ארכיון
קופסאות שימורים של ידע – למדוד את העולם, יומן קריאה
בואו ונניח שעקב קטסטרופה כזאת או אחרת העולם כפי שאנחנו מכירים אותו נחרב. שארית הפליטה חיה ללא מנעמי הקידמה. אין חשמל, אין קניות בסופרמרקט, אין כלום. האם אנחנו יודעים לבצע פעולות בסיסיות כדי לשרוד בעולם כזה? איך מכינים שימורים של בשר או ירקות? איך מפיקים בדים מפרוות או מצמחים?
כל נתון על מערכת השמש נמצא כיום במרחק לחיצת כפתור ברשת האינטרנט. הכוונה לרדיוס כדה"א, המרחק לירח ולשמש וכדומה. איך אנחנו יודעים דברים אלה? האם באותו עולם דיסטופי תוכלו לשחזר את הידע? גאוני יוון העתיקה מדדו והסיקו את הגדלים האסטרונומיים הללו. האם אתם יודעים איך עשו זאת?
תהה תשובתכם אשר תהה, ודאי תשמחו לדעת שמישהו ליקט מבחר מהידע הזה לספר, בעברית.
***
עטיפת העותק שלי של הספר 'למדוד את העולם'.
אשר קרביץ וכלנית דותן (שניהם בעלי תארים גבוהים בפיזיקה והראשון גם ידוע כסופר) כתבו לפני מספר שנים את הספר 'למדוד את העולם' שבו הם סוקרים איך נמדדו חלק מהתכונות והגדלים החשובים המתארים את עולמנו. המחצית הראשונה של הספר עוסקת בגדלים במערכת השמש ובמהירות האור. המחצית השניה של הספר דנה בפיזיקה מודרנית, בנושאים כמדידת התכונות של האלקטרון, קבוע פלנק, מודל גוף שחור וטמפרטורת השמש וגילו של כדה"א על ידי תיארוך רדיואקטיבי.
למדתי לא מעט דברים מעניינים שלא ידעתי (בעיקר בחלק הראשון, מכיוון בנושאי החלק השני אני בקיא יותר) והרווחתי כמה אנלוגיות וכמה הסברים מפתיעים. למשל, חיבבתי את הפשטות שבהסבר שניתן לחוק ארכימדס בפרק על ניסוי טיפות השמן של מיליקן. אוכל גם בעתיד להיעזר בפרקים הראשונים כשארצה לחזור ולהיזכר כיצד מעריכים גדלים במערכת השמש.
אבל אם אהיה כנה, יש לא מעט דברים בספר הזה שהפריעו לי במהלך הקריאה.
ראשית, לא ברור לי למי מיועד הספר. האם הוא מיועד לתלמידי תיכון? למורים בתיכון? לחובבי מדע פופולרי? לכלל הציבור? לטעמי, הכותבים ועורכי הספר לא החליטו בעצמם ולכן לא התאימו בצורה נכונה את התוכן ואת הכתיבה. מחד, הטקסט מתיילד ברובו ולכן נראה כאילו מכוון לנוער. מאידך, ההסברים בו אינם ברורים מספיק. פעמים רבות, למשל, מניחים הכותבים שההבנה תבוא לבד מתוך איור גיאומטרי. האם נדרש ידע מוקדם? האם מדובר בשיעורי בית לקורא?
בחלק השני הבעיה מחמירה כאשר מגיע דיון בפיזיקה מודרנית שהוא נטול הקשר לחלוטין. לקורא שאינו בקיא בחומר חסר המון רקע ולמרות שנעשה מאמץ להשלים מעט מושגים חיוניים בתוך הפרקים ובנספחים הדבר לטעמי נעשה בגמלוניות. לדוגמה, פרקים 7 ו-8 על האלקטרון ועל קבוע פלנק אינם ניתנים להבנה כלל, לדעתי, בצורתם הנוכחית. בנוסף, לא ברור לי מדוע הפרקים כל כך קצרים ונטולי הקשר. אורכו של הספר, ללא נספחים, הוא פחות מ-200 עמודים. היה מקום לדקק מעט את הדפים השמנמנים בצורה מוגזמת ולעבות את התוכן והרקע. אין בספר את העומק והתובנות שהייתי מצפה מספר מדע פופולרי.
ברוב הפרקים ניכר כי המתמטיקה נורא חשובה לכותבים, אבל לדעתי היא הרבה פחות חשובה לקוראים. האם הפיתוח המתמטי של הנוסחה המפלצתית המלאה של מטען האלקטרון בניסוי מיליקן באמת חשובה להבנת הניסוי? יש כל כך הרבה דברים חשובים ומעניינים לומר על הניסוי הזה ללא כל צורך בנוסחה הסופית, שהרי אין לאף קורא את הציוד לבצע את הניסוי המורכב בכל מקרה.
זה מוביל אותי לנקודה אחרת שהפריעה לי. במהלך קריאת הספר עלתה בי הרגשה שתיאורטיקן מנסה להסביר לי משהו על ניסויים. אינני יודע דבר על הכותבים ואני מתייחס אך ורק לכתיבה. העניין ניכר במיוחד בחציו הראשון של הספר (אך גם בשני במובן מעט שונה) .האם הם ניסו לפחות חלק מהניסויים שהם מציעים ובדקו עד כמה קל או ריאלי לבצע אותם, או שהכל זה רק דיבורים? האם הם כיוונו שקל אל הירח ורשמו את התוצאה? האם הם הניחו נקניקיה במיקרוגל והצליחו למדוד עליה פסי השחמה? אם כן, היה נפלא לקרוא על כך חוויות אישיות.
העניין האחרון קשור בעבותות לכל הקודמים. הרושם הראשוני שלי תוך כדי קריאת הספר היה שהפרקים הם בעצם שורה של פוסטים מבלוג שנדפסו ונכרכו עם סיפור מסגרת סביר אם כי מעט תלוש ולא לגמרי משכנע. מקריאת התודות בסוף הספר ניתן להסיק (אולי) שהוא כנראה עיבוד של שיעורים שהעביר קרביץ לבני נוער (מחוננים?). דבר זה ביאר לי חלק מהמבנה, הצורה והכתיבה של הספר.
***
לסיכום, שאלת המפתח עבורי היא האם יש ערך מוסף לקריאת הספר מעבר לעיון בדפי ויקיפדיה, שהרי הוא עולה כסף.
התשובה שלי היא שכן, יש בו ערך מוסף. יש בו תחקיר לא מבוטל ועבודת ליקוט וריכוז. יש בו ידע, עובדות מעניינות ואיורים מועילים. יש ערך לרצף הקריאה בו והקורא יחכים ממנו.
אני חושב שכבלוג הוא היה מעולה, כספר קריאה הוא לא מבושל דיו וחסר עומק.
הבה ונתכתשה – כמה מילים על השאלה האם כל תחום בפיזיקה הוא מדעי והאם זה משנה
נתחיל בשאלה פרובוקטיבית.
ידוע שפיזיקה היא ענף במדעי הטבע ושמדען הוא אדם שעוסק במחקר מדעי.
האם כל מדען שחוקר בתחום הפיזיקה עוסק במדע? האם כל תחום בפיזיקה הוא מדעי?
על פניו, נראה שהתשובה ברורה, לא?
אז בואו ושמעו סיפור.
בעשר השנים האחרונות מתחולל קרב סמוי מן העין על טיבה של הפיזיקה ועל טיבו של המדע. יותר ויותר פיזיקאים מביעים אי נוחות אל מול חלק מנושאי הקצה בתחום.
במה דברים אמורים?
***
הויכוח לא נולד אתמול וגם לא לפני שנה אבל מישהו בחש בקלחת והנושא התעורר מחדש ביתר שאת. בדצמבר 2014 התפרסם מאמר דעה במגזין המדעי המוביל 'Nature' פרי עטם של שני פיזיקאים מכובדים. כותרת המאמר היתה :"Defend the integrity of physics", לא פחות.
צילומסך של כותרת המאמר.
במאמר מזהירים הכותבים מפני תחומים בפיזיקה שמאבדים קשר עם המציאות. שתי הדוגמאות שלהם הן תורת המיתרים והשערת היקומים המרובים. בתחומים אלה הפיזיקאים נמצאים בבעיה. מצד אחד פיזיקה היא מדע אמפירי שמטרתו הוא לתאר את העולם שבו אנו חיים. כל תיאוריה חייבת להיבדק אל מול המציאות, כלומר לתאר את מה שידוע כרגע ולייצר תחזיות חדשות שאותן נוכל לבדוק. מצד שני, תורת המיתרים שנחשבת כבר לא מעט שנים לתיאוריה שאולי תצליח לאחד את כל הכוחות בטבע תחת מטריה תיאורטית אחת, ולמרות כל השנים שעברו, לא ייצרה הרבה תחזיות ולא נראה שיהיה אפשר לבדוק אותה בשנים הקרובות.
המצב אף גרוע יותר עבור השערת היקומים המרובים. למיטב הבנתי, השערה זאת נולדה כדי להסביר מדוע נראה שהקבועים הפיזיקליים הבסיסיים בטבע כווננו לחיים כפי שאנחנו מכירים אותם כיום. כל שינוי קטן בהם היה מוביל ליקום שאינו יכול לתמוך בגלקסיות, כוכבים, פלנטות, חיים וכך הלאה. הפתרון שהוצע הוא שכל האפשרויות ליקומים קיימים, ואנחנו נמצאים בזה המתאים לקיומנו. אני מניח שברור שאת ההשערה הזאת לא ניתן לבדוק מאופן הגדרתה.
כותבי המאמר טוענים ששני תחומים אלו בפיזיקה הינם רעיונות פיזיקליים שאינם ניתנים להפרכה ולכן אינם מדעיים. הם הביעו חשש שהעיסוק בתיאוריות אלה גורם נזק לאמון שהציבור נותן במדע בכלל ובפיזיקה בפרט. תמיד כדאי לתבל במעט דרמה.
חלק מתומכי המיתרים והיקומים המרובים מודעים לבעיות בתחום ונוטים להתמודד עמם בכל מיני דרכים שמרגיזות את כותבי המאמר. בעיקר הצעות שקשורות להורדת הסף האמפירי הנדרש מתיאוריות פיזיקליות. ניתן לקרא על כך במאמר המקורי.
בחודש דצמבר האחרון אורגנה סדנא בנושא על ידי מובילים משני צידי המתרס. לכנס הוזמנו בעיקר פיזיקאים אבל גם פילוסופים והיסטוריונים של מדע לדון בסוגיה. בכתבה שקישרתי במשפט הקודם דווח שבסוף הפגישה לא נראה שהפיזיקאים משני הצדדים התקרבו בצורה כלשהי להסכמה בנושא או למשהו שמתקרב לקונצנזוס.
צילומסך של כותרת הכתבה שמדווחת על הכנס.
הדיון המחודש בנושא עורר גל של תגובות ומאמרים. ניתן לקרא עליו קצת בקישור הזה כולל הפניות לתגובות שונות ועדכונים בסוף הכתבה.
***
כפי שכתבתי בעבר, אותי לא מעניינת השאלה "האם היקום מורכב ממיתרים?" מכיוון שלטעמי זאת אינה שאלה מדעית. אותי מעניינת אך ורק השאלה "האם מודל המיתרים מסוגל להסביר את התופעות הקיימות ולחזות תופעות חדשות?". אם התשובה חיובית אז הוא מודל יעיל, ואם לאו אז אינו יעיל. אם אין אנו מסוגלים לבדוק אותו, אז הוא בעיקר שעשוע מתמטי.
אל תבינו אותי לא נכון, יש מקום גם לשעשועים מתמטיים במחלקות לפיזיקה. הדוגמאות הן רבות, אני אסתפק באחת פשוטה. למיטב זכרוני, הפיזיקה של סריג הקסגונלי דו-ממדי של אטומי פחמן, כלומר גרפן (Graphene), נכתבה כבר בשנות ה-70 של המאה הקודמת כתרגיל מתמטי מבלי לדעת אם שכבה כזאת יכולה להתקיים באופן 'עצמוני'. בשנים האחרונות למדו מדענים לייצר שכבות כאלה ומיד מצאו להם שלל שימושים. הפיזיקה התיאורטית היתה כבר כתובה ומוכנה לבדיקה. הדבר הוביל לפרס נובל לפיזיקה בשנת 2010.
אין אנו יכולים לדעת כעת האם תורת המיתרים תתגלה כחשובה ויעילה כפי שהפיזיקאים שחוקרים אותה טוענים. את התשובה לכך נוכל לדעת רק בדיעבד, והבדיעבד הזה יכול להיות מרוחק שנים רבות מעכשיו. מהסיבה הזאת ודאי שיש לאפשר מחקר בכל תחום פיזיקלי סביר. מצד שני יש הרגשה ללא מעט עוסקים בתחום שנושאים כמו מיתרים או יקומים מרובים מקבלים יותר מידי אור זרקורים, יותר מידי תהילה, יותר מידי דגש, יותר מידי מימון ויותר מידי תלמידים חוקרים ביחס לכמות ההצלחות המועטה שלהן ולכך שהן נמצאות על התפר שבין מדע לכמעט מדע.
ומה נותר לעשות? מה שאנחנו עושים בכל ערב, להתכתש.
להדליק סיגריה בסיגריה – על כיול התרמומטר 'הראשון'
אחד ממכשירי המדידה הפשוטים ביותר שקיימים הוא מד-החום שאבות-אבותינו החלו בונים כבר במאה ה-18. אותה טיפת כספית המטפסת לאורכו של צינור זכוכית דק ככל שהטמפרטורה גבוהה יותר.
שאלה: אם תבנו תרמומטר בעצמכם, איך תדעו שהוא תקין, כלומר מציג את הטמפרטורה הנכונה? ודאי תבדקו את קריאותיו אל מול תרמומטר אחר שקניתם בחנות. ומה עשו המדענים שהמציאו את התרמומטר?
הרשו לי להציג בפניכם מספר בעיות בכיול תרמומטר שיגרמו לכם להרים גבה, ואף יותר מזה. מדובר בעסק סבוך הרבה יותר ממה שנראה במבט ראשון, ואפשר ללמוד מכך לא מעט על מדע המדידה.
תמונה 1: תרמומטר כספית למדידת הטמפרטורה בחדר במעלות צלזיוס. המקור לתמונה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Anonimski.
***
הוראות הרכבה
נתחיל מהרעיון העומד מאחורי מכשיר המדידה שנקרא תרמומטר.
איננו יכולים למדוד טמפרטורה באופן ישיר, ולכן נמדוד אותה באופן עקיף על ידי מדידת תופעה אחרת שקשורה אליה. במקרה של תרמומטר כספית (או אלכוהול) אנחנו מנצלים את העובדה שנוזל משנה את נפחו כתוצאה משינוי בטמפרטורה. נשתמש בטיפה קטנה כך שהטמפרטורה שלה תמיד משתווה לזאת של הסביבה שבאה איתה במגע. נשים אותה בתחתית צינור זכוכית דקיק כך שככל שטמפרטורת הנוזל גבוהה יותר, כך הנפח שלו גדל והגובה של הנוזל בצינור עולה. הדקיקות של הצינור גורמת לרגישות גבוהה יותר לשינויים בנפח.
כעת, כל שעלינו לעשות כדי לבנות תרמומטר הוא לבחור נוזל, לקבוע שתי נקודות ייחוס, למשל נקודת הקיפאון ונקודת הרתיחה של מים, למדוד אותן ולסמן את התוצאות על הצינור. נוכל באופן שרירותי לבחור לסמן ב-0 את נקודת הקיפאון וב-100 את נקודת הרתיחה. בין שתי הנקודות המסומנות נשרטט סדרה של קווים במרחקים שווים, עדיף בסקלה עשרונית כלשהי וזהו. אנחנו מסודרים.
האמנם?
תמונה 2: תרמומטר כספית לשימוש רפואי מראה טמפרטורה של 38.7 מעלות צלזיוס. המקור לתמונה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Menchi.
***
האם הנקודות הקבועות קבועות?
איך נוכל לדעת האם הנקודות הקבועות שבחרנו אכן קבועות? מי בכלל אמר שמים רותחים תמיד באותה טמפרטורה? כדי להוכיח את הטענה נרצה למדוד את טמפרטורת הרתיחה. אבל אין לנו תרמומטר!
[במאמר מוסגר אני אעיר שנקודת הרתיחה, במובן מסוים, היא באמת לא קבועה ותלויה בלחץ שבו נמצא הנוזל. כמו כן, ישנם גורמים נוספים שעלולים להוביל לתופעות כגון חימום וקירור יתר. נקודה זאת גרמה לקושי ולמחלוקות רבות בין המדענים בסוף המאה ה-18 ותחילת המאה ה-19 שחקרו ובנו מדי-חום, ונושא היסטורי-מדעי זה ראוי לרשימה נפרדת. עם זאת, נוכל להחליט בינינו על רמת לחץ סטנדרטית ועם הידע שיש לנו כיום נוכל בקלות לנטרל את התופעות שהזכרתי, ולכן נצפה למדוד טמפרטורת רתיחה קבועה, וזה מה שאני אניח מכאן והלאה.]
אז איך מוכיחים שהנקודות קבועות ללא תרמומטר? ראשית יש להסכים על מכשיר מדידה. נתחיל מהגוף שלנו. אם נכניס את יד ימין לדלי עם מים חמים מאוד ואת יד שמאל לדלי עם מים קרים מאוד, גופנו יתריע על ההבדל. ניקח את טיפת הכספית הסגורה בצינור הזכוכית הדק, נטבול אותה פעם בדלי החם ופעם בדלי הקר, ונבחין בשינוי בגובה הכספית (ללא סקלה). כך נשתכנע ש-'חם' משמעו עליה ו-'קר' משמעו ירידה בקריאת המכשיר, ומכאן אנחנו שמים את מבטחנו בו. כעת נוכל לבדוק האם מי קרח גורמים לכספית להגיע תמיד לאותו הגובה. אין אנו יודעים מה הגובה הזה בדיוק אומר, אבל אנחנו רואים שהתופעה קבועה. אז נראה שהסתדרנו.
נחזור על ניסוי הדליים בשינוי קל. לאחר טבילת הידיים בדלי החם והקר נעביר אותן, בו זמנית, ימין ושמאל, לשני דליים אחרים עם מים פושרים מהברז. כפי שאתם ודאי יודעים, היד הקרה תדווח שהמים חמים והיד החמה שהם קרים. מכיוון שאנחנו יודעים שהמים הגיעו מאותו מקום, הדיווח לא נשמע אמין ולכן נשתמש במכשיר המדידה שיחשוף את הטעות ויראה גובה זהה של כספית בשני הדליים.
אך שימו לב מה קרה כאן: התחושה של גופנו שכנעה אותנו בתקפותו של מכשיר המדידה ששכנע אותנו בחוסר תקפותה של התחושה של גופנו. האם התרמומטר נשען על טיעון מעגלי?
איור 3: השוואה בין סקלת מעלות צלזיוס לפרנהייט, כולל סימון נקודות הרתיחה והקיפאון של מים. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש User:Gringer.
***
האם לסקלה יש בכלל משמעות?
כעת שיש בידינו מכשיר מדידה עם שתי נקודות קבועות, 0 עבור קיפאון ו-100 עבור רתיחה, נוכל לשרטט ביניהן סרגל. אם הכספית מגיעה, למשל, בדיוק לחצי הגובה, נכריז 50.
כעת נחליף את הכספית באלכוהול ונחזור על הניסוי. נמדוד ונסמן מחדש את הנקודות הקבועות, ואז נכניס המכשיר לנוזל בטמפרטורה שבה קריאת הכספית היא 50. לאכזבתנו נגלה שקריאת המכשיר עם האלכוהול תהיה שונה. אז מה השתבש? מי מהנוזלים סיפק את התשובה הנכונה?
שימו לב שהסקלה ששירטטנו היא ליניארית (מרחקים קבועים) על צינור הזכוכית, כלומר הנחנו שקיים קשר פונקציונאלי ליניארי בין הגובה בצינור לטמפרטורה, אבל אף אחד לא הבטיח לנו את זה. אף אחד גם לא הבטיח שאופי התגובה של נוזלים שונים לשינויי טמפרטורה הוא זהה.
כדי לכייל את השנתות על הצינור נרצה למדוד את הקשר הפונקציונלי בין גובה הנוזל בצינור לטמפרטורה, אבל איך בדיוק נעשה את זה אם עוד לא בנינו תרמומטר?
***
תשובות לשאלות?
התלבטתי אם לתת תשובות לשאלות שהעליתי ברשימה או להשאיר אותן פתוחות ולבסוף החלטתי על משהו באמצע.
לגבי מעגליות הטיעון לתקפות מכשיר המדידה, הסוד לדעתי הוא ששום דבר לא קדוש. פיזיקה היא לא מתמטיקה, ולעולם לא ניתן להוכיח דברים באופן מוחלט. גם הטיעון הראשוני וגם המסקנה שאליו הוא הוביל נתונים 'למתקפה' מתמדת. אבל גם אם נגלה שחלק מהתחושות שלנו שגויות, אין זה אומר שכולן שגויות וכל מה שהסקנו מהן שגוי. יש להעמיק, להבין את התופעה ולבנות תיאוריה שלמה יותר של השלישייה: מציאות-תחושה-מדידה, ולעדכן ולעדכן ולעדכן.
לגבי כיול השנתות של הסקלה, הנה רעיון ששווה דיון: כל מדי-החום מסכימים על הנקודות הקבועות. אם נערבב כמות שווה של מי-קרח ושל מים רותחים, מה אנחנו מצפים שתהיה הטמפרטורה של התערובת? אם החלטנו שהטמפרטורה צריכה להיות 50 (אמצע בין 0 ל-100), נוכל לגלות איזה תרמומטר מפיק עבור התערובת את הקריאה המתאימה ולהשתמש בו לכייל את כל השאר. האם נוכל להגן על ההנחה שהטמפרטורה של התערובת היא 50? שיטה זאת הומצאה בראשית המאה ה-19 והובילה לאינספור ויכוחים מדעיים על תקפותה, שקצרה היריעה כאן מלהכיל.
***
הרשימה מבוססת על חלקים מהספר:
Inventing Temperature: Measurement and Scientific Progress by Hasok Chang
"הוא טוב כל עוד הוא עובד", מבט פרגמטי על טיבן של תיאוריות מדעיות
האדם החושב תמיד שאף להסביר את העולם, כלומר לנסח בעזרת חוקים ותובנות את אשר חווה, לחזות את הנולד ולשלוט בעתידו (ולעיתים גם בעתידם של אחרים). החל באריסטו שניסח חוקי תנועה, דרך גלילאו וניוטון שהפריכו אותם (עקרון ההתמדה) וניסחו את חוקי המכאניקה ('הקלאסית') המוכרים לנו היום, וכלה במדענים העובדים על התורות הפיסיקליות של ימינו (תורת היחסות, מכאניקת הקוונטים ועוד).
בהתבוננות נוספת מתגלה לכאורה דפוס מדאיג, שהרי גם המכאניקה הניוטונית הופרכה ותורת היחסות ומכאניקת הקוונטים החליפו אותה. מסתבר למשל שהמכאניקה הניוטונית אינה אלא מקרה פרטי וצפויה להניב תחזיות נכונות רק במקרה של מהירויות הנמוכות בהרבה ממהירות האור. אך האם זה סוף הסיפור? האם המדע נידון לכישלון בניסיונו לתאר את הטבע או שאנו פשוט עוד לא מצאנו את התורה המלאה? האם יום אחד נוכל לנסח את התאוריה של הכול (The Theory of Everything), או לרשום משוואה שתתחיל במפץ הגדול ותחזה כל רגע מאוחר יותר? האם התיאוריות של היום הם רק עניין חולף ואם כן, האם אנו צריכים לדאוג מכך? התשובה לדעתי היא כן ולא, כפי שאפרט בהמשך.
ציור של גלילאו גליליי, המקור לתמונה: ויקיפדיה.
כדי להעמיק ברעיון התיאוריה הפיסיקלית עלינו תחילה לשאול כיצד בכלל נבנית תיאוריה כזאת. תיאוריה או מודל חדש יכולים להיוולד כהסבר לניסוי שתוצאותיו אינן תואמות את המודל הקיים. לחלופין, לפעמים זהו הניסוי שבא לבדוק תיאוריה חדשה ולעמת אותה עם המציאות. אנסה להדגים זאת בעזרת נושא הקרוב לליבי – המוליכים למחצה. בשנת 1947 הוצג במעבדות בל הטרנזיסטור הראשון שזיכה את ממציאיו בפרס נובל בפיסיקה תשע שנים לאחר מכן. ב-1958 הוצג המעגל המשולב הראשון ומאז הטכנולוגיה שועטת קדימה ללא מעצורים. שבבי הסיליקון נמצאים (כמעט) בכל מקום. בכל פעם שאתם משתמשים במחשב כדי להתעדכן מה חדש שם באינטרנט אתם משתמשים בשבבי סיליקון (שהוא מוליך למחצה).
התמונה המפורסמת מ-1948 במעבדות בל של בראטיין, שוקלי ובארדין ממציאי הטרנזיסטור. השלושה זכו בפרס הנובל לפיזיקה בשנת 1956. המקור לתמונה: ויקיפדיה.
אז מהו מוליך למחצה? ראשית נסביר מהם מוליכים ומבודדים, כאשר נתמקד בגבישים. מוליך (למשל מתכת) הוא חומר שבו תמיד יש אלקטרונים פנויים להולכה חשמלית. לעומת זאת חומר גבישי מבודד הוא חומר בו קיים מחסום אנרגטי גדול המונע מאלקטרונים להשתתף בהולכה. אלה כמובן אינן ההגדרות הפיסיקליות המדויקות, אך הן מספיקות עבור הנקודה שאני אנסה להבהיר.
מוליכים למחצה הם בעצם מבודדים שהמחסום האנרגטי בהם קטן מספיק כך שהאנרגיה התרמית (כלומר – חום) בטמפרטורה יום-יומית רגילה תגרום להם להוליך במידה מסוימת. כמו כן, על ידי החדרת אטומים זרים מסוג מסוים למוליכים למחצה אנו יכולים לגרום לעלייה חדה במוליכות החשמלית שלהם. כך קיבלנו חומרים שניתן לשלוט באופן מדויק במוליכות שלהם, וזה מה שהופך אותם לחשובים כל כך בתעשיית השבבים. זאת בניגוד למוליכים ומבודדים שההולכה החשמלית בהם או נמוכה או גבוהה מידי ותלויה בטמפרטורה במידה רבה.
כעת נרצה לבנות מודל פיסיקלי לתיאור ההולכה בחומרים אלה. ראשית אנו משתמשים בעקרונות אחת התיאוריות הקלאסיות בפיסיקה, הפיסיקה הסטטיסטית, לנסח את ההתנהגות של חלקיקי גז. לאחר מכן אנו מניחים שאלקטרונים במתכת מתנהגים כחלקיקי גז עד כדי תיקונים הנובעים מתורת הקוונטים (חוק האיסור של פאולי, חישוב ספקטרום האנרגיה של האלקטרונים). יש לשים לב שכאן כבר מעורבבים יחדיו עקרונות פיסיקליים קלאסיים וקוונטיים. כעת נשתמש במודל הזה לתיאור המוליכים למחצה עם תיקון, אד הוק, נוסף הקשור להוספת המחסום האנרגטי של האלקטרונים בדרך להולכה חשמלית. בעזרת המשוואות שקיבלנו נוכל לחשב כמה אלקטרונים פנויים להולכה בפיסת מוליך למחצה כתלות בפרמטרים שונים. כעת נוכל להשתמש במודל הולכה קלאסי ולמצוא מה ההולכה החשמלית הצפויה במעגל שניבנה בעזרתו.
המודל שהוצג מכיל קירובים רבים וסלט של רעיונות מודבקים מתחומי פיסיקה שונים. קשה להאמין שהוא מתאר את הטבע בצורה נאמנה. עם זאת, באופן בלתי נתפס, הוא חוזה בצורה מדויקת את תוצאות הניסויים כבר עשרות שנים ונמצא בשימוש במחקר ובתעשייה עד ימים אלה. המחשב שלכם עובד, לא?
אז מה ניתן ללמוד מכל זה? אני מגדיר את הגישה שלי לנושא כסופר-פרגמטית. עבורי כל תיאוריה שמצליחה לחזות בעקביות את תוצאותיהם של ניסויים רלוונטיים, וניתן בעזרתה להגיע לקידום ממשי של המדע מקובלת עלי. ומה יהיה כאשר נמצא ניסוי שעבורו התיאוריה אינה עובדת? נחזור לשולחן העבודה ונכתוב אחת חדשה. מודל הוא טוב כל עוד הוא עובד.
רגע, רגע, אבל מה עם האמת? האם המודל שניסחנו הוא האמת? לטעמי השאלות האלה אינן פרגמטיות כלל, ולכן מחוץ לתחום השיפוט שלי.
————————————————————————
הרשימה פורסמה במקור באתר שפינוזה זצ"ל לפני כשנתיים-שלוש. למעשה זאת הרשימה הראשונה שכתבתי אי פעם. עקב ביטולו של אתר שפינוזה, ומכיוון שאני עדיין אוהב אותה החלטתי לערוך את הרשימה מחדש ולהעלות אותה כאן בבלוג.
על עיקרון ההירארכיה, הליכות ונימוסים והשאלה: האם המתמטיקה שייכת למדעי הטבע?
בימי כסטודנט באוניברסיטה נתקלתי בעיקרון שאינו מועבר בהרצאות ואינו כתוב בספרים, אך בכל זאת מופנם על ידי כל הסטודנטים למדעי הטבע. הוא מועבר מאחד לשני בקריצת עין, בהינף יד, באנקדוטה המתגלגלת בחלל האוויר ולפעמים אפילו באמירה בוטה. אני אכנה אותו כאן "עקרון ההירארכיה". העיקרון מתאר את קיומה של הירארכיה בתחום מדעי הטבע. בראשית הפירמידה מתייצבת הפיזיקה העוסקת בעקרונות הכלליים ביותר המתארים את העולם. אחריה באה הכימיה שהיא סוג של פיזיקה יישומית וכך הלאה עם מדעי ההנדסה, מדעי החיים, אתם כבר מבינים את העיקרון. אך שימו לב, ישנו תחום מדעי חשוב שממנו התעלמתי – המתמטיקה. היכן ניצבת המתמטיקה בהירארכיה? xkcd סבור שהתשובה היא: רחוק למעלה. אני סבור שראשית אנו צריכים לקבוע האם המתמטיקה בכלל שייכת למדעי הטבע.
לוח אופייני להרצאה בטופולוגיה אלגברית. כך לפחות על פי מי שצילם את התמונה ושם אותה בוויקיפדיה.
הערה חשובה לפני שמתחילים: הרשימה הפעם היא יותר בסגנון טור דעה ויש להתייחס אליה בהתאם. אם דעתכם שונה משלי או שהטיעונים נראים לכם שגויים או תמוהים אני אשמח אם תסבירו בתגובות.
מדוע הפיסיקה שייכת למדעי הטבע? מכיוון שהיא שמה לה למטרה לתאר את הטבע הנגלה לעינינו, את חוקיו ואת דרך פעולתו בצורה מובנית ובכלים העומדים לרשותה. הטבע, יש לזכור, קיים שם גם אם לא נתאר אותו וגם אם התיאור שלנו ישתנה במשך הזמן. תפוחים נשרו מן העץ אל האדמה גם לפני שנוסחו חוקי הגרביטציה והמשיכו ליפול באותה צורה גם לאחר שנוסחה תיאוריית היחסות הכללית. הפיסיקה מגלה לנו משהו חדש על העולם. האלקטרון היה שם גם לפני שחשבנו עליו, אך כעת אנו יודעים על קיומו ומבינים את תכונותיו (לפחות חלק מהן). ולבסוף אציין שתיאור העולם על ידי הפיסיקה לעולם אינו מושלם. תמיד נוכל לשפר ולדייק יותר ולמצוא מודלים קרובים יותר למציאות.
האם מתמטיקה מתארת את הטבע? נבחן כמה דוגמאות. כידוע, במתמטיקה מייצגת האות היוונית פאי את היחס בין היקף המעגל לבין קוטרו. אך האם נוכל למצוא מעגל כזה? למעשה לא, מכיוון שהצורה המתוארת ע"י פאי היא האידיאל של המעגל ואינה קיימת במציאות (אם כי מהווה קירוב מצוין לרב המעגלים).
בעזרת המתמטיקה ניתן לייצר היגדים קונסיסטנטיים שאינם בעלי משמעות במציאות. לדוגמא התרגיל הבא: i+(i+1)=2i+1, כאשר i מייצג את השורש הריבועי של 1-. האם מספרים דמיוניים (מרוכבים, המכילים את i) מתארים את הטבע? לטעמי לא. מספר מרוכב לעולם לא יהיה תוצאה של ניסוי ולכן לא ניתן לחזות בו [1].
למיטב זכרוני, המקום היחיד שבו מספר דמיוני מופיע במשוואות הבסיסיות המתארות את התופעה הפיסיקלית הוא משוואת שרדינגר המתארת את ההתנהגות של חלקיקים קוונטיים. אך גם בעולם הקוונטי ניתן למדוד רק ערכים ממשיים ולכן אנו לא מודדים את פונקציית הגל (שהיא עשויה להיות מיוצגת על ידי מספר דמיוני), אלא את הערך המוחלט שלה בריבוע.
כלומר כאשר נוסף המספר הדמיוני אל משפחת המספרים, לא למדנו מכך שום דבר חדש על העולם. רק כאשר השתמשנו במספרים אלו על מנת לנסח תופעות פיסיקליות גילינו דברים חדשים על העולם, וזאת היא כבר פיסיקה ולא מתמטיקה.
הטענות להימצאותה של המתמטיקה בטבע במקרים שאינן יישומים פיסיקליים מכילות בתוכן, לדעתי, את הנחת המבוקש (כלומר סוג של טיעון מעגלי). לדוגמא, ניתן למצוא בטבע אין ספור תופעות אשר שכיחות המופעים שלהם מתפלגת נורמלית, כלומר כמו פעמון, שכיחות מופעים גבוהה סביב הממוצע ונמוכה ככל שמתרחקים ממנו. אך בכדי לנסח את החוקיות הזאת מלכתחילה אנו הרי משתמשים במתמטיקה, ולכן חוקיות זאת אינה יכולה גם לשמש כהוכחה להמצאות המתמטיקה בטבע [2].
התפלגות נורמאלית. המקור לתמונה: וויקיפדיה.
המתמטיקה היא מדע מדויק, מדויק באופן אבסולוטי. היא נכונה במאה אחוז ללא מרווח לשגיאה. אם X פחות אחד שווה לאפס, אז X שווה לאחד. בדיוק לאחד. תמיד. מסיבה זאת, מתמטיקה היא המדע היחיד שבו ניתן להוכיח טענות באופן מוחלט וללא צורך בתצפית ואישוש. אמת מתמטית אינה מוכתבת על ידי המודל הטוב ביותר כרגע בהינתן הידע הקיים. אם משפט מתמטי הוכח כהלכה הוא איתנו לנצח.
אז מהי המתמטיקה? טוב זאת כבר שאלה ממש קשה אבל אני אנסה לשער (בקצרה). המתמטיקה, לדעתי, היא סט של חוקים קונסיסטנטיים אשר משמשים את האדם לנסח את חוקי הטבע. היא הפורמליזם [3] שבו אנו משתמשים, וללא פורמליזם לא ניתן לפתח שום רעיון מורכב. ללא הפורמליזם של המתמטיקה, הפיסיקה היא לא יותר מפילוסופיה עמומה (לדוגמא הפיסיקה של אריסטו). למעשה, המתמטיקה היא השפה בה דוברים אנשי מדעי הטבע, אך יש להיזהר עם אנלוגיה זאת. בעולמינו התפתחו שפות שונות ומשונות במקומות שונים ובהתאם לצרכים שונים (כגון מגוון שפות מדוברות, שפת הסימנים ועוד). האם יכולים אנו לנסח מתמטיקה קונסיסטנטית אחרת שתתאר את הטבע? איני יודע.
לסיכום, האם המתמטיקה היא חלק ממדעי הטבע? לדעתי לא, אך רבים וטובים ממני חולקים עלי. האם להתנשא על מתמטיקאי במסדרון הפקולטה? התשובה היא כמובן: לא. זה לא מנומס.
לקריאה נוספת: הפרק "האם המתמטיקה היא תגלית או המצאה" מהפודקאסט המומלץ של רן לוי "עושים היסטוריה" (ניתן גם לקרא את התמליל המקוצר), וכמובן גם ספרו של מריו ליביו "האם אלוהים הוא מתמטיקאי".
——————————————————————————————–
[1] ומה עם התורה האלקטרומגנטית, ומה עם מעגלי תהודה (מעגלים המכילים נגדים, קבלים וסלילים) אשר בתיאורם יש שימוש במספרים מרוכבים? יש להבחין שבמקרים אלו נעשה שימוש בתעלול מתמטי אשר מנצל את העובדה שמספר דמיוני מורכב משני איברים שאינם מתערבבים. כך ניתן לייצג בנוחות גלים אשר להם פאזה ואמפליטודה שאינם מתערבבים. שימו לב שמשוואות מקסוול אינן מכילות מספרים דמיוניים. אנו יכולים למדוד לדוגמא אמפליטודה או פאזה של שדה חשמלי אך שניהם יהיו ממשיים.
[2] הטענה המתמטית היחידה שאיני יכול להתכחש לקיומה הפיזי במציאות היא הטענה שאחד ועוד אחד הם שניים. אך האם בכוחה של טענה זאת בלבד להוליד את המתמטיקה כולה? ואם כן, אז מה בכך?
[3] ראו דיון קצר בנושא מהו פורמליזם ברשימה קודמת.
עד כדי קבוע 