ראשי > ניסויים וטעייות > איך ליפול נכון – על ניסוי המישור המשופע של גלילאו

איך ליפול נכון – על ניסוי המישור המשופע של גלילאו

גלילאו גליליי (1564-1642) היה מתמטיקאי ואיש מדע איטלקי שבעבודתו סימן את תחילתה של המהפכה המדעית באירופה. מה שעניין את גלילאו היה תנועה. תיאורית התנועה של גופים בתקופתו לא עודכנה עוד מימיו של אריסטו, כמעט 2000 שנים קודם לכן. יש לזכור שמתקופתו של אריסטו ועד לתקופתו של גלילאו, במאה ה-17, הדרך המקובלת לגלות את חוקי הפיזיקה היה דרך מחשבה פילוסופית והיגיון. ניסוי היה נחשב לדרך לא אמינה ולא מקובלת לעשות זאת. גלילאו חידש בכך ששילב בין תובנות תיאורטיות, מתמטיות ופילוסופיות לבין ניסויים ובדיקה.

Justus_Sustermans_-_Portrait_of_Galileo_Galilei,_1636
תמונה 1: צילום של פורטרט של גלילאו גליליי שצויר על ידי הצייר הפלמי Justus Sustermans. הפורטרט נמצא במוזיאון 'National Maritime Museum', בלונדון. המקור לתמונה: ויקיפדיה.

בחקירותיו גילה גלילאו שכל גוף, ללא הבדלי דת גזע או מין, נופל אל הקרקע בתאוצה קבועה, כלומר מהירותו משתנה בקצב קבוע. מכאן נובע שהפלת גוף מגובה כפול לא תגרום לזמן הנפילה להיות ארוך פי שתיים. ואם זה לא מספיק, אז מכך נובע גם שבואקום, ללא חיכוך או התנגדות של אוויר, גם נוצה וגם פטיש יפלו אל הקרקע יחדיו.

כיצד הוא הגיע למסקנות האלה?

האגדה מספרת שהוא זרק כדורים מראשו של המגדל הנוטה בפיזה. האגדה אמנם אינה נכונה, אך גלילאו אכן עשה ניסויים של זריקת כדורים. הוא פשוט בחר לעשות זאת בדרך חכמה יותר.

***

הבעיה עם זריקת כדורים היא שהם נופלים מהר מידי וקשה למדוד את מיקומם בזמנים שונים. יש לזכור שבזמנו של גלילאו לא היו צילומי וידאו בהילוך איטי ושעוני עצר מתוחכמים. גליליאו השתמש למדידת זמן בשעון מים, כלומר נתן למים לזרום דרך חריר במהלך התנועה ואז שקל את המים שהצטברו.

בניסויו המפורסם גלגל גלילאו כדור על גבי מסילה משופעת ומדד את המרחק שעבר הכדור בפרקי זמן קבועים (ראו איור 2). המישור המשופע עזר לגלילאו להפחית את הכוח שמושך את הכדור מטה ובכך להאט את תנועתו. ניתן לחשוב על כך כאילו חלק מכוח הכובד מושך את הכדור במורד המדרון וחלק ממנו לוחץ אותו אל המשטח ולכן אינו משפיע על התנועה (בהנחה שאין חיכוך). מסיבה זאת, כדור מתגלגל על מדרון יתנהג כמו כדור נופל, רק שהכוח עליו קטן יותר ותאוצתו, אם קיימת, קטנה יותר.

מישור משופע
איור 2: כדור מתגלגל במורד מישור משופע.

אחד החסרונות בשימוש במישור המשופע היה החיכוך של הכדור עם המשטח, שגורם לאיבוד חלק מהמהירות של הכדור. מצד שני, גלילאו חיפש רק את הקשר שבין הזמן למרחק התנועה. החיכוך יפחית את הכוח שמאיץ את הכדור, אבל יעשה זאת בצורה שווה בכל רגע ולכן התאוצה תקטן אך תישאר קבועה. כלומר, החיכוך לא ישנה את הקשר הפונקציונלי בין המרחק והזמן (כפי שיוסבר בהמשך). גלילאו ניסה להקטין את החיכוך בין הכדור למשטח ולכן אינני בטוח אם הוא הבין עד הסוף את השיקולים הללו. בכל מקרה, אין ויכוח על כך שהיתה לו אינטואיציה טובה מעבר לגדר הרגיל.

***

גלילאו מדד את המרחק שעבר הכדור המתגלגל בכל יחידת זמן שנקבעה מראש באמצעות שעון המים. הוא חזר על הניסוי מספר רב של פעמים כדי לוודא שתוצאותיו אמינות ולהגביר את דיוק המדידה. כאשר הוא התבונן בתוצאותיו הוא הבחין בקשר בין המרחק והזמן. ניתן היה לחזות את המרחק שיעבור הכדור בזמן מסוים על ידי העלאת הזמן בריבוע והכפלת התוצאה בקבוע כלשהו (תמיד אותו הקבוע). כלומר, גלילאו מצא שהמרחק שעבר הכדור היה פונקציה של הזמן בריבוע.

אבל מה זה בכלל קשור לתאוצה קבועה?

ראשית, נבין מהי המשמעות של תאוצה קבועה. בכל שניה המהירות גדלה בכמות קבועה. לדוגמה, אם מפילים כדור הוא מתחיל ממהירות אפס, אחרי שניה מהירותו תהיה למשל 10 מטר לשניה, אחרי שתי שניות 20 מטר לשניה, אחרי שלוש שניות 30 מטר לשניה וכך הלאה. כלומר, בכל שניה המהירות גדלה בקצב קבוע של 10 מטר לשניה (ראו איור 3).

המפטי דמפטי נופל חופשית מהקיר2
איור 3: המפטי-דמפטי נופל מהקיר ומהירותו גדלה בקצב של 10 מטר-לשניה בשניה, כלומר בתאוצה 10 מטר-לשניה-בריבוע.

כמה מרחק עובר הכדור באותו הזמן?

קשה לדעת מראש מכיוון שהמהירות משתנה בכל רגע ולכן פתרון 'דרך-זמן-מהירות' סטנדרטי שלמדנו בבית-הספר לא יעבוד. מצד שני, מכיוון שהמהירות משתנה בקצב קבוע, נוכל לחשב את המרחק באמצעות המהירות הממוצעת.

במה תלויה המהירות הממוצעת בקטע תנועה מסוים? בכמה זמן נסענו ובכמה לחצנו על הגז, כלומר בתאוצה. במה תלוי המרחק שעברנו? כידוע, 'דרך = זמן x מהירות (ממוצעת)', כלומר נכפיל את זמן התנועה במהירות הממוצעת. אבל המהירות הממוצעת, כאמור, תלויה גם היא בזמן הנסיעה. כלומר: 'דרך = זמן x זמן x תאוצה' [הערת שוליים: שווה בערך, חסר פה קבוע כלשהו]. מכאן שהמרחק שעובר גוף בתאוצה קבועה תלוי בזמן התנועה בריבוע. ומכיוון שזה בדיוק מה שמצא גלילאו במדידות שלו, הרי שהוא הראה שגופים נופלים בתאוצה קבועה.

***

במקום מילות סיכום, בואו ונצפה בשלושה סרטונים קצרים ומומלצים של דברים נופלים. אחד על הירח, אחד בואקום ואחד פשוט מצחיק.

הפלת פטיש ונוצה על הירח:

הפלת כדור ונוצות בואקום:

השתכנעתם? אל תהיו כל כך פזיזים, חשבו שוב:

***

אפילוג: חידה לחובבי הז'אנר

אתם עדיין כאן? אז קבלו חידה:

אחד הכדורים של גלילאו נע במורד המישור המשופע ועובר במהלך השניה הראשונה של תנועתו מרחק של סנטימטר אחד. מהו המרחק שיעבור במהלך השניה הבאה של תנועתו? מה המרחק שיעבור בשניה השלישית? הכוונה היא לא למרחק המצטבר מתחילת התנועה אלא רק המרחק שהגוף עובר במהלך אותה שניה (ראו קטעים אדום-ירוק-סגול באיור 2).

האם קיבלתם סדרת מספרים עם חוקיות ברורה? באילו מקרים החוקיות הזאת מתקיימת?

.

.

.

רמז 1 (דק): יש מספר דרכים לפתרון. אחת מהן מוזכרת פה, לקראת סוף הרשימה.

רמז 2 (עבה): צפו בסרטון הזה. כעת אתם יודעים את התשובה. מצאו הוכחה לנכונות הפתרון.

מודעות פרסומת
  1. רועי.ס
    05/12/2014 בשעה 8:06 pm

    תשובה לחידה:
    3,5,7 וכו' סנטימטרים. קיבלנו חוקיות ברורה המתקיימת כאשר התאוצה קבועה.

  2. יאיר
    07/12/2014 בשעה 10:12 am

    אני פשוט עדיין לא מצליח להבין איך גם נוצה וגם פטיש יפלו אל הקרקע יחדיו ?
    זה לא מסתדר לי בראש… אני מבין שלנוצה יש יותר התנגדות עם האוויר ולכן בוואקום היא נופלת יותר מהר, אבל הרי בכל מקרה הפטיש יותר כבד – לא?

    • 08/12/2014 בשעה 1:26 am

      הי יאיר. נולדת לתוך עולם מלא באוויר (למזלך) ומכאן שכל האינטואיציות שלך נוצרו בהתאם.
      ככל שגוף בעל מסה גדולה יותר, כך תאוצתו נמוכה יותר בתגובה לכוח שמופעל עליו. מצד שני, כוח הכבידה שמפעיל עליו כדה"א גדול יותר. מסתבר שכוח הכבידה גדל באותו היחס שבו התאוצה קטנה, כך שיוצא שתאוצת הכובד – התאוצה בעקבות פעולת כוח הכובד – לא תלויה במסה. אין במה להשתכנע, זה העולם וככה זה.

  3. רועי.ס
    07/12/2014 בשעה 6:02 pm

    אמנם הפטיש יותר כבד, אך גם נדרש יותר כוח כדי להאיץ אותו. חשוב מה יותר קשה להדוף? כדור כבד או כדור קל? (אם אתה מרגיש בנוח עם משוואות, כוח הכבידה הפועל על חפץ כלשהו הוא F=gm כאשר g הוא בערך 9.8 מטר לשנייה בריבוע ו-m היא המסה של החפץ והתאוצה של גוף בהשפעת כוח היא a = F/m. כשמציבים את שתי המשוואות אחת בתוך השנייה מתקבל a=g, תאוצת הכובד הקבועה לכל גוף)
    התנגדות האוויר היא מה שמאט את הנוצה וגורם לכך שבאוויר היא נעה לאט יותר מבוואקום, לא משהו אחר.

    • 08/12/2014 בשעה 1:10 am

      הי רועי. שים לב שמה שרשמת זה סוג של טאוטולוגיה.
      כאשר גוף נופל, הכוח היחיד שפועל עליו (בואקום) הוא כוח הכובד. לפי החוק השני של ניוטון סך כל הכוחות שווה למסה כפול התאוצה. מכיוון שהוא נופל בתאוצת הכובד, אז כוח הכובד חייב להיות מסה כפול תאוצת הכובד. כלומר כבר השתמשת כאן בידע שכל הגופים נופלים בתאוצת הכובד.
      כדי להסביר מדוע כל הגופים נופלים באותה תאוצה יש צורך במידע נוסף, כמו למשל חוק הכבידה.
      ואגב חוק הכבידה, מי בכלל אמר שמה שמכונה 'מסה' בחוק השני של ניוטון, ומה שמכונה 'מסה' בחוק הכבידה זה אותו דבר? אלו שני קשרים פיזיקליים שמתארים תופעות שונות לחלוטין: משיכה בין שני גופים, והקשר בין תאוצת גוף לכוח המופעל עליו.

  1. No trackbacks yet.

כתיבת תגובה

הזינו את פרטיכם בטופס, או לחצו על אחד מהאייקונים כדי להשתמש בחשבון קיים:

הלוגו של WordPress.com

אתה מגיב באמצעות חשבון WordPress.com שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Twitter

אתה מגיב באמצעות חשבון Twitter שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Facebook

אתה מגיב באמצעות חשבון Facebook שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת גוגל פלוס

אתה מגיב באמצעות חשבון Google+ שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

מתחבר ל-%s

%d בלוגרים אהבו את זה: