תנו לי מספיק גלגלות ואזיז את העולם ממקומו

התוכנית "מהצד השני" עם גיא זוהר, שמשודרת בערוץ כאן11, עוסקת בד"כ בביקורת ובבדיקת עובדות של דברים שנאמרים או נכתבים בתקשורת. בתאריך 12.01.22 שודר אייטם קצר והיתולי למחצה שעסק במשהו שנאמר במהלך פרק של התוכנית "הישרדות". באחת המשימות בתכנית נדרשו שלושה משתתפים להחזיק את עצמם מליפול למים באמצעות משיכה בחבל שעובר דרך מערכת גלגלות. המנחה הכריז מספר פעמים בדרמטיות על הקושי הרב במשימה שנובע מכך שעל המתחרים להחזיק את משקל גופם באמצעות החבל. גיא זוהר העיר ותיקן שמכיוון שיש שימוש במערכת גלגלות המתחרים אינם מחזיקים את משקל גופם המלא, אלא פחות מכך. הנה קישור לקטע הקצר (אורכו 02:30 דקות):

גיא זוהר מסתמך על דעת חכמים, והוא כמובן צודק. אבל למה? איך גלגלת יכולה להפחית משקל שיש להרים?

ברשימה זאת אנסה להסביר, דרך דוגמה תיאורטית פשוטה יחסית, כיצד שימוש בגלגלת יכול להקל על הרמת משקלים וגם מדוע לא ניתן להאיר את כל רמת-גן באמצעות טריק זה.

***

רוב ההסבר שלי נשען על החוק הראשון של ניוטון ולכן ראשית אסביר מהו ואנסה לשכנע שהוא נכון.

מהו החוק הראשון של ניוטון?

קחו בבקשה כוס שקופה וגולת משחק. הניחו את הגולה על משטח חלק וישר (למשל שולחן) והניחו את הכוס הפוכה מעל הגולה. כעת הניעו את הכוס כך שהגולה תחל לנוע במעגלים לאורך הדופן של הכוס. מה יקרה אם נרים את הכוס בפתאומיות? אם אתם לא בטוחים, ממליץ לנסות לפני שקוראים הלאה.

האינטואיציה של חלק גדול מאיתנו אומרת שלאחר הרמת הכוס הגולה תמשיך לנוע במעגלים, אבל מה שיקרה הוא שהגולה תנוע בקו ישר בכיוון התנועה שבה היתה רגע לפני הרמת הכוס.

החוק הראשון של ניוטון אומר שגוף לא ישנה את תנועתו כל עוד סך הכוחות עליו הוא אפס. הכוונה ב-"ישנה את תנועתו" היא ישנה את גודל מהירותו או את כיוון מהירותו. הסיבה שהגולה משנה את כיוון תנועתה בכל רגע היא שדופן הכוס מפעילה עליה כוח בכל רגע. ברגע הרמת הכוס הכוח נעלם והגולה מתמידה בתנועה שבה היא נמצאת באותו הרגע – תנועה בקו ישר לכיוון כלשהו, ללא שינוי בגודל המהירות או בכיוונה.

מה הכוונה ב-"סך הכוחות עליו הוא אפס"?

נניח שפועלים על גוף שני כוחות שווים בגודלם, אחד ימינה ואחד שמאלה. התוצאה במשמעות של שינוי תנועת הגוף (בניגוד למשמעות של שינוי צורה) תהיה זהה למקרה שבו לא מופעל עליו כוח כלל. לכן נהוג להגיד שסכום הכוחות במקרה זה הוא אפס, כי הכוח השקול למקרה זה הוא לא להפעיל כוח כלל.

כיצד נשתמש בחוק הראשון כדי להסיק גדלים של כוחות במערכת מכנית?

בואו ונחשוב על מקרה שבו אנחנו דוחפים מקרר והוא לא זז. מדוע המקרר לא משנה את מהירותו למרות שאנחנו מפעילים עליו כוח? כי יש עוד כוח בכיוון הפוך – כוח החיכוך. ומה גודלו של כוח חיכוך זה? נחזור לחוק הראשון של ניוטון שגורס שאם סך הכוחות על גוף הוא אפס הוא לא ישנה את תנועתו. אם כך ניתן להסיק מהחוק שכוח החיכוך פועל בכיוון מנוגד לכיוון הכוח שאנחנו מפעילים וגודלו שווה לגודל הכוח שאנחנו מפעילים כך שסכום הכוחות על המקרר הוא אפס.

במקרה אחר נתלה מקרר על חבל המשתלשל מהתקרה. מהו הכוח שצריך לפעיל החבל על המקרר כדי שלא ייפול? על המקרר פועלים שני כוחות מנוגדים, כוח הכבידה כלפי מטה וכוח החבל כלפי מעלה. אם כך, כדי שהמקרר לא ישנה את תנועתו ולא ייפול החבל צריך להפעיל כוח ששווה בגודלו לכוח הכבידה כך שסכום הכוחות יהיה שווה אפס, לפי החוק הראשון של ניוטון. מכאן גם נובע שאם אנחנו רוצים להחזיק ביד את החבל כך שהמקרר תלוי באוויר נצטרך להפעיל כוח בגודל ששווה לגודלו של כוח הכבידה שפועל על המקרר, כלומר כוח ששווה למשקל שלו.

[הערת שוליים – אני מניח בכל הדוגמאות שלי שמתיחות החבל זהה בכל נקודה לאורך החבל. ההנחה לא תמיד נכונה ולכן הערכים שאני אחשב אינם מדויקים]

האם הכוח שנצטרך להפעיל כדי להחזיק מקרר תלוי באוויר ישתנה אם נחזיק את החבל שמחזיק את המקרר דרך גלגלת?

נתבונן בכוחות שפועלים על המקרר במקרה זה. כוח כבידה למטה וכוח חבל/יד למעלה. מכיוון שאני מניח שמתיחות החבל אינה משתנה לאורכו (ראו הערת שוליים קודמת) התשובה אינה משתנה. כדי להחזיק את המקרר תלוי באוויר דרך גלגלת עלי להפעיל כוח ששווה לערכו של כוח הכבידה שפועל על המקרר, כלומר משקל המקרר.

נבחן מקרה שבו המקרר תלוי מהגלגלת, אך מוחזק בשתי נקודות על ידי החבל.

נתבונן בכוחות שפועלים על המקרר במקרה זה. כוח כבידה כלפי מטה כמו בכל הדוגמאות הקודמות. אבל הפעם החבל מפעיל על המקרר כוח בשתי נקודות שונות, כלומר מפעיל עליו פעמיים את הכוח שבו הוא מתוח. אם כך, בדוגמה המוזרה הזאת, בשונה מהדוגמאות הקודמות, החבל מתוח פחות (חצי מכוח הכבידה אם נניח שמתיחות החבל שווה בכל נקודה). זאת מכיוון שפועל על המקרר כוח כבידה כלפי מטה ופעמיים כוח החבל כלפי מעלה. החוק הראשון טוען שסך הכוחות חייבים להיות מאוזנים ולכן כוח החבל או מתיחותו במקרה זה קטנה יותר ממשקל המקרר. שימו לב שהמתיחות בחבל שמחזיק את הגלגלת לתקרה הוא עדיין שווה בגודלו למלוא המשקל.

כעת כל החלקים של הפאזל כבר הוצגו. נותר רק למצוא קונפיגורציה שבה נוכל לנצל את הטריק של הפחתת המתיחות בחבל וגם להחזיק את המקרר בכוח היד דרך החבל. לשם כך אנחנו זקוקים לעוד גלגלת ולכוח המצאה. למזלי מישהו כבר חשב על זה מזמן.

נבחן את המקרה הבא שכולל שתי גלגלות:

במקרה זה, במקום שהמקרר יהיה תלוי על שני קצוות של אותו החבל, המקרר תלוי על גלגלת שהיא זאת שתלויה משני נקודות של חבל. הפעם כדי להבין את המערכת נצטרך לבחון את הכוחות על הגלגלת שממנה תלוי המקרר. כוח הכבידה מהמקרר פועל עליה כלפי מטה ובדומה למקרה הקודם החבל מפעיל עליה פעמיים כוח כלפי מעלה. מכיוון שנתון שהגלגלת לא משנה את תנועתה, מתיחות החבל תהיה קטנה ממשקל המקרר כמו במקרה הקודם. אם כך, כדי להחזיק את המקרר תלוי ללא תנועה יש לפעיל על ידי היד פחות ממשקלו. קסם!

חידה1: חשבו על דרך להפחית אף יותר את הכוח שנצטרך להפעיל על ידי הוספת עוד גלגלת.

למעשה ניתן להוסיף עוד ועוד גלגלות ולהפחית עוד ועוד את כמות הכוח שיש להפעיל כדי להחזיק את המקרר תלוי (אם כי, יש להתחשב גם בכוחות חיכוך שמתווספים שלא לקחנו בחשבון).

נקודה לסיום:

אם כל מה שהצגתי נכון, אפילו בקירוב, מדוע אנחנו לא עושים זאת כל הזמן? מדוע אנחנו לא מושכים מקררים דרך כמות גדולה של גלגלות?

קודם כל, אנחנו אכן עושים זאת, כפי שניתן לראות למשל במשימת ההישרדות בסרטון.

אבל שימו לב שבדוגמה האחרונה כדי להעלות את המקרר בחצי מטר יש למשוך את החבל במטר שלם. החלק של החבל מימין לגלגלת צריך להתקצר בחצי מטר, וגם החלק משמאל ולכן ביחד מטר אחד. כלומר שבהתקן הזה אנחנו חוסכים בכמות הכוח שיש להפעיל אבל מפסידים בכמות המרחק שלאורכו יש להפעיל את הכוח הזה.

כוח כפול המרחק שלאורכו הוא מופעל זה בדיוק ההגדרה הפיזיקלית של מונח העבודה. מכך ניתן לראות שלא ניתן לחסוך בכמות העבודה שיש לבצע כדי להרים מקרר לגובה, ולהגדיל את האנרגיה הפוטנציאלית הכובדית שלו, באמצעות הוספת עוד ועוד גלגלות. לכן לא נוכל להאיר את כל רמת-גן באמצעות רכישת כמות גדולה של גלגלות ומקררים. חבל.

נ.ב – חידה2: אדם יושב על מקרר ומחזיק אותו תלוי באמצעות חבל שעובר דרך גלגלת וקשור למקרר כפי שניתן לראות באיור. א) מה התנאי שהמקרר לא ייפול? ב) במידה והמקרר באמת לא נופל, כמה כוח צריך להפעיל האדם שיושב על המקרר?