ארכיון

Posts Tagged ‘אוסילטור הרמוני’

העולם דרך עיניהם של מהנדסי חשמל (מטריצות, פרק הסיום) – על ייצוג במרחב המצב

זהו. הגיע רגע האמת.

הרשימה הזאת היא למעשה הסיבה שבגינה התחלתי לכתוב על מטריצות.

הרשימה הבאה, כמו זאת שקדמה לה, עוסקת בטכניקה מתמטית ולכן דוברת מתמטיקה. הפעם התרתי כל רסן בעניין. ראו הוזהרתם!

זהירות מתמטיקה

***

ברשימה הקודמת הצגתי את בעיית האוסילטור ההרמוני, התנודה המחזורית הבסיסית, והראיתי כיצד ניתן לפרק את המשוואה שמתארת אותה, משוואה דיפרנציאלית מסדר שני, לשתי משוואות מסדר ראשון. את שתי המשוואות ניתן לארוז בתוך מטריצה ולתת למחשב לפתור. כלומר נוכל למצוא באמצעות המחשב את המקום ואת המהירות של הגוף בכל רגע.
[הערת שוליים: זאת לא הדרך היחידה, ואולי אפילו לא היעילה ביותר לפתור את הבעיה באמצעות מחשב, אבל זה פחות מעניין אותי כרגע מכיוון שאני אני חותר למקום אחר.]

בעיית האוסילטור ההרמוני יכולה לייצג תנודה של מטוטלת, תנודה של גוף מחובר לקפיץ, תנועה של נדנדה, מעגלי תהודה בחשמל ועוד.

בואו נתעכב לרגע על הנדנדה. ילדה יושבת על כיסא הנדנדה ובכל פעם שהיא מתקרבת לאבא הוא נותן לה דחיפה קלה. הפעולה הזאת של הדחיפה אינה מתוארת במשוואות שעסקתי בהן פעם קודמת. כל הכוחות שפעלו על הגוף היו כוחות שקשורים למשתנים הבסיסיים של המערכת (מקום ומהירות הגוף). דחיפותיו של האב מהוות מקור כוח חיצוני שמופעל על הגוף ואינו תלוי במערכת עצמה.

עבור בעיות אלה (בעגה: אוסילטור מאולץ) נקבל משוואה אחרת שיש בה איבר מסוג חדש שנקרא לו איבר מקור.

הנה המשוואה המקורית:

Picture1

L הוא המרחק של הגוף מנקודת שיווי משקל, L עם שתי נקודות מעליו מסמל נגזרת שניה בזמן של המרחק מנקודת שיווי משקל.

והנה המשוואה המעודכנת:

Picture2

F הכוח החיצוני המופעל על הגוף.

הפתרון, אם כך, יהיה תלוי גם בתכונות הבעיה המקורית (בעגה: הבעיה ההומוגנית) וגם בתכונות הכוח החיצוני.

אחד הדברים החדשים והמעניינים שמופיעים במערכות כאלה הוא תופעת התהודה. הפתרון של המערכת תלוי בתדירות הכוח המנדנד. אם האב מתאם את הרגעים שבהם הוא דוחף את הילדה לתדירות מאוד מסוימת, הגובה שתגיע אליו הילדה יגדל מאוד אפילו ללא הגברת כוח הדחיפה. כלומר, ישנם תדרי נדנוד שבהם המערכת, במובן מסוים, יוצאת מכלל שליטה. בתדרים נמוכים וגבוהים מתדרי התהודה פעולת הדחיפה משפיעה באופן מתון או אפילו מפריעה לתנועה. לעומת זאת, בתדר התהודה המערכת משתוללת והילדה עפה מהנדנדה, לא עלינו. ניתן לחשב את תדרי התהודה על ידי פתרון מתמטי של המערכת או לגלות אותם על ידי מדידה.

אבל,

ברשימה זאת אני לא רוצה לעסוק בפתרון המערכת הספציפית הזאת אלא דווקא בדרכים מיוחדות לייצג משפחה שלמה של בעיות דומות. מה שמקשר בין הבעיות הוא שהן מתארות מערכת שלתוכה מוזן אות כניסה (למשל הכוח החיצוני שמופעל על הגוף) ונמדד אות יציאה (למשל מיקום הגוף בכל רגע ביחס לנקודת שיווי משקל).

ככה מהנדסי חשמל רואים את העולם.

***

בואו ונניח שניתן לתאר את המערכת על ידי שתי המשוואות הבאות:

Picture3

x הוא וקטור משתני המצב, u המקור, כלומר הכוח החיצוני, x עם נקודה למעלה מסמל נגזרת אחת בזמן של וקטור משתני המצב. y מסמל את אות היציאה של המערכת, למשל באוסילטור את המרחק מנקודת שיווי המשקל בכל רגע. A,B,C,D הם קבועים שאינם תלויים בזמן (בעגה מערכת כזאת נקראת LTI, כלומר linear-time-invariant).

המשוואה העליונה מתארת את הפיזיקה של משתני המצב שבחרנו. למשל במקרה של אוסילטור הרמוני הראיתי בסוף הרשימה הקודמת שמשתני העזר שנבחרו היו המקום והמהירות של הגוף. זה לא מקרי שמשתני המצב הם נגזרות אחד של השני.

המשוואה התחתונה מגדירה את אות היציאה שהחלטנו למדוד.

כעת בואו ונראה כיצד ניתן לתרגם למשל את בעיית האוסילטור לתוך הפורמולציה הזאת.

נרשום שוב את המשוואה כולל איבר המקור:

Picture4

סימנתי את איבר המקור F באות u מטעמי נוחות והרגל.

משתני העזר שלי הם:

Picture5

לכן שתי המשוואות שמייצגות אותן הן:

Picture6

נסגור את שתי המשוואות בכתב מטריצי:

Picture7

נניח שאות היציאה שמעניין אותנו הוא מרחק הגוף מנקודת שיווי משקל בכל רגע. אם כך אנחנו מעוניינים רק באיבר הראשון בווקטור המצב. נתרגם לכתב מטריצי:

Picture8

ולכן המערכת מתוארת על ידי:

Picture9

כעת כל המידע על אופייה של המערכת גלום במקדמים שלה A,B,C,D שהם וקטורים ומטריצות. אני אנסה להסביר מדוע דרך דוגמה.

***

התמרת פורייה היא אופרציה מתמטית שמפרקת פונקציה לרכיבי התדר הבסיסיים שמרכיבים אותה. לדוגמה, צג האקולייזר במערכת הסטריאו שלכם מראה בכל רגע מה העוצמה של כל צליל שצריך לחבר כדי לקבל את המוזיקה שאתם שומעים. אם יש למשל הרבה בס אז עוצמת התדרים הנמוכים תהיה גבוהה. הסברתי בעבר על הנושא ברשימה על מוזיקה מרובעת.

אחת התכונות המוזרות של התמרת פורייה היא שאם מפעילים אותה על משתנה תחת נגזרת מקבלים את המשתנה ללא נגזרת כפול קבוע הקשור לתדר. כלומר ניתן להפעיל את ההתמרה על משוואה דיפרנציאלית, להפוך אותה לאלגברית, לפתור אותה בקלות, ואז לנסות להמיר חזרה לתחום הזמן (שזה לא ממש קל). כל עוד המשתנים תחת ההתמרה אנחנו נקרא להם הייצוג בתחום התדר, כי הפונקציות הופכות הרי לפירוק התדרים ולכן הן פונקציות של התדר ולא של הזמן.

בטיפול במערכות אלה נהוג להשתמש בהתמרה שנקראת 'התמרת לפלאס' במקום בהתמרת פורייה. קצרה היריעה מלעמוד על ההבדלים ביניהן, אבל לענייננו זה לא ישנה דבר.

נפעיל את התמרת לפלאס על הייצוג הכללי של מערכת המצב:

Picture10

נרשום את כל המשתנים באות גדולה כדי לסמן שהם כעת פונקציות של התדר ולא של הזמן. הקבוע s הוא הקבוע שיצא מהנגזרת והוא תלוי בתדר.

קיבלנו שתי משוואות אלגבריות, כאשר אנחנו זוכרים שהמקדמים A,B,C,D הם מטריצות. נבודד את X מתוך המשוואה הראשונה באמצעות אלגברה של מטריצות ונציב אותו במשוואה השניה:

Picture11

I היא מטריצת היחידה.

קיבלנו ביטוי בתחום התדר עבור מוצא המערכת Y בהינתן המקור U. אם נחלק ביניהם נקבל ביטוי שנקרא פונקצית התמסורת (transfer function) של המערכת, כלומר מה יוצא ביחס למה שנכנס, הכל כתלות בתדר הנדנוד.

בואו ונתרגם את התוצאה למקרה של אוסילטור הרמוני פשוט ללא חיכוך על ידי הצבת המקדמים הרלוונטיים שקיבלנו קודם:

Picture12

ניתן לראות שקיבלנו במכנה פולינום עבור המשתנה s. נזכר שזה בדיוק הפולינום האופייני של המערכת ששורשיו מכתיבים את התנהגות המערכת כפי שראינו ברשימה הקודמת. אלה נקראים הקטבים של המערכת והם קובעים את התנהגותה. קיבלנו אותם מתוך המטריצה A (בעגה: מצאנו את הערכים העצמיים שלה). למעשה מרגע שניסחנו את הייצוג, יכולנו לגלות חלק חשוב מהתנהגות המערכת מתוך ניתוח המטריצה עצמה, ללא פתרון מלא שלה. למשל, אם אחד מקטבי המערכת ממשי וחיובי אז הפתרון בזמן יהיה תלוי בפונקציה אקספוננציאלית מתפוצצת ולכן המערכת אינה יציבה בזמן.

ישנן עוד תכונות רבות וחשובות שניתן לראות ישירות מתוך הייצוג, ללא פתרון מלא בזמן. ברגע שיש לנו את המקדמים A,B,C,D המערכת הפיזיקלית חשופה בפנינו. חשופה גם לאפיון אך גם לשליטה. למשל את בעיית היציבות שהזכרתי ניתן לתקן על ידי חיבור משוב במערכת, כלומר חיבור אות היציאה לתוך הכניסה, שישנה את הקטבים של המערכת. כמה הגבר יש לקבוע עבור אות המשוב כדי לייצב את המערכת? קל לקבוע בחישוב מתוך הייצוג.

***

ייצוג בעיות פיזיקליות כמערכת של כניסות ויציאות הוא כלי חזק של תכנון ושליטה בידי המהנדס. הוא נקרא 'ייצוג במרחב המצב' (state space representation) והוא חלק חשוב מתוך תורת הבקרה. כל החישוב האמיתי נעשה על גבי המחשב, לתוכו אנחנו מזינים את המטריצות שמייצגות את המערכת, ומבצעים את האפיון והתכנון של המערכת באמצעות כלים ממוחשבים מתוחכמים שנכתבו למטרות אלה.

זהו.

מטריצה אובר-אנד-אאוט.

מודעות פרסומת

המטריצה מכה בשלישית – אוסילטור הרמוני ופתרון מש' דיפ' מסדר שני

הרשימה הבאה היא מיוחדת.

הרבה אקדחים ששתלתי ברשימות קודמות הולכים לירות כאן. היכונו.

המטרה: הרחבה משמעותית של מספר הבעיות הפיזיקליות שניתן לפתור באמצעות מחשב בעזרתה של ידידתנו הותיקה, המטריצה.

אזהרה: הרשימה מכילה מתמטיקה.


זהירות מתמטיקה איור 1: תמרור אזהרה!

***

סיכום הפרקים הקודמים.

שחקנית מספר אחד: מטריצה.

ברשימה קודמת הצגתי את המטריצה כמבנה סדור של מספרים שניתן להכריחו לקיים חוקי חשבון פשוטים. תכונה זאת גורמת למטריצה להיות כלי שאותו קל לתכנת לתוך המחשב. הדגמתי כיצד ניתן לפתור באמצעות מטריצה מערכת משוואות ליניאריות, ובכך מתאפשר לנו לתכנת בקלות את המחשב לפתור זאת עבורנו.

ברשימה אחרת הראיתי כיצד ניתן לפתור סוג מסוים של מעגלים חשמליים על ידי תרגום הזרמים במעגל למערכת משוואות ליניאריות. המשמעות היא שנוכל לתכנת את המחשב לפתור בקלות מעגלים חשמליים.

שחקן מספר שתיים: אוסילטור הרמוני.

ברשימה קודמת הראיתי שאם נחבר גוף לקפיץ ונסיט אותו מעט מנקודת שיווי המשקל, הוא ינוע סביב נקודת שיווי המשקל בתנועה מחזורית. בקצה המסלול הכוח שמפעיל הקפיץ על הגוף הוא מקסימלי ומהירות הגוף אפס ובנקודת שיווי המשקל המהירות מקסימלית והכוח על הגוף אפס.

גוף וקפיץ איור 2: גוף קשור בקפיץ אלסטי לקיר ונע ללא חיכוך הלוך ושוב סביב נקודת שיווי המשקל.

***

אציג כאן שוב את בעיית האוסילטור, אך הפעם בצורה מתמטית מדויקת יותר.

נתחיל מהחוק שני של ניוטון שאומר שהיחס בין הכוח שמופעל על גוף לבין שינוי מהירותו (תאוצה) שווה למסת הגוף. במילים אחרות:

Picture1

a היא התאוצה, F הכוח ו-m המסה.

התאוצה היא שינוי המהירות בזמן והמהירות היא שינוי המקום בזמן. אם כך, נוכל לכתוב את התאוצה כנגזרת שניה של מקום הגוף לפי הזמן (להסבר מפורט יותר על נגזרות ברשימה קודמת). במילים אחרות:

Picture2

x הוא המקום, שתי הנקודות מעל ה-x מסמלות נגזרת שניה לפי הזמן.

חוק הוק מצביע על כך שהיחס בין הכוח שמופעל על קפיץ בתחום האלסטי לבין התארכותו ממצב רפוי שווה לקבוע המצביע על קשיחותו של הקפיץ. במילים אחרות:

Picture3

x מיקום הגוף הקשור לקפיץ, F כוח ו-k קבוע הקפיץ. המינוס מסמן שזהו כוח מחזיר, תמיד לכיוון נקודת שיווי המשקל.

כעת נאחד את שתי המשוואות לכדי אחת ונקבל:

Picture4

זאת היא משוואה דיפרנציאלית מסדר שני (ע"ש נגזרת שניה). הנעלם במשוואה הוא לא מספר אלא פונקציה שהיא המקום של הגוף בכל רגע, x כפונקציה של t. אנחנו מחפשים פונקציה שאם נגזור אותה פעמיים לפי הזמן ונוסיף לה את עצמה כפול קבוע נקבל אפס ללא תלות בזמן. הפונקציה היחידה שתקיים קשר שכזה היא פונקצית האקספוננט מכיוון שהנגזרת שלה גם היא אקספוננט זהה למקור.

אם כך, ננחש שהפתרון הוא מהצורה:

Picture5

X מקום, t זמן, r קבוע כלשהו.

מכאן ש:

Picture6

נציב את הפתרון במשוואה ונקבל את הפולינום האופייני של המשוואה. נקבל שני פתרונות עבור r שמיצגים שני פתרונות אפשריים למשוואה.

Picture7

ה-i בסוף הפתרון הוא סימן לשורש של 1-. ניתן להוכיח שהפתרון של המשוואה הוא צירוף ליניארי של שני הפתרונות האפשריים. כלומר:

Picture8

A ו-B הם קבועים שתלויים בתנאי ההתחלה של הבעיה.

את הפתרון ניתן להציג בצורה המוכרת יותר (המרה לפי זהות אוילר):

Picture9

A ו-φ הם קבועים התלויים בתנאי ההתחלה של הבעיה. ω היא תדירות התנודה של האוסילטור.

Simple_harmonic_motion_animation אנימציה 3: פתרון האוסילטור ההרמוני הפשוט. הגוף מתרחק ומתקרב לנקודת שיווי המשקל לפי פונקצית סינוס מחזורית. המקור לאנימציה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Evil_saltine.

***

מה יקרה לתנועת האוסילטור אם נרצה להתחשב בחיכוך של הגוף עם המדיום בו הוא נמצא, למשל אוויר או מים? ככל שגוף נע מהר יותר באוויר או במים כך המדיום מתנגד לתנועה חזק יותר. נוכל לבטא קשר זה על ידי הוספת כוח נוסף לכוח הקפיץ שמתכונתי למהירות. נזכר גם שמהירות היא שינוי במקום ולכן נגזרת ראשונה של המקום.

כוח החיכוך נתון על ידי:

Picture91

F כוח החיכוך, v כוח, C קבוע פרופורציה.

אם כך המשוואה היא:

Picture92

(החלפתי זמנית סימנים כדי לחסוך בפיקסלים, כמו כן עידכנתי טעויות מינוריות בסימון 31.10.15)

כיצד יראה הפתרון?

נוכל לחשוב על שני מקרים. בראשון כוח החיכוך חלש (נקרא בעגה 'ריסון חלש') כך שנצפה לראות תנודות דועכות של האוסילטור בתדירות מעט שונה מהתנודות המקוריות, עד לעצירתו (ראו איור, קו ירוק). במקרה השני כוח החיכוך כל כך חזק עד שלא נראה אפילו תנודה אחת עד לעצירת הגוף (נקרא בעגה 'ריסון חזק', באיור קו תכלת).

Oscilator solution with damping איור 4: גרף המציג את הפתרון של משוואת האוסילטור ההרמוני, כלומר המיקום כפונקציה של הזמן. הקו הכחול הוא הפתרון ללא חיכוך. הקו הירוק הוא ריסון חלש והקו התכלת הוא ריסון חזק. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש Nuno Nogueira.

נשתמש שוב בשיטת השורשים למציאת הפתרון במקרה של ריסון חלש. אציג כאן את הפתרון המתמטי ללא הסברים, אך שימו לב שאין אנו זקוקים לו בהמשך. ניתן לדלג ישירות לחלק הבא.

Picture93

למשל עבור ריסון חלש:

Picture94

ω תדירות התנודה של המערכת, A ו-φ קבועים תלויים בתנאי ההתחלה. הסינוס בביטוי דואג לתנודה והאקספוננט דואג לדעיכה בזמן של הפתרון עד לעצירה בנקודת שיווי המשקל.

***

ועכשיו לסיבה שלשמה נתכנסנו.

נזכר שהמטרה היא ללמוד כיצד לפתור בעיות מתמטיות, למשל כמו אוסילטור, באמצעות המחשב. במקום פתרון אנליטי מלא על הנייר נרצה לתת למחשב לחשב נומרית במקומנו היכן נמצא הגוף בכל רגע. ישנן לא מעט תוכנות שמסוגלות לפתור משוואות דיפרנציאליות בצורה כזאת, אך רובן לא מתאימות לפתרון משוואות מסדר שני.

נשתמש בטריק כדי 'לעבוד' על המחשב ולמכור לו משוואה מסדר שני כמשוואה מסדר ראשון. נעזר בידידתנו המטריצה.

ראשית נגדיר משתני עזר:

Picture14

מכאן ששתי המשוואות הבאות מתקיימות עבור הנגזרות בזמן של משתני העזר:

Picture15

המשוואה הראשונה פשוט מציינת את יחס הנגזרת בין שני משתני העזר כפי שהגדרנו אותם. המשוואה השניה היא תרגום של משוואת האוסילטור המרוסן במונחי משתני העזר.

כעת נוכל לרשום את שתי המשוואות יחדיו בצורת מטריצה:

Picture16

ובעצם מה שקיבלנו הוא משוואה דיפרנציאלית פשוטה מסדר ראשון עבור המשתנה Z. תוכנה (כמו למשל matlab או scilab) שיודעת להתמודד עם מטריצות ועם משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון תפתור את המשוואה ללא אגל בודד של זיעה על מצחה. בינתיים אנחנו ננוח רגל על רגל.

הפתרון של משתנה Z1 הוא מיקום הגוף בכל רגע והפתרון של Z2 הוא המהירות בכל רגע.

***

ראינו כיצד ניתן לפתור באמצעות המחשב את בעיית האוסילטור, כולל המקרה המרוסן, כאשר אנחנו עוברים להצגת הבעיה באמצעות מטריצות.

משוואת האוסלטור מתארת שורה ארוכה של בעיות מעניינות כמו מטוטלת, קפיץ ונדנדה, אך גם מעגלים חשמליים הנקראים מעגלי תהודה ומכילים קבלים נגדים וסלילים (הצגתי את הנושא ברשימה קודמת). כלומר, נוכל להשתמש בפורמולציה הזאת לפתרון של כל משוואה דיפרנציאלית מהסוג הזה, ולא רק אוסילטור.

די שימושי, לא? אבל זה רק קצה הקרחון. הפינאלה ברשימה הבאה.

דִיפְרֵנְט דִיפְרֵנְט בָּאט סֵיְים – על אוסילטור הרמוני ומערכות אקוויוולנטיות

הבה נביט יחדיו במטוטלת בשעונו העתיק של סבא שנדה לה ימינה ושמאלה ללא הרף. האם אפשר למצוא עניין בפעולה כל כך מונוטונית? לדעתי כן, ואני אנסה להסביר כיצד.

מה הקשר בין אותה מטוטלת לקפיץ, ואיך שני אלה קשורים למעגל חשמלי?

[אזהרה: הרשימה מכילה הפעם מעט מתמטיקה ברמה תיכונית]

***

גוף וקפיץ

איור 1: גוף מחובר לקיר באמצעות קפיץ ונע על מסילה ללא חיכוך.

נניח שגוף שמחובר לקיר על ידי קפיץ יכול לנוע על מסילה ללא חיכוך (ראו איור 1). הסטה קלה של הגוף תגרום למתיחה קלה של הקפיץ ולאגירה של מה שמכונה 'אנרגיה פוטנציאלית' בתוכו. כאשר נשחרר את אחיזתנו הקפיץ יפעיל כוח על הגוף וימשוך אותו אליו, והגוף יחל להאיץ לכיוון הקיר. ככל שהגוף יתקרב לנקודה שבה הקפיץ רפוי כך יקטן הכוח שפועל עליו ותגדל המהירות. באותה נקודה כל האנרגיה שהיתה בקפיץ תהיה אגורה בגוף כ-'אנרגיה קינטית' שקשורה למהירותו. כאשר הגוף עובר את הנקודה הוא גורם לכיווץ הקפיץ שבתורו שוב מפעיל כוח על הגוף אבל בכיוון ההפוך ולכן הגוף מתחיל להאט. כלומר האנרגיה שוב מתחילה לעבור ממצב קינטי למצב פוטנציאלי, מהגוף לקפיץ. ללא חיכוך ואיבוד אנרגיה לחום התנודה הזאת של הגוף ימינה ושמאלה תמשיך לעד.

'פתרון פיזיקלי' של הבעיה מורכב מפונקציה מתמטית שתבטא את המיקום של הגוף בכל רגע נתון ונסמן אותו ב-(x(t, כך ש-t הוא הזמן ו-x הוא המיקום. את הכוח בבעיה שתיארתי ניתן לבטא על ידי הקשר F=-kx, כך ש-F הוא הכוח ו-k הוא קבוע המבטא את קשיחותו של הקפיץ, כלומר כמה כוח צריך להפעיל כדי למתוח אותו במטר אחד. סימן המינוס מבטא את העובדה שהקפיץ תמיד 'שואף' להחזיר את הגוף לנקודת שיווי-המשקל (x=0) ולכן מכונה 'כוח מחזיר'.

מהחוק השני של ניוטון אנחנו יודעים שהקשר בין כוח לתנועה נתון על ידי F=ma כך ש-a היא התאוצה. תאוצה היא קצב השינוי של המהירות בזמן ומהירות היא קצב השינוי של המיקום בזמן. הדרך המתמטית לבטא קצב שינוי הוא על ידי פעולת הנגזרת ולכן ניתן להמיר את החוק השני ל- "F=mx כך ש-m זה המסה וכל גרש מסמנת נגזרת בזמן. אם נשווה בין שני הביטויים שקיבלנו עבור הכוח נקבל: mx"+kx=0. זאת משוואה דיפרנציאלית, כלומר הנעלמת במשוואה היא הפונקציה (x(t עצמה.

מכיוון שאנחנו מתארים תנועה מחזורית, לא מפתיע שהפונקציות שמקיימות את המשוואה הן סינוס וקוסינוס (אם נגזור אותן פעמיים נקבל אותן חזרה עם סימן מינוס). עקב הימצאות הקבועים k ו-m במשוואה הפתרון הוא: (x(t)=Asin(wt+φ כך ש- w2=k/m, ו-w היא תדירות התנודה, φ מופע (פאזה) בזמן אפס ו-A היא משרעת התנודה (ראו איור 2).

[מי שמעוניין להעמיק במשוואה מוזמן לקרא בבלוג 'לא מדויק' כאן ואז כאן]

Oscilator solution with damping

איור 2: גרף המציג את הפתרון של משוואת האוסילטור ההרמוני, כלומר המיקום כפונקציה של הזמן. הקו הכחול הוא הפתרון שהוצג ברשימה לבעיה שאינה כוללת חיכוך. ניתן לראות בשאר הצבעים כיצד החיכוך גורם להפסקת התנודות ולעצירה. שימו לב שהגדלים של הגרף נבחרו בצורה מחוכמת כך שהוא חסר יחידות, גנרי ומתאים לכל A ולכל w. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש Nuno Nogueira – Nmnogueira.

המשוואה הדיפרנציאלית שהוצגה חשובה לא רק מכיוון שהיא מתארת את בעיית הקפיץ, אלא כי היא מתארת משפחה שלמה של תופעות שנקראת אוסילטור הרמוני. בכל פעם שניסוח מתמטי של בעיה פיזיקלית יוביל למשוואה הזאת, נדע מיד שמדובר באוסילטור הרמוני שאת פתרונו אנחנו כבר מכירים. הדוגמאות המוכרות ביותר לאוסילטור הרמוני מלבד זאת שהוצגה הן גוף התלוי על קפיץ, מטוטלת (מתמטית), תנועה של כדור בתחתית קערה וגוף שצף ושוקע על גבי נוזל. בכל הדוגמאות האלה קיים כוח מחזיר השקול לקפיץ ועבור תנודות קטנות סביב נקודת שיווי-המשקל המודל של אוסילטור הרמוני מתאים. כעת בואו ונבחן מקרה מעט יותר אקזוטי.

התבוננו במעגל החשמלי באיור 3 בו מחוברים שני רכיבים בסיסיים באלקטרוניקה: קבל וסליל. אסביר עליהם בקיצור נמרץ.

ברשימה הקודמת בה הצגתי את 'המעגל הגוזר' הסברתי על הרכיב שנקרא קבל. רכיב זה אוגר בתוכו אנרגיה בשדה חשמלי והמטען החשמלי עליו תמיד נתון על ידי Q=CV, כך ש-Q זה המטען, V המתח ו-C הקיבול. מכיוון שזרם הוא שינוי מטען חשמלי בזמן אז הזרם על הקבל הוא הנגזרת של המטען ונתון על ידי 'I=CV, כך ש- C הוא הקיבול, V המתח, I הזרם והגרש מסמלת נגזרת בזמן.

הסליל (או משרן) הוא תיל מוליך מלופף בצורת גליל. כאשר מעבירים בו זרם נוצר בגליל שדה מגנטי. שינוי בזרם דרך הסליל גורר שינוי בשדה המגנטי אשר מייצר מתח שמתנגד לשינוי (חוק לנץ). המתח על הסליל נתון על ידי 'V=LI, כך ש-L היא 'ההשראות' שהיא היחס בין שטף השדה המגנטי לזרם.

LC circuit

איור 3: תרשים של מעגל LC פשוט. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש First Harmonic.

נניח שלפני חיבור המעגל היה אגור על לוחות הקבל מטען Q. המתח על שני הרכיבים שווה אך הפוך בסימן (כי הם מחוברים אחד לשני) ולכן לפי תכונות הקבל והסליל נוכל לרשום: 'Q/C=-LI. אם נגזור את השוויון ונחליף אגפים נקבל 0="Q'/C+LI, או בעצם I"+I/LC=0. אני מקווה שאתם כבר מזהים את המשוואה – אוסילטור הרמוני! מה שקורה הוא שהמטען על הקבל זורם דרך הסליל ומייצר שדה מגנטי שמתנגד לשינוי הזרם וטוען חזרה את הקבל בכיוון הפוך, ואז אותו דבר רק להפך עד-אינפיניטום. האנרגיה האגורה בשדה החשמלי בקבל עוברת להיות אגורה בשדה המגנטי בסליל וחוזר חלילה. תדירות השינוי נתונה על ידי: w2=1/LC.

המעגל שתיארתי מכונה מעגל LC ויש לו שימושים רבים באלקטרוניקה כאשר הידוע שבהם הוא לקליטה של שידורי רדיו (ראו רשימה בנושא רדיו). כאשר אנחנו מסובבים את החוגה אנחנו בעצם מכוונים את ה-L או ה-C במעגל LC לקבלת תדירות תנודה w כך שתהיה זהה לתדירות השידור אותה אנחנו מעוניינים לקלוט.

***

הדוגמה שהצגתי לאקוויוולנטיות בין מערכות מכאניות לחשמליות, כלומר לאלמנטים פיזיקליים שונים שמתוארים במשוואות המתמטיות באופן זהה,  אינה ייחודית. קפיץ משתקף במשוואות מכאניות בדיוק כמו שקבל משתקף במשוואות חשמליות. הסליל שקול למסה, המתח לכוח, הזרם למהירות ומטען למיקום. מה ההיגיון שעומד מאחורי כל זה?