ראשי > כללי > יש חור בכדה"א, תביטי נא יונה – על דברים שאפשר ללמוד משאלה היפותטית

יש חור בכדה"א, תביטי נא יונה – על דברים שאפשר ללמוד משאלה היפותטית

בואו ונניח שיש חור בכדור הארץ. מנהרה רחבה מספיק ליפול דרכה שעוברת משפת הכדור, דרך מרכזו על הקוטר, אל שפתו בצדו השני (ראו איור 1).

בואו ונניח שאדם נופל אל תוך מחילה זאת. מה יקרה?

איור 1
איור 1: אדם נופל דרך חור בכדה"א.

אבל ראשית, נסיר את כל החסמים. ברור ששאלה זאת אינה מתארת תרחיש אפשרי. מכיוון שכך אנחנו נתעלם בחינניות מכל גורם שיבלבל אותנו. בבור שלנו נופלים ללא התנגדות אוויר ואין בעיה לשרוד. כדור הארץ לא מושמד עקב חפירת המעבר דרכו ואין ים בצד השני. הצפיפות של כדור הארץ אחידה ותוסיפו כל דבר אחר שלא חשבתי עליו.

טוב, עכשיו אפשר להתחיל.

כוח הכבידה תמיד מושך את האדם אל עבר מרכז כדה"א ולכן הוא ייפול לאורך המחילה, אבל ככל שהוא מתקרב אל מרכז הכדור הכוח קטן. הכוח שפועל על האדם במחילה נובע אך ורק מהמסה שבכדור מתחתיו ולא זה שמעליו. במילים אחרות, אך ורק החומר שנמצא בכדור ברדיוס השווה למרחקו של האדם ממרכז הכדור מושך אותו למרכז. ככל שהאדם מתקרב למרכז הכדור, כמות החומר שמושכת אותו קטנה וכך גם הכוח. בדיוק במרכז הכדור לא פועל על האדם כוח כלל. האם הוא עוצר?

ככל שהאדם מתקרב למרכז הכדור מהירותו גדלה מכיוון שהוא מאיץ. מהירותו המקסימלית היא במרכז הכדור וברגע שהוא עובר נקודה זאת תנועתו היא החוצה מהכדור. במקרה זה הכוח מאט את מהירותו ומושך אותו חזרה למרכז. כאשר יגיע לשפת הכדור מהירותו תתאפס, הכוח עליו יהיה שוב מקסימלי, הוא יחליף כיוון תנועה ויחל ליפול חזרה למרכז. וחוזר חלילה (ראו איור 2).

איור 2 איור 2: איור סכמטי המציג את גודלם וכיוונם של כוח הכבידה (חץ אדום), מהירות הנפילה בסיבוב הראשון (חץ חרדל) ומהירות הנפילה בסיבוב השני (חץ פסטל).

כאשר האדם נמצא על שפת הכדור ניתן לומר שיש לו אנרגית פוטנציאלית כבידתית ואין לו אנרגיית מהירות כלל. במרכז הכדור הוא איבד את כל האנרגיה הכבידתית שהפכה לאנרגית מהירות וחוזר חלילה. המעברים האלה בין אנרגיה המכונה 'פוטנציאלית' לאנרגית מהירות המכונה 'קינטית' זהים למקרה שבו גוף קשור לקפיץ ומבצע תנודות הרמוניות. הבעיה הפיזיקלית הזאת נקראת אוסילטור הרמוני, ועסקתי בה בהרחבה ברשימה קודמת. (ניתן להראות שהכוח המחזיר תלוי ליניארית במרחק האדם ממרכז הכדור).

מכיוון שבעיית האוסילטור ההרמוני כבר פתורה, נוכל להשתמש בתוצאות שלה כדי לחשב את הזמן שייקח לאדם להגיע מצד אחד של הכדור לצד שני. זהו בדיוק חצי מזמן המחזור של התנודה ההרמונית. מסתבר שכדי לקבל את הזמן יש להעלות את רדיוס כדה"א בשלישית, לחלק במסת כדה"א ובקבוע הגרביטציה, להוציא לזה שורש ריבועי ולהכפיל במספר פאי (למתעניינים במתמטיקה, ראו נספח בסוף הרשימה).

נוסחה

הזמן בין שפה לשפה של הכדור יוצא כ-42 דקות, יותר מהר ממטוס סילון!

***

מה זה לוויין?

לשם פשטות אניח שכל גוף שנע בתנועה מעגלית סביב גוף אחר הוא לווין שלו. תחנת החלל היא לווין של כדה"א וכך גם כל לוויני הריגול והתקשורת. הירח הוא לווין של כדה"א, וכדה"א הוא לווין של השמש.

גוף שנע סביב כדה"א בתנועה מעגלית בעצם נופל אליו כל הזמן בגלל כוח הכובד שזה מפעיל עליו. עם זאת, הגוף אינו מתקרב לשפת הכדור מכיוון שהוא גם נע במהירות בכיוון משיק לכדור. המהירות היא בדיוק כזאת כך שהגובה שהיה מאבד הגוף עקב נפילה בדיוק מתקזז עם המרחק משפת הכדור שהוא צובר בגלל מהירותו בכיוון משיק. כלומר, כדי לקיים תנועה מעגלית צריכים להתקיים שני תנאים: כוח משיכה שתמיד מכוון למרכז המעגל, למשל כוח הכובד, ומהירות משיקה שבדיוק מתאימה לכוח. מכאן שכדי להעלות לווין לחלל כך שיסתובב במעגל סביב כדה"א ניתן להפעיל דחף כדי להעלות אותו לגובה הרצוי ואז דחף הצידה (בכיוון משיק) כדי לקבל את המהירות הרצויה. (לא כך משגרים לווינים, אבל זה לא חשוב לעניינינו כאן).

מה יהיה חצי מזמן המחזור של סיבוב לווין דמיוני סביב כדה"א כך שהוא נע על פני הכדור, במרחק השווה לרדיוס כדה"א ממרכזו? כלומר, מהו הזמן שייקח לו להקיף חצי מהכדור?

נחשב את כוח הכבידה בגובה פני כדה"א ונדרוש שהמהירות תקיים בדיוק את הדרישות של תנועה מעגלית. מסתבר שכדי לקבל את הזמן יש להעלות את רדיוס כדה"א בשלישית, לחלק במסת כדה"א ובקבוע הגרביטציה, להוציא לזה שורש ריבועי ולהכפיל במספר פאי. נשמע לכם מוכר? (למתעניינים במתמטיקה, ראו נספח בסוף הרשימה).

נוסחה

זה בדיוק אותו קשר מתמטי שמתאר את הזמן שלוקח לאדם ליפול דרך חור בכדה"א, והתוצאה גם כאן היא כ-42 דקות. גם האדם הנופל וגם הלוויין מתחילים ומסיימים בדיוק באותה נקודה, לאחר 42 דקות, למרות שהמסלולים שלהם שונים לגמרי.

האם זאת תוצאה של צירוף מקרים בלתי יאמן?

רעיונות?

מחשבות?

***

לחובבי הז'אנר: נספח המכיל את הפתרון המתמטי של שתי הבעיות, כמעט ללא הסברים.

מתמטיקה

 

מודעות פרסומת
  1. איש
    06/06/2015 ב- 12:10 pm

    מעניין, תמשיך לכתוב.

  2. דודי
    07/06/2015 ב- 5:40 am

    answer to life, the universe and everything

  3. יאיא
    07/06/2015 ב- 9:24 am

    אני מניח שזה לא צירוף מקרים… אז מה הסיבה שזאת אותה התוצאה ?

    • 07/06/2015 ב- 10:25 pm

      האינטואיציה היחידה שיש לי לתת לך היא מתמטית-גיאומטרית.
      הכוח לכיוון מרכז הכדור בכל נקודה על שפתו הוא שווה. בחר 12 נקודות, כמו בשעון, ושרטט חצים שווים באורכם המכוונים למרכז המעגל בכל אחת מהן. כעת שרטט את ההיטל של כל חץ, כולל כיוון, על המחילה. אתה אמור לקבל שרטוט כוחות זהה לזה שפועל על האדם הנופל במחילה.
      מקווה שזה נותן כיוון.

    • 07/06/2015 ב- 10:30 pm

      ואגב,
      באותו עניין. האם אתה מוכן לוותר לי על חיכוך עם דפנות המחילה ועל השפעת התנגשויות איתן? למשל אם נעים בבור על גבי מסילה ללא חיכוך?
      כי אם כן, אז רק שתדע שבמקרה זה זמן הנפילה על כל מסלול שמוגדר על ידי מיתר שנצייר על פני העיגול הוא כ-42 דקות! המסלול לא חייב להיות על פני קוטר.

  4. אלמוג
    10/06/2015 ב- 4:07 pm

    הזכרת לי משהו משיעורי פיזיקה בתיכון. אני זוכר שלמדנו שאפשר להסתכל על תנועה הרמונית כעל היטל של תנועה מעגלית (במהירות קבועה). אנסה לפרוט את זה, מבלי להתייחס באופן ישיר לכך שמדובר פה על כוח כבידה:
    גודל הכוח שגורם לתנועה מעגלית במהירות קבועה:
    F=m*w^2*R
    גודל המהירות:
    V=w*R
    נתבונן על ההיטל על ציר X. נגדיר את q להיות הזווית של הקו שמחבר את הלויין עם המרכז יחסית לציר X.
    אז הכוח בכיוון X:
    Fx=-m*w^2*R*cos q
    הסימן השלילי מציין כוח מחזיר – לכיוון המרכז, כך שאם X חיובי אז הכוח שלילי, ולהיפך. מתקיים:
    x=R*cos q
    ולכן:
    Fx=-m*w^2*x=-k*x
    כשהגדרנו
    k=m*w^2.
    וקיבלנו דינמיקה של תנועה הרמונית.

    בהקשר זה, זה מעניין להסתכל על האנרגיה:
    אנו מסתכלים רק על התנועה בכיוון X, ולכן נבחן את האנרגיה הקינטית שניתן לייחס לתנועה בכיוון זה. רכיב X של המהירות:
    Vx=w*R*sin q
    ולכן האנרגיה הקינטית בכיוון X:
    Ex=m*Vx^2/2=m*w^2*R^2*sin^2 q /2
    ה"אנרגיה הפוטנציאלית" של קפיץ עם קבוע k היא k*x^2/2 . נציב את k שקיבלנו לעיל:
    Ep=k*x^2/2=m*w^2*x^2/2=m*w^2*R^2*cos^2 q /2=m*Vy^2/2
    אנחנו מקבלים שהאנרגיה הקינטית בכיוון Y משמשת כאנרגיה פוטנציאלית עבור התנועה בכיוון X. כמובן שהסכום הוא פשוט האנרגיה הקינטית של התנועה המעגלית.

  5. Eran
    17/06/2015 ב- 6:41 am

    תחשוב על בוכנה ברכב,
    https://en.m.wikipedia.org/wiki/Connecting_rod
    החלק העליון זז בקו ישר (מטוטלת הרמונית)
    והחלק התחתון זז במעגל בתיאום מושלם.

    דרך נוספת לראות את זה :
    האדם שנופל דרך כדור הארץ הוא בסך הכל ההיטל עם ציר x של הלווין בחלל.

    מקווה שזה ברור 🙂
    אם לא אשמח למצוא הסבר יותר ברור.

  6. עדי
    24/06/2015 ב- 1:24 am

    אני לא פיסיקאי וכל המשוואות האלה זה ג'יבריש בשבילי, אבל ברמה האינטואיטיבית, האם המקרה שתיארת הוא באמת מה שהבנתי:
    בהנחה שהכדור שקוף והמחילה היא קו, אם הלוויין מסתובב במישור מסוים שהקו נמצא עליו (מישור שהזווית בינו לבין הקו היא 0) ואני, בתור צופה מן הצד הנמצא על אותו המישור, אך רחוק מהכדור, למעשה בחצי מהזמן הלוויין יסתיר לי את האיש, ובחצי השני האיש יסתיר לי את הלוויין (נתעלם רגע מההפרשים בזווית הראייה שלי, או נניח שאני זז באופן דומה לאיש הנופל כך שהקו שמחבר ביני לבינו יהיה תמיד בזווית של 90 מע' מקו המחילה). אז אם נדמיין גם שהקו המשיק של הלוויין "דבוק" ללוויין ומסתובב יחד איתו, ככל שהזווית בין המשיק למחילה חדה יותר, כך הלוויין ייראה לצופה מהצד (שנמצא על אותו מישור, במבט "חד ממדי") כאילו שהוא נע מהר יותר עד הרגע שבו המשיק והמחילה יהיו מקבילים, שם הלוויין ייראה במהירות המרבית שלו. וזה קורה כיוון שככל שהזווית כהה יותר, הלוויין אמנם נע באותה מהירות, אבל חלק ממנה "מתבזבז" על הממד השני שהצופה לא יכול לחוש, כל זה קורה בתיאום. ובנוסף לכל זה, לא משנה מה כוח המשיכה, היחס בין המהירויות הדו ממדיות של הלוויין והאיש יהיה קבוע כיוון שבהינתן כדור עם רדיוס קבוע, ככל שהמסה ובעקבותיה גם כוח המשיכה נמוכים יותר, מה שישפיע פחות על הנפילה של האיש, הלוויין יזדקק למהירות נמוכה יותר כדי לשמור על מסלולו.

    • 24/06/2015 ב- 1:56 am

      אני חושב שאני מסכים עם כל מה שכתבת וזה בעצם שקול למה שאחרים כתבו למעלה. האדם נע בתנועה שנקראת 'הרמונית' והלווין נע בתנועה שנקראת 'מעגלית'. מה שאתה בעצם תארת במילים ובצורה אינטואיטיבית הוא שההיטל של תנועה מעגלית היא תנועה הרמונית. לכן הם מסתירים אחד את השני עבור 'צופה מהצד'.

  7. א.עצבר
    01/08/2015 ב- 2:19 pm

    התוצאה של שוויון הזמנים שהצבעת עליה אינה מקרית, והיא נובעת מחוק טבע חדש שהענקתי לו את השם "חוק שוויון הזמנים"
    את חוק שוויון הזמנים פרסמתי לפני שנים רבות במאמר " המרחק הקוסמי"
    הקלד בגוגל " המרחק הקוסמי " או " חוק שוויון הזמנים במרחק נבחר" או " זמן סטטי" ותגיע ליקום חדש הפועל בלי כוח משיכה, וקיים בו חוק טבע חדש " האומר:
    במרחק של 6300 ק"מ ממרכזו של כל כוכב – זמן ההקפה סביבו = לזמן מחזור מנהרתי שלו.

    זמן מחזור מנהרתי של השמש הוא 8.7 שניות.
    מקיף דמיוני של השמש – במרחק של 6300 ק"מ ממרכזה – ישלים הקפה ב 8.7 שניות.

    המרחק של 6300 ק"מ הוא בגדר של נתון נבחר במציאות הפיזיקלית.
    לכן, אין להתפלא על התוצאה שהצבעת עליה,
    זמן מחזור מנהרתי של כדור הארץ הוא כ 1.4 שעות, ולווין מעל ראשינו, חייב להקיף את כדור הארץ
    במשך 1.4 שעות, מכיוון שרדיוס המסלול הוא המרחק הנבחר של 6300 ק"מ.

    א.עצבר

  8. נרא
    05/09/2015 ב- 1:08 pm

    למה אתה טוען שכוח המשיכה היחיד מגיע ממרכז הכדור?
    באיזשהו שלב בעומק, כוח המשיכה של המאסה שמעליו גם מפעילה עליו כוח משיכה.
    אני לא יודע עד כמה חזקה עוצמתו, אבל לא הייתי מזניח אותו.

    • 05/09/2015 ב- 3:01 pm

      קטונתי. זה לא אני טוען, זה גאוס (קרל פרידריך). אני נתלה באילנות גבוהים 🙂
      ממליץ לחפש מידע על חוק גאוס (לכבידה).

  1. No trackbacks yet.

להשאיר תגובה

הזינו את פרטיכם בטופס, או לחצו על אחד מהאייקונים כדי להשתמש בחשבון קיים:

הלוגו של WordPress.com

אתה מגיב באמצעות חשבון WordPress.com שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Twitter

אתה מגיב באמצעות חשבון Twitter שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Facebook

אתה מגיב באמצעות חשבון Facebook שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת גוגל פלוס

אתה מגיב באמצעות חשבון Google+ שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

מתחבר ל-%s

%d בלוגרים אהבו את זה: