ראשי > כללי > איך נשמעת מוזיקה מרובעת? על ניתוח הרמוניות

איך נשמעת מוזיקה מרובעת? על ניתוח הרמוניות

איך נראה צליל?

גל קול הוא הפרעה מחזורית בצפיפות האוויר (או במדיום אחר) שמתקדמת במרחב. הכוונה היא שאם נקפיא רגע מסוים שבו עובר באוויר גל קול ונמדוד את צפיפות האוויר במקומות שונים נגלה שערכה עולה ויורד בצורה מחזורית לאורך כיוון התקדמות הגל (בעגה: גל אורכי). מבלי להיכנס לפרטים, ניתן לומר שכאשר גלי הצפיפות האלה מגיעים לחיישנים באוזן שלנו הם מתורגמים על ידי המוח לצלילים שאנחנו מכירים. ההבדל, למשל, בין הצליל (התו המוזיקלי) שאנחנו נוהגים לכנות 'דו' לבין הצליל שאנחנו מכנים 'רה' הוא בתדירות התנודה של הגל (ראו איור 1).

גלי סינוס בתדיריות שונות
איור 1: גלי סינוס בתדירויות שונות. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש LucasVB.

אז מה ההבדל בין תו 'דו' שמופק על ידי חליל לבין תו 'דו' שמופק על ידי פסנתר? שניהם הרי גלים בעלי אותה תדירות.

נתחיל מדוגמה פשוטה יותר. האם נוכל להבדיל באמצעות שמיעה בלבד בין גל קול שבו המעברים בין צפיפות אוויר גבוהה ונמוכה הם חדים (גל מרובע, ראו איור 2 למטה) לבין גל קול שבו המעבר מדורג וחלק יותר (גל סינוס, ראו איור 2 למעלה)? התשובה היא שבמקרים מסוימים כן ובאחרים לא. כדי להסביר את התשובה אני זקוק לכלים אנליטיים שיאפשרו לי לבחון את אופיים של הגלים ואת מרכיביהם. כלומר, אני צריך מכשיר שיאפשר לי 'לראות את הבפנוכו' של הגלים.

גל סינוס וגל מרובע באותה תדירות
איור 2: גל סינוס וגל מרובע באותה התדירות. האים נוכל להבדיל ביניהם בשמיעה? המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש Omegatron.

הצליל הטהור וטור פורייה

אז מהו הצליל או התו המוזיקלי הטהור והבסיסי ביותר? אם יש בידינו קולן שמפיק את הצליל שמעניין אותנו, נוכל לקלוט אותו על ידי מיקרופון ולהזין את האות אל אוסילוסקופ שהוא מכשיר חשמלי שמציג אותות על גבי מסך. האות שיראה על מסך האוסילוסקופ הוא גל סינוס בתדירות המתאימה לקולן. אם כך, מכאן נתייחס לגל סינוס כאל גל הקול הטהור והבסיסי ביותר. באופן לא מקרי זה יעזור לנו בהמשך. אם רק הייתה לנו דרך לבטא גלים מחזוריים אחרים שאינם טהורים בעזרת סינוסים וקוסינוסים, יכולנו כך להשוות בין הגלים השונים… באופן אפילו פחות מקרי ישנה טכניקה מתמטית שעושה בדיוק את זה, ושדנתי בה בעקיפין גם ברשימות קודמות (למשל זאת).

קולן ואוסילוסקופ
תמונה 3: קולן (משמאל) ואוסילוסקופ (מימין). המקור לתמונות: ויקיפדיה וויקיפדיה, לשם הועלו על ידי המשתמשים Flapdragon, SIGLENT TECHNOLOGIES CO.,LTD בהתאמה.

מסתבר שניתן לכתוב כל פונקציה מחזורית (תחת תנאים מסוימים כמובן) כחיבור של פונקציות סינוס וקוסינוס. הטכניקה נקראת טור פורייה ובעזרתה ניתן לפרק כל גל מחזורי לאבני בסיס בצורת סינוסים (וקוסינוסים). האיברים בטור נבדלים אחד מהשני בתדירויות התנודה ובעוצמות שלהם.

נתחיל משתי הדוגמאות הפשוטות ביותר. הטור שמייצג גל סינוס מורכב פשוט מאיבר אחד שהוא הסינוס עצמו. לעומת זאת, גל שנקרא 'פעימה' הוא מעט מורכב יותר. יש לו תדירות שינוי פנימית מהירה ותדירות שינוי חיצונית איטית יותר שמהווה סוג של מעטפת (ראו איור 4). גל זה נוצר מחיבור של שני גלי סינוס בעלי תדירות שונה במקצת, ומכאן שטור פורייה של הפעימה מורכב משני איברים. ישנם כמובן גלים מורכבים יותר שמכילים מספר רב יותר של איברים ושבהם כל איבר מופיע בעוצמה שונה, כלומר הוא יוכפל במקדם שונה.

פעימות
איור 4: פעימה של שני תדרים. בשחור הגל שמתנודד מהר ובאדום המעטפת שמתנודדת לאט. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש Ansgar Hellwig.

נוכל להשתמש בפירוק של פונקציות מחזוריות על ידי טור פורייה כדי להשוות בין צלילים שונים. דבר זה שקול באופן תיאורטי לשחזור צליל שמעניין אותנו על ידי קבוצה של קולנים שעליהם נקיש בו זמנית, כל אחד בעוצמה הרצויה. נוכל להשוות בין הקולנים ועוצמות ההקשה הדרושים לשחזור צלילים שונים כדי ללמוד על אופיים. ההבדל הוא שבמתמטיקה זה גם קל לביצוע ושימושי מאוד.

למעוניינים להעמיק במתמטיקה של טור פורייה מומלץ לקרא על כך בבלוג לא מדויק.

הרמוניות

טור פורייה של גל סינוס, כאמור, מכיל רק איבר אחד שהוא הסינוס עצמו. מה הוא אם כן טור הפורייה של גל מרובע? ובכן, במקרה הכינותי מראש את הפתרון והוא רשום באיור 5.

טור פורייה גל מרובע
איור 5: טור פורייה של גל מרובע.

אחת התכונות של טורי פורייה היא שאי רציפות בפונקציה המקורית, כמו למשל במעברים בין גבוה ונמוך בגל המרובע, מבטיחה שנזדקק לאינסוף איברים בטור. הניסיון 'לצייר' גל עם פינות חדות בעזרת סינוסים מזכיר לי ניסיון לצייר מעגל בעזרת קווים ישרים. הטור שקיבלנו עבור הגל המרובע מכיל אינסוף סינוסים שהראשון הוא התדר הראשי של הגל ושאר האיברים מכונים הרמוניות. העוצמה שלהן קטנה לפי המקדם n-1  , ולכן רוב האנרגיה של הגל מרוכזת בהרמוניות הנמוכות. דבר נוסף שכדאי לזכור הוא שתחום התדרים שאדם בוגר מסוגל לשמוע נע בין 20 ל-20000 הרץ (יותר קרוב ל-15k אם אתם לא ילדים, ראו סרטון קצר ומחכים) ולכן בכל מקרה נוכל לשמוע רק מספר הרמוניות סופי של הגל.

המסקנה המיידית של קיום ההרמוניות בגל מרובע היא שבמקרים מסוימים גל מרובע לא ישמע לאוזנינו כמו גל סינוס מכיוון שאנחנו שומעים תדרים נוספים גבוהים יותר. כמו כן, הגל מרובע ישמע לנו חלש יותר כי חלק מהאנרגיה נמצא בהרמוניות הגבוהות ואותן אין אנו יכולים לשמוע. אבל מדוע טרחתי להסתייג למקרים מסוימים?

מטור הפורייה נוכל לראות שתדירות ההרמוניה השניה של גל מרובע גדולה פי 3 מהתדירות הראשית. מכאן שאם התדר הראשי של הגל המרובע הוא כ-5000 הרץ ההרמוניה השניה היא ב-15000 הרץ ולכן נמצאת כבר בקצה יכולת השמיעה של אדם בוגר. כלומר, עבור תדירויות שגבוהות מ-5000 הרץ לא נוכל לשמוע אף אחת מההרמוניות ולכן גל מרובע ישמע לאוזנינו כמו גל סינוס אבל בעוצמה מעט נמוכה יותר. לא מאמינים לי? הנה קישור לסרטון שמדגים את התופעה.

אז מה ההבדל בין תו 'דו' של חליל לתו 'דו' של פסנתר? התדר הראשי זהה בשניהם, אבל ההרמוניות של כל אחד מהן שונות ומשונות, וזה מה שנותן לכל אחד את הגוון והטעם המיוחד שלו (להרחבה).

ולסיום, חידה: כיצד ניתן להפוך גל מרובע לגל סינוס?

מודעות פרסומת
  1. שייע
    24/05/2014 בשעה 10:51 pm

    כדי להפוך גל מרובע לגל סינוס יש להעבירו דרך מסנן שיעיף את כל ההרמוניות הגבוהות, מה שמכונה Low pass filter.

  2. 24/05/2014 בשעה 11:49 pm

    שייע: אכן, אכן. אבל אם אתה יודע מהו low pass filter אז נראה לי שהחידה לא הייתה כל כך מאתגרת עבורך. אז אם אתה עדיין בסביבה בו נלך בכיוון ההפוך. איך היית הופך גל סינוס לגל מרובע?

    • שייע
      25/05/2014 בשעה 12:04 am

      הממ. יש הרבה דרכים, תלוי במה מותר להשתמש. אולי לגרום למגבר שרת לנוע בין מתחי הספק? זה לא יתן גל ריבועי טהור אבל זה יהיה די ריבועי.
      מאד נהנה מהבלוג דרך אגב.

      • 25/05/2014 בשעה 12:32 am

        כן, למשל להכניס אותו לשמיט טריגר.
        חבל, לא הצלחתי להפיל אותך בפח. ידעת לא ללכת במקרה הזה בכיוון של ניתוח הרמוניות. אתה יודע יותר מידי 😉
        תודה על הפידבק החיובי.

  3. יאיר
    14/12/2014 בשעה 6:03 pm

    הממ.. קצת באיחור, אבל אני הייתי מייצר גלים שיתנו התאבכות הורסת לכל ההרמוניות מלבד גל הסינוס עצמו.

    • 14/12/2014 בשעה 10:00 pm

      שזה בדיוק מה שעושה Low pass filter שעליו כתב המגיב שייע מהתגובה הראשונה. השאלה המעניינת היא איך נראה גל כזה?
      ניתן לגלות על ידי ניתוח פורייה הפוך מתחום התדר אל תחום הזמן של תדרי הפילטר.

      • יאיר
        14/12/2014 בשעה 10:13 pm

        וואלה. אני לא מהתחום… לא היכרתי את המושג

  4. יאיר
    14/12/2014 בשעה 6:06 pm

    אה, וכאן יש אפלט (Applet) נחמד שממחיש את הפוסט הזה בצורה יפה:
    http://www.falstad.com/fourier/e-index.html

    • 14/12/2014 בשעה 10:02 pm

      נכנסתי ושיחקתי. נחמד, תודה על הקישור.

  1. No trackbacks yet.

כתיבת תגובה

הזינו את פרטיכם בטופס, או לחצו על אחד מהאייקונים כדי להשתמש בחשבון קיים:

הלוגו של WordPress.com

אתה מגיב באמצעות חשבון WordPress.com שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Twitter

אתה מגיב באמצעות חשבון Twitter שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Facebook

אתה מגיב באמצעות חשבון Facebook שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת גוגל פלוס

אתה מגיב באמצעות חשבון Google+ שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

מתחבר ל-%s

%d בלוגרים אהבו את זה: