ראשי > כללי > מתמטיקה בזמן אמת – על מעגל גוזר

מתמטיקה בזמן אמת – על מעגל גוזר

המתמטיקה נותנת לנו כלים לחשב את הנגזרת של כל פונקציה ידועה, אך מה נעשה אם הפונקציה אינה ידועה מראש? גרוע מכך, מה נעשה אם נרצה לחשב את הנגזרת בזמן אמת? לדוגמה, נניח שיש לנו תרמומטר שפולט אות מתח חשמלי שעוצמתו פרופורציונית לטמפרטורה בחדר ואנחנו רוצים למדוד את קצב השינוי בטמפרטורה, כלומר את הנגזרת. מכיוון שלא קיימת פונקציונליות ברורה אין באפשרותנו להשתמש בכלים האנליטיים הרגילים.

[הערת שוליים: למי שלא זוכר מהי נגזרת, עסקתי בה בהרחבה ברשימה קודמת. אזכיר רק שניתן לחשוב על הנגזרת כמדד לשינוי בפונקציה בנקודה מסוימת, כך למשל קצב השינוי במיקום שלנו בין זמנים שונים הוא בעצם המהירות בה אנחנו נעים. המהירות, אם כך, נתונה על ידי נגזרת של המקום ביחס לזמן.]

דרך אחת לחשב נגזרת תוך כדי תנועה היא לדגום את האות לקבלת אות דיגיטלי ולחשב את השינוי בעוצמה בין דגימה לדגימה. את פעולת הדגימה הסברתי בהרחבה ברשימה קודמת. דרך אחרת היא הדרך האנלוגית, כלומר לבנות מעגל חשמלי שהמתח שנמדוד ביציאה שלו יהיה פרופורציוני לנגזרת של מתח הכניסה.

קל אולי לדמיין מעגל חשמלי שמחבר מתחים, אבל איך מעגל יכול לגזור את המתח הכניסה?

מספריים

תמונה 1: אם במקרה אתם לא בטוחים איך נראים מספריים אז הנה. המקור לתמונה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Comet27.

כדי לבנות מעגל גוזר נזדקק אך ורק לשלושה רכיבים מאוד בסיסיים באלקטרוניקה: נגד, קבל ומגבר שרת (Operational amplifier). אסביר בקצרה על כל אחד מהם.

הנגד הוא רכיב חשמלי בעל שתי נקודות חיבור. אם נחבר אותו למקור מתח יזרום דרכו זרם חשמלי ותוך כך חלק מהאנרגיה תאבד ליצירת חום. היחס בין המתח החשמלי שעל הנגד לזרם שיעבור בו הוא ההתנגדות, כלומר: V=I·R, כך ש- V זה מתח, I זרם ו-R התנגדות.

גם הקבל הוא רכיב בעל שתי נקודות חיבור. בצורתו הפשוטה ביותר מדובר בעצם בשני לוחות מוליכים שביניהם מפריד חומר מבודד שיכול למשל להיות זכוכית, חומר קרמי או אפילו אוויר (ראו איור 2). ייחודו של הקבל בכך שהוא מסוגל לאגור אנרגיה בשדה החשמלי שבתוכו. אם נחבר את הקבל למקור מתח יצטבר מטען חשמלי חיובי על לוח אחד ומטען חשמלי שלילי, זהה בערכו, על הלוח השני, כך שסך כל המטען עליו הוא אפס. היחס בין המטען על לוחות הקבל למתח הוא הקיבול, כלומר: Q=C·V, כך ש- Q זה המטען, V המתח ו-C הקיבול. כדאי גם לציין שמכיוון שהקבל הוא למעשה נתק במעגל, לאחר שהוא נטען בעזרת מתח ישר (כלומר בעל ערך קבוע בזמן) הזרם יפסק. לעומת זאת, אם נפעיל מתח חילופין, זרם החילופין יזרום ללא בעיה.

Parallel_plate_capacitor

איור 2: קבל לוחות. באפור הלוחות המוליכים ובכחול החומר המבודד. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש inductiveload.

זרם הוא למעשה קצב השינוי של המטען בזמן, כלומר נגזרת של המטען לפי הזמן. נרשום 'I=Q, כאשר הגרש מסמלת נגזרת בזמן. על הקבל, כאמור, המטען נתון על ידי המתח כפול הקיבול, ומכאן נובע שהזרם על הקבל נתון על ידי הקיבול (שהוא קבוע) כפול הנגזרת של המתח בזמן, כלומר שעל הקבל 'I=C·V. בהנחה שהפעלנו מתח חילופין סינוסואידלי, הנגזרת נתונה על ידי קוסינוס (הנגזרת של סינוס), כלומר קיבלו שינוי פאזה, או פיגור של 90 מעלות. מה שנראה הוא שאות היציאה מוזז ביחס לאות הכניסה ברבע מחזור.

מגבר שרת הוא התקן שנזקק למקור מתח חיצוני להפעלה ומורכב ממעגל חשמלי מסובך שמכיל רכיבים רבים. מה שחשוב לנו הוא שיש לו שלוש נקודות חיבור: יציאה אחת ושתי כניסות המסומנות בפלוס ומינוס (ראו איור 3). ייחודו של הרכיב בכך שהוא מגביר חזק מאוד ביציאה את ההפרש בין מתחי הכניסה. במצב רגיל, מכיוון שהמתח ביציאה מוגבל על ידי גובה אספקת המתח החיצונית, נמדוד ברגל היציאה מתח מקסימלי חיובי או שלילי, כתלות באיזה רגל כניסה היה מחובר מתח גבוה יותר.

Op-amp

איור 3: סכימה של הכניסות והיציאות של מגבר שרת ונוסחת ההגבר במעגל פתוח. V+ ו- V הם הכניסות, Vout היציאה, VS אספקת המתח החיצונית ו-Aol ההגבר ללא חיבור משוב. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש Omegatron.

המצב הופך להרבה יותר מעניין אם מחברים את רגל היציאה לרגל הכניסה השלילית, לקבלת מעגל משוב שלילי. כעת המתח ביציאה לא יגיע לערך הרוויה מכיוון שככל שהוא גדל כך הוא מקטין את הכניסה ולהפך. נזכר שמתח היציאה נתון על ידי ההפרש בין מתחי הכניסה כפול מספר ענקי (ראו איור 3). מכיוון שכעת מתח היציאה 'מאולץ' להיות נמוך באופן יחסי, ההפרש בין מתחי הכניסה 'מאולץ' להיות קטן מאוד. כלומר בתצורה זאת הזרימה במעגל 'תתארגן' כך שהמתחים בכניסות ישתוו באופן מעשי. מצב זה מכונה 'קצר וירטואלי', מכיוון שישנן שתי נקודות במעגל שהמתח עליהן שווה בכל רגע (הגדרה של קצר) אך הן כלל אינן מחוברות אחת לשניה (יש ביניהן נתק).

החלק העליון של איור 4 מתאר את החיבור של שלושת הרכיבים: נגד, קבל ומגבר שרת. הוא אולי נראה מבלבל אך הוא פשוט לניתוח. מתח היציאה של המעגל פרופורציוני לנגזרת של מתח הכניסה ולכן זהו מעגל גוזר שזה מה שחיפשנו (ראו ניתוח מתמטי באיור 4). הסיבה לכך היא שעקב הקצר הוירטואלי מתח היציאה במעגל תלוי בזרם על הנגד שתלוי בזרם על הקבל שתלוי בנגזרת של מתח הכניסה.

מעגל גוזר עם הסברים
איור 4: מעגל גוזר וניתוח מתמטי של תלות מתח היציאה במתח הכניסה. המקור לאיור: ויקיפדיה (הנוסחאות והעברית זה אני), לשם הועלה על ידי המשתמש Alessio Damato.

האם יש שימוש למעגל מעבר לגזירה עצמה? שימו לב שבעצם קיבלנו מעגל חשמלי בעל רגישות גבוהה לקצב השינוי באות הכניסה. אם למשל מתבצע תהליך תעשייתי שבו שינוי מהיר מידי בטמפרטורה יגרום להרס התוצר, נוכל להשתמש במעגל להתרעה על שינוי חד. כמו כן, סוג כזה של מעגל משמש בין היתר במעגלי שליטה ובקרה אנלוגיים.

טוב, אז סגרנו את הפינה של הנגזרת. בפעם אחרת: איך לבצע התמרת פורייה בעזרת עדשה!

מודעות פרסומת

להשאיר תגובה

הזינו את פרטיכם בטופס, או לחצו על אחד מהאייקונים כדי להשתמש בחשבון קיים:

הלוגו של WordPress.com

אתה מגיב באמצעות חשבון WordPress.com שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Twitter

אתה מגיב באמצעות חשבון Twitter שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Facebook

אתה מגיב באמצעות חשבון Facebook שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת גוגל פלוס

אתה מגיב באמצעות חשבון Google+ שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

מתחבר ל-%s

%d בלוגרים אהבו את זה: