בירוק, שבתאי בתכלת, אורנוס בחרדל, נפטון באדום. המקור לאנימציה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על יד המשתמש Phoenix7777, באמצעות נתונים מנאסא.

וזהו בעצם.

דיאטת קו המשווה – על משקל ותאוצה

מה אנשים רוצים?

אהבה? הגשמה? רווחה? אושר?

שטויות! מה שאנשים באמת רוצים זה לשקול פחות.

באחת הרשימות הקודמות סיפרתי על 'דיאטת נפילה'. עיקרה הוא שבמהלך נפילה חופשית, משקלו של אדם העומד על מאזניי קפיץ הוא אפס. הצונח אינו לוחץ כלל על המאזניים מכיוון ששניהם נופלים באותה תאוצה. זאת הסיבה, למשל, שהאסטרונאוטים בתחנת החלל מרחפים. המסה של הנופלים, אגב, לא משתנה, אבל למה להתרכז בשלילי.

הפעם אני רוצה לחזור לנושא ולספר על 'דיאטת קו המשווה'. כל שעל מפחית המשקל הפוטנציאלי לעשות הוא לעבור לגור באזור קרוב יותר לקו המשווה. ירידת המשקל היא מיידית ומובטחת! באחריות!

"כמה?", אתם שואלים. קודם בואו ונדון ב-'למה', ואח"כ נגיע לכמה. נראה גם את הקשר בין דיאטת הנפילה לדיאטת קו המשווה. שתיהן אינן בלתי קשורות אחת בשניה.

***

נקניק סלמי מונח על רצפת מעלית. מהם הכוחות שפועלים עליו?

מצד אחד, כוח הכבידה פועל עליו כלפי מטה. מצד שני הוא אינו נע. אם כך, ברור שהמשטח מפעיל עליו כוח שווה בגודלו והפוך בכיוונו לכוח הכבידה כלפי מעלה. סכום הכוחות הוא אפס. זהו בעצם החוק הראשון של ניוטון. (כל עוד סכום הכוחות על גוף הוא אפס, הגוף אינו משנה את מהירותו).

כלומר, הכוח שמפעיל המשטח על הסלמי שווה לכוח הכובד שפועל על הסלמי.

כאשר מניחים גוף על מאזניי קפיץ, מורים המאזניים את הכוח שמפעיל המשטח על הגוף. מכאן שאם הסלמי מונח על משקל קפיץ, היה מורה המשקל את כוח הכובד. על פני כדה"א ערכו של כוח הכובד קבוע ונתון על ידי מסת הסלמי כפול תאוצת הנפילה החופשית.

איור 1: נקניק סלמי מונח על מאזניים שמונחות על רצפת מעלית במנוחה.

מה קורה אם המעלית משנה את מהירותה, למשל מאיצה כלפי מטה?

אותם כוחות פועלים על הסלמי גם במקרה הזה, אבל לא יכול להיות שסכומם שווה לאפס כי מהירותו של הסלמי משתנה (ביחד עם המעלית). כאן נכנס לפעולה החוק השני של ניוטון שאומר שבמידה וסכום הכוחות על גוף אינו שווה לאפס, הוא שווה למסתו של הגוף כפול התאוצה שלו. החוק השני הוא חוק טבע וניתן להוכחה במעבדה.

אם כך, הפחתת הכוח שמפעיל המשטח על הגוף מכוח הכובד צריכה להסתכם בגודל ששווה למסתו של הגוף כפול תאוצת הנפילה החופשית. מהעברת אגפים במשוואה קל להסיק שבמקרה זה הכוח שמפעיל המשטח על הסלמי קטן יותר מאשר במקרה הקודם בדיוק בערך של התאוצה כפול מסת הסלמי, וזה גם מה שיימדד במאזניים. הסלמי ישקול פחות.

איור 2: נקניק סלמי מונח על מאזניים שמונחות על רצפת מעלית שמאיצה כלפי מטה.

מה יקרה אם נחתוך את הכבל שמחזיק את המעלית והיא תחל ליפול בנפילה חופשית? גם הפעם יפחת המשקל במסה כפול תאוצה, אבל כעת התאוצה היא תאוצת הנפילה החופשית. מכאן שהמשקל במהלך נפילה הוא אפס. הסלמי לא מפעיל כלל כוח על המאזניים ולכן מצב נפילה הוא מצב של חוסר משקל. זאת היא בדיוק דיאטת הנפילה.

***

מכונית נוסעת במהירות קבועה במעגל תנועה.

שאלה: מה גורם למכונית לנוע במעגל? תשובה: כוח החיכוך.

איך אנחנו יודעים? אם נשפוך שמן על הכביש ונבטל את החיכוך של הצמיגים עם הכביש המכונית תמשיך לנוע ישר ותחליק החוצה מהמעגל. המכונית נעה במהירות שגודלה קבוע אבל כוח החיכוך מושך אותה כל הזמן לכיוון מרכז המעגל וגורם לה לנוע בתנועה מעגלית.

איור 3: מכונית נעה במעגל תנועה. כוח החיכוך מופנה לכיוון מרכז המעגל, והוא זה ששומר על המכונית במעגל.

החוק השני של ניוטון, כאמור, מלמד אותנו שסכום הכוחות על גוף שווה למסתו כפול תאוצתו. גם כוח וגם תאוצה הם וקטורים, כלומר גדלים עם כיוונים. לכן השוויון של חוק שני כולל בתוכו גם כיוון. אם כיוון כוח החיכוך הוא אל מרכז המעגל זה אומר שהמכונית מאיצה לכיוון מרכז המעגל. הסיבה שאינה נעה לכיוון מרכז המעגל היא שמהירות תנועתה היא בכיוון משיק למעגל והיא בדיוק כזאת שגורמת לה 'לפספס' את המרכז ולהמשיך לנוע לאורכו של המעגל.

תאוצת המכונית לכיוון מרכז המעגל בזמן תנועתה המעגלית נקראת בעגה 'תאוצה צנטרפיטלית'.

***

שתי פיסות סלמי זהות, האחת מונחת על קו המשווה והשניה על קודקודו של הקוטב הצפוני.

הפיסה המשוונית מבצעת תנועה מעגלית שרדיוסה כרדיוסו של כדור הארץ וזמן המחזור שלה הוא 24 שעות. פיסת הקוטב אינה מבצעת תנועה מעגלית כי ציר הסיבוב של כדה"א עובר בקוטב.

אם כך, פיסת הקוטב אינה מאיצה ובכך שקולה לפיסת סלמי המונחת על רצפת מעלית נחה. קריאת המאזניים שווה למסתה של הפיסה כפול תאוצת הכובד.

הפיסה המשוונית, לעומת זאת, מאיצה כלפי מרכז כדה"א, עקב תנועתה המעגלית, ולכן שקולה לפיסת סלמי המונחת על רצפת מעלית שמאיצה כלפי מטה. מכאן שמשקלה קטן ממשקלה של פיסת הקוטב. ההבדל במשקל שווה למסתה של פיסת הסלמי כפול התאוצה הצנטרפיטלית.

איור 4: שני נקניקי סלמי, אחד על הקוטב הצפוני ואחד על קו המשווה. משקלו של הסלמי המשווני קטן יותר בגלל שהוא נע בתאוצה שכוונה למרכז המעגל.

אם ניקח בחשבון את רדיוס כדה"א ואת זמן המחזור של סיבובו נגלה שההבדל במשקלן של שתי הפיסות הוא כ-0.3 אחוז.

[הערת שוליים: התאוצה הצנטרפיטלית נתונה על ידי a_R=4π²•R_E/T², כאשר R_E הוא רדיוס כדה"א ו-T הוא זמן המחזור]

ואם נחזור לענייני דיאטה, אדם ששוקל 70 ק"ג בקוטב הצפוני ישקול בקו המשווה בערך 69.75 ק"ג, וכל זאת ללא יום אחד של אכילת חסה או פעילות גופנית.

זכרו היכן שמעתם את זה לראשונה!

עוגה, עוגה, עוגה, בצנטריפוגה נחוגה – ללמוד פיזיקה במעבדת הביולוגיה

בפעמים הראשונות בהן נכנסתי למעבדת מחקר בביולוגיה הרגשתי מאוים במידת מה על ידי המכשירים המוזרים ופרוטוקולים הסבוכים של הניסויים. למי שלא גדל בתחום לוקח זמן לספוג את כל עושר המידע הזה. בחלק מהטכניקות והמכשירים עסקתי ברשימות קודמות (למשל ה-PCR)

בתוך כל הסבך הזה ישנם כמה מכשירים פשוטים או כלים בסיסיים במעבדת הביולוגיה מהם ניתן ללמוד גם פיזיקה מעניינת ולא מסובכת מידי. אחת הדוגמאות היא הצנטריפוגה. במבט ראשון פשוט, מעט מורכב יותר כשנכנסים לעובי הקורה.

תמונה 1: צנטריפוגה מעבדתית. המקור לתמונה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Magnus Manske.

***

הצנטריפוגה היא אחד המכשירים השכיחים ביותר במעבדת הביולוגיה. בד"כ מדובר במכשיר מכאני שניתן להטעין בו מבחנות עם נוזלים ואז המכשיר מסובב את המבחנות בתנועה מעגלית במהירות גבוהה, בדומה למתקן עם הכיסאות המסתובבים בפארק השעשועים. המטרה של צנטריפוגה היא להפריד חומרים שונים בתוך נוזל או להפריד חומר מהנוזל על ידי שיקועו.

שני העקרונות שעומדים מאחורי פעולת הצנטריפוגה הם הגברת כוח הכבידה ויצירת הבדלה במהירות השקיעה בין חומרים שונים בנוזל.

איור 2: חלקיק שוקע בנוזל.

דמיינו חלקיק הנמצא בתוך כוס עם נוזל. על החלקיק פועלים כוח כבידה שמושך אותו למטה, כוח ציפה (חוק ארכימדס) וכוח חיכוך עם המים שמפריעים לו ליפול (ראו איור 2).

כוח החיכוך עם המים תלוי בצורת החלקיק, בצמיגות המים ובמהירות התנועה. חישבו מה קורה כאשר אתם מנסים ללכת בבריכה. ככל שאתם מגבירים את מהירותכם, התנגדות המים עולה גם כן.

בדומה לצנחן שחווה כוח חיכוך דומה עם האוויר, גם החלקיק בנוזל יגיע לאחר זמן מה למהירות קבועה (בעגה terminal velocity). ערך המהירות הזאת תלוי בתכונות החיכוך, צורת החלקיק ובצפיפות החומר ביחס לצפיפות הנוזל. חומרים שונים ישקעו במהיריות שונות. תכונה זאת מייצרת עבורנו את היכולת להפריד בין חומרים שונים. הבעיה היא שהזמן שלוקח לחלקיקים קטנים לשקוע הוא ארוך מידי. הפתרון הוא להגביר את כוח הכבידה.

איור 3: פני הנוזל במבחנה כתלות בכיוון הכבידה.

חוק הכלים השלובים אומר לנו שפני המים יהיו מאונכים לכיוון כוח הכבידה. במבחנה מאונכת לקרקע פני המים אופקיים. אם נטה את המבחנה בזווית, פני המים גם כן יטו כך שעדיין יישארו אופקיים לקרקע ומאונכים לכוח הכבידה (ראו איור 3, חלק ימני).

כאשר אנחנו מסובבים את המבחנה בצנטריפוגה פועלים על המבחנה ועל מה שבתוכה כוחות חזקים מאוד לכיוון ציר הסיבוב (למרכז הסיבוב) כדי לשמר את התנועה המעגלית (בעגה, כוח צנטרפיטלי). חישבו על כדור קשור לחבל שמסתובב במעגל. כדי שיישאר במסלול המעגלי החבל חייב למשוך אותו בחוזקה פנימה ולא לתת לו לברוח. אם החבל יקרע, הכדור יברח ויפסיק להסתובב.

אם תשאלו אדם תלוי על חבל מה כיוון כוח הכבידה, הוא יגיד שברור שלכיוון מטה, כלומר בכיוון מנוגד לכיוון בו מושך אותו החבל. באנלוגיה, חלקיק במבחנה המסתובבת מרגיש, כאמור, כוח מסובב בכיוון מרכז הסיבוב . מכיוון שאינו יודע מה קורה בעולם מחוץ למבחנה יאבחן שכיוון כוח הכבידה (האפקטיבי) הוא הפוך מכיוון הכוח המסובב ולכן החוצה מהמעגל. כוח זה, עבור 3600 סיבובים בדקה, יהיה בערך פי 2000 חזק יותר מכוח הכבידה של כדה"א ולכן יהיה הכוח הדומיננטי הפועל על החלקיק. פני המים יהיו מאונכים לכוח הכבידה האפקטיבי ולכן במהלך הסיבוב יהיו מאונכים לפני הקרקע ולא אופקיים (ראו איור 3, חלק שמאלי).

אם נסובב מספיק מהר לאורך מספיק זמן כל החלקיקים המומסים בנוזל ישקעו בצידה (החיצוני) של המבחנה. זהו השימוש הפשוט ביותר של צנטריפוגה, הפרדת חומר מומס מתוך הנוזל על ידי הגברת כוח הכבידה והגברת קצב השיקוע.

מה קורה כאשר יש יותר מחומר אחד מומס בנוזל במבחנה?

כפי שכבר ציינתי, לכל חומר תהיה מהירות שיקוע שונה ולכן נוכל לכוון את מהירות הסיבוב ואת משך זמן הסיבוב כך שחומר אחד ישקע והשני עוד לא. כך נוכל להפריד את החומרים אחד מהשני. לשם פעולת ההפרדה אנחנו חייבים את הנוזל כדי שייווצר אפקט ההפרדה בין החומרים עקב החיכוך עם המים (תאוצת הנפילה חופשית של גופים אינה תלויה במסתם, את זה ידע גלילאו מזמן).

מי שהשתמש בצנטריפוגה יודע שחייבים להפעיל אותה כאשר היא מאוזנת. אם נרצה לסובב מבחנה בודדת, חובה עלינו להניח מבחנת נוזל נוספת בדיוק בצד השני. כפי שכבר רשמתי, הכוחות שפועלים על החומר במהלך תנועה מעגלית הם עצומים ואם הצנטריפוגה אינה מאוזנת היא תרעד עד כדי כך שסביר שתתעופף מהשולחן וכל המבחנות ישברו.

לא מאמינים בכוחה של התנועה המעגלית לשבר ולנתץ? חובה עליכם לצפות בשני הסרטונים הבאים. שווה ביותר גם למי שמאמין.

 

***

מה השימושים של הצנטריפוגה?

הפרדת חומר מומס מהנוזל.

הפרדת חומרים מומסים שונים אחד מהשני. למשל, ניתן בעזרת צנטריפוגה להפריד אברונים וחלקים שונים בתא. מכיוון שלכל אברון בתא יש תכונות שונות (צפיפות, מסה וכו) ניתן לסובב את הנוזל עם תוכן תאים כך שבכל שלב ישקעו האברונים הכבדים ביותר וניתן יהיה להסיר אותם על ידי איסוף המשקע.

יצירת מפל ריכוזי תמיסה במבחנה. בכל גובה ימצא ריכוז תמיסה שונה. חומר שאותו אנו רוצים לבחון ימצא במבחנה בגובה שמתאים לריכוז שלו. הזכרתי את השיטה ברשימה קודמת שעסקה בניסוי מסלסון-שטאל וגילוי מנגנון השכפול של ה-DNA.

ישנם שימושים נוספים שקצרה היריעה מלהכיל. למשל, כפי שכולנו שומעים בחדשות מידי פעם, בהפרדה של אורניום 235 מאורניום 238 לשימוש בכורים גרעיניים. התהליך שם הוא מעט שונה ועובד בפאזה גזית. ניתן לקרוא על השיטה בדף הויקיפדיה הזה.

"סליחה, לא נעים לי להעיר, אבל שכחת ליפול" – משחקים עם משקולות

חלק לא מבוטל מהחינוך שלי כילד נספג בי תוך צפייה מרובה בסרטים מצוירים. בתחום הפיזיקה, למשל, סרטוני לוני-טונס (Looney Tunes) לימדו אותי שכבידה עובדת רק כאשר מסתכלים למטה.

לא בטוחים למה אני מתכוון? צפו בסרטון הקצר הבא:

טוב, אבל אלה סתם שטויות. סרטים מצוירים ותו לא. זה לא יכול לקרות במציאות, נכון?

אז קבלו את זה: ארבע משקולות מחוברות אחת לשניה בגומיות פשוטות. ברגע מסוים אני עוזב את הגומייה העליונה ונותן לכל רביעיית המשקולות ליפול. עקבו אחרי תנועת המשקולת התחתונה.

המשקולת התחתונה לא זזה! רק כאשר כל המשקולות נוגעות אחת בשניה הן מזכירות לתחתונה: "הלו, את אמורה ליפול, כבידה וכאלה", ואז היא הואילה בטובה ליפול עם השאר יחדיו.

הנה סדרת תמונות שממחישה את מה שקורה למשקולת האחרונה. הגובה ההתחלתי שלה מסומן על ידי הקו המקווקו האדום.

מה קורה כאן?!

החוק הראשון של ניוטון מלמד אותנו שכל עוד סכום הכוחות על כל משקולת הוא אפס, הן אינן משנות את מהירותן. מכאן שבמצב הראשוני, שבו כל המשקולות במנוחה, סכום הכוחות על כל אחת מהן הוא אפס. אגב, אורכי הגומיות בין המשקולות משמשים כמדי-כוח וניתן לראות שכצפוי, הכוחות שפועלים על המשקולת העליונה גדולים יותר מאלה על התחתונה (סוחבת יותר מסה מצטברת). ברגע שאני עוזב את הגומייה העליונה, הכוח לכיוון מעלה על המשקולת העליונה נעלם ולכן סכום הכוחות כבר אינו אפס. לפי החוק השני של ניוטון, המשקולת העליונה תחל ליפול בתאוצה. בינתיים המידע על שינוי הכוחות עוד לא הגיע למשקולת התחתונה ולכן שקול הכוחות עליה עדיין אפס והיא נשארת במקום.

באותו עניין, מה יקרה אם השמש תעלם ברגע מסוים, בבת אחת? האם כדור הארץ, שנע סביב השמש בתנועה מעגלית, ישנה את מסלולו מיד או רק לאחר זמן מה? האם יש צורך לחכות למידע על השינוי בכוח הכבידה עקב היעלמותה של השמש  או שהתנועה תשתנה מיד?

בדוגמה שלנו, רק כאשר הכוחות הפנימיים בתוך המבנה מתאפסים, קרי, כל הגומיות רפויות, אז הוא נופל כגוף אחד, כולל החלק התחתון שלו. הניחוש המושכל שלי אומר שמרכז המסה של המבנה נופל בנפילה חופשית מרגע שידי עוזבת את הגומייה העליונה, אבל לא בדקתי אם זה נכון.

אם נדמה לכם שכבר שמעתם את הסיפור הזה בעבר, רוב הסיכויים שצפיתם בו בסרטון של ערוץ היוטיוב Veritasium, שם הוצגה סדרה של סרטונים מעולים עם סלינקי (הקפיץ שיורד במדרגות).

מה?! לא מכירים את הערוץ או את הסרטון? אז הנה הזדמנות פז לצפות בו (שווה לבדוק גם את הסרטונים הנוספים שלו בנושא).

***

כעת, נשנה מעט את הניסוי. מה יקרה לדעתכם אם במקום גומיות נחבר את המשקולות אחת לשניה בחוט דיג שאינו נמתח?

לפני שאתם ממשיכים לקרוא הלאה הייתי ממליץ לכם לקחת כמה שניות לחשוב ולנסות לבצע תחזית למה שיקרה למשקולת התחתונה.

הנה סדרת תמונות שממחישה את התוצאות:

ניתן לראות בתמונות שהמשקולת התחתונה מתחילה ליפול מיד יחד עם כל המבנה.

האם המידע על שינוי הכוח רץ מהר יותר על חבל שאינו נמתח? מדוע? האם מהירות המידע על הכוח תלויה בתווך בו המידע נע? מדוע?

האם המשקולות באמת נופלות כגוף אחד?

בסט התמונות הבאות ניתן לראות שלא. המשקולת העליונה נפלה מרחק גדול יותר מזו התחתונה באותו פרק זמן כפי שמראים הקווים ששרטטתי. הקו הירוק מחבר בין המשקולת העליונה לעצמה בזמן מאוחר יותר ולכן שיפועו מדגים את התנועה של אותה המשקולת. מאותה סיבה, הקו הצהוב מדגים את תנועתה של המשקולת התחתונה. הזזתי את הקו הצהוב למעלה לשם השוואה נוחה עם הירוק.

יש בזה הגיון מכיוון שאנחנו יודעים מהניסוי הראשון ומידיעת התיאוריה שהכוחות על המשקולות ברגע השחרור אינם שווים. אבל כמה זמן הם ממשיכים להיות לא שווים לאחר השחרור? הרי, אם המשקולת העליונה נעה מהר יותר מהתחתונות החבל נהיה רפוי ואינו מפעיל כוח כלל. במצב זה כל המשקולות נופלות בתאוצת הנפילה החופשית, אם כי אינן גוף אחד (אינן מחוברות).

***

טוב, זהו להפעם. יותר שאלות מתשובות. מוזמנים לחלוק את דעתכם.

***

נ.ב – שאלה אחרונה לפני פיזור

מדוע לדעתכם נראה האור מהבהב בפסים מלבניים בסרטון הראשון?

מותק, הילדים התכווצו והזמן התארך – מבוא למבוא למבוא לתורת היחסות הפרטית

מרבית האנשים בעולם שמעו משהו על תורת היחסות של אלברט איינשטיין, מי יותר ומי פחות. הכל יחסי לא? אבל אם נודה על האמת, לכל מי שלא למד פיזיקה, וגם ללא מעט שכן, זה לא אומר הרבה. מדובר באחד מהרעיונות המבלבלים שקיימים.

בעקבות הצלחת הסרט 'בין הכוכבים' (Interstellar), נדמה לי שנוצר עניין מחודש ברעיונות של תורת היחסות ולכן זאת הזדמנות טובה לכתוב על זה כמה דברים בצורה מסודרת.

רשימה זאת עוסקת ברעיונות שעומדים בבסיסה של תורת היחסות הפרטית, להבדיל מתורת היחסות הכללית. אינני הולך לרשום פה שום דבר חדש, ובכל זאת, אנסה לעשות סדר בדברים ולהסביר את הבסיס של הבסיס בצורה מובנית. זהו. בואו ונתחיל.

כל הצופים צודקים

וודאי קרה לכם בעבר שישבתם ברכבת בעודה בתחנה ובמסילה מקבילה עצרה רכבת נוספת. במקרים אלו קורה לא פעם שכאשר אחת הרכבות מתחילה לנוע, קשה להחליט במשך כמה רגעים מי מהרכבות נוסעת ומי עומדת והאם היא נוסעת קדימה או אחורה. בסופו של דבר פריט מידע שנבחין בו לאחר כמה שניות כמו רטט המנוע או משהו בחוץ יגלה את התשובה ומיד נשכח מכל הבלבול. הסרטון הבא ממחיש היטב את התופעה.

 

מי מהרכבות נעה?

***

נניח שאריק נמצא בתוך רכבת שנוסעת ב-50 קמ"ש. ברגע מסוים הוא מביט מהחלון ומבחין בבנץ העומד בתחנה ומנופף לו לשלום. אריק רואה את דמותו של בנץ מופיעה משמאלו וחולפת ימינה, אך מכיוון שהוא יודע שהוא נוסע ברכבת הוא מבין שזהו בנץ שעומד והוא שנע מימין לשמאל.

כעת נניח שאריק ובנץ הם הגופים היחידים שקיימים והם מבצעים את אותה התנועה (לא חשוב איך זה נעשה). במצב זה אין ביכולתו של אריק לקבוע האם הוא נע שמאלה או שזהו בנץ שנע ימינה, מכיוון שאין רכבת ואין נוף ואין רוח. שניהם צודקים באותה מידה.

מה יקרה אם אריק יזרוק כדור קדימה, לכיוון תנועת הרכבת, במהירות 5 קמ"ש (ראו איור 1)? מנקודת מבטו של אריק, הכדור מתרחק ממנו במהירות 5 קמ"ש ולכן זאת מהירות תנועתו. מנקודת מבטו של בנץ, לעומת זאת, הכדור נע במהירותה של הרכבת עוד שהיה בידיו של אריק, וכאשר הכדור נזרק הוא אמנם מתרחק מאריק במהירות 5 קמ"ש אבל נע ביחס לקרקע במהירות 55 קמ"ש. ואם זה לא מספיק, אז חייזרים שזופים במיוחד שמביטים בנו מפני השמש רואים את אריק, את בנץ ואת הרכבת נעים במעגל סביבם. וכולם צודקים באותה מידה.

איור 1: אריק משחק בכדור על רכבת נעה בעוד בנץ צופה מחוץ לרכבת. לא לצחוק על ציור הרכבת שלי!!!

מה יראו שני החברים אם אריק יזרוק כדורסל אל רצפת הרכבת ויתפוס אותו שוב? מנקודת מבטו של אריק, הכדור נע בניצב לרצפת הרכבת, פוגע בה, וחוזר אל ידיו. מנקודת מבטו של בנץ, הכדור נע בצורת האות 'וי', מכיוון שכל הרכבת נעה בכיוון אופקי (ראו איור 2). מכיוון שמנקודת מבטו של בנץ הכדור עובר דרך ארוכה יותר באותו הזמן, מהירות הכדור שהוא רואה גבוהה יותר מזו שיכריז עליה אריק.
[הערת שוליים: כפי שהעיר לי הקורא ערן ג., מסלול תנועתו של הכדור אינו בצורת 'וי' אלא בצורת פרבולה מכיוון שמהירותו בכיוון האנכי אינה קבועה. זה בדיוק הנושא שדנתי בו ברשימה הקודמת על ניסוי המישור המשופע של גלילאו ועל תנועה בתאוצה. עם זאת, הטיעון על הארכת המסלול נשאר על כנו, וכך יותר נוח להשוות בין תנועת הכדור לתנועת קרן אור. 'עד כדי קבוע', זוכרים?]

איור 2: זריקת כדור אנכית מנקודת הראות של אריק על הרכבת ושל בנץ מחוץ לרכבת. [ראו הערת שוליים למעלה לגבי תיקון לגבי מסלול תנועתו של הכדור מנקודת מבטו של בנץ].

 

 

הזמן מתארך

כעת בואו ונניח שבמקום לזרוק כדור, אריק מאיר באמצעות ציין לייזר לכיוון מטה, אל מראה המונחת על רצפת הרכבת. מנקודת מבטו של אריק, קרן הלייזר נעה במהירות האור בכיוון אנכי, פוגעת במראה על הרצפה ומוחזרת מעלה. מנקודת מבטו של בנץ, לעומת זאת, קרן הלייזר נעה בצורת האות 'וי' מכיוון שהרכבת עצמה נעה, בדיוק כמו הכדור (ראו איור 3). אם כן, מנקודת מבטו של בנץ, קרן הלייזר עוברת דרך ארוכה יותר, ולכן נעה מהר יותר.

איור 3: הארה בכיוון אנכי מנקודת הראות של אריק על הרכבת ושל בנץ מחוץ לרכבת.

אבל כאן נכנס העיקרון (השני) שעליו נסמכת תורת היחסות הפרטית והוא שכל הצופים בכל המערכות רואים את האור נע באותה המהירות, שהיא מהירות האור. מכאן שלא יתכן שאחד הצופים רואה את האור נע במהירות גבוהה ממהירות האור.
[הערת שוליים: אני לא אעסוק כאן בסיבות שהביאו את איינשטיין להבנה הזאת. ראו סרטון למטה].

אז איך זה מסתדר?

כדי לשמר את מהירות האור עבור כל הצופים נצטרך לוותר על משהו אחר. מהירות קרן האור נתונה על ידי המרחק שהיא עוברת בפרק זמן כלשהו, כלומר דרך חלקי זמן. אם אנחנו נתעקש לשמר את המהירות, אז נאלץ לוותר על אחידות הזמן והאורך בין צופים שונים.

מכיוון שבנץ רואה שקרן האור עוברת מסלול ארוך יותר, אך עדיין נעה במהירות האור, הזמן שהוא רואה לכאורה ארוך יותר. כלומר מנקודת מבטו של בנץ הזמן על הרכבת מתקדם לאט יותר.

בינתיים אריק לא מודע לכל ההתרחשות המוזרה הזאת. מבחינתו השעון שלו מראה בדיוק את הזמן שאמור לקחת לקרן אור לפגוע ברצפת הרכבת בניצב ולחזור, ללא תלות במהירות הרכבת. אם כך, כאשר אריק יביט אל מחוץ לרכבת, כל השעונים שיראה יתקתקו מהר יותר משלו  (תודה לקורא blackyossi על התיקון). מבחינת אריק, הוא נמצא במנוחה וכל העולם סביבו הוא זה שנע. לכן מנקודת מבטו של אריק, השעון שלו יתקתק כרגיל וכל השעונים מחוץ לרכבת יתקתקו לאט.

 

 

האורך מתקצר

נניח כעת שאריק מאיר עם ציין הלייזר בכיוון תנועת הרכבת. בקצה הקרון קרן האור פוגעת במראה שתלויה על הקיר וחוזרת חזרה. מנקודת מבטו של אריק הקרן עברה פעמיים את המרחק בינו ובין הקיר במהירות האור. מנקודת מבטו של בנץ, לעומת זאת, בדרך הלוך עברה הקרן דרך ארוכה יותר כי מיקום המראה בקצה הקרון נע קדימה עם הרכבת. בדרך חזור עברה הקרן דרך קצרה יותר מאותה סיבה. כמו כן, כבר אמרנו שמבחינת בנץ הזמן על הרכבת גם מתקדם לאט יותר.

הדרך היחידה כדי לשמר את נקודות המבט של אריק ושל בנץ, ואת העובדה ששניהם רואים את הקרן נעה במהירות האור, מובילה לכך שאורך הרכבת מתכווץ (תוצאה של תרגיל מתמטי). כלומר מנקודת מבטו של בנץ הרכבת קצרה יותר, בו בזמן שמנקודת מבטו של אריק הכול כרגיל בתוך הרכבת, ובחוץ הכל ארוך יותר  (כנ"ל). מבחינת אריק, הוא נמצא במנוחה וכל העולם סביבו הוא זה שנע. לכן מנקודת מבטו של אריק, הסרגל שלו ישאר באורך הרגיל בזמן שכל הסרגלים (וכל שאר הדברים למעשה) מחוץ לרכבת יהיו קצרים יותר.

סיכום

אז מה היה לנו?

כל אחד רואה משהו שונה וכולם צודקים. כולם רואים את האור נע במהירות האור בכל מערכת. הזמן נמתח והאורך מתכווץ. אתם באמת מאמינים לזה?

ראשית, יש לציין שהתיקונים של תורת היחסות באים לידי ביטוי אך ורק במהירויות גבוהות מאוד (ביחס למהירות האור) ולכן לא נצפה לראות את הזמן מתארך על רכבות מתקצרות (הכניסו כאן בדיחת רכבת-ישראל לפי ראות עיניכם). כמו כן, עד היום נעשו מספר רב של ניסויים שאיששו את התיאוריה, ואולי אספר על חלקם בעתיד. אציין רק שמערכת לוויני ה-GPS שאנחנו משתמשים בה עושה שימוש בתיקונים יחסותיים בכל רגע ורגע. אז הנה.

איך ליפול נכון – על ניסוי המישור המשופע של גלילאו

גלילאו גליליי (1564-1642) היה מתמטיקאי ואיש מדע איטלקי שבעבודתו סימן את תחילתה של המהפכה המדעית באירופה. מה שעניין את גלילאו היה תנועה. תיאורית התנועה של גופים בתקופתו לא עודכנה עוד מימיו של אריסטו, כמעט 2000 שנים קודם לכן. יש לזכור שמתקופתו של אריסטו ועד לתקופתו של גלילאו, במאה ה-17, הדרך המקובלת לגלות את חוקי הפיזיקה היה דרך מחשבה פילוסופית והיגיון. ניסוי היה נחשב לדרך לא אמינה ולא מקובלת לעשות זאת. גלילאו חידש בכך ששילב בין תובנות תיאורטיות, מתמטיות ופילוסופיות לבין ניסויים ובדיקה.

תמונה 1: צילום של פורטרט של גלילאו גליליי שצויר על ידי הצייר הפלמי Justus Sustermans. הפורטרט נמצא במוזיאון 'National Maritime Museum', בלונדון. המקור לתמונה: ויקיפדיה.

בחקירותיו גילה גלילאו שכל גוף, ללא הבדלי דת גזע או מין, נופל אל הקרקע בתאוצה קבועה, כלומר מהירותו משתנה בקצב קבוע. מכאן נובע שהפלת גוף מגובה כפול לא תגרום לזמן הנפילה להיות ארוך פי שתיים. ואם זה לא מספיק, אז מכך נובע גם שבואקום, ללא חיכוך או התנגדות של אוויר, גם נוצה וגם פטיש יפלו אל הקרקע יחדיו.

כיצד הוא הגיע למסקנות האלה?

האגדה מספרת שהוא זרק כדורים מראשו של המגדל הנוטה בפיזה. האגדה אמנם אינה נכונה, אך גלילאו אכן עשה ניסויים של זריקת כדורים. הוא פשוט בחר לעשות זאת בדרך חכמה יותר.

***

הבעיה עם זריקת כדורים היא שהם נופלים מהר מידי וקשה למדוד את מיקומם בזמנים שונים. יש לזכור שבזמנו של גלילאו לא היו צילומי וידאו בהילוך איטי ושעוני עצר מתוחכמים. גליליאו השתמש למדידת זמן בשעון מים, כלומר נתן למים לזרום דרך חריר במהלך התנועה ואז שקל את המים שהצטברו.

בניסויו המפורסם גלגל גלילאו כדור על גבי מסילה משופעת ומדד את המרחק שעבר הכדור בפרקי זמן קבועים (ראו איור 2). המישור המשופע עזר לגלילאו להפחית את הכוח שמושך את הכדור מטה ובכך להאט את תנועתו. ניתן לחשוב על כך כאילו חלק מכוח הכובד מושך את הכדור במורד המדרון וחלק ממנו לוחץ אותו אל המשטח ולכן אינו משפיע על התנועה (בהנחה שאין חיכוך). מסיבה זאת, כדור מתגלגל על מדרון יתנהג כמו כדור נופל, רק שהכוח עליו קטן יותר ותאוצתו, אם קיימת, קטנה יותר.

איור 2: כדור מתגלגל במורד מישור משופע.

אחד החסרונות בשימוש במישור המשופע היה החיכוך של הכדור עם המשטח, שגורם לאיבוד חלק מהמהירות של הכדור. מצד שני, גלילאו חיפש רק את הקשר שבין הזמן למרחק התנועה. החיכוך יפחית את הכוח שמאיץ את הכדור, אבל יעשה זאת בצורה שווה בכל רגע ולכן התאוצה תקטן אך תישאר קבועה. כלומר, החיכוך לא ישנה את הקשר הפונקציונלי בין המרחק והזמן (כפי שיוסבר בהמשך). גלילאו ניסה להקטין את החיכוך בין הכדור למשטח ולכן אינני בטוח אם הוא הבין עד הסוף את השיקולים הללו. בכל מקרה, אין ויכוח על כך שהיתה לו אינטואיציה טובה מעבר לגדר הרגיל.

***

גלילאו מדד את המרחק שעבר הכדור המתגלגל בכל יחידת זמן שנקבעה מראש באמצעות שעון המים. הוא חזר על הניסוי מספר רב של פעמים כדי לוודא שתוצאותיו אמינות ולהגביר את דיוק המדידה. כאשר הוא התבונן בתוצאותיו הוא הבחין בקשר בין המרחק והזמן. ניתן היה לחזות את המרחק שיעבור הכדור בזמן מסוים על ידי העלאת הזמן בריבוע והכפלת התוצאה בקבוע כלשהו (תמיד אותו הקבוע). כלומר, גלילאו מצא שהמרחק שעבר הכדור היה פונקציה של הזמן בריבוע.

אבל מה זה בכלל קשור לתאוצה קבועה?

ראשית, נבין מהי המשמעות של תאוצה קבועה. בכל שניה המהירות גדלה בכמות קבועה. לדוגמה, אם מפילים כדור הוא מתחיל ממהירות אפס, אחרי שניה מהירותו תהיה למשל 10 מטר לשניה, אחרי שתי שניות 20 מטר לשניה, אחרי שלוש שניות 30 מטר לשניה וכך הלאה. כלומר, בכל שניה המהירות גדלה בקצב קבוע של 10 מטר לשניה (ראו איור 3).

איור 3: המפטי-דמפטי נופל מהקיר ומהירותו גדלה בקצב של 10 מטר-לשניה בשניה, כלומר בתאוצה 10 מטר-לשניה-בריבוע.

כמה מרחק עובר הכדור באותו הזמן?

קשה לדעת מראש מכיוון שהמהירות משתנה בכל רגע ולכן פתרון 'דרך-זמן-מהירות' סטנדרטי שלמדנו בבית-הספר לא יעבוד. מצד שני, מכיוון שהמהירות משתנה בקצב קבוע, נוכל לחשב את המרחק באמצעות המהירות הממוצעת.

במה תלויה המהירות הממוצעת בקטע תנועה מסוים? בכמה זמן נסענו ובכמה לחצנו על הגז, כלומר בתאוצה. במה תלוי המרחק שעברנו? כידוע, 'דרך = זמן x מהירות (ממוצעת)', כלומר נכפיל את זמן התנועה במהירות הממוצעת. אבל המהירות הממוצעת, כאמור, תלויה גם היא בזמן הנסיעה. כלומר: 'דרך = זמן x זמן x תאוצה' [הערת שוליים: שווה בערך, חסר פה קבוע כלשהו]. מכאן שהמרחק שעובר גוף בתאוצה קבועה תלוי בזמן התנועה בריבוע. ומכיוון שזה בדיוק מה שמצא גלילאו במדידות שלו, הרי שהוא הראה שגופים נופלים בתאוצה קבועה.

***

במקום מילות סיכום, בואו ונצפה בשלושה סרטונים קצרים ומומלצים של דברים נופלים. אחד על הירח, אחד בואקום ואחד פשוט מצחיק.

הפלת פטיש ונוצה על הירח:

הפלת כדור ונוצות בואקום:

השתכנעתם? אל תהיו כל כך פזיזים, חשבו שוב:

***

אפילוג: חידה לחובבי הז'אנר

אתם עדיין כאן? אז קבלו חידה:

אחד הכדורים של גלילאו נע במורד המישור המשופע ועובר במהלך השניה הראשונה של תנועתו מרחק של סנטימטר אחד. מהו המרחק שיעבור במהלך השניה הבאה של תנועתו? מה המרחק שיעבור בשניה השלישית? הכוונה היא לא למרחק המצטבר מתחילת התנועה אלא רק המרחק שהגוף עובר במהלך אותה שניה (ראו קטעים אדום-ירוק-סגול באיור 2).

האם קיבלתם סדרת מספרים עם חוקיות ברורה? באילו מקרים החוקיות הזאת מתקיימת?

.

.

.

רמז 1 (דק): יש מספר דרכים לפתרון. אחת מהן מוזכרת פה, לקראת סוף הרשימה.

רמז 2 (עבה): צפו בסרטון הזה. כעת אתם יודעים את התשובה. מצאו הוכחה לנכונות הפתרון.

בחן את עצמך: האם האינטואיציה שלך טובה?

[הערת שוליים: הוספתי בתגובה הראשונה לרשימה הערה אישית קצרה שכתבתי בדף הפייסבוק של הבלוג על התזמון של הפרסום 'והמצב'. אתם מוזמנים לעיין לפני הקריאה]

להלן מספר תרחישים פיזיקליים הלקוחים מחיי היום-יום. כל אחד מכם מוזמן לנסות ולנחש מה התוצאה של מה שמתואר בהם. בהמשך הרשימה אני אכתוב את התשובות ואוסיף הסבר קצר. בחרתי להתמקד בתרחישים פשוטים מאוד שחלקם תוכלו לבדוק בעצמכם.

התעלמו מהתנגדות האוויר. ניתן לתכנן את רוב התרחישים כך שתוצאתם לא תשתנה באופן משמעותי.

אז נתחיל.

***

1. המפטי-דמפטי עומד על הקיר ובידו שני בקבוקי יין זהים בגודלם וצורתם, האחד מלא והשני כבר חצי ריק. הוא אינו יציב על רגליו והקיר מעולם לא נראה צר כל כך. לפתע, מועד המפטי-דמפטי, שומט את שני הבקבוקים בו זמנית אל הקרקע ונופל מהקיר בעצמו. מי נחבט ראשון בקרקע: הבקבוק המלא, הבקבוק הריק, או שמא ראשו הסגלגל של ידידנו הביצתי?

איור 1: המפטי-דמפטי ובקבוקיו נופלים, מי ינצח?

2. התאומים טווידלדי וטווידלדם מצאו אקדח והחלו יורים בפחיות בחצר מאחורי ביתם, שבמקרה נמצא באזור המישורי ביותר בעולם. בזמן שטווידלדי יורה כדור אל האופק (במקביל לאדמה) שומט טווידלדם כדור לקרקע (ללא ירי) בדיוק באותו רגע ובדיוק מאותו גובה. מי מבין שני כדורי האקדח ייגע ראשון באדמה?

איור 2: כדור אקדח אחד נורה ואחד מופל. מי יגיע ראשון לקרקע?

3. הצוערת עליזה מתאמנת בהפעלת מרגמה על גג רכבת נוסעת במהירות קבועה. בהנחה שהיא מפעילה את המרגמה בניצב לגג הרכבת, כמה גבוה צריכה הפצצה להגיע כדי שלא תיפול חזרה על ראשה של עליזה? האם הפצצה תיפול מימינה או משמאלה?

איור 3: ירי מרגמה מגג רכבת.

4. החובלת עליזה מפליגה בספינת מפרש, אך לדאבונה כבר ימים ארוכים הרוח אינה נושבת, מלאי האוכל בספינה אוזל וחוף מבטחים אינו נראה לעין. לפתע נזכרת עליזה שיש במחסן הספינה וינטלטור ענקי שניתן לחברו בברגים לרצפה ושבעזרתו ניתן להפיח משב רוח עוצמתי. באיזה כיוון יש לכוון את המאוורר: בניצב למפרש בכיוון התנועה הרצוי, בניצב למפרש נגד כיוון התנועה הרצוי או במקביל למפרש?

איור 4: וינטלטור מניע יאכטה.

5. המלכה האדומה פוקדת על משרתיה לתלות שלט האוסר על כניסה אל הגן. השלט הכבד תלוי ממרכזה של שרשרת דקה שתלויה בצורה רפויה בין שני עמודים. "ישרו את השרשרת או שראשכם יותז", היא פוקדת. שניים ממשרתיה אוחזים בקצות השרשרת ומתחילים למשוך בכוח זהה כדי למתוח אותה. לאחר מספר דקות, וללא שיפור נראה לעין המלכה צועקת בחוסר סבלנות: "הביאו משרתים חזקים פי שתיים". המלך שעומד מאחוריה אומר בקול מדוד: "תלו שלט קל יותר פי שתיים ". הזחל, שנמצא שם די במקרה, לוקח עוד שאיפה מהנרגילה ואומר: "קצרו את השרשרת בחצי". ההצעה של מי מהם תעזור להביא לתוצאה הרצויה, כלומר שרשרת מתוחה עד הסוף במצב אופקי?

איור 5: מהי האסטרטגיה הטובה ביותר ליישור השרשרת במשיכה?

6. הכובען המשוגע החליט לקחת הפסקה קצרה ממסיבת התה ולנצל את הזמן לאימון ירי בחץ וקשת (מסתבר שגם לכובענים יש תחביבים). הוא דרך את קשתו וכיוון את קצה החץ לכיוון מרכז המטרה. רגע לפני שחרור החץ הופיע פתאום חתול צ'שייר, מחייך מאוזן לאוזן. ברגע בו יצא החץ לדרך מקשתו של הכובען, חתך החתול את החבל שמחזיק את המטרה והיא החלה ליפול אל הקרקע. בהנחה שהחץ נורה בעוצמה מספקת כדי להגיע אל מישור המטרה (לא בהכרח אל המטרה עצמה) למטרה, האם יפגע החץ מעל או מתחת למטרה?

איור 6: הכובען יורה בקשת והחתול חומד לצון. היכן יפגע החץ, מעל או מתחת למטרה?

***

אז מה באמת קרה ולמה?

1. גם הבקבוק המלא, גם הבקבוק הריק וגם המפטי-דמפטי מגיעים לקרקע בדיוק באותו זמן מכיוון ששלושתם מאיצים אל הקרקע בתאוצת הכובד, ללא תלות במסתם. קטע מוזר כזה של כוח הכובד.

2. שני כדורי האקדח יגיעו לקרקע ביחד. זמן הנפילה נקבע אך ורק על ידי התנועה בניצב לקרקע ושני הכדורים הזהים נפלו מאותו גובה ובאותה תאוצה (חפשו את הפרק 'Dropped vs Fired Bullet' ב- MythBusters).

3. עליזה אבודה כי בכל מקרה הפגז ייפול לה על הראש. הפגז מקבל את מהירות הרכבת בכיוון אופקי ולכן לא יישאר מאחור. מאותה סיבה אתם יכולים להקפיץ כדורסל בתוך רכבת נוסעת. [ראו תוספת בתגובות]

4. אף אחד מהתרחישים לא יעזור מכיוון שגוף לא יכול להפעיל כוח על עצמו. זכרו את הברון מינכאוזן. [ראו דיון\תוספת\תיקון בתגובות]

5. כולם טועים ומטעים. המצב האופקי של השרשרת עם השלט הכבד התלוי במרכז אינו אפשרי, לפי חוקי ניוטון, מכיוון שלא יהיה כוח אנכי נוסף שיוכל לאזן את הכוח שמפעילה המשקולת. השרשרת תקרע לפני שהיא תהיה אופקית לחלוטין.

6. בהנחה שהכובען כיוון היטב, החץ יפגע בול במטרה. גם המטרה וגם החץ מאיצים כלפי הקרקע באותה תאוצה ולכן מנקודת מבטם החץ עף היישר אל מרכז המטרה.

סיכום הנקודות:

0-1 אין לכם מושג מה קורה סביבכם.

2-3 אתם מחוברים לא רע למתרחש.

4-5 יש לכם חושים על טבעיים.

6 למדתם פיזיקה, רמאים.

***

אז מה היה לנו?

לא פעם כתבתי כאן בבלוג שכאשר אנחנו באים לדון בתיאוריה כמו תורת הקוונטים למשל, עלינו להשאיר את האינטואיציה בצד ולסמוך בעיקר על תוצאות ניסויים ומתמטיקה. הסיבה לכך היא שהאינטואיציה שלנו התפתחה מתוך ניסיון החיים ואין אנו חווים את תמונת העולם הקוונטית שרלוונטית (בעיקר) בסקאלות קטנות מאוד.

הגישה הזאת מטמיעה בתוכה את ההנחה שבניגוד לעולמות האקזוטיים והביזאריים האלה חיי היום יום שלנו הם אפרוריים וצפויים, ולכן נוכל להשתמש בניסיון החיים למען הבנת המתרחש סביבנו. כל ששת התרחישים בינוניים וסבירים ויכולים לקרות אל מול עינינו בכל יום. עם זאת, עדיין קשה לנו לעכל את תוצאותיהם אלא אם כן עברנו אינדוקטרינציה של חוקי ניוטון. לא פלא שעברו כ-2000 שנים מהפיזיקה של אריסטו ועד לזאת של גלילאו וניוטון.

במידה ותרחישים יום-יומיים אינם אינטואיטיביים עבורנו, ניתן להסיק שאנחנו מחזיקים במיסקונספציות שנטועות חזק בצורה שבה אנחנו תופסים את המתרחש בעולם. מעניין להתחקות אחר אותן תפיסות שגויות ואחר מקורן.