מדוע הירח הוא ירח? כמה מילים על מרכז המסה

דמיינו נדנדה פשוטה. קרש ארוך ואחיד שבמרכזו מותקנת נקודה שסביבה הקרש יכול להסתובב.

אם אנחנו לא מפעילים כוח או מניחים משקל עודף (למשל ילד) על אחד הצדדים של הנדנדה היא תישאר מאוזנת (ראו איור 1).

איור 1: נדנדה פשוטה מאוזנת.

נדמיין כעת נדנדה שחלקה השמאלי עשוי מעץ קל וחלקה הימני מעץ כבד. כעת, ללא הפעלת כוח נוסף, כוח הכבידה יגרום לצד המאסיבי יותר להימשך למטה והנדנדה לא תהיה מאוזנת (ראו איור 2). כדי לאזן את נדנדה נוכל להוסיף משקל לצד הקל, בין אם בעזרת מסה נוספת או בעזרת הארכת הקרש. במקרה זה אנחנו בעצם משחקים בגודל שמכונה בפיזיקה 'מומנט', כוח כפול אורך הזרוע.

איור 2: נדנדה לא מאוזנת.

דרך חלופית לאזן את הנדנדה היא על ידי הזזת ציר הסיבוב.

רובנו ניסינו וגילינו (ואם לא, זה הזמן) שכדי לאזן מטאטא בצורה אופקית, יש לאזן אותו על נקודה שיותר קרובה למברשת מאשר לקצה המקל (ראו איור 3). הנקודה הזאת שסביבה המטאטא מאוזן נקראת מרכז המסה של המטאטא. זאת הנקודה שסביבה המסה מפולגת באופן שווה וסביבה הגוף נמצא בשיווי משקל.

איור 3: איזון מטאטא סביב נקודת מרכז המסה.

כדי לחשב את מיקומו של מרכז המסה עבור גוף מסוים נחשב את 'הממוצע' של כל המקומות שיש בהן מסה. כל נקודה שבה יש מסה 'מושכת' את מרכז המסה לכיוונה. נקודות משני צדדים מנוגדים של הראשית 'מתחרות' ביניהן ומושכות בכיוונים שונים. ככל שיש יותר מסה בנקודה מסוימת, היא מושכת חזק יותר לכיוונה. למעשה, חישוב מיקום מרכז המסה הוא ממוצע משוקלל של וקטורי-המקום שבהן יש מסה, כאשר המשקלים הם כמות המסה בכל נקודה.

נתבונן במספר דוגמאות דו-ממדיות:

מרכז המסה של מלבן הוא במרכז שלו, כלומר במפגש האלכסונים (ראו איור 4א).

עבור צורה שמורכבת משני ריבועים צמודים שאינם זהים בגודלם, נוכל למצוא את מרכז המסה של כל אחד מהם בנפרד ואז מרכז המסה המשותף יהיה על הקו בין שני המרכזים אבל קרוב יותר לגדול מהם, כי יש לו יותר משקל בחישוב (ראו איור 4ב).

אם שני הריבועים רחוקים מספיק אחד מהשני מיקום מרכז המסה ימצא מחוץ לגופים (ראו איור 4ג). כלומר מרכז המסה לא חייב להיות בנקודה שבה ישנה מסה. חישבו למשל על צורת פרסה. די ברור, גם ללא חישוב מדויק, שמרכז המסה נמצא במרכז הצורה, שם אין כלל חומר.

איור 4: מציאת מרכז המסה של גופים מלבניים פשוטים. הנקודות השחורות הן מרכז המסה המשותף והנקודות הצבעוניות הן מרכזי המסה של כל מלבן בנפרד. ניתן לראות לפי דוגמה ג' שמרכז המסה יכול להימצא במקום שאין בו מסה.

שיטה ניסיונית למצוא את מרכז המסה היא לתלות את הגוף מנקודה מסוימת הממוקמת על הדופן שלו ואז לתלות מהנקודה אנך בנאים (בעצם חוט עם משקולת). נסמן את האנך על הגוף ונבצע מדידה נוספת מנקודה אחרת על הדופן. מרכז המסה ימצא בנקודה בה נפגשים שני האנכים. לחלופין, ניתן לחפש נקודה שכאשר תולים ממנה את הגוף הוא נשאר מאוזן, כלומר אינו נוטה להסתובב בגלל כוח הכבידה.

חישבו על מרכז המסה כעל נקודה שעליה אני יכול להפעיל את חוקי ניוטון, כפי שהם כתובים בספר, מבלי לחשוש מסיבובים שאינם מתוארים באופן ישיר על ידי חוקים אלה. אם כך, ברור מדוע גוף שנתלה מנקודה שאינה מרכז המסה נוטה להסתובב. על מרכז המסה פועל כוח הכבידה שמושך אותו כלפי מטה עד שה-'חוט' שמחבר אותו לנקודת התליה נמתח ואינו מאפשר ירידה נוספת (ראו איור 5). בעצם נוכל לחשוב על כל גוף כעל מטוטלת שכל המסה שלה מרוכזת במשקולת קטנה בקצה החוט (שהיא מרכז המסה). המשקולת תמיד תשאף לנוע כלפי מטה, בהשפעת כוח הכבידה, אם החבל מאפשר זאת. זה גם אומר שנדנדה שציר הנדנוד נמצא בדיוק במרכז המסה תישאר יציבה גם אם היא נוטה בזווית, וזה דבר מוזר שקשה לדמיין וצריך לראות כדי להאמין.

איור 5: ניתן לחזות סיבוב גופים לפי המיקום של מרכז המסה ביחס לנקודת התלייה. מרכז המסה ישאף לנוע למטה בהשפעת כוח הכבידה.

***

למה אנחנו מתכוונים באסטרונומיה כשאנחנו אומרים 'ירח'? הכוונה אינה לירח הספציפי של כדור הארץ, אלא לירח כלשהו.

במילה ירח אנחנו מתכוונים ללוויין טבעי, שלא נוצר על ידי בני אדם, ושחג סביב גוף שמימי אחר. למשל, הירח שאנו רואים בשמי הלילה הוא ירח של כדור הארץ, ותחת ההגדרה הצרה הזאת כדור הארץ הוא ירח של השמש. נשים לב שמדובר בשני גופים שנעים סביב מרכז משותף, אך אחד מהם קיבל דרגה גבוהה יותר מהשני. קיימים מצבים בהם שני גופים נעים סביב מרכז משותף, אך הם שווים בעינינו בדרגתם ואף אחד מהם לא יקרא ירח של השני. כיצד ניתן להחליט עבור צמד גופים שמימים כאלה האם אחד מהם הוא ירח של השני או שהם בדרגה שווה?

האם הגודל קובע? לא. גנימד, אחד הירחים של צדק, גדול בקוטרו מכוכב חמה. אז איזה קריטריון חלופי נוכל להציע?

יש להבין שכל טקסונומיה (שיטת סיווג, מיון או קלסיפיקציה) היא שרירותית, והשאלה היא האם היא מועילה. בנוסף, חשוב שהיא תהיה חד משמעית וקלה לאבחנה ככל שניתן.

***

שני גופים הנעים סביב נקודה משותפת למעשה נעים סביב מרכז המסה בין שניהם. באסטרונומיה נהוג לכנות את מרכז המסה של מספר גופים שמימים החגים סביבו כ-Barycenter, ויכונה כאן מרכז-ברי לשם נוחות.

בין שני גופים, השונים מאוד בגודלם, ימצא מרכז-ברי בתוך הגוף הגדול. ממבט צד יראה שהגוף הקטן מקיף את הגוף הגדול והגוף הגדול מתנודד מעט מצד לצד כשיכור (ראו אנימציה 6).

אנימציה 6: תנועה של שני גופים בעלי מסה שונה סביב מרכז המסה. שמאל: מרכז-ברי מחוץ לשני הגופים בדומה למערכת פלוטו-כארון. מרכז: מרכז-ברי בקצה אחד הגופים בדומה למערכת כדה"א-ירח. ימין: מרכז-ברי קרוב למרכז אחד הגופים בדומה למערכת כדה"א-שמש. המקור לגיפים: ויקיפדיה, ויקיפדיה וויקיפדיה, לשם הועלו על ידי המשתמש Zhatt.

בואו ונחשוב על הקריטריון הבא: אם מרכז-ברי של שני גופים נמצא בתוך אחד הגופים, הגוף שבתוכו נמצא המרכז יקרא הגוף הראשי והגוף השני יקרא הירח שלו. למשל, מרכז-ברי של המערכת כדה"א-ירח נמצא בתוך כדה"א, כשלושה רבעים ממרכזו. מרכז-ברי של מערכת שמש-כדה"א נמצאת קרוב מאוד למרכז השמש. עד פה הכול טוב.

[הערת שוליים: נהוג לומר שכדה"א נע סביב מרכז השמש, או ליתר דיוק, נע במסלול אליפטי כאשר השמש נמצאת באחד ממוקדי האליפסה. אבל לאמיתו של דבר, גם השמש וגם כדה"א נעים במסלולים אליפטיים שונים כאשר יש מוקד אליפסה משותף לשני המסלולים והוא מרכז-ברי של שניהם. מכיוון שמרכז-ברי שלהם נמצא כל כך קרוב למרכז השמש, הקירובים שאנחנו מבצעים בד"כ הם מצוינים.]

אך אליה וקוץ בה. לפי ההגדרה שהצעתי, כארון הוא לא ירח של פלוטו, וצדק הוא לא ירח של השמש. האם זה חשוב? האם זה יעיל? האם זה בסדר?

***

לסיום, אני ממליץ לכל מי שלא שבע עדיין מוויכוחים על הגדרות וסיווג באסטרונומיה, ועדיין בוערת בקרבו סוגיית סיווגו של פלוטו (כוכב לכת או סתם גוש במערכת השמש) לקרוא מאמר כתוב היטב מאת סטיבן נובלה בבלוג שלו, שם הוא מתאר בבהירות את הבעיה ואפילו מציע פתרון מקורי משלו. נובלה אינו אסטרונום, אלא ניורולוג וחובב אסטרונומיה שכותב וחושב בצורה חדה וברורה.