ארכיון

Posts Tagged ‘טור דעה’

לא העיף אותי ולא במקרה – פריקונומיקס – יומן קריאה

כרוניקה:

ב-2005 פורסם ספר בשם "פריקונומיקס" (Freakonomics) והיה לרב-מכר.

ב-2006 פורסם הספר בעברית בהוצאת כתר.

ב-2017 יצא שוב הספר בעברית בגרסה מחודשת בהוצאת כנרת-זמורה-ביתן-דביר-וכהנה-וכהנה.

ב-2018, לפני החגים, יצא לי להיות בחנות ספרים כשבידי תלושים שיש לבזבז. הבחנתי בספר על המדף והחלטתי שהגיע הזמן לקרוא אותו באיחור אופנתי, שנים לאחר דעיכת ההייפ.

ב-2018, אחרי החגים סיימתי לקרוא את הספר וכתבתי יומן קריאה במטרה לפרסמו בבלוג זה.

ב-2018, אחרי החגים + כמה ימים גיליתי שכבר ב-2005-2006 פורסמו ברשת שני מאמרים בעברית על הספר מאת יובל נוב וגלעד סרי לוי שכללו את רוב מה שחשבתי עליו.

עכשיו

***

לפני מספר ימים שמעתי פרק בפודקאסט שדן בביקורות (בד"כ לא נכונות, לדעת המתדיינים) על כלכלה וכלכלנים. המסקנה העיקרית שאני הפקתי מההאזנה היא שאני לא באמת יודע מה עושה ומה חושב חוקר כלכלה באקדמיה במהלך עבודתו. מכאן שאינני כשיר להעריך איכות מחקר בכלכלה וטיעונים בכלכלה ולכן אמנע מכך. פשוט לא התחום שלי.

***

תמונה של העותק שלי

את הספר "פריקונומיקס" כתבו במשותף העיתונאי סטיבן דבנר והכלכלן סטיבן לוויט. בכל פרק בספר נשאלת שאלה מפתיעה שמובילה לדיון מעניין ותשובה מפתיעה. למשל: למה סוחרי סמים גרים עם אמא? (כי רובם עניים). מה משותף למורים ולמתאבקי סומו? (רבים מהם מרמים). הטענה המפורסמת בספר היא שהירידה בפשיעה בבניו-יורק בשנות ה-90 לא נבעה מיד הברזל של רודולף ג'וליאני, אז ראש העיר, אלא מאישור ההפלות ב-1973 (הילדים שנועדו לפשע, לא נולדו). הכותבים מסבירים כיצד הם משתמשים במידע ובטכניקות מחקר סטטיסטיות כדי להפריך רעיונות מקובלים ולהציע הסברים חלופיים משלהם.

הספר קל לקריאה, כתוב בצורה קולחת ובאווירה מבודחת, הקוריוזים משעשעים. אבל היה דבר שהפריע לי מאוד במהלך הקריאה והוא שלא הצלחתי להבין מה נושא הספר. קריאת המבוא הבהירה לי שגם הכותבים לא יודעים. הפרקים הם רצף של אנקדוטות שהקשר ביניהם הוא הכותב וההוגה שלהן. כמו סדרה של רשימות בבלוג.

הספר עסוק בחלקים רבים שלו בביקורת על המחשבה הלקויה של כל מי שדעתו שונה מזו של החוקר. בעיקר מוזכרים ניתוחים לא נכונים של מידע ובלבול בין מתאם לסיבתיות. בכל פרק הכותבים מציעים את תיאורית הזהב החלופית שלהם ומגבים אותה בנתונים. אותי, באופן אישי, לא הצליחו הכותבים לשכנע במרבית המקרים. לדעתי, לא היטיבו צמד הסטיבנים לשכנע שהניתוחים שלהם נכונים יותר מהניתוחים שהם פוסלים. אין זה משנה אם הם צודקים או לא, אלא רק שאינם משכנעים. (במשך השנים נקטלו על ידי מבקרים. ראו למשל סקירה על עניין ההפלות בדף הויקיפדיה של הספר).

נתקלתי בספר בשתי תופעות ביזאריות למדי. האחת – ריבוי טבלאות גדולות ומיותרות לחלוטין. לדעתי אין הטבלאות תורמות דבר מלבד ניפוח מספר הדפים הנדרשים להדפסת פרק 6. התופעה המוזרה השניה היא התשבוחות הרבות והמביכות המורעפות על הכלכלן לוויט בתחילת כל פרק. אינני טוען שאינו ראוי להן, חלילה (אין לי מושג בתחום), אלא שהוא אחד הכותבים של ספר שעסוק באופן פעיל בהאדרת עצמו. קריפי.

ספר זה הזכיר לי את הסיפורים והגישה של מלקולם גלדוול, שלו חבים הכותבים הרבה, ואת ספרו המצליח של דן אריאלי "לא רציונלי ולא במקרה", גם הוא רב מכר. מה הופך ספרים אלה לרבי-מכר? מה מקשר ביניהם? הרשו לי למלא פי מים בעניין זה.

לסיכום, ספר קריא מאוד. רבים ימצאו אותו מעניין. להרגשתי, לא למדתי ממנו כלום.

מודעות פרסומת
:קטגוריותכללי תגיות: , ,

עוד סיבוב, ולא האחרון – היסטוריה של הפילוסופיה לצעירים מכל הגילאים – יומן קריאה

בשנים האחרונות הגעתי לתובנה שאני מחפש עומק בספרי מדע פופולרי ולכן ספרים מהסגנון "8 המשוואות ששינו את העולם", "11 התעלומות הגדולות במדע" וכדומה, פחות מעניינים אותי. יש לי ידע מדעי מקצועי בתחומים מסוימים ואני מחפש להרחיב את ידיעותיי בתחומים שאיני בקיא בהם ולהעמיק כמה שאפשר מבלי להיות טכני. להרגשתי, המשקע מהספרים האקלקטיים היה עבורי דל, גם אם הם כתובים היטב.

הדרישות שלי מספרי פילוסופיה פופולריים, לעומת זאת, הם הפוכים לחלוטין. הנושא החל לעניין אותי לפני מספר שנים אך לא הייתי מחשיב את עצמי אפילו חובבן. הטקסטים שאני מחפש צריכים להיות פשוטים, שטחיים, כאלה לראשית הקריאה. אין ביכולתי לקרוא ספר של עמנואל קאנט, ואפילו ספר של פרשנות על או סיכום של הגותו גדול עלי. אם כך, בנושא זה אולי ספרי הרשימות הם בדיוק מה שאני מחפש.

לספרים אלה יש שני סוגי מופעים פופולריים: 1) הפילוסופים החשובים, 2) הרעיונות החשובים.

למשל הספר: "היסטוריה של הפילוסופיה לצעירים מכל הגילאים", מאת נייג'ל וורברטון הוא משהו באמצע. הכותרת מרמזת על התאמת הטקסט גם לנוער. עוד יותר טוב בשבילי.

תמונה של העותק שלי.

את וורברטון הכרתי לפני קריאת הספר הזה מקריאת ספר מבוא אחר שלו ומהפודקאסט Philosophy bites, שבו כל פרק הוא דיון קצר (10-20 דקות) שמנסה לבאר בעזרת מומחה נושא אחד קטן בפילוסופיה. וורברטון (ושותפו) הוא המנחה וזה שדואג שהרעיונות יהיו ברורים. אחד הדברים שחשובים לו בכתיבה על פילוסופיה הוא הבהירות ולכן הוא מנסה לקדם תמיד כתיבה ברורה, ומאוד ביקורתי לגבי כתיבה פילוסופית מעורפלת.

ואכן, אחת מהנקודות החזקות בספר היא הכתיבה הברורה. גם כאשר הנושאים מופשטים מאוד וקשים וורברטון עושה כל מאמץ אפשרי להקל על הקריאה ועל ההבנה. לרוב גם במחיר של ויתור על העמקה. הפרקים קצרים ושטחיים ומציגים רק רעיון אחד מהגותו של פילוסוף. כלומר טיפה בים. אין אדם יכול להגיד שירד לסוף דעתו של פילוסוף מקריאת פרק זה. המטרה להציג טעימה של רעיונות שמסודרים בפרקים שונים בסדר כרונולוגי, פחות או יותר.

בחירה סגנונית נוספת של המחבר היא לקשר כל סוף פרק לנושא הפרק הבא. לא פעם הקישורים מאולצים, אבל רובם עדיין עובדים כי הם כתובים בחן. פעמים רבות לאורך הקריאה אמרתי לעצמי שאפסיק בסוף הפרק הנוכחי, ואז נגררתי לקרוא פרק נוסף מתוך הסקרנות שעורר בי הקישור בסוף הפרק.

הפרקים בספר אינם מחולקים לשערים ולהבנתי אין בכתיבה יומרות גבוהות לאיזושהי תמה כללית. מדובר בכ-30 הרעיונות או הפילוסופים המעניינים שבחר המחבר לפי טעמו וסידר בסדר כרונולוגי. כבכל רשימה, הבחירה המצומצמת תגרום להרמת גבה עקב שמות שחסרים והרמת גבה נוספת בגלל אחדים מאלה שמופיעים.

הערה שולית – הכיתוב על העטיפה הקדמית הוא בזהב על רקע צהוב-חרדל. בזוויות רבות לא ניתן לקרוא את זה. בחירה עיצובית תמוהה.

אסכם בשאלה פתוחה: מה שוקע מכל זה? נהניתי מאוד לקרוא את הספר אבל אם להודות על האמת, חלק מהידע נשכח ממני ממש תוך כדי קריאה, בין הפרקים. מה יישאר עוד שנה?

התשובה שלי: לא אכפת לי. לפחות בנושא הספציפי הזה. זה לא הספר הראשון ולא האחרון שאקרא וכל פעם שוקע קצת. וגם אם לא, אני נהנה מהרגע.

תסריט מאויר – לוגיקומיקס, יומן קריאה

סטודנטים שלמדו באוניברסיטה מקצועות ריאליים אולי חוו במהלך הלימודים איזשהו רמז למתח בין מתמטיקאים לפיזיקאים.

להבנתי, ובהכללה כמובן, פיזיקאים לוקחים את המתמטיקה די בקלות. עבורם זהו כלי יעיל להפליא שבעזרתו ניתן לתאר את העולם הפיזיקלי, זה האמיתי שמסביבנו. ואם צריך לעגל כמה פינות בשביל זה, למשל לחלק או להכפיל בדיפרנציאל או לשחק קצת באינסוףים, אז למה לא? כל עוד זה עובד, כלומר מנפק תוצאות בעלות משמעות.

המתמטיקאים, לעומת זאת, לא לוקחים את המתמטיקה בקלות בכלל. בטח לא כשמתחילים לשחק להם בדיפרציאלים באינסוףים בצורה לא אחראית. יש לכך סיבה היסטורית, לדעתי. בתחילת המאה ה-20 הדיפרנציאל והאינסוף איימו להחריב את יסודות המתמטיקה. משהו שקשור לרעיונות של קנטור על אינסוףים שונים ולכך שהדיפרנציאל לא היה מוגדר היטב, אבל אל תתפסו אותי במילה בעניין זה.

להגנתה של המתמטיקה ניצבו דייוויד הילברט עם גישתו הפורמליסטית וברטראנד ראסל שניסה (יחד עם א.נ. ווייטהד שותפו לפרויקט) להעמיד מחדש את המתמטיקה על בסיס הלוגיקה (לא הראשונים שניסו זאת).

הם נכשלו. וכאשר קורט גדל פרסם את משפטי האי-שלמות שלו הוא חרץ את גורלה של תוכנית זו. יעברו עוד כ-20 אולי 30 שנים עד שבסיסה של המתמטיקה יתייצב שוב, עקב בצד אגודל.

אם אתם מעוניינים לקרוא עוד על נושא זה, אבל עם יותר פרטים ובלי הדרמטיזציה המעושה, אפשר להתחיל מעמוד הויקיפדיה הזה: "Foundations of mathematics".

אם, לעומת זאת, דווקא הדרמטיזציה היא זאת שמעניינת אתכם ופחות הפרטים ההיסטוריים או הטכניים, והייתם מעוניינים לצפות בסוג של סרט על הנושא, בסגנון "נפלאות התבונה" למשל, אולי תמצאו עניין בספר הקומיקס "לוגיקומיקס".

***

עטיפת העותק שלי

הספר לוגיקומיקס נכתב על ידי אפוסטולוס דוקסיאדיס (למד מתמטיקה ועסק בקולנוע, תיאטרון וספרות) וכריסטוס פאפאדימיטריו (פרופסור למדעי המחשב בברקלי). הכותבים בוחרים להציג את הרעיון הפילוסופי של השבר בבסיס המתמטיקה והחיפוש אחרי הפתרון דרך דמותו המאויירת של ברטראנד ראסל, מתמטיקאי, לוגיקן ופילוסוף, בצמתים שנבחרו בקפידה מחייו. כבכל סרט המבוסס על סיפור אמיתי, לא מעט פרטים בספר שונו למטרות כתיבת תסריט הדוק.

ישנם עוד שני קווים שרצים לאורך העלילה, מלבד זה הראשי. הראשון הוא הקשר בין הגאונות, עיסוק בלוגיקה ושיגעון. ברטראנד הילד נחשף לשיגעון, וממשיך ופוגש אותו בנקודות שונות בחייו. הקו השני הוא סיפור מסגרת שבו כותבי הספר ומאייריו דנים בנושאים שעולים בו, באיך לכתוב אותו ובהתמודדות עם ביקורות שיעלו לצורת הצגת הסיפור.

הספר, לדעתי, צולח את מבחן הסרט. הקריאה קולחת, מעניינת ומהנה, ומספקת חוויה אינטיליגנטית ודרמטית במידה סבירה על נושא לא שגרתי. כולל לא מעט ניים-דרופינג שגורם למי שמתעניין, ללכת ולחפש את השמות מאוחר יותר (יש נספח בסוף הספר ויש כמובן מקורות חיצוניים רבים). שווה כרטיס לקולנוע. אך זה אינו סרט אלא ספר, והוא מוצג לעתים כעוסק במדע פופולרי, ועל כך יש לתת את הדעת.

למי שנרתע ממתמטיקה אין מה לחשוש, כי אין פה. כאמור, מאוד דומה לסרט 'נפלאות התבונה'. מאוד דומה גם בעובדה שהספר לא מספיק מפורט כדי להיחשב לספר היסטוריה, פלוסופיה, ביוגרפיה או מדע פופולרי. ככל הנראה זאת גם אינה הכוונה, למרות המיקום שלו בחנות הספרים.

למדתי דברים חדשים על ראסל מהספר, ובעיקר על קשריו עם לודוויג וויטגנשטיין, אבל נאלצתי בעיקר להשלים ממקורות אחרים. כאמור, זה אינו ספר היסטוריה ומופיעות בו לא מעט סצנות שלא היו ולא נבראו, לפעמים אפילו כאלו שמבחינת זמנים לא יכלו להתקיים כלל (הכותבים מזהירים על כך באופן גלוי).

באופן אישי, מאוד לא אהבתי את המסגור של הסיפור. אני לא אוהב את הקו הנמתח בין גאונות, לוגיקה ושיגעון. אני די בטוח שסטטיסטית זה קשקוש שמופיע רק ממניעים דרמטיים. גישה זאת מזכירה לי את הסרט "איש הגשם" עם דסטין הופמן וטום קרוז שהיה אחד מהגורמים לכך שאנשים חושבים שלאנשים הלוקים באוטיזם חייב להיום כוח-על כלשהו.

עוד דבר שלא אהבתי בעניין המסגור של הסיפור הוא המטא-סיפור. כנראה עניין של העדפה אישית. אני מאוד לא אוהב שבמהלך סיפור עלילה הסופר פונה ישירות אל הקורא. לטעמי זה קב מיותר (קצת כמו וו‏ֹיְיס-אוֹבר בסרטים). גרוע מכך, חלק גדול מהבעיות שבהן אני דן כאן, מועלות באופן ישיר על ידי הכותבים בעלילת המסגרת הזאת. על כך אין מחילה.

וקטנה לפני סיום: ראסל היה אדם רב פעלים, גם בתחומים מקצועיים רבים ומגוונים בהם עסק וגם בתחום האישי. נשים צצות ונעלמות, באות ומתחלפות, תוך כדי הסיפור, מבלי להתעכב על כך יותר מידי. רגע אחד הן אלמנט חשוב בעלילה ורגע אחר הן נעלמות, ואולי אף מתחלפות באישה אחרת (ראסל היה נשוי מספר פעמים).

***

לסיכום, אם אהבתם סרטים בסגנון 'נפלאות התבונה' ו\או אתם נהנים מקומיקס, אין סיבה שלא תהנו לקרוא את הספר. גם אני נהנתי, למרות כל התלונות. רק הייתי צריך לצלוח חוסר הבנה ראשוני מה אופיו של הספר, מה מטרתו ולמי הוא מיועד.

אקלקטי, נטול הקשר אבל מעניין – איקסטאזה! יומן קריאה

אפתח הפעם בחידה מוכרת.

ההסתברות שאדם בקבוצת סיכון נמוך למחלה מסוימת חולה בה היא 0.8 אחוז. עבור אדם החולה במחלה, ישנה הסתברות של 90 אחוז שתתקבל תשובה חיובית בבדיקה. עבור אדם שאינו חולה, ישנה הסתברות של 7 אחוזים שתתקבל תשובה חיובית בבדיקה למרות שאינו חולה.

מה ההסתברות שאדם, כפי שמתואר, שקיבל תשובה חיובית בבדיקה, אכן חולה במחלה?

כדי לפשט, ענו לעצמכם: סיכוי גבוה, בינוני או נמוך?

.

.

.

למי שאינו מכיר את החידה, ארמוז שהתשובה הנכונה היא נמוך. מאוד. האם תוכלו לחשוב מדוע מבלי לחשב?

.

.

.

הסוד טמון בכך שמספר האנשים החולים מתוך האוכלוסיה נמוך, והסיכוי לאבחן אותם גבוה. מצד שני, למרות שהסיכוי לאבחון שגוי באדם בריא הוא נמוך, מספר האנשים הבריאים הוא גבוה ולכן מספר האבחונים השגויים יהיה גבוה בהרבה ממספר האבחונים הנכונים.

מסתבר שרוב האנשים מתקשים מאוד להעריך את התשובה הנכונה לחידה זאת ובנוסף גם מתקשים לפתור אותה במדויק.

נסו כעת לפתור אותה במדויק.

.

.

.

אם לקחתם קורס בהסתברות אולי ניסיתם לפתור לפי הסתברויות מותנות. קשה.

יש דרך הרבה יותר פשוטה, שמתאימה יותר לדרך החשיבה האנושית. נתרגם את הבעיה למונחי שכיחויות טבעיות. כלומר:

נניח שיש מדגם של 1000 אנשים. אם כך, 8 מהם חולים (0.8 אחוז) ומתוכם 7 יאובחנו נכון (90 אחוז). לעומת זאת, מספר האנשים הבריאים בקבוצה הוא 992 (99.2 אחוז) ו-70 מהם (7 אחוז) יאובחנו בטעות כחולים. 7 אנשים שבאמת חולים מתוך 77 שקיבלו אבחנה חיובית זה בערך 9 אחוזים, שזאת ההסתברות שאדם שקיבל תשובה חיובית באמת חולה.

החידה כאמור אינה חדשה, אך ברעיון של שימוש בשכיחויות טבעיות נתקלתי בקריאה בספר 'איקסטאזה' מאת סטיבן סטרוגץ, שיצא בשנה שעברה בספרי עליית הגג, בידיעות ספרים.

סטרוגץ מיטיב גם להצביע על כך שזאת לא סתם חידה תלושה, אלא מקרים מהחיים שבהם אנחנו עלולים להיתקל, או גרוע מכך, הרופאים שלנו עלולים להיתקל.

***

סטיבן סטרוגץ הוא פרופסור למתמטיקה שימושית באוניברסיטת קורנל בארה"ב. הוא ידוע גם כאחד מהמומחים הנדירים האלה שמוכן להסביר מתמטיקה בכלי התקשורת, ועושה זאת בהצלחה ובכישרון רב.

בסוף ינואר 2010 החל לפרסם סטרוגץ טור על מתמטיקה באתר הניו-יורק טיימס, למשך 15 שבועות. המאמרים ההם והמחשבה מאחורי הסדרה הם שהובילו לפרסום הספר: "The joy of X" ולתרגומו לעברית בשנה שעברה (2017) כ-"איקסטאזה!"

תמונת העותק שלי של הספר.

הספר הוא אסופה של רשימות בנושאים אקלקטיים למדי במתמטיקה. הרשימות מויינו לשישה שערים שונים: מספרים, יחסים, צורות, שינוי, נתונים ואזורי הספר.

הרשימות הן קצרות, מותאמות לאורך של טור בעיתון, ויש בהן כוונה ברורה לפנות לקהל רחב, כלומר קהל שלא למד מתמטיקה, או שלמד אבל לא ממש זוכר. יש ניסיון מאוד בולט לחבר את התוכן לדברים של יום-יום או לרעיונות מתוך התרבות הפופולרית, לפעמים בהצלחה יתרה ולפעמים בצורה מאולצת. למשל, הניסיון להסביר נגזרת דרך הטבעה של מייקל ג'ורדן היא מאולצת ולא עוזרת בדבר. להבדיל, הרעיון של העלאת הדיון על תורת החבורות דרך ההמלצה להפוך מזרן כל כמה חודשים והצורות השונות בהן ניתן להפוך אותו, הוא לא פחות מגאוני, לטעמי. בנוסף, יש ניסיון ניכר לא להכביד על הקורא במתמטיקה עצמה, וזה כמובן בא על חשבון העמקה.

חשוב לציין לזכותו של הספר שהוא קריא מאוד ומלא בכל טוב. מצאתי את עצמי משתף אחרים במספר רב של אנקדוטות מתוך הספר. למשל הוכחה ויזואלית יפה לפיתוח הנוסחה לחישוב שטח מעגל והוכחת קשרים אריתמטיים דרך איורים של קבוצות אבנים מסודרות (בנוסף לשאלות שכבר הוזכרו). מצד שני, אני לא בטוח עד כמה ההסבר לתופעת גיבס דרך סכומי טורים, שהיה מאיר עיניים עבורי, יהיה ברור למי שלא למד את התופעה באופן מקצועי.

אני לא חושב שניתן ללמוד מתמטיקה מהספר, אבל אני לא חושב שזאת היתה המטרה. אני מניח שמטרה אחת היתה לשכנע אנשים שהמתמטיקה מופיעה בחייהם במקומות לא צפויים גם אם לא משתמשים בה לשלם במכולת. מטרה נוספת, לדעתי, היתה לגרום לקהל להרגיש טוב, כאילו למד חתיכת מתמטיקה במחיר קוגנטיבי נמוך למדי.

הביקורות העיקריות שלי על הספר הן שלמרות הסידור לפי שערים, הרשימות אינן קשורות אחת לשנייה כלל, והן נטולות הקשר לחלוטין. מפאת אורכן הקצר הן אף פעם לא מביאות לכדי מיצוי, אלא מהוות נגיעה קלה, ליטוף, והסיום שלהן תמיד מרגיש פתאומי ושרירותי. אין זה צריך להפתיע, מכיוון שזה בד"כ מה שקורה בספרים שהם אסופות של מאמרים. אין באמת נראטיב לספר, למרות שיש ניסיון לתרץ אחד כזה על העטיפה ובמבוא. הדבר מגיע לכדי אבסורד בפרק על טופולוגיה שבו מפנה הכותב לסרטונים ביוטיוב ומתנצל שההסבר שלו חוטא לסרטון. הכי בלוג-פוסט שיש.

והצקה אחרונה: אני לא אוהב את שם הספר בתרגום העברי, למרות שברשת התרגום זכה לדעות חיוביות, אולי בגלל החידוד. השם המקורי באנגלית מכיל את המילה Joy , כלומר אושר או שמחה. שם עדין. השם בעברית מכוון לאקסטאזה, אובדן שליטה ומודעות, קצף בפה. הכל חוץ מעדין.

***

לסיכום, הספר מכיל סדרה של רשימות קצרות, ולא מאוד מעמיקות, על מתמטיקה בנושאים שונים וללא נראטיב שמחבר ביניהן. הרשימות כתובות בשפה בהירה וקריאה ומנסות לחבר את המתמטיקה לחיי היום-יום, לפעמים בהצלחה ולפעמים פחות. הרשימות המוצלחות יותר הן מופת לאיך לחבר קהל רחב לנושא כבד כמו מתמטיקה דרך דברים מוכרים לכל אחד.

:קטגוריותכללי תגיות: , , ,

אל תתעסקו לפיזיקאי ביחידות המידה! – על איך ויכוח אידיוטי על יחידות מידה מוביל לדיון מעניין\מטרחן

אם יש משהו שחשוב לפיזיקאי או מהנדס, והוא יכול לטרחן עליו ללא בושה, אלו הן יחידות המידה. ראו הוזהרתם.

***

לפני זמן מה הערתי לקולגה, בעקבות משהו שאמר, על כך שרדיאן אינה יחידה. משום מה, זה מה שנתקע לי בראש מאז הלימודים כסוג של מנטרה שכבר לא זכרתי את מקורה המדויק אבל הייתי די משוכנע בנכונותה.

למי שכבר שכח, רדיאן היא דרך לתיאור מידה/גודל/כמות של זווית. רדיאן אחד מוגדר כערך הזווית בין שני רדיוסים במעגל שעליהם נשענת קשת שאורכה שווה לרדיוס. מכיוון שאורכו של היקף המעגל הוא שני פאי רדיוסים, אז במעגל שלם יש שני פאי רדיאנים של זווית. (מי שמעוניין בהסבר יותר מפורט ומעמיק מוזמן לקרוא אותו כאן בעברית).

אנימציה 1: הגדרת הרדיאן. המקור: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Lucas V. Barbosa.

אותו קולגה עקשן, שלא זוכר כלום מהלימודים, דרש הסבר מדוע רדיאן אינה יחידת מידה, שהרי היא מודדת זווית. ההסבר הטוב ביותר שהצלחתי להפיק היה כה מבולבל וחסר תועלת, כך שהיה ברור שאני רק מצטט משהו שיושב לי בראש. משהו שרמת הנכונות שלו מוטלת בספק ושהגיע הזמן להתעמק בנושא.

בואו נעשה סדר ונראה מי צדק.

***

אדם נמצא בחנות למוצרי חשמל ומעוניין לרכוש מקרר. הוא רוצה לוודא שרוחב המקרר מתאים לרוחב הגומחה הייעודית במטבח. לשם כך הוא מודד את רוחבו של המקרר בזמן שזוגתו מודדת בביתם את רוחב הגומחה. הם משווים תוצאות בטלפון וכך מחליטים אם ישנה התאמה. כדי שפעולה זאת תעבוד מספר תנאים צריכים להתקיים: 1) הסכמה על מדידת גודל פיזיקלי סטנדרטי, למשל מרחק בין שתי נקודות, 2) הסכמה על מכשיר מדידה סטנדרטי, למשל סרט מדידה, 3) הסכמה על מידה סטנדרטית שמקובלת על שניהם, למשל מטר.

תמונה 1: מקרר מלא בכל טוב הנמצא בתוך גומחה במטבח, למקרה שלא הייתם בטוחים במה מדובר. המקור לתמונה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Milad Mosapoor.

חוסר התאמה בין שני הצדדים לגבי התנאי השלישי עלול להוביל לאסון בקניית המקרר ואולי אף לגירושין.

מכיוון שכך, על כולנו להסכים בכל רגע מהו 'מטר' ברמת דיוק גבוהה ביותר. לשם כך ישנם גופים בינלאומיים האמונים על המשימה. גודלו של ה-'מטר' הוא שרירותי, ויש היסטוריה מעניינת מאחורי בחירתו, אבל זה נושא לרשימה אחרת.

***

ניתן לסווג את יחידות המידה לאלו הבסיסיות ולאלו הנגזרות.

ישנן 7 יחידות מידה בסיסיות ומוסכמות. שאר יחידות המידה המוכרות מורכבות מיחידות המידה הבסיסיות. המניע להגדרת יחידת מידה בסיסית היא הצורך למדוד גודל כלשהו שלא ניתן לתיאור על ידי יחידות קיימות.

לדוגמה, הדבר הראשון שמעניין אותנו בפיזיקה הוא לענות על השאלה "היכן אני נמצא בכל רגע" (בעגה מכונה קינמטיקה). לשם כך אצטרך למדוד מרחקים ופרקי זמן. יחידות המידה שנבחרו הן המטר והשנייה. מי שמעוניין להתעמק בהגדרות המדויקות מוזמן לקרוא בדף הויקיפדיה הזה.

מהירותו של גוף היא השינוי של מיקומו לאורך זמן ולכן היחידות של הן מטר לשנייה (מטר חלקי שנייה) והן יחידות נגזרות מיחידות הבסיס. לפעמים ממציאים ליחידות הנגזרות שם משלהן ולפעמים לא. עניין של נוחות ומסורת.

כדי להבין את הסיבות לכך שמסלול תנועה של גוף נראה כפי שהוא, יש להבין את הכוחות הפועלים (בעגה מכונה דינמיקה). כל עיסוק בכוח יוביל להגדרת תכונה בסיסית חדשה שהיא זאת שעליה הוא פועל. לדוגמא: כוח הכובד פועל בין מסות ולכן נגדיר את הקילוגרם. הכוח החשמלי פועל בין מטענים חשמליים ולכן נגדיר יחידת מטען חשמלי (הקולון).

[הערת שוליים: המידה שנבחרה כבסיסית היא 'אמפר', מידת זרם חשמלי, שהוא שינוי מטען בזמן, ולא 'קולון', מידת המטען. הסיבה לכך היא שקל לקשר אותו לכוח דרך מגנטיות ויותר קל למדוד אותו ממטען חשמלי.]

אם כך, הניוטון, מידת הכוח, נגזר מקילוגרם כפול מטר לשניה בריבוע (לפי החוק השני של ניוטון). ג'אול, מידת העבודה והאנרגיה, נגזר מכוח כפול מרחק, ולכן קילוגרם כפול מטר בריבוע לשניה בריבוע. וכך הלאה, הרעיון ברור.

שלושת היחידות הבסיסיות הנותרות הן 'קלווין' לטמפרטורה, 'מוֹל' לכמות חומר ו-'קנדלה' לכמות הארה, ואינני רוצה לעסוק בהן ברשימה זאת.

***

מכיוון שהרדיאן נוצר מחלוקה של שני אורכים (רדיוס ואורך קשת), הוא יחידת מידה חסרת מימדים, או לחלופין בעל מימדים של מטר למטר. מסיבה זאת לפעמים נוטים לציין אותו ולפעמים לא. הבעיה היא שאם לא נציין אותו נקבל שגם לתדירות (frequency) וגם למהירות הזוויתית (angular velocity) יהיו יחידות זהות של 1 חלקי שניה. לרוב נהוג לציין את היחידות של המהירות הזוויתית כרדיאן לשניה. כלומר, במובן הזה היה אולי כדאי בכל זאת להגדיר את הרדיאן כיחידה בסיסית של מדידת זווית.

אציג מספר טיעונים מדוע זה לא כדאי.

ראשית, היכן שיש זווית, יש סינוס או קוסינוס של הזווית. פונקציות אלה מקבלות לתוכן זווית ומחזירות מספר חסר יחידות (יחס של שני אורכים במשולש ישר זווית), והן חשובות מאוד בפיזיקה. אם נציג את הפונקציות כטור טיילור, כלומר כטור חזקות, נקבל למשל את הטור הבא:

ניתן לראות שהמשתנה X בטור מופיע בכל איבר בחזקה שונה. בפיזיקה לא ניתן לחבר גדלים בעלי יחידות שונות. לדוגמה, לא נוכל לחבר אורך ולשטח (אם שטח של ריבוע הוא 9 מטר רבוע ואורך צלעו 3 מטר אז ביחד הם 12 ???). אם כך, יש לנו כעת בעיה כי נדרש לחבר רדיאן לרדיאן בשלישית וכך הלאה. לכן חשוב להשאיר את הרדיאן כיחידה חסרת מימדים ולהימנע מהגדרתו כיחידת מידה. (אפשר לחשוב על פתרונות לבעיה, אבל למה לטרוח?).

כעת נחזור למהירות הזוויתית, אבל נעשה עצירה בדרך.

'זמן מחזור' מוגדר עבור תנועה מחזורית כזמן שלוקח להשלים מחזור אחד, לכן יחידות המידה שלו הן שניות. אך נשים לב שיש כאן מידע נוסף על התנועה ביחס למדידת זמן רגילה. אנחנו מתארים פעולה מתמשכת ולא חד פעמית ומניחים קיום מחזוריות. כלומר, זמן מחזור הוא בעצם שניות לסיבוב ולא סתם שניות.

'תדירות' של תנועה מחזורית מוגדרת כמספר הסיבובים בשניה אחת. כלומר, התדירות שווה לאחד חלקי זמן המחזור. לכן, באופן 'רשמי' היחידות של התדירות הן אחד חלקי שניה, אבל בעצם היחידות הן סיבובים לשניה (סיבובים חלקי שניה, ידוע גם כהרץ Hz). במובן הזה המהירות הזוויתית היא גם כן מספר הסיבובים בשניה רק שאנחנו מחליפים את המילה 'סיבוב' בביטוי 'שני פאי רדיאנים' אך מתכוונים בדיוק לאותו דבר. המהירות הזוויתית היא מספר ה-'שני-פאי-רדיאנים' לשניה.

בזמן המחזור ובתדירות לא שקלנו להתייחס למספר הסיבובים כיחידת מידה (מספר מונה לא מקבל יחידה, כמו ה-3 ב- '3 מטרים') ולכן מדוע שנחליט לעשות כך עבור הרדיאן? (שאלה פתוחה על אמת…אם למישהו יש טיעון טוב, אשמח לקרוא בתגובות).

[הערת שוליים: באותו עניין חישבו למשל על מקרה שבו הייתי מציין את ההארה של מסך פר פיקסל. היחידות של המספר הן של הארה, אבל העובדה שמדובר פר פיקסל היא חשובה מאוד כדי להבין את המידע.]

***

לסיכום, במערכת היחידות המקובלת כיום, SI, הרדיאן היא יחידת המידה לזווית. היא אינה אחת מיחידות המידה הבסיסיות אלא יחידת מידה חסרת מימדים שנגזרת ממטר חלקי מטר.

וכל מי שתקוע לו בראש מהלימודים שרדיאן הוא לא יחידה: תתמודדו!

:קטגוריותכללי תגיות: , ,

כיצד אוכל לשקול לעצמי את הראש בתקציב מוגבל ומבלי למות

הפעם אני רוצה לגעת בשאלה ישנה נושנה. כזאת שאין לה ולתשובות אליה שום חשיבות אמיתית מלבד להפעיל קצת את הראש.

איך אוכל לקבוע כמה שוקל הראש שלי?

כדי לא להיגרר למחוזות האבסורד והתיאורטיקה המוגזמת, אני אגביל את עצמי לפתרונות מעשיים, כלומר כאלה שאוכל לנסות אותם כבר מחר אצלי בבית. כיוון החשיבה שלי הוא ניסיונאי. חשבתי על העניין בעצמי, נועצתי בגוגל ואספתי את הפתרונות שנראים לי רלוונטיים תחת התנאים המגבילים שהצבתי.

***

ראשית נדחה את הרעיון הראשון שעולה לכולכם לראש: שיטת דאעש. עקרונית אוכל, כמובן, לבקש ממישהו לכרות לי את הראש ולשקול אותו, אך ברור שבאופן מעשי לא אעשה זאת ובכל מקרה לא אוכל לדעת את התשובה כי אמות.

דילמה נוספת היא היכן נגמר הצוואר ורשמית מתחיל הראש. בואו ונניח שכל מי שלמד פיזיולוגיה יודע את התשובה לכך ונמשיך הלאה.

***

השיטה הפשוטה ביותר שאפילו לא מצריכה לקום מהכיסא היא למצוא גישה למאגר מידע של פתולוגים ולברר מהו המשקל הממוצע של ראש. אני חושב שההנחה שמידע כזה קיים היא סבירה. מתוך הנחה שהפיזור במשקל של ראשים של אנשים אינו כה גדול, סביר להניח, לדעתי, שהמשקל הממוצע הוא קירוב לא רע בכלל למשקל הראש שלי. אני אדם די ממוצע.

אם אתם לא מרוצים ורוצים תשובה יותר אישית אתם מוזמנים לטבול את ראשי בדלי מלא במים. מסת המים שנשפכו החוצה היא בקירוב טוב מאוד מסת הראש שלי. הסיבה לכך היא שנפח המים שנדחה אל מחוץ לדלי עקב הטבילה הוא כנפח הראש שטבל, ומסתבר שצפיפות המים היא קירוב לא רע לצפיפות הממוצעת של ראש (הראש אינו הומוגני ועשוי מחומרים שונים).

נוכל לשפר את איכות ההערכה אם תהיה בידינו שיטה לקביעת הצפיפות הממוצעת של הראש בדיוק רב יותר. נתקלתי בקריאה ברשת במספר הצעות הדורשות להקרין את הראש בכל מיני סוגי קרינה ולהסיק מהקרינה החוזרת העוברת או הנבלעת את הצפיפות הממוצעת (בהנחה שכיילנו בעבר את המדידה לחומרים הרלוונטיים). מכיוון שאין סיכוי שהייתי מסכים להפציץ את הראש שלי בקרינת גאמא או בדברים מוזרים יותר, ומכיוון שאין לי גישה למכשירים כאלה בכל מקרה, אני נאלץ לפסול את כל הכיוון הזה של מדידת הצפיפות.

***

כיוון שונה לחלוטין הוא לכאורה פשוט הרבה יותר. אם נשכב ונשעין את ראשינו על המשקל כמו על כרית ונדאג בדרך זאת או אחרת לאפס את הלחצים שמפעיל הצוואר שלנו על הראש נוכל לכאורה לקבל קריאה ישירה של משקל הראש.

לדעתי אין סיכוי להצליח באופן מעשי. אנסה להסביר מדוע.

חישבו על מד כוח כקפיץ תלוי. התכונה המיוחדת של קפיץ היא שבתחום האלסטי שלו הכוח שהוא מפעיל כדי לחזור למצב הרפוי פרופורציוני להתארכות שלו ביחס למצב הרפוי. כלומר, תליית משקולת של 1 ק"ג על קפיץ תגרום לחצי ההתארכות של תליה של משקולת של 2 ק"ג. כיול של התארכות הקפיץ במשקלים ידועים היא למעשה בנייה של מד כוח או מד משקל (לקבלת מסה נחלק בתאוצת הנפילה החופשית).

מה יקרה אם נתלה משקולת מלבנית על שני קפיצים בצורה סימטרית? כל קפיץ יתארך רק בחצי ממה שהיה מתארך לבד. כלומר כל אחד ממדי הכוח מורה רק על חצי ממשקל התיבה. כך שנראה, כביכול, שכל מד כוח מודד בנפרד צד מסוים של התיבה. אך מה יקרה אם נתלה את התיבה מהקפיצים כך ששניהם בצד ימין של התיבה, אחד ליד השני? סביר שהתיבה תיטה בזווית מסוימת וקריאת כל קפיץ תהיה שונה.

מה יקרה למשל אם את אחד מהקפיצים הסימטריים נחליף בחבל שאינו יכול להימתח? מד המשקל הקפיצי נוטה להימתח אבל החבל לא יכול להימתח בצד שלו. נוצר מצב מורכב שבו אני כבר לא בטוח מה יקרה ומה ימדד.

בעיית האיש השוכב עם הראש על משקל היא בעיה זהה שלאלו שתיארתי ולכן אינני חושב שניתן לבצע אותה באופן מעשי. תקנו אותי אם אני טועה.

***

שאר הפתרונות בהם נתקלתי ברשת הם בחלקם מעוררים מחשבה ובחלקם משעשעים אך אינם, למיטב הבנתי, מעשיים כלל.

אם כך, תחת התנאים שאני הצבתי לעצמי עבור הבעיה, נראה כי שתי השיטות המעשיות היחידות הם הערכה לפי המשקל הממוצע של ראשים כרותים של אחרים או הערכה לפי טבילת הראש בדלי. הדיוק לא גבוה, אבל, להבנתי, גם לא רע,

ולמה שמישהו ירצה לדעת כמה שוקל הראש שלו, לכל הרוחות?!

***

מוזמנים להציע פתרונות משלכם.

הנה קישור למה שקורה שנותנים לפיזיקאים להתפרע עם השאלה.

:קטגוריותכללי תגיות: , ,

מדע, מהזה זה? – "What is this thing called science?": יומן קריאה

לפני כ-3 שנים פרסם ריאן ריס (Ryan Reece), פיזיקאי שעובד במאיץ החלקיקים בסרן, שהוא במקרה גם חובב פילוסופיה ואינפוגרפיקה, את האיור הבא בעמוד הטמבלר שלו:


איור 1: היטל של הפילוסופיה של המדע על ציר הריאליזם. המקור לאיור: CC-BY 4.0) 2014-2016 Ryan Reece philosophy-in-figures.tumblr.com).

האיור מציג היטל של הפילוסופיה של המדע על ציר ריאליזם-אנטי-ריאליזם. השמות של העמדות ('האיזמים') העיקריות עם משפט מייצג ושל פילוסופים מפורסמים מהתחום מוצגים וממוקמים על הציר (למיטב הבנתו של המאייר).

ממליץ לכם כשעשוע לקרוא את הכיתוב בתיבות הגדולות ולנסות למקם את עצמכם על הציר.

הידע שלי בנושא זה חובבני, כלומר, ידעני אך לא מקצועי ומלא חיבה לעניין. אם כך, טבעי היה שאנסה למקם את דעותיי על הציר. כאשר ניסיתי לעשות זאת גיליתי משיכה לרעיונות משני הצדדים. מצב זה רמז לי שלמרות שהקדשתי מחשבה לא מעטה לנושא בעבר, יש ככל הנראה דברים שאינם מיושבים עדיין בדעותיי ובהבנתי.

מישהו או משהו היו נחוצים כדי לעשות לי סדר בראש.

תמונה 2: עטיפת העותק שלי של הספר.

הספר "?What is this thing called science" מאת Alan Chalmers, פרופסור לפילוסופיה והיסטוריה של המדע, הוא בדיוק מה שהייתי צריך.

***

האם ניתן לאפיין את השיטה המדעית כך שתתאים לכל הפעילות המדעית מימי גלילאו ועד היום? האם ניתן לפחות לתת בה סימנים? הספר סוקר את ההתפתחויות העיקריות והרעיונות הגדולים בפילוסופיה של המדע. הפרקים מסודרים בצורה כרונולוגית וגם בצורה רעיונית, כך שהם נובעים אחד מהשני. בכך מצביע צ'למרס, לדעתי, על כך שהפילוסופיה של המדע מתקדמת.

הספר מתחיל בהצגת גישות נאיביות לתיאור המדע, ובדיון על תצפיות וניסויים. בהמשך הוא דן בהסקת תיאוריות על ידי שימוש באינדוקציה ומנגד בעקרון ההפרכה של קרל פופר. הפרקים הבאים עוסקים בתיאוריות כמבנים חברתיים לפי קוּן ולקטוֹש, ובאנרכיה של פיירבנד. התוספות העדכניות ביותר הן הסקה בייסינית ו-Experimentalism. שני הפרקים האחרונים בספר עוסקים בדיון מדוע העולם 'מציית' לחוקים ועל הויכוח בין ריאליזם ואנטי-ריאליזם.

אחד הדברים המיוחדים בספר הוא שהגרסה הראשונה שלו נכתבה בשנות ה-70, ובמשך השנים עברה 4 מהדורות שונות. בכל מהדורה הכניס הכותב שינויים מהותיים בספר בעקבות הערות, דיונים וחידושים. התנהלות זאת הביאה לכך שהספר, בגרסתו המעודכנת ביותר, הוא מופת של סדר, בהירות רעיונית ובהירות לשונית. לדעתי, הספר מיועד לכל קורא, ללא צורך בקריאה מוקדמת. אסייג את דברי בכך שחלק לא מועט מהרעיונות היה מוכר לי גם ממקורות מוקדמים.

כל פרק בספר מעלה רעיון חדש שבא לענות על הסתייגויות שעלו בפרק הקודם. עיקרי הרעיון החדש מוסברים בצורה בהירה ובשימוש בדוגמאות. הקורא הטירון מוצא את עצמו פעם אחר פעם משתכנע מהטיעונים ותומך נלהב של הגישה החדשה. כל זאת רק כדי לסיים במפח נפש לאחר שבחלקו השני של הפרק חושף צ'למרס את חולשותיו הרבות של המודל שהוצג.

למעשה התמונה שעולה מהספר היא שכיום אין שיטה אחת שניתן להגדיר כך שתכיל את כל המדע שנעשה מגלילאו ועד היום. מצד שני, ניתן לתת במדע מספיק סימנים כך שיאפשרו להפריד בין פעילויות שהן מדע לפעילויות שאינן מדע. וכן, המדע מתקדם ומקדם אותנו אך כל שיטה מאבחנת זאת בצורה מעט שונה.

שתי הסתייגויות קטנות. אני מצאתי את פתיחת הספר (2-3 פרקים ראשונים) מעט מייגעת ולא מזמינה. אל תתייאשו בקלות, ההמשך מעניין הרבה יותר. כמו כן, לדעתי, החלק שנוסף בסוף המהדורה הרביעית, כלומר ה-postscript, מיותר לגמרי לקורא הלא מקצועי. אפשר בהחלט לוותר אם כבר עייפים.

לסיכום, לדעתי הספר הוא מקור מצוין למי שמתעניין בפילוסופיה של המדע ללא ידע מוקדם וגם למי שיש ידע מוקדם ומעוניין לעשות סדר ברעיונות. הוא כתוב בצורה בהירה ולא כבדה מידי. יש בו איזון טוב: לא ארוך מידי ולא קצר מידי, לא שטחי אבל לא חופר. ומי שמעוניין להעמיק יכול לעקוב אחרי ההפניות הרבות לספרות המקצועית בסוף הספר.

סוף.

***

מכאן חפירות שירדו בעריכה. ראו הוזהרתם!

 

חפירה 1: למה כל זה בכלל חשוב?

במעגלים מדעיים נהוג לצטט את ריצ'רד פיינמן כאומר:

".Philosophy of science is about as useful to scientists as ornithology is to birds"

"הפילוסופיה של המדע שימושית למדענים פחות או יותר כמו שאוֹרְנִיתוֹלוֹגְיָה (חקר העופות) שימושי לציפורים".

מניסיון שלי מדענים נוטים לזלזל בפילוסופיה של המדע, כי היא לא מקדמת אותם במחקר. זאת כמובן טעות קטגורית. מדענים יכולים לעשות מדע מצוין ללא ידע בפילוסופיה. מטרת הפילוסופיה של המדע אינה לקדם את המחקר המדעי, אלא את ההבנה של הפעילות שנקראת מדע. ולמה זה חשוב?

שתי סיבות עיקריות עולות בראשי. אם אנחנו לא יודעים להגדיר מהו מדע אנחנו לא מסוגלים להבדיל בין פעילות מדעית לפעילות מסוג אחר. האם אסטרולוגיה היא מדע? מדוע אתם חושבים כך? האם תורת המיתרים היא מדע? הרי איננו יכולים לבדוק אותה אל מול המציאות. התשובות לשאלות אלה נטועות בפילוסופיה ולא במדע. הדבר הנוסף הוא התפתחות וקידמה. נהוג להגיד שהמדע מקדם אותנו בהבנת העולם. באיזה מובן? המדע עצמו לא יכול להגדיר התקדמות ללא מחשבה פילוסופית על מהותו, ואם אין הוא יכול להגדיר התקדמות מדוע שנעדיף אותו על פני צורות אחרות של רכישת ידע (לדוגמה שימוש בקלפי טארוט, פענוח נבואות עתיקות, העלאת רעיונות תוך ישיבה בכורסא וכהנה וכהנה).

 

חפירה 2: כמה מילים על ריאליזם ואנטי-ריאליזם.

חשוב להבהיר: אין מדובר על ויכוח בשאלה האם העולם כפי שאנחנו רואים אותו קיים באמת או שמדובר בפיקציה (חלום, סימולציית מחשב או המטריקס). שני הצדדים (בגרסתם המתונה והמעניינת יותר) מניחים שיש עולם ממשי ושהמדע חותר להבנת החוקים של עולם זה. סלע המחלוקת הוא 'אונטולוגי', כלומר האם המדע מסוגל לומר משהו בעל משמעות על קיום. לדוגמה, האם המסקנה מהניסוי של ג'.ג'. תומסון היא שיש ישות בעולם שנקראת אלקטרון? יש שיאמרו שכל שהוכחנו הוא את הנכונות של מודל האלקטרון בהפקת תחזיות שמתבררות בניסויים כנכונות, ולא את קיומה של ישות. לפני שאתם מרימים גבה, שימו לב למשל שהתיאוריה האלקטרומגנטית של מקסוול נכתבה על גבי הפיגומים של האֶתֶר. כיום המשוואות נשארו, תוצאות הניסויים נשארו אבל הקיום של האתר כישות בעולם נזרק לפח של ההיסטוריה. ישנן אינספור דוגמאות דומות. לא מין הנמנע שנוכל לכתוב תיאוריה חילופית ללא שימוש בישות שנקראת אלקטרון ושתניב תוצאות באותה רמה של הצלחה. לדיון נוסף, ראו רשימה קודמת.