ארכיון

Posts Tagged ‘היסטוריה של המדע’

2 מתוך 9 – חיתוך הזהב – יומן קריאה

שני אחים זוכים בירושה מדוד רחוק באמריקה. מכיוון שאחד האחים לוקח על עצמו את הטיפול במנהלות המסובכות כדי לקבל את הירושה, שניהם מסכימים שהוא יקבל חלק גדול יותר ממנה. נותר רק להסכים על יחסי החלוקה. האחים מתלבטים בין שליש\שני-שליש לבין רבע\שלושה-רבעים, ומחליטים לפנות לבוררות אצל קרוב משפחה.

מסתבר שקרוב המשפחה ממורמר מכיוון שלא זכה בעצמו לחלק מהירושה ומציע חלוקה אחרת. הוא מציע שיחלקו את הכסף ביניהם כך שכל הסכום חלקי החלק הגדול יהיה שווה לחלק הגדול חלקי החלק הקטן.

מי האח שיצא מרוצה מחלוקה כזאת (ביחס ליחסי החלוקה ששקלו קודם)? האם החלוקה ניתנת לביצוע?

פתרון מתמטי למי שמעוניין:

כפי שניתן לראות, בחלוקה זאת האח המתאמץ מקבל בערך פי 1.5 במקום פי 2 או פי 3. גרוע מכך, יחס החלוקה הוא מספר לא רציונלי.

***

סדרת פיבונצ'י היא סדרת מספרים שמתחילה ב-0 ואז אחריו ב-1. כל מספר נוסף הוא החיבור בין שני המספרים הקודמים לו. אם כך האיברים הראשונים בסדרה הם:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377…

מהו היחס an+1/an, כלומר האיבר ה-n+1 בסדרה חלקי האיבר ה-n, שקדם לו?

בגרף הבא אני מציג את היחסים (ללא שימוש בשני האיברים הראשונים):

ניתן לראות בקלות שהיחסים משתנים ככל שהסדרה מתקדמת. הם הולכים ומתכנסים לערך כלשהו (יש תנודה של הערכים מעל ומתחת לערך שאליו הם מתכנסים). יחס זה נקרא "יחס הזהב" והוא בדיוק אותו היחס שקיבלנו בסיפור הירושה. מוזר לא? מה הקשר בין שתי הבעיות?

מבלי לתת את הפתרון המלא, ניתן לקרוא ברשימה קודמת שלי כיצד מפתחים נוסחה לאיבר ה-n בסדרת פיבונצ'י, ושם תוכלו לראות שבמהלך הפתרון אנחנו מגיעים בדיוק לאותה משוואה ריבועית כמו בסיפור הירושה.

האם יש משמעות נסתרת לאותו היחס שחוזר במקומות שונים ומפתיעים?

במהלך ההיסטוריה האנושית היו לא מעט אנשים אובססיביים ליחס הזהב, ביחוד בתחום הגיאומטריה, האמנות והארכיטקטורה. נכתבו עליו ספרים רבים מספור. "חיתוך הזהב" מאת מריו ליביו, שיצא בשנת 2002, ותורגם לעברית ב-2003, הוא אחד מהם.

***

מריו ליביו הוא פרופסור לאסטרופיזיקה, ומוכר לקורא המדע הפופולרי הישראלי מהספרים רבים שכתב. הוא גם ישראלי (לשעבר?) עם סיפור חיים מעניין, ששווה עיון בפני עצמו, ומגיע לישראל בתדירות גבוהה כדי להרצות.

לאורך הספר סוקר ליביו את ההיסטוריה של יחס הזהב. מברר מתי, ככל הנראה, הוא הופיע לראשונה על הכתב. הוא משקיע מאמץ רב להפריד בין המוץ לבר, כלומר בין יצירות היסטוריות שבהן היה שימוש ביחס הזה לבין כאלה (הרוב) שלא, גם אם רומנטיקנים ומיסטיקנים רבים רוצים להאמין שכן.

אני נהניתי בעיקר מפרקים 4 ו-5 בהם מופיע רוב החומר המתמטי והמדעי על יחס הזהב. כיצד לקבל אותו מחלוקה ומשוואה ריבועית, כיצד הוא קשור לפאונים, כיצד לרשום את היחס בדרכים שונות ומפתיעות, כיצד היחס קשור לסדרת פיבונצ'י וכיצד הוא קשור לספירלות, שאותן ניתן למצוא גם בטבע.

דבר נוסף שגיליתי במהלך קריאת הספר הוא שההיסטוריה של יחס הזהב משעממת אותי והיא טרחנית להחריד. ליביו משקיע זמן ומאמץ רב לסקור ולהפריך פייק-היסטוריה, כלומר, תקופות ויצירות שבהן אנשים מאמינים שהיה שימוש ביחס הזהב אך ככל הנראה זה לא נכון. לא הצלחתי למצוא בזה עניין, וגם לא בשאר הסקירה ההיסטורית. הדבר אולי מעיד יותר עלי מאשר על הספר, ועל מה אני מחפש בספר מדע פופולרי, ובעיקר מה אני לא מחפש בו.

הפרק האחרון בספר: "האם אלוהים הוא מתמטיקאי" מעניין אך תלוש למדי מבחינת הנושא העיקרי של הספר, ומהווה בעיקר קדימון לספר הבא שכתב ליביו באותו השם. דבר זה נכון, לדעתי, גם אם במהלך כתיבת הספר ליביו עוד לא החל לכתוב את הספר הבא.

דבר קטן נוסף שהטריד אותי במהלך הקריאה הוא האזכורים הרבים מספור של ליביו לספרים אחרים בנושא. אם הוא קרא את כל הספרים (הרבים רבים רבים), שהוא מזכיר במפורש בטקסט, במהלך התחקיר לכתיבת הספר אז אין אלא להוריד בפניו מספר רב של כובעים. דבר זה אינו משנה את העובדה שהאזכורים הרבים כל כך הופכים את הכתיבה והקריאה לטרחנית אף יותר. באופן אישי הייתי מסתפק בהחלט ברשימה מפורטת של מראי-מקום בסוף הספר (רשימה שאכן קיימת).

יש לי תחושה, אם כי לא מבוססת על קריאה חוזרת של הספרים, שהכתיבה הפופולרית של ליביו השתפרה מספר לספר, והספר הזה הוא הראשון שכתב.

***

לסיכום, הספר קריא ומכיל כמות גדולה של מידע מעניין. באופן אישי לא מצאתי עניין בפרקים רבים בספר, אבל לא מן הנמנע שאנשים אחרים שמתעניינים יותר באמנות או בהיסטוריה ייהנו מאוד גם מהם.

יותר היסטוריה ממתמטיקה – המוזיקה של המספרים הראשוניים, יומן קריאה

נתחיל הפעם בגאמא, ונסיים בזטא.

***

פונקציית גאמא מכילה בתוכה אינטגרל איום.

האינטגרל מנוסח כך שאחד הפרמטרים בו (Z בנוסחה למטה) ניתן לשינוי. פרמטר זה הוא המשתנה של הפונקציה, כלומר מה שמציבים לתוכה. תוצאת האינטגרל תחת הפרמטר שהצבנו היא ערכה של הפונקציה בערך זה.

אחת התכונות המוזרות של פונקציית גאמא היא שאם מציבים במשתנה שלה מספר טבעי (1,2,3 וכדומה), תוצאת האינטגרל היא מכפלת כל המספרים הטבעיים עד מספר אחד פחות מזה שהצבנו. כלומר הערך של פונקציית גאמא הוא (n-1)!, כאשר '!' נקרא במתמטיקה 'עצרת' ומסמן כפל של כל המספרים הטבעיים עד אותו מספר.

ברשימה קודמת הראיתי שניתן לבטא נגזרת של כל פונקציה על ידי גזירת הפיתוח שלה בטור חזקות (טור טיילור). גזירת טור חזקות מספר פעמים ברצף היא פעולה מתמטית פשוטה וניתן לקבל ביטוי כללי עבור הגזירה ה-n של הטור, ולכן עבור הנגזרת ה-n של הפונקציה. הביטוי הכללי הזה תלוי בחישוב n!. נוכל, בערמומיות, להחליף את n! בפונקציית גאמא. עבור כל מספר טבעי נקבל את אותה תוצאה. אז למה טרחנו? כי פונציית גאמא מוגדרת לא רק עבור המספרים הטבעיים, אלא עבור כל מספר. כעת קיבלנו יכולת לחשב את הנגזרת ה-0.5, או הנגזרת ה-2.849.

לנגזרת יש משמעות גיאומטרית של שיפוע המשיק בנקודת הגזירה. מה המשמעות של נגזרת מסדר לא שלם? אין לי מושג, אבל הפיזיקאים מצאו לזה שימוש, למשל בתיאור של דיפוזיה במערכות מורכבות.

***

פונקציית זטא היא סכום אינסופי, לכאורה, די פשוט להבנה. היא נתונה על ידי:

עבור משתנה s שהוא כל מספר גדול מ-1 הפונקציה היא סכום מתכנס של שברים. עבור s=-1 הפונקציה היא סכום המספרים הטבעיים ולכן הטור אינו מתכנס. לפונקציה, אם כך, אין ערך מוגדר עבור אף מספר שלילי.

ליאונרד אוילר, המתמטיקאי המפורסם, הראה שניתן לייצג את פונציית זטא על ידי סכום שמכיל את כל המספרים הראשוניים (ראו ביטוי למטה) ובכך קישר בין שני דברים שלכאורה לא היו קשורים אחד לשני, המספרים הראשוניים ופונקציית זטא. מכיוון שהמספרים הראשוניים הם אבני הבסיס של כל המספרים, פתאום פונציית זטא, פונקציה זוטרה למדי, קיבלה משמעות אדירה. וזה לא נגמר שם.

המתמטיקאי ברנארד רימן כתב מאמר מכונן בן 10 עמודים בו העלה השערה לגבי הערכים שעבורם פונקציית זטא מקבלת את הערך אפס (שערכם הממשי של כולם הוא 0.5), והראה את הקשר של עובדה זאת לערכם ומיקומם של המספרים הראשוניים. למה זה מעניין? עד היום אין דרך פשוטה או נוסחה סגורה לחישוב ערכם של כל המספרים הראשוניים. מיקומם על ציר המספרים נראה אקראי. אבל כבר פרידריך גאוס חשד שיש סדר כלשהו בבלאגן ומצא קשר פשוט (יחסית) לכמותם ופיזורם שהוא קירוב שהולך ונהיה טוב יותר ככל שהולכים למספרים גדולים יותר.

לסיכום, נוצר קשר מוזר בין הבנת פונקציית זטא והאפסים שלה, ובין הבנת מיקומם וערכם של המספרים הראשוניים. האם השערת רימן נכונה? האם היא תוביל אותנו ליצירת נוסחה או אלגוריתם פשוט לחישוב מספרים ראשוניים? יש לזכור שכל ההצפנה שבה אנחנו משתמשים ברשת האינטרנט מבוססת על תכונות של מספרים ראשוניים (חפשו RSA).

***

מרכוס דו סוטוי הוא פרופסור למתמטיקה באוקספורד, ועוסק הרבה גם בהנגשה של מתמטיקה בצורה פופולרית לציבור הרחב. בשנת 2003 הוא פרסם את הספר 'המוזיקה של המספרים הראשוניים' שתורגם לעברית ב-2006. בספר בונה דו סוטוי את הסיפור באופן כרונולוגי, ומתמקד במה שהוביל להשערת רימן ובהתקדמות לאורך השנים בניסיון להוכיח אותה. השערת רימן, אם כך, היא נקודת הציר שסביבה נעים הסיפורים המופיעים בספר. הספר גם עוסק, בצורה מעניינת, במגמות בעולם המתמטיקה שהשתנו עם השנים והשפיעו על הגישות השונות לחקר הבעיה.

תמונת העותק שלי של הספר.

המידע בספר מונגש לקורא כאשר הוא שזור בתוך סיפורים ודמויות. טכניקה זאת, שניתן למצוא גם אצל סיימון סינג, הופך את הספר לקריא מאוד. עם זאת, יש להודות שרוב השמות באים והולכים. אם זאת הפעם הראשונה שנתקלתי בשם, וקראתי עליו מספר פסקאות, רוב הסיכויים שעד סוף השבוע לא אזכור במי מדובר, קל וחומר שבועות או חודשים אח"כ. את הרעיונות הגדולים אני דווקא אזכור. ואולי זה רק אני.

דבר נוסף שהופך את הספר לקריא מאוד הוא שהספר, שנושאו הוא מתמטיקה, אינו מכיל מתמטיקה כמעט בכלל, וחבל. ברור שהמטרה כאן היא לכוון לקהל רחב ככל שאפשר. ואולי זה רק אני. אבל יש משהו אחד שבאמת הפריע לי.

כפי שציינתי, נקודת המוקד של הספר היא הקשר בין פונקציית זטא למספרים הראשוניים, דרך אוילר ועד להשערת רימן. החלקים האלה לא מתוארים לדעתי בצורה שניתן להבין, ואין ניסיון ממשי להסביר את המתמטיקה כמו שצריך. הסופר, כאמור, מכוון לקהל רחב מאוד מאוד ומסתמך כמעט לחלוטין על אנלוגיות ומטאפורות. למעשה, דה סוטוי שקוע כל כך במטאפורה של המוזיקה שהוא גרם לי להתנתק כמעט לחלוטין מהמתמטיקה שעליה הוא מספר. בשלב מסוים מטאפורות המוזיקה מופיעות בכל משפט שני, ולטעמי, נהיות מאולצות וחופרות להחריד.

עקב הכרות מוקדמת שלי עם תיאוריית פורייה ולאפלאס ועם תיאוריות של ייצוג מערכות דיפרנציאליות באמצעות מטריצות ופולינומים, אני מבין, פחות או יותר, את החשיבות של קטבים ואפסים של פונקציה ואת הקשר שלהם לתדירויות תנודה. זה נותן לי רמז, שלא בהכרח קשור באופן ישיר למקרה שמתואר בספר, למנגנון שמתוכו מפיק דו סוטוי את אנלוגיית המוזיקה שלו. למיטב הבנתי, אין סיכוי שמישהו ללא הכשרה מתמטית רצינית (תואר ראשון הנדסה-פיזיקה-מתמטיקה לפחות וזיכרון טוב) יבין את ההקשר. להגנתו יאמר שכאשר ניסיתי לחקור יותר לעומק את העניין גיליתי שיש קפיצה במידע בין המאוד פופולרי למאוד טכני בחומרים שנתקלתי בהם ברשת. ככול הנראה מדובר בתחום מאוד טכני שקשה להסביר אותו בצורה פשוטה.

למדתי לא מעט דברים שלא ידעתי מהספר: על הקשר בין זטא לראשוניים, על השערת רימן, על הקשר המפתיע לפיזיקת כאוס ולפיזיקה קוונטית ודברים נוספים. כמו כן, קריאת הספר גרמה לי ללכת ולחקור יותר על הנושא ברשת (כלומר ברמה פופולרית, איני איש מקצוע בתחום, אבל ברמה יותר מעמיקה).

***

לסיכום: הספר כתוב בצורה קריאה מאוד ומעניינת, לקהל רחב ככל שאפשר על נושא המספרים הראשוניים וחייה וזמניה של השערת רימן. מי שרוצה לקרוא על ההיסטוריה של המתמטיקה, מבלי 'להתלכלך' ביותר מידי מתמטיקה, זה הספר בשבילו.

***

למי שסיים את הספר ורוצה להבין מעט יותר ברמה הטכנית, אך עדיין פופולרית, על השערת רימן והקשר שלה למספרים הראשוניים אני ממליץ להתחיל מהסרטונים הבאים:

Riemann Hypothesis – Numberphile

Visualizing the Riemann hypothesis and analytic continuation

מי שחושב שהוא מוכן לצלול, ראש קדימה, לתיאור הטכני מוזמן לקרוא בעברית כאן:

https://gadial.net/2010/02/08/riemann_hypothesis_overview/

 

תסריט מאויר – לוגיקומיקס, יומן קריאה

סטודנטים שלמדו באוניברסיטה מקצועות ריאליים אולי חוו במהלך הלימודים איזשהו רמז למתח בין מתמטיקאים לפיזיקאים.

להבנתי, ובהכללה כמובן, פיזיקאים לוקחים את המתמטיקה די בקלות. עבורם זהו כלי יעיל להפליא שבעזרתו ניתן לתאר את העולם הפיזיקלי, זה האמיתי שמסביבנו. ואם צריך לעגל כמה פינות בשביל זה, למשל לחלק או להכפיל בדיפרנציאל או לשחק קצת באינסוףים, אז למה לא? כל עוד זה עובד, כלומר מנפק תוצאות בעלות משמעות.

המתמטיקאים, לעומת זאת, לא לוקחים את המתמטיקה בקלות בכלל. בטח לא כשמתחילים לשחק להם בדיפרציאלים באינסוףים בצורה לא אחראית. יש לכך סיבה היסטורית, לדעתי. בתחילת המאה ה-20 הדיפרנציאל והאינסוף איימו להחריב את יסודות המתמטיקה. משהו שקשור לרעיונות של קנטור על אינסוףים שונים ולכך שהדיפרנציאל לא היה מוגדר היטב, אבל אל תתפסו אותי במילה בעניין זה.

להגנתה של המתמטיקה ניצבו דייוויד הילברט עם גישתו הפורמליסטית וברטראנד ראסל שניסה (יחד עם א.נ. ווייטהד שותפו לפרויקט) להעמיד מחדש את המתמטיקה על בסיס הלוגיקה (לא הראשונים שניסו זאת).

הם נכשלו. וכאשר קורט גדל פרסם את משפטי האי-שלמות שלו הוא חרץ את גורלה של תוכנית זו. יעברו עוד כ-20 אולי 30 שנים עד שבסיסה של המתמטיקה יתייצב שוב, עקב בצד אגודל.

אם אתם מעוניינים לקרוא עוד על נושא זה, אבל עם יותר פרטים ובלי הדרמטיזציה המעושה, אפשר להתחיל מעמוד הויקיפדיה הזה: "Foundations of mathematics".

אם, לעומת זאת, דווקא הדרמטיזציה היא זאת שמעניינת אתכם ופחות הפרטים ההיסטוריים או הטכניים, והייתם מעוניינים לצפות בסוג של סרט על הנושא, בסגנון "נפלאות התבונה" למשל, אולי תמצאו עניין בספר הקומיקס "לוגיקומיקס".

***

עטיפת העותק שלי

הספר לוגיקומיקס נכתב על ידי אפוסטולוס דוקסיאדיס (למד מתמטיקה ועסק בקולנוע, תיאטרון וספרות) וכריסטוס פאפאדימיטריו (פרופסור למדעי המחשב בברקלי). הכותבים בוחרים להציג את הרעיון הפילוסופי של השבר בבסיס המתמטיקה והחיפוש אחרי הפתרון דרך דמותו המאויירת של ברטראנד ראסל, מתמטיקאי, לוגיקן ופילוסוף, בצמתים שנבחרו בקפידה מחייו. כבכל סרט המבוסס על סיפור אמיתי, לא מעט פרטים בספר שונו למטרות כתיבת תסריט הדוק.

ישנם עוד שני קווים שרצים לאורך העלילה, מלבד זה הראשי. הראשון הוא הקשר בין הגאונות, עיסוק בלוגיקה ושיגעון. ברטראנד הילד נחשף לשיגעון, וממשיך ופוגש אותו בנקודות שונות בחייו. הקו השני הוא סיפור מסגרת שבו כותבי הספר ומאייריו דנים בנושאים שעולים בו, באיך לכתוב אותו ובהתמודדות עם ביקורות שיעלו לצורת הצגת הסיפור.

הספר, לדעתי, צולח את מבחן הסרט. הקריאה קולחת, מעניינת ומהנה, ומספקת חוויה אינטיליגנטית ודרמטית במידה סבירה על נושא לא שגרתי. כולל לא מעט ניים-דרופינג שגורם למי שמתעניין, ללכת ולחפש את השמות מאוחר יותר (יש נספח בסוף הספר ויש כמובן מקורות חיצוניים רבים). שווה כרטיס לקולנוע. אך זה אינו סרט אלא ספר, והוא מוצג לעתים כעוסק במדע פופולרי, ועל כך יש לתת את הדעת.

למי שנרתע ממתמטיקה אין מה לחשוש, כי אין פה. כאמור, מאוד דומה לסרט 'נפלאות התבונה'. מאוד דומה גם בעובדה שהספר לא מספיק מפורט כדי להיחשב לספר היסטוריה, פלוסופיה, ביוגרפיה או מדע פופולרי. ככל הנראה זאת גם אינה הכוונה, למרות המיקום שלו בחנות הספרים.

למדתי דברים חדשים על ראסל מהספר, ובעיקר על קשריו עם לודוויג וויטגנשטיין, אבל נאלצתי בעיקר להשלים ממקורות אחרים. כאמור, זה אינו ספר היסטוריה ומופיעות בו לא מעט סצנות שלא היו ולא נבראו, לפעמים אפילו כאלו שמבחינת זמנים לא יכלו להתקיים כלל (הכותבים מזהירים על כך באופן גלוי).

באופן אישי, מאוד לא אהבתי את המסגור של הסיפור. אני לא אוהב את הקו הנמתח בין גאונות, לוגיקה ושיגעון. אני די בטוח שסטטיסטית זה קשקוש שמופיע רק ממניעים דרמטיים. גישה זאת מזכירה לי את הסרט "איש הגשם" עם דסטין הופמן וטום קרוז שהיה אחד מהגורמים לכך שאנשים חושבים שלאנשים הלוקים באוטיזם חייב להיום כוח-על כלשהו.

עוד דבר שלא אהבתי בעניין המסגור של הסיפור הוא המטא-סיפור. כנראה עניין של העדפה אישית. אני מאוד לא אוהב שבמהלך סיפור עלילה הסופר פונה ישירות אל הקורא. לטעמי זה קב מיותר (קצת כמו וו‏ֹיְיס-אוֹבר בסרטים). גרוע מכך, חלק גדול מהבעיות שבהן אני דן כאן, מועלות באופן ישיר על ידי הכותבים בעלילת המסגרת הזאת. על כך אין מחילה.

וקטנה לפני סיום: ראסל היה אדם רב פעלים, גם בתחומים מקצועיים רבים ומגוונים בהם עסק וגם בתחום האישי. נשים צצות ונעלמות, באות ומתחלפות, תוך כדי הסיפור, מבלי להתעכב על כך יותר מידי. רגע אחד הן אלמנט חשוב בעלילה ורגע אחר הן נעלמות, ואולי אף מתחלפות באישה אחרת (ראסל היה נשוי מספר פעמים).

***

לסיכום, אם אהבתם סרטים בסגנון 'נפלאות התבונה' ו\או אתם נהנים מקומיקס, אין סיבה שלא תהנו לקרוא את הספר. גם אני נהנתי, למרות כל התלונות. רק הייתי צריך לצלוח חוסר הבנה ראשוני מה אופיו של הספר, מה מטרתו ולמי הוא מיועד.

האפקט הפוטואלקטרי – קווים לדמותו, השנים הראשונות

האפקט הפוטואלקטרי ידוע בטריוויה כ-"הדבר הזה שעליו זכה אלברט איינשטיין בפרס נובל (לא על יחסות!)".

מהו האפקט הפוטואלקטרי, מניין הגיע ולמה זה מעניין?

הסקירה הקצרה הזאת (באופן יחסי…) תתמקד בעבודתם של שלושה פיזיקאים, כולם זוכי פרס נובל, שחקרו, מדדו, הסבירו והוכיחו את האפקט: פיליפ לנארד, אלברט איינשטיין ורוברט מיליקן.

***

נתחיל את הסיפור בפיליפ לנארד (אפשר להתחיל לפני כן, אבל אתמקד בעיקרי הדברים). לנארד היה פיזיקאי גרמני שזכה בפרס נובל על מחקרו בנושא 'קרני קתודה', או כפי שאנחנו מכנים אותן כיום, קרני אלקטרונים (שבאותה תקופה, סוף המאה ה-19 עדיין לא היה ברור מה טיבן). לדוגמה, מחקריו בבליעה של קרניים אלה לתוך חומרים היו גורם מכריע בהבנה שמדובר בשטף של חלקיקים ולא בקרינה אלקטרומגנטית ושהאטום ברובו הוא חלל ריק.

בסדרת ניסויים אחרת הקרין לנארד אור על אלקטרודות מתכתיות. נזכר שאור הוא גל אלקטרומגנטי מחזורי שצבעו קשור לאורך הגל שלו, כלומר למרחק שהוא עובר בזמן שלוקח לו להשלים מחזור שלם של תנודה. אדום בסביבות 650 ננומטר, כחול בסביבות 450 ננומטר, ואורכי גל קצרים יותר נקראים אולטרה-סגולים (UV). הקשר בין אורך הגל והתדירות הוא שהתדירות שווה למהירות האור חלקי אורך הגל.

איור 1: הספקטרום האלקטרומגנטי. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש Inductiveload.

התובנות החשובות לעניינינו שעלו מניסוייו של לנארד הם: 1) ניתן לגרום לפליטה או 'קריעה' של אלקטרונים מאלקטרודה מתכתית על ידי הארה עליה באור אולטרה-סגול, 2) קיימת תדירות סף (קשור, כאמור, לצבע האור) שמתחתיה אין פליטה כלל ומעליה יש פליטה, 3) שימוש באלקטרודות מחומרים שונים גורם לשינוי במהירות (או האנרגיה הקינטית) של האלקטרונים הנפלטים, לשינוי בתדירות הסף אבל לא משפיע על כמות המטען הנפלט (בהנחה שמקור ההארה זהה).

תוצאות ניסוייו של לנארד סתרו את מודל הגלים. אנסה להסביר מדוע על ידי אנלוגיה. חישבו על גלי ים שמכים בצוק שוב ושוב במשך שנים. בכל כמה רגעים מתנפץ לו גל מים על הצוק ושוחק אותו מעט. גלים חלשים שוחקים את המצוק לאט, גלים חזקים יותר מהר. אבל בסיכומו של דבר, גם גלים חלשים ישחקו את המצוק את נחכה מספיק זמן.

לא כך המצב בניסויו של לנארד. אם הגל מתנודד מעל לתדירות הסף מתרחשת קריעת אלקטרונים מהחומר, ואם מתחת אז אלקטרונים אינם מושפעים כלל. לא משנה כמה זמן נחכה, אין אפקט מצטבר. תוצאה זאת אינה תואמת מודל גלים. ישנן סתירות נוספות אך אסתפק בזאת.

***

לפני שאגיע להסבר הפשוט של איינשטיין לתופעה, נאלץ לעשות תחנת ביניים.

היתה בעיה בפיזיקה באותן שנים שנקראת 'קרינת גוף שחור' ואינני רוצה להתעכב עליה מכיוון שהיא דורשת חיבור בפני עצמו. אספר רק בקיצור נמרץ שהתיאוריה והניסוי בתחום זה לגבי עוצמת הקרינה הנפלטת מגוף שחור בתדרים שונים סתרו אחד את השני באופן ניכר ואף מביך ('הקטסטרופה בעל-סגול'). הפיזיקאי הגרמני, זוכה פרס הנובל, מקס פלנק, הנחשב למחולל תורת הקוונטים, פתר את הבעיה על ידי הנחה מוזרה.

פלנק הניח, רק לשם הפתרון, שהקרינה האלקטרומגנטית שנפלטת מגוף שחור מתקיימת בחבילות בדידות, ושכמות האנרגיה בכל חבילה נתונה על ידי קבוע (שידוע היום כקבוע פלנק) כפול התדירות. הנחה זאת אמנם לא התיישבה עם תורת גלים אבל היא הניבה את ההתפלגות הנכונה של הקרינה מגוף שחור בתדרים השונים.

איינשטיין, באחד מ-4 המאמרים המפורסמים שלו משנת 1905, לקח את הרעיון הזה והלך אתו אף רחוק יותר. הוא הניח שחבילות הקרינה של פלנק יכולות לתפקד כסוג של חלקיקים (שאותם אנחנו מכנים היום פוטונים). חבילת אור אחת, או פוטון אחד, של אור פוגע באלקטרון אחד בחומר, אחד-על-אחד, מתנגש בו ומעניק לו את האנרגיה שהוא נושא. כזכור, לפי פלנק, אנרגיה של חבילת אור תלויה בקשר ישר בתדר. אם אנרגיית הפוטון גדולה מספיק כדי להתגבר על הכוחות המחזיקים את האלקטרון בתוך החומר, אז האלקטרון יפלט החוצה. ההפרש שנשאר בין המחיר האנרגטי לקריעת האלקטרון לבין האנרגיה המקורית של הפוטון היא האנרגיה הקינטית שבה יפלט האלקטרון.

נוכל לסכם זאת בנוסחה הפשוטה הבאה: Eph=hf=B+Ek, כך ש- Eph היא אנרגית הפוטון, h קבוע פלנק, f תדירות, B פונקציית העבודה כלומר האנרגיה הדרושה לקרוע אלקטרון מהחומר ו- Ek האנרגיה הקינטית (פרופורציונית למהירות בריבוע).

נשים לב שהסבר פשוט זה מתאים לכל תוצאותיו של לנארד. תדירות הסף תתקבל כאשר אנרגיית הפוטון שווה בדיוק לפונקציית העבודה, כך שהאנרגיה הקינטית שווה לאפס. אם נחליף אלקטרודת פליטה בעצם נשנה את פונקציית העבודה B. ואכן, לפי המודל, תדירות הסף והאנרגיה הקינטית ישתנו. מספר האלקטרונים הנפלטים לא ישתנה כי הוא תלוי בכמות הפוטונים המגיעים ולכם באופי מקור האור.

***

רוברט מיליקן, פיזיקאי אמריקאי, היה משוכנע שהתיאוריה של איינשטיין שגויה מכיוון שהיו עדויות רבות מידי שהאור הוא גל (למשל ניסוי יאנג – שני הסדקים – לקבלת תמונת התאבכות). מיליקן עבד 10 שנים כדי לבנות ולשפר מערכת מדידה שבאמצעותה יוכל להוכיח את צדקתו.

מערכת המדידה כוללת שפופרת ואקום ובתוכה שתי אלקטרודות המוחזקות תחת הפרש מתח ביניהן. מאירים על אחת האלקטרודות וגורמים לפליטה של אלקטרונים מהמתכת (ראו איור 2). מד-זרם מחובר לשתי האלקטרודות, כך שאם אלקטרונים שנפלטו מאלקטרודה אחת מגיעים לשניה, נראה חיווי על כך. בנוסף, ניתן לשנות את המתח בין שתי האלקטרודות כך שהשדה החשמלי ביניהן יוכל לעזור לאלקטרונים להגיע מהאלקטרודה הפולטת לקולטת וגם להפריע. ניתן לשנות את ערכו של המתח המפריע עד לאיפוס הזרם במד הזרם. למתח זה נקרא 'מתח העצירה'.

איור 2: תיאור סכמטי של הניסוי של מיליקן למדידת האפקט הפוטואלקטרי.

נשים לב שמתח העצירה הוא המתח המפריע המינימלי הנדרש כדי לעצור את כל האלקטרונים שנפלטו, כולל האנרגטיים ביותר. כלומר, בעצם מדובר באנרגיה החשמלית הנדרשת לעצירת אלקטרון ששווה לאנרגיה הקינטית של אלקטרון שאותו נדרש לעצור. במילים אחרות, מתח העצירה שווה, עד כדי קבוע, לאנרגיה הקינטית המקסימלית של האלקטרונים הנפלטים.

נוכל לבצע ניסוי בו נמדוד את מתח העצירה עבור אורכי גל שונים של אור המוקרנים על האלקטרודה. אם נציץ שוב בנוסחה של איינשטיין, נראה שהיא חוזה שגרף של מתח העצירה (כלומר בעצם Ek) כפונקציה של התדירות f צריך להראות כקו ישר ששיפועו הוא קבוע פלנק.

ב-1914 פרסם מיליקן את תוצאותיו שהוכיחו מעל לכל ספק שהתיאוריה של איינשטיין נכונה. ב-1921 זכה איינשטיין בפרס נובל על הסברו לאפקט הפוטואלקטרי. פרס נובל על עבודה תיאורטית ניתן (למיטב ידיעתי) רק על כאלה שכבר הוכחו בניסוי.

[הערת שוליים: דוגמה עדכנית לכך היא פרס הנובל בו זכה פיטר היגס על פיתוח התיאוריה עבור 'בוזון היגס'. את התיאוריה הציע כבר בשנות ה-60. ההכרזה על גילוי החלקיק במאיץ החלקיקים בסרן היתה בשנת 2012, ובשנת 2013 הוענק להיגס הפרס.]

ב-1923 זכה מיליקן בפרס נובל ושימו לב לפנינה הבאה שצילמתי מתוך ההרצאה שנתן בטקס (מקווה שלא הוצאתי יותר מידי מהקשרו):

***

לדעתי, החשיבות העיקרית של האפקט הפוטואלקטרי היא בכך שהוא היה מהמבשרים הראשונים של תורת הקוונטית שתעלה על הבמה ותנפץ הרבה ממה שחשבו הפיזיקאים שכבר היה 'סגור' ומובן. האפקט גם הראה שלא ניתן יהיה עוד להסתפק בדעה שאור הוא פשוט גל אלקטרומגנטי. למעשה גם בימים אלה עדיין לא סיימנו להתווכח האם אור הוא גל, חלקיק, גם וגם או משהו אחר לגמרי.

***

סוף

***

נ.ב

בשולי הדברים רציתי לציין אנקדוטה שאינה חשובה כלל לנושא אך מראה לנו שוב שמדע נעשה על ידי אנשים.

פיליפ לנארד היה אמנם גאון פיזיקלי אבל היה גם אנטישמי קולני, מתנגד למדע 'יהודי' והיה גם חלק ממנגנון השלטון הנאצי בזמן הרייך השלישי. בסוף מלחמת העולם השניה וכיבוש גרמניה על ידי בעלות הברית הודח ומפאת גילו נשלח לסיים את חייו בכפר נידח ובשקט יחסי (מת שנתיים אחרי תום המלחמה).

כשלון שכולו הצלחה – על הניסיון לשחזר את ניסוי הרץ

בשנים האחרונות אני משתדל לקחת על עצמי בחופשת הקיץ פרויקט מאתגר שחורג מהפעילות היום-יומית. לפעמים התוצאות מעניינות ולפעמים פחות.

***

בשנת 1865, אחרי שנים רבות של מחקר ופיתוח, פרסם ג'יימס קלרק מקסוול את ספרו "תיאוריה דינמית של השדה האלקטרומגנטי". בספר זה סיכם מקסוול את כל הידוע על חשמל ומגנטיות. בנוסף, הוא הציג בספר בצורה סדורה את התיאוריה הכוללת שלו לנושא, שאותה פרסם קודם לכן בשורה של מאמרים.

התיאוריה של מקסוול היתה מהפכנית. היא החליפה את רעיון הפעולה (של כוחות) ממרחק באופן מיידי, התיאוריה השלטת באותה תקופה, בשדות אלקטרומגנטיים מתפתחים בזמן. השדה, מונח אבסטרקטי לחלוטין, הוגדר ללא מודל מכניסטי. התיאוריה היתה כתובה במתמטיקה מסובכת ולא מזמינה, וכך היא נשארה, כרעיון מעניין ותו לא. אחת התחזיות המעניינות של התורה היתה קיומם של גלים אלקטרומגנטיים שנעים במרחב במהירות האור.

בין השנים 1886-1889 ביצע היינריך הרץ סדרה של ניסויים מפורסמים שבהם הוכיח את קיומם של הגלים האלקטרומגנטיים. ניסויים אלה עזרו לקבע את התורה האלקטרומגנטית של מקסוול כתורה הבסיסית של התחום המקובלת על כולם. הרץ בנה מכשיר שמייצר מתח גבוה בין שתי אלקטרודות כך שנוצרת התפרקות חשמלית ביניהן וניצוץ (ברק קטן). האנטנה הנושאת את הניצוץ הפיצה גלים אלקטרומגנטיים בתדר גבוה (סדר גודל של מאות MHz). את הגלים הוא קלט באמצעות אנטנת דיפול, שהיא בעצם מוט מתכת קטוע במרכזו, בדומה לאנטנה המשדרת. קליטת הגל מעלה את המתח החשמלי על האנטנה, ובמתח גבוה מספיק האוויר 'ייפרץ' חשמלית ויוצר ניצוץ בין הקצוות (ראו איור 1).

איור 1: סכימה של מערך הניסוי של הרץ. משמאל, מקור מתח גבוה מסוג רומקורף מחובר לאנטנת דיפול. מימין, אנטנת קליטה מעגלית עם מקטע חסר לקבלת פריצה במתח גבוה. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש Hertzian.

הרץ עשה עבודה יסודית והראה גם שידור וקליטת של גלי רדיו בפעם הראשונה, גם את קיטוב הגל וגם הציב מראה לגלים, ומתוך מדידת הגל העומד שנוצר, מדד את מהירות האור.

***

בתחילת הקיץ קראתי ספר על התפתחות רעיון השדה האלקטרומגנטי ששם הוזכר, כדרך אגב, הניסוי של הרץ. הניסוי לא נראה מסובך מדי במונחים של היום. גמרתי אומר לשחזר אותו. הצלחתי להלהיב עוד שותף בעל ידע בפיזיקה, זמן פנוי ויכולת טובה משלי לבנות דברים. ההגבלות ששמנו לעצמנו: לנסות ולשחזר את הניסוי ההיסטורי, ככל שניתן, ולנסות לארוז את זה כך שיתאפשר להדגים זאת בנוחות מול קהל. רצינו להיעזר בעבודות קודמות אך לא מצאנו שום תיעוד ברשת של אנשים אחרים ששחזרו ניסוי זה בשנים האחרונות, וזאת למרות השפע ברשת וקלות החיפוש. כאן היינו צריכים לחשוד, אבל היינו נלהבים מידי.

***

להרכבת אנטנת השידור ניסרנו מוט מתכת חלול באורך חצי מטר לשני חלקים שווים. על הקצוות שהופרדו הרכבנו כדורי מתכת והשארנו אותם קרובים מאוד אחד לשני. זאת הצומת עליה תהיה התפרקות חשמלית וניצוץ. חיברנו את שני צידי המוט המופרדים למקור מתח מסוג רומקורף (Ruhmkorff Induction Coil) שהוא סוג של שנאי שמייצר פולסים מחזוריים של מתח גבוה ממקור מתח ישר נמוך. בכל פעם שהמתח בין הכדורים מגיע לערך גבוה מספיק מתרחשת פריצה חשמלית באוויר בין הכדורים, מטענים חשמלים יעברו מצד לצד דרך האוויר, ואנו נראה ניצוץ. בזמן הניצוץ נוצר גל עומד על פני שני חלקי האנטנה. נקודת המקסימום של הזרם נמצאת במרכזה (באזור הפריצה). בגלל הצורה ואורך האנטנה היא אמורה לתפקד כבורר תדרים לגל שנוצר עליה. התדר העיקרי המצופה להיות מופץ במרחב משוער להיות מסדר גודל של 300 מגה-הרץ.

איור 2 +3: מקור מתח גבוה מסוג רומקורף (Ruhmkorff Induction Coil). למעלה – איור של המכשיר. ניתן לראות סליל בתוך סליל לקבלת שנאי. בצד ימין חוטים לחיבור מתח ישר נמוך ומעליהם הויברטור. מעל לסלילים ניתן לראות את המוטות שברווח ביניהם תיווצר ההתפרקות החשמלית. למטה – סכימה של המכשיר. המקור לאיורים: ויקיפדיה וויקיפדיה. האיור העליון לקוח מספר שפורסם ב-1920 על רכיבי רדיו. האיור התחתון הועלה לויקיפדיה על ידי המשתמש PieterJanR ועובד על ידי המשתמש Chetvorno.

לקליטת 'השידור' הצבנו אנטנת קליטה שהמבנה שלה זהה לאנטנת השידור. בין שני הקצוות המנוסרים חיברנו נורת ניאון קטנה שנדלקת כאשר בין הקצוות שלה מתפתח מתח גבוה מ-70 וולט. בניסוי המקורי הרץ השאיר קצוות מנותקים ומחודדים, עליהם הרכיב מיקרוסקופ והשחית את עיניו בחושך מוחלט במשך חודשים ארוכים כדי לבצע את המדידות. במקרה הזה השיקול של נראות מול קהל, והצורך לשמר שפיות, גבר על הרצון לדיוק היסטורי.

***

כפי שכותרת הרשימה כבר חשפה, זה לא עבד.

הצלחנו להדליק את הנורה, אבל רק במרחקים מאוד קצרים. במרחקים אלה היה עלינו הנטל להוכיח שאנחנו מודדים תוצאה של הגלים ולא של פרופיל השדה החשמלי החזק קרוב לאנטנה. כלומר, להראות שאם נרחיק את קצוות האלקטרודות, כך שנשאר עם שדה חזק אבל ללא פריצה (ללא גל), לא נראה הארה. הגבול בין הארה לחוסר הארה היה מאוד קרוב ולא אמין.

אחת ההצלחות היפות הייתה להראות את קיטוב הגל. כאשר האנטנות היו מקבילות אחת לשניה, קיבלו הארה בנורה. כאשר הצבנו את האנטנות בניצב אחת לשניה, ההארה נעלמה.

ישנם שני כיוונים בסיסיים כדי לשפר את המדידה: לשפר את השידור או לשפר את הקליטה. בתחום השידור ניסינו לשפר את תפקוד אנטנת השידור בכמה דרכים גיאומטריות. ניסינו לסנן תדרים לא רצויים על ידי סלילים (חוסמים תדרים נמוכים). בתחום הקליטה ניסינו להשתמש במגבר מתח ישר להגביר את רגישות הנורה (לעבוד יותר קרוב למתח ההפעלה שלה) ושקלנו להחליף אותה במד מטען (קבל ומד מתח עם התנגדות כניסה גבוהה מאוד) כדי למדוד באינטגרציה על פני זמן.

לאחר חודש עבודה (לא רצופה, קצת פה קצת שם, בכל זאת יש גם עבודה שוטפת) הקיץ שלנו נגמר והתוצאות נשארו לא משכנעות. נכנענו לעת עתה.

***

האם בזבזנו את זמננו?

ברור שלא.

קודם כל למדנו צניעות. אני הייתי משוכנע שעם הציוד המודרני שלנו נוכל לשחזר את הניסוי הבסיסי בשבועיים והיו לי תוכניות המשך. בפועל זה לא קרה. מניסיוני, כך עובד גם מחקר מדעי אמיתי. אם ניסויים היו קלים לביצוע, משהו אחר כבר היה מבצע אותם. בין הפרסומים על הצלחות יש בעיקר המון כישלונות. החוקרים המובילים הם אלו שמספיק מוכשרים כדי להצליח, ומספיק איתנים נפשית כדי להתמודד עם הכישלונות, יום אחרי יום.

למדנו קצת תיאורית אנטנות שבה שנינו לא היינו בקיאים כלל. למדנו איך בונים מד מטען ברמת הרכיבים על הלוח. מצאנו עניין רב בעבודת המחקר ובנושא עצמו, קראנו ספרים ומאמרים והתייעצנו עם מומחים.

במדד פיתוח מוצר 'מוכן לשיווק' נכשלנו כליל, אך במדד העניין והלמידה, הצלחנו מעל ומעבר, ועבורנו זה היה מספיק טוב.

הדהימו את חבריכם! – על נפלאות ה-coherer והקשר שלו לגלי רדיו

נתחיל הפעם בסדנת יצירה של אביזר קסום כדי להדהים את חבריכם. זה דורש מעט התעסקות בידיים, אבל לא משהו מסובך במיוחד.

הציוד הנדרש לבניית האביזר: שני ברגים מתכתיים גדולים עם קצה שטוח, צינור פלסטיק קשיח עם פתח מעט צר יותר מרוחב הברגים, שופין, מלחציים, שקל אחד.

הציוד הנדרש לביצוע הקסם: נורת לד קטנה ופשוטה, נגד+סוללות המתאימים לנורה, חוטי מתכת מוליכים ומצית גדול כמו אלו שקונים לכיריים במטבח.

בניית ההתקן: ראשית יש להבריז את הצינור כך שנוכל להבריג פנימה את הברגים (להבריז = לייצר חריצי הברגה). ההברזה אינה חובה, אך היא מייצרת יציבות מכאנית להתקן. הבריגו את אחד הברגים לתוך הצינור כך שחציו בפנים וחציו בחוץ והוא מגיע עד למרכזו של הצינור (אין צורך לדייק). שייפו את השקל לקבלת אבקה. אין צורך בכמות גדולה. שיפכו מעט אבקה לתוך הצינור והבריגו את הבורג השני כך שהאבקה נמצאת בין שני הקצוות השטוחים של הברגים בתוך הצינור.

להכנת הקסם חברו מעגל חשמלי טורי של סוללות, נורת לד קטנה פשוטה, נגד מתאים והרכיב שבניתם. הבריגו את הברגים בעדינות פנימה לתוך הצינור עד שתקבלו הולכה חשמלית ואור בנורה. הרחיקו בעדינות את הברגים זה מזה מעט כך שהאור כבה. כעת קרבו את המצית אל המעגל והדליקו אש. הפלא ופלא, הנורה תידלק!

במקרה הכינותי מראש מעגל עם coherer.

הרכיב שבנינו הוא גרסה פשוטה ופרימיטיבית של Coherer.

האבקה ששייפנו מהשקל מכילה כמות מספקת של ניקל, שהוא חומר פרומגנטי (בדומה לברזל וקובלט). במצב הראשוני דאגנו שצפיפות חלקיקי האבקה בין הברגים תהיה נמוכה כך שהמוליכות החשמלית נמוכה ולא זורם די זרם להדליק את הנורה. מסיבה שלא ידועה היטב, בנוכחות של גלים אלקטרומגנטיים חזקים מספיק, גרגירי האבקה הפרומגנטית נדבקים אחד לשני כך שנוצר שביל הולכה חשמלית, המוליכות של הרכיב עולה באופן משמעותי, הזרם עולה והנורה נדלקת. כדי לחזור למצב הראשוני יש להקיש בעדינות על הרכיב.

לחיצה על הכפתור של המצית מייצרת באופן רגעי מתח גבוה מאוד בין שתי האלקטרודות המתכתיות בקצותיו (לדעתי אלפי וולטים, לא בדקתי). המתח מייצר שדה חשמלי שגבוה משדה הפריצה של האוויר, כך שהאוויר הופך רגעית ממבודד חשמלית למוליך וזרם יזרום דרך האוויר בין שתי האלקטרודות. אנחנו נראה ניצוץ והוא זה שיצית את הגז לקבלת אש.

הניצוץ החשמלי הוא זה שמייצר גלים אלקטרומגנטיים המתפזרים לכל עבר. גלים אלה חזקים מספיק כדי להפעיל את ה-coherer, להעלות את המוליכות ולהדליק את הנורה.

אם ברצונכם להשתעשע, בקשו מהקהל להדליק את הנורה עם גפרור וכאשר הם לא מצליחים הדגימו עם המצית. ניסיתי, הקהל משתעשע. לכיבוי הנורה יש להקיש בעדינות על הצינור.

ה-coherer יכול לשמש כקסם נחמד, אך יש לו גם חשיבות היסטורית בהתפתחות הרדיו. במובן מסוים, ה-coherer הוא מה שקדם למה שקדם לטרנזיסטור.

***

בסוף המאה ה-19 החל לעבוד גוליילמו מרקוני האיטלקי על פיתוח טלגרף אלחוטי. את רעיונותיו הראשוניים הוא שאב מהניסויים המפורסמים של היינריך הרץ שבהם הוכיח זה את קיומו של גל אלקטרומגנטי כפי שחזתה התיאוריה של ג'יימס קלרק מקסוול, ובכך שכנע את קהילת הפיזיקאים בתקפותה ובחשיבותה. הרץ יצר התפרקויות של מתח גבוה ובכך שידר גלים אלקטרומגנטיים (בתחום תדרים שהיום אנחנו מכנים גלי רדיו) שאותם קלט באנטנה. מנקודה זאת החל מרקוני את עבודתו. בדרך להצלחה הוא ביצע מספר שיפורים משמעותיים בקליטה ובשידור. אחד מהשיפורים היה שימוש ב-coherer, שהיה סוג של גלאי שאותו ראה מרקוני בניסוייו של הפיזיקאי אוליבר לודג' בשידור וקליטה של גלים אלקטרומגנטיים.

הרעיון הבסיסי של שימוש ב-coherer בטלגרף אלחוטי מסתמך על כך שהרכיב מזהה שידור של גל אלקטרומגנטי ובתגובה סוגר מעגל חשמלי, בדומה להדגמה שתיארתי. המעגל מדווח למפעיל הטלגרף שהתקבל אות (קו או נקודה) וגם מייצר נקישה מכאנית על הרכיב שגורמת לפתיחת המעגל. כך, כל אות שידור שמגיע סוגר ופותח את המעגל החשמלי והמידע שהיה בעבר מגיע דרך חוטי הטלגרף, מגיע באופן אלחוטי.

כבר בתקופתו של מרקוני ה-coherer היה ידוע כרכיב לא אמין ולאחר מספר שנים הוחלף ברכיבים מוצלחים יותר. כיום, לאחר מהפכית המוליכים למחצה וההתקדמות הרבה בתחום האנטנות, ל-coherer נותר רק ערך היסטורי. עם זאת, הוא כל כך פשוט לבנייה שעדיין יש לא מעט אנשים שנהנים להרכיב איתו מעגלים כתחביב, כפי שניתן לראות בשני הסרטונים הקצרים הבאים (ובהרבה אחרים).

קווים לדמותו – פאראדיי, מקסוול והשדה האלקטרומגנטי: יומן קריאה

קראתי ספר ואני רוצה לספר עליו.

הספר 'Faraday, Maxwell, and the electromagnetic field' עוסק בהמצאתו וניסוחו של השדה האלקטרומגנטי. הכותבים Nancy Forbes ו-Basil Mahon טווים את סיפורו של השדה דרך ביוגרפיות מקוצרות של שני אנשי המדע שפיתחו אותו, מייקל פאראדיי וג'יימס קלרק-מקסוול, תוך התמקדות באירועים הרלוונטיים, מכיוון ששניהם תרמו רבות גם בתחומים אחרים.

אבל לפני שאגיע לספר, מהו בכלל שדה אלקטרומגנטי? עסקתי בו בעבר אבל אני רוצה לגשת אליו הפעם מכיוון מעט שונה.

תמונה 1: עטיפת הספר.

***

ידוע שלתכונה שנקראת 'מטען חשמלי' יש שני מופעים שאחד אנחנו מכנים 'מטען חיובי' והשני 'מטען שלילי'. כמו כן ידוע ששני מטענים בעלי תכונה דומה דוחים זה את זה ושני מטענים בעלי תכונה שונה מושכים זה את זה. נשרטט קו ישר בין מיקומם של שני המטענים, ונוכל לומר שהכוח הוא תמיד בכיוון הקו הזה (או משיכה, או דחיה). כעת את אחד המטענים נדביק למקום ואת השני נמקם בכל פעם בנקודה אחרת. בכל נקודה חדשה נשרטט קו חדש למציאת כיוון הכוח. מה שנקבל לאחר מספר מיקומים הוא סדרה של קווים שיוצאים או נכנסים (דחיה או משיכה) למטען המודבק. סיימנו עם המטען הנייד, אפשר להעיף אותו.

הקווים שקיבלנו, שנראים כמו שמש עם קרניים, נקראים קווי השדה, והם אלה שנובעים ממטען מקור (המטען המודבק, ראו איור 2). משמעותם היא שאם נשים בנקודה כלשהי מטען נוסף (כמו המטען הנייד ממקודם), הכוח שיפעל עליו יהיה בכיוון משיק לקווים ששרטטנו בנקודה. ישנה נוסחה לחישוב גודלו של הכוח, שתלויה בעוצמת המטענים ובדעיכה לפי המרחק בריבוע, אבל נעזוב את זה לעת עתה.

איור 2: קווי שדה של מטען נקודתי.

זה נשמע אבסטרקטי למדי. האם מושג השדה הוא הכרחי?

***

לפני קבלת התורה האלקטרומגנטית של מקסוול הדעה הרווחת בין מדענים היתה שכוח חשמלי פועל ממרחק ובאופן מיידי. נניח שיש לי מטען נייד שמשמש לי כמכשיר מדידה, ומרגיש בכל רגע את הכוח החשמלי שמפעיל עליו המקור. אם 'נכבה' או נעלים את מטען המקור, הגלאי ידווח מיידית על העלמות הכוח. כלומר, המידע על העלמות המקור יגיע מיידית לגלאי. היום זה נשמע לנו מוזר אבל למדענים אז לא היתה סיבה טובה לפקפק בכך.

נחזור למטען המקור שלנו ואל קווי השדה שהקשורים אליו. ננסה לדמיין מה יקרה לשדה אם נסיט את המטען מעט מעלה ואז נחזירו למקומו המקורי. מצב 1: מטען בנקודה נמוכה, מצב 2: מטען בנקודה גבוהה, מצב 3: מטען שוב בנקודה נמוכה.

לשם פשטות נשרטט אך ורק את קו השדה שיוצא ימינה בכיוון אופקי. במצב 1 הוא נמוך, במצב 2 גבוה ומצב 3 חוזר להיות נמוך. כעת נזכר שהזזת המטען מהנקודה הנמוכה לגבוהה וחזרה לוקחת זמן. בזמן ההזזה קווי השדה עדיין קיימים אך הם משתנים בהתאם למצב באותו הרגע. לכן קו השדה הימני הוא נמוך ואז ברגע ההזזה נהיה גבוה יותר ויותר ואז חוזר להיות נמוך ונשאר כך. בעצם ייצרנו הפרעה בקו שדומה ליצירת הפרעה בחבל מתוח על ידי נענוע שלו בקצה (ראו איור 3). ההפרעה תתקדם לאורך החבל וזה מה שאנחנו מכנים גל מכני. באופן דומה ההפרעה בקווי השדה תתקדם במרחב והיא הגל האלקטרומגנטי (החלק החשמלי שלו).

אני ממליץ למי שמוצא את איור 3 לא ברור לשחק עם הסימולציה בקישור הזה. במקרה זה אנימציה עובדת טוב יותר מאיור סטטי.

איור 3: הזזה של מטען גורמת לשינוי תלוי זמן בשדה ולהתפשטות של גל אלקטרומגנטי במרחב.

מטען המקור הנע הוא בעצם סוג של אנטנת שידור של גלים אלקטרומגנטיים. את הגלים האלה ניתן לקלוט על ידי אנטנת קליטה שגם היא בעצם מטען נייד בתוך מוליך. אם ההפרעה בקווי השדה אכן נעה במרחב, המטען החשמלי באנטנת הקליטה ינוע גם הוא כאשר היא תגיע אליו. באמצעות מגבר נוכל למדוד את הזרם שנוצר.

כאשר היינריך הרץ מדד את הגלים האלה בפעם הראשונה (1886-1889) הוא למעשה אישש את התיאוריה המוזרה והשנויה במחלוקת של מקסוול על שדות אבסטרקטיים במרחב. בנוסף, הרץ אישר בניסויים את הטענה של מקסוול שהגלים ינועו במהירות האור (באמצעות מדידת גל עומד) ולכן סביר היה להניח שגם האור הוא סוג של גל אלקטרומגנטי.

***

שימו לב שהצורה שבה בחרתי להסביר את מהות השדה האלקטרומגנטי היא אנכרוניסטית. לדוגמה: האלקטרון, כלומר מטען כחלקיק, התגלה רק ב-1897. מקסוול כתב את המאמרים האחרונים על תורת השדות שלו כבר ב-1865. ספרי לימוד בפיזיקה אינם נכתבים בסדר כרונולוגי של גילוי. זה מה שהופך אותם למובנים לקורא 'הטירון'.

***

מה מחפשים קוראים בספרי מדע פופולרי? האפשרויות שעלו בראשי היו: א) ללמוד על נושא מדעי אבל לא ברמה אקדמית, ב) ללמוד על ההיסטוריה של נושא מדעי בין אם מכירים אותו ברמה אקדמית או בין אם לא, ג) לקרא סיפור מעניין שמתמקד במדענים או ברעיון מדעי. הדגש באפשרות הראשונה הוא מדעי, הדגש בשניה היסטורי והדגש בשלישית הוא סיפורי. רוב הספרים יכילו אלמנטים של שלושת הדגשים אך לא במידה שווה.

***

נחזור לספר.

הספר הוא כרונולוגיה של רעיון השדה דרך סיפור חייהם של ממציאיו ומנסחיו, פאראדיי ומקסוול. מחד, החוזק שלו הוא בסיפור המעניין על חייהם (השונים) ועל השיקולים שלהם שהולידו את הרעיונות והגילויים. כל זאת נעשה, לדעתי, בכישרון רב. הדמויות קמות לחיים והקריאה קולחת. מאידך, נקודת התורפה של הספר היא בהסברים על המדע, תיאוריה וניסויים, שאינם ברורים לקורא שאינו מכיר אותם ממקורות קודמים, ויתקשה להבינם מקריאה בספר זה.

מעבר לפרטי הביוגרפיות של פאראדיי ומקסוול למדתי מהספר שהתיאוריה האלקטרומגנטית של מקסוול היתה מהפכנית. לא רק שהיא הניחה שלכוח החשמלי יש תלות בזמן, אלא שהיא היתה הראשונה שלא היה מאחוריה מודל מכניסטי. אין עקרונות מכניים שמסבירים את קיום או את פעולת השדות החשמלי והמגנטי (לדוגמה לחצים או חיכוך בתוך החומר). היא היתה אבסטרקציה מוחלטת של הפיזיקה. מסיבה זאת היה קשה לקהילת המדענים לקבל תורה זאת בזמן שפורסמהעל ידי מקסוול. זאת ועוד, המתמטיקה שבה נכתבה היתה בלתי נסבלת אפילו לפיזיקאים.

אולי יעניין אתכם גם לדעת שאת צורתם המוכרת כיום של 'משוואות מקסוול', שניתן לראות על חולצות וכוסות קפה, לא כתב מקסוול עצמו, אלא היתה עיבוד של התורה בידי אוליבר הביסייד, ברנש מוזר ביותר, אך בעל זכויות רבות.

ממתק נוסף שנמצא בספר הוא טבלה מסודרת של כל הגילויים החשובים בחשמל ומגנטיות משנת 1600 ועד שנת 1905 (איינשטיין), מסודרים בצורה כרונולוגית ונוחה לעיון. הרשימה עושה סדר בראש מבחינה כרונולוגית לכל התחום.

***

לסיכום, נהניתי לקרוא את הספר ואני מרגיש שהרווחתי ממנו הרבה ידע חדש. הוא שם היטב את 'החומר מספר הלימוד' בפרספקטיבה היסטורית. כל עוד לוקחים בחשבון מראש מה הספר מסוגל לתת ומה לא, ההנאה ממנו, לדעתי, מובטחת.