ראשי > כללי > שעשועי פולינומים

שעשועי פולינומים

הפעם רשימה שונה מהרגיל. במקום הרבה מילים ללא מתמטיקה, פחות מילים עם יותר מתמטיקה. אבל כיאה לכותב הרשימה, לא מדובר חלילה במתמטיקה מסובכת אלא בחשבונאות פשוטה, אל חשש.

פשוט בא לי לשחק קצת בפולינומים.

זהירות מתמטיקה

***

אתחיל בלהסביר מהו בכלל פולינום. מדובר בביטוי מתמטי שמורכב מטור חזקות של הנעלם, כאשר כל חזקה מוכפלת במקדם כלשהו. לדוגמה:

eq1

או למשל

eq2

או אפילו

eq3

נוכל לרשום באופן כללי:

eq4

או בכתיבה מקוצרת עם סימן סכימה:

eq5

'הסדר' של הפולינום הוא החזקה הגבוהה ביותר שמופיעה בו, כלומר בדוגמה הראשונה למעלה הוא 2, בשניה 51, בשלישית 1 וברישום הכללי הסדר n.

פולינומים מעניינים אנשי מדע מהרבה סיבות. לדוגמה, לא מעט בעיות פיזיקליות, כימיות, ביולוגיות או הנדסיות ניתנות לביטוי כמשוואה ריבועית. הערכים שפותרים את המשוואה הם אלה שהצבתם בפולינום מסדר שני תניב את התוצאה אפס.

מקרה מעניין נוסף בו יש שימוש נרחב בפולינומים הוא בתורת הבקרה העוסקת באפיון מערכות דינמיות ותכנון השליטה עליהן באמצעות כלים מתמטיים. תיאור פיזיקלי של המערכות מוביל בדרך כלל למשוואה דיפרנציאלית, שהיא משוואה שמכילה נגזרות ושבה הנעלמת היא פונקציה ולא ערך של משתנה. הפונקציה הפותרת את המשוואה מתארת את התנהגות אחת התכונות של המערכת בזמן ו\או במרחב. ניתן להמיר משוואה דיפרנציאלית למשוואה אלגברית (כלומר ללא נגזרות) על ידי שימוש בטכניקות מתמטיות שנקראות התמרת פורייה או התמרת לפלאס (בעגה: מעבר למרחב התדר). המשוואה האלגברית תהיה מורכבת מפולינומים. אחד הדברים שמעניין אותנו בבעיות מסוג זה הוא התמסורת של המערכת, כלומר היחס בין אות הכניסה לאות היציאה או התגובה של המערכת ל-'גירויים' חיצוניים. תחת ההתמרות הביטוי לתמסורת יהיה נתון על ידי חלוקה בין שני פולינומים. מתוך הידע המתמטי הרב על פונקציות מהסוג הזה ובשילוב עם ידע מאלגברה ליניארית נגזר כל הבסיס של התורה.

ישנן כמובן דוגמאות נוספות לשימוש בפולינומים אבל לעת עתה אסתפק באלה, אפסיק עם הניים-דרופינג ואתקדם לעצם העניין.

***

מהם הפתרונות של המשוואה הבאה:

eq6

זוהי משוואה מסדר שלישי, ולכן יש לה שלושה פתרונות שאותם לא תוכלו למצוא בעזרת הנוסחא שלמדתם בתיכון עבור משוואה ריבועית. לבעיות מהסוג הזה קיים פתרון אנליטי סגור אבל הוא מתיש למדי, אז בואו נניח שמישהו גילה לנו ש- x=-1 הוא אחד הפתרונות. נחמד מצידו. איך ממשיכים מפה?

מתוך הידיעה שהצבת x=-1 בפולינום תאפס אותו ברור שאחד הגורמים שמרכיבים אותו הוא הפולינום (x+1), ולכן נוכל לשכתב אותו כך:

eq7

כאשר a,b ו-c הם מקדמים כלשהם. נפתח את הסוגריים ונמצא את המקדמים:

eq8

אבל יש דרך יותר אלגנטית להגיע לאותה תוצאה על ידי סוג של חילוק. הנה ראו:

eq9

ועכשיו גם הסבר: בכל שלב אנחנו מחלקים את החזקה הגבוהה של הפולינום המחולק בחזקה הגבוהה של הפולינום המחלק ואז כופלים את התוצאה במחלק ומחסירים את זה מהמחולק לקבלת מחולק חדש. ממשיכים בתהליך עד למיצוי או עד לקבלת שארית שבה החזקה הגבוהה של המחולק באותו שלב קטנה מזו של המחלק. הנה פירוט של השלבים הראשונים:

eq10

אם יש לכם ילדים בגיל הנכון ועשיתם איתם שיעורים לאחרונה זה אמור להיות לכם מוכר. זה דומה עד מאוד לחילוק ארוך, אבל האם השיטה זהה לחילוק ארוך? ואם כן, מדוע לדעתכם זה עובד בפולינומים?

כדי למצוא את שני הפתרונות הנותרים יש למצוא את המספרים שמאפסים את הפולינום שקיבלתי מהחילוק, כלומר להשוות אותו לאפס ולפתור משוואה ריבועית. אני אניח שאת הנוסחה לפתרון המשוואה הזאת אתם יודעים ולכן אגש לעניין בדרך מעט יותר מעניינת. נתחיל מעובדה הבאה:

eq11

התוצאה דומה מאוד לפולינום שלנו. נשתמש בה כדי לקבל ביטוי נוח יותר:

eq12

ועכשיו אפשר להוציא שורש ולמצוא את הפתרון:

eq13

אם הדרך שבה בחרתי מצלצלת לכם מוכרת, זה בגלל שבכל חלק שלה צצים ביטויים שמזכירים את הנוסחא לחישוב שורשים. דבר זה אינו מפתיע מכיוון שבדרך הזאת ניתן לפתח את הנוסחא הכללית שכולכם למדתם ביגון רב. כל מה שעליכם לעשות הוא לשנות את המספרים בפולינום שפתרתי לאותיות ולחזור על אותם שלבים. השלב הראשון, אגב, נקרא 'השלמה לריבוע' והוא מאוד שימושי גם במקרים אחרים.

למי שמעוניין בהסבר מפורט יותר על השיטה ועל מקורותיה הבבליים, כולל הסבר גיאומטרי עם ציורים, אני ממליץ לקרוא על כך בבלוג 'לא מדויק'.

אה, ולפני שאשכח, זה מה שקיבלתי:

eq14

והפתרונות של המשוואה הם 1-,2- ו- 5-.

***

לסיום, שעשוע אחר. נניח שבידינו הביטוי הבא:

eq15

וברצוננו לפרק אותו לשני שברים בצורה הבאה:

eq16

כיצד נמצא את A, ו-B הנכונים? ניתן כמובן לחבר את שני השברים ואת תוצאת החיבור להשוות לשבר המקורי, אבל זה ארוך ומייגע עד מאוד. ישנה דרך קלה יותר. למציאת A הסתירו עם האצבע את הגורם (x-3) והציבו בביטוי שנותר את המספר שמאפס אותו, כלומר 3. התוצאה שמתקבלת אחרי החלוקה היא A. באופן דומה, לקבלת B הסתירו את הגורם (x+2) והציבו בביטוי שנותר את המספר שמאפס אותו, כלומר 2-.

eq17

למה אתם חושבים שהשיטה הזאת עובדת?

***

זהו, אני סיימתי. אם יש לכם שעשועים דומים אתם מוזמנים לשתף, עד כמה שניתן עקב אפשריות הכתיבה המוגבלות בתגובות.

מודעות פרסומת
  1. עדיין אין תגובות.
  1. No trackbacks yet.

כתיבת תגובה

הזינו את פרטיכם בטופס, או לחצו על אחד מהאייקונים כדי להשתמש בחשבון קיים:

הלוגו של WordPress.com

אתה מגיב באמצעות חשבון WordPress.com שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Twitter

אתה מגיב באמצעות חשבון Twitter שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Facebook

אתה מגיב באמצעות חשבון Facebook שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת גוגל פלוס

אתה מגיב באמצעות חשבון Google+ שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

מתחבר ל-%s

%d בלוגרים אהבו את זה: