בזכות ובגנות האבסטרקציה (הפשטה) וקצת על הספר "חשבון להורים"

אתחיל הפעם בשאלה: האם 2×3 ו-3×2 הם אותו הדבר?

כל ילד בבית הספר היסודי יודע שכן, שהרי תוצאת הכפל של שני התרגילים היא 6.

האם אפשר להוכיח זאת?

הנה דרך אחת:

הוכחת ויזואלית לחוק החילוף בכפל בדוגמה פרטית

אבל התשובה הזאת היא מעט מטעה.

ננסה להמחיש את שני התרגילים בסיפור קצר.

1. בדירה של משפחת כהן יש שלושה חדרי ילדים. בכל חדר ישנים שני ילדים. כמה ילדים יש במשפחת כהן?

2. בדירה של משפחת לוי יש שני חדרי ילדים. בכל חדר ישנים שלושה ילדים. כמה ילדים יש במשפחת לוי?

התשובה לשתי השאלות היא 6 ילדים אבל שימו לב שמשפחת כהן ככל הנראה במצב כלכלי טוב יותר ממשפחת לוי מכיוון שיש לה יותר חדרי ילדים בדירה ולכל ילד יש יותר מרחב פרטי משלו. כלומר התרגילים בחשבון זהים אבל הסיפורים לא.

כל מי שלמד מתמטיקה כבר חי את ההפשטה שמייצגת את שני הסיפורים. מה שאנחנו עושים במתמטיקה, פיזיקה והנדסה הוא לתרגם סיטואציות אמיתיות לתרגילים מופשטים של מספרים ואלגברה. שישה תפוחים ושש סוכריות הם ודאי אינם אותו הדבר אך שניהם מיוצגים על ידי המספר המונה 6 כי כרגע, למשל, אנחנו עוסקים רק במניית כמות האברים. חוקי החילוף, הקיבוץ והפילוג נראים לנו כמו משהו ברור מאליו. כזה שאינו זקוק להסבר, הוכחה או המחשה. זאת אחת הסיבות שללמד ילדים צעירים חשבון הוא אתגר לא פשוט. קודם כל אנחנו צריכים להבין היטב את הבסיס הרעיוני בעצמנו, אחר כך להבין מה לא יהיה מובן לילדים ורק אז לנסות לתווך את זה עבורם בצורה מדורגת. אם הייתי מנסה לעשות זאת ללא הכנה מוקדמת הייתי נכשל (כנראה גם עם הכנה). הוראה היא מקצוע וצריך להשקיע בו כדי לעשות אותו טוב.

ההפשטה המתמטית היא כלי חזק מאוד למדעים מדויקים. אבל לפעמים אנחנו עלולים להיאבד בשבילי האלגברה המופשטים.

במהלך לימודי באוניברסיטה לקחתי שני קורסים שכותרתם היתה "מבוא ללייזרים". בקורס אחד למדתי כמות עצומה של נוסחאות מתמטיות ואיך משתמשים בהן כדי לפתור תרגילים שונים ומשונים. הצלחתי לא רע. מה שלא הבנתי זה איך כל הנוסחאות האלה קשורות לציין הלייזר שבו השתמש המרצה. בקורס השני (פקולטה אחרת, שנה אחרת) למדנו מהו לייזר, מה ההיסטוריה שלו, מהו הרעיון הכללי שעומד מאחוריו, מהם הסוגים השונים ומהם השימושים האפשריים. הרוב במילים, כמעט ללא מתמטיקה. היתרון: סוף סוף הבנתי על מה בעצם מדובר ואיך כל זה קשור לציין הלייזר שבו השתמש המרצה. החיסרון: סטודנט שלקח רק את הקורס הזה יתקשה לשכנע בראיון עבודה שיש לו את הכלים והידע המקצועי הדרוש בתחום.

מנקודת הראות שלי היום – המרצה הראשון חי את ההפשטה באופן מלא ואיבד את הקשר למציאות והמרצה השני היה כל כך שקוע בסיפור שלא שם לב לקו הדק שבין מדע למדע פופולרי.

***

חשבתי על כל הדברים האלה בזמן שקראתי את הספר "חשבון להורים" של רון אהרוני. לפי הכריכה המחבר הוא פרופסור למתמטיקה בטכניון שהתנסה בלימוד חשבון בבתי ספר יסודיים.

עטיפת עותק הספר שלי

באחד הפרקים מדריך המחבר את קוראיו כיצד למסור את ההפשטה לילדים בבית הספר היסודי. הנה מספר עקרונות שדליתי מתוך הפרק:

– להתחיל מדברים מוחשיים ומוכרים, מסיפורים.

– להשתמש בדוגמאות מגוונות ולא להתקבע על משהו אחד.

– לגרום לרעיונות לבוא גם מהתלמיד.

– לשאול גם שאלות קלות ולא לפחד להגיד גם את המובן מאליו.

– לשים לב שבאופן טבעי קל לנו יותר לדבר (להרצות) מאשר להקשיב לכן חשוב לשלב דיונים ככל האפשר.

– חשוב לתת שמות ברורים ומובחנים לכל דבר. תלמידים מתחברים לזה.

– יש לתת הוראות ברורות למשימות.

כאשר קראתי את הספר לא יכולתי שלא לשים לב שכל העקרונות האלה רלוונטיים גם בהוראה בתיכון של עקרונות מורכבים יותר וסביר להניח שגם באוניברסיטה.

נהניתי לקרוא גם את המשך הספר שמסביר בקצרה עקרונות בסיסיים בלימוד פעולות החשבון בבית הספר היסודי. היה מעניין להתעמק במשמעות האמיתית של כל דבר ולא לדלג הלאה כמו שאנחנו עושים בד"כ כי אנחנו כבר יודעים לחשב את התוצאה.

דבר דומה קרה לי כשלמדתי ללמד פיזיקה תיכונית. מצאתי את עצמי מתעמק בעקרונות פשוטים ביחס לאלה של האוניברסיטה והמחקר, אבל הפעם להבין אותם לעומק. הדבר הוביל אותי להבנה טובה הרבה יותר של הרעיונות שהשתמשתי בהם במשך שנים וגם לתובנות חדשות ומפתיעות על דברים שלכאורה ידעתי או הייתי אמור לדעת.

במהלך הקריאה גם עשיתי לעצמי מנהג לחשב בראש את התרגילים שהמחבר דן בהם ואז לקרוא כיצד הוא מנחה ללמד אותם וכיצד הוא חוזה שרוב האנשים באמת יחשבו אותם. הייתי יותר צפוי ממה שרציתי להאמין.

לסיכום, קריאה מהנה ומעניינת, לדעתי, לכל מי שמתעניין בחינוך מדעי (לכל הגילאים). אני מודע לכך שיש יותר עומק מאחורי הסיבה שבגינה נכתב הספר במקור, אבל זה פחות מעניין אותי באופן אישי.