ראשי > כללי > דִיפְרֵנְט דִיפְרֵנְט בָּאט סֵיְים – על אוסילטור הרמוני ומערכות אקוויוולנטיות

דִיפְרֵנְט דִיפְרֵנְט בָּאט סֵיְים – על אוסילטור הרמוני ומערכות אקוויוולנטיות

הבה נביט יחדיו במטוטלת בשעונו העתיק של סבא שנדה לה ימינה ושמאלה ללא הרף. האם אפשר למצוא עניין בפעולה כל כך מונוטונית? לדעתי כן, ואני אנסה להסביר כיצד.

מה הקשר בין אותה מטוטלת לקפיץ, ואיך שני אלה קשורים למעגל חשמלי?

[אזהרה: הרשימה מכילה הפעם מעט מתמטיקה ברמה תיכונית]

***

גוף וקפיץ

איור 1: גוף מחובר לקיר באמצעות קפיץ ונע על מסילה ללא חיכוך.

נניח שגוף שמחובר לקיר על ידי קפיץ יכול לנוע על מסילה ללא חיכוך (ראו איור 1). הסטה קלה של הגוף תגרום למתיחה קלה של הקפיץ ולאגירה של מה שמכונה 'אנרגיה פוטנציאלית' בתוכו. כאשר נשחרר את אחיזתנו הקפיץ יפעיל כוח על הגוף וימשוך אותו אליו, והגוף יחל להאיץ לכיוון הקיר. ככל שהגוף יתקרב לנקודה שבה הקפיץ רפוי כך יקטן הכוח שפועל עליו ותגדל המהירות. באותה נקודה כל האנרגיה שהיתה בקפיץ תהיה אגורה בגוף כ-'אנרגיה קינטית' שקשורה למהירותו. כאשר הגוף עובר את הנקודה הוא גורם לכיווץ הקפיץ שבתורו שוב מפעיל כוח על הגוף אבל בכיוון ההפוך ולכן הגוף מתחיל להאט. כלומר האנרגיה שוב מתחילה לעבור ממצב קינטי למצב פוטנציאלי, מהגוף לקפיץ. ללא חיכוך ואיבוד אנרגיה לחום התנודה הזאת של הגוף ימינה ושמאלה תמשיך לעד.

'פתרון פיזיקלי' של הבעיה מורכב מפונקציה מתמטית שתבטא את המיקום של הגוף בכל רגע נתון ונסמן אותו ב-(x(t, כך ש-t הוא הזמן ו-x הוא המיקום. את הכוח בבעיה שתיארתי ניתן לבטא על ידי הקשר F=-kx, כך ש-F הוא הכוח ו-k הוא קבוע המבטא את קשיחותו של הקפיץ, כלומר כמה כוח צריך להפעיל כדי למתוח אותו במטר אחד. סימן המינוס מבטא את העובדה שהקפיץ תמיד 'שואף' להחזיר את הגוף לנקודת שיווי-המשקל (x=0) ולכן מכונה 'כוח מחזיר'.

מהחוק השני של ניוטון אנחנו יודעים שהקשר בין כוח לתנועה נתון על ידי F=ma כך ש-a היא התאוצה. תאוצה היא קצב השינוי של המהירות בזמן ומהירות היא קצב השינוי של המיקום בזמן. הדרך המתמטית לבטא קצב שינוי הוא על ידי פעולת הנגזרת ולכן ניתן להמיר את החוק השני ל- "F=mx כך ש-m זה המסה וכל גרש מסמנת נגזרת בזמן. אם נשווה בין שני הביטויים שקיבלנו עבור הכוח נקבל: mx"+kx=0. זאת משוואה דיפרנציאלית, כלומר הנעלמת במשוואה היא הפונקציה (x(t עצמה.

מכיוון שאנחנו מתארים תנועה מחזורית, לא מפתיע שהפונקציות שמקיימות את המשוואה הן סינוס וקוסינוס (אם נגזור אותן פעמיים נקבל אותן חזרה עם סימן מינוס). עקב הימצאות הקבועים k ו-m במשוואה הפתרון הוא: (x(t)=Asin(wt+φ כך ש- w2=k/m, ו-w היא תדירות התנודה, φ מופע (פאזה) בזמן אפס ו-A היא משרעת התנודה (ראו איור 2).

[מי שמעוניין להעמיק במשוואה מוזמן לקרא בבלוג 'לא מדויק' כאן ואז כאן]

Oscilator solution with damping

איור 2: גרף המציג את הפתרון של משוואת האוסילטור ההרמוני, כלומר המיקום כפונקציה של הזמן. הקו הכחול הוא הפתרון שהוצג ברשימה לבעיה שאינה כוללת חיכוך. ניתן לראות בשאר הצבעים כיצד החיכוך גורם להפסקת התנודות ולעצירה. שימו לב שהגדלים של הגרף נבחרו בצורה מחוכמת כך שהוא חסר יחידות, גנרי ומתאים לכל A ולכל w. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש Nuno Nogueira – Nmnogueira.

המשוואה הדיפרנציאלית שהוצגה חשובה לא רק מכיוון שהיא מתארת את בעיית הקפיץ, אלא כי היא מתארת משפחה שלמה של תופעות שנקראת אוסילטור הרמוני. בכל פעם שניסוח מתמטי של בעיה פיזיקלית יוביל למשוואה הזאת, נדע מיד שמדובר באוסילטור הרמוני שאת פתרונו אנחנו כבר מכירים. הדוגמאות המוכרות ביותר לאוסילטור הרמוני מלבד זאת שהוצגה הן גוף התלוי על קפיץ, מטוטלת (מתמטית), תנועה של כדור בתחתית קערה וגוף שצף ושוקע על גבי נוזל. בכל הדוגמאות האלה קיים כוח מחזיר השקול לקפיץ ועבור תנודות קטנות סביב נקודת שיווי-המשקל המודל של אוסילטור הרמוני מתאים. כעת בואו ונבחן מקרה מעט יותר אקזוטי.

התבוננו במעגל החשמלי באיור 3 בו מחוברים שני רכיבים בסיסיים באלקטרוניקה: קבל וסליל. אסביר עליהם בקיצור נמרץ.

ברשימה הקודמת בה הצגתי את 'המעגל הגוזר' הסברתי על הרכיב שנקרא קבל. רכיב זה אוגר בתוכו אנרגיה בשדה חשמלי והמטען החשמלי עליו תמיד נתון על ידי Q=CV, כך ש-Q זה המטען, V המתח ו-C הקיבול. מכיוון שזרם הוא שינוי מטען חשמלי בזמן אז הזרם על הקבל הוא הנגזרת של המטען ונתון על ידי 'I=CV, כך ש- C הוא הקיבול, V המתח, I הזרם והגרש מסמלת נגזרת בזמן.

הסליל (או משרן) הוא תיל מוליך מלופף בצורת גליל. כאשר מעבירים בו זרם נוצר בגליל שדה מגנטי. שינוי בזרם דרך הסליל גורר שינוי בשדה המגנטי אשר מייצר מתח שמתנגד לשינוי (חוק לנץ). המתח על הסליל נתון על ידי 'V=LI, כך ש-L היא 'ההשראות' שהיא היחס בין שטף השדה המגנטי לזרם.

LC circuit

איור 3: תרשים של מעגל LC פשוט. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש First Harmonic.

נניח שלפני חיבור המעגל היה אגור על לוחות הקבל מטען Q. המתח על שני הרכיבים שווה אך הפוך בסימן (כי הם מחוברים אחד לשני) ולכן לפי תכונות הקבל והסליל נוכל לרשום: 'Q/C=-LI. אם נגזור את השוויון ונחליף אגפים נקבל 0="Q'/C+LI, או בעצם I"+I/LC=0. אני מקווה שאתם כבר מזהים את המשוואה – אוסילטור הרמוני! מה שקורה הוא שהמטען על הקבל זורם דרך הסליל ומייצר שדה מגנטי שמתנגד לשינוי הזרם וטוען חזרה את הקבל בכיוון הפוך, ואז אותו דבר רק להפך עד-אינפיניטום. האנרגיה האגורה בשדה החשמלי בקבל עוברת להיות אגורה בשדה המגנטי בסליל וחוזר חלילה. תדירות השינוי נתונה על ידי: w2=1/LC.

המעגל שתיארתי מכונה מעגל LC ויש לו שימושים רבים באלקטרוניקה כאשר הידוע שבהם הוא לקליטה של שידורי רדיו (ראו רשימה בנושא רדיו). כאשר אנחנו מסובבים את החוגה אנחנו בעצם מכוונים את ה-L או ה-C במעגל LC לקבלת תדירות תנודה w כך שתהיה זהה לתדירות השידור אותה אנחנו מעוניינים לקלוט.

***

הדוגמה שהצגתי לאקוויוולנטיות בין מערכות מכאניות לחשמליות, כלומר לאלמנטים פיזיקליים שונים שמתוארים במשוואות המתמטיות באופן זהה,  אינה ייחודית. קפיץ משתקף במשוואות מכאניות בדיוק כמו שקבל משתקף במשוואות חשמליות. הסליל שקול למסה, המתח לכוח, הזרם למהירות ומטען למיקום. מה ההיגיון שעומד מאחורי כל זה?

מודעות פרסומת
  1. 29/03/2014 ב- 4:57 pm

    הדגמה לשימוש מעשי בתכונות אוסילטור הרמוני מכני תוכל לראות כאן:
    http://wp.me/pXLKy-1WS
    ובשני הפרקים שאחריו.

  2. 29/03/2014 ב- 5:34 pm

    lulisml: תודה על ההרחבה המעשית.

  1. 05/06/2015 ב- 3:25 pm
  2. 23/10/2015 ב- 4:50 pm

להשאיר תגובה

הזינו את פרטיכם בטופס, או לחצו על אחד מהאייקונים כדי להשתמש בחשבון קיים:

הלוגו של WordPress.com

אתה מגיב באמצעות חשבון WordPress.com שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Twitter

אתה מגיב באמצעות חשבון Twitter שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Facebook

אתה מגיב באמצעות חשבון Facebook שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת גוגל פלוס

אתה מגיב באמצעות חשבון Google+ שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

מתחבר ל-%s

%d בלוגרים אהבו את זה: