ארכיון

Posts Tagged ‘כבידה’

מסה, (אולי) לא מה שחשבתם

בשוק מוכרים ענבים לפי משקל. ככל שהמוכר מודד מספר קילוגרמים רב יותר הוא מחייב בכמות גדולה יותר של שקלים. מדוע זה הגיוני? האם אנחנו מקבלים כמות גדולה יותר של ענבים? לא בהכרח, אבל בד"כ כן.

הקילוגרם היא היחידה הבסיסית למדידת מסה, שקשורה לכמות החומר רק בעקיפין. מהי בכלל מסה?

%d7%90%d7%a9%d7%9b%d7%95%d7%9c%d7%95%d7%aa-%d7%a2%d7%a0%d7%91%d7%99%d7%9d
תמונה 1: ענבים. המקור לתמונה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Dragonflyir.

***

הצורך בהגדרת המושג מסה עולה מתוך דיון על כוחות ולכן ראשית יש להגדיר במפורש מהו כוח בפיזיקה.

נגדיר: כוח הוא פעולה הדדית בין שני גופים שניכרת בשינוי מהירות או שינוי צורה.

דוגמה: אם אני מטיח אגרוף בגוש פלסטלינה מתרחשת בעקבות המגע בין שני הגופים אינטרקציה שתוצאתה היא שגוש הפלסטלינה ישנה את צורתו ואת מהירותו. באותו הזמן, גם היד תשנה את צורתה ומהירותה.

ישנן שתי דרכים להגדיר מהי מסה.

דרך א'

חוק הכבידה של ניוטון אומר שבין כל שני גופים (מסות) שורר כוח משיכה שתלוי במסתם של הגופים ובמרחק ביניהן. ככל שהמסות גדולות יותר, כך הכוח ביניהן גדול יותר. ככול שהמרחק ביניהן גדול יותר, כך הכוח ביניהן קטן יותר.

%d7%97%d7%95%d7%a7-%d7%94%d7%9b%d7%91%d7%99%d7%93%d7%94-%d7%a9%d7%9c-%d7%a0%d7%99%d7%95%d7%98%d7%95%d7%9f

F הוא כוח הכבידה בין שתי מסות, m מסמן את מסות הגופים השונים, r את המרחק ביניהם ו-G קבוע אוניברסלי שקשור לחוזק הכוח.

כלומר, קיום כוח הכבידה והמודל שמסביר את אופן פעולתו מגדיר מהי מסה. את הקבוע האוניברסלי G נקבע מתוך מדידות לאחר שנקבע מהי מידת הקילוגרם.

כל הגופים הגשמיים שנמצאים לידי כרגע מכילים את התכונה הפיזיקלית שנקראת מסה וכולם נמצאים בשדה כבידה זהה של כדור הארץ (מסת כדה"א והמרחק ממרכזו זהים בקירוב עבור כולם). נוכל להיעזר בעובדה זאת כדי לכייל את סקלת מדידת המסות. נקבע שאחד החפצים הוא 1 ק"ג ונשתמש במאזניים ובכוח הכבידה לקבוע את כל השאר. סדרה כזאת של גופים קיימת בצרפת והיסטורית היא מגדירה עבורנו מהו קילוגרם.

national_prototype_kilogram_k20_replica
תמונה 2: העתק של הקילוגרם הרשמי המקורי מצרפת שמוחזק על ידי US government National Institute of Standards and Technology או בקיצור NIST במרילנד לתצוגה. מדובר בגוש מתכת שהוא 90% פלטינום ו-10% אירידיום. המקור לתמונה: NIST דרך ויקיפדיה.

דרך ב'

בהגדרת הכוח ציינתי שהוא ניכר בשינוי מהירות.

החוק השני של ניוטון אומר שאם סכום הכוחות הפועלים על גוף שונה מאפס, הוא משנה את מהירותו, כלומר מאיץ. סכום הכוחות שפועל על הגוף שווה לקבוע כפול התאוצה בה הוא נע. את הקבוע הזה אנחנו מכנים בשם 'מסה' ובעצם בפעולה זאת מגדירים מהי מסה.
[הערת שוליים: אם אתם מפעילים כוח על גוף נח והוא לא משנה את מהירותו, כלומר מתחיל לנוע, זה עקב כוח החיכוך. סכום הכוחות על הגוף, כולל כוח החיכוך, הוא אפס.]

בדיקה במעבדה תאשר את החוק ותראה שערכו של הקבוע (שיפוע הגרף בין סכום הכוחות לתאוצה) תלוי בגוף עצמו ובכמה הוא מאסיבי. גם על קרח, שעליו החיכוך הוא מינימלי, קל להאיץ מטבע של חצי שקל וקשה להאיץ מקרר משפחתי 3 דלתות עם מכונת קרח מובנית.

%d7%97%d7%95%d7%a7-%d7%a9%d7%a0%d7%99-%d7%a9%d7%9c-%d7%a0%d7%99%d7%95%d7%98%d7%95%d7%9f
איור 3: גרף איכותי של החוק השני של ניוטון, כלומר הקשר הישר בין שקול הכוחות לתאוצה.

אם כך, מסה היא התנגדות הגוף להפעלת הכוח. ככל שמסתו של גוף גדולה יותר, כך התאוצה שנגרמת עקב הפעלת כוח עליו קטנה יותר, ולהפך.

***

כעת חשוב שנעצור ונחשוב. האם שתי ההגדרות מדברות על אותו הדבר? מבחינה עקרונית נראה שמדובר בשתי תופעות שונות לחלוטין, ושרק במקרה בחרנו לקרוא לשתיהן בשם המשותף והמטעה 'מסה'.

למעשה המסה מדרך א' מכונה 'מסה כבידתית' וזאת מדרך ב' מכונה 'מסה אינרציאלית'.

ניתן להראות על ידי חיבור פשוט של חוק הכבידה והחוק השני שגם אם נניח שמסה כבידתית ומסה אינרציאלית הן שונות, הן חייבות להיות שוות עד כדי קבוע. אבל 'עד כדי קבוע' זה לא 'שוות'.

אז האם הן שוות?

במשך השנים, למרות מאמצים לא מבוטלים של מדענים מרחבי העולם למדוד הבדלים בין מסה כבידתית למסה אינרציאלית, לא נמצאו כאלה ברמת דיוק גבוהה מאוד. מסיבה זאת אנחנו מניחים שהן זהות אחת לשניה.

***

אפילוג

לפי החוק השני של ניוטון, אם אני עומד על מד כוח בתוך מעלית, קריאתו תלויה בתאוצת המעלית. אם המעלית אינה מאיצה, קריאתו נתונה על ידי המסה שלי כפול תאוצת הנפילה החופשית (9.8 מטר לשניה בריבוע). במקרה והמעלית מאיצה כלפי מעלה, קריאת מד הכוח היא הקריאה ללא תאוצה ועוד המסה שלי כפול תאוצת המעלית.

%d7%a7%d7%a8%d7%99%d7%90%d7%aa-%d7%9e%d7%93-%d7%9b%d7%95%d7%97-%d7%91%d7%9e%d7%a2%d7%9c%d7%99%d7%aa

m מסה, g תאוצת הנפילה החופשית, a תאוצת המעלית ו-N קריאת מד הכוח.

יוצא מכך שקריאת מד הכוח במקרה שבו המעלית מאיצה ב-9.8 מטר לשניה בריבוע בחלל, מחוץ לשדה כבידה כלשהו, זהה למקרה של מעלית במנוחה בשדה הכבידה של על פניו של כדה"א.

המסקנה היא שאין אדם בתוך מעלית אטומה יכול להכריע האם הוא בשדה כבידה או במערכת מאיצה. שום ניסוי שיעשה לא יכריע בין המקרים.

ניסוי מחשבתי זה (או משהו דומה לו) הוביל את אלברט איינשטיין לחשוב שאם לא ניתן להבדיל בין כבידה לתאוצה, בין חוק הכבידה לחוק השני שדן בתאוצה, אולי מדובר בשני פנים של אותו הדבר. מה שמוביל גם למסקנה שמסה כבידתית ואינרציאלית אחת הן.

דבר זה הוביל את איינשטיין לנסח את עקרון השקילות ובהמשך תורת כבידה חדשה, וכל השאר היסטוריה.

***

נ.ב 1

חשוב לשים לב שמסה ומשקל הם אינם אותו הדבר למרות שאנחנו נוטים ביום יום להשתמש בהם באופן אנלוגי.

בתחנת החלל הבינלאומית האסטרונאוטים חווים חוסר משקל למרות שברור שיש להם מסה. משקל הוא כוח (שלרוב תלוי במסה) ומסה היא, …, ובכן מסה. הרגע דיברנו על זה.

להרחבה, מומלץ לצפות בסרטון הזה מערוץ היוטיוב Veritasium.

נ.ב 2

יחידת הק"ג למדידת מסה היא היחידה היחידה מכל היחידות הרשמיות שעדיין מוגדרת על ידי חפץ פיזי (גוש מתכת בצרפת שהוא הק"ג הרשמי). מצב זה אינו רצוי כי מישהו עלול להתעטש על הגוש ולשנות את הגדרת הק"ג (לא סביר). בשנים האחרונות עובדים מדענים ברחבי העולם על שתי שיטות חלופיות להגדרה קוסנפטואלית של הק"ג שלא תשען על חפץ פיזי.

להרחבה על אחת השיטות, מומלץ לצפות בסרטון הזה מערוץ היוטיוב Veritasium.

:קטגוריותכללי תגיות: , , ,

יש חור בכדה"א, תביטי נא יונה – על דברים שאפשר ללמוד משאלה היפותטית

בואו ונניח שיש חור בכדור הארץ. מנהרה רחבה מספיק ליפול דרכה שעוברת משפת הכדור, דרך מרכזו על הקוטר, אל שפתו בצדו השני (ראו איור 1).

בואו ונניח שאדם נופל אל תוך מחילה זאת. מה יקרה?

איור 1
איור 1: אדם נופל דרך חור בכדה"א.

אבל ראשית, נסיר את כל החסמים. ברור ששאלה זאת אינה מתארת תרחיש אפשרי. מכיוון שכך אנחנו נתעלם בחינניות מכל גורם שיבלבל אותנו. בבור שלנו נופלים ללא התנגדות אוויר ואין בעיה לשרוד. כדור הארץ לא מושמד עקב חפירת המעבר דרכו ואין ים בצד השני. הצפיפות של כדור הארץ אחידה ותוסיפו כל דבר אחר שלא חשבתי עליו.

טוב, עכשיו אפשר להתחיל.

כוח הכבידה תמיד מושך את האדם אל עבר מרכז כדה"א ולכן הוא ייפול לאורך המחילה, אבל ככל שהוא מתקרב אל מרכז הכדור הכוח קטן. הכוח שפועל על האדם במחילה נובע אך ורק מהמסה שבכדור מתחתיו ולא זה שמעליו. במילים אחרות, אך ורק החומר שנמצא בכדור ברדיוס השווה למרחקו של האדם ממרכז הכדור מושך אותו למרכז. ככל שהאדם מתקרב למרכז הכדור, כמות החומר שמושכת אותו קטנה וכך גם הכוח. בדיוק במרכז הכדור לא פועל על האדם כוח כלל. האם הוא עוצר?

ככל שהאדם מתקרב למרכז הכדור מהירותו גדלה מכיוון שהוא מאיץ. מהירותו המקסימלית היא במרכז הכדור וברגע שהוא עובר נקודה זאת תנועתו היא החוצה מהכדור. במקרה זה הכוח מאט את מהירותו ומושך אותו חזרה למרכז. כאשר יגיע לשפת הכדור מהירותו תתאפס, הכוח עליו יהיה שוב מקסימלי, הוא יחליף כיוון תנועה ויחל ליפול חזרה למרכז. וחוזר חלילה (ראו איור 2).

איור 2 איור 2: איור סכמטי המציג את גודלם וכיוונם של כוח הכבידה (חץ אדום), מהירות הנפילה בסיבוב הראשון (חץ חרדל) ומהירות הנפילה בסיבוב השני (חץ פסטל).

כאשר האדם נמצא על שפת הכדור ניתן לומר שיש לו אנרגית פוטנציאלית כבידתית ואין לו אנרגיית מהירות כלל. במרכז הכדור הוא איבד את כל האנרגיה הכבידתית שהפכה לאנרגית מהירות וחוזר חלילה. המעברים האלה בין אנרגיה המכונה 'פוטנציאלית' לאנרגית מהירות המכונה 'קינטית' זהים למקרה שבו גוף קשור לקפיץ ומבצע תנודות הרמוניות. הבעיה הפיזיקלית הזאת נקראת אוסילטור הרמוני, ועסקתי בה בהרחבה ברשימה קודמת. (ניתן להראות שהכוח המחזיר תלוי ליניארית במרחק האדם ממרכז הכדור).

מכיוון שבעיית האוסילטור ההרמוני כבר פתורה, נוכל להשתמש בתוצאות שלה כדי לחשב את הזמן שייקח לאדם להגיע מצד אחד של הכדור לצד שני. זהו בדיוק חצי מזמן המחזור של התנודה ההרמונית. מסתבר שכדי לקבל את הזמן יש להעלות את רדיוס כדה"א בשלישית, לחלק במסת כדה"א ובקבוע הגרביטציה, להוציא לזה שורש ריבועי ולהכפיל במספר פאי (למתעניינים במתמטיקה, ראו נספח בסוף הרשימה).

נוסחה

הזמן בין שפה לשפה של הכדור יוצא כ-42 דקות, יותר מהר ממטוס סילון!

***

מה זה לוויין?

לשם פשטות אניח שכל גוף שנע בתנועה מעגלית סביב גוף אחר הוא לווין שלו. תחנת החלל היא לווין של כדה"א וכך גם כל לוויני הריגול והתקשורת. הירח הוא לווין של כדה"א, וכדה"א הוא לווין של השמש.

גוף שנע סביב כדה"א בתנועה מעגלית בעצם נופל אליו כל הזמן בגלל כוח הכובד שזה מפעיל עליו. עם זאת, הגוף אינו מתקרב לשפת הכדור מכיוון שהוא גם נע במהירות בכיוון משיק לכדור. המהירות היא בדיוק כזאת כך שהגובה שהיה מאבד הגוף עקב נפילה בדיוק מתקזז עם המרחק משפת הכדור שהוא צובר בגלל מהירותו בכיוון משיק. כלומר, כדי לקיים תנועה מעגלית צריכים להתקיים שני תנאים: כוח משיכה שתמיד מכוון למרכז המעגל, למשל כוח הכובד, ומהירות משיקה שבדיוק מתאימה לכוח. מכאן שכדי להעלות לווין לחלל כך שיסתובב במעגל סביב כדה"א ניתן להפעיל דחף כדי להעלות אותו לגובה הרצוי ואז דחף הצידה (בכיוון משיק) כדי לקבל את המהירות הרצויה. (לא כך משגרים לווינים, אבל זה לא חשוב לעניינינו כאן).

מה יהיה חצי מזמן המחזור של סיבוב לווין דמיוני סביב כדה"א כך שהוא נע על פני הכדור, במרחק השווה לרדיוס כדה"א ממרכזו? כלומר, מהו הזמן שייקח לו להקיף חצי מהכדור?

נחשב את כוח הכבידה בגובה פני כדה"א ונדרוש שהמהירות תקיים בדיוק את הדרישות של תנועה מעגלית. מסתבר שכדי לקבל את הזמן יש להעלות את רדיוס כדה"א בשלישית, לחלק במסת כדה"א ובקבוע הגרביטציה, להוציא לזה שורש ריבועי ולהכפיל במספר פאי. נשמע לכם מוכר? (למתעניינים במתמטיקה, ראו נספח בסוף הרשימה).

נוסחה

זה בדיוק אותו קשר מתמטי שמתאר את הזמן שלוקח לאדם ליפול דרך חור בכדה"א, והתוצאה גם כאן היא כ-42 דקות. גם האדם הנופל וגם הלוויין מתחילים ומסיימים בדיוק באותה נקודה, לאחר 42 דקות, למרות שהמסלולים שלהם שונים לגמרי.

האם זאת תוצאה של צירוף מקרים בלתי יאמן?

רעיונות?

מחשבות?

***

לחובבי הז'אנר: נספח המכיל את הפתרון המתמטי של שתי הבעיות, כמעט ללא הסברים.

מתמטיקה