ראשי > כללי > על מעלותיו של כדור ועל זוויות בכלל

על מעלותיו של כדור ועל זוויות בכלל

אחד הדברים שאני נוהג לעשות בשבת בצהריים הוא לעיין בבלוג 'עונג שבת' של גיאחה. לפני כשבועיים התפרסם האייטם הבא (הציטוט בעריכה קלה שלי): "ברור שסיגור רוס (שם של להקה א.ש.) העלו וידאו של הופעה שלמה ב-360 מעלות. [בעצם זה כדורי ולא מעגלי. כמה מעלות יש בכדור?]"

אני עניתי בקצרה בתגובות, מבלי לחשוב יותר מידי, ובאופן מעט מבודח: "מעגל מתואר על ידי רדיוס וזווית בטווח של 0-360 מעלות. כדי לקבל כדור (מעבר בין 2 ל-3 מימדים) יש להוסיף זווית נוספת בטווח של 0-180 מעלות. מוגש כשירות לציבור."

אבל יש דברים שלא צוחקים עליהם. יומיים אחר כך ננזפתי על ידי מגיב אחר, שגם קישר לויקיפדיה מבלי לפרט. למעשה שנינו לא בדיוק ענינו על השאלה, אבל התשובה שלו במובן מסוים נכונה יותר. זאת הזדמנות טובה לדון בנושא זוויות, איך מגדירים את גודלן, ומה קורה שרוצים להתרומם מהמישור למרחב התלת-ממדי. אנסה להסביר גם מדוע למרות שהמגיב הנוזף הפנה למקום הנכון אני עדיין מעדיף את התשובה שלי.

***

Angle

איור 1: מדידת הזווית θ על ידי חלוקה של S ב-R. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש Gustavb.

אז מהי זווית? נוח להגדיר זווית על ידי שני ישרים שנחתכים. מידת הסיבוב סביב נקודת החיתוך שדרושה כדי שהישרים יתלכדו היא הזווית. ערכה של זווית נע בין אפס לבין סיבוב שלם, וכל ערך גדול יותר חוזר על אותן זוויות. כדי להגדיר את גודלה של הזווית נשרטט קשת שהיא חלק ממעגל שמרכזו בנקודת החיתוך (ראו S באיור 1). נגדיר את גודלה של הזווית כחלוקה בין אורך הקשת S לרדיוס R. נוסיף גם כפל בקבוע K שיאפשר לנו לקבוע את גודל היחידות לשם נוחות. הגדרה זאת שומרת על ערכה של הזווית ללא תלות בגודל המעגל שעליו הוגדרה.

הקשת המקסימלית מוגדרת על ידי ההיקף של המעגל שאורכו 2πR (באמצע זה פאי, הפונט פה לא מוצלח). במידה ונבחר את הקבוע K להיות 360/2π, נקבל את הסולם שכולנו מכירים שבו סיבוב מלא הוא 360 מעלות. הבחירה הזאת היא שרירותית ולשימושים שונים נוח לבחור יחידות שונות (לדוגמה). כאשר עוסקים במתמטיקה ובפיזיקה הבחירה הנוחה ביותר תהיה K=1. כלומר ערכה של זווית המגדירה סיבוב שלם הוא 2π רדיאנים. תחת הבחירה הזאת ביטויים מתמטיים המכילים את הפונקציות הטריגונומטריות ניתנים להצגה בצורה המצומצמת ביותר ולכן נוחים יותר לשימוש (מוסבר בהרחבה כאן). שימו לב שגם המעלות וגם הרדיאנים מוגדרים על ידי חלוקה של אורך באורך ולכן הם מספר טהור, כלומר חסרי יחידות (כגון אורך, זמן או מסה). סיבוב שלם הוא 360 מעלות או 2π רדיאנים ולכן רדיאן אחד שקול ל-57.3 מעלות (ראו איור 2).

Angle_radian

איור 2: רדיאן אחד מוגדר על ידי קשת שאורכה כאורך הרדיוס. כאן בדוגמה הערך של שניהם 1. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש Gustavb.

להסבר מפורט יותר על זוויות ורדיאנים מומלץ לקרוא בבלוג 'לא מדויק'.

יש לשים לב שזווית מוגדרת אך ורק במישור. גם זוויות בצורות תלת-ממדיות כגון פירמידה מוגדרות על מישור. כלומר המונחים מעלות או רדיאנים לא קיימים במרחב התלת-ממדי.

כעת בואו נדמיין שציירנו עיגול על פניו של כדור. אם נמתח קווים דמיוניים בין שפת העיגול למרכז הכדור נקבל צורה דמוית קונוס שקודקודו הוא סוג של זווית במרחב התלת-ממדי (ראו איור 3). לחלופין, ניתן לקחת את הזווית והקשת מהגדרת הרדיאן ולסובב אותם סיבוב מלא סביב מרכז הקשת אל מחוץ לדף. נגדיר את הזווית מהסוג החדש כזווית מרחבית. את גודל הזווית המרחבית נגדיר בצורה דומה לרדיאן על ידי חלוקה של שטח העיגול על פני הכדור בערך הרדיוס בריבוע. שמה של היחידה החדשה הוא סטרדיאן וגם היא חסרת יחידות. סטרדיאן אחד הוא ערכה של זווית מרחבית שתוחמת על פני הכדור מעגל ששטחו רדיוס בריבוע. בעזרת הגדרה זאת נוח למשל לענות על שאלות כגון כמה קרינה מגיעה לגלאי בגודל ידוע ובמרחק ידוע. הקרינה (למשל אור) מתפשטת מהמקור בכל הכיוונים, כלומר חזיתה כדורית, ואותנו מעניינת הזווית המרחבית המוגדרת על ידי אותו גלאי.

Steradian

איור 3: סטרדיאן אחד הוא ערכה של זווית מרחבית התוחמת מעגל בשטח שערכו ריבוע הרדיוס. המקור לאיור: ויקיפדיה.

שטח הפנים של כדור הוא 4πR2, ולכן אם נשתמש בהגדרת הסטרדיאן ונחלק בריבוע הרדיוס נקבל שבכדור יש סך הכל 4π סטרדיאנים. אך נזכר שסטרדיאנים הם מידה לזווית מרחבית ולא לזווית. האים ניתן בכל זאת להבין משהו על כדור בעזרת זוויות רגילות?

***

כדי לכוון אותי למקום כלשהו במספר מינימלי של הוראות תוכלו לבחור לומר לי כמה צעדים סה"כ יש ללכת בכיוון אופקי וכמה בכיוון אנכי כדי להגיע ליעד. לחלופין, תוכלו לציין את הזווית ליעד (אזימוט) ואת מספר הצעדים שיש ללכת באותו כיוון. שתי צורות אלה הן דרכים חלופיות להגדיר מישור, הראשונה נקראת קרטזית והשניה פולרית (ראו איור 4). ברור שעל מנת להתוות מסלול מעגלי קל יותר להשתמש במערכת הפולרית. כל מה שאצטרך הוא לדעת את הרדיוס ובעזרת מחוגה אשלים את המעגל על כל 360 מעלותיו או 2π רדיאניו.

PolarCoordinates

איור 4: מערכת צירים פולרית, עם שתי דוגמאות (ירוק ותכלת) לשתי נקודות שונות במישור המוגדרות על ידי זווית ומרחק מראשית הצירים. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלה על ידי המשתמש Pbroks13.

ומה לגבי כדור?

כדי לשרטט כדור אני זקוק לנתון נוסף לשניים הקודמים כדי לעבור משני ממדים לשלושה. ישנן מספר אפשריות, אך מכיוון שבכדור עסקינן, אבחר במערכת כדורית. נוסיף על הרדיוס והאזימוט עוד זווית שנמדדת ביחס לישר הניצב למישור שכבר הוגדר (ראו איור 5). מהזווית הזאת מספיק לנו טווח של 0 עד 180 מעלות או π רדיאנים. העזרו באיור ונסו לדמיין נקודה שסורקת את כל האפשריות של שתי הזוויות שהוגדרו ברדיוס קבוע. מה שתקבלו הוא פני שטח של כדור.

SphericalCoordinates

איור 5: מערכת צירים כדורית כאשר המרחק r והזווית φ זהים למערכת הפולרית, ואליהם מתווספת הזווית האנכית θ. המקור לאיור: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Andeggs.

***

אז לסיכום, התשובה לשאלה כמה סטרדיאן יש בכדור היא 4π והשאלה כמה מעלות יש בו אינה מוגדרת היטב. אבל לדעתי עבור מי שלא מכיר את המושג זווית מרחבית התיאור של מערכת צירים כדורית תורם יותר, גם אם לא בדיוק עונה לשאלה.

מודעות פרסומת
  1. עדיין אין תגובות.
  1. No trackbacks yet.

כתיבת תגובה

הזינו את פרטיכם בטופס, או לחצו על אחד מהאייקונים כדי להשתמש בחשבון קיים:

הלוגו של WordPress.com

אתה מגיב באמצעות חשבון WordPress.com שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Twitter

אתה מגיב באמצעות חשבון Twitter שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Facebook

אתה מגיב באמצעות חשבון Facebook שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת גוגל פלוס

אתה מגיב באמצעות חשבון Google+ שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

מתחבר ל-%s

%d בלוגרים אהבו את זה: