ארכיון

Posts Tagged ‘חוקי ניוטון’

דיאטת קו המשווה – על משקל ותאוצה

מה אנשים רוצים?

אהבה? הגשמה? רווחה? אושר?

שטויות! מה שאנשים באמת רוצים זה לשקול פחות.

באחת הרשימות הקודמות סיפרתי על 'דיאטת נפילה'. עיקרה הוא שבמהלך נפילה חופשית, משקלו של אדם העומד על מאזניי קפיץ הוא אפס. הצונח אינו לוחץ כלל על המאזניים מכיוון ששניהם נופלים באותה תאוצה. זאת הסיבה, למשל, שהאסטרונאוטים בתחנת החלל מרחפים. המסה של הנופלים, אגב, לא משתנה, אבל למה להתרכז בשלילי.

הפעם אני רוצה לחזור לנושא ולספר על 'דיאטת קו המשווה'. כל שעל מפחית המשקל הפוטנציאלי לעשות הוא לעבור לגור באזור קרוב יותר לקו המשווה. ירידת המשקל היא מיידית ומובטחת! באחריות!

"כמה?", אתם שואלים. קודם בואו ונדון ב-'למה', ואח"כ נגיע לכמה. נראה גם את הקשר בין דיאטת הנפילה לדיאטת קו המשווה. שתיהן אינן בלתי קשורות אחת בשניה.

***

נקניק סלמי מונח על רצפת מעלית. מהם הכוחות שפועלים עליו?

מצד אחד, כוח הכבידה פועל עליו כלפי מטה. מצד שני הוא אינו נע. אם כך, ברור שהמשטח מפעיל עליו כוח שווה בגודלו והפוך בכיוונו לכוח הכבידה כלפי מעלה. סכום הכוחות הוא אפס. זהו בעצם החוק הראשון של ניוטון. (כל עוד סכום הכוחות על גוף הוא אפס, הגוף אינו משנה את מהירותו).

כלומר, הכוח שמפעיל המשטח על הסלמי שווה לכוח הכובד שפועל על הסלמי.

כאשר מניחים גוף על מאזניי קפיץ, מורים המאזניים את הכוח שמפעיל המשטח על הגוף. מכאן שאם הסלמי מונח על משקל קפיץ, היה מורה המשקל את כוח הכובד. על פני כדה"א ערכו של כוח הכובד קבוע ונתון על ידי מסת הסלמי כפול תאוצת הנפילה החופשית.

%d7%a1%d7%9c%d7%9e%d7%99-%d7%a2%d7%9c-%d7%9e%d7%a2%d7%9c%d7%99%d7%aa-%d7%a0%d7%97%d7%94
איור 1: נקניק סלמי מונח על מאזניים שמונחות על רצפת מעלית במנוחה.

מה קורה אם המעלית משנה את מהירותה, למשל מאיצה כלפי מטה?

אותם כוחות פועלים על הסלמי גם במקרה הזה, אבל לא יכול להיות שסכומם שווה לאפס כי מהירותו של הסלמי משתנה (ביחד עם המעלית). כאן נכנס לפעולה החוק השני של ניוטון שאומר שבמידה וסכום הכוחות על גוף אינו שווה לאפס, הוא שווה למסתו של הגוף כפול התאוצה שלו. החוק השני הוא חוק טבע וניתן להוכחה במעבדה.

אם כך, הפחתת הכוח שמפעיל המשטח על הגוף מכוח הכובד צריכה להסתכם בגודל ששווה למסתו של הגוף כפול תאוצת הנפילה החופשית. מהעברת אגפים במשוואה קל להסיק שבמקרה זה הכוח שמפעיל המשטח על הסלמי קטן יותר מאשר במקרה הקודם בדיוק בערך של התאוצה כפול מסת הסלמי, וזה גם מה שיימדד במאזניים. הסלמי ישקול פחות.

%d7%a1%d7%9c%d7%9e%d7%99-%d7%a2%d7%9c-%d7%9e%d7%a2%d7%9c%d7%99%d7%aa-%d7%9e%d7%90%d7%99%d7%a6%d7%94
איור 2: נקניק סלמי מונח על מאזניים שמונחות על רצפת מעלית שמאיצה כלפי מטה.

מה יקרה אם נחתוך את הכבל שמחזיק את המעלית והיא תחל ליפול בנפילה חופשית? גם הפעם יפחת המשקל במסה כפול תאוצה, אבל כעת התאוצה היא תאוצת הנפילה החופשית. מכאן שהמשקל במהלך נפילה הוא אפס. הסלמי לא מפעיל כלל כוח על המאזניים ולכן מצב נפילה הוא מצב של חוסר משקל. זאת היא בדיוק דיאטת הנפילה.

***

מכונית נוסעת במהירות קבועה במעגל תנועה.

שאלה: מה גורם למכונית לנוע במעגל? תשובה: כוח החיכוך.

איך אנחנו יודעים? אם נשפוך שמן על הכביש ונבטל את החיכוך של הצמיגים עם הכביש המכונית תמשיך לנוע ישר ותחליק החוצה מהמעגל. המכונית נעה במהירות שגודלה קבוע אבל כוח החיכוך מושך אותה כל הזמן לכיוון מרכז המעגל וגורם לה לנוע בתנועה מעגלית.

%d7%9e%d7%9b%d7%95%d7%a0%d7%99%d7%aa-%d7%91%d7%9b%d7%99%d7%9b%d7%a8
איור 3: מכונית נעה במעגל תנועה. כוח החיכוך מופנה לכיוון מרכז המעגל, והוא זה ששומר על המכונית במעגל.

החוק השני של ניוטון, כאמור, מלמד אותנו שסכום הכוחות על גוף שווה למסתו כפול תאוצתו. גם כוח וגם תאוצה הם וקטורים, כלומר גדלים עם כיוונים. לכן השוויון של חוק שני כולל בתוכו גם כיוון. אם כיוון כוח החיכוך הוא אל מרכז המעגל זה אומר שהמכונית מאיצה לכיוון מרכז המעגל. הסיבה שאינה נעה לכיוון מרכז המעגל היא שמהירות תנועתה היא בכיוון משיק למעגל והיא בדיוק כזאת שגורמת לה 'לפספס' את המרכז ולהמשיך לנוע לאורכו של המעגל.

תאוצת המכונית לכיוון מרכז המעגל בזמן תנועתה המעגלית נקראת בעגה 'תאוצה צנטרפיטלית'.

***

שתי פיסות סלמי זהות, האחת מונחת על קו המשווה והשניה על קודקודו של הקוטב הצפוני.

הפיסה המשוונית מבצעת תנועה מעגלית שרדיוסה כרדיוסו של כדור הארץ וזמן המחזור שלה הוא 24 שעות. פיסת הקוטב אינה מבצעת תנועה מעגלית כי ציר הסיבוב של כדה"א עובר בקוטב.

אם כך, פיסת הקוטב אינה מאיצה ובכך שקולה לפיסת סלמי המונחת על רצפת מעלית נחה. קריאת המאזניים שווה למסתה של הפיסה כפול תאוצת הכובד.

הפיסה המשוונית, לעומת זאת, מאיצה כלפי מרכז כדה"א, עקב תנועתה המעגלית, ולכן שקולה לפיסת סלמי המונחת על רצפת מעלית שמאיצה כלפי מטה. מכאן שמשקלה קטן ממשקלה של פיסת הקוטב. ההבדל במשקל שווה למסתה של פיסת הסלמי כפול התאוצה הצנטרפיטלית.

%d7%a1%d7%9c%d7%9e%d7%99-%d7%a2%d7%9c-%d7%a7%d7%95%d7%98%d7%91-%d7%95%d7%a7%d7%95-%d7%9e%d7%a9%d7%95%d7%95%d7%94
איור 4: שני נקניקי סלמי, אחד על הקוטב הצפוני ואחד על קו המשווה. משקלו של הסלמי המשווני קטן יותר בגלל שהוא נע בתאוצה שכוונה למרכז המעגל.

אם ניקח בחשבון את רדיוס כדה"א ואת זמן המחזור של סיבובו נגלה שההבדל במשקלן של שתי הפיסות הוא כ-0.3 אחוז.

[הערת שוליים: התאוצה הצנטרפיטלית נתונה על ידי aR=4π2•RE/T2, כאשר RE הוא רדיוס כדה"א ו-T הוא זמן המחזור]

ואם נחזור לענייני דיאטה, אדם ששוקל 70 ק"ג בקוטב הצפוני ישקול בקו המשווה בערך 69.75 ק"ג, וכל זאת ללא יום אחד של אכילת חסה או פעילות גופנית.

זכרו היכן שמעתם את זה לראשונה!

מודעות פרסומת

מסה, (אולי) לא מה שחשבתם

בשוק מוכרים ענבים לפי משקל. ככל שהמוכר מודד מספר קילוגרמים רב יותר הוא מחייב בכמות גדולה יותר של שקלים. מדוע זה הגיוני? האם אנחנו מקבלים כמות גדולה יותר של ענבים? לא בהכרח, אבל בד"כ כן.

הקילוגרם היא היחידה הבסיסית למדידת מסה, שקשורה לכמות החומר רק בעקיפין. מהי בכלל מסה?

%d7%90%d7%a9%d7%9b%d7%95%d7%9c%d7%95%d7%aa-%d7%a2%d7%a0%d7%91%d7%99%d7%9d
תמונה 1: ענבים. המקור לתמונה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Dragonflyir.

***

הצורך בהגדרת המושג מסה עולה מתוך דיון על כוחות ולכן ראשית יש להגדיר במפורש מהו כוח בפיזיקה.

נגדיר: כוח הוא פעולה הדדית בין שני גופים שניכרת בשינוי מהירות או שינוי צורה.

דוגמה: אם אני מטיח אגרוף בגוש פלסטלינה מתרחשת בעקבות המגע בין שני הגופים אינטרקציה שתוצאתה היא שגוש הפלסטלינה ישנה את צורתו ואת מהירותו. באותו הזמן, גם היד תשנה את צורתה ומהירותה.

ישנן שתי דרכים להגדיר מהי מסה.

דרך א'

חוק הכבידה של ניוטון אומר שבין כל שני גופים (מסות) שורר כוח משיכה שתלוי במסתם של הגופים ובמרחק ביניהן. ככל שהמסות גדולות יותר, כך הכוח ביניהן גדול יותר. ככול שהמרחק ביניהן גדול יותר, כך הכוח ביניהן קטן יותר.

%d7%97%d7%95%d7%a7-%d7%94%d7%9b%d7%91%d7%99%d7%93%d7%94-%d7%a9%d7%9c-%d7%a0%d7%99%d7%95%d7%98%d7%95%d7%9f

F הוא כוח הכבידה בין שתי מסות, m מסמן את מסות הגופים השונים, r את המרחק ביניהם ו-G קבוע אוניברסלי שקשור לחוזק הכוח.

כלומר, קיום כוח הכבידה והמודל שמסביר את אופן פעולתו מגדיר מהי מסה. את הקבוע האוניברסלי G נקבע מתוך מדידות לאחר שנקבע מהי מידת הקילוגרם.

כל הגופים הגשמיים שנמצאים לידי כרגע מכילים את התכונה הפיזיקלית שנקראת מסה וכולם נמצאים בשדה כבידה זהה של כדור הארץ (מסת כדה"א והמרחק ממרכזו זהים בקירוב עבור כולם). נוכל להיעזר בעובדה זאת כדי לכייל את סקלת מדידת המסות. נקבע שאחד החפצים הוא 1 ק"ג ונשתמש במאזניים ובכוח הכבידה לקבוע את כל השאר. סדרה כזאת של גופים קיימת בצרפת והיסטורית היא מגדירה עבורנו מהו קילוגרם.

national_prototype_kilogram_k20_replica
תמונה 2: העתק של הקילוגרם הרשמי המקורי מצרפת שמוחזק על ידי US government National Institute of Standards and Technology או בקיצור NIST במרילנד לתצוגה. מדובר בגוש מתכת שהוא 90% פלטינום ו-10% אירידיום. המקור לתמונה: NIST דרך ויקיפדיה.

דרך ב'

בהגדרת הכוח ציינתי שהוא ניכר בשינוי מהירות.

החוק השני של ניוטון אומר שאם סכום הכוחות הפועלים על גוף שונה מאפס, הוא משנה את מהירותו, כלומר מאיץ. סכום הכוחות שפועל על הגוף שווה לקבוע כפול התאוצה בה הוא נע. את הקבוע הזה אנחנו מכנים בשם 'מסה' ובעצם בפעולה זאת מגדירים מהי מסה.
[הערת שוליים: אם אתם מפעילים כוח על גוף נח והוא לא משנה את מהירותו, כלומר מתחיל לנוע, זה עקב כוח החיכוך. סכום הכוחות על הגוף, כולל כוח החיכוך, הוא אפס.]

בדיקה במעבדה תאשר את החוק ותראה שערכו של הקבוע (שיפוע הגרף בין סכום הכוחות לתאוצה) תלוי בגוף עצמו ובכמה הוא מאסיבי. גם על קרח, שעליו החיכוך הוא מינימלי, קל להאיץ מטבע של חצי שקל וקשה להאיץ מקרר משפחתי 3 דלתות עם מכונת קרח מובנית.

%d7%97%d7%95%d7%a7-%d7%a9%d7%a0%d7%99-%d7%a9%d7%9c-%d7%a0%d7%99%d7%95%d7%98%d7%95%d7%9f
איור 3: גרף איכותי של החוק השני של ניוטון, כלומר הקשר הישר בין שקול הכוחות לתאוצה.

אם כך, מסה היא התנגדות הגוף להפעלת הכוח. ככל שמסתו של גוף גדולה יותר, כך התאוצה שנגרמת עקב הפעלת כוח עליו קטנה יותר, ולהפך.

***

כעת חשוב שנעצור ונחשוב. האם שתי ההגדרות מדברות על אותו הדבר? מבחינה עקרונית נראה שמדובר בשתי תופעות שונות לחלוטין, ושרק במקרה בחרנו לקרוא לשתיהן בשם המשותף והמטעה 'מסה'.

למעשה המסה מדרך א' מכונה 'מסה כבידתית' וזאת מדרך ב' מכונה 'מסה אינרציאלית'.

ניתן להראות על ידי חיבור פשוט של חוק הכבידה והחוק השני שגם אם נניח שמסה כבידתית ומסה אינרציאלית הן שונות, הן חייבות להיות שוות עד כדי קבוע. אבל 'עד כדי קבוע' זה לא 'שוות'.

אז האם הן שוות?

במשך השנים, למרות מאמצים לא מבוטלים של מדענים מרחבי העולם למדוד הבדלים בין מסה כבידתית למסה אינרציאלית, לא נמצאו כאלה ברמת דיוק גבוהה מאוד. מסיבה זאת אנחנו מניחים שהן זהות אחת לשניה.

***

אפילוג

לפי החוק השני של ניוטון, אם אני עומד על מד כוח בתוך מעלית, קריאתו תלויה בתאוצת המעלית. אם המעלית אינה מאיצה, קריאתו נתונה על ידי המסה שלי כפול תאוצת הנפילה החופשית (9.8 מטר לשניה בריבוע). במקרה והמעלית מאיצה כלפי מעלה, קריאת מד הכוח היא הקריאה ללא תאוצה ועוד המסה שלי כפול תאוצת המעלית.

%d7%a7%d7%a8%d7%99%d7%90%d7%aa-%d7%9e%d7%93-%d7%9b%d7%95%d7%97-%d7%91%d7%9e%d7%a2%d7%9c%d7%99%d7%aa

m מסה, g תאוצת הנפילה החופשית, a תאוצת המעלית ו-N קריאת מד הכוח.

יוצא מכך שקריאת מד הכוח במקרה שבו המעלית מאיצה ב-9.8 מטר לשניה בריבוע בחלל, מחוץ לשדה כבידה כלשהו, זהה למקרה של מעלית במנוחה בשדה הכבידה של על פניו של כדה"א.

המסקנה היא שאין אדם בתוך מעלית אטומה יכול להכריע האם הוא בשדה כבידה או במערכת מאיצה. שום ניסוי שיעשה לא יכריע בין המקרים.

ניסוי מחשבתי זה (או משהו דומה לו) הוביל את אלברט איינשטיין לחשוב שאם לא ניתן להבדיל בין כבידה לתאוצה, בין חוק הכבידה לחוק השני שדן בתאוצה, אולי מדובר בשני פנים של אותו הדבר. מה שמוביל גם למסקנה שמסה כבידתית ואינרציאלית אחת הן.

דבר זה הוביל את איינשטיין לנסח את עקרון השקילות ובהמשך תורת כבידה חדשה, וכל השאר היסטוריה.

***

נ.ב 1

חשוב לשים לב שמסה ומשקל הם אינם אותו הדבר למרות שאנחנו נוטים ביום יום להשתמש בהם באופן אנלוגי.

בתחנת החלל הבינלאומית האסטרונאוטים חווים חוסר משקל למרות שברור שיש להם מסה. משקל הוא כוח (שלרוב תלוי במסה) ומסה היא, …, ובכן מסה. הרגע דיברנו על זה.

להרחבה, מומלץ לצפות בסרטון הזה מערוץ היוטיוב Veritasium.

נ.ב 2

יחידת הק"ג למדידת מסה היא היחידה היחידה מכל היחידות הרשמיות שעדיין מוגדרת על ידי חפץ פיזי (גוש מתכת בצרפת שהוא הק"ג הרשמי). מצב זה אינו רצוי כי מישהו עלול להתעטש על הגוש ולשנות את הגדרת הק"ג (לא סביר). בשנים האחרונות עובדים מדענים ברחבי העולם על שתי שיטות חלופיות להגדרה קוסנפטואלית של הק"ג שלא תשען על חפץ פיזי.

להרחבה על אחת השיטות, מומלץ לצפות בסרטון הזה מערוץ היוטיוב Veritasium.

:קטגוריותכללי תגיות: , , ,