ארכיון

Posts Tagged ‘מימדים’

על מעלותיו של כדור ועל זוויות בכלל

אחד הדברים שאני נוהג לעשות בשבת בצהריים הוא לעיין בבלוג 'עונג שבת' של גיאחה. לפני כשבועיים התפרסם האייטם הבא (הציטוט בעריכה קלה שלי): "ברור שסיגור רוס (שם של להקה א.ש.) העלו וידאו של הופעה שלמה ב-360 מעלות. [בעצם זה כדורי ולא מעגלי. כמה מעלות יש בכדור?]"

אני עניתי בקצרה בתגובות, מבלי לחשוב יותר מידי, ובאופן מעט מבודח: "מעגל מתואר על ידי רדיוס וזווית בטווח של 0-360 מעלות. כדי לקבל כדור (מעבר בין 2 ל-3 מימדים) יש להוסיף זווית נוספת בטווח של 0-180 מעלות. מוגש כשירות לציבור."

אבל יש דברים שלא צוחקים עליהם. יומיים אחר כך ננזפתי על ידי מגיב אחר, שגם קישר לויקיפדיה מבלי לפרט. למעשה שנינו לא בדיוק ענינו על השאלה, אבל התשובה שלו במובן מסוים נכונה יותר. זאת הזדמנות טובה לדון בנושא זוויות, איך מגדירים את גודלן, ומה קורה שרוצים להתרומם מהמישור למרחב התלת-ממדי. אנסה להסביר גם מדוע למרות שהמגיב הנוזף הפנה למקום הנכון אני עדיין מעדיף את התשובה שלי.

***

Angle

איור 1: מדידת הזווית θ על ידי חלוקה של S ב-R. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש Gustavb.

אז מהי זווית? נוח להגדיר זווית על ידי שני ישרים שנחתכים. מידת הסיבוב סביב נקודת החיתוך שדרושה כדי שהישרים יתלכדו היא הזווית. ערכה של זווית נע בין אפס לבין סיבוב שלם, וכל ערך גדול יותר חוזר על אותן זוויות. כדי להגדיר את גודלה של הזווית נשרטט קשת שהיא חלק ממעגל שמרכזו בנקודת החיתוך (ראו S באיור 1). נגדיר את גודלה של הזווית כחלוקה בין אורך הקשת S לרדיוס R. נוסיף גם כפל בקבוע K שיאפשר לנו לקבוע את גודל היחידות לשם נוחות. הגדרה זאת שומרת על ערכה של הזווית ללא תלות בגודל המעגל שעליו הוגדרה.

הקשת המקסימלית מוגדרת על ידי ההיקף של המעגל שאורכו 2πR (באמצע זה פאי, הפונט פה לא מוצלח). במידה ונבחר את הקבוע K להיות 360/2π, נקבל את הסולם שכולנו מכירים שבו סיבוב מלא הוא 360 מעלות. הבחירה הזאת היא שרירותית ולשימושים שונים נוח לבחור יחידות שונות (לדוגמה). כאשר עוסקים במתמטיקה ובפיזיקה הבחירה הנוחה ביותר תהיה K=1. כלומר ערכה של זווית המגדירה סיבוב שלם הוא 2π רדיאנים. תחת הבחירה הזאת ביטויים מתמטיים המכילים את הפונקציות הטריגונומטריות ניתנים להצגה בצורה המצומצמת ביותר ולכן נוחים יותר לשימוש (מוסבר בהרחבה כאן). שימו לב שגם המעלות וגם הרדיאנים מוגדרים על ידי חלוקה של אורך באורך ולכן הם מספר טהור, כלומר חסרי יחידות (כגון אורך, זמן או מסה). סיבוב שלם הוא 360 מעלות או 2π רדיאנים ולכן רדיאן אחד שקול ל-57.3 מעלות (ראו איור 2).

Angle_radian

איור 2: רדיאן אחד מוגדר על ידי קשת שאורכה כאורך הרדיוס. כאן בדוגמה הערך של שניהם 1. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש Gustavb.

להסבר מפורט יותר על זוויות ורדיאנים מומלץ לקרוא בבלוג 'לא מדויק'.

יש לשים לב שזווית מוגדרת אך ורק במישור. גם זוויות בצורות תלת-ממדיות כגון פירמידה מוגדרות על מישור. כלומר המונחים מעלות או רדיאנים לא קיימים במרחב התלת-ממדי.

כעת בואו נדמיין שציירנו עיגול על פניו של כדור. אם נמתח קווים דמיוניים בין שפת העיגול למרכז הכדור נקבל צורה דמוית קונוס שקודקודו הוא סוג של זווית במרחב התלת-ממדי (ראו איור 3). לחלופין, ניתן לקחת את הזווית והקשת מהגדרת הרדיאן ולסובב אותם סיבוב מלא סביב מרכז הקשת אל מחוץ לדף. נגדיר את הזווית מהסוג החדש כזווית מרחבית. את גודל הזווית המרחבית נגדיר בצורה דומה לרדיאן על ידי חלוקה של שטח העיגול על פני הכדור בערך הרדיוס בריבוע. שמה של היחידה החדשה הוא סטרדיאן וגם היא חסרת יחידות. סטרדיאן אחד הוא ערכה של זווית מרחבית שתוחמת על פני הכדור מעגל ששטחו רדיוס בריבוע. בעזרת הגדרה זאת נוח למשל לענות על שאלות כגון כמה קרינה מגיעה לגלאי בגודל ידוע ובמרחק ידוע. הקרינה (למשל אור) מתפשטת מהמקור בכל הכיוונים, כלומר חזיתה כדורית, ואותנו מעניינת הזווית המרחבית המוגדרת על ידי אותו גלאי.

Steradian

איור 3: סטרדיאן אחד הוא ערכה של זווית מרחבית התוחמת מעגל בשטח שערכו ריבוע הרדיוס. המקור לאיור: ויקיפדיה.

שטח הפנים של כדור הוא 4πR2, ולכן אם נשתמש בהגדרת הסטרדיאן ונחלק בריבוע הרדיוס נקבל שבכדור יש סך הכל 4π סטרדיאנים. אך נזכר שסטרדיאנים הם מידה לזווית מרחבית ולא לזווית. האים ניתן בכל זאת להבין משהו על כדור בעזרת זוויות רגילות?

***

כדי לכוון אותי למקום כלשהו במספר מינימלי של הוראות תוכלו לבחור לומר לי כמה צעדים סה"כ יש ללכת בכיוון אופקי וכמה בכיוון אנכי כדי להגיע ליעד. לחלופין, תוכלו לציין את הזווית ליעד (אזימוט) ואת מספר הצעדים שיש ללכת באותו כיוון. שתי צורות אלה הן דרכים חלופיות להגדיר מישור, הראשונה נקראת קרטזית והשניה פולרית (ראו איור 4). ברור שעל מנת להתוות מסלול מעגלי קל יותר להשתמש במערכת הפולרית. כל מה שאצטרך הוא לדעת את הרדיוס ובעזרת מחוגה אשלים את המעגל על כל 360 מעלותיו או 2π רדיאניו.

PolarCoordinates

איור 4: מערכת צירים פולרית, עם שתי דוגמאות (ירוק ותכלת) לשתי נקודות שונות במישור המוגדרות על ידי זווית ומרחק מראשית הצירים. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש Pbroks13.

ומה לגבי כדור?

כדי לשרטט כדור אני זקוק לנתון נוסף לשניים הקודמים כדי לעבור משני ממדים לשלושה. ישנן מספר אפשריות, אך מכיוון שבכדור עסקינן, אבחר במערכת כדורית. נוסיף על הרדיוס והאזימוט עוד זווית שנמדדת ביחס לישר הניצב למישור שכבר הוגדר (ראו איור 5). מהזווית הזאת מספיק לנו טווח של 0 עד 180 מעלות או π רדיאנים. העזרו באיור ונסו לדמיין נקודה שסורקת את כל האפשריות של שתי הזוויות שהוגדרו ברדיוס קבוע. מה שתקבלו הוא פני שטח של כדור.

SphericalCoordinates

איור 5: מערכת צירים כדורית כאשר המרחק r והזווית φ זהים למערכת הפולרית, ואליהם מתווספת הזווית האנכית θ. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Andeggs.

***

אז לסיכום, התשובה לשאלה כמה סטרדיאן יש בכדור היא 4π והשאלה כמה מעלות יש בו אינה מוגדרת היטב. אבל לדעתי עבור מי שלא מכיר את המושג זווית מרחבית התיאור של מערכת צירים כדורית תורם יותר, גם אם לא בדיוק עונה לשאלה.

מודעות פרסומת

מה מסוכן יותר: קיקלופ עם עין אחת או עם שלוש? על ראיה ועל מיקרוסקופיה בשלושה מימדים

כאשר ברחו אודיסאוס וחבריו ממערת הקיקלופ פוליפמוס היה זה אחרי שאודיסאוס נעץ מוט עץ מחודד בעינו האחת של הענק האימתני וגרם לו לעיוורון. בעודם נמלטים מהאי בהפלגה הקניט אודיסאוס את הקיקלופ וזה הטיל באוניה שני סלעים כבירים אחד אחרי השני שהחטיאו את המטרה אך במעט.

אתם וודאי אומרים: "ברור שהחטיא כי הסתמך רק על שמיעה, אך אם היתה לו עוד עינו האחת ודאי היה פוגע". אך האם כך הדבר?

אמנם זהו סיפור הלקוח מהמיתולוגיה היוונית אך ניתן לומר שאם היה אכן יצור בעל עין אחת שבדומה לבני אדם היה מסתמך בעיקר על ראיה כחוש להתמצאות סביר שהיה גרוע למדי בהשלכת סלעים למטרה. ככל הנראה תפיסת העומק ואמידת מרחק לא היו הצד החזק שלו מכיוון שראיה בשלושה מימדים מצריכה שתי עיניים.

קיקלופ

תמונה 1: הציור 'פוליפמוס' מאת Johann Heinrich Wilhelm Tischbein. המקור לתמונה: ויקיפדיה.

***

מה הסוד שלנו?

כיצד אנחנו רואים בשלושה מימדים? במילה אחת: המוח. התמונה המוקרנת דרך עדשת העין על הרשתית, שהיא רשת גלאי האור של העין, היא כמובן דו-ממדית. התמונה התלת-ממדית מורכבת על ידי המוח שמסתמך על שתי תמונות של כל עצם משתי זוויות שונות, אחת מכל עין. את המידע הזה הוא משלב עם ניסיון העבר ועם רמזים שונים כגון: פרספקטיבה, אור וצל, טשטוש וחדות, מי מסתיר את ומי ועוד. חלק גדול מהאשליות האופטיות המוכרות מבלבלות את המוח על ידי 'רמייה' באחד התחומים האלה.

במילים אחרות, ראיה בשלושה מימדים היא במובן מסוים היכולת של המוח להעריך את המרחק של עצמים שונים בשדה הראיה מהמתבונן על ידי ניתוח שתי תמונות משתי זוויות שונות ושימוש ברמזים נוספים ובניסיון העבר.

רואים כפול רואים קיטוב

סטריאוסקופיה היא טכניקה שמטרתה לגרום לאשליה של עומק בתמונה דו-ממדית על ידי שימוש בשתי תמונות שונות שמוקרנות אחת לכל עין. התמונות עצמן צולמו משתי זוויות שונות המתאימות לזוויות הראיה של העיניים. יש לציין שזאת רק אשליה ולא תמונה תלת-ממדית אמיתית (כמו למשל הולוגרפיה) ולכן שינוי זווית המתבונן לא תוסיף עוד מידע לתמונה.

הדרך הפשוטה ביותר למימוש היא לשים שתי תמונות אחת ליד השניה ולהתבונן בהן כך שכל עין רואה את התמונה המתאימה לה. דרך מתוחכמת יותר היא לשדר אל העיניים את שתי התמונות יחדיו ולהשתמש במנגנון כלשהו כדי שרק התמונה הנכונה תגיע לכל עין, למשל על ידי משקפיים, כמו בסרטים בתלת-מימד בקולנוע. אחת השיטות לסינון התמונות היא שימוש באור מקוטב.

מה זה בכלל קיטוב? גל הוא הפרעה מחזורית המתקדמת בתווך. גל אלקטרומגנטי מורכב משדה חשמלי ומגנטי הניצבים זה לזה ושעוצמתם מתנודדת על מישורים הניצבים לכיוון התנועה של הגל (ראו איור 2). חישבו על הקיטוב כחץ המורה על כיוון ההפרעה במישור כאשר אורכו מעיד על עוצמתה (נקבע לפי תנודת השדה החשמלי). גודלו וכיוונו של החץ משתנים בזמן אך ישנם מקרים בהם אורכו של החץ המשתנה 'משרטט' קו על גבי המישור. קיטוב זה נקרא קיטוב ליניארי, ומכאן ששני גלי אור יכולים להיות מקוטבים ליניארית וניצבים אחד לשני. ניתן לקבל אור מקוטב ליניארית על ידי העברת אור לא מקוטב (אור השמש או אור מנורת להט) דרך רכיב פשוט המעביר רק אור מקוטב.

קיטוב ליניארי

איור 2: קיטוב ליניארי. הגל האלקטרומגנטי מתקדם בניצב למישור הכחול שעליו מתנודד השדה החשמלי. הקווים האדומים והכחולים מייצגים היטלים הזמן של השדה. המקור לאיור: ויקיפדיה.

כדי לקבל אפקט תלת-מימד בסרט מוקרנים על המסך בו-זמנית שני סרטים שצולמו מזוויות מעט שונות וכל סרט מקוטב באופן ניצב למשנהו ולכן התמונות אינן 'מתערבבות'. העין האנושית כלל אינה רגישה לקיטוב האור ולכן יש להרכיב משקפיים שבהן כל עדשה מאפשרת העברה של כיוון קיטוב אחד בלבד. כל עין רואה רק סרט אחד, וביחד שני הסרטים יוצרים במוח אשליה של תלת-מימד.

ומה עם מיקרוסקופ?

גם למיקרוסקופ יש בדרך כלל רק 'עין' אחת. הדרך הפשוטה ביותר לראות בשלושה מימדים דרך המיקרוסקופ היא על ידי שימוש בסטריאו-מיקרוסקופ. מכשיר זה מכיל בעצם שני מיקרוסקופים זהים שכל אחד מקרין תמונה מזווית מעט שונה אל אחת העיניים. בדרך כלל מרחק העבודה במיקרוסקופים אלה, כלומר המרחק בין העדשה לדגם, גדול והם משמשים בעיקר לניתוח (בסכין) של דגימות ביולוגיות ולבחינה של פגמים מכאניים בחומרים.

הבעיה העיקרית בדגם ביולוגי כמו תאים למשל היא שהם שקופים ולכן תמונת מיקרוסקופ האור הרגיל שטוחה וגם לא חדה. כדי להימנע מהצורך לצבוע את התא ולהרוג אותו בתהליך פותחו שיטות להגברת הניגודיות (הקונטרסט) כגון Differential interference contrast microscopy, או בקיצור DIC, ומיקרוסקופית פאזה. ב-DIC, למשל, נשלחות שתי קרניים זהות אך מקוטבות בניצב אחת לשניה לשתי נקודות קרובות על הדגם. כל קרן עוברת דרך הדגם והגל צובר פיגור שונה בזמן בהתאם לחומר שבו עבר. לבסוף מאוחדות הקרניים חזרה באותו קיטוב. אם הגלים צברו מספיק פיגור ביניהם,  לאחר החיבור האות יחלש. אם הדרך היתה דומה ולא נצבר פיגור אז האות יתחזק (הסבר על חיבור גלים). בצורה זאת אנחנו מקבלים הגברה של הניגודיות בתמונה וגם הרגשה של עומק, כך שהתמונה תראה כמו תחריט עם בליטות. החיסרון העיקרי הוא שהשיטה מעוותת את ההארה כך שלא ניתן להשתמש בניתוח כמותי של העוצמה מתוך התמונה שהתקבלה אלא רק ברושם איכותי של מה שמתרחש.

Brightfield_phase_contrast_cell_image

תמונה 3: צילום של תאים דרך מיקרוסקופ ללא הגברת ניגודיות (מימין) אל מול צילום זהה עם הגברת ניגודיות בשיטת מיקרוסקופית פאזה. המקור לתמונה: ויקיפדיה.

***

ושאלה לסיום: מה היה קורה אילו לקיקלופ היו שלוש עיניים? האם היה רואה טוב יותר מאיתנו, פחות טוב או שזה לא היה משנה? ומה היה עולה אם כך בגורלו של אודיסאוס? הרגישו חופשי להגדיר 'טוב' כרצונכם. אין לי תשובה לשאלה ואתם מוזמנים להציע את דעתכם.

טבע בשני מימדים, חלק ב' – חלבונים ממברנליים וגז אלקטרונים

בחלק א' של רשימה זאת פתחתי בסקירה של מקרים שבהם ניתן להתייחס למערכת פיזיקאלית כבעלת שני מימדים מרחביים בלבד. המקרה הפשוט ביותר הוא כאשר ישנו מימד אחד קטן או גדול מאוד ביחס לשני המימדים האחרים, ומשום כך ניתן להזניחו בתיאור התופעה הפיזיקלית שבה אנו דנים. בהמשך תיארתי את הגרפן, חומר שהוא דו-מימדי במובן הפיזי (למרות שמעשית הוא פרוש על פני השטח של חומר תלת מימדי אחר).

בחלק זה של הרשימה אני אספר על שתי דוגמאות בהן המערכת השלמה היא אמנם תלת-ממדית, אבל באזורים מסוימים מתקבלת התנהגות דו-ממדית 'אמיתית' שאינה תוצאה של קירוב.

חלבונים ממברנליים

התאים הם אבני הבניין שמהן מורכב גופנו. תאים בעלי תפקידים שונים נבדלים אחד מהשני בהיבטים רבים, אך ישנן כמה תכונות בסיסיות שנשמרות בכולם. כל תא מכיל את המידע הגנטי המרוכז בגרעין. הגרעין ואברונים נוספים (יחידות מופרדות בעלות תפקידים שונים) 'צפים' להם בתוך נוזל התא – הציטופלזמה. ולבסוף, כל העסק מופרד משאר העולם על ידי הממברנה או קרום התא.

תפקידה של הממברנה הוא להפריד את תוכן התא מסביבתו ובכך מאפשרת לתא לשמור על סביבה פנימית שונה באופן מהותי מהסביבה החיצונית. הממברנה מורכבת משכבה כפולה של מולקולות שנקראות ליפידים ומחלבונים שמשובצים בה. החלבונים הממברנליים קריטיים לתפקודו של התא. חלק מחלבונים אלה אחראיים לכניסה ויציאה של חומרים חיוניים לתא דרך הממברנה, חלקם משמשים לתקשורת בין-תאית וחישה של חומרים מחוץ לתא וחלקם קשורים למבנה של התא ולקשרים המכאניים בין התאים המרכיבים רקמה.


איור סכמטי של קרום התא וסוגים שונים של חלבונים המשובצים בו. המקור: ויקיפדיה.

למרות שהממברנה מפרידה היטב בין מה שנמצא בתוך התא למה שנמצא בחוץ, המבנה שלה אינו קשיח ויציב. צורת התא משתנה ללא הרף בהתאם לצרכיו ומיקום החלבונים על הממברנה משתנה גם הוא מרגע לרגע. החלבונים הממברנליים משייטים להם על גבי הממברנה בתהליך שנקרא דיפוזיה, ויכולים גם להיבלע אל הציטופלזמה או להצטרף ממנה אל הממברנה. אם ברצוננו, למשל, לחשב את ההסתברות של שני חלבונים ממברנליים משני תאים שונים להיפגש, עלינו לתאר את התנועה שלהם על גבי הממברנה. מכיוון שהממברנה היא דו-ממדית, התיאור הפיזיקלי שלנו יהיה בשני ממדים בלבד (בניגוד, למשל, לדיפוזיה בתוך הציטופלזמה). דבר זה משפיע גם על סוג החשבון וגם על התוצאה הפיזיקלית, ושימוש במשוואות תלת-ממדיות יניב תוצאות שגויות.

גז אלקטרונים דו-ממדי

נניח שיש באפשרותנו לייצר חומר מוליך דק כרצוננו. כמה דק הוא צריך להיות כדי להיחשב לדו-ממדי בהקשר של הולכת אלקטרונים?

דמיינו שאתם מסדרים ספרים על גבי מדפי ספריה. ניתן לשים ספר חדש או משמאלו של הספר הקודם על אותו מדף או במדף מעליו. במידה וקניתם ספריה מוזרה שהמרחק בין המדף הראשון לשני מצריך שימוש בסולם, תעדיפו ככל שמתאפשר להמשיך ולשים ספרים אחד לצד השני באותו מדף. אם מספר הספרים שלכם קטן מספיק כך שאינו ממלא את כל המדף הראשון, המדף הגבוה יותר יישאר ריק.

בדומה לספרים בספריה, את האלקטרונים בחומר ניתן לסדר ברמות אנרגיה שונות (אלקטרון אחד בכל רמה, מהנמוכה לגבוהה). את הרמות ניתן לחשב על ידי מודל המתייחס לאלקטרונים כאל גז דליל של חלקיקים שאינם פוגשים אחד את השני. כל מימד תורם סט של רמות אנרגיה בצפיפות שונה הקשורה ביחס הפוך לאורך המימד (ראו איור). יתכן מצב שבו יש אלקטרונים ברמות האנרגיה הקשורות למימדים המישוריים (הארוכים) ואין כלל אלקטרונים ברמות הקשורות למימד העובי (הקצר). מצב זה נקרא גז אלקטרונים דו-ממדי, ומעשית לא קיים בו מימד שלישי עבור האלקטרונים.


איור המתאר את רמות האנרגיה עבור אלקטרונים. אם ישנם 8 אלקטרונים, לא נזדקק בדוגמא זאת לאף רמה שקשורה למימד העובי.

התנאי לקבלת דו-ממדיות תלוי ביחס בין אורך המימד הארוך לאורך המימד הקצר, אך הוא תלוי גם בכמות האלקטרונים בחומר. ככל שריכוזם גבוה יותר, כך קשה יותר להשיג דו-ממדיות. מכיוון שבמתכת ריכוז האלקטרונים גבוה מאוד, לא ניתן לקבל בה את המצב הדו-ממדי. אך אל חשש, לא הכול אבוד. מוליכים-למחצה הם חומרים שמוליכים חשמלית בטמפרטורת החדר, אך מכילים ריכוז אלקטרונים נמוך בהרבה ממתכת, כך שניתן לקבל בהם התנהגות דו-ממדית.

בנוסף לכך, למדע יש טריק נוסף באמתחתו.

אם מחברים שני חומרים מוליכים למחצה, הנבדלים ביניהם בכמות האנרגיה המינימלית שצריך לקבל אלקטרון כדי להצטרף להולכה חשמלית (למשל הצמד גאליום-ארסניד ואלומיניום-גאליום-ארסניד), אזור המגע ביניהם נהפך לסוג של 'מלכודת' עבור אלקטרונים. גורלם של אותם אלקטרונים הוא להתקיים רק על גבי המשטח המחבר בין שני החומרים בצורת גז אלקטרונים דו-ממדי. ניתן להשתמש במשטחים אלה לבניית טרנזיסטורים מהירים במיוחד בדומה לטרנזיסטורים הבליסטיים שאותם הזכרתי בחלק א' של הרשימה. המחקר של מבנים אלה זיכה את הוגיו בפרס הנובל לפיזיקה בשנת 2000.

סוף דבר

ראינו מצבים שונים בהם המערכת הפיזיקלית מתנהגת כמערכת דו-ממדית למרות שהעולם המוכר לנו הוא תלת ממדי. לדו-ממדיות יש השלכות ישירות על התוצאות וניתן למדוד ולהראות אותה בניסוי.

ואם לא הצלחתם להתחבר רגשית לדיון דו-ממדי בחלבונים ואלקטרונים, זכרו כי גם אנחנו בעצם חיים על משטח דו-ממדי שהוא פני כדור-הארץ.

————————————————————————-

לקריאה נוספת:

– על מעבר חומרים דרך ממברנות ביולוגיות באתר דווידסון און-ליין, כולל סרטון עם תרגום לעברית.

– על גז אלקטרונים דו-ממדי, כתוב בז'רגון יותר פיזיקלי אך ללא נוסחאות מתמטיות, באתר דווידסון און-ליין.

טבע בשני מימדים, חלק א' – נפלאות הגרפן

בשנת 1884 פרסם אדווין א. אבוט את הנובלה שטוחלנדיה (מישוריה בהוצאה חדשה יותר בעברית, Flatland במקור) ובה מסופר על עולם מישורי ובו קיימים שני מימדי מרחב בלבד. תושביו של עולם זה הם מצולעים המחולקים למעמדות לפי מספר הצלעות שלהם. הספר נכתב כסאטירה ומותח ביקורת על ההיררכיה החברתית בחברה הוויקטוריאנית שבה חי אבוט.

אנחנו, לעומת זאת, חיים בעולם תלת-מימדי, לפחות בהקשר של המרחב הסטנדרטי. במקרים מסוימים ניתן לוותר על אחד המימדים בתיאור המציאות הפיזיקלית. הכוונה היא שעבור תיאור מדעי של תופעות פיזיקליות מסוימות, אחד מהמימדים יכול להיות חסר חשיבות במקרים שבהם הוא קטן מאוד (למשל עובי של דיסקה דקה) או גדול מאוד (למשל אורך של צינור ארוך) ביחס לשאר.

למרות שאיני מכיר יצורים דמויי מצולעים בעולמינו, ישנם מקרים בטבע שבהם דו-המימדיות היא אמיתית ואינה קשורה לקירובים. אני אפריד את הדיון לשתי רשימות נפרדות. ברשימה זאת אני אספר על חומר ייחודי בעל מבנה דו-ממדי, וברשימה הבאה אספר על דו-ממדיות הנובעת מתנאים מיוחדים הנוצרים בתוך חומר בעל מבנה תלת-ממדי.

עטיפת הספר שטוחלנדיה בהוצאה השישית של הגרסה האנגלית. המקור: ויקיפדיה.

הגְרָפֶן – חומר בשני מימדים

ליסוד פחמן יש כמה תצורות שבהן הוא מופיע כמוצק בטבע. השתיים המפורסמות ביותר הן גביש היהלום והגרפיט, שאינן דומות אחת לשניה כלל. היהלום שקוף, עמיד לשריטות ומבודד חשמלית, והגרפיט אטומה (צבע כסוף מתכתי), רכה ומוליכה חשמלית. ההבדלים נובעים מסידור האטומים והמבנה הגבישי. הגרפיט, החשובה לעניינינו, בנויה ממספר רב של שכבות זהות שבכל אחת מהן מסודרים האטומים על גבי קודקודיהם של משושים המרצפים את אותו מישור (ראו איור). שכבה בודדת, הזהה לאלה המרכיבות את הגרפיט, נקראת גְרָפֶן (graphene).

(א) גוש של גביש גרפיט, (ב) איור סכמטי של סידור באטומים בגרפיט, (ג) איור של משטח גרפן. המקורות: ויקיפדיה וויקיפדיה.

קיומו של הגרפן כחומר בפני עצמו היה שנוי במחלוקת במשך שנים רבות, והיו אף שטענו שהוא אינו יציב ולכן אינו יכול להתקיים. למרות זאת, תכונותיו נחקרו באופן תיאורטי מכיוון שכדי לחשב את תכונותיו של גביש גרפיט, נוח קודם לחשב את תכונותיה של שכבה אחת ואז להכליל את התוצאות למבנה השלם. בדרך לגילויו של הגרפן היו שתי בעיות עיקריות: כיצד לייצר שכבה בעובי אטום בודד, ובמידה וכבר ישנה אחת כזאת, כיצד למצוא ולזהות אותה.

שתי הבעיות נפתרו על ידי אנדרה גיים וקוסטיה נובוסלוב (Geim & Novoselov), פרופסור מאוניברסיטת מנצ'סטר ותלמידו, דבר שזיכה אותם בפרס הנובל לפיזיקה לשנת 2010. (כהערת אגב, אני ממליץ ללחוץ ולקרא על גיים, שהיה פה בארץ גם לפני וגם אחרי שזכה בפרס, על זכייתו בפרס האיג-נובל בעקבות הרחפת צפרדעים ועל התנגדותו לחרם אקדמי על ישראל). גיים ונובוסלב מצאו דרך כה פשוטה לייצור חתיכות גרפן בעזרת נייר דבק, עד שכל אחד יכול לנסות אותה בבית (אני קצת מגזים). כמו כן, הם מצאו את התנאים שבהם ניתן להבדיל בין פיסות גרפן, בעובי שכבה אטומית אחת, לפיסות עבות יותר בעזרת מיקרוסקופ אור פשוט. מאז נמצאו שיטות נוספות, מדויקות ומתוחכמות יותר לייצור מבוקר של שכבות גרפן ולזיהויים.


אנדרה גיים. המקור: וויקיפדיה.

כעת, כאשר היו סוף סוף בידיהם פיסות גרפן, יכלו המדענים לבדוק באופן ניסיוני את כל התחזיות התיאורטיות המשונות שחושבו במשך השנים. אחת התכונות המעניינות שקיומן נחזה באופן תיאורטי בגרפן היתה 'הולכה בליסטית של נושאי מטען'. אסביר על מה מדובר.

אלקטרונים שתורמים להולכה החשמלית של גבישים אינם מתנהגים בדיוק כמו אלקטרונים חופשיים בואקום. האלקטרונים הנעים בתוך הגביש מושפעים מהשדות האלקטרוסטטיים שנוצרים על ידי האטומים המרכיבים אותו. אותה השפעה של הגביש על האלקטרונים אמנם מורכבת מאוד, אך ניתן לתחום אותה לתוך מושג הנקרא 'מסה אפקטיבית'. התוצאה של התרגיל הזה היא שנוכל להמשיך ולהתייחס לאלקטרון כחופשי, אך נצטרך לקחת בחשבון שמסתו בפועל, המסה האפקטיבית, אינה המסה של האלקטרון החופשי. היא אינה קבועה ותלויה בסוג הגביש ואפילו בכיוון התנועה של האלקטרון.

כפי שכבר הזכרתי, את תכונות הגרפן חישבו הפיזיקאים התיאורטיים הרבה לפני שמישהו חשב שיהיה זה אפשרי לשים יד על פיסה של החומר. אחת התכונות המשונות שהם מצאו היתה שבתנאים מסוימים החלקיקים נושאי המטען בגרפן אינם מתנהגים כאלקטרונים בגביש ולא ניתן כלל להגדיר להם מסה אפקטיבית. ההתנהגות שנחזתה היתה דומה יותר לחלקיקים חסרי מסה. דבר זה היה מפתיע מאוד, מכיוון שאם הוא אכן נכון, יש לצפות שההולכה החשמלית בשכבות אלה תהיה גבוהה מאוד ביחס לגבישים אחרים, ושהאלקטרונים שאינם בדיוק אלקטרונים ינועו במהירויות גבוהות מאוד, ללא הפרעה מהגביש, במה שמכונה 'תנועה בליסטית'.

המהירות של אלקטרונים בתגובה להפעלת שדה חשמלי (מוביליות) בגרפן אכן נמצאה גבוהה מגדר הרגיל. דבר זה הוביל למחשבות על אפליקציה הנדסית לאפקט: טרנזיסטור בליסטי (ניתו לקרא הסבר קצר על מהו טרנזיסטור בפוסט קודם שלי או בוויקיפדיה). בטרנזיסטור זה ההולכה החשמלית, בזמן שהטרנזיסטור פתוח, תתבצע דרך משטח גרפן. בגלל המהירות הגבוהה של האלקטרונים, נוכל לבנות טרנזיסטורים שיגיבו במהירות רבה יותר מטרנזיסטורים רגילים, ויאפשרו עבודה בתדירויות גבוהות מאוד.

הידד לגרפן!

————————————————————————–

לקריאה נוספת:

ברשימה זאת התמקדתי רק באחת התכונות של גרפן; מדובר בטיפה בים. מי שמעוניין להעמיק בתכונות ושימושים נוספים של הגרפן מוזמן לקרא מאמר של אנדרה גיים שהתפרסם בעברית בסיינטיפיק-אמריקן ישראל (כולל הפניה למקורות נוספים) או לעיין בדף הוויקיפדיה באנגלית על גרפן.