ראשי > כללי > הכפתור מתחיל בתוכנו, על איך לתאר מעגל גנטי בעזרת מתמטיקה

הכפתור מתחיל בתוכנו, על איך לתאר מעגל גנטי בעזרת מתמטיקה

הפעם אני רוצה לדון בדבר והיפוכו. מחד, כיצד ניתן לתאר מעגל גנטי באמצעות מודל מתמטי פשוט, ומאידך, כיצד ניתן להגיע לתובנות מתוך המודל מבלי להזדקק (כמעט) למתמטיקה. ספויילר: אם הכול ילך כשורה נקבל בסופו של דבר מתג.

On-Off_Switch
תמונה 1: מתג במצב 'דלוק'. המקור לתמונה: ויקיפדיה לשם הועלתה על ידי המשתמש Jason Zack.

תזכורת

ברשימה קודמת הצגתי את המושג 'מעגלים גנטיים' וכיצד באות בו לידי ביטוי לולאות משוב. הקוד הגנטי בתא, כלומר DNA, משועתק למולקולות RNA שמתורגמות לחלבונים. ישנם מקטעי DNA שמקודדים לחלבונים, הם הגנים, וישנם מקטעים שמתפקדים, בשיתוף פעולה עם חלבונים, כיחידות בקרה על תהליך השעתוק.

נניח שגן מסוים מקודד לחלבון, ואותו חלבון בדרך זו או אחרת מעודד או מדכא את השעתוק של אותו הגן שמקודד אותו. נוכל להתייחס לכמות החלבון כאל 'אות' היציאה של המערכת, שגם מוזן חזרה ומשפיע על פעילותה. כלומר, מדובר במערכת משוב לכל דבר ועניין. אם החלבון מדכא שעתוק זהו משוב שלילי ואם הוא מעודד זהו משוב חיובי.

המודל הבסיסי

ננסח מודל המתמטי עבור המערכת שבו ריכוז החלבון הוא המשתנה או הנעלם. מכיוון שאנחנו עוסקים בבעיה דינאמית התלויה בזמן, עדיף לנו לגשת לבעיה על ידי ניסוח משוואות עבור קצב השינוי של הריכוז. גישה זאת מאפשרת לנו לנסח היגדים כלליים על המערכת שיהיו נכונים בכל זמן ללא תלות בריכוז החלבון ברגע נתון או בתנאי ההתחלה.

כדי שהמודל יהיה שימושי הוא חייב להיות פשוט ככל האפשר ולכן אין טעם לנסות ולתאר את כל השלבים והדקויות של השעתוק והתרגום. אנחנו נסתפק בתיאור כללי ופשטני של תהליכים שמוסיפים חלבונים ושל כאלה שגורעים מהם.

שני התהליכים העיקריים שמתווים את קצב השינוי בכמות החלבונים הם יצירה ופירוק. החלבונים נוצרים מתהליך התרגום ולאחר זמן כלשהו עוברים תהליך דגרדציה. זמן החיים של חלבונים אינו קבוע ומתפלג סביב ערך ממוצע כלשהו. ככול שמספרם של הפרטים במערכת גדול יותר, כך הזמן בין אירועי פירוק קצר יותר, או במילים אחרות ההסתברות לפירוק חלבון בפרק זמן קבוע כלשהו גדול יותר. מסיבה זאת הגיוני לאפיין את קצב הפירוק על ידי קבוע שמוכפל במספר החלבונים במערכת. כלומר, ככל שיש יותר חלבונים קצב הפירוק גבוה יותר. מכיוון שתהליך זה גורם לירידה בכמות החלבונים, האיבר במשוואה שמתאר אותו יופיע עם סימן מינוס. כמו כן, נניח לעת עתה שקצב היצירה קבוע. כעת יש בידינו את המשוואה הבסיסית של המודל (ראו קופסא 2).

מאפיין בולט של בעיות מהסוג הזה הוא שלאחר זמן ארוך כלשהו הפתרון מתייצב על ערך קבוע שנקרא 'המצב היציב' (steady state). אם אנחנו מתעניינים רק במצב היציב ניתן לפשט את המשוואה באופן משמעותי על ידי השוואת קצב השינוי לאפס ולחלץ בקלות את כמות החלבון במצב יציב (קצב יצירה מחולק בקבוע הפירוק).

משוואת קצב ללא משוב
קופסא 2: המודל הבסיסי. קצב השינוי תלוי בקצב יצירה אל מול קצב פירוק. במצב יציב הריכוז מתייצב על ערך קבוע ולכן קצב השינוי שווה אפס.

לולאת משוב

השלב הבא הוא הכנסת המשוב. את ההשפעה של החלבון על קצב השעתוק נתרגם לתוך המשוואה על ידי הכפלת קצב הייצור בפונקציה שערכה נע בין 0 ל-1 כתלות בריכוז החלבון. כאשר הפונקציה שווה 1 קצב הייצור מקסימלי, וכאשר היא שווה לאפס הייצור נעצר. עבור דיכוי, הערך שלה יהיה גבוה בערכי חלבון נמוכים ונמוך בערכי חלבון גבוהים. עבור עידוד נשרטט את הפונקציה הפוך (ראו קופסא 3).

משוואת קצב כולל משוב
קופסא 3: משוואת המודל לאחר תוספת איבר המשוב. 'דיכוי' הוא בעצם משוב שלילי ו'עידוד' הוא בעצם משוב חיובי.

פתרון במצב יציב

כדי למצוא את הפתרון יש להגדיר באופן מפורש את פונקציות המשוב ולפתור את המשוואה, אך גם מבלי זה ניתן ללמוד לא מעט דברים על המערכת. במשוואה ישנם רק שני איברים שכל אחד מהם הוא פונקציה של הריכוז. פתרון המשוואה מתקבל כאשר הם שווים אחד לשני ולכן אם נשרטט את שתי הפונקציות (אחת לכל איבר) על אותו גרף שצירו האופקי הוא הריכוז, הפתרון יתקבל בנקודת החיתוך בין שתיהן. קצב הפירוק של החלבונים מתואר על ידי קו ישר המתחיל בנקודת הראשית וקצב הייצור מתואר על ידי הגרפים מקופסא 3.

פתרונות מרובים למשוב חיובי
קופסא 4: פתרון המשוואה הוא המצב היציב. במקרה של דיכוי (גרף עליון), או משוב שלילי, ישנו רק פתרון אחד. במקרה של עידוד (גרף תחתון), או משוב חיובי, ישנם מספר פתרונות אפשריים כתלות בפרמטרים של המערכת.

במקרה של דיכוי, או משוב שלילי, קל לראות בקופסא 4 (איור עליון) שלמשוואה יש פתרון אחד שערכו תלוי בשיפוע של גרף הפירוק ובצורתה של פונקצית המשוב. במקרה של עידוד, או משוב חיובי, מספר נקודות החיתוך בין הגרפים משתנה ויכול להיות 1, 2 או אפילו 3 (ראו קופסא 4, איור תחתון).

במקרה של 3 נקודות חיתוך ישנם שלושה פתרונות אפשריים, אך חלקם אינם מתרחשים במציאות מכיוון שאינם 'יציבים' (stable). מצב יציב שקול למקרה שבו מניחים כדור בתחתית קערה. גם אם נסיט אותו מנקודת שיווי המשקל הוא יחזור אליה. אם נהפוך את הקערה ונשים את הכדור על הקצה העליון שלה, ניתן אמנם לאזן אותו, אך כל הסטה, קטנה ככל שתהיה, תגרום לו  ליפול והוא לא יחזור לנקודה באופן ספונטני, וזהו פתרון לא יציב.

עבור המקרה שבו למערכת שלנו יש שני פתרונות יציבים, אחד בריכוז נמוך ואחד בגבוה, הדבר שקובע לאיזה מצב תגיע המערכת לאחר זמן ארוך הוא ריכוז החלבון בתחילת התהליך. כל עוד מתרחש השעתוק כשסביב ישנם רק מעט חלבונים, כמות החלבונים תישאר נמוכה. בעקבות העלאת כמות החלבונים, אולי ממקור חיצוני, תתייצב הכמות על הערך הגבוה. כלומר, המערכת 'נעולה' במצב גבוה או נמוך, ועל ידי התערבות חיצונית ניתן לעבור בין שני המצבים. למעשה תיארנו פעולה של מתג (סוויץ'), כזה שמורכב מרכיבים ביולוגיים.

Emergency_stop_button
תמונה 5: מתג במצב כבוי ליד מתג חירום. המקור לתמונה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Cjp24.

לסיכום

במקרים רבים המודלים המתמטיים מהסוג שהצגתי ברשימה מתארים באופן מוצלח מאוד התנהגות של מערכות ביולוגיות, וזאת למרות הפשטות וההפשטה שבהם.

חשוב לציין שרוב המעגלים הגנטיים בתא מסובכים לאין ערוך ממה שתארתי כאן ומכילים רכיבים רבים וקשרים מרובים וסבוכים בין מספר רב של חלבונים. כפועל יוצא, קשה מאוד כיום לכתוב מודל שלם של תא חי. אבל אין להתייאש, אנחנו בדרך (ראו דיון בתגובות של הרשימה הקודמת).

————————————————————–

לקריאה נוספת: "למה יש אנשים שחושבים שהם מכונות? על קבלת החלטות בעולם המיקרוסקופי".

מודעות פרסומת
  1. עדיין אין תגובות.
  1. No trackbacks yet.

להשאיר תגובה

הזינו את פרטיכם בטופס, או לחצו על אחד מהאייקונים כדי להשתמש בחשבון קיים:

הלוגו של WordPress.com

אתה מגיב באמצעות חשבון WordPress.com שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Twitter

אתה מגיב באמצעות חשבון Twitter שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Facebook

אתה מגיב באמצעות חשבון Facebook שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת גוגל פלוס

אתה מגיב באמצעות חשבון Google+ שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

מתחבר ל-%s

%d בלוגרים אהבו את זה: