על כוסות תה מהבילות ואינסוףים קצרים, רשימה חורפית

ימים קרים עוברים עלינו, ימים של חורף.

שאלה: כמה זמן לוקח לכוס התה החמה שלכם להתקרר, כלומר להגיע לטמפרטורת החדר, במידה ולא שתיתם אותה?

כמובן שנוכל פשוט לבדוק כמה זמן זה לוקח. אבל החוכמה היא למצוא תשובה כללית עבור כל כוסות התה בכל התנאים ובכל הימים. כיצד עושים זאת?

תמונה 1: כוס תה מהודרת שאינה דומה כלל לזאת שאני שותה ממנה ואפילו אינה מהבילה במקור, אבל זה מה שמצאתי בויקיפדיה. את 'האדים' הוספתי בעצמי…

מהמכניקה של ניוטון ועד לתורת הקוונטים: הכל משוואות דיפרנציאליות

משוואה דיפרנציאלית היא משוואה שבה הנעלמות הן פונקציות ולא מספרים, ומופיעות בה נגזרות מסדרים שונים של אותן פונקציות (למי שלא בטוח מהי נגזרת, כדאי לקרא רשימה קודמת). לא אגזים אם אומר שמשוואות אלה הן אחד מהבסיסים החשובים לכל המדע, מהמכניקה של ניוטון ועד לתורת הקוונטים של היום, ממשוואות שמתארות התפשטות של חום ועד משוואות המתארות זרימה של נוזלים. הסיבה לכך היא שכאשר אנחנו כותבים מדע באופן פורמלי-מתמטי אנחנו בעצם מתארים את ההשתנות של גודל מסוים (כלומר הנגזרת שלו) כמו מיקום, מהירות או טמפרטורה ביחס למרחב או לזמן.

המשוואה הדיפרנציאלית הפשוטה ביותר שניתן לחשוב עליה נובעת מהשאלה הבאה: מהי הפונקציה ששווה עד כדי קבוע לנגזרת של עצמה? מסתבר שהפונקציה שמקיימת את המשוואה הזאת היא האקספוננט, כלומר המספר e, שערכו הוא בערך 2.71, בחזקת המשתנה x (ראו תמונה 2). זאת גם הסיבה שהפונקציה הזאת כה חשובה ותופיע בתחומים רבים כל כך של מדע.

תמונה 2: פונקצית האקספוננט. המקור לתמונה: ויקיפדיה, לשם הועלתה על ידי המשתמש Peter John Acklam.

סליחה, התה שלי שלי שוב קר

הצעד הבא הוא למצוא חוק פיזיקלי כללי שנכון לכל כוסות התה. אין בו כרגע צורך במספרים, אלא רק בתובנה איך זה עובד. את הרעיונות אפשר לקבל בכמה דרכים. גישה אחת היא הגישה הניסיונית, שבה נמדוד את הטמפרטורה כתלות בזמן של מספר רב של כוסות מתקררות וננסה לנסח מודל מתמטי מתאים. גישה שניה היא הגישה התיאורטית, שבה ננסה להגיע לתובנות אפריורי, ננסח אותן בעזרת מתמטיקה ורק לאחר מכן נבדוק אם המודל מתאים לתוצאות ניסויים. הגישה השלישית היא פשוט שילוב כלשהו של השתיים האחרות.

עבור כוס התה שלנו מדובר בחוק הקירור של ניוטון. החוק קובע שקצב ירידת הטמפרטורה של הכוס עומד ביחס ישר להפרש הטמפרטורות בינה לסביבה. כלומר, אם הכוס רותחת והסביבה קרה, אז היא מתקררת מהר, ואם הטמפרטורה שלה קרובה לזאת של הסביבה, אז היא מתקררת לאט.

אותנו מעניינת הטמפרטורה כפונקציה של הזמן, ולכן אנחנו מחפשים פונקציה שאם נגזור אותה (קצב) נקבל אותה שוב, עד כדי קבוע, ובסימן שלילי. הפתרון, כאמור, הוא פונקציה אקספוננציאלית דועכת שבה המעריך תלוי בזמן ובקבוע שקשור לתכונות הכימיות והגיאומטריות של הכוס (ראו תמונה 3). ניתן לראות שהפתרון הזה אכן מקיים דעיכה מהירה בהתחלה שהולכת ומאיטה.

תמונה 3: אקספוננט דועך. עבור x-ים קטנים דועך מהר ועבור גדולים דועך לאט. ערכו של האקספוננט הדועך שווה בדיוק לאפס רק באינסוף אבל הרבה לפני זה כבר לא נוכל להבחין בהבדל בעין בלתי מזויינת. הפקתי את הגרף באתר הזה.

כמה ארוך הוא האינסוף?

הטמפרטורה במערכת אמנם תלויה בזמן, אבל ההנחה היא שלאחר זמן ארוך מספיק המערכת תפסיק להשתנות ותגיע למצב יציב. אך מהו אותו מצב יציב? קל למצוא אותו על ידי חזרה למשוואה ואיפוס הנגזרת, כלומר אילוץ מצב סטטי. התוצאה היא כמובן שהפרש הטמפרטורות במצב יציב בין הכוס לסביבה הוא אפס. אבל כמה זמן ייקח לה להגיע לטמפרטורה הזאת? מהו הערך עבורו מתאפסת פונקצית האקספוננט עם המעריך השלילי?

למעשה, רק אם נניח שעבר בדיוק אינסוף זמן נקבל התאפסות של האקספוננט. כלומר טמפרטורת הכוס, לפי המודל של חוק הקירור, לעולם לא תשתווה לזאת של הסביבה. אבל שימו לב לגרף בתמונה 3. ברור שלא היה טעם להמשיך ולצייר אותו עבור ערכי x גדולים יותר, מכיוון שאיננו יכולים להבחין בשינוי. ואם נחזור לכוס התה, ניתן לומר שלאחר זמן מסוים לא נוכל עוד להבחין בהבדל הטמפרטורות בין הכוס לסביבה ונוכל בעצם להניח שעבר זמן ארוך כרצוננו מבלי שזה ישפיע על התוצאה. ואם נציג זאת בצורה הפוכה, ניתן לקבל בפועל את הפתרון שמתאים לזמן אינסופי גם עבור זמנים קצרים בהרבה.

אז מהו הזמן הקצר ביותר שבו המערכת נמצאת במצב יציב? דבר זה תלוי בתכונות המערכת ובדיוק המדידה שלנו. עבור כוס תה ביום קריר, הפתרון לאחר חצי שעה שקול לפתרון לאחר שעה ושקול גם לפתרון בכל זמן אחר גדול כרצוננו.

נו, אז מה?

בחרתי את הדוגמא של הכוס המתקררת כי היא מערכת פשוטה מאוד לפתרון, אך ישנן מערכות רבות שאותן קשה מאוד לפתור. דוגמא אחת שהזכרתי ברשימות קודמות היא משוואות קצב המתארות למשל מערכת אקולוגית או אוכלוסיה של חלבונים בתא שיש ביניהם יחסי גומלין. מדובר במספר משוואות דיפרנציאליות מצומדות וקשות לפתרון אנליטי (כלומר על הנייר, ללא מחשב).

במקרים רבים לא באמת מעניינת אותנו הדינמיקה של המערכת, כלומר איך היא הגיעה למצב יציב מסוים, אלא רק מהו המצב הסופי עבור תנאי התחלה מסוימים. למשל האם אוכלוסיית זאבים מסוימת תשגשג או תיכחד. במצבים אלה ניתן לחפש ישירות את המצב היציב על ידי הנחת זמן אינסופי ואיפוס הנגזרות. בצורה זאת אנחנו ממירים סט של משוואות דיפרנציאליות לסט של משוואות אלגבריות שהן קלות יותר לחישוב.

הזמן שלוקח למערכת כזאת להגיע למצב יציב תלוי לחלוטין בפרמטרים של המערכת ויכול לנוע בין חלקי שניות לשנים.

האינסוף מעולם לא היה קצר יותר.