ארכיון

Posts Tagged ‘אסטרופיזיקה’

איך להאיץ חללית מבלי להשתמש (כמעט) בדלק באמצעות פיזיקה (כמעט) תיכונית

הפעם אני רוצה לכתוב משהו קטן על חלליות, אבל בדרך אצטרך להתעכב לא מעט על כדורי טניס. נראה אם נצליח להיפגש בסיום.

***

דמיינו מקרה שבו כדור טניס נע לכיוון קיר, פוגע בניצב אליו וחוזר חזרה באותה מהירות בה הגיע (ראו איור 1). במקרה זה יש משהו שמשתנה באופן משמעותי ומשהו שנשאר קבוע בעקבות ההתנגשות של הכדור עם הקיר. כיוון תנועתו של הכדור משתנה באופן משמעותי בעקבות המפגש, אבל גודל המהירות, כלומר מספר המטרים שעובר הכדור בכל שניה, נשאר אותו הדבר. השינוי בכיוון התנועה נובע מכך שבזמן ההתנגשות הקיר הפעיל כוח על הכדור. העובדה שגודל המהירות לא השתנה הוא מקרה פרטי מיוחד.

[הערת שוליים: התנגשות שבה נשמר גודל האנרגיה במערכת נקראת בעגה: 'התנגשות אלסטית'.]

איור 1: כדור פוגע בניצב לקיר, הופך את כיוון תנועתו אך שומר על גודל המהירות (התנגשות אלסטית).

מה יקרה לאותו כדור שנע לכיוון אותו הקיר במהירות v אם הקיר נע בכיוונו במהירות u?

כדי לגלות את הפתרון לבעיה זאת עם כמה שפחות מתמטיקה נשתמש בטריק שפיזיקאים אוהבים: 'מהירות יחסית' ומעבר מערכות ייחוס.

חישבו על שתי מכוניות במרחק 100 ק"מ אחת מהשניה שנעות אחת לכיוון השניה במהירויות 80 קמ"ש ו-20 קמ"ש. תוך כמה זמן ייפגשו? המכוניות צריכות לכסות עד למפגש מרחק של 100 ק"מ. בכל שעה מכסה מכונית אחת 80 ק"מ והשניה 20 ק"מ. כלומר ביחד מכסות 100 ק"מ בשעה. אם כך ניתן לומר שהמהירות היחסית בין שתי המכוניות היא 100 קמ"ש, ולכן הן יפגשו אחרי שעה. אם היינו מרכיבים מצלמה על גג אחת המכוניות, המכונית שעליה המצלמה היתה נראית בסרטון עומדת במקום (בהנחה שלא מתבוננים בנוף מסביב שמשתנה), והמכונית השניה מתקרבת אליה במהירות 100 קמ"ש.

כעת בואו ונשים מצלמה על הקיר.

בעיני מצלמה שיושבת על הקיר הנע (בעגה: 'מערכת הקיר'), הקיר נמצא במנוחה והכדור נע לכיוונו במהירות v+u שמאלה. את הבעיה הזאת אנחנו כבר מכירים. הכדור פוגע בקיר והופך כיוונו, כלומר נע במהירות v+u ימינה, לאחר ההתנגשות. כעת נעבור ממצלמה על הקיר למצלמה על הקרקע (בעגה: 'מערכת המעבדה'). התוצאה הפיזיקלית חייבת להישאר זהה, כלומר הכדור חייב לנוע מהר יותר מהקיר ב-v+u ימינה. עבור המצלמה על הקרקע הקיר, שלא הושפע מההתנגשות, עדיין נע במהירות u ימינה, ולכן הכדור נע לעיניי המצלמה ימינה במהירות u+(v+u), כלומר במהירות v+2u ימינה. אם כך, הכדור האיץ באופן משמעותי. הוא לא רק שמר על מהירותו וקיבל את מהירות הקיר אלא הרבה מעבר לזה (ראו איור 2).

כעת ברור מדוע בפעמים הבודדות שניסיתי לשחק טניס, הכדור ששוגר מהמחבט שלי (במקרים המעטים שהצלחתי לגרום להם להיפגש) עזב את תחומי המגרש (ואת המתחם כולו).

איור 2: כדור פוגע בניצב לקיר נע. כיוון תנועתו מתהפך וגודל מהירותו גדל (התנגשות אלסטית).

***

אסבך את הבעיה עוד קצת.

דמיינו כעת כדור שפוגע בקיר בזווית ולא במאונך.

שוב נשתמש בטריק שפיזיקאים אוהבים. נפרק את התנועה לשני צירים מאונכים ונפתור עבור כל ציר בנפרד. את זה מתיר לנו לעשות החוק שני של ניוטון שממנו ניתן להסיק שכוחות שפועלים בציר x, למשל, משפיעים רק על שינוי מהירות בציר x, וכוחות בציר y רק על שינוי מהירות בציר y.

את וקטור המהירות נוכל לפרק לפי טריגונומטריה של משולש ישר זווית לרכיב בכיוון x ורכיב בכיוון y. גם אם שכחתם את המתמטיקה הזאת מימי התיכון, אין זה חשוב למסקנה שאליה אני חותר. רכיב המהירות בציר y לא ישתנה כי הקיר אינו מפעיל כוח בכיוון זה (אין חיכוך, למשל). רכיב המהירות בציר x ישמור על גודלו אבל יהפוך כיוונו. אם כך נקבל שהכדור שומר על גודל מהירותו בזמן ההתנגשות, אבל כיוונו משתנה כך שזווית היציאה שווה לזווית הכניסה ביחס לקיר (ראו איור 3).

איור 3: כדור פוגע בזווית לקיר, הופך את כיוון תנועתו בציר x ושומר על תנועתו בציר y (התנגשות אלסטית). התוצאה היא שזווית ההחזרה שווה לזווית הפגיעה.

סיבוך אחרון: מה יקרה אם הקיר נע ימינה?

נשלב את כל הטריקים, מצלמה על הקיר ופירוק לרכיבי מהירות. במערכת הקיר התוצאה זהה לתוצאה של קיר במנוחה, רק עם מהירות v+u, במקום v. כאשר נעבור לצופה במעבדה נקבל שרכיב המהירות ב-y לא משתנה, אך הרכיב ב-x הוא v+2u, כמו שראינו בדוגמה של התנועה החד-ממדית. נוכל לחבר חזרה את רכיבי המהירות בשימוש בטריגונומטריה של משולש ישר זווית ונבחין שכיוון התנועה שונה ביחס לתוצאה של קיר במנוחה וגם שגודלה של מהירות הכדור גבוהה יותר.

[הערת שוליים: במקרה זה, דרך הפתרון שלי תלויה במספר גורמים ואינה נכונה באופן גורף, למשל בכך שהכוח יושב על ציר x בלבד. אמנם האנרגיה נשמרת אך לא ניתן לדבר על שימור ברכיבי המהירות שהרי אנרגיה אינה וקטור. בשורה התחתונה, הדרך נכונה רק עבור המקרה המתואר, אבל המסקנה הכללית נכונה תמיד.]


איור 4: כדור פוגע בזווית לקיר נע, מגדיל והופך את כיוון מהירות בציר x ושומר על תנועתו בציר y (התנגשות אלסטית). התוצאה היא שזווית ההחזרה שונה מזווית הפגיעה וגודל מהירות ההחזרה גדל. כלומר, כדור הטניס שינה את כיוונו והאיץ בעקבות ההתנגשות עם הקיר.

בעצם הצלחנו לנתב מחדש את כיוון הכדור ועל הדרך גם להאיץ אותו. נוכל לשלוט על כיווני התנועה של הכדור לאחר ההתנגשות ועל גודל מהירותו, כולל גם להאט את תנועתו, על ידי שינוי בכיוון ובגודל תנועת הקיר ביחס לכדור הטניס.

[הערת שוליים: ומה לגבי שימור אנרגיה? האם לא נוצרה אנרגיה יש מאין?! לא. למעשה כדור הטניס גנב מעט אנרגיה קינטית מהקיר וגרם להאטה שלו, אבל בקירוב שלנו, ערך זה זניח].

שחקני טניס וודאי יודעים, 'דרך הידיים', את כל מה שפיתחתי כאן, ואף יותר. במקרה שלהם יש חיכוך בין המחבט ('הקיר') לכדור ולכן נפתח עבורם עולם שלם של מורכבות דרך ספינים וסלייסים, שהופכים את המשחק למעניין יותר, ודורשים מהשחקן מיומנות גבוהה.

אבל איך כל זה קשור לחלליות?

טוב ששאלתם.

***

חישבו על חללית שנעה לכיוון כוכב לכת במהירות מספיק גבוהה כדי לא להילכד בשדה הכבידה שלו. בשלב ההתקרבות היא נופלת אל הכוכב ומאיצה, ובשלב ההתרחקות היא יוצאת מהבור כנגד כוחות הכבידה שפועלים עליה, ומאטה. צורת המסלול של החללית היא היפרבולה (לא להתבלבל עם פרבולה), אבל גם אם אינכם מכירים את הצורה, מספיק לדעת שבמרחקים מספיק גדולים מהכוכב המסלול ההיפרבולי הוא בקירוב קו ישר (ראו אנימציה 5).

אנימציה 5: המחשה באנימציה של האצה של חללית (נקודה כחולה) באמצעות מעבר ליד כוכב לכת (כדור אפור). הגרף למטה מייצג את גודל המהירות של החללית בכל רגע. המקור לאנימציה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על יד המשתמש Y tambe.

אם כן, אם נתעלם ממה שקורה כאשר הגופים קרובים אחד לשני, נבחין שהחללית נעה בקו ישר במהירות v אל הכוכב שנע במהירות u, ולבסוף החללית ממשיכה בדרכה בכיוון חדש ובמהירות חדשה בקו ישר. נוסיף את העובדה שכוכב הלכת אינו מושפע מהאינטראקציה, ונסיק שאין הבדל מהותי בתוצאות הסופיות בין הבעיה הזאת לבעיה של הכדור המתנגש בקיר (בעגה: בשני המקרים ההתנגשות אלסטית, והגוף הגדול אינו מושפע, בקירוב, מהאינטראקציה).

אם אין הבדל מהותי בתיאור הפיזיקלי של התנגשות כדור טניס בקיר נע לבין חללית שנעה בקרבת כוכב לכת נע, זה אומר שמה שלמדנו מניתוח המקרה הראשון תקף גם לשני. כלומר, נוכל להשתמש באינטראקציה בין החללית לכוכב לכת בתנועה כדי להאיץ או להאט את החללית ללא שימוש בדלק, כפי שראינו עם הכדור והקיר. והרי, דלק הוא המשאב היקר ביותר על גבי חללית ששוגרה מכדה"א לחלל, ולא בגלל מחיר הדלק. למעשה אנחנו גונבים מעט מהירות (אנרגיה קינטית) מכוכב הלכת, אבל בגלל הפרשי המסה העצומים הוא לא ירגיש את זה. שיטה זאת מצריכה, כמובן, חישוב מוקדם של המסלולים ואני מנחש שהיא מצריכה גם הפעלה מוגבלת של המנועים כדי לכוון במדויק למסלול הרצוי, אז לא לגמרי ללא דלק, אבל חיסכון מהותי.

ואכן, במספר רב של מקרים נעשה שימוש בתופעה זאת במשימות חלל בעבר. ניתן לקרוא על מקרים אלה בדף הויקיפדיה הזה. אחת הדוגמאות ניתן לראות באנימציה 6 שלקוחה מאותו הדף.

התופעה או הטריק הזה נקרא לפעמים gravity assist, ולפעמים gravitational slingshot.

אנימציה 6: המחשה באנימציה של המסלול של חללית ווייג'ר 2 בין התאריכים 20 באוגוסט 1977 ועד 31 בדצמבר 2000. החללית בסגול, כדה"א בכחול, צדק בירוק, שבתאי בתכלת, אורנוס בחרדל, נפטון באדום. המקור לאנימציה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על יד המשתמש Phoenix7777, באמצעות נתונים מנאסא.

וזהו בעצם.

מודעות פרסומת
:קטגוריותכללי תגיות: , ,

סיפורי עמים – המפץ הגדול, יומן קריאה

אתחיל בוידוי.

מעולם לא התעניינתי באסטרונומיה. מעולם לא בניתי דגם של מערכת השמש. אני לא יודע בעל פה את שמות כוכבי הלכת בסדר עולה לפי קרבתם לשמש. כדי להסביר את עונות השנה אני צריך לחשוב כל פעם מחדש. אותו כנ"ל לגבי קוסמולוגיה (מפץ גדול וכאלה).

לא קראתי. לא חקרתי. כאשר לקחתי קורס בנושא אסטרופיזיקה באוניברסיטה השתעממתי עד כדי כך שהעברתי את השיעורים במצבים שונים של עילפון (טלפונים חכמים לא היו אז בנמצא).

ומדוע אני מספר את כל זה?

כי באיחור אופנתי קראתי את הספר 'המפץ הגדול' מאת סיימון סינג ומצאתי בו עניין רב. הספר קולח, אולי קולח מידי. לקליחות הזאת יש מחיר, והשורה התחתונה לדעתי היא שבספר הזה היה שווה לשלם אותו.

אני אסביר.

עטיפת הספר המפץ הגדול
תמונה 1: העותק שלי. הגרסה האמריקאית של הספר 'המפץ הגדול' מאת סיימון סינג שמתהדרת בעטיפה מתכתית, מחזירת אור ומכוערת במיוחד. ברקע: מרצפות מהסבנטיז ורגל של וינטלטור.

***

ישנם שני דברים שמייחדים לדעתי את האסטרופיזיקה משאר נושאי המחקר בפיזיקה. האחד הוא שבדרך כלל לא ניתן לבצע ניסויים במעבדה והשני הוא שהנושא מצריך ידע במגוון רחב של תחומים כגון אופטיקה, פיזיקת חלקיקים, יחסות, פיזיקה קוונטית ועוד. הספר מיטיב להעביר את הייחוד הזה לקורא.

'המפץ הגדול' מאת סיימון סינג עוסק בעלייתה וביסוסה של התיאוריה שמוזכרת בשמו. התיאוריה עוסקת בטיבו, בחייו ובזמניו של היקום. סינג קיבל החלטה לא לחסוך בנייר ולתת רקע רחב לכל אחד מהנושאים שבהם יצטרך לגעת כדי להסביר את התיאוריה, גם במובן ההיסטורי וגם במובן הפיזיקלי, ועל כך יש לשבח אותו.

הפרק הראשון עוסק בעיקר באסטרונומיה אבל גם בקוסמולוגיה מתקופת יוון העתיקה, דרך קופרניקוס, קפלר וגלילאו ועד לתחילת המאה ה-20. הפרק השני עוסק בתורת היחסות של איינשטיין ואיך היא הולידה בניגוד לדעתו את הניצנים הראשונים לתיאורית המפץ. הפרק השלישי עוסק באסטרונומיה המודרנית: איך חוקרים, איך מודדים ואיך מסיקים החוקרים על תכונות של עצמים כל כך מרוחקים. הוא גם סוקר את הגילויים שהכניסו סדקים בתיאוריית היקום הסטטי. הפרק הרביעי עוסק ביישום של רעיונות מהפיזיקה הגרעינית כדי להבין את התהליכים הראשונים בהיווצרות החומר ביקום ובהעמדת שתי תיאוריות סותרות של טיב היקום. הפרק החמישי והאחרון עוסק בתצפיות ובגילויים ששכנעו את הקהילה המדעית בנכונות מודל המפץ הגדול.

אבל אלו רק הפרטים הטכניים. מדוע הספר קולח כל כך ביחס לאחרים?

משום שסינג, בדומה לכל ספריו, מספר סיפור. אגדת עמים חוצת גבולות ותקופות, מלאה בקרבות בין גיבורים ושבסופה הטובים מנצחים ותיאוריית המפץ הגדול נכנסת לספר הלימוד. סינג בחר בעורמה לסיפורו נראטיב מנצח. כמו כן, רוב הדמויות מקבלות תיבול על ידי אנקדוטה עסיסית שמפיחה בהן רוח חיים, גם אם מזויפת במקצת. הספר מזכיר לנו כמעט בכל עמוד שמדע נעשה על ידי אנשים.

הטכניקה השניה שבה משתמש סינג הוא רידוד הפיזיקה עד לרמה שאותה כולם יכולים להבין, ללא שימוש במתמטיקה ובריחה מכל רעיון שעלול להיות מסובך מידי. הקורא ההדיוט עלול לטעות שפיזיקה היא בעצם עסק די פשוט ואולי אפילו בהישג ידו. למרות זאת הספר נוגע בהמון נושאים פיזיקליים מעניינים כיאות לתחום כל כך מולטי-דיסיפלנרי ומוסיף דעת לקורא.

זאת אינה ביקורת שלילית. באופן אישי מאוד נהניתי לקרוא את הספר למרות שעסק בנושא שאני פחות מתחבר אליו. בזכותו אני כעת ידען משהייתי. יש רק לזכור שהספר אינו מיועד להיסטוריונים של המדע או לפיזיקאים. לאלה עדיף לפנות לספרים אחרים. גם אם הספר מכיל אי דיוקים קטנים פה ושם או נראטיבים מוגזמים, אף אחד מהקוראים המיועדים לא יבחין בכך ולא יזכור אותם בסיום הקריאה ולכן אין זה משנה. המטרה הושגה.

כדי ללמד מדע בצורה מוצלחת צריך לפעמים לבלף, שזאת עובדה פדגוגית ידועה [דרוש מקור]. אנחנו קובעים מה לספר, מה לא לספר, באיזה סדר ואיזו צורה. מטרתם של ספרי מדע פופולרי הוא ללמד אותנו משהו שלא ידענו על מדע ולכן אין מנוס מלעגל לא מעט פינות. מי שלא מעגל, יפיק תחת ידיו גוש מילים לא קריא. מהו הגבול? מטושטש.

אם כך לסיכום, אני ממליץ על הספר 'המפץ הגדול' לכל אדם שמתעניין במדע. הוא יצא ממנו נשכר, ולא רק בנושא קוסמולוגיה. אני גם ממליץ למורים לפיזיקה להמליץ עליו לתלמידים שלהם. הספר גם ישלים חוסרים שלא ניתן להגיע אליהם בכיתה וגם ירחיב את אופקיהם בנושאים פיזיקליים רבים שמוסברים בו.