לא אופטיקאי מדופלם – על הקשר בין צמצם לעומק שדה

הפעם אפתח בווידוי: מעולם לא קניתי מצלמה.

המצלמה הראשונה שהייתה ברשותי היית חלק מטלפון (לא חכם במיוחד) ולא השתמשתי בה רבות. כיום המצב שונה, כמובן, בגלל הטלפונים החכמים.
מטרת הווידוי היא להסביר, ולא במעט, את העובדה הבאה: עד לפני כחודש לא ידעתי שסגירת הצמצם במצלמה מגדילה את עומק השדה של התמונה. מה רבה הייתה הפתעתי לשמוע זאת, מה גם שאם היו שואלים אותי, וודאי הייתי מנחש הפוך, אם בכלל.

אם כן, המשימה הפעם ברורה: אנסה להסביר מדוע שינוי במפתח הצמצם משפיע על עומק השדה של תמונה, מבלי להשתמש במשוואה מתמטית אחת. אצטרך להסביר מהי אופטיקה גיאומטרית ואופטיקת קרניים, להבין מהי דמות, מהי פעולת עדשה ומהי פעולת צמצם ואולי, ולבסוף כיצד הוא משפיע על עומק השדה.

תידרש סבלנות. נתחיל.

אופטיקה גיאומטרית\קרניים

אתחיל מהנחת היסוד: מסתבר שאור, שהוא תופעה מורכבת מאוד, נע, במקרים רבים, לאורך קווים ישרים. קל מאוד להראות זאת על ידי משחק באור וצל. קחו מקור אור וכוונו אותו על מסך. בין המקור למסך הניחו לוח שחוסם חלק מהאור (ראו איור 1). אם נניח שהאור נע בקווים ישרים נוכל לחשב את גודל הצל על ידי חישוב גיאומטרי פשוט (דמיון משולשים, מכאן "אופטיקה גיאומטרית"). אך גם ללא חישוב מדויק, כל מי שיבצע את הניסוי הזה ישתכנע בעובדה זאת.

איור 1: אופטיקה גיאומטרית. ניתן לחשב את רוחב הצל לפי דמיון משולשים.

אם אור אכן נע בקווים ישרים ברוב המקרים שמעניינים אותנו, נוכל לתאר כל אלומה של אור על ידי אסופה של קווים ישרים. כמה קווים? כמה שנוח לנו. האם אלומת אור באמת מורכבת מקווים ישרים בדידים? לא, אבל אם האור נע לאורך קווים ישרים תהיה זאת דרך יעילה ופשוטה מאוד לתאר תופעות מורכבות מאוד. אם כן, מעכשיו נתאר אלומות של אור על ידי חצים ישרים, או בעגה: "קרניים" (מכאן "אופטיקת קרניים").

הקיר מקולקל

עימדו נא אל מול קיר. מדוע דמותנו אינה משתקפת עליו?

האם אין הקיר מחזיר אור? ודאי שמחזיר, אחרת לא היינו רואים אותו.

האם לא ניתן להקרין עליו תמונות? ודאי שניתן, אם יש ברשותנו מקרן.

אם כן, מה הבעיה בקיר? למה הוא לא עובד כראוי?

כדי לשכנע שהקיר אינו מקולקל, קחו זכוכית מגדלת בחדר סגור (עדיף חשוך אבל לא חובה) עם חלון פתוח. החזיקו את זכוכית המגדלת בין החלון לקיר, קרוב לקיר (מספר סנטימטרים, תלוי בתכונות העדשה). מצאו את המרחק המתאים (מרחק המוקד) ואני מבטיח לכם שתראו תמונה קטנה והפוכה של הנוף הנשקף מהחלון.

אם כן, הקיר אינו 'מקולקל', ובכל זאת, דמותנו אינה משתקפת בו. מדוע?

כדי להסביר זאת ראשית יש להסביר מדוע אנחנו רואים עצם כלשהו שנמצא מולנו (למשל קיר).

אור ממקורות שונים פוגע בכל נקודה בעצם. כל נקודה שבה פוגע אור מפיצה אותו לכל כיוון אפשרי ובכך הופכת למקור אור משני (בדומה לשמש ולירח, השמש מקור אור אמיתי, כלומר, הפולט אור, והירח מקור אור משני, כלומר, מחזיר את אור השמש).

חלק מקרני האור המפוזרות מנקודה על העצם מגיעות אל העין שלנו. העין שלנו היא מכשיר מתוחכם שיודע לאסוף את כל הקרניים שהתפזרו מאותה נקודה והגיעו אליה ולרכז אותן חזרה לנקודה אחת על הרשתית, שהיא לוח חיישני אור מורכב בירכתיי העין (ראו איור 2). כלומר, העין והמוח יודעים לפענח מה הכיוון ממנו הגיע האור מהנקודה (לאו דווקא המרחק, ומכאן נובעות בעיות פרספקטיבה ואשליות אופטיות מסוימות).

איור 2: קרניים מפוזרות מנקודה על הדובי מתרכזות בנקודה אחת על רשתית העין.

כעת חישבו על אותה נקודה על העצם שמפיצה אור אל הקיר. אם נחשוב על הקיר כעל המסך או הרשתית, כל החיישנים מזהים אור בכל רגע ומכל כיוון. לא ניתן להסיק מהיכן הגיעו קרני האור. נניח ועל העצם יש נקודה אדומה, נקודה כחולה ונקודה ירוקה במקומות שונים עליו. האור משלושת הנקודות מגיע לכל נקודה על הקיר-מסך ולכן על כל נקודה נקבל ערבוביה של כל הנקודות וכל הצבעים (ראו איור 3). בצורה כזאת לא נוכל לבנות תמונה על הקיר ולכן אין דמות משתקפת בו.

איור 3: כל נקודה בדובי מאירה על כל נקודה בקיר ולכן לא ניתן לפענח דמות ברורה של דובי על הקיר.

פעולת העדשה המרכזת

ישנם שלושה מכשירים אופטיים שיודעים לייצר דמות: מראה, חריר צר ועדשה. אני אעסוק רק בעדשה מכיוון שזה המכשיר שנמצא בתוך מצלמה.

כבר ראינו שניתן 'לתקן' את הקיר על ידי שימוש בזכוכית מגדלת שהיא בעצם עדשה מרכזת. גם בעין שלנו יש עדשה מרכזת, וכעת אנחנו יכולים להבין מהי מטרתה העיקרית: יצירת דמות על הרשתית.

מבלי להיכנס לאיך ולמה זה קורה, עדשה מרכזת היא מכשיר אופטי שאוסף קרני אור ומרכז אותן לנקודה אחת. במילים אחרות, כל הקרניים שיוצאות בזוויות שונות מנקודת מקור בודדת מתרכזות בצד השני של העדשה לנקודה אחת במרחק מסוים שתלוי בתכונות העדשה (מרחק המוקד) ובמרחק המקור מהעדשה. אם כך, במידה ומיקמנו נכון את העדשה, היא דואגת שאור מכל נקודה על העצם מגיע רק לנקודה אחת על הקיר. במקרה זה נוכל לפענח על הקיר תמונה שאותה אנחנו מכנים בעגה 'דמות' (ראו איור 4).

איור 4: עדשה מרכזת. כל הקרניים היוצאות מאותה נקודה מתרכזות בנקודה אחת מהצד השני של העדשה.

כדי למצוא את נקודת הצטלבות הקרניים אנחנו נעקוב אחרי שתי קרניים פשוטות להבנה. קרן שעוברת במרכז העדשה לא נשברת וממשיכה ישר, קרן מקבילה לציר האופטי נשברת כך שתעבור דרך נקודת המוקד של העדשה, כפי שניתן לראות באיור 5 (למעשה כך מוגדרת נקודת המוקד, הנקודה בה מצטלבות כל הקרניים המקבילות העוברות בעדשה).

[הערת שוליים: מדויק רק עבור עדשות דקות, אבל הדיוק לא ממש חשוב לרשימה הזאת.]

איור 5: מציאת דמות של מקור נקודתי על ידי הצטלבות של שתי קרניים פשוטות לשרטוט.

כעת, כשמצאנו את נקודת ההצטלבות של כל הקרניים על ידי שתי קרניים פשוטות, נוכל להעביר כל קרן אחרת שמקורה באותה נקודת מקור ועוברת דרך העדשה. נבחר שתי קרניים שעוברות בקצוות של העדשה, כך שהן תוחמות את רוחב אלומת האור שנאספת על ידי העדשה, כפי שניתן לראות באיור 6.

איור 6: לאחר מציאת נקודת ההצטלבות ניתן להעביר את כל אלומת הקרניים שעוברות מהמקור הנקודתי דרך העדשה.

כיצד משתקף עצם דרך עדשה?

נסמן עצם כחץ מקביל לעדשה, כך שנוכל לזהות 'למעלה' ו-'למטה'. נבחר לעקוב אחרי שתי נקודות בקצוות החץ. כעת נמצא על ידי הקרניים הידועות את מיקום ההצטלבות של שתי הנקודות בצד השני של העדשה.

ישנם מקרים שונים בהם מתקבלות דמויות שונות של החץ (ישרה-הפוכה, 'ממשית'-'מדומה', מוגדלת-מוקטנת) כתלות במרחק של החץ מהעדשה. נתמקד במרחקים שבחרתי באיור 7. ניתן לראות שהתקבלה דמות חץ בצד השני של העדשה. אם נציב מסך, או קיר, בנקודה זאת, נוכל לראות עליה את דמות החץ ההפוכה והמוגדלת.

איור 7: מציאת דמות לא נקודתית באמצעות שתי קרניים מוכרות משתי נקודות בקצוות מנוגדים של העצם. ניתן לראות שהדמות על המסך, במקרה זה, תראה הפוכה ומוגדלת.

מה קורה אם נציב עוד עצם מאחורי העצם הראשון?

נשרטט את הדמות של החץ הראשון (A באיור 8) ונמקם שם מסך, כך שהדמות תראה עליו בצורה חדה. הדמות של החץ הרחוק יותר (B באיור 8) איננה יוצאת על המסך, והקרניים שנחתכו שם ממשיכות אל המסך כך שאלומת האור מכל נקודה מתרחבת. על המסך יתקבל כתם במקום נקודה, כפי שניתן לראות באיור 8. המקרה באיור כל כך חמור ששני הקצוות של החץ מרוחים על כל המסך ואחד על השני. מכאן שלא נוכל לראות את החץ הרחוק על המסך כלל. זהו בעצם הרעיון שמאחורי המושג עומק השדה. הדיון הוא על תחום המרחקים שבו עצמים יראו בתמונה (כלומר על המסך) בצורה חדה באופן יחסי.

איור 8: המסך ממוקם כך שהדמות של גוף A תראה עליו בצורה חדה, כלומר כל נקודה בעצם מועתקת לנקודה על המסך שהיא הדמות. מכיוון שהדמות של גוף B לא נמצאת בדיוק על המסך, אלומת האור מתרחבת ובמקום נקודה אנחנו מקבלים על המסך כתם.

אז מה הקשר של כל זה לצמצם?

אם נניח שהצמצם צמוד לעדשה במצלמה, נוכל להניח במודל פשוט שהצמצם בעצם קובע את גודלה האפקטיבי של העדשה על ידי כך שהוא חוסם אור מלהגיע לחלקים חיצוניים שלה.

אם כך, בואו ונבחן שוב את גודל הכתמים עבור אותו עצם, באותו מרחק ועם עדשה עם אותו מרחק מוקד, אבל הרבה יותר קטנה (צמצם סגור). נשרטט לשם כך את הקרניים שתוחמות את האלומה בקצוות העדשה. קל לראות באיור 9 שגודל הכתמים קטן באופן משמעותי, עד כדי כך שהכתמים כבר אינם חופפים. כלומר, נראה דמות, גם אם מטושטשת.

אם כך, הגענו לסוף הדרך. ראינו שככל שהצמצם סגור יותר, גודל הכתם שנוצר מעצמים שאינם ממוקדים היטב יהיה קטן יותר ולכן המרחק של עצמים מהעצם הממוקד יכול להיות גדול יותר. ובמילים אחרות: ככל שהצמצם סגור כך גדל עומק השדה בתמונה.

 

איור 9: בעדשה יותר קטנה (צמצם סגור) פתיחת הקרניים של העצם הרחוק יותר (B) לאחר שהצטלבו בנקודת הדמות היא צרה יותר ולכן הכתם של כל נקודה על המסך קטן יותר ומכאן שעומק השדה גדול יותר.

 

[הערת שוליים: במהלך הכתיבה של רשימה זאת נעזרתי בשיחות עם ד"ר ערן גרינולד, הגואו-טו-גאי שלי בענייני אופטיקה ודברים אחרים. כל הטעויות ברשימה הן שלי.]