ראשי > כללי > זאת רשימה דיגיטלית בעולם אנלוגי – על דגימה וכלל נייקוויסט

זאת רשימה דיגיטלית בעולם אנלוגי – על דגימה וכלל נייקוויסט

הקדמה

אנחנו חיים בעידן דיגיטלי, על כך אין ספק. חלק גדול מחיינו מנוהל על ידי או באמצעות מחשבים, או לכל הפחות שבבים אלקטרוניים. אמנם במטבח יש לנו עדיין טוסטר משולשים, אבל לא לעולם חוסן. טוסטר-משולשים-עם-חיבור-USB® בקרוב אצלכם.

המחשב הוא אולי יצור דיגיטלי, אבל אנחנו עדיין אנלוגיים לחלוטין. נניח למשל שאנחנו רוצים להקליט את קולנו על המחשב. הקול שלנו מגיע בצורה רציפה דרך המיקרופון אל מעגלי המחשב, אבל כדי לשמור את המידע ביחידות נפרדות של מספרים ברכיבי הזיכרון שלו, המחשב חייב לדגום את האות, כלומר לשמור את ערכו החשמלי רק במספר נקודות סופי.

כמה נקודות כדאי לשמור? פעולת הדגימה מכילה בתוכה שתי דרישות סותרות. ככל שנדגום יותר נקודות, כך האות הדגום יהיה קרוב יותר לאות המקורי, אבל מצד שני נבזבז יותר משאבי זיכרון וכוח עיבוד. השאלה היא עד כמה נוכל להפחית את מספר נקודות הדגימה ועדיין להישאר עם היכולת לשחזר את האות הרציף מאותן הנקודות (ראו איור 1).

דגימה

איור 1: כמה לדגום? א) האות המקורי, ב) המון נקודות דגימה, אפשר להסתדר עם פחות, ג) דגימה לא מספקת, לא ניתן לשחזר את האות המקורי.

הבעיה ופתרונה: פי 2

הביטו באיור 2 בו ניתן לראות שני אותות סינוסואידליים, כלומר גלים מחזוריים. מה שמבדיל בין האות האדום לכחול היא תדירות התנודה, כלומר כמה מחזורים הגל מבצע ליחידת זמן. האות הכחול מתנודד לאט יותר מהאות האדום. שימו לב לנקודות השחורות שמסמלות דגימה. שני האותות מתאימים בצורה מושלמת לנקודות. כלומר, אם המידע שהיה בידינו היה מורכב רק מנקודות אלה לא היינו יכולים לדעת האם האות שממנו הם נדגמו היה הכחול או האדום. בעיה זאת המונעת שחזור של האות נקראת התחזות או aliasing והיא תכתיב את הגבול אותו אנחנו מחפשים. למה 'התחזות'? תיכף נגיע לזה.

AliasingSines

איור 2: שני אותות מחזוריים בתדירויות שונות, האדום בתדר גבוה והכחול בתדר נמוך. הנקודות השחורות מסמלות נקודות דגימה. המקור לאיור: ויקיפדיה.

כלל הדגימה (הידוע גם כ-'כלל נייקוויסט', וגם בשמות אחרים) קובע שקצב הדגימה צריך להיות גדול לפחות פי 2 מהתדר המקסימלי המרכיב את האות, וזאת כדי שנוכל לשחזר את האות הרציף מהדגום.

אם לא הבנתם את הכלל, אתם במקום הנכון. למה הכוונה בתדר מקסימלי, ולמה דווקא פי 2? תיכף נגיע לזה.

עכשיו ננסה גם להבין

כדי להסביר את הכלל באופן מעמיק יותר יש צורך להשתמש בטכניקה מתמטית הנקראת טור פורייה. אנסה להסביר את הרעיון הכללי בקיצור נמרץ. ניתן להוכיח שכל פונקציה (תחת מגבלות אלה ואחרות) ניתנת לייצוג על ידי חיבור בטור של פונקציות מחזוריות בסיסיות (סינוס\קוסינוס) בתדרים שונים, כאשר האיבר של כל תדר מופיע בעוצמה שונה. כלומר מספיק לדעת את העוצמות של כל תדר (המקדמים בטור) כדי לדעת לצייר את האות המלא. זה קצת מזכיר פירוק של מספרים לגורמים ראשוניים. כמו כן, זה בעצם מה שאתם רואים למשל בתצוגה של האקולייזר במערכות סטריאו. ישנם תדרים נמוכים, בינוניים וגבוהים, וגובה הטורים בתצוגה מסמל את העוצמה של המקדמים.

כעת בואו נניח שהאות שמעניין אותנו ניתן לייצוג על ידי מקדמים בתחום תדרים מוגבל, למשל זה המיוצג באיור 3. לייצוג העוצמות של המקדמים בתדרים השונים אני אקרא מעתה 'תחום התדר'. לאחר תהליך הדגימה הייצוג של האות בתחום התדר דומה לזה באיור 3, אך קיימים בו העתקים נוספים של האות הרציף בכל כפולה שלמה של תדירות הדגימה, כפי שאפשר לראות באיור 4. ההסבר לכך קשור לפעולת הדגימה והוא טכני-מתמטי, ואינו מופיע כאן.

אות צר סרט

איור 3: אות צר סרט התחום בין התדרים B ו-(-B). המקור לאיור: ויקיפדיה.

כיצד משחזרים את האות הרציף מהבדיד? אם נתמקד בתחום התדר, כל מה שצריך הוא להכפיל את האות באות אחר שצורתו מלבן שרוחבו מתאים לתדר המקסימלי שמכיל האות הרציף (מסומן באות 'B') ועוצמתו '1', כפי שניתן לראות באיור 4. מלבן זה נקרא 'מסנן שחזור אידיאלי'. 'אידיאלי' מכיוון שהוא אינו ניתן למימוש, אבל זה אינו חשוב להסבר כרגע.

ReconstructFilter

איור 4: צורת האות הדגום התחום התדר (למעלה), מסנן שחזור אידיאלי (בסגול) והאות לאחר סינון. המקור לאיור: ויקיפדיה.

מה היה קורה אם תדירות הדגימה ('f' באיור) היתה קטנה מפעמיים התדר המקסימלי באות הרציף ('B' באיור)? ניתן לראות מאיור 4 שאם היה שוויון ביניהם אז התדר המינימלי של ההעתק השני מימין היה בדיוק נופל על התדר המקסימלי של ההעתק הראשון (B=f-B). מכאן שאם תדר הדגימה נמוך מידי, ההעתק השני בעצם חופף להעתק הראשון (ראו איור 5). כאשר נפעיל את מסנן השחזור נשאר עם רכיבים של אות שאינם שייכים לאות המקורי הרציף והאות המשוחזר יעוות. מה שקרה הוא שתדרים נמוכים 'מתחזים' בפעולת השחזור לתדרים גבוהים יותר. כפי שציינתי, תופעה זאת נקראת בעגה aliasing.

AliasedSpectrum

איור 5: התחזות או aliasing. מכיוון ש: B>f-B אז תדרים 'ירוקים' נמוכים מתחזים לתדרים 'כחולים' גבוהים. המקור לאיור: ויקיפדיה.

הדרך הפשוטה ביותר להימנע מבעית ההתחזות היא לדגום בקצב מספיק גבוה. אך אם ידוע לנו מראש קצב הדגימה ואין אנחנו יכולים לשנות אותו, או שהאות אינו חסום סרט, כלומר אינו חסום בתחום תדרים מסוים, נדרש להפעיל מסנן ראשוני שתפקידו למנוע התחזות תדרים. המסנן דואג שהחלקים של האות שהם בתדר גבוה מידי יקוצצו. עדיף לאבד חלק מהמידע מאשר לעוות את כולו. התקווה היא שהחלק החשוב באות מרוכז בתדרים הנמוכים יותר.

זהו, דגמנו בהצלחה.

כעת נוכל לחשב את קצב הדגימה הנדרש עבור טוסט משולש. יש תמורה!

מודעות פרסומת
  1. 26/04/2013 בשעה 4:45 pm

    סיפור קטן נוסף: קלוד שנון (אבי תורת האינפורמציה) חקר בצעירותו מתמטיקה בולאנית, והבין את חשיבותה למערכות מחשוב ותקשורת. הוא עבד במעבדות בל ועזר להפוך את התיאוריות למערכות עובדות. למעשה הוא גם אבי העולם הדיגיטלי.

  2. 26/04/2013 בשעה 6:58 pm

    תודה אמיר.
    למעשה לפי וויקיפדיה כלל הדגימה נקרא נייקוויסט-שנון, אבל מכיוון שאני למדתי אותו ככלל נייקוויסט כך גם הצגתי אותו כאן. ובאותו עניין, גם נייקוויסט עבד במעבדות בל.

  1. 07/03/2014 בשעה 3:41 pm
  2. 23/05/2014 בשעה 3:27 pm
  3. 23/05/2014 בשעה 7:36 pm

כתיבת תגובה

הזינו את פרטיכם בטופס, או לחצו על אחד מהאייקונים כדי להשתמש בחשבון קיים:

הלוגו של WordPress.com

אתה מגיב באמצעות חשבון WordPress.com שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Twitter

אתה מגיב באמצעות חשבון Twitter שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Facebook

אתה מגיב באמצעות חשבון Facebook שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת גוגל פלוס

אתה מגיב באמצעות חשבון Google+ שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

מתחבר ל-%s

%d בלוגרים אהבו את זה: